数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式与求和.学生版

等比数列的基本性质与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列，它的前后两项的比值始终保持不变。

等比数列具有许多重要的性质和求和公式，本文将对这些性质和公式进行详细介绍与解析。

一、等比数列的基本性质等比数列的基本性质包括公比、通项公式以及前n项和的公式。

1. 公比公比是等比数列中相邻两项的比值，通常用字母q表示。

对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，公比q = a2/a1 = a3/a2 = ...。

公比q可以是正数、负数或零。

2. 通项公式等比数列的通项公式是指根据数列的首项和公比，可以得到任意项的数值表达式。

对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中n表示项数，an表示第n项。

通项公式可以帮助我们方便地计算等比数列中任意一项的数值。

3. 前n项和公式等比数列的前n项和公式是指根据数列的首项、公比和项数，可以得到前n项之和的表达式。

前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。

这个公式的推导涉及到对等比数列求和的方法，下文我们将介绍这个求和方法的详细步骤。

二、等比数列的求和公式的推导为了推导等比数列的求和公式，我们可以从以下几个步骤入手：Step 1: 假设等比数列的首项为a1，公比为q。

Step 2: 将等比数列的前n项和用Sn表示。

Step 3: 将等比数列的首项a1与公比q对齐。

Step 4: 将等比数列展开为a1, a1*q, a1*q^2, ..., a1*q^(n-1)。

Step 5: 将等比数列反向展开为a1*q^(n-1), a1*q^(n-2), ..., a1*q^2,a1*q, a1。

Step 6: 将两个等比数列按位相减，并观察相减结果的特点。

Step 7: 将相减结果与等比数列前n项和Sn相加，并观察相加结果的特点。

Step 8: 确定等比数列的前n项和公式Sn。

数列与数列求和等比数列求和公式及应用数列与数列求和等比数列求和公式及应用数列是一组按特定规律排列的数的集合，而数列求和则是计算数列中所有数之和的过程。

在数学中，等比数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项与相同的常数（称为公比）相乘得到的。

在本文中，我们将介绍等比数列的求和公式以及其应用。

一、等比数列求和公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，项数为n。

我们需要求解等比数列的前n项之和Sn。

1. 当公比r不等于1时，等比数列求和公式为：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)2. 当公比r等于1时，等比数列求和的结果就是其首项与项数的乘积，即：Sn = a₁ * n二、应用实例等比数列求和公式在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的例子。

1. 财务应用：假设你每天存款的利率是0.03，第一天存入100元，第二天存入100 * 0.03 = 103元，以此类推。

问存了10天后，一共存入了多少钱？第一项a₁ = 100，公比r = 0.03，项数n = 10。

代入等比数列求和公式可得：Sn = 100 * (1 - 0.03^10) / (1 - 0.03) ≈ 1038.55元因此，存了10天后，一共存入了约1038.55元。

2. 物理应用：在物理学中，速度、加速度等与时间有关的量常常构成等比数列。

例如，一个物体以每秒钟减速50m/s²的速度匀减速运动，从初始速度200m/s开始，问经过5秒钟后，物体的总位移是多少？第一项a₁ = 200，公比r = -50/200 = -0.25，项数n = 5。

代入等比数列求和公式可得：Sn = 200 * (1 - (-0.25)^5) / (1 - (-0.25)) ≈ 268.75m因此，经过5秒钟后，物体的总位移约为268.75m。

3. 经济应用：在经济学中，利润、市场份额等指标常常构成等比数列。

例如，某公司的利润在第一年为1万美元，每年增长20%。

等比数列通项求和及其性质1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q 叫做等比数列的公比．2 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 3 等比数列的通项公式及其变形 通项公式：a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)，其中a 1是首项，q 是公比．通项公式的变形：a n ＝a m ·q n －m .4 等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是：ΛΛ=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 。

如图所示：44448444476444344421Λn n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321 ③若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． ④若数列{}n a 是公比不为－1的等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列,其公比为q k 。

