而是以一些自变量与因变量的对应表给出老师讲课的时候

第01讲用表格表示的变量间关系(3类热点题型讲练)1.从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况.（重点）2.对表格所表达的两个变量关系的理解.（难点）知识点01常量与变量一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．知识点02自变量与因变量如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量．区别自变量和因变量有以下三种方法：(1)看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因变量是后发生变化的量；(2)看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变量是一个被动变化的量；(3)看因果关系，自变量是起因，因变量是结果．知识点03用表格表示的变量间关系把自变量x的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示变量之间关系的方法叫做表格法．观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势，题型01常量与变量【例题】（2022下·甘肃白银·七年级统考期末）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（）A．金额B．单价C．数量D．金额和数量【答案】B【分析】根据常量和变量的定义即可求解．【详解】解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量，∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化，故选：B．【点睛】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．【变式训练】A．重量和金额B．单价和金额C．重量和单价D．重量、单价和金额【答案】A【分析】根据常量与变量的定义即可判断．【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价9.98是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，∴变量是：重量和金额．故选：A．【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．题型02自变量与因变量题型03用表格表示的变量间关系【例题】（2023上·甘肃兰州·八年级校考期中）下表是某同学做的“观察水的沸腾”实验时所记录的数据：y与所挂物体质量1．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度()cm的时间x在13分到20分时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱【分析】（1）根据自变量与因变量的定义即可求解；（2）根据表格中数据即可求解；x=时，y的值最大是59.9，即可求解；（3）根据表格中13（4）根据表格中的数据即可求解．【详解】（1）解：上表反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系；（2）解：由表中数据可知：当提出概念所用的时间是7min时，学生的接受能力是56.3；当提出概念所用的时间是17min时，学生的接受能力是58.3；故答案为：56.3，58.3；x=时，y的值最大，是59.9，（3）解：当13所以当提出概念所用时间为13分时，学生的接受能力最强；（4）解：由表中数据可知：当提出概念所用的时间x在2分到13分时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当提出概念所用的时间x在13分到20分时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱．【点睛】本题主要考查了变量及变量之间的关系，理解题意，分析出表格中的数据变化规律，是解题的关键．一、单选题1．（2023上·山西运城·八年级山西省运城中学校校考期中）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上的数据显示牌（如图）金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（）A．金额是自变量B．单价是自变量下列说法错误的是（(5)假设第二天持续下雨（基本与当天降水量一样），则第二天12时超警戒水位__米．【答案】(1)超警戒水位，时间，超警戒水位(2)25.4米(3)25.2米，26米(4)12，20(5) 1.5+【分析】（1）上表反映了超警戒水位与时间之间的关系，其中时间是自变量，超警戒水位是因变量；（2）由表格数据即可得；（3）观察表格，计算出0时水位，24时水位即可得；（4）借助表格，算出在4至8时，警戒水位上升，在8至12时，警戒水位上升，从12时到20时，在12至16时，警戒水位上升，在16至20时，警戒水位上升，在20至24时，警戒水位上升，即可得；（5）观察表格得，第一天12时超警戒水位0.5+米，24时警戒水位 1.0+米，假若第二天持续下雨（基本与第一天降水情况一样），则估计第二天12时超警戒水位 1.5+米．【详解】（1）解：上表反映了超警戒水位随着时间的变化而变化，其中时间是自变量，超警戒水位是因变量；（2）解：估计上午10时超警戒水位0.4米，则估计上午10时的水位是:250.425.4+=(米)，故答案为：25.4米；（3）解：0时水位：250.225.2+=（米）24时水位：25126+=（米），即从0时到24时，水位从25.2米上升到26米，故答案为：25.2米，26米；（4）解：观察表格得，在0至4时，警戒水位上升：()0.250.20.05+-+=（米），在4至8时，警戒水位上升：()0.350.250.1+-+=（米），在8至12时，警戒水位上升：()0.50.350.15+-+=（米），在12至16时，警戒水位上升：0.7(0.5)0.2+-+=（米），在16至20时，警戒水位上升：0.9(0.7)0.2+-+=（米），在20至24时，警戒水位上升： 1.0(0.9)0.1+-+=（米），即从12时到20时，水位上升的最快，故答案为：12，20；（5）解：观察表格得，第一天12时超警戒水位0.5+米，24时警戒水位 1.0+米，假若第二天持续下雨（基本与第一天降水情况一样），则估计第二天12时超警戒水位10.5 1.5++=(米)，∴气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高350.6÷=m /s ．故答案为：0.6．（3）解：根据题意：当0C =︒t 时，声音在空气中传播的速度为331m /s ，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高0.6m /s ．∴声音在空气中的传播速度v ()m/s 与气温t （℃）的关系式可以表示为v =0.6y +331故答案为：v =0.6y +331．（4）解：当t =22℃时，v =220.6t+331=344.2⨯m /s ，344.251721⨯=m ，答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1721m ．【点睛】本题考查了函数的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是解题的关键．。

北师大版七年级数学下册说课稿（含解析）：第三章变量之间的关系1用表示的变量间关系一. 教材分析北师大版七年级数学下册第三章《变量之间的关系》1节“用表示的变量间关系”，是在学生已经掌握了函数概念和一次函数的基础上，进一步引导学生从实际问题中抽象出变量之间的关系，并用的形式表示出来。

这一节的内容对于学生来说，既有熟悉的一次函数，又有新的变量之间的关系，需要他们能够灵活运用已有的知识，去解决新的问题。

二. 学情分析面对七年级的学生，他们对数学已经有了一定的认识，也掌握了一些基本的数学知识。

但是对于变量之间的关系，他们可能还比较陌生，需要通过具体的问题，让他们感受到变量之间的关系，并能够用的形式表示出来。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生能够从实际问题中抽象出变量之间的关系，会用的形式表示出来。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生感受到数学与生活的紧密联系，增强他们学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：从实际问题中抽象出变量之间的关系，并用的形式表示出来。

2.教学难点：对变量之间关系的理解和用表示出来的方法。

五.说教学方法与手段在本节课中，我将采用讲授法、引导发现法、讨论法等教学方法，并结合多媒体课件、实际问题等教学手段，引导学生从实际问题中抽象出变量之间的关系，并用的形式表示出来。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出变量之间的关系，并让学生尝试用的形式表示出来。

2.讲解新课：通过讲解，使学生理解变量之间的关系，并能够用的形式表示出来。

3.巩固新课：通过解决实际问题，让学生巩固所学的内容。

4.课堂小结：让学生总结本节课所学的内容，并感受数学与生活的联系。

七. 说板书设计板书设计如下：变量之间的关系1.实际问题2.抽象出变量之间的关系3.用表示出来八. 说教学评价教学评价将从学生的知识掌握、能力培养、情感态度三个方面进行。

4．1用表格表示变量关系一、知识与技能目标：学习目标：通过分析小车在斜坡上下滑时高度与时间数据之间的联系，使学生体会小车下滑时间随着高度变化而变化，从而了解变量、自变量和因变量的意义，了解可以用列表示两个变量之间的关系，培养学生分析问题的能力与归纳思维的能力。

二、情感与态度目标：培养学生严谨的学习态度。

三、过程与方法：经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。

学习重点：能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。

学习难点：对表格所表达的两个变量关系的理解学习方法：多媒体辅助教学学习过程我们生活在变化的世界中,很多东西都在发生变化,请学生列举一些日常生活中经常发生变化的事物。

如:随年龄的增长，身高、体重都发生了变化；随着时间的变化汽车行驶的路程也在变化；烧一壶水10分钟水开了……破除学生对变量之间关系的畏惧心理出示投影：借助多媒体展示从17岁以后不同年龄段男孩女孩的身高情况：男、女孩不同年龄身高的比情况如何？大致的描述青春期男、女生平均身高的变化情况。

教师指明：这个图形还可以告诉我们很多信息，如什么时候女孩平均身高变化不大，什么时候男孩比女孩身高增长的势头大。

现在我们只研究一个量（比如男孩的平均身高）与另一个量（如男孩年龄）之间的关系，学习这些知识，可以更好地了解自己，关心自己。

探索新知识10 89（下滑时间是多少？教师明晰：只要是表格中所提供的支撑高度，就可以通过表格容易查找到小车下滑时间的准确值。

（2）如果用H表示支撑物高度，T表示小车下滑时间，随着H逐渐变大，T是如何变化的？（3）H增加10厘米时，T的变化情况相同吗？（4）估计当H=90时，T的值是多少。

你是怎样估计的？在“小车下滑的时间”中：支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量(variable)。

