高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.取出后只形成一组，不排次序；
3.m小于或等于n .
哪些是组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
甲
乙
有条件的排列问题
一个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男 孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照 相留念。 7)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
捆绑法
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 8)若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一 起，有多少种不同的排法？
练：某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下 挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂 1面、2面、3面,并且不同的顺序表示不同的 信号，一共可以表示多少种不同的信号？
例2.（1）有5本不同的书，从中选3本送 给3名同学，每人各1本，共有多少种不 同的送法？
（2）有5种不同的书，买3本送给3名同 学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
N＝m1×m2×······×mn种不同的方法．
加法原理与乘法原理之间的联系与区别
联系：回答的都是有关做一件事的不同方法的种数 问题.
区别： (1)加法原理的重点在一个“类”字，乘法原 理的重点在一个“步”字;
(2)应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的 独立性，用其中任何一种方法都可以完成这件事， 要做到不重不漏;
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) (n m 1) m!
n!
组合数公式
m!(n m)!
举例应用
例1 计算：
（1）C74； （2）C170 .
（1）解：C
4 7
A74 A44
7654 4!
7654 24
35
（2）解法1：C170
A170 A77
10 9 8 7 6 5 4 7654321
1 Cnm Cnnm
2 Cnm1 Cnm Cnm1
3 规定：Cn0＝1 Cnn
例题选讲
例2 计算（1）C19080
（2）
C 96 99
C 97 99
（3） C32 C42 C1200
例题选讲
例3、解不等式（1） Cn4 Cn6
（2）
112 Cn3 Cn4 Cn5
组合 应用实例
1.三位数是奇数呢？
㈡ A93+A92+A92=648
320
2.三位数是偶数呢？ 328
3.㈢用0A到1305-A这92=六1个0×数9字×8, 可-9×组8成=多64少8 个
没有重复数字且能被3整除的三位数？
40
例4 某班一天有数学、语文、物理、英语、体育、
自习六节课,上午四节下午两节，按下列要求排课表， 分别有多少种不同的排法？
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉 伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出 多少种不同的号码？
分类加法计数原理：
完成一件事有n类不同的方案， 在 第 1 类 方 案 中 有 m1 种 不 同 的 方 法 ， 在 第 2 类 方 案 中 有 m2 种 不 同 的 方 法 ， …… 在 第 n 类 方 案 中 有 mn 种 不 同 的 方 法 ， 那么完成这件事共有：
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
工作，有多少种不同的选法？
排列
3、a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛，共需
赛多少场？
组合
4、 a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同
的结果？
排列
5、从4个风景点中选出2个安排游览,共有多少种选
择?
组合
6、从4个风景点中选出2个安排游览,并确定2个风
说一说
插空法一般适用于互不相邻 问题的处理。
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
11) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多 少种不同的排法？
A
B
B
A
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 11) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多 少种不同的排法？
景点的游览顺序，共有多少种选择?
排列
若从a、b、c、d四个不同的元素中任取三个元素的
排列数是 A43
若从a、b、c、d四个不同的元素中任取三个元素的
组合数是
C43
C
m的
n
值等于多
少
？
A C 观察一下 和 的关3系？ 3
C43
4
4
求从4个不同元素中取出3个元素的排列数
可以分为以下两步：
1.考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共
说一说 捆绑法一般适用于 相邻 问题的处理。
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 9) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 10) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻， 有多少种不同的排法？
N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．
问题2：用前6个大写英文字母和1~9九个
阿拉伯数字，以 A1, A2 ,L , A9 , B1, B2 ,L 的
方式给教室里的座位编号，总共能编出多 少个不同的号码？
分步乘法计数原理：
完成一件事需要n个步骤， 做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方 法，……，做第n步有mn种方法， 那么完成这件事共有：
2．从中选出5人组成班委后进行分工;班 长,学习委员,生活委员,体育委员,文娱委员 各1人,共有多少种选法？
３．直线上有10个点,以其中两个点为端 点可组成多少条线段?多少条有向线段？
2.排列数
定义：从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素的所有排列的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元
素的排列数，记作 Anm
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
10 9 8 3 21
120；
解法2：C170
A170 A77
10! 7! 3!
10 9 8 3 21
120.
观察：
C170 C130 120
， C97 36, C96 84 C170 C97 C96 120
猜测： Cnm Cnnm
C 猜测： m n 1
Cnm
Cnm1
组合数性质
例１．一个口袋内装有大小相同的不
(1)多少个三位数(各位上的数字允许重复)？
(2)多少个无重复数字的四位数？ (3)多少个无重复数字的四位偶数？
(4)多少个不能被5整除的没有重复数字的四位数？
问题1
从甲,乙,丙3名同学中选出2名 参加某天的活动,其中1名同学 参加上午的活动,1名同学参加 下午的活动,共有多少种不同 的方法？
N=3×2=6
组合
复习与回顾
一般地，从n 个不同的元素中取出m个元 素,按__照__一__定__的__顺__序__排__成__一__列__，叫做从 n 个 不同元素中取出m个元素的一个排列.
排列数: Anm n n 1 n 2 n m 1
n!
n m!
思考：
（1）从a, b, c, d 4位同学中选出 3 位从左
到右排起来照相，有多少种不同的方法？
（2）从 a, b, c, d 4位同学中选出 3 位参加
学生代表大会，有多少种不同的选法？
想一想
以上两个问题有什么联系与区 别？
组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的一个组合(Combination).
例如：从8个不同元素中取出5个元
素的排列数表示为 A85
第1位 第2位
A2 n (n 1) n
n
n-1
第1位 第2位 第3位
第m位
······
n n-1 n-2
n-m+1
Am n (n 1) (n 2) (n m 1) n
这里,n, m N ,且m n.这个公式叫做排列数公式.
定义：n个不同元素全部取出的一个排 列，叫做n个不同元素的一个全排列.
(1)第一节不排体育，自习；(1)A52A44=480或A41A55=480 (2)体育不排在首末；(2)A41A55=480或A66-A55-A55=480 (3)数学不排最后一节，体育不排第一节； (4)数学不排在下午两节,体育不排在一，四节.
(3)A66-A55-A55+A44=504