如下图所示：44444444444844444444444764434421Λ4434421Λ444344421Λk kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 5 等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n )1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 6 等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列；当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列；当q ＝1时，{a n }是常数列．7 等比数列及其前n 项和的性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．① 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.② 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．③ 若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．④ S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .⑤ 当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列．⑥ 若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n，…成等比数列． ⑦ 若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .题型一 基本量运算【例1】在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3【例2】在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．题型二 等比数列的判定与证明【例1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【例2】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)设b n ＝a n n 2，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝a n ＋1－2a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .题型三 等比数列性质的应用【例1】设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B ．－18 C.578 D.558【例2】已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.过关练习1.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．842．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列3.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．34．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2B.73C.83D ．35．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和S n .课后练习【补救练习】1．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)22.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公比q ＝2，S k ＋2－S k ＝48，则k 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．43.数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.5.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .6.已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数． (1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．【巩固练习】1.已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( )A ．512B ．256C ．81D ．162．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【拔高练习】1.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152B.314C.334D.1722.数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2015110，则a 21＝______.3.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．。

等比数列的通项与和等比数列是数学中常见的数列之一，它的通项和和求解都有固定的公式，本文将详细介绍等比数列的通项与和，以帮助读者更好地理解和应用等比数列。

一、等比数列的定义与性质等比数列是指数列中，从第二项起，每一项都是前一项乘以同一个固定的非零常数。

设首项为a，公比为r，则等比数列的通项可以表示为：an = ar^(n-1)。

其中，n代表项数，an代表第n项。

等比数列的性质如下：1. 同一个等比数列的任意非零项之比都相等。

2. 等比数列的公比r大于1时，数列呈现递增趋势；公比r介于0和1之间时，数列呈现递减趋势。

3. 等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式求得：Sn = a * (1 -r^n)/(1 - r)。

二、等比数列的通项公式推导与应用推导等比数列的通项公式是通过观察每一项与前一项的关系来完成的。

设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，前一项为an-1，根据等比数列的定义，可得到如下等式：an = an-1 * r同理，an-1也可以用an-2 * r表示。

将其代入上式可得：an = (an-2 * r) * r = an-2 * r^2依次类推，可以得到：an = a * r^(n-1)通过上述推导，等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)得以证明。

利用该公式，我们可以很方便地计算等比数列中任意一项的值。

举个例子：如果一个等比数列的首项为2，公比为3，我们来计算它的第5项的值。

根据通项公式an = a * r^(n-1)，代入a=2，r=3，n=5，可得：a5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162因此，这个等比数列的第5项的值为162。

三、等比数列的前n项和公式推导与应用等比数列的前n项和表示为Sn，根据定义，可以得到如下等式：Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)将每一项乘以公比r，并两式相减可得：r * Sn = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n将两式相减，消去相同项可得：Sn - r * Sn = a - ar^n整理上式可得：Sn = a * (1 - r^n)/(1 - r)利用等比数列的前n项和公式，我们可以方便地计算等比数列的前n项之和。

等比数列及其求和公式数列是数学中常见的一种序列，其中等比数列是一种特殊的数列。

在等比数列中，每一项与前一项的比值都保持不变，这个比值叫做公比。

等比数列常常出现在各个领域的问题中，如金融、科学、工程等。

等比数列的通项公式可以表达为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

通过这个通项公式，我们可以方便地计算等比数列的各项数值。

除了计算单独的项数外，我们还可以通过求和公式来计算等比数列的和。

等比数列的求和公式可以表达为：S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中S表示等比数列的和，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

下面我们通过一个具体的例子来说明等比数列及其求和公式的应用。

例子：某公司的销售代表每天要拜访客户，第一天拜访了1个客户，之后每天拜访的客户数都是前一天的2倍。

现在我们需要计算该销售代表连续拜访第5天至第10天的总客户数。

首先，我们可以通过等比数列的通项公式计算出前10天的客户数：第1天：a1 = 1公比：r = 2客户数可以表示为：an = a1 * r^(n-1)第2天：a2 = a1 * r^1 = 1 * 2 = 2第3天：a3 = a1 * r^2 = 1 * 2^2 = 4第4天：a4 = a1 * r^3 = 1 * 2^3 = 8第5天：a5 = a1 * r^4 = 1 * 2^4 = 16第6天：a6 = a1 * r^5 = 1 * 2^5 = 32第7天：a7 = a1 * r^6 = 1 * 2^6 = 64第8天：a8 = a1 * r^7 = 1 * 2^7 = 128第9天：a9 = a1 * r^8 = 1 * 2^8 = 256第10天：a10 = a1 * r^9 = 1 * 2^9 = 512接下来，我们可以使用等比数列的求和公式计算第5天至第10天的总客户数：S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a1 = 1，r = 2，n = 10S = 1 * (1 - 2^10) / (1 - 2)= 1 * (1 - 1024) / (-1)= 1 * (-1023) / (-1)= 1023因此，销售代表连续拜访第5至第10天的总客户数为1023。

等比数列的求和公式在数学的广袤天地中，等比数列是一个十分重要的概念，而等比数列的求和公式更是解决相关问题的关键利器。

今天，咱们就来好好聊聊这个等比数列的求和公式。

首先，咱们得搞清楚啥是等比数列。

简单来说，等比数列就是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。

这个常数就叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。

比如说，数列 2，4，8，16，32……这就是一个公比为 2 的等比数列。

那等比数列的求和公式是啥呢？它有两种情况。

当公比 q ＝ 1 时，等比数列的求和公式就特别简单，Sn ＝ na1 ，其中 n 是项数，a1 是首项。

比如数列 2，2，2，2，2，这里公比 q ＝ 1，首项 a1 ＝ 2，项数 n ＝ 5，那么这个等比数列的和 Sn ＝ 5×2 ＝ 10 。

当公比q ≠ 1 时，等比数列的求和公式是：Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。

咱们来仔细瞅瞅这个公式。

a1 是首项，q 是公比，n 是项数。

这个公式看起来有点复杂，不过咱们通过几个例子来理解一下就会清楚很多。

假设咱们有一个等比数列 2，6，18，54，162。

这里首项 a1 ＝ 2，公比 q ＝ 3，项数 n ＝ 5 。

那根据求和公式 Sn ＝ 2×（1 3^5) ／（1 3) ，先算 3^5 ＝ 243 ，然后 1 243 ＝－242 ，1 3 ＝－2 。

所以 Sn ＝ 2×（－242) ／（－2) ＝ 242 。

再比如另一个等比数列 3，9，27，81。

首项 a1 ＝ 3 ，公比 q ＝ 3 ，项数 n ＝ 4 。

Sn ＝ 3×（1 3^4) ／（1 3) ，算 3^4 ＝ 81 ，1 81 ＝－80 ，1 3 ＝－2 。

Sn ＝ 3×（－80) ／（－2) ＝ 120 。

那这个等比数列求和公式是咋推导出来的呢？咱们来瞧瞧。

设等比数列的通项公式为 an ＝ a1×q^（n 1) ，那么它的前 n 项和Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋…… ＋ an 。

等比数列通项公式和前n项和公式等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，则其通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中n 为项数。

在等比数列中，前n项和的公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。

英文：Geometric progression is a sequence in which the ratio of any two consecutive terms is the same. Let the first term of the geometric sequence be a, and the common ratio be r, then its general term formula is: an = a * r^(n-1), where n is the number of terms. In a geometric sequence, the formula for the sum of the first n terms is: Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r).等比数列通项公式an= a1 * q^(n-1)，其中q为公比。

英文：The general term formula of a geometric sequence is an=a1 * q^(n-1), where q is the common ratio.在等比数列中，首项为a1，通项公式为：an= a1*q^(n-1)。

其中an表示第n项，q为公比。

英文：In a geometric sequence, the first term is a1 and the general term formula is: an= a1*q^(n-1). Where an represents the nth term, and q is the common ratio.当公比小于1时，等比数列是一个收敛的数列。

等比数列与等比数列求和公式等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比都相等的数列。

而等比数列求和公式是计算等比数列前n项和的公式。

在数学中，等比数列是一种常见的数学模型，在许多实际问题中都有广泛的应用。

本文将介绍等比数列的概念、性质以及等比数列求和公式。

一、等比数列的概念和性质等比数列的概念可以用下列形式给出：数列a1, a2, a3, ..., an, ...如果对于任意正整数n，都有an+1/an = r（r ≠ 0），那么这个数列就是一个等比数列。

其中，r称为等比数列的公比。

等比数列的性质如下：1. 前n项的通项公式：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

2. 任意两项的比例都相等：an/an-1 = a2/a1 = r。

3. 等比数列的首项和公比的符号不影响数列的性质。

即等比数列可以是正数列、负数列或零数列。

二、等比数列求和公式当我们需要计算等比数列的前n项和时，可以利用等比数列求和公式。

下面是等比数列求和公式的推导过程。

设等比数列的首项是a1，公比是r，前n项和是Sn。

根据等比数列的性质，我们可以得到：a2 = a1 * r,a3 = a2 * r = a1 * r^2,a4 = a3 * r = a1 * r^3,......an-1 = a1 * r^(n-2),an = a1 * r^(n-1).将等号两边求和，可以得到：a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an = a1 * (r + r^2 + r^3 + ... + r^(n-2) + r^(n-1)).由于等比数列的前n项和是Sn，所以上式可以变形为：Sn = a1 * (r^n - 1)/(r - 1)。