其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。

，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位轴（纵轴）上的点表示知识点梳理及典型例题第三章变量之间的关系置；知识回顾——复习但只是反映两形象地描述两个变量之间的关系，【温馨提示】图象法能直观、；，，路程、速度、时间之间的关系：.个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的常量与变量知识点一）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变【方法技巧】（1数值始终不变的量. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自.量取某个值时，因变量取什么值（2；为图象自左向右是上升下左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，在一定范围内在某一变化过程中，如果有两个变量x和y，当其中一个变量x图象自左向右是与横轴平行的，降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变取一个数值时，另一个变量y.则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变；，后一个变量y叫做自变量的量x叫做变量之间的关系的表示方法比较知识点五一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对注意：.t为变量时是，时间t和里程s60某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度千米/其中表格；和、可以用表示变量之间的关系，s是。

是，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规法一目了然，使用方便，用表格表示变量之间的关系知识点二能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互律；关系式法简单明了，因变量；表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

图象法的特点是形象、直观，可以形象地反间的关系不一定能用关系式表示出来；其不足是由图象是研究变量性质的好工具，映出变量之间的变化趋势和某些性质，能准确地指出几组自变量和因注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，法往往难以得到准确的对应值；变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数.找出变化规律是解题的关键据中获取两个变量关系的信息，能从表格中获取两个变量之间关系这个关系式就是表示两个变量=x例如，正方形的边长为x，面积为y，则y（变量）一般地，含有两个未知数；，y是x之间的对应关系，其中是30510152025/min 时水间注的等式就是表示这两个变量的关系式；将）写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，【温馨提示】（1 200 250 300 350 400 450 /L500注水量）（.2表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式实际问题中，有）（自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.3之间的关系，反映的是两个变量）（1在这个注水过程中，与的变量关系不一定能用关系式表示出来. 是因变量；是自变量，变量其中变量记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量【方法技巧】列关系式的关键是2（）这个水箱原有水；L.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.间的量的关系）（3时水箱注满水；min知识点四用图象表示两个变量间的关系）由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水4（图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之L.间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示，用竖直方向的数 1上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变1）（2．一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下量？关系：的变化趋势是什的变化，v如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t（2）15 -5 0 5 10 ℃）温度（么？3）当t每增加1 s时，v的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v的增加量最大？（10.01510.005109.99510.01长度（cm）试估计还需几秒这，若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120 km/h（4）是）上表反映了温度与长度两个变量之间的关系，其中?辆小汽车的速度就达到这个上限自变量，（1 .因变量cm．2（）当温度是10 ℃时，合金棒的长度是专题三用关系式表示两个变量之间的关系，根据表中的数据推测，此时3 ）如果合金棒的长度大于10.05 cm小于10.15 cm（5．某水果批发市场香蕉的价格如下表：的范围内．℃℃～的温度应在购买香蕉数>4020< x≤20 x≤40 x cm．cm和（4）当温度为-20 ℃和100 ℃，合金棒的长度分别为（千克）x元元 6 8 每千克价格元7根据表格确定自变量、因变量及变化规律专题二的关系式xy关于千克（若小强购买香蕉xx大于40千克）付了y元，则）班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据：．七年级（13. 为200 150 80 30 50 100 /m x坡爬长度1个座位，后面每一排都比前一排多（6.1）某礼堂共有25排座位，第一排有220/min293.76.514爬坡时的取个座位，写出每排的座位与这排的排的关系式，并写出自变范围）当爬100 时，所花的时间是多少）在其他条件不变的情况下，请探究下列问题）当爬到每增10 时，所花的时间相同吗个座位时则每排的座位与这排的排当后面每一排都比前一排）从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势，是正整数）1≤2的关系式与个座位时，则每排的座位当后面每一排都比前一排个座位4 ．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动410秒之间的速度经测量如下表是正整数）1≤2，排的排的关系式分别，个座p排座位，第一排有ba个座位，后面每一排都比前一排多某礼堂共有③10 9 5 6 4 3 218 0 7 时间s（）的关系式．与这排的排数位，试写出每排的座位数mn1.34.92.8m/s28.924.214.111.07.618.40.3 ）速度（2（3）这一天从最低温度到最高温度经过了用关系式求值专题四小时；（4）温度上升的时间范围为7．一棵树苗，栽种时高度约为，温度下降的时间范围为80 厘米，；栽种以后的年数n/年高度h/厘米（5）你预测次日凌晨1为研究它的生长情况，测得数据如下表：时的温度是．（1）此变化过程中是自变量，105 1（即单位时间如图，是因变量；水以恒速10．130 2 注入下面之间内注入水的体积相同）h（2）树苗高度与栽种的年数n. ；四种底面积相同的容器中的关系式为155 3 ）请分别找出与各容器对应的1后，3（）栽种后树苗能长到280（的变化关系水的高度厘米．h和时间t180 4的图象，用直线段连接起来；……）当容器中的水恰好达到一半（2 T轴上标出此时t值对应点的位置．t高度时，请在关系图的某市为了鼓励市民节约用水，．8 每吨价（元）每月每户用水量规定自来水的收费标准如下表：折线型图象专题六11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．1（）现已知小伟家四月份用水0.50 10吨部分不超过两点分别表示B）A 18吨，则应缴纳水费多少元？、1（0.75 y写出每月每户的水费2（）（元）吨部分20 汽车是什么状态？吨而不超过超过10请你分段描写汽车在）（吨）之间的函数关与用水量x（1.50超2吨部分分钟的行分钟到系式．019元，则他家五月份用水多少吨1）若已知小伟家五月份的水费3 驶状况分钟后继）司机休息53（2的速度匀速行驶，60 km/专题曲线型图象分钟后开始以5分钟后减速，用了1续上路，加分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．．温度的变化是人们经常谈论的话9 题．请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如图所示：度，时的温度是10）上午（1度；时的温度是14是度，）2（这一天最高温度是时达到的；最低温度是在度，是在时达到的；3变量之间的关系复习题第三章xy随的增大而增大，当x在什么范围变化时，(5)当x在什么范围变化时，y随x的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发．1 生变化，实验数据如下表： x取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？(6)请你估计5 3 0 1 2 4 所挂物体的质量/千克千米的书店买书，下图反应了他们两人离开53．小红与小兰从学校出发到距学校14.513弹簧的长度/cm13.51212.514学校的路程与时间的关系。

《用表格表示的变量间关系》教学设计一、教学目标1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感.2.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量.3.能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，尝试对变化趋势进行初步的预测.4.经历观察、实验、猜想、验证等数学活动，发展合理推理能力，并能有条理、清晰地阐述自己的观点.二、教学重难点重点：在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量.难点：能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，尝试对变化趋势进行初步的预测.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【情境导入】教师活动：教师出示图片，引导学生观察并思考.观察下列图片，你发现了什么？预设答案：图片分别表示春天、夏天、秋天、冬天的情景，随着季节的变化，万物都在发生着变化！教师出示第2幅图：随着时间的变化，小苗也在不断变化着.谈话导入：万物都在悄悄地发生着变化，从数学的角度研究它们之间的关系，将有助于我们更好地认识世界，预测未来，今天我们就开始从数学的角度研究变化的量，讨论它们之间的关系.【想一想】王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度沿斜放的木板从顶部下滑到底部所用的时间，得到如下数据：根据上表回答下列问题：(1)支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是秒.(2)如果用h(厘米)表示支撑物高度，t (秒)表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？(3)h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？(4)估计当h＝110厘米时，t的值是多少？你是怎样估计的？(5)随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？教师活动：教师出示表格，提出问题，引导学生思考.预设答案：(1)1.59；(2)随着h逐渐变大，t逐渐变小；(3)t的变化越来越小；(4) 1.35秒到1.29秒中的任一值；(5)下滑的时间t会发生变化，小车下滑的路程没有发生变化.【议一议】我国从1949年到2009年的人口统计数据如下(精确到0.01亿)：(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？(2)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口趋势是怎样变化的？教师活动：教师出示问题，让学生分小组进行讨论交流，然后反馈.预设答案：(1)随着x的增加，y也增加(2)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口增加1.5亿左右. 但最后10年的增加量大约只有0.76亿．.【归纳】支撑物高度h和小车下滑时间t都在变化，它们都是变量.其中t随h的变化而变化，h是自变量，t是因变量.在这一变化过程中，小车下滑的距离(木板长度)一直没有变化. 像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量.我国人口总数y随时间x的变化而变化，x是自变量，y是因变量.借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.【典型例题】例1 研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由．(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响．答案：(1)反映了土豆的产量与氮肥的施用量两个变量之间的关系，氮肥的施用量是自变量，土豆的产量是因变量.(2)土豆的产量是32.29吨/公顷，如果不施氮肥土豆的产量是15.18吨/公顷.(3)当氮肥的施用量是336千克/公顷时最为适宜，此时土豆产量最高.(4)当氮肥的施用量不大于336千克/公顷时，随着氮肥施用量的增加，土豆的产量增加，当氮肥的施用量大于336千克/公顷时，随着氮肥施用量的增加，土豆的产量反而减小.例2 据世界人口组织公布，地球上的人口1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，1999年为60亿，而到2011年地球上的人口达到了70亿，用表格表示上面的数据，并说一说世界人口是怎样随时间推移而变化的.答案：世界人口增加10亿所需要的时间越来越短，第一个230年中人口只增加了5亿，以后每增加10亿所需要的时间分别是100年，30年，14年，13年，12年，12年.1.生活中有哪些例子反映了变量之间的关系？与同伴进行交流.答案：气温随时间的变化；脉搏随运动强度的变化；人的身高和体重随时间的变化.2. 从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是( )答案：C3.婴儿在6个月、l周岁、2周岁时体重大约分别是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍.(1)上述的哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？(2)某婴儿在出生时的体重是3.5kg，请把他在发育过程中的体重情况填入下表：(3)根据表中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随年龄增长而变化的.答案：(1)年龄和体重都在发生变化；年龄是自变量，体重是因变量.(2)(3)随着年龄的增长，儿童的体重在增加.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。

第一讲用表格表示的变量间关系【学习目标】1、理解函数中变量的概念2、能借助表格表示两个变量之间的关系【知识总结】一、变量的概念在一个变化过程中,我们把数值发生变化的量称为__变量__,数值始终不变的量称为常量．在一个变化过程中,其中一个变量在取一个数值时,另一个变量也有唯一一个数值与其对应,那么,通常前一个变量叫做自变量,后一个变量叫做因变量．[注意] 自变量是在一定范围内主动发生变化的变量；因变量是随着自变量的变化而发生变化的变量．二、借助表格表示两个变量之间的关系把自变量的一系列值和因变量的对应值列成一个表来表示变量之间的关系,像这种表示变量之间关系的方法叫做表格法．用表格表示两个变量,一般第一栏表示自变量,第二栏表示因变量,从表格中可以发现因变量随自变量的变化存在一定的规律,或增加或减少或呈现规律性的起伏变化,从而利用变化趋势对结果作出预测．【典型例题】【类型】一、变量、自变量、因变量的概念例1要通过驾照考试,学开车的人就必须熟悉交通规则,也要知道当路况不良时,使车子停止前进所需的大约距离．(1)上表反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)说一说这两个变量之间的关系．[解析] 根据自变量、因变量的定义,停止距离是随速度的变化而变化的,从而判断速度为自变量,停止距离为因变量．解：(1)上表反映的是速度与停止距离之间的关系；速度是自变量,停止距离是因变量．(2)随着速度的增大,停止距离逐渐增大．[归纳总结] 自变量和因变量的联系和区别见下表：【类型】二、用表格表示变量之间的关系例2某同学用弹簧做试验,在弹簧上挂不同质量的物体时弹簧的长度就会发生变化,但所挂物体的质量不能超过1000克,试验数据如下：(1)此题中哪个是自变量？哪个是因变量？它们之间有什么关系？(2)你能否预测所挂重物质量为800克时,弹簧总长度是多少吗？弹簧总长度为15厘米时,所挂重物的质量是多少？(3)不挂重物,弹簧的长度是多少？在弹性限度内弹簧的最大长度是多少？[解析] 由题意及表格可知,弹簧长度随所挂物体的质量的增加而伸长,而由表中数据看到所挂的物体每增加100克,弹簧就伸长1厘米,因此问题迎刃而解．解：(1)自变量是物体质量,因变量是弹簧长度,其中,弹簧长度随物体质量的增加而伸长．(2)由表中数据可知,重物每增加100克,弹簧就伸长1厘米,故挂800克的重物时,弹簧长为18厘米；当弹簧总长度为15厘米时,所挂重物的质量是500克．(3)由(2)知,不挂重物,弹簧的长度是10厘米；在弹性限度内,弹簧的最大长度是20厘米．[归纳总结] 用表格法表示两个变量之间的关系时,能准确地指出几组自变量与因变量的值,但不能全面地反映两个变量之间的关系,只能反映其中的一部分,从这部分数据中观察变量的变化趋势并估计未在表格中出现的数据的大小,因此需要对表格中的数据进行分析．【类型】三、价格变化规律例1 某商店出售商品时,在进价的基础上又加了一定的利润,其数量x与售价y的关系如下表所示：请根据表中所提供的信息,写出售价y与数量x之间的关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.析解:从表格可发现,当x =1时,y =8+0.4;当x =2时,y =16+0.8=2(8+0.4);当x =3时,y =24+1.2=3(8+0.4),…,所以y 与x 之间的关系式为y =(8+0.4)x =8.4x . 当x =2.5时,y =8.4×2.5=21(元). 即2.5千克的售价是21元.【类型】四、树苗生长规律例2 一种树苗的高度用h 表示,测得的有关数据如下表（树苗原高80cm ）：写出年数x 与树高h 的关系式,并计算生长5年的树苗的高度.析解：观察表格可知,树苗高度一栏中由两部分组成,“+”号前是树的原来高度不变,“+”后面的部分与a 的关系是年数的5倍,所以树的高度h 与年数x 的关系式为h =80+5x 当x =5时,则h =80+5×5=80+25=105（cm ）. 即5年后的高度是105cm .【类型】五、音速传播规律例3 声音在空气中传播的速度v (米/秒)(简称音速)和气温t (℃)有关,音速随着气温的变化如下表:试写出音速v 与气温t 之间的关系式,根据关系式,估计25时的音速是多少?析解:从表格可以看出,当t =0时,音速v =331,当t =5时,v =334=331+3;当t =10时,v =337=331+6=331+2×3;当t =15时,v =340=331+9=331+3×3,…, 所以v 与t 的关系为v =331+t 53. 当t =25时,v =331+53×25=331+15=346(米/秒). 即当温度是25℃时,音速是346米/秒.【类型】六、温度变化规律例4 下表中记录了一次试验中的时间和温度的数据.（1）写出温度T与时间t的关系式；（2）什么时间的温度是34℃.析解：（1）从表中的数据可知温度随时间的增加而上升,且每分钟上升3,所以可得关系式为T=10+3t. （2）当T=34℃时,有34=10+3t,解得t=8,即8分钟的温度是34℃.。

