中考数学旋转模型及例题#精选.

专题01 旋转中的三种全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。

模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。

其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。

1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。

2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。

3）双等腰三角形型条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE ，AD 交于点F 。

结论：①△ACD ≌△BCE ；②BE =AD ；③∠ACM =∠BFM ；④CF 平分∠AFD 。

4）双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。

结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE 。

例1．（2022·黑龙江·中考真题）ABC V 和ADE V 都是等边三角形．(1)将ADE V 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE V 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE V 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析 (3)图③结论：PA PB PC+=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，∴PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图②结论：PB PA PC=+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC CAD DAE CAD Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AC =AB ，CP =BF ， ∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，∴CAP CAF BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC BAE DAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，∴BAF BAP BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．例2．（2023·湖南·长沙市八年级阶段练习）如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点D ，E 分别为边AB ，BC 上的中点，且BD ＝BE ．(1)如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转任意角度α，连接AD ，EC ，则线段EC 与AD 的关系是 ；(2)如图3，DE ∥BC ，连接AE ，判断△EAC 的形状，并求出EC 的长；(3)继续旋转△BDE ，当∠AEC ＝90°时，请直接写出EC 的长．例3．（2023·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B 重合时，如图2，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD 2+DB 2=2DF 2证明：∵DF =EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF = 连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =，CF AB ^，即90CFB Ð=° ∴45FCB FBC Ð=Ð=°，90CFD DFB Ð+Ð=°又90DFB EFB Ð+Ð=° ∴CFD EFB Ð=Ð在CFD D 和BFE D 中CF BF CFD BFE DF EF =ìïÐ=Ðíï=î∴CFD D @BFED ∴CD BE =，45EBF FCB Ð=Ð=° ∴454590DBF EBF Ð+Ð=°+°=° ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2 证明：连接CF 、BE∵CF =BF ，DF =EF 又∵∠DFC +∠CFE =∠EFB +∠CFB=90°∴∠DFC =∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD =BE ，∠DCF =∠EBF =135°∵∠EBD =∠EBF －∠FBD =135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE 2+DB 2=DE 2∵ DE 2=2DF 2 ∴ CD 2+DB 2=2DF 2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例4．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =；(2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE V 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1 图2【答案】(1)见解析 (2)90DCE Ð=°；2AE AD DE BE CM=+=+【分析】（1）先判断出∠BAD =∠CAE ，进而利用SAS 判断出△BAD ≌△CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD ≌△CAE ，得出AD =BE ，∠ADC =∠BEC ，最后用角的差，即可得出结论．【解析】(1)证明：∵ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE Ð=Ð，∴BAC CAD DAE CAD Ð-Ð=Ð-Ð，∴BAD CAE Ð=Ð．在BAD V 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BAD CAE SAS ≌△△，∴BD CE =．(2)解：90AEB =°∠，2AE BE CM =+，理由如下：由（1）的方法得，≌ACD BCE V V ，∴AD BE =，ADC BEC ÐÐ=，∵CDE △是等腰直角三角形，∴45CDE CED Ð=Ð=°，∴180135ADC CDE Ð=°-Ð=°，∴135BEC ADC Ð=Ð=°，∴1354590AEB BEC CED Ð=Ð-Ð=°-°=°．∵CD CE =，CM DE ^，∴DM ME =．∵90DCE Ð=°，∴DM ME CM ==，∴2DE CM =．∴2AE AD DE BE CM =+=+．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD ≌△BCE 是解本题的关键．3）15°模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④D AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。

专题旋转重难点模型汇编【题型1手拉手模型】【题型2“半角”模型】【题型3构造旋转模型解题】【题型4奔驰模型】【题型5费马点模型】【题型1手拉手模型】1如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=2-2，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α0°<α<360°，分别连接CE、BD．(1)如图2，当0°<α<90°时，求证：CE=BD；(2)如图3，当α=90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；(3)连接CD，在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)△BCD的面积的最大值为3-2，旋转角α=135°【详解】(1)证明：由题意得，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°，∴∠CAE=∠BAD，在△ACE和△ABD中，AC =AB∠CAE =∠BAD AE =AD，∴△ACE ≌△ABD SAS ，∴CE =BD ；(2)证明：根据题意：AB =AC ，AD =AE ，∠CAB =∠EAD =90°，在△ACE 和△ABD 中，AC =AB∠CAE =∠BAD AE =AD∴△ACE ≌△ABD SAS ，∴∠ACE =∠ABD ，∵∠ACE +∠AEC =90°，且∠AEC =∠FEB ，∴∠ABD +∠FEB =90°，∴∠EFB =90°，∴CF ⊥BD ，∵AB =AC =2，AD =AE =2-2，∠CAB =∠EAD =90°，∴BC =AB 2+AC 2=2，CD =AC +AD =2，∴BC =CD ， ∵CF ⊥BD ，∴CF 是线段BD 的垂直平分线；(3)解： 在△BCD 中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时，△BCD 的面积有最大值，∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，△BCD 的面积取得最大值，如图，∵AB =AC =2，AD =AE =2-2，∠CAB =∠EAD =90°，DG ⊥BC ，∴AG =12BC =1，∠GAB =45°，∴DG =AG +AD =3-2，∠DAB =180°-45°=135°，∴△BCD 的面积的最大值为：12BC ⋅DG =12×2×3-2 =3-2，此时旋转角α=135°．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．2如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，D ，E分别为AC ,BC 的中点，将△CDE 绕点C 逆时针方向旋转得到△CD E (如图2)，使直线D E 恰好过点B ，连接AD ．(1)判断AD 与BD 的位置关系，并说明理由；(2)求BE 的长；(3)若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，当直线D E 过Rt△ABC的一个顶点时，请直接写出BE 长的其它所有值．【答案】(1)AD ⊥BD ，见详解(2)14-22(3)2+142或14-2 2【详解】(1)解：AD 与BD 的位置关系为AD ⊥BD ．∵AC=BC，D，E分别为AC,BC的中点，∴CD=CE，即CD =CE ，∵∠C=90°，即∠BCA=∠D CE =90°，∴∠ACD =∠BCE ,∴△CD A≌△CE B，∴∠CE B=∠CD A，∵∠C=90°，CD =CE ，AC=BC，∴∠CD E =∠CE D =∠CAB=∠CBA=45°，∴∠CE B=∠CD A=135°，∴∠AD B=135°-45°=90°，即：AD ⊥BD ．(2)解：Rt△ACB中，AC=BC=2，∴BA=AC2+BC2=22，同理可求D E =2，∵△CD A≌△CE B，∴AD =BE ，设AD =BE =x，在Rt△AD B中，由勾股定理得：x2+2+x2=222，解得：x=14-22(舍负)，∴BE =14-22．(3)解：①经过点B 时，题(2)已求BE =14-22；②经过点A 时，如图所示，同理可证：△CD A ≌△CE B ，∴∠D AC =∠E BC ，BE =AD∵∠1=∠2，∴∠AE B =∠BCA =90°，设BE =AD =x ，在Rt △AE B 中，由勾股定理得：x 2+x -2 2=22 2，解得：x =2+142(舍负)，即：BE =2+142；③再次经过点B 时，如下图：同理可证：△CD A ≌△CE B ，AD ⊥BE ，设BE =AD =x ，在Rt △AD B 中，由勾股定理得：x 2+x -2 2=22 2，解得：x =2+142(舍负)，即：BE =2+142；综上所述：BE =2+142或BE =14-22．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键．3如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°．(1)【猜想】如图1，点E 在BC 上，点D 在AC 上，线段BE 与AD 的数量关系是，位置关系是；(2)【探究】：把△DCE 绕点C 旋转到如图2的位置，连接AD ，BE ，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE 绕点C 在平面内自由旋转，若AC =6，CE =22，当A ，E ，D 三点在同一直线上时，直接写出BE的长．【答案】(1)BE=AD，BE⊥AD(2)(1)中的结论成立，理由见解析(3)42-2或42+2【详解】(1)解：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴BC=AC，EC=DC，∠ACB=90°，∴BC-EC=AC-DC，∴BE=AD，∵∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故答案为：BE=AD，BE⊥AD；(2)解：(1)中结论仍然成立，理由：由旋转知，∠BCE=∠ACD，∵BC=AC，EC=DC，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠BHC=90°，∵∠BHC=∠AHG，∴∠CAD+∠AHG=90°，∴∠AGH=90°，∴BE⊥AD；(3)解：①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CM⊥AD，DE=2，∴CM=EM=12在Rt△ACM中，AC=6，∴AM=AC2-CM2=42，∴AE=AM-EM=42-2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC2+AB2=62，在Rt△ABE中，BE=AB2-AE2=42+2；②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CN⊥AD，DE=2，∴CN=EN=12在Rt△ACN中，AC=6，∴AN=AC2-CN2=42，∴AE=AN+NE=42+2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC2+AB2=62，在Rt△ABE中，BE=AB2-AE2=42-2；综上，BE的长为42-2或42+2．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．4已知：如图1，△ABC中，AB=AC∠BAC=60°，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，不难发现BD、CE的关系．(1)将△ADE绕A点旋转到图2位置时，写出BD、CE的数量关系；(2)当∠BAC=90°时，将△ADE绕A点旋转到图3位置．①猜想BD与CE有什么数量关系和位置关系?请就图3的情形进行证明；②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数．【答案】(1)BD=CE(2)①BD=CE，BD⊥CE，证明见解析，②45°或135°【详解】(1)∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，水不撩不知深浅∴△BAD≌△CAE SAS∴BD=CE；(2)①BD=CE，BD⊥CE，证明：如图，BD交AC于点F，交CE于点M，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，在△BAF和△CMF中，∵∠ABD=∠ACE，∠AFB=∠MFC，∴∠FMC=∠FAB，∵∠BAC=90°，∴∠FMC=90°，∴BD⊥CE，因此BD=CE，BD⊥CE；②如图，当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段CE上时，如图I所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，∴∠ADB=∠EDB-∠ADE=45°；当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段DE上时，如图II所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，∴∠ADB =∠EDB +∠ADE =135°；故∠ADB 的度数为：45°或135°．5△ABC是等腰直角三角形，点D 是△ABC 外部的一点，连接AD ，AB =AC =2AD =6，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，CE ，BD ．(1)如图1，当点D 在线段EC 上时，线段EC 与线段BD 的数量关系是，位置关系是；(2)如图2，线段EC 交BD 于点P ，此时(1)中线段EC 与线段BD 的关系是否依然成立，请说明理由；(3)如图3，线段EC 交BD 于点P ，点Q 是AC 边的中点，连接DC ，PQ ，当DC =32时，求PQ 的长．【答案】(1)BD =CE ，BD ⊥CE(2)(1)中线段EC 与线段BD 的关系是否依然成立，理由见解析(3)PQ 的长为32【详解】(1)解：BD =CE ，BD ⊥CE ，理由如下：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =90°，AB =AC ，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴∠DAE =90°，AE =AD ，∴∠BAD =∠CAE ，在△ABD 与△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD =CE ，∠ABD =∠ACE ，∴∠ACE +∠DBC +∠ACB =∠ABD +∠DBC +∠ACB =∠ABC +∠ACB =90°，∴∠BDC =90°，∴BD ⊥CE ；故答案为：BD =CE ，BD ⊥CE ；(2)解：(1)中线段EC 与线段BD 的关系依然成立；理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =90°，AB =AC ，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转 90° 得到线段AE ，∴∠DAE=90°，AE=AD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°，∴∠BPC=90°，∴BD⊥CE；(3)解：连接PQ，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴∠DAE=90°，AE=AD=3，∴DE=2AD=32，∵DC=32，∴DE=CD，由(2)知BD⊥CE，∴EP=CP，∵点Q是AC边的中点，∴PQ=12AE=32．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，旋转的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【题型2“半角”模型】6如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，连接AM、AN、MN．(1)试判断DM，BN，MN之间的数量关系；(2)如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B +∠D =180°，点N ，M 分别在边BC ，CD 上，∠MAN =60°，请直接写出BN ，DM ，MN 之间数量关系．【答案】(1)MN =DM +BN (2)MN =BN -DM ，证明见解析(3)MN =DM +BN【详解】(1)解：MN =DM +BN ，证明如下：如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠BAD =∠D =90°，，由旋转的性质可得：AE =AM ，BE =DM ，∠ABE =∠D =90°，∠DAM =∠BAE ，∴∠ABE +∠ABC =180°，∴点E 、B 、C 共线，∵∠DAM +∠BAM =90°，∴∠BAE +∠BAM =90°=∠EAM ，∵∠MAN =45°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AM∠EAN =∠MANAN =AN∴△EAN ≌△MAN SAS ，∴EN =MN ，∵EN =BE +BN ，∴MN =DM +BN ；(2)解：MN =BN -DM ，证明如下：如图，在BC 上取BE =MD ，连接AE ，，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠ADC =∠BAD =90°，AB =AD ，∵∠ADC +∠ADM =180°，∴∠ADC =∠ADM =∠ABE =90°，在△ABE 和△ADM 中，AB =AD∠ABE =∠ADM BE =DM，∴△ABE≌△ADM SAS ，∴AE =AM ，∠BAE =∠MAD ，∵∠BAE +∠EAD =∠BAD =90°，∴∠DAM +∠EAD =∠EAM =90°，∵∠MAN =45°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AM∠EAN =∠MAN AN =AN，∴△EAN ≌△MAN SAS ，∴EN =MN ，∵EN =BN -BE ，∴MN =BN -DM ；(3)解：如图，将△ABN 绕点A 逆时针旋转120°得△ADE ， ∴∠B =∠ADE ，AB =AD ，AE =AN ，∴∠B +∠ADC =180°，∴∠ADE +∠ADC =180°，∴点E 、D 、C 共线，∵∠BAN +∠NAD =∠BAD =120°，∴∠DAE +∠NAD =∠NAE =120°，∵∠MAN =60°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =60°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△EAM ≌△NAM SAS ，∴EM =MN ，∴MN =DM +BN ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．7如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 是BC 边上的点，将△ABD 绕点A 旋转，得到△ACD，连接D E ．(1)当∠BAC =120°，∠DAE =60°时，求证：DE =D E ；(2)当DE=D E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)在(2)的结论下，当∠BAC=90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D EC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必证明)【答案】(1)见解析(2)∠DAE=12∠BAC，理由见解析(3)DE=2BD【详解】(1)证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD ，∴AD=AD ，∠CAD =∠BAD，∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠D AE=∠CAD +∠CAE=∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°，∴∠DAE=∠D AE，在△ADE和△AD E中，∵AD=AD∠DAE=∠D AE AE=AE，∴△ADE≌△AD E(SAS)，∴DE=D E；(2)解：∠DAE=12∠BAC．理由如下：在△ADE和△AD E中，AD=AD AE=AE DE=D E，∴△ADE≌△AD′E(SSS)，∴∠DAE=∠D AE，∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE，∴∠DAE=12∠BAC；(3)解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠ACD =45°，∴∠D CE=45°+45°=90°，∵△D EC是等腰直角三角形，∴D E=2CD ，由(2)DE=D E，∵△ABD绕点A旋转得到△ACD ，∴BD=C D ，∴DE=2BD．【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．8学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠B =∠ADC =90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到△ADE 的位置，然后证明△AFE ≌△AFE ，从而可得EF =E F ．E F =E D +DF =BE +DF ，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，∠EAF =12∠BAD ，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，∠EAF =12∠BAD ，求证：EF =BE +DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是⊙O 的内接四边形，BC 是直径，AB =AC ，请直接写出PB +PC 与AP 的关系．【答案】(1)BE +DF =EF (2)证明见解析(3)PB +PC =2PA【详解】(1)解：结论：BE +DF =EF ，理由如下：证明：将△ABE 绕点A 逆时针旋转，旋转角等于∠BAD ，使得AB 与AD 重合，点E 转到点E 的位置，如图所示，可知△ABE≌△ADE ，∴BE=DE ．由∠ADC+∠ADE =180°知，C、D、E 共线，∠BAD，∵∠EAF=12∴∠BAF+∠DAF=∠EAF，∴∠DAE +∠DAF=∠EAF=∠E'AF，∴△AEF≌△AE F，∴EF=E F=BE+DF．(2)证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点E 的位置，如图所示，由旋转可知△ABE≌△ADE ，∴BE=DE ，∠B=∠ADE ，∠BAE=∠DAE ，AE=AE ．∴∠ADC+∠ADE =180°，∴点C，D，E 在同一条直线上．∠BAD，∵∠EAF=12∴∠BAE+∠DAF=1∠BAD，2BAD，∴∠DAE +∠DAF=12∠BAD，∴∠FAE =12∴∠EAF=∠FAE ．∵AF=AF，∴△FAE ≌△FAE，∴FE=FE ，即BE+DF=EF．(3)结论：PB+PC=2PA，理由如下：证明：将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ACP ，使得AB与AC重合，如图所示，由圆内接四边形性质得：∠ACP +∠ACP=180°，即P，C，P 在同一直线上．∴BP=CP ，AP=AP ，∵BC为直径，∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠CAP +∠PAC=∠PAP ，∴△PAP 为等腰直角三角形，∴PP =2PA，即PB+PC=2PA．【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．9阅读下面材料．小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB、AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决这个问题(如图2)．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：(1)写出小炎的推理过程；(2)如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足于关系时，仍有EF=BE+DF；(3)如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC =2，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)∠B+∠ADC=180°(3)5【详解】(1)解：如图所示，将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠ADC=∠BAD=90°，由旋转的性质可得AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠B=90°，∴∠ADC+∠ADG=180°，即C、D、G三点共线，∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°，即∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF SAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DG，DG=BE，∴EF=BE+DF；(2)解：当∠B+∠ADC=180°时，仍有EF=BE+DF，理由如下：如图所示，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠B=∠ADG∵∠B+∠ADC=180°，∠B=∠ADG，∴∠ADC+∠ADG=180°，即C、D、G三点共线，∵∠BAD=90°∴∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°，即∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF SAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DG，DG=BE，∴EF=BE+DF，故答案为：∠B+∠ADC=180°；(3)解：如图所示，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，∴∠B=∠ACG，BD=CG=1，AD=AG，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAG+∠CAD=90°，∠ACG+∠ACB=90°，即∠ECG=90°，∠DAG=90°，∵∠DAE=45°，∴∠GAE=45°=∠DAE，又∵AE=AE，∴△ADE≌△AGE SAS，∴GE=DE，在Rt△CEG中，由勾股定理得GE=CE2+CG2=5，∴DE=GE=5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．10如图1，E，F分别是正方形ABCD的边CD，BC上的动点，且满足∠EAF=45°，试判断线段BF，EF，ED之间的数量关系，并说明理由．小聪同学的想法：将△DAE顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．(1)线段BF，EF，ED之间的数量关系是．(2)如图2，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接BD，分别交AF，AE于点M，N，试判断线段BM，MN，ND之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)EF=BE+DF(2)MN2=BM2+DN2【详解】(1)解：结论：EF=BE+DF理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，由旋转的性质可知：AH=AE，∠ADE=∠ABH=90°，HB=DE，∠EAH=90°，∵∠EAF=45°，∴∠FAH=45°，∴∠FAH=∠EAF，∵∠ABF+∠ABH=90°+90°=180°，∴F、B、H三点共线，又∵AF=AF，∴△AFE≌△AFH SAS，∴EF=FH，∵FH=BF+BH=BF+DE，∴EF=BE+DF．(2)结论：MN2=BM2+DN2,证明如下：如图所示，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△BAG．∵BA=AD，∠BAD=90°，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋转的性质可知：AN=AG，∠ABG=∠ADB=45°，∠GAE=90°，∴∠MBG=∠ABG+∠ABD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAM=∠BAG+∠BAM=90°-∠EAF=45°，∴∠MAG=∠MAN，∵AM=AM，∴△AGM≌△ANM SAS，∴MN=GM，∵∠MBG=90°，∴BM2+BG2=GM2，∴MN2=BM2+DN2．【点睛】本题涉及了旋转变换，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．【题型3构造旋转模型解题】11如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF=EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE=2，DF=3，则S△AEF=15；④若AB=62，BM=3，则MN=5．其中结论正确的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】A【分析】根据旋转的性质得到BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+BH=BE+DF=EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到AB=AG，于是得到点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长，故②正确；求出EF=BE+DF=5，设BC=CD=n，根据勾股定理即可得到S△AEF=15，故③正确；把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，再证明△AMQ≌△AMN(SAS)，从而得MQ=MN，再证明∠QBM=∠ABQ+∠ABM=90°，设MN=x，再由勾股定理求出x即可．【详解】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠EAH=∠EAF=45°，在△AEF和△AEH中，AH=AF∠EAH=∠EAF=45oAE=AE，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，∴BE+BH=BE+DF=EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，∴∠AGE=∠ABE=90°，在△ABE与△AGE中，∠ABE=∠AGE∠AEB=∠AEGAE=AE，∴△ABE≌△AGE(AAS)，∴AB=AG，∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；∵BE=2，DF=3，∴EF=BE+DF=5，设BC=CD=n，∴CE=n-2，CF=n-3，∴EF2=CE2+CF2，∴25=(n-2)2+(n-3)2，∴n=6(负值舍去)，∴AG=6，∴S△AEF=12×6×5=15．故③正确；如图，把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABQ ，连接QM ，由旋转的性质得，BQ =DN ，AQ =AN ，∠BAQ =∠DAN ，∠ADN =∠ABQ =45°，∵∠EAF =45°，∴∠MAQ =∠BAQ +∠BAE =∠DAN +∠BAE =90°-∠EAF =45°，∴∠MAQ =∠MAN =45°，在△AMQ 和△AMN 中，AQ =AN∠MAQ =∠MAN AM =AM，∴△AMQ ≌△AMN (SAS )，∴MQ =MN ，∵∠QBM =∠ABQ +∠ABM =90°，∴BQ 2+MB 2=MQ 2，∴ND 2+MB 2=MN 2，∵AB =62，∴BD =2AB =12，设MN =x ，则ND =BD -BM -MN =9-x ，∴32+(9-x )2=x 2，解得：x =5，∴MN =5，故④正确，故选A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键是旋转三角形ADF 和三角形AND ．12如图，已知点P 是正方形ABCD 内的一点，连接PA 、PB 、PC ．若PA =4，PB =2，∠APB =135°，则PC 的长为．【答案】26【分析】先根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，则可把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连接PE，如图，根据旋转的性质得BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB= 135°，于是可判断△PBE为等腰直角三角形，所以PE=2PB=22，∠PEB=45°，则∠PEC=90°，然后在Rt△PEC中利用勾股定理计算PC的长．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=BC，∠ABC=90°，把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连接PE，如图，∴BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB=135°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴PE=2PB=22，∠PEB=45°，∴∠PEC=135°-45°=90°，在Rt△PEC中，∵PE=22，CE=4，∴PC=42+(22)2=26．故答案为：26．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．13(1)问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA应转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则①∠BEC=；②线段AD，BE之间的数量关系；(2)拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，若AE=12，DE=7，求AB的长度；(3)如图3，P为等边三角形ABC内一点，且∠APC=150°，∠APD=30°，AP=4，CP=3，DP=7，求BD的长．【答案】(1)①120°；②AD=BE；(2)13；(3)229【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用，(1)证明△ACD≌△BCE(SAS)．得到∠ADC=∠BEC．利用△DCE为等边三角形，得到∠CDE=∠CED=60°，再利用点A，D，E在同一直线上，可得∠ADC=120°，即可得∠BEC=120°；(2)证明△ACD≌△BCE(SAS)，可得AD=BE=AE-DE=15-7=8，∠ADC=∠BEC，再证明∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，利用勾股定理求解即可；(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，可得△BEC≌△APC，证明△PCE是等边三角形，证明∠BED=90°，再证明D、P、E在同一条直线上，求出DE，利用勾股定理求解即可．【详解】解：(1)①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD=BE；故答案为：①120°；②AD=BE．(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE=AE-DE=12-7=5，∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．∴AB=AE2+BE2=144+25=13；(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：AP=4，CP=3，DP=7则△BEC≌△APC，∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=4，∠BEC=∠APC=150°，∴△PCE是等边三角形，∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=3，∴∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，∵∠APD=30°，∴∠DPC=150°-30°=120°，又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，即D、P、E在同一条直线上，∴DE=DP+PE=7+3=10，在Rt△BDE中，BD=BE2+DE2=229，即BD的长为229．【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中．【题型4奔驰模型】14如图，已知点D是等边△ABC内一点，且BD=3，AD=4，CD=5．(1)求∠ADB的度数；以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将△BCD绕点B顺时针旋转60°或绕点A逆时针旋转60°；乙：我也赞成旋转，不过我是将△ABD进行旋转；丙：我是将△ACD进行旋转．请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求∠ADB的度数；(2)若改成BD=6，AD=8，CD=10，∠ADB的度数=°，点A到BD的距离为；类比迁移：(3)已知，∠ABC=90°，AB=BC，BE=1，CE=3，AE=5，求∠BEC的度数．【答案】(1)∠ADB=150°(2)150，4.(3)∠BEC=135°【详解】(1)解：(1)选择甲：如图1，作∠DBE=60°，且BE=BD，连接DE，AE，则△BDE是等边三角形，∴DE=BD=3，∠BDE=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴∠ABE=∠CBD，∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD=5，∵AD2+DE2=42+32=52=AE2，∴∠ADE=90°，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°+60°=150°；乙：如图2，同理可得，∠BFD=60°，∠DFC=90°，∴∠ADB=∠BFC=∠BFD+∠DFC=60°+90°=150；丙：如图3同理可得，∠AGD=60°，∠BDG=90°，∴∠ADB=∠ADG+∠BDG=60°+90°=150；(2)同理(1)可得：AD2+BD2=CD2，∴∠ADB=150°，如图4，过点A作BD的垂线AH，垂足为H，∴∠ADH=30°，AD=4，∴AH=12故答案为：150，4.(3)如图5，将△ABE绕着点B顺时针旋转90°，得到△CBF，连接EF，∴△ABE≌△CBF，∴BE=BF=1，AE=CF=5，∴∠FBE=∠BEF=45°，∴EF2=BE2+BF2=2∵EF2+EC2=2+3=5=AE2，∴∠FEC=90°，∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=45°+90°=135°【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．15(1)问题发现：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP 处，这样就可以将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请按此方法求∠APB的度数，写出求解过程；(2)拓展研究：请利用第(1)题解答的思想方法，解答下面的问题：①如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E，F为BC边上的点，且∠EAF=45°，判断BE,EF,CF 之间的数量关系并证明；②如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=6，在△ABC内部有一点P，连接PA,PB,PC，直接写出PA+PB+PC的最小值．【答案】(1)150°，见解析；(2)①BE2+CF2=EF2，见解析；②213【分析】(1)连接PP ，根据题意得到AP=AP =3,∠PAP =60°，BP=CP =4，∠APB=∠AP C，进而得到△APP '为等边三角形，PP =AP=3,∠AP P=60°，根据勾股定理逆定理证明△PP C是直角三角形，且∠PP C=90°，即可求出∠APB=∠AP C=150°；(2)①证明∠B=∠ACB=45°，将△BAE绕点A逆时针旋转90°， 得到△CAD， 连接DF，得到∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，进而得到∠DCE=90°，根据勾股定理得到DF2=CF2 +CD2=CF2+BE2 ，证明△AEF≌△ADF，得到EF=DF，即可得到BE2+CF2=EF2；②将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A BP ， 连接PP ，A C，即可得到∠ABA =∠PBP =60°，A B= AB=4，BP=BP ，A P =AP，从而得到△BPP 为等边三角形，∠A BC=90°，BP=PP ，根据两点之间线段最短得到PA+PB+PC=A P +PP +CP≥A C ，即可得到当且仅当A ，P ，P，C四点共线时，PA +PB+PC的值最小为 A C的长，根据勾股定理求出A C=213，即可得到PA+PB+PC的最小值为213 ．【详解】解：(1)连接PP ，∵将△APB绕顶点 A 逆时针PP 旋转60°到△ACP ，∴AP=AP =3,∠PAP =60°，BP=CP =4,∠APB=∠AP C，∴△APP '为等边三角形，∴PP =AP=3,∠AP P=60°，∵P P2+P C=32+42=25，PC2=52=25，∴P P2+P C=PC2，∴△PP C是直角三角形， 且∠PP C=90°，∴∠AP C=∠AP P+∠CP P=150°，∴∠APB=∠AP C=150°；(2)①BE2+CF2=EF2．证明：∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，如图，将△BAE绕点A逆时针旋转90°， 得到△CAD， 连接DF，则：∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，∴∠DCE=∠ACB+∠ACD=90°，∴DF2=CF2+CD2=CF2+BE2 ，∵∠EAF=45°，∠EAD=90°，∴∠DAF=∠EAF=45°，又∵AE=AD,AF=AF ，∴△AEF≌△ADF，∴EF=DF，∴BE2+CF2=EF2；②PA+PB+PC的最小值为 213如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A BP ， 连接PP ，A C，则：∠ABA =∠PBP =60°，A B=AB=4，BP=BP ，A P =AP，∴△BPP 为等边三角形，∠A BC=∠A BA+∠ABC=90°，∴BP=PP ，∴PA+PB+PC=A P +PP +CP≥A C ，∴当且仅当A ，P ，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小为 A C的长，∵∠A BC=90°，∴A C=A B2+BC2=42+62=213，∴PA+PB+PC的最小值为213 ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．16(2023•崂山区模拟)阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于150°．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(1)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB的度数等于135°，正方形的边长为 ；(2)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=，则∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，水不撩不知深浅∴△APP′是等边三角形，∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，∴PP′2+P′C2=PC2，∴∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故∠APB=∠AP′C=150°；(1)如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，由旋转的性质，P′A=PA=22，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=2PA=2×22=4，∠AP′P=45°，∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=172=17，∴PP′2+P′D2=PD2，∴∠PP′D=90°，∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，故，∠APB=∠AP′D=135°，∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，∴点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，则AE=PE=12PP′=12×4=2，∴BE=PE+PB=2+1=3，在Rt△ABE中，AB===13；(2)如图4，∵正六边形的内角为16×(6-2)•180°=120°，∴把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，由旋转的性质，P′A=PA=2，P′F=PB=1，∠PAP′=120°，∴∠APP′=∠AP′P=12(180°-120°)=30°，过点A作AM⊥PP′于M，设PP′与AF相交于N，则AM=12PA=12×2=1，P′M=PM===3，∴PP′=2PM=23，∵PP′2+P′F2=(23)2+12=13，PF2=132=13，水不撩不知深浅∴PP′2+P′F2=PF2，∴∠PP′F=90°，∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，故，∠APB=∠AP′F=120°，∵P′F=AM=1，∵△AMN和△FP′N中，，∴△AMN≌△FP′N(AAS)，∴AN=FN，P′N=MN=12P′M=32，在Rt△AMN中，AN===7 2，∴AF=2AN=2×72=7．故答案为：150°；(1)135°，13；(2)120°，7．【题型5费马点模型】17如图，四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为．【答案】63【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，AB=3，AH=3BH=33，∴BH=12∴AE=2AH=63．故答案为63．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．18如图，在等边三角形ABC内有一点P．(1)若PA=2，PB=3，PC=1，求∠BPC的度数；(2)若等边三角形边长为4，求PA+PB+PC的最小值；(3)如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，PB=2，PC=1，求正方形ABCD的边长．【答案】(1)∠BPC=150°，(2)43(3)5【详解】(1)解： 如图所示，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段B P ，连接A P 、P P ，∴△BPC≌△BP A，∴BP=B P ，A P =PC=1，∠PB P =60°，∠A P B=∠BPC，∴△B P P是等边三角形，∴∠B P P=∠PB P =60°，P P =BP=3，∵AP 2+PP 2=1+3=4=AP2，∴△A P P是直角三角形，∠A P P=90°，∴∠A P B=∠AP P +∠B P P=150°，∴∠BPC=150°，(2)解：如图所示，将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△ACD，则△ABP≌△ACD，PA=DA，∠PAD=60°，则△APD是等边三角形，∴AP=PD，再将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，则△APC≌△ADE∴PC=DE，∠CAE=60°，CA=EA，∴PA+PB+PC=BP+PD+DE≥BE当B,P,D,E四点共线时，PA+PB+PC取得最小值，即BE的长，设BE，AC交于点F，∵AB=AC=AE,∠BAF=∠EAF，∠BAE=∠BAF+∠EAF=120°，BE ,∴BE⊥AF，BF=EF=12∴∠ABF=30°，AB=2 ,∴AF=12在Rt△ABF中，BF=AB2-AF2=23 ,∴BE=2BF=43，即PA+PB+PC的最小值为43；(3)如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA，∴△BPC≌△BEA，∴BE=BP=2，AE=PC=1，∠PBE=90°，∠AEB=∠BPC，∴△BEP是等腰直角三角形，∴∠BEP=∠EPB=45°，PE=2PB=2，∵AE2+PE2=1+4=5=AP2，∴△AEP是直角三角形，∠AEP=90°，如图，延长AE，过点B作BF⊥AE于F，则∠F=90°，∵∠AEP=90°，∠BEP=45°，∴∠BEF=45°=∠EBF，∴BF=EF=1，∴AF=AE+EF=2，∴AB=AF2+BF2=22+1=5，即正方形的边长为5．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．19背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，当∠APB=∠APC=∠CPB=120°时，则PA+PB+PC取得最小值．(1)如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，此时△ACP ≌△ABP这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB ，连接CB ，求证：CB 过△ABC的费马点．(3)如图4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．(4)如图5，在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、BE、CE，且边长AB=2；求AE+BE+ CE的最小值．【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)7；(4)6+2．【详解】(1)解：连结PP′，∵△ABP≌△ACP ，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC为等边三角形，。

60°、90°旋转模型【模型分析】遇60°，旋60°，造等边遇90°，旋90°，造垂遇中点，旋180°，造中心对称遇等腰，旋顶角遇中点，旋180°，造中心对称【经典例题】例1．（2020·武汉市卓刀泉中学八年级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（）A．5.5B．6C．7.5D．8【分析】以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE△△FCD，可得BE=DF，则DF△AB 时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解【解析】如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF△∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6△∠ABC=60°，BC=3△将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE△CD=CE，∠DCE=60°△△BCF是等边三角形△CF =BC =BF =3，∠BCF =∠DCE =60° △∠BCE =∠DCF ，且BC =CF ，DC =CE △△BCE △△FCD (SAS ) △ BE = DF△DF △AB 时，DF 的长最小，即BE 的长最小 如图，此时作FD AB '⊥△FBD '∠=180°-60°-60°=60°，D F AB '⊥△ 11.52BD BF '== △7.5AD AB BD '=+='故选：C【小结】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．例2．（2021·上海九年级模型练习）平面直角坐标系中，()0,4C，()2,0K ，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90得到AB ，当点A 在x 轴上运动，BK 取最小值时，点B 的坐标为____．【分析】如图，作BH x ⊥轴于点H ，由旋转可知ACO △△BAH ，推出BH OA m ==，4AH OC ==，可得到()4,B m m +，令4x m =+，y m =，可知4y x =-，即可知点B在直线4y x =-的图象上运动，设直线4y x =-交x 轴于点E ，交y 轴于点F ，作KM EF ⊥于点M ，根据垂线段最短可知，当点B 与点M 重合时，BK 的值最小，构建方程组确定交点M 的坐标即可求解【解析】如图，作BH x ⊥轴于点H ，设点A 的坐标为（0，M )()0,4C ，()2,0K∴4OC =，2OK =AC AB =，90AOC CAB AHB ∠=∠=∠=∴90CAO OCA ∠+∠=，90BAH CAO ∠+∠= ∴ACO BAH ∠=∠在ACO △与BAH 中，ACO BAHAOC BHA CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACO △△BAH ()AAS∴BH OA m ==，4AH OC == ∴()4,B m m +令4x m =+，y m =∴4y x =-∴点B 在直线4y x =-上运动设直线4y x =-交x 轴于点E ，交y 轴于点F作KM EF ⊥于点M ，则直线KM 的解析式为：2y x =-+由24y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得：31x y =⎧⎨=-⎩，∴()3,1M -根据垂线段最短可知，当点B 与点M 重合时，BK 的值最小，此时()3,1B -【小结】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识点，正确找到点B 的运动轨迹是解题的关键．例3．（2021·湖北武汉市·九年级月考）如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ， ∠BAC =90°，O 为BC 的中点，D 为AC 斜下方一点，30,6,ADC CD OD ︒∠===，则AD 的长为______．【分析】连结AO 由等腰直角三角形的性质得AO =CO =OB ，∠AOC =90º，利用旋转变换将三角形△DOC ，逆时针旋转90º得到△EOA ，由性质得AE =CD =6，∠EOD =90º，EO =DO =EA △DC ,，过A 作AF ∥CD ，交ED 于F ，利用平行线的性质∠FED =∠ADC =30º,推出∠EAD =∠EAF +∠F AD =120º,过E 作EG △DA 交延长线于G ，∠EAG =60º利用余角性质∠GEA =30º，在Rt △AGE 中，解直接三角形，AE =6，AG =3，EG =Rt △EOD 中由勾股定理求ED ，在Rt △EGD 中用勾股定理222ED =EG +GD ，构造AD方程(()22214=+3+AD ，解方程即可．【解析】连结AO△在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ， ∠BAC =90°，O 为BC 的中点 △AO =CO =OB ，∠AOC =90º将三角形△DOC ，逆时针旋转90º得到△EOA ，△AE =CD =6，∠EOD =90º，EO =DO =EA △DC , 过A 作AF ∥CD ，交ED 于F ， △∠EAF =90º，∠FED =∠ADC =30º, △∠EAD =∠EAF +∠F AD =90º+30º=120º, 过E 作EG △DA 交延长线于G ， △∠EAG =180º-∠EAD =180º-120º=60º △∠GEA =90º-∠EAG =90º-60º=30º， 在Rt △AGE 中，AE =6，AG =11622AE =⨯=3，EG ==在Rt △EOD 中，ED ， 在Rt △EGD 中，GD =GA +AD =3+AD ，△222ED =EG +GD ，△(()22214=+3+AD ，△3+AD=13±， △AD =10或-16（舍去）， 故答案为：10．【小结】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形旋转，解直角三角形，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质创造旋转的条件，利用三角形旋转转移线段与角的相等关系，利用解直角三角形求出勾股定理应用的线段的长度，利用勾股定理构造方程是解题关键．【巩固提升】1．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（）A．2B．4C D2【分析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC△△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP△AC时，QC的值最小；【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE，则AE＝BE＝4．△∠ACB＝90°，∠A＝30°，△∠CBE＝60°，△BE＝AE，△CE＝BE＝AE，△△BCE是等边三角形，△BC＝BE，△∠PBQ＝∠CBE＝60°，△∠QBC＝∠PBE，△QB＝PB，CB＝EB，△△QBC△△PBE（SAS），△QC＝PE，△当EP△AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，△AE＝4，∠A＝30°，△PE＝12AE＝2，△CQ的最小值为2，故选：A ．【小结】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．2．（2020·湖南长沙市·长郡中学八年级期中）如图，ABC ADE DFG ∆∆∆、、均为等边三角形，C E F 、、三点共线，且E 是CF 的中点，下列结论：①ADG EDF ∆≅∆；②AEC ∆为等腰三角形；③=+DF AD GE ；④BAG BCE ∠=∠⑤60GEB ︒∠=，其中正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质证明△ADG △△EDF ，△ABG △△BCE ，然后一一判断即可.【解析】△△ADE 、△DFG ，△ABC 为等边三角形，△DA =DE ，DF =DG ，∠ADE =∠FDG =∠AED =∠ACB =∠DAE =∠BAC =60°， △∠ADG =∠EDF ，∠DAB =∠CAE ， △△ADG △△EDF ，故①正确， △AG =EF ，△AG = EC ,如下图，当D、G、E共线时，显然AG≠AE，AG≠AB△EC≠AE，EC≠AC，∆不是等腰三角形, 故②错误，△AEC△AD+EG=DE+GE＞DG，DG=DF△AD+EG＞DF，故③错误．△△ADG△△EDF，△∠DEF=∠DAG，△∠DEF+∠AED=∠EAC+∠ACE=∠EAC+∠ACB-∠BCE，△∠EAC-∠DEF=∠BCE，△∠BAG=∠DAB-∠DAG=∠EAC-∠DEF，△∠BAG=∠BCE，故④正确，△△ADG△△EDF，△AG=EF=EC,△∠BAG=∠BCE，AB=BC△△ABG△△BCE，△∠ABG=∠EBC，BG=BE,△∠EBG=∠ABC=60︒，△ΔBEG为等边三角形,△∠BEG =60︒，故⑤正确，故选：B．【小结】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（2020·北京海淀区·人大附中九年级月考）如图，ABC 是等边三角形，3AB =，点E 在AC 上，2AE CE =，点D 在BC 的延长线上，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，连接AF ，若//AF BD ，则AF 的长为______．【分析】如图过点E 作EM AF ⊥于M ，交BD 于N ，解直角三角形求出AM ，EN ，利用全等三角形的性质证明MF =EN ，即可解决问题； 【解析】过点E 作EM AF ⊥于M ，交BD 于N△△ABC 是等边三角形△3AB AC BC ===，60ACB ∠=︒ △2AE CE = △2AE =，1EC = △//AF BE△60EAM ACB ∠=∠=︒ △EM AF ⊥ △90AME ∠=︒ △30AEM ∠=︒ △112AM AE == △//AF BD ，EM AF ⊥ △EN BC ⊥△sin 602EN EC =︒=△90EMF END FED ∠=∠=∠=︒△90MFE MEF ∠+∠=︒，90MEF DEN ∠+∠=︒ △ED =EF△()△△EMF DENAAS ≅△MF EN ==△1AF AM MF =+=+【小结】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角形全等，准确分析计算是解题的关键．4．（2021·四川成都市·八年级期末）已知：等边三角形ABC ，直线l 过点C 且与AB 平行，点D 是直线l 上不与点C 重合的一点，作射线DB ，并将射线DB 绕点D 顺时针转动60︒，与直线AC 交于点E （即60BDE ∠=︒）．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ，求证：DE DB =；（2）如图2，2AB =，4CD =，依题意补全图2，试求出DE 的长； （3）当点D 在点C 右侧时，直接写出线段CE 、BC 和CD 之间的数量关系． 【分析】（1）过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ．根据平行线的性质结合等边三角形的判定和性质可得出∠DFB =∠ACB =60°，∠ECD =60°，∠EDC =∠FDB ，CD =DF ．由此即可证出△CDE△△BDF，从而得出DE=DB；（2）分两种情况：①当D在点C右侧时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F；②当D在点C左侧时，过点D作BC的平行线与CA于点F，作BH△CD于H．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可；（3）分两种情况考虑：①当点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB 的延长线交于点F；②当点E在线段AC上时，过点D作AC的平行线与CB交于点F．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可．【解析】（1）如图1，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．△△ABC为等边三角形，△∠ACB=∠ABC=60°，△DF∥AC，CD∥AB，△∠DFB=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，△△CDF是等边三角形，∠ECD=60°，△∠CDF=60°，CD=DF，△∠BDE=60°，△∠EDC+∠CDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，△∠EDC=∠FDB．在△CDE和△BDF中，60ECD BFDCD DFEDC BDF⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△CDE△△BDF（ASA），△DE=DB．（2）分两种情况：①当D在点C右侧时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．如图2所示．由（1）可知，CF=CD=4，CB=AB=2，△BF=2，△BD是等边三角形△CDF的高，=△BD=2△DE=BD=②当D在点C左侧时，过点D作BC的平行线与CA于点F，作BH△CD于H．如图3所示．△△ABC为等边三角形，△∠ACB=∠CAB=60°，△DF∥BC，CD∥AB，△∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠CAB=60°，△△CDF是等边三角形，∠DCB=120°，∠DFE=120°，△∠CDF=60°，CD=DF，△∠BDE=60°，△∠EDF+∠FDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，△∠EDF=∠CDB．在△CDB和△EDF中，120BCD EFDCD DFBDC EDF⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△CDB△△EDF（ASA），△DE=DB．在R t△BCH中，∠BCH=60°，∠CBH=30°，CB=AB=2，△CH=1，BH=在R t△BDH中，DH=DC+CH=5，BH=△DB===△DE=，综上，DE的长为（3）分两种情况：①当点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．如图1所示．由（2）可知，CD=CF，CE=BF，△CD=BC+BF=BC+CE，②当点E在线段AC上时，过点D作AC的平行线与CB交于点F．如图4所示．△△ABC为等边三角形，△∠ACB=∠ABC=60°，△DF∥AC，CD∥AB，△∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，△△CDF是等边三角形，∠CFD=60°，△∠CDF=60°，CD=DF=CF，∠BFD=120°，∠DCE=120°，△∠BDE=60°，△∠EDC+∠EDF=60°，∠FDB+∠EDF=60°，△∠EDC=∠FDB．在△CDE和△BDF中，120 ECD BFDCD DFEDC BDF⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△CDE△△BDF（ASA）△CE=BF．△BC=CF+BF=CD+CE．综上所述，当点D在点C右侧时，线段CE、BC和CD之间的数量关系是CD= BC+CE或BC=CD+CE．【小结】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键．5．（2019·渠县第三中学八年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+6交坐标轴于A，B两点，过点C（-6，0）作CD交AB于D，交y轴于点E，且△COE△△BOA．（1）求点B的坐标，线段OA的长；（2）确定直线CD的解析式，求点D的坐标；（3）如图2，点M 是线段CE 上一动点(不与点C ，E 重合)，ON △OM 交AB 于点N ，连接MN ，当△OMN 的面积最小时，请求点M 的坐标和△OMN 的面积．（4）如图3，点M 是直线CD 上一动点，过点M 作x 轴的垂线，交轴于点Q ，连接EQ ，若∠EQM =∠ACD ，求点M 的坐标．【分析】（1）利用x 轴与y 轴的特征求直线y =-2x +6与两轴的交点即可；（2）利用△COE △△BOA ．求出E （0，3）设CD 的解析式为y =kx +b ，将C 、E 代入求出CD解析式，由CD 交AB 于D ，联立解方程组13226y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩即可； （3）由△COE △△BOA ．推出CO =BO ，∠OCE =∠OBA ，利用同角的余角相等推出∠COM =∠EON ，进而可证△COM △△BON (ASA )，得△MON 为等腰直角三角形，要使△OMN 的面积最小，需OM 最小，此时OM △CE 由△COE 面积桥OC OE 65OM==CE 5即可求出面积最小值，利用△MFO △△COE ，得MF FO 2==635可求MF ，FO 即可； （4）可证△EQO △△CEO 由性质QO OE =OE OC 求出OQ ，当点Q 在x 轴的负半轴上时，Q （32-，0）由点M 在CD 上，当32x =-时求函数值得M 1（32-，94）；当点Q 在x 轴的正半轴上时，Q （32，0）由点M 在CD 上，当32x =时求函数值M 2（32，154），综合得M 的坐标为（32-，94），（32，154）．【解析】（1）当x =0时，y =6，则B （0，6），当y =0时，-2x +6=0，x =3，A (3，0)， OA =3；（2）△△COE △△BOA ， △OE =OA =3，OC =OB =6， △E （0，3），C (-6,0)，设CD 的解析式为y =kx +b ，过C （-6，0）和E （0，3），则360b k b =⎧⎨-+=⎩，解得312b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，CD 的解析式为：132y x =+， ∵CD 交AB 于D ，∴13226y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得65185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点D 坐标为D （61855，）； （3）∵△COE ≌△BOA ， △CO =BO ，∠OCE =∠OBA ， △ON △OM ，∠COB =90º，△∠COM +∠MOE =90º,∠MOE +∠EON =90º， △∠COM =∠EON ， △△COM △△BON (ASA )， △OM =ON ，△△MON 为等腰直角三角形， S △MON =211OM ON=OM 22， 要使△OMN 的面积最小， 需OM 最小，此时OM △CE ，CE由△COE 面积得，11CE OM=OC OE 22，OC OE OM==CE 35，S △MON 最小=221118OM =?=225⎝⎭， 过M 作MF △OC 于F ，△∠FMO +∠FOM =90º，∠MCO +∠MOC =90º， △∠FMO =∠MCO ， △∠MFO =∠COE =90º， △△MFO △△COE ，△MF FO OM==OC OE CE即MF FO 2=635， △212MF=6=55⨯，6FO=5， △点M 在第二象限， △M （65-，125）；（4）△MQ △x 轴， △MQ ∥OE ， △∠MQE =∠QEO ， △∠EQM =∠ACD ， △∠QEO =∠OCE ， △∠QOE =∠EOC ， △△EQO △△CEO ，△QO OE= OE OC△OQ=2OE93== OC62当点Q在x轴的负半轴上时，Q（32-，0）由点M在CD上，CD的解析式为：132y x=+当32x=-时1393224y⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭M1（32-，94）当点Q在x轴的正半轴上时，Q（32，0）由点M在CD上，CD的解析式为：132y x=+当32x=时13153224y⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭M2（32，154），综合得M的坐标为（32-，94），（32，154）．【小结】本题考查直线与两轴的交点，直线解析式，两直线的交点，最小面积，三角形全等的性质，勾股定理，三角形相似，掌握直线与两轴的交点求法，会用待定系数法求直线解析式，会利用解方程组求两直线的交点，会利用点到直线的距离最小求最小面积，利用三角形全等的性质进行线段、角的转化，利用勾股定理求边长，会利用三角形相似的性质解决问题是关键．6．（2020·辽宁沈阳市·九年级其他模拟）在ABC 中，AB AC =，点P 在平面内，连接AP ，并将线段AP 绕A 顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AQ ，连接BQ ． （1）如图，如果点P 是BC 边上任意一点．则线段BQ 和线段PC 的数量关系是__________．（2）如图，如果点P 为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）；（3）如图，在DEF 中，8DE =，60EDF ∠=︒，75DEF ∠=︒，P 是线段EF 上的任意一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到线段DQ ，连接EQ ．请直接写出线段EQ 长度的最小值．【分析】（1）先判断出∠BAQ =∠CAP ，进而用SAS 判断出△BAQ △△CAP ，即可得出结论；（2）结论BQ =PC 仍然成立，理由同（1）的方法；（3）先构造出△DEQ △△DHP ，得出EQ =HP ，进而判断出要使EQ 最小，当HP △EF （点P 和点M 重合）时，EQ 最小，最后用解直角三角形即可得出结论． 【解析】（1）由旋转知：AQ =AP △PAQ BAC ∠=∠△PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠ △BAQ CAP ∠=∠ △AB AC =△()BAQ CAP SAS ∆≅∆ △BQ CP = 故答案为：相等（2）BQ PC =仍成立，理由如下 证明：由旋转知：AQ =AP △PAQ BAC ∠=∠△PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠ △BAQ CAP ∠=∠ △AB AC =△()BAQ CAP SAS ∆≅∆ △BQ C =Ｐ （3）如图：在DF 上取一点H ，使8DH DE ==，连接ＰＨ，过点Ｈ作HM EF ⊥于Ｍ，由旋转知，DQ DP =，60PDQ ∠=︒，△60EDF ∠=︒，△PDQ EDF ∠=∠，△EDQ HDP ∠=∠，△()DEQ DHP SAS ∆≅∆，△EQ HP =，要使EQ 最小，则有HP 最小，而点H 是定点，点P 是EF 上的动点△当HM EF ⊥（点P 和点M 重合）时，HP 最小即：点P 与点M 重合，EQ 最小，最小值为HM过点E 作EG DF ⊥于G ，在Rt DEG ∆中，8DE =，60EDF ∠=︒△30DEG ∠=︒ △142DG DE ==△EG ==在Rt EGF ∆中，753045FEG DEF DEG ∠=∠-∠=︒-︒=︒△9045F FEG FEG ∠=︒-∠=︒=∠，FG EG ==△4DF DG FG =+=+△484FH DF DH =-=+=在Rt HMF ∆中，45F ∠=︒△)4HM ===即：EQ 的最小值为．【小结】本题考查旋转的性质、最值问题，属于几何变换综合题，掌握全等三角形的证明方法，点到直线的距离等知识为解题关键．。

旋转常见模型一、遇60°旋转60°, 构造等边三角形1.点P是等边△ABC内一点, 且PC=3, PB=4, PA=5。

求∠BPC的度数。

2.如图6-2, 是等边外一点, 若, 求的度数。

图6-23.（2018年广州市节选）如图, 在四边形ABCD 中,∠B ( 60( ,∠D ( 30( ,AB ( BC.（1）∠A ∠C= °（2）连接BD , 探究AD , BD , CD 三者之间的数量关系, 并说明理由.二、遇90°旋转90°, 构造等腰直角三角形1.如图, 在正方形ABCD内部有一点P, PA= , PB= , PC=1, 求∠BPC的度数。

2.在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,P是△ABC内一点,PA＝2,PB＝1,PC＝3,求∠APB的度数.三、遇等腰旋转顶角, 构造旋转全等FED CBA GABCDEABCDEF1.在 中, , （ ）, 将线段 绕点 逆时针旋转60°得到线段 . （1）如图1, 直接写出 的大小（用含 的式子表示）； （2）如图2, , 判断 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下, 连结 , 若 , 求 的值．四、半角模型说明: 旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角, 通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。

秘籍: 角含半角要旋转: 构造两次全等FED CBAG FED CBA1.如图, 在正方形ABCD 中, E 、F 分别在BC.CD 上, 且∠EAF=45°连接EF. 求证：EF=BE+DF.如图, 在正方形ABCD中, E、F分别在BC.CD上, 且∠EAF=45°连接AD, 与AE、AF分别交于M、N,求证: MN2=BM2+DM23.如图, 在正方形ABCD 的边长为2, 点E, 点F分别在边AD,CD上, 若∠EBF=45°,则△EDF的周长等于。

旋转的模型及例题 （一）夹半角模型已知：正方形ABCD 中，∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF ；（2）△EFC 周长等于2倍边长；方法：将△ADF 绕A 点顺时针旋转90°，使得AD 与AB 重合，然后证△AEF ≌△AEG ；证得BE+DF=EF 例题：已知∠BAC=45°BD=4，CD=6，求△ABC 的面积？解析：将△ABD 和△ADC 分别关于AB 、AC 对称，构造夹半角模型例题：如图1 ，正方形ABCD 中，M N ，分别是BC CD ，边上的两点，且45MAN ∠=˚， 连结MN ，请写出BM MN DN ，，之间的熟练关系并证明； 如图2，ABC △中，90AB AC BAC =∠=，˚，M N ，为BC 上两点，且45MAN ∠=˚，请写出线段BM MN CN ，，之间的数量关系，并证明； （3） 如图3，在（1）中，若点M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，其他条件不变，(1)中的结论变化吗？ （4） 如图4，在(2)中若点M 在CB 的延长线上，其它条件不变，(2)中的结论还成立吗？请证明你的结论；解析：都是通过旋转得来！推广：一般的夹半角模型例题：边长为2m 的等边ABC △的两边AB AC 、上分别有两点M N 、，点D 为平面内 一点，60MDN ∠=︒，120BDC BD CD ∠=︒=，．当点M 在线段AB 上运动时，探索AMN △的周长与ABC △边长的关系．⑴ 如图1，当点D 在ABC △外时，AMN △的周长是否发生变化？请证明你的结论． ⑵ 如图2，当点D 在ABC △内时，⑴中的结论是否成立？若成立，请求出此时AMN △的周长；若不成立，请说明理由．⑶ 如图3，ABC △是满足60BAC ∠=︒的任意三角形，其中BC a AC b AB c ===，，．D 是ABC ∠ 与ACB ∠平分线的交点，M N 、分别在AB AC 、上，且60MDN ∠=︒．当点M 在线段AB 上运动时，猜想AMN △的周长是否发生变化？若不变，请直接写出AMN △的周长（用a b c ，，表示，不需要化简）；若变化，请说明理由．（二）手拉手模型等边三角形B图3图2图1ABCDMNNMDCBANM BAB条件：AB=AD ，∠B+∠D=180°，2∠MAN=∠BAD结论：BM+DN=MN条件：△ABC 是等边三角形，BD=CD ，∠BDC=120°∠MDN=60°结论：BM+CN=MN △AMN 的周长=2倍边长结论：（1） △BCE ≌△ACD ，△BCM ≌△CAN ， △MCE ≌△NCD （2）AD=BE,∠AFB=60°（3）△MCN 为等边三角形 （4）MN ∥BD(5)CF 为∠BFD 的角平分线 （6）FC+FE=FD结论：（1） △BCE ≌△ACD （2） AD=BE,∠AFB=60°（3） CF 为∠BFD 的角平分线正方形中的旋转例题：如图，已知四边形ABCD 中，AD=CD ，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC= 2（1） 以线段BD 、AB 、BC 作为三角形的三边，○1则这个三角形为___________三角形，（锐角、直角、钝角） ○2求BD 边所对的角的度数。

旋转专题1、图形的旋转（1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．（2）性质：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等； ③对应点到旋转中心的距离相等．2、图形的中心对称（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心． （2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分； ③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.1、三垂直全等模型三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。

CBE D CAB2、手拉手全等模型CCCABDEABBA方法技巧提炼高频核心考点EDCBAEDCBAEDCBAABCDEEDCBA3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°)(2) 等腰直角三角形(旋转90°)A'DCBAF'D'FEDCA(3) 等边三角形旋转(旋转60°)(4) 正方形旋转(旋转90°)②①FEDCBAPFEDCBAGFEDCBA例1、如图,设P 是等边△ABC 内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB 的度数是________。

类型一旋60°，造等边精题精讲精练例2、（1）如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5:6:7，则以PA、PB、PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上结果都不对（2）在等边△ABC中，P为BC边上一点,设以AP、BP、CP为边组成的新三角形的最大内角为θ，则（） A. θ≥90° B.θ≤120° C.θ=120° D.θ=135°例3、如图所示.△ABD是等边三角形，在△ABC中，BC=a,CA=b,问：当∠ACB为何值时，C,D 两点的距离最大？最大值是多少？例4、（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，证明：BC＋DC＝AC.（2）如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内一点,且∠APD＝120°.证明:PA+PD+PC≥BD.如图，P 为等边△ABC 内一点，∠APB ＝113°，∠APC ＝123°求证：以AP ，BP ，CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=30°,∠ADC ＝60°,AD=DC.证明:BD 2=AB 2+BC 2.例5、如图,以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连接AO,如果AB=4,AO=62,那么AC 的长等于________。

知识结构gt i me an dAl l th i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 【例题】 如图：（1-1）：设是等边内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，的度数是P ABC ∆APB ∠________.1509060.3,'''''''=+=+∠=∠∴≅==∠=∠PB P APP APB RT PBP APP CAP BAP B P AP AP CAP BAP ABC △为为正三角形，△。

易证△△则△，连结且的外侧，作简解：在△‘（二）正方形类型在正方形中，P 为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使ABCD ABCD ABP ∆B 90得与重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a ）中的、、三条线段集中于图（2-1-b ）BA BC PA PB PC 中的中，此时为等腰直角三角形。

'CPP ∆'CPP ∆【例题】 如图（2-1）：是正方形内一点，点到正方形的三个顶点、、的距离分P ABCD P A B CAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 别为PA=1，PB=2，PC=3。

求此正方形ABCD 。

面. 8292132324422*********,23,21,,,=++=++=∴====+=++=∴∴=+=∠+∠+∠=∠∴=∠+∠∠=∠∠=∠==∴=≅≅=∠=∠S S S S PFC RT EPA RT EPF RT ABCD RT EPF FP EP EF EPF DF DF ED EF F D E ADC FDC EDA EDF PBC PBA PBC FDC PBA EDA PF PE AP EAP BPC DFC DFC ABP ADE EP AP AE BAP DAE AED △△△正方形△为可知△由勾股定理的逆定理，，，中，在△，在一条直线上、、点又同理，为等腰三角形，又易证△。