其中，r ≠ 1。

三、实例演算让我们通过一个实例来演算一下等比数列的求和过程。

例题：计算等比数列2， 4， 8， 16， 32的前5项和。

首先，确定数列的首项a1=2和公比r=4/2=2。

理解等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的通项公式和求和公式是解决等比数列问题的基本工具。

理解等比数列的通项与求和公式有助于我们更好地理解和运用等比数列。

一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列的每一项与它前一项的比都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为r，那么数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1) (n ≥ 1)其中aₙ表示等比数列的第n项，n表示项数。

公比r是一个常数，对于等比数列中的任意两项aₙ和aₙ₊₁，它们的比值都是r。

二、等比数列的通项公式推导为了更好地理解等比数列的通项公式，我们来推导一下。

假设等比数列的首项为a₁，公比为r，我们需要找出等比数列中的第n项aₙ与首项a₁和公比r之间的关系。

我们可以通过观察等比数列的性质得出以下结论：a₂ = a₁ * ra₃ = a₂ * r = a₁ * r * r = a₁ * r²a₄ = a₃ * r = a₁ * r² * r = a₁ * r³...可以看出，每一项都是前一项与公比r的乘积。

根据这个规律，我们可以推断出等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1) (n ≥ 1)三、等比数列的求和公式求和公式是用来计算等比数列所有项的和的公式。

设等比数列的首项为a₁，公比为r，项数为n，那么等比数列的前n项和Sₙ可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r) (r ≠ 1)Sₙ = a₁ * n (r = 1)其中Sₙ表示等比数列的前n项和。

四、等比数列的应用举例现在我们通过一个具体的例子来应用等比数列的通项公式和求和公式。

例子：求等比数列1, 2, 4, 8, 16, ...的第10项和前10项和。

首先确定等比数列的首项和公比，可以发现首项a₁为1，公比r为2。

根据等比数列的通项公式，可以计算出第10项的值：a₁₀ = 1 * 2^(10-1) = 1 * 2^9 = 512接下来，根据等比数列的求和公式，可以计算出前10项的和：S₁₀ = 1 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 1 * (1 - 1024) / (1 - 2) = -1023所以，该等比数列的第10项为512，前10项的和为-1023。

等比数列的通项公式与求和公式等比数列是数学中常见且重要的数列之一，它的每一项与前一项的比值都相等。

在解决等比数列相关问题时，研究其通项公式和求和公式是非常关键的。

下面将对等比数列的通项公式和求和公式进行详细介绍。

一、等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ。

等比数列的通项公式可以用以下表达式表示：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，aₙ表示等比数列的第n项，a₁表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。

通过该通项公式，我们可以轻松地求得等比数列中任意一项的数值。

例如，若我们需要求解首项为3，公比为2的等比数列的第10项的数值，即可使用通项公式进行计算。

根据公式，将a₁=3，r=2，n=10代入得出：a₁₀ = 3 * 2^(10-1) = 3 * 2^9 = 3 * 512 = 1536因此，首项为3，公比为2的等比数列的第10项的数值为1536。

二、等比数列的求和公式对于等比数列的前n项求和，我们可以利用求和公式进行计算。

等比数列的求和公式可以用以下表达式表示：Sn = a₁ * (r^n - 1) / (r - 1)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a₁表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。

通过该求和公式，我们可以快速求得等比数列的前n项和。

例如，若我们需要求解首项为2，公比为3的等比数列的前5项和，即可使用求和公式进行计算。

根据公式，将a₁=2，r=3，n=5代入得出：S₅ = 2 * (3^5 - 1) / (3 - 1) = 2 * (243 - 1) / 2 = 2 * 242 / 2 = 242因此，首项为2，公比为3的等比数列的前5项和为242。

通过等比数列的通项公式和求和公式，我们可以在解决问题时更加高效地计算等比数列的任意一项和前n项的和。

这些公式在数学、物理等领域有着广泛的应用，对我们的学习和研究具有重要意义。

总结起来，等比数列的通项公式可以用aₙ = a₁ * r^(n-1)表示，通过该公式可以求解等比数列的任意一项的数值；等比数列的求和公式可以用Sn = a₁ * (r^n - 1) / (r - 1)表示，通过该公式可以求解等比数列的前n项和。

高中数学等比数列通项求和公式高中数学等比数列通项求和公式大全学好数学的关键是公式的掌握，数学在多个不同领域的应用一般被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并促成全新数学学科的发展。

下面是小编为大家整理的高中数学等比数列通项求和公式，希望能帮助到大家!等比数列通项求和公式an=a1__q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)an=Sn-S(n-1)(n≥2)前n项和当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1__q’n)/(1-q)(q≠1)当q=1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=na1高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。

抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。

2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。

首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。

3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。

象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。

4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。

【例1】 在等比数列}{n a 中, 116a =-，48a =，则=7a （ ）A ．4-B ．4±C ．2-D ．2±【例2】 在等比数列{}n a 中，若39,a a 是方程231190x x -+=的两根，则6a 的值是 .【例3】 在等比数列}{n a 中，公比2q =，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）A ．102B ．202C ．162D ．152【例4】 已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a = ．【例5】 一个数加上20，50，100后得到的三数成等比数列，其公比为 ．【例6】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．典例分析等比数列的定义【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)3n n S a =-*()n ∈N⑴求1a ，2a ；⑵求证：数列{}n a 是等比数列．【例8】 已知数列{}n a 满足11a =，1112n n a a +=+，求其通项公式．【例9】 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求n a ．【例10】 已知数列{}n a 满足11a =-，1132(2)n n n a a n --=+≥，求n a【例11】 已知1172a =-，13()5(2)2n n a a n -=-+≥，求n a ．【例12】 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．⑴求c 的值；⑵求{}n a 的通项公式．【例13】 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n *∈N ．⑴证明数列{}n a n -是等比数列； ⑵求数列{}n a 的前n 项和n S ．【例14】 已知数列{}n a 的前n 项和为2*251()n S n n n =++∈N数列{}n b 的前n 项和n B 满足33()22n n B b n *=-∈N⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵将数列{}n a 与{}n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【例15】 设0a 为常数，且1132(*)n n n a a n --=-∈N ．⑴ 证明对任意1n ≥，101[3(1)2](1)25n n n n n n a a -=+-⋅+-⋅；⑵ 假设对任意1n ≥有1n n a a ->，求0a 的取值范围．【例16】 在数列{}n a 中，10a =，且对任意k *∈N ．21k a -，2k a ，21k a +成等差数列，其公差为k d ．⑴若2k d k =，证明2k a ，21k a +，22k a +成等比数列()k *∈N ⑵若对任意k *∈N ，2k a ，21k a +，22k a +成等比数列，其公比为k q ．【例17】 在等比数列{}n a 中，201020078a a = ，则公比q 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8。