第三章变量之间的关系一、课标与教材分析课标要求：探索现实生活中简单实例的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。

结合实例，了解变量的概念和三种表示法——表格法、解析式法和图象法（本节为第一种即：表格法），能举出变量之间关系的实例。

在孩子们目前的知识基础上，本节的教学及学习任务是鼓励孩子用表格整理数据并充分地从表格中获取信息，运用自己的语言进行描述，与同伴进行交流，提高孩子合作交流的意识。

孩子通过对表格中数据的分析，进一步体会变量之间的关系，明确自变量与因变量的概念，并能通过资料分析进行预测。

本节课是本章的起始课，与后面三个课时合起来分别呈现的是表示变量之间关系的三种方式——表格法、解析式法和图象法。

本章作为研究变量和函数的起始章节，重在让孩子感受和体会生活中的“变量”。

同时，在第一课时还要教给孩子用表格呈现实验中变量的数据的方法。

依据变量之间关系的数学表示（表格、解析式和图象）进行预测或推测已知中没有给出的量，也是研究变量之间关系的重要目标之一。

二、孩子们的学情分析孩子们已经知道的: 本节课是孩子们在北师大版七年级上册教材中学习了探索规律，从统计图中获取信息的基础上，通过表格形式来理解变量、自变量、因变量这些概念。

我们生活在变化的世界中，变量与变量的关系，在生活生产中无处不在，通过对实际问题的理解，在表格信息中发现两个变化的量，通过了解哪一个是主动变化的，哪一个是随着变化的，来识别自变量和因变量，这对今后学习函数知识是非常重要的。

孩子们想知道的:通过表格形式来理解变量、自变量、因变量这些概念。

变量与变量的关系，在生活生产中无处不在，通过对实际问题的理解，在表格信息中发现两个变化的量，通过了解哪一个是主动变化的，哪一个是随着变化的，来识别自变量和因变量。

孩子们能自己解决的：在以前的学习中，孩子们已经经历了分组学习、合作交流等形式,可以解决一些实际问题，具备了合作学习的能力。

三、教学任务分析在孩子们现有的知识基础上，本节的教学及学习任务是鼓励他们用表格整理数据并充分地从表格中获取信息，运用自己的语言进行描述，与同伴进行交流，提高孩子合作交流的意识。

最速下降算法syms x1 x2;X=[x1,x2];f=X(1)^2+X(2)^2-4*X(1)-6*X(2)+20;fd1=[diff(f,x1) diff(f,x2)];x=[2 3];g=0;e=1E-5;a=1;p=subs(fd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]);tep=0;while g>etep=tep+1;dk=-p;t=((2*x(1)-4)*dk(1)+(2*x(2)-6)*dk(2))/(dk(1)*dk(2)-2*dk(1)^2-2*dk(2)^2);xu=x+t*dk;x=xu;g=0;for i=1:length(fan)g=g+fan(i)^2;endg=sqrt(g);endfv=subs(f,[x1 x2],[x(1) x(2)]);fprintf('\n最优点时的自变量：函数的最值：\n[x(1),x(2)]=[ %d %d ] fv=%d\n',x(1),x(2),fv);2.无约束优化问题最速下降法的c程序,以如下问题为例:min f(x)=2*1^2+4*2^2初值,x=(1,1).程序如下:#include<stdio.h>#include<math.h>float goldena(float x[2],float p[2]){float a;a=-1*(x[0]*p[0]+4*x[1]*p[1])/(p[0]*p[0]+4*p[1]*p[1]);return a;}main(){float a=0,x[2],p[2],g[2]={0,0},e=0.001,t;int i=0;x[0]=1.0;x[1]=1.0;p[0]=2*x[0];p[1]=8*x[1];g[0]=-p[0];g[1]=-p[1];printf("\n\n");while(sqrt(g[0]*g[0]+g[1]*g[1])>e&&i<=100){a=goldena(x,g);x[0]=x[0]+a*g[0];x[1]=x[1]+a*g[1];p[0]=2*x[0];p[1]=8*x[1];g[0]=-p[0];g[1]=-p[1];printf("di %d cit=%f x1=%f\tx2=%f\ta=%f\n",++i,sqrt(g[0]*g[0]+g[1]*g[1]),x[0],x[1],a);}printf("\nthe x[1]=%f,x[2]=%f y=%f",x[0],x[1],x[0]*x[0]+4*x[1]*x[1]);}最小二乘法:在现实中经常遇到这样的问题，一个函数并不是以某个数学表达式的形式给出，而是以一些自变量与因变量的对应表给出，老师讲课的时候举的个例子是犯罪人的身高和留下的脚印长，可以测出一些人的数据然后得到一张表，它反应的是一个函数，回归的意思就是将它还原成数学表达式，这个式子也称为经验表达式，之所以叫经验就是说它不完全是实际中的那样准确，是有一定偏差的，只是偏差很小罢了。

（续表）典案二导学设计典案二导学设计第三章变量之间的关系§3．1 用表格表示变量间的关系学习目标：通过分析小车在斜坡上下滑时高度与时间数据之间的联系，使学生体会小车下滑时间随着高度变化而变化，从而了解变量、自变量和因变量的意义，了解可以用列表示两个变量之间的关系，培养学生分析问题的能力与归纳思维的能力。

学习重点：能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。

学习难点：对表格所表达的两个变量关系的理解。

一、预习（一）、预习书P96~P97（二）、思考：什么是变量？什么是自变量？什么是因变量？（三）、预习作业：1、课堂上，学生对概念的接受能力与老师提出概念的时间（单位：分）之间有如下关系：（1）表中反映了哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表中的数据，你认为老师在第____分钟提出观念比较适宜？说出你的理由．二、学习过程：（一）要点引导1、在一个变化过程中数值保持不变的量叫做______可以取不同数值的量叫做______，如果一个量随着另外一个量的变化而变化，那么把这个量叫做______，另一个量叫做______．2、本节是通过______形式来表示两个变量之间的关系的．（二）例题例1王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间．他们得到如下数据：（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？（4）估计当h=110时，t的值是多少，你是怎样估计的？变式：一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

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第三章变量之间的关系知识点梳理及典型例题轴〔纵轴〕上的点表示，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；知识回忆——复习【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两路程、速度、时间之间的关系：，，；个变量之间的关系的一局部，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.知识点一常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为.数值始终不变的量为；在某一变化过程中，如果有两个变量x和y，当其中一个变量x在一定范围内取一个数值时，另一个变量y也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量x叫做，后一个变量y叫做自变量的；注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度60千米/时是，时间t和里程s为变量.t是，s是。