专题16图形变换中的重要模型之旋转模型几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。

在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。

模型1.三角形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝，AD ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A B C ，当A B 恰好经过点D 时，△B CD 为等腰三角形，若B B ＝2，则A A ＝（）AB ．C D 变式1．（2022·山西·中考真题）综合与实践问题情境：在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =6，AC =8．直角三角板EDF 中∠EDF =90°，将三角板的直角顶点D 放在Rt △ABC 斜边BC 的中点处，并将三角板绕点D 旋转，三角板的两边DE ，DF 分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M 为边AB 的中点时，试判断四边形AMDN 的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当B MDB 时，求线段CN 的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM =AN 时，直接写出线段AN 的长．2）最值（范围）型例1．（2022·江苏常州·一模）如图，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠BAC ＝∠DCE ＝90°，AB ＝AC ＝4，CD ＝CE ＝2，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．若将△CDE 绕点C 旋转一周，则线段AF 的最小值是______．变式1．（2021·四川成都·中考真题）在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC △，其中点A ，C 的对应点分别为点A ，C ．（1）如图1，当点A 落在AC 的延长线上时，求AA 的长；（2）如图2，当点C 落在AB 的延长线上时，连接CC ，交A B 于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ，直线CC 交AA 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．3）综合证明型例1．（2021·黑龙江·中考真题）在等腰ADE 中，AE DE ，ABC 是直角三角形，90CAB ，12ABC AED ，连接CD BD 、，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD ．（2）当45EAD ，把ABC 绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．变式1．（2021·山东潍坊·中考真题）如图1，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AC =1，D 为△ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA ≌△BFE ；（2）①CD +DF +FE 的最小值为；②当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．模型2.平行四边形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·浙江宁波·一模）如图，一副三角板如图1放置，AB CD E 重合，将DEC 绕其顶点E 旋转，如图2，在旋转过程中，当75AED ，连接AD ，BC ，此时四边形ABCD 的面积是________．变式1．（2022·广东广州·一模）如图，将▱ABCD 绕点A 逆时针旋转到▱AB ′C ′D ′的位置，使点B ′落在BC 上，B ′C ′与CD 交于点E ．若AB ＝3，BC ＝4，BB ′＝1，则CE 的长为___．2）最值（范围）型例1．（2022·广东·深圳九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是_____．变式1．（2022·河南洛阳·一模）如图，在平行四边形ABCD 中，6AB ，10BC ，=60B ，点E 在线段BC 上运动（含B 、C 两点）．连接AE ，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转60°得到AF ，连接DF ，则线段DF 长度的最小值为______．3）分类讨论型例1．（2022·江西·寻乌县二模）如图，在平行四边形ABCD 中，10AB ，15BC ，4tan 3A ．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90 得到线段PQ ．若点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边所在的直线上，则BQ 的长为______________．变式1．（2022·江苏·九年级专题练习）在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，高AH ＝4，点E 是边AD 上任意一点，现将点B 绕着点E 逆时针旋转90°到点B ，若点B 恰好在平行四边形的边上，则AE ＝______．4）综合证明型例1．（2022·广西·九年级期中）如图，在ABCD Y 中，60BAD ，将ABCD Y 绕顶点A 逆时针旋转至AEFG Y ，此时点D 在AE 上，连接AC AF CF EB 、、、，线段EB 分别交CD AC 、于点H 、K ，则下列四个结论中：①60CAF ；②DEH △是等边三角形；③23AD HK ；④当2AB AD 时，47ACF ABCD S S △；正确的是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③变式1．（2022·山西阳泉·一模）综合与实践【问题背景】如图1，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝6，AD ＝8．点E 、G 分别是AD 和DC 边的中点，过点E 、G 分别作DC 和AD 的平行线，两线交于点F ，显然，四边形DEFG 是平行四边形．【独立思考】(1)线段AE和线段CG的数量关系是：______．(2)将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上时，如图2，连接AE和CG．①求AE的长；②猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；【问题解决】(3)将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A，E，F三点在同一直线上时（如图3），AE与CG交于点P，请直接写出线段CG的长和∠APC的度数．模型3.菱形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·安徽黄山·二模）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，OD＝2，将BC绕点B逆时针旋转得到BE，交CD于点F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，则CF＝___．的位置，变式1．（2022·安徽·模拟预测）如图，将边长为3的菱形ABCD绕点A逆时针旋转到菱形AB C D使点B 落在BC上，B C 与CD交于点E．若1BB ，则CE的长为_______．2）最值（范围）型例1．（2022·山东济宁·模拟预测）如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60 ，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．2变式1．（2022·江苏苏州·校联考一模）如图，菱形ABCD 的边长为∠ABC ＝60°，对角线AC 、BD 交于点O ．点E 为直线AD 上的一个动点，连接CE ，将线段EC 绕点C 顺时针旋转∠BCD 的角度后得到对应的线段CF （即∠ECF ＝∠BCD ），DF 长度的最小值为_________．3）综合证明型例1．（2022·江苏南京·模拟预测）【探究发现】(1)如图1，正方形ABCD 两条对角线相交于点O ，正方形111A B C O 与正方形ABCD 的边长相等，在正方形111A B C O 绕点O 旋转过程中，边1OA 交边AB 于点M ，边1OC 交边BC 于点N ．①线段BM 、BN 、AB 之间满足的数量关系是________；②四边形OMBN 与正方形ABCD 的面积关系是OMBN S 四边形________ABCD S 正方形；【类比探究】(2)如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“含60°的菱形ABCD ”，即1160B OD DAB ，且菱形111OB C D 与菱形ABCD 的边长相等．当菱形111OB C D 绕点O 旋转时，保持边1OB 交边AB 于点M ，边1OD 交边BC 于点N ．请猜想：①线段BM 、BN 与AB 之间的数量关系是_________________；②菱形OMBN 与菱形ABCD 的面积关系是OMBN S 四边形________ABCD S 菱形；请你证明其中的一个猜想．【拓展延伸】(3)如图3，把（2）中的条件“1160B OD DAB ”改为“11DAB B OD ”，其他条件不变，则①BM BN BD________；（用含α的式子表示）②OMBN ABCD S S 四边形菱形________．（用含α的式子表示）变式1．（2022·重庆·九年级统考期中）如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC．（1）如图1，探究PG 与PC 的位置关系，写出你的猜想并加以证明；（2）如图1，若PG PC ，2BE ，求菱形BEFG 的面积．（3）如图2，将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的边BG 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，若60ABC BEF ，请直接写出PG 与PC 的数量关系．模型4.矩形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·江西·统考三模）如图，矩形ABCD 中，4AB ，2BC ，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转得到矩形AFGE ，当点F 落在边CD 上时，连接BF 、DE ，则ADE ABF S S （）A ．12B ．13C ．14D ．23变式1．（2022·江苏无锡·校考一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AB ′C ′D ′，AB ′交CD 于点E ，且DE ＝B ′E ，则AE 的长为_____．2）最值（范围）型例1．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，BC =2AB ，点P 为边AD 上的一个动点，线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BP '，连接PP '，CP '．当点P '落在边BC 上时，∠PP 'C 的度数为________；当线段CP '的长度最小时，∠PP 'C 的度数为________变式1．（2022·江苏·江阴市华士实验中学一模）如图，在矩形ABCD 中，3AB cm ，6AD cm ，点P 为边AD 上一个动点，连接CP ，点P 绕点C 顺时针旋转90 得到点P ，连接CP 并延长到点E ，使2CE CP ，以CP 、CE 为邻边作矩形PCEF ，连接DE 、DF ，则DEF 和DCE △面积之和的最小值为______．3）分类讨论型例1．（2022·江苏·一模）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°≤θ≤360°），得到矩形AEFG．（1）当点E在BD上时，求证：AF∥BD；（2）当GC＝GB时，求θ；（3）当AB＝10，BG＝BC＝13时，求点G到直线CD的距离．4）综合证明型例1．（2022·重庆·一模）矩形ABCD中．∠ADB＝30°，△AEF中，∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，AE12BD．连接EC，点G是EC中点．将△AEF绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°）．(1)如图1，若A恰好在线段CE延长线上，CD＝2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F 恰好落在线段EC 上，连接BG ．证明：2（GC ﹣GB ）3；(3)如图3，若点F 恰好落在线段BA 延长线上，M 是线段BC 上一点，3BM ＝CM ，P 是平面内一点，满足∠MPC ＝∠DCE ，连接PF ，已知CD ＝2，求线段PF 的取值范围．变式1．（2022·四川·眉山市东坡区模拟预测）如图，Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，过D 作DC ⊥BE 交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分∠HDC ；②DO=OE ；③H 是BF 的中点；④BC-CF=2CE ；⑤CD=HF ，其中正确的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个模型5.正方形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·河南·平顶山市模拟预测）如图，正方形ABCD 的顶点B 在原点，点D 的坐标为（4，4），将AB 绕点A 逆时针旋转60°，使点B 落在点B ′处，DE ⊥BB ′于点E ，则点E 的坐标为（）A ． 31B ． 31C ． 31D ．31 变式1．（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是OD的中点，连接CE 并延长交AD 于点G ，将线段CE 绕点C 逆时针旋转90°得到CF ，连接EF ，点H 为EF 的中点．连接OH ，则GE OH的值为_______．2）最值（范围）型例1．（2022·江苏扬州·三模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，连接DF ，CF ，则DF ＋CF 的最小值是（）A ．B ．C ．D ．变式1．（2022·安徽合肥·二模）正方形ABCD 中，4 AD ，点E 为AB 边上一动点（不与A 、B 重合），将DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到DCF ，过E 作EG DF ∥交BC 于点G ．则GC 的最小值为（）．A ．2BC ．D ．33）路径（轨迹）型例1．（2022·浙江·九年级期末）如图所示，正方形ABCD 的边长为4，点E 为线段BC 上一动点，连结AE ，将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EF ，连结BF ，取BF 的中点M ，若点E 从点B 运动至点C ，则点M 经过的路径长为（）A．2B．C．D．4变式1．（2022·山西·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为O为正方形的中心，点，垂足为点E，F为边AB的中点，点G为线段AF上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作DE GO当点G从点A运动到点F时，点E所经过的路径长是（）A．12πB．C． D．224）分类讨论型例1．（2022·云南昆明·统考二模）如图，大正方形ABCD中，3AB ，小正方形AEFG中，AE正方形绕A点旋转的过程中，当C，F，G三点共线时，线段CF的长为_______．变式1．（2022·湖北模拟预测）如图，以AB为边作边长为8的正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD 的边上运动，且PQ＝8，若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，点Q只能在线段AD 上运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长为_____．5）综合证明型例1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 为等腰直角三角形，∠ECF ＝90°，点E 在BC 上，点F 在CD 上，P 为EF 中点，连接AF ，G 为AF 中点，连接PG ，DG ，将Rt △ECF 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG 与PG 的关系为；(2)如图2，当α＝90°时①求证：△AGD ≌△FGM ；②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．变式1．（2022·南充·中考真题）如图，正方形ABCD 边长为1，点E 在边AB 上（不与A ，B 重合），将ADE V 沿直线DE 折叠，点A 落在点1A 处，连接1A B ，将1A B 绕点B 顺时针旋转90 得到2A B ，连接112,,A A AC A C ．给出下列四个结论：①12ABA CBA ≌△△；②145ADE ACB ；③点P 是直线DE 上动点，则1CP A P 的④当30ADE 时，1A BE 的面积36．其中正确的结论是_________．（填写序号）课后专项训练1．（2022·浙江·九年级期末）如图，在ABCD Y 中，=45ABC ，2AB ，将点B 绕点A 逆时针旋转120 得到点E ，点E 落在线段BD 上，在线段BE 上取点F ，使BF DE ，连结AE ，CF ，则EF 的长为（）A ．2B ．2C ．2D ．32．（2022·河南·模拟预测）如图，在菱形OBCD 中，OB=1，相邻两内角之比为1：2，将菱形OBCD 绕顶点O 顺时针旋转90°，得到菱形OB′C′D′，则点C′的坐标为（）A ．（32B ．-32）C ．（32，D ．32）4．（2022·山东·滕州市一模）在矩形ABCD 中，AD =2AB =4，E 为AD 的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E 重合，将三角板绕点E 旋转，三角板的两直角边分别交AB 、BC （或它们的延长线）于点M 、N ，设∠AEM =α（0°＜α＜90°），给出四个结论：①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE③BN －AM ＝2④22cos EMN S.上述结论中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．（2020·湖北孝感·中考真题）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将ADE V 绕点A 顺时针旋转90 到ABF △的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若3BG ，2CG ，则CE的长为（）A ．54B ．154C ．4D ．926．（2022·四川眉山·中考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，将EDC △绕点C 逆时针旋转90 至HBC ，点D ，B ，H 在同一直线上，HE 与AB 交于点G ，延长HE 与CD 的延长线交于点F ，2HB ，3HG ．以下结论：①135EDC ；②2EC CD CF ；③HG EF ；④2sin 3CED ．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2022·江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC 和等边△CDE 中，AB ＝6，CD ＝4，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．若将△CDE 绕点C 旋转一周，则线段AF 的最小值是______．8．（2022·山东济南·九年级统考期末）如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，∠A ＝60°，E 是边AD 上且AE ＝2DE ，F 是射线AB 上的一个动点，将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°，得到EG ，连接BG 、DG ，则BG －DG 的最大值为________．9．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）ABCD Y 中，2CD ，4BC ，BD ，对角线AC ，BD 交于点O ，将CDO 绕点O 顺时针旋转，使点D 落在AD 上'D 处，点C 落在'C 处，'C O 交AD 于点P ，则'OPD 的面积是___________．10．（2022·山西·九年级专题练习）如图，菱形ABCD 中，AB ＝12，∠ABC ＝60°，点E 在AB 边上，且BE ＝2AE ，动点P 在BC 边上，连接PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转60°至线段PF ，连接AF ，则线段AF 长的最小值为___．11．（2022·新疆·中考真题）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 的延长线上，点F 在边AB 上，以点D 为中心将DCE △绕点D 顺时针旋转90 与DAF △恰好完全重合，连接EF 交DC 于点P ，连接AC 交EF 于点Q ，连接BQ ，若·AQ DP BQ ______．12．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周．(1)如图①，连接BG 、CF ，求CF BG的值；(2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别取CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE =6，请直接写出线段QN 扫过的面积．13．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形ABCD 中，4,3AB AD ，点E 在折线BCD 上运动，将AE 绕点A 顺时针旋转得到AF ，旋转角等于BAC ，连接CF ．(1)当点E 在BC 上时，作FM AC ，垂足为M ，求证AM AB ；(2)当AE时，求CF 的长；(3)连接DF ，点E 从点B 运动到点D 的过程中，试探究DF 的最小值．14．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边BC 、AB 、AD 的中点，连接EF 、DF ，H 为DF 的中点，连接GH ．将△BEF 绕点B 旋转，线段DF 、GH 和CE 的位置和长度也随之变化．当△BEF 绕点B 顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB =BC ，此时点E 落在AB 的延长线上，点F 落在线段BC 上，连接AF ，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB =2，BC =3，则GH CE ；(3)当AB =m ,BC =n 时．GH CE ．(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC ，并沿对角线AC 剪开，得△ABC （如图④)．点M 、N 分别在AC 、BC 上，连接MN ，将△CMN 沿MN 翻折，使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上，若PM 平分∠APN ，则CM 长为．15．（2022·福建泉州·九年级统考期末）如图1，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心，将菱形ABCD 逆时针旋转α（0°＜α＜30°）得到菱形'''AB C D ，''C D 交对角线AC 于点M ，边AB 的延长线交''B C 于点N ．（1）当''D M B N ＝时，求α的度数；（2）如图2，对角线B 'D '交AC 于点H ，交AN 于点G ，延长''C D 交AD 于点E ，连接EH ，若菱形ABCD 的周长为正数a ，试探索：在菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜30°）的过程中，'EHD △的周长是否为定值，若是，试求出此定值；若不是，请说明理由．16．（2022·重庆·二模）如图1，在平行四边形ABCD 中，AD AC ，AD AC ，等腰Rt CEF 绕点C 旋转，90ECF ，连接BF ．(1)当4AD AC ，CE CF ，1tan2ACE 时，求BF 的长．(2)如图2，若P 、Q 、H 分别是AF 、EF 、AB 的中点，连接PQ 、QH ，猜想线段PQ 、QH 的数量关系并证明；(3)如图3，若AD AC ，CE CF CEF 在旋转过程中，连接AE 、BE ，当BE AE 有最大值时，把BFC 沿着BC 翻折到与BFC 同一平面内得到BHC ，连接EH ，请直接写出BEH 的面积．17．（2021·山东济南·中考真题）在ABC 中，90BAC ，AB AC ，点D 在边BC 上，13BD BC ，将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，记旋转角为 ，连接BE ，CE ，以CE 为斜边在其一侧制作等腰直角三角形CEF ．连接AF ．（1）如图1，当180 时，请直接写出．．．．线段AF 与线段BE 的数量关系；（2）当0180 时，①如图2，（1）中线段AF 与线段BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当B ，E ，F 三点共线时，连接AE ，判断四边形AECF 的形状，并说明理由．18．（2020·重庆·中考真题）△ABC 为等边三角形，AB =8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE =．以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点．（1）如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，求线段NG 的长；（2）如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN ．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN ．在△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，当线段BN 最大时，请直接写出△ADN 的面积．。

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练1】在ABC△中，AB AC=，BACα∠=（060α︒<<︒），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出ABD∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，15060BCE ABE∠=︒∠=︒，，判断ABE△的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若45DEC∠=︒，求α的值．真题演练知识关联图专题3：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）1．等边三角形共顶点等边△ABC 与等边△DCE ，B 、C 、E 三点共线．连结BD 、AE 交于点F ，BD 交AC 于点G ，AE 交DC 于点H ，连结CF 、GH ，则： （1）△BCD ≌△ACE ； （2）AE ＝BD ；（3）∠AFB ＝∠DFE ＝60°； （4）FC 平分∠BFE ；（5）BF ＝AF ＋FC ，EF ＝DF ＋FC ； （6）△CGH 为等边三角形H GF ED CBA例题精讲2．等腰直角三角形共顶点等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DCE 中，∠ACB ＝∠DCE ＝90°．如图1，连结BD 、AE 交于点F ，连结FC 、AD 、BE ，则： （1）△BCD ≌△ACE ； （2）AE ＝BD ； （3）AE ⊥BD ； （4）FC 平分∠BFE ； （5）AB 2＋DE 2＝AD 2＋BE 2（6）BF ＝AFFC ，EF ＝DFFC ；（7）如图2，若G 、I 分别为BE 、AD 的中点，则GC ⊥AD 、IC ⊥BE （反之亦然）； （8）S △ACD ＝S △BCE3．等腰三角形共顶点等腰△ACB 与等腰△DCE 中，AC ＝BC ，DC ＝CE ，且∠ACB ＝∠DCE ．连结BD ，AE 交于点F ，则： （1）△BCD ≌△ACE ； （2）AE ＝BD ； （3）∠AFB ＝∠ACB ； （4）FC 平分∠BFE ． 4．相似三角形共顶点 △ACB 与△ECD 中，AC BCEC DC，∠ACB ＝∠EC D ．连结BD ，AE 交于点F ，则： （1）△BCD ∽△ACE ； （2）∠AFB ＝∠AC B ．图1ABCD EFJI图2ABCD EGHFEDBAGA BC DEF进阶训练1.已知四边形和四边形都是正方形 ，且．（1）如图，连接、．求证：； （2）如图，如果正方形，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，．①求的度数；②请直接写出正方形的边长的值．2．四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。

旋转之“费马点”模型13种题型【知识梳理】最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。

【考点剖析】一．一元一次方程的应用(共1小题)1(2020春•江北区期末)如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠BOD，∠BOC：∠AOC=1：3．(1)求∠DOE，∠COF的度数；(2)若射线OF，OE同时绕O点分别以2°/s，4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE，OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值．二．二次函数综合题(共1小题)2(2018秋•沙坪坝区校级期中)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=kx+53(k≠0)经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC=2OA，OB=3OA．(1)求抛物线与直线的解析式；(2)如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P作PH⊥AR于点H，过点P作PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P作PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK=23PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l=132PH-14PQ，m=IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．(3)如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′(点M、N、D、N′在同一平面内)，连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．三．全等三角形的判定与性质(共1小题)3(2022秋•静安区校级期中)如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．(1)求证：△AMB≌△ENB；(2)若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；(3)小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．四．角平分线的性质(共1小题)4(2020•荷塘区模拟)在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则称P 为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC=45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA =45°，PA=4，则△PAC的面积为．五．等腰三角形的判定与性质(共1小题)5(2017秋•义乌市月考)已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC的费马点(Fermatpo int)．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为2的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=()A.23B.1+3C.6D.33六．等边三角形的性质(共1小题)6(2014秋•厦门期中)如图(1)，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．如图(2)，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．七．等腰直角三角形(共1小题)7(2020•崇州市模拟)如果点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC= 120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为2的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+ PF=．八．三角形综合题(共2小题)8(2023春•渠县校级期末)如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F．已知AF=BD，∠EDF=60°．(1)证明：EF=DF；(2)如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG=EC+EM，CM=GM，∠GMC=∠GEC，证明：CG=CM．(3)如图3，在(2)的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD=4，请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．9(2017秋•邗江区期末)背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CPA= 120°，此时，PA+PB+PC的值最小．解决问题：(1)如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=；基本运用：(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：(3)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．九．正方形的性质(共1小题)10(2020•碑林区校级模拟)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM=CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为．一十．四边形综合题(共1小题)11(2023•桐城市校级开学)定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】(1)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC=60°，AC=46，求AE+BE+CE=；【尝试应用】(2)如图2，等边三角形ABC边长为43，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】(3)如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA=75°，AB=6，求三角形AFB“最近值”的平方．一十一．轴对称-最短路线问题(共2小题)12(2021•丹东)已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角(或直角)三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．(例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点)．若AB=AC=7，BC=23，P为△ABC的费马点，则PA +PB+PC=；若AB=23，BC=2，AC=4，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC=．13(2019秋•开福区校级月考)法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA= 3，PC=4，∠ABC=60°，则费马距离为．一十二．旋转的性质(共4小题)14(2023春•城关区校级期中)如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为()A.40°B.30°C.50°D.65°15(2022秋•大冶市期末)如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD=8，CD=3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC=；②AD的最小值是．16(2022秋•洪山区校级期中)如图，以等边△ABC的一边BC为底边作等腰△BCD，已知AB=3，，且∠BDC=120°，在△BCD内有一动点P，则PB+PC+PD的最小值为3　．一十三．几何变换综合题(共1小题)17(2023春•沈阳期中)如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是y轴，x轴正半轴上的点，且OA=OB，△AOC是等边三角形，且点C在第二象限，M为∠AOB平分线上的动点，将OM绕点O逆时针旋转60°得到ON，连接CN，AM，BM．(1)求证：△AMO≌△CNO；(2)若A点坐标为(0，4)；①当AM+BM的值最小时，请直接写出点M的坐标；②当AM+BM+OM的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由．。

中考数学里越来越重要的图形旋转，用5个模型就能搞定！旋转的定义常见的几种模型旋转类型题目举例1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP 中，此时ΔP'AP也为正三角形。

例1如图（1-1），设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

例2 如图（2-1），P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。

求正方形ABCD面积。

3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

例3如图，在ΔABC中，∠ACB =90°，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。

求∠BPC的度数。

总结：旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。

难关必刷03旋转综合题（2种解题模型专练）【模型梳理】模型一：“奔驰”模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。

我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题模型二：“费马点”模型最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。

【题型专练】模型一：“奔驰”模型一．选择题（共2小题）1．（2023•中原区校级三模）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将△OBA固定在坐标系中，其中A（2，4），B（2，0），接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1，称为第一次转动，然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2，称为第二次转动，…那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（ ）A．（4，﹣2）B．C．D．（2，4）2．（2020秋•顺平县期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置．连接PQ，则以下结论错误的是（ ）A．∠QPB＝60°B．∠PQC＝90°C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°二．填空题（共1小题）3．（2022秋•新抚区期中）如图，正方形ABCD中，将边AB绕着点A旋转，当点B落在边CD的垂直平分线上的点E处时，∠BED的度数为 ．三．解答题（共5小题）4．（2021秋•长乐区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△DBE，点A，C的对应点分别是D，E，连接AD．（1）如图1，当点E恰好在边AB上时，求∠ADE的大小；（2）如图2，若F为AD中点，求CF的最大值．5．（2021春•高州市期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC 绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的度数．6．（2023•崂山区模拟）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于 ．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝1，PD＝，则∠APB的度数等于 ，正方形的边长为　；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2，PB＝1，PF＝，则∠APB的度数等于 ，正六边形的边长为 ．7．（2023•青岛二模）（1）探究发现下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求∠APB的度数．解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP'，则△APP'为等边三角形．∵P′P＝PA＝3，PB＝4，P'B＝PC＝5，∴P'P2+PB2＝P′B2△BPP'为 三角形∴∠APB的度数为 ．（2）类比延伸如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC．点P在直线AB上方且∠APB＝60°，试判断是否存在常数k，满足（kPA）2+PB2＝PC2．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．8．（2020秋•田家庵区校级月考）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P 是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 ，正方形ABCD的边长为 ．（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 ．模型二：“费马点”模型一．填空题1．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝ ；②AD的最小值是 ．2．（2020•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为 ．二．解答题3．（2021•山西模拟）阅读下列材料，完成后面相应的任务：费马（Ferrmat，1601年8月17日﹣1665年1月12日），生于法国南部图卢兹（Toulouse）附近的波蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，△ABC（三个内角均小于120°）的三条边的张角都等于120°，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点，后来人们把这个点P称为“费马点”．下面是“费马点”的证明过程：如图2，将△APB绕着点B逆时针旋转60°得到△A′P′B，使得A′P′落在△ABC外，则△A′AB为等边三角形，∴P′B＝PB＝PP′，于是PA+PB+PC＝P′A′+PP′+PC≥A′C，…．任务：（1）材料中，判定△A′AB为等边三角形的依据是 ．（2）请你完成剩余的部分．（3）如图，△ABC为锐角三角形，以AC为一边作等边△ACD，⊙O是△ACD的外接圆，连接BD交⊙O于点M，求证：M是△ABC的费马点．4．（2023•桐城市校级开学）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝　；【尝试应用】（2）如图2，等边三角形ABC边长为，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．5．（2019秋•台州期中）（1）知识储备①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点．求证：PB+PC＝PA．②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．（2）知识迁移①我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 的长度即为△ABC的费马距离．②在图3中，用不同于图2的方法作出△ABC的费马点P（要求尺规作图）．（3）知识应用①判断题（正确的打√，错误的打×）：ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 ；ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 ．②已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且PA+PB+PC的最小值为，求正方形ABCD的边长．。

九年级旋转经典题型一、旋转性质的基础应用1. 题目- 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE。

若∠CAE = 65°，∠E = 70°，且AD⊥BC，求∠BAC的度数。

- 解析- 因为△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，所以△ABC≌△ADE。

- 根据全等三角形的性质，∠C = ∠E = 70°。

- 因为AD⊥BC，在Rt△ADC中，∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 70°= 20°。

- 又因为∠CAE = 65°，所以∠BAC = ∠DAE=∠DAC + ∠CAE = 20°+ 65°= 85°。

2. 题目- 已知正方形ABCD的边长为3，点E在边CD上，且DE = 1。

将△ADE绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF，求EF的长。

- 解析- 因为△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，所以AE = AF，∠EAF = 90°。

- 在正方形ABCD中，AD = 3，DE = 1，根据勾股定理可得：AE=√(AD^2)+DE^{2}=√(3^2)+1^{2}=√(10)。

- 在等腰直角三角形AEF中，EF=√(2)AE=√(2)×√(10) = 2√(5)。

二、旋转与坐标的结合1. 题目- 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,3)，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点A'，求点A'的坐标。

- 解析- 设点A(x = 1,y = 3)绕原点O逆时针旋转90°后的点A'(x',y')。

- 根据旋转坐标变化规律：对于点(x,y)绕原点逆时针旋转90°后变为(-y,x)。

- 所以点A'的坐标为(-3,1)。

2. 题目- 已知点P(2, - 1)，把点P绕坐标原点O顺时针旋转135°后得到点Q，求点Q的坐标。

专题3.1 旋转重难点模型（5大类型）【题型1 手拉手模型】【题型2 “半角”模型】【题型3 构造旋转模型解题】【题型4 奔驰模型】【题型5 费马点模型】模型一：“手拉手”模型模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。

模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。

如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC模型二：“半角”模型模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼出特殊角”模型说明：（1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG 可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF（2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN²（3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA 的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。

模型三：构造旋转模型解题方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形.常见图形旋转：方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．模型四：奔驰模型模型五：费马点模型【费马点问题】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，△PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′．△点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长△当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′【典例1】（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD，以AB为边向外作等边△ABE，连接CE、BD．（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长．【变式11】（2022秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF．（1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由．（2）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．【变式12】（2022九上·吉林期末）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√6，点D，E分别在边AC，BC上，且CD=CE=√2，此时AD=BE，AD⊥BE成立．（1）将△CDE绕点C逆时针旋转90°时，在图②中补充图形，并直接写出BE的长度；（2）当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，AD与BE的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长度．【典例2】（秋•锦江区期末）在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点．（1）如图1，当∠BAC＝90°，∠EAF＝45°时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当∠BAC＝60°，∠EAF＝30°时，已知BE＝3，CF＝5，求线段EF的长度；（3）如图3，当∠BAC＝90°，∠EAF＝135°时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明．【变式21】（春•金牛区校级期中）类比探究：（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．【变式22】（2022春•西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？【变式23】（2022秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．易证得EF＝BE+FD．大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三点共线，∠HAE＝∠EAF＝45°，进而可证明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF．任务：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【典例3】（九上·江津期中）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= √3，PC=1、求△BPC 度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以△AP′B=150°，而△BPC=△AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为√7，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= √5，BP= √2，PC=1．求△BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．【变式31】（九上·南昌月考）如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=√3，PC=1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．【变式32】（九上·德州期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，△APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝AP，△CPP'是三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是．（2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，△APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系．（3）如图3，在四边形ABCD中，AD△BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，△CPD ＝90°，△APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．【典例4】（2023•崂山区模拟）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且P A＝，PB＝1，PD＝，则∠APB的度数等于，正方形的边长为；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且P A＝2，PB＝1，PF＝，则∠APB的度数等于，正六边形的边．【变式41】（2023春•广东期中）18．如图，P是正三角形ABC内的一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10．若将△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB．（1）∠MAP＝°，连接PM，则PM＝；（2）求∠APB的度数．【变式42】（2023春•古田县期中）阅读材料，解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为5，12，13，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题，已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2．【变式44】（2022春•侯马市期末）如图①，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，∠ABC＝∠ADE＝45°．（1）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图位置，若∠BAD＝30°，求∠BAE的度数；（2）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转过程中，当旋转角度α＝时，直线AC与DE垂直（0°＜α≤360°）；（3）如图③，△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD，且AD＝4，AB＝10，求BD的最大值和最小值．【典例5】（秋•邗江区期末）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，此时，P A+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF ＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求P A+PB+PC的值．【变式51】（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．【变式52】（2022•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝4，则△P AC的面积为．。

旋转模型基本模型：例题精讲1(三角形旋转)如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接DE交AC于点M．(1)如图1，若AB=2,∠C=30°,AD⊥BC，求CD的长；(2)如图2，若∠ADB=45°，点N为ME上一点，MN=1BC，求证：AN=EN+CD；2(3)如图3，若∠C=30°，点D为直线BC上一动点，直线DE与直线AC交于点M，当△ADM为等腰三角形时，请直接写出此时∠CDM的度数．2(四边形旋转)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，点E、F分别在边BC、CD上，且EF=BE+DF，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小明探究的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是．(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，且EF=BE+DF，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系为．【变式训练1】1如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．(1)如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；(2)将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度(如图②)，连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在(1)中的关系吗？请写出结论并说明理由．(3)将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度(如图③)，连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．2【问题背景】(1)如图1，Р是正三角形ABC外一点，∠APB=30°，则PA2+PB2=PC2？小明为了证明这个结论，将ΔPAB绕点A逆时针旋转60°,请帮助小明完成他的作图；【迁移应用】(2)如图2，在等腰RtΔABC中，BA=BC,∠ABC=90°，点P在ΔABC外部，使得∠BPC= 45°，若S△PAC=4.5，求PC；【拓展创新】(3)如图3，在四边形ABCD中，AD⎳BC,点E在四边形ABCD内部．且DE=EC,∠DEC =90°,∠AEB=135°，AD=3,BC=4,直接写出AB的长．3在RtΔABC中，AC=BC,∠ACB=90°,M,N在直线AB上，且MN2=AM2+BN2．(1)如图1，当点M,N在线段AB上时，求证：∠MCN=45°．(2)如图2，当点M在BA的延长线上且点N在线段AB上时，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．4(1)操作发现：将等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE按如图1方式叠放，其中∠ACB=∠ADE=90°，点D，E分别在AB，AC边上，M为BE的中点，连结CM，DM．小明发现CM=DM，你认为正确吗？请说明理由．(2)思考探究：小明想：若将图1中的等腰Rt△ADE绕点A沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰Rt△ADE绕点A沿逆时针方向旋转45°(如图2)，其他条件不变，发现结论CM= DM依然成立．请你给出证明．探究二：将图1中的等腰Rt△ADE绕点A沿逆时针方向旋转135°(如图3)，其他条件不变，则结论CM= DM还成立吗？请说明理由．课后训练5在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．(1)如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．(2)当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．6如图1，△ABC中，AB=AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE=∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．(1)探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；(2)求证：BM=DM+DC；(3)如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE=∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问(2)中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．7已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．(1)如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；(2)将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由．8如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α0°<α<60°，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC= 60°，点E在△ABC外，∠ECB=150°,∠ABE=60°．(1)∠ADB的度数为；(2)小华说△ABE是等腰三角形，小明说△ABE是等边三角形，的说法更准确，并说明理由；(3)连接DE，若DE⊥BD,DE=10，求AD的长．9在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上．(1)如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF；(2)如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．10如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD=BD，点E在CD上，DE=DA，连接BE．(1)求证：BE=CA；(2)延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数；(3)过点C作CM⊥CA，CM=CA，连接BM交CD于点N，若BD=12，AD=5，直接写出△NBC的面积．11如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点，四边形ABCD是正方形．⑴ 求证：△ABE≌△CBF；⑵ CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．12已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．AD且OH⊥AD(1)如图1所示，求证： OH=12(2)将△COD绕点O旋转到图2、图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。

(简略版)中考数学旋转模型及例题本文档旨在介绍中考数学中的旋转模型及相关例题。

以下是一些常见的旋转模型及其解题方法。

1. 点绕原点旋转当一个点绕原点进行旋转时，可以利用坐标系中点的坐标变化来解题。

假设有点P(x, y)绕原点逆时针旋转α角后得到的点为P'(x', y')，则有以下结论：- P'的横坐标x' = x * cosα - y * sinα- P'的纵坐标y' = x * sinα + y * cosα下面是一个例子：例题：点A(2, 3)绕原点逆时针旋转90°，求旋转后点的坐标。

解题思路：根据上述结论，带入坐标值可得：- A'的横坐标x' = 2 * cos90° - 3 * sin90° = -3- A'的纵坐标y' = 2 * sin90° + 3 * cos90° = 2因此，点A旋转90°后得到的点为A'(-3, 2)。

2. 图形绕原点旋转当一个图形绕原点进行旋转时，可以先找出图形中的点坐标，然后通过点的旋转来确定旋转后整个图形的形状和位置。

下面是一个例子：例题：如图所示的三角形ABC绕原点逆时针旋转60°，连接旋转后的点A', B', C'，求旋转后的三角形ABC'的面积。

解题思路：- 首先，可以求出点A(2, 3)、B(4, 5)、C(6, 1)绕原点逆时针旋转60°后的点坐标。

- 然后，连接旋转后的点A', B', C'得到旋转后的三角形。

- 最后，计算旋转后的三角形ABC'的面积。

通过上述步骤可以得到旋转后的三角形ABC'的面积。

以上是中考数学旋转模型的一些例题和解题思路。

旋转模型在中考数学中经常出现，掌握了旋转模型的解题方法，可以更好地应对考试中的相关问题。