等比数列概念、性质与求和【知识梳理】一、等比数列的定义1、文字语言：_______________________________________________________________.2、符号语言：_______________________________________________________________.3、等比中项概念：___________________________________________________________. 二、等比数列的通项公式 1、通项公式的推导过程（累．乘．法．） 2、常见的等比数列的通项公式 ①11n n a a q-=⋅；②n mn m a a q-=⋅.三、等比数列的前n 项和1、等比数列的求和公式的推导方法（错位．．相．减．法．）2、常见的等比数列的前n 项和公式 ①()11n S na q ==； ②()()111,01n n a q S q q q-=≠≠-；③()11,01n n a a qS q q q-=≠≠-；④n n S mq m =-（其中1,0q q ≠≠）；⑤m n m n m n n m S S S q S S q +=+=+. 四、等比数列的基本量之间的运算关系称首项．．1a 、公．比．q 、项数．．n 、第．n 项．n a ，前．n 项和．．n S 等五个量．．．为等比数列的基本量.五个量中只要知道其中的三个就可以求出另外两个量，即“知三求二．．．．”. 五、等比数列的项值符号与单调性 数列{}n a 为等比数列，公比为q ，①等比数列{}n a 的奇数项符号相同，偶数项符号也相同，相邻两项的符号可能不同； ②若101a q >⎧⎨>⎩，则{}n a 为单调递增数列；若1001a q >⎧⎨<<⎩，则{}n a 为单调递减数列；③若101a q <⎧⎨>⎩，则{}n a 为单调递减数列；若1001a q <⎧⎨<<⎩，则{}n a 为单调递增数列；④若100a q >⎧⎨>⎩，则{}n a 各项均为正值；若10a q >⎧⎨<⎩，则{}n a 中奇数项为正值，偶数项为负值；⑤若100a q <⎧⎨>⎩，则{}n a 各项均为负值；若100a q <⎧⎨<⎩，则{}n a 中奇数项为负值，偶数项为正值.六、等比数列的性质1、若m n p q +=+，则()*,,,m n p q a a a a m n p q N ⋅=⋅∈.推广：若1212n n b b b c c c +++=+++，则1212n n b b b c c c a a a a a a ⋅=⋅（其中*1212,,,,,,,n n b b b c c c N ∈）2、等比数列的生成数列①等比数列{}n a 中每隔k 项取出一项，取出的数按照原先的顺序排成一列构成的新数列：2,,,,,m m k m k m nk a a a a +++依然为等比数列；②数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 也为等比数列，则{}{}{},,,,k n n n n n n n a k k a a a b a b ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭也为等比数列；③数列{}n a 为等比数列，且0n a >，则数列{}lg n a 必为等差数列；④等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为()0n n S S ≠，则232,,,n n n n n S S S S S --也为等比数列，且公比为n q . 七、等比数列的充要条件 数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 ①数列{}n a 为等比数列⇔()*1N n na q n a +=∈（或()12n n a q n a -=≥）； ②数列{}n a 为等比数列⇔()112n nn n a a n a a +-=≥； ③数列{}n a 为等比数列，且公比不为1⇔n n S m q m =⋅-；（m ，q 为常数，且0m q ⋅≠）；④数列{}n a 为等比数列⇔n n a c q =⋅（其中,c q 为常数，,0c q ≠，且q 为公比）. 八、等比数列的证明方法1、定义法：证明数列{}n a 为等比数列，只需证明1n na q a +=（或()12n n a q n a -=≥）.2、等比中项法：证明数列{}n a 为等比数列，只需证明()112n n n n a a n a a +-=≥.【典型例题】 例1、求解下列问题 （1）“2b a c =”是“,,a b c 为等比数列”的__________条件.（2）已知0a >，0b >，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则a b ⋅与A G ⋅的大小关系是( ) A ．ab AG = B ．ab AG ≥ C ．ab AG ≤ D ．不能确定（3）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比，，设2193a a P q +=≠Q =P 与Q 的大小关系是__________.（4）已知各项为正数的等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a使得1=，则14m n+的最小值为__________.（5）数列121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，则212a ab -=__________.（6）一直角三角形的三边长成等比数列，则（ ）A .三边长之比为3:4:5B .三边长之比为C .D .（1） 正项等比数列{}n a 中，且123430,120a a a a +=+=，则56a a +=_________.（2） 设公比为2-的等比数列，若149750a a a ++⋅⋅⋅+=，则3699a a a a +++⋅⋅⋅+=____.（3） 若数列{}n a 是等比数列，且7126a a ⋅=，则891011a a a a ⋅⋅⋅=_________.（4） 等差数列{}n a 中，公差0d ≠，且251,,a a a成等比数列，则1392411a a a a a a ++=++_________.例3、求解下列问题（1）【2014广东】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_________.（2）若数列{}n a 的前项和13n n S a -=+，则a =________时，数列{}n a 为等比数列.（3）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若634S S =，则612SS =________.（1）关于数列有下列四个判断：①若d c b a ,,,成等比数列，则d c c b b a +++,,也成等比数列； ②若数列{}n a 既是等差数列也是等比数列，则{}n a 为常数列；③数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(1R a a S n n ∈-=，则{}n a 为等差或等比数列； ④数列{}n a 为等差数列，且公差不为零，则数列{}n a 中不会有)(n m a a n m ≠=， 其中正确判断的序号是__________.（2）已知{}n a 是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为（ ）①{}2n a 也是等比数列；②{}()0n ca c ≠也是等比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列；④{}ln n a 也是等比数列.（3）由9个互不相等的正数组成的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行中的三个数成等差数列，且131211a a a ++、232221a a a ++、333231a a a ++成等比数列，下列四个判断正确的有（ ） ①第2列322212,,a a a 必成等比数列 ②第1列312111,,a a a 不一定成等比数列 ③12322123a a a a +>+ ④若9个数之和等于9，则221a < A .4个 B .3个 C .2个 D .1个（4）已知{}n a 的前n 项和n S 满足：n n S Aa B =+（A B 、为常数），试探究当实数A B 、满足何条件时n n S Aa B =+是{}n a 为等比数列的充要条件.（1）已知数列{}n a 满足：12a =，()2*11N n n n a a na n +=-+∈，证明：{}n a 为等差数列；（2）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()112n n n S a a n --=-≥，求证：{}n a 为等比数列.例6、数列{}n a 前n 项和n S ，且11a =，113n n a S +=()*N n ∈，求： （1）数列{}n a 的通项公式；（2）计算：2462n a a a a ++++…的值.例7、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且()*1121,N n n n a a S n n ++==∈.证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列并求{}n a 的通项公式.例8、已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且211=a ，n n a nn a 211+=+ （1）证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等比数列； （2）求通项n a 与前n 项的和n S ；（3）设()()*2N n n b n S n =-∈若集合{}*,N n M n b n λ=≥∈恰有4个元素，求实数λ的取值范围.例9、已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意实数21,x x 都有1212()1()()f x x f x f x +=++，且(1)1f =.（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求1a 、2a 的值，并证明{}n a 为等比数列； （2）设对任意正整数n ，有1()n b f n =．若不等式12226log (1)35n n n b b b x +++++>+对任意不小于．．．2．的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．例10、求解下列问题（1）等差数列{}n a 中，公差为d ，前n 项和n S ，前m 项和m S ，则m n n m S S S m n d +=++. 证明过程如下：()121212m n m n n n n n m S a a a a a a a a a +++++=+++=+++++++()()()()1212m n n n n n m n m S S a a a S a nd a nd a nd ++++=++++=+++++++()12m n n n n n m n m S S a a a S S mnd ++++=++++=++类比上述过程，等比数列{}n b 中，公比为q ，前n 项和n T ，前m 项和m T ，则m n T +=__________．（2）在等差数列{}n a 中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将1()2n n n a a S +=整理为11122n n S a a n =+后可知：点111,1S P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2S P a ⎛⎫⎪⎝⎭，333,3S P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，,n n n S P a n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，…()*N n ∈都在直线11122y x a =+上，类似的，若{}n a 是首项为1a ，公比为(1)q q ≠的等比数列，则点111(,)P a S ，222(,)P a S ，…，(,)n n n P a S ()*Nn ∈在直线__________________上.（3）若等差数列{}n a 中，有121(1)2n n n da a a na -++⋅⋅⋅+=+成立，类比等差数列此性质，则在等比数列{}n b 中，有________________________.（4）若数列{}n a 是等差数列，其前n 项的和为n S ，则{},,nn n S b n N b n*=∈也是等差数列，类比以上性质，等比数列{}*,0,N n n c c n >∈，则n d =__________，{}n d 也是等比数列.（5）已知等差数列{}n a 中，有11122012301030a a a a a a ++++++=，则在等比数列{}n b 中，会有类似的结论__________________.（6）对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，10a =，s t 、是互不相等的正整数，则有(1)(1)0t s s a t a ---=”.类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题是__________________.（7）若等差数列{}n a 中，有()m n m n m n a ma na +-=-成立，类比等差数列此性质，则在等比数列{}n b 中，有______________________________.（8）在等差数列{}n a 中，若100a =，则有等式121219n n a a a a a a -+++=+++成立，其中*19,N n n <∈，类比上述性质，相应的在等比数列{}n b 中，若91b =，则有等式__________________________成立.（9）已知数列{}n a 为等差数列，且,()m k a a a b m k ==≠，则m k bk ama k m+-=-；若数列{}n b 为等比数列，且,()m k b a b b m k ==≠，类比等差数列的结果，m k b +=__________________.例11、已知数列}{n a 的通项公式是12-=n n a ，数列}{n b 的通项公式是n b n 3=，令集合},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ，将集合A B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n d ． （1）求数列{}n d 的通项公式； （2）求数列}{n c 的前n 项的和n S ．例12、学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A 、B 两样特色菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），调查资料表明，凡是在本周星期一选A 菜的，下周星期一会有20%改选B ，而选B 菜的，下周星期一则有30%改选A ，若用n A ，n B 分别表示在第n 个星期一选A 、B 菜的人数. （1）试以n A 表示1n A +；（2）若1200A =，求{}n A 的通项公式；（3）问第n 个星期一时，选A 与选B 的人数相等？例13、已知数集{}()()1212,,,12n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（1）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （2）证明：11a =，且1211112nn n a a a a a a a ---+++=+++；（3）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.。