第2章-稳态热传导

t A x
用热流密度表示：
t q x
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）
其中
q
——热流密度(单位时间内通过单位
面积的热流量) t ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形 式为: t q gradt n x
x dx x
x qx dydz d
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d x d x dx d x d x dx (q x dydz d )dx x qx dxdydzd x
同理
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
其他坐标下的导热微分方程
t 1 t 1 t t ( r ) 2 ( ) ( ) 对于圆柱坐标系 c r r r r z z
• 非导电固体：导热是通过晶格结构的振 动所产生的弹性波来实现的，即原子、 分子在其平衡位臵附近的振动来实现的。
液体的导热机理：存在两种不同的观点
第一种观点类似于气体，只是复杂些，因
液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰 撞的影响比气体大；
第二种观点类似于非导电固体，主要依靠
弹性波（晶格的振动，原子、分子在其平衡 位臵附近的振动产生的）的作用。
2.1 导热基本定律－傅里叶定律
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：导热是气体 分子不规则热运动 时相互碰撞的结果， 温度升高，动能增 大，不同能量水平 的分子相互碰撞， 使热能从高温传到 低温处
• 导电固体：其中有许多自由电子，它们在 晶格之间像气体分子那样运动。自由电子 的运动在导电固体的导热中起主导作用。
t1 0
傅立叶定律的一般形 式的数学表达式
n dt dn t t+dt
t2
δ
x
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的 法线方向。由于热流是从高温处流向低温处， 因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。
t+Δ t
t t-Δ t
2.1.4、导热系数 1、定义
等温线图的物理意义： 若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线 的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大 小。
t+Δt t t-Δt
2.1.3 导热基本定律
在导热现象中，单位时间内通过给定截面所
传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上
的温度变化率，而热量传递的方 t 向与温度升高的方向相反，即 ~ A x 数学表达式：
第2章 稳态热传导
2-1 导热基本定律－傅里叶定律 2-2 导热问题的数学描写 2-3 典型一维稳态导热问题的分析解 2-4 通过肋片的导热 2-5具有内热源的一维导热问题 2-6多维稳态导热的求解
1 、重点内容：
① 傅立叶定律及其应用；
② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。 2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法、 肋片的导热、一维有内热源的导热问题 3 、了解内容：多维导热问题
t f ( x, y, z )
非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温 度分布随时间而变化的温度场称非稳态温 度场，其表达式：
t f ( x, y, z, )
2）按照空间坐标分类
一维温度场
t f ( x, )
保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保
温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的
水平越高。
我国50年代 90年代 GB427-92
0.23W/mk 0.12w/mk
80年代 GB4272-84 0.14w/mk
保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 )
高温时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热 更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
gradt 是空间某点的温度梯度；
n 是通过该点等温线上的
法向单位矢量，指向温 度升高的方向；
n dt dn t t+dt
t1 0
t2
δ
q 是该处的热流密度矢量。
x
t q gradt n x
负号是因为热流密度 与温度梯度的方向不 一致而加上 傅里叶定律可表述为: 系统中任一点的热流 密度与该点的温度梯 度成正比而方向相反
0 (1 bT)
273K时物质的导热系数
导热系数的确定
工程计算采用的各种物质的导热系数的 数值都是用专门实验测定出来的。 测量方法包括稳态测量方法和非稳态测 量方法。 物质的导热系数值可以查阅相关文献。
2 、保温材料（隔热、绝热材料）
把导热系数小的材料称保温材料。
我国规定：t≤350℃时， ≤0.12w/mk
3、微元体在d时间 内焓的增加量
c t dxdydzd
d v＝
t t t [ ( ) ( ) ( )]dxdydzd dxdydzd x x y y z z t c dxdydzd
将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：
不同物质的导热性能不同：
金属 非金属
固体 液体 气体
纯铜 398w / m C
大理石 2.7w / m C
0˚C时： 冰 2.22w / m C
水 0.551w / m C 蒸汽 0.0183 w / m C
同一种物质的导热系数也会 因其状态参数的不同而改变， 因而导热系数是物质温度和 压力的函数。 一般把导热系数仅仅视为温 度的函数，而且在一定温度 范围还可以用一种线性关系 来描述
E
d d
d v
Ⅰ 、导入与导出微元体的净热量
d 时间内、沿 x 轴方向、 经 x 表面导入的热量：d x

d 时间内、沿 x 轴方向、 d x dx 经 x+dx 表面导出的热量：
x dx dx x
泰勒展开
d x dx
d x d x dx
2 2 2
综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的 增量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使 微分元体在单位时间内增加的能量 ( 扩散项 ) ； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导 热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消 失。
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
③导热系数为常数 、稳态
t t t 2 2 0 2 x y z
2 2 2
·
④导热系数为常数 、稳态 、无内热源
t t t 2 2 0 2 x y z
说明：只研究导热现象的宏观规律。
2.1.2、温度场 （Temperature field） 1 、概念
温度场是指在各个时刻物体内各点温度分 布的总称。 一般地讲，物体的温度分布是坐标和时间 的函数：
t f x, y, z,
其中 x, y , z 为空间坐标， 为时间坐标。

2、温度场分类 1）按照时间坐标分类 稳态温度场（定常温度场） （Steady-state conduction） 是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随 时间的改变而变化的温度场称稳态温度场， 其表达式：
类：（ 1 ）均匀、各向同性；（ 2 ）均匀、
各向异性；（ 3 ）不均匀、各向同性；（ 4 ）
不均匀、各向异性。
2.2 导热问题的数学描写
2.2.1 导热微分方程的推导
傅里叶定律：
q gradt
建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐 标和时间变化的内在联系。 理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒定律
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况 下的温度场称一维温度场。 二维温度场 三维温度场
t f ( x, y, ) t f ( x, y, z, )
• 根据温度场表达式，可分析出导热过程 是几维、稳态或非稳态的现象，温度场 是几维的、稳态的或非稳态的。
t f ( x, y ) t f ( x, )
d y d y dy qy y dxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
d z d z dz qz dxdydzd z
[导入与导出净热量]:
qx q y qz d d ( )dxdydzd x y z
ห้องสมุดไป่ตู้
超级保温材料 采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成 热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层） 特点：间隔材料的反射率很高，减少辐 射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达： 10-4w/mk
2.1.5、工程导热材料的一般分类 工程技术中采用的导热材料与结构可以分四
用一个平面与各等温面相交，在这个平面上
得到一个等温线簇
• 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
等温面与等温线的特点：
温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
线），或者就终止与物体的边界上 沿等温面（线）无热量传递
二维，稳态
一维，非稳态
t 稳态温度场 0
非稳态温度场
稳态导热 （ Steady-state conduction ） 非稳态导热 （Transient conduction）
t 0
三维稳态温度场：
一维稳态温度场: