高中数学向量压轴题2

高中数学解析几何压轴题专项拔高训练一．选择题（共15小题）1．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）A．钝角B．直角C．锐角D．都有可能考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析：根据题设条件推导出以AB为直径的圆与右准线相离．由此可知∠APB为锐角．解答：解：如图，设M为AB的中点，过点M作MM1垂直于准线于点M1，分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点．则∴以AB为直径的圆与右准线相离．∴∠APB为锐角．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时作出图形，数形结合，往往能收到事半功倍之效果．2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（）A．∠PFR＞∠QFR B．∠PFR=∠QFRC．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR与∠AFR的大小不确定考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：设Q、P到l 的距离分别为d1，d2，垂足分别为M，N，则PN∥MQ，=，又由双曲线第二定义可知，由此能够推导出RF是∠PFQ的角平分线，所以∠PFR=∠QFR．解答：解：设Q、P到l 的距离分别为d1，d2，垂足分别为M，N，则PN∥MQ，∴=，又由双曲线第二定义可知，∴，，∴，∴RF是∠PFQ的角平分线，∴∠PFR=∠QFR故选B．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解．3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ1+λ2=（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣c）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0．然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得λ1+λ2的值．解答：解：设M，N，P点的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，y0），又不妨设F点的坐标为（c，0）．显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣c）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0．∴，．又∵，将各点坐标代入得，=．故选C．点评：本题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）A．B．e2﹣1 C．D．e2+1考点：圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义，确定M的坐标，利用点差法将线段AB中点M的坐标代入，即可求得结论．解答：解：∵M在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，∴M的横坐标为，∴M（，p）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得∴∴故选A．点评：本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．5．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5B．7C．13 D．15考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案．解答：解：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，所以根据椭圆的定义可得：（|PM|+|PN|）min=2×5﹣1﹣2=7，故选B．点评：本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．6．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题．分析：由=（+），知E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，能推导出在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2，由此能求出离心率．解答：解：∵若=（+），∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF∴PF′⊥PF∵PF﹣PF′=2a∴PF=PF′+2a=3a在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2即9a2+a2=4c2∴离心率e==．故选：A．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题．分析：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，由此可知=，从而能够得到结果．解答：解：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，则==．故选A．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点．8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）A．y2=4x B．y2=4x（x≠0）C．y2=﹣4x D．y2=﹣4x（x≠0）考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：计算题；压轴题．分析：设P（x，y），欲动点P的轨迹方程，即寻找x，y之间的关系式，利用向量间的关系求出向量、的坐标后垂直条件即得动点P的轨迹方程．解答：解：设P（x，y），E（﹣1，y1），F（﹣1，y2）（y1，y2均不为零）由∥⇒y1=y，即E（﹣1，y）．由∥⇒．由y2=4x（x≠0）．故选B．点评：本题主要考查了轨迹方程的问题．本题解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程．9．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A．+=1（y≠0）B．+=1（y≠0）C．﹣=1（y≠0）D．﹣=1（y≠0）考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题．分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，再设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得x和y的关系式．解答：解：设切线ax+by﹣1=0，则圆心到切线距离等于半径∴=2∴，∴a2+b2=设抛物线焦点为（x，y），根据抛物线定义可得平方相加得：x2+1+y2=4（a2+1）①平方相减得：x=4a，∴②把②代入①可得：x2+1+y2=4（+1）即：∵焦点不能与A，B共线∴y≠0∴∴抛物线的焦点轨迹方程为故选B．点评：本题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键．10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A．22 B．20 C．18 D．16考点：圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义．专题：计算题；压轴题．分析：先以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x﹣12）2+y2=100，根据条件得出M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的定义即可求得答案．解答：解：以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x﹣12）2+y2=100又，设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上；以AT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系，则有抛物线方程为y2=8x（y≥0），联立半圆方程和抛物线方程，消去y得：x2﹣16x+44=0∴x1+x2=16，|AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20．故选B．点评：本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．11．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线、椭圆的定义，建立方程，求出|PF1|=，|PF2|=，再利用余弦定理，即可求得结论．解答：解：不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②由①②可得|PF1|=，|PF2|=∵|F1F2|=4∴cos∠F1PF2==故选A．点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，利用双曲线、椭圆的定义，建立方程是关键．12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）C．D．A．B．（，+∞）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．分析：如图，求出BC的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线BE的斜率k′，由题意可知，k′＜k≤K BC，从而得到实数k的取值范围．解答：解：曲线即x2+（y﹣1）2=4，（y≥1），表示以A（0，1）为圆心，以2为半径的圆位于直线y=1 上方的部分（包含圆与直线y=1 的交点C和D），是一个半圆，如图：直线y=k（x﹣2）+4过定点B（2，4），设半圆的切线BE的切点为E，则BC的斜率为K BC==．设切线BE的斜率为k′，k′＞0，则切线BE的方程为y﹣4=k′（x﹣2），根据圆心A到线BE距离等于半径得2=，k′=，由题意可得k′＜k≤K BC，∴＜k≤，故选A．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，判断k′＜k≤K BC，是解题的关键．13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）A．B．C．8D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A，B的坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+|BF|．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵P（1，0）∴=（1﹣x2，﹣y2），=（x1﹣1，y1）∵，∴2（1﹣x2，﹣y2）=（x1﹣1，y1）∴将A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线y2=12x，可得，又∵﹣2y2=y1∴4x2=x1又∵x1+2x2=3解得∵|AF|+|BF|=故选D．点评：本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A，B的横坐标．14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；压轴题．分析：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22）A，B的中点坐标是（，）因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，由此能求得m．解答：解：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22），A，B的中点坐标是（，），因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，，x12+x22═+m，x2+x1=﹣，因为，所以xx12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=，代入得，求得m=．故选B．点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（）A．4B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；压轴题．分析：根据双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，求出MN中点P（﹣，m），利用MN的中点在抛物线y2=9x上，即可求得实数m的值．解答：解：∵MN关于y=x+m对称∴MN垂直直线y=x+m，MN的斜率﹣1，MN中点P（x0，x0+m）在y=x+m上，且在MN上设直线MN：y=﹣x+b，∵P在MN上，∴x0+m=﹣x0+b，∴b=2x0+m由消元可得：2x2+2bx﹣b2﹣3=0∴M x+N x=﹣b，∴x0=﹣，∴b=∴MN中点P（﹣，m）∵MN的中点在抛物线y2=9x上，∴∴m=0或4故选D．点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN中点P 的坐标．二．解答题（共15小题）16．已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且，求直线A2Q斜率的取值范围；（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值．考点：椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的离心率为，且经过点（3，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A2Q的斜率为k'，Q（x0，y0），则可得kk'==，利用，即可求直线A2Q斜率的取值范围；（3）利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式，即可求cos∠F1QF2的最小值．解答：解：（1）∵椭圆的离心率为，且经过点（3，1），建立方程，求出几何量，即可∴，∴椭圆C的标准方程为…（3分）（2）设A2Q的斜率为k'，Q（x0，y0），则，…（5分）∴kk'=及…（6分）则kk'==又…（7分）∴，故A2Q斜率的取值范围为（）…（8分）（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a，b，c，则有，由椭圆定义，有…（9分）∴cos∠F1QF2=…（10分）=…（11分）≥…（12分）==…（13分）∴cos∠F1QF2的最小值为．（当且仅当|QF1|=|QF2|时，即Q取椭圆上下顶点时，cos∠F1QF2取得最小值）…（14分）点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性强．