知识点二用表格表示变量之间的关系表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一局部，从数据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.【方法技巧】〔1〕借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值.〔2〕借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，那么说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，那么说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，那么说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.知识点五变量之间的关系的表示方法比拟表示变量之间的关系，可以用、和；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比拟复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其缺乏是由图象法往往难以得到准确的对应值；知识点三用关系式表示两个变量之间的关系例如，正方形的边长为x，面积为 y，那么y=x2这个关系式就是表示两个变量之间的对应关系，其中x是，y是；一般地，含有两个未知数〔变量〕的等式就是表示这两个变量的关系式；【温馨提示】〔1〕写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式〔.2〕自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.〔3〕实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来.【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.知识点四用图象表示两个变量间的关系图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴〔横轴〕上的点表示，用竖直方向的数专题一能从表格中获取两个变量之间关系的信息1．有一个水箱，它的容积是500L，现要将水箱注满，下面是注水的情况表注水时间/min0510********注水量/L200250300350400450500〔1〕在这个注水过程中，反映的是两个变量与之间的关系，其中变量是自变量，变量是因变量；〔2〕这个水箱原有水L；〔3〕min时水箱注满水；〔4〕由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水L.12．一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：温度〔℃〕-5051015长度〔cm〕10〔1〕上表反映了温度与长度两个变量之间的关系，其中自变量，是因变量.〔2〕当温度是10℃时，合金棒的长度是cm．〔3〕如果合金棒的长度大于cm小于cm，根据表中的数据推测，此时的温度应在℃～℃的范围内．〔4〕当温度为-20℃和100℃，合金棒的长度分别为cm和cm．专题二根据表格确定自变量、因变量及变化规律3．七年级〔1〕班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据：爬坡长度x/m305080100150200爬坡时间y/min2914201〕当爬到100m时，所花的时间是多少？2〕当爬到每增加10m时，所花的时间相同吗？3〕从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势？4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒之间的速度经测量如下表：时间〔s〕012345678910速度〔m/s〕01〕上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？〔2〕如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？〔3〕当t每增加1s时，v的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v的增加量最大？〔4〕假设在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120km/h，试估计还需几秒这辆小汽车的速度就到达这个上限?专题三用关系式表示两个变量之间的关系5．某水果批发市场香蕉的价格如下表：购置香蕉数x≤2020<x≤40x>40x〔千克〕每千克价格8元7元6元假设小强购置香蕉x千克〔x大于40千克〕付了y元，那么y关于x的关系式为.6.〔1〕某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式，并写出自变量n的取值范围．〔2〕在其他条件不变的情况下，请探究以下问题：①当后面每一排都比前一排多2个座位时，那么每排的座位数m与这排的排数n的关系式是〔1≤n≤25，且n是正整数〕；②当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时，那么每排的座位数m与这排的排数n的关系式分别是，〔1≤n≤25，且n是正整数〕；③某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式．218 专题四 用关系式求值7．一棵树苗，栽种时高度约为80厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：〔1〕此变化过程中是自变量，是因变量； 〔2〕树苗高度 h 与栽种的年数 n 之间的关系式为 ；〔3〕栽种后 后，树苗能长到 280厘米．8．某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表： 〔1〕现小伟家四月份用水吨，那么应缴纳水费多少元？栽种以后的年数 n/年 高度h/厘米1 1052 1303 1554180每月每户用水量 每吨价〔元〕不超过10吨局部〔3〕这一天从最低温度到最高温度经过了 小时；〔4〕温度上升的时间范围为 ，温度下降的时间范围为 ； 〔5〕你预测次日凌晨 1时的温度是 ．10．如图，水以恒速〔即单位时间 内注入水的体积相同〕 注入下面 四种底面积相同的容器中 .1〕请分别找出与各容器对应的水的高度h 和时间t 的变化关系的图象，用直线段连接起来；2〕当容器中的水恰好到达一半高度时，请在关系图的 t 轴上标出此时 t 值对应点 T 的位置．专题六 折线型图象11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．〔1〕A 、B 两点分别表示〔2〕写出每月每户的水费〔y 元〕 超过10吨而不超过20吨局部与用水量x 〔吨〕之间的函数关超过20吨局部系式．〔3〕假设小伟家五月份的水费为 17元，那么他家五月份用水多少吨？专题五 曲线型图象9．温度的变化是人们经常谈论的话 题．请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如下图：〔1〕上午10时的温度是 度， 14时的温度是度； 〔2〕这一天最高温度是 度，是在 时到达的；最低温度是度，是在时到达的；汽车是什么状态？〔2〕请你分段描写汽车在第0分钟到第 19分钟的行 驶状况．〔3〕司机休息 5分钟后继续上路，加速 1分钟后开始以 60km/h 的速度匀速行驶， 5分钟后减速，用了 2分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．3第三章变量之间的关系复习题1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：所挂物体的质量/千克012345弹簧的长度/cm121314上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？(5)当x在什么范围变化时，y随x的增大而增大，当x在什么范围变化时，y 随x的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？请你估计x取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？3．小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书，以下图反响了他们两人离开学校的路程与时间的关系。