17．已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2﹣=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S﹣S的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标，即可证得结论；（Ⅱ）利用•≤15，结合点P是双曲线在第一象限内的一点，可得1＜x1≤2，利用三角形的面积公式求面积，从而可得S﹣S的不等式，利用换元法，再利用导数法，即可求S﹣S的取值范围．解答：（Ⅰ）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0，解得x=﹣1或x=，故x2=．同理可得x1=．所以x1•x2=1．（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），则=（﹣1﹣x1，y1），=（1﹣x1，y1）．因为•≤15，所以（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+y12≤15，即x12+y12≤16．因为点P在双曲线上，所以，所以x12+4x12﹣4≤16，即x12≤4．因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤2．因为S1=|y2|，S2=，所以S﹣S==由（Ⅰ）知，x1•x2=1，即．设t=，则1＜t≤4，S﹣S=5﹣t﹣．设f（t）=5﹣t﹣，则f′（t）=﹣1+=，当1＜t＜2时，f'（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，所以当t=4，即x1=2时，S﹣S的最小值为f（4）=0，当t=2，即x1=时，S﹣S的最大值为f（2）=1．所以S﹣S的取值范围为[0，1]．点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．18．设椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用，可得F1为BF2的中点，根据AB⊥AF2，可得a，c的关系，利用过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：相切，求出a，即可求出椭圆的方程与圆的方程；（Ⅱ）设直线MN方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）．因为AB⊥AF2，所以在Rt△ABF2中，，又因为，所以F1为BF2的中点，所以又a2=b2+c2，所以a=2c．所以F2（，0），B（﹣，0），Rt△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣，0），半径r=a，因为过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：相切，所以=a，解得a=2，所以c=1，b=．所以椭圆的标准方程为：，圆的方程为（x+1）2+y2=1；（Ⅱ）设直线MN方程为y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），则直线方程代入椭圆方程，消去y可得（4k2+3）x2﹣24k2x+36k2﹣12=0，∴△=（24k2）﹣4（4k2+3）（36k2﹣12）＞0，∴k2＜，x1+x2=，x1x2=，∵，∴x1+x2=tx，y1+y2=ty，∴tx=，ty=，∴x=，y=，代入椭圆方程可得3×[]2+4×[]2=12，整理得=∵k2＜，∴0＜t2＜4，∴实数t取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）．点评：本题考查椭圆方程与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，难度大19．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•的最大值为1，最小值为﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设M（x'，y'），化简•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），从而求最值，进而求椭圆方程；（2）设直线MN的方程为x=ky﹣6并与椭圆联立，利用韦达定理求•的值，从而说明是直角．解答：解：（1）设M（x'，y'），则y'2=b2﹣x'2，•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），则当x'=0时，•取得最小值2b2﹣a2=﹣2，当x'=±a时，•取得最大值b2=1，∴a2=4，故椭圆的方程为．（2）设直线MN的方程为x=ky﹣，联立方程组可得，化简得：（k2+4）y2﹣2.4ky﹣=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，又A（﹣2，0），•=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=（k2+1）y1y2+k（y1+y2）+==﹣（k2+1）+k+=0，所以∠MAN为直角．点评：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用，同时考查了向量的应用，属于难题．20．如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），设b＞c．直线PB：y﹣b=，化简，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，由圆心（1，0）到直线PB的距离是1，知，由此导出（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，所以（b﹣c）2=，从而得到S△PBC=，由此能求出△PBC面积的最小值．解答：解：设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），设b＞c．直线PB的方程：y﹣b=，化简，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，∵圆心（1，0）到直线PB的距离是1，∴，∴（y0﹣b）2+x02=（y0﹣b）2+2x0b（y0﹣b）+x02b2，∵x0＞2，上式化简后，得（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，∴b+c=，bc=，∴（b﹣c）2=，∵P（x0，y0）是抛物线上的一点，∴，∴（b﹣c）2=，b﹣c=，∴S△PBC===（x0﹣2）++4≥2+4=8．当且仅当时，取等号．此时x0=4，y0=．∴△PBC面积的最小值为8．点评：本昰考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用．21．已知直L1：2x﹣y=0，L2：x﹣2y=0．动圆（圆心为M）被L1L2截得的弦长分别为8，16．（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M；（Ⅱ）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y2=﹣2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设M（x，y），M到L1，L2的距离分别为d1，d2，则d12+42=d22+82．所以，由此能求出圆心M的轨迹方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0．AB的中点为，AB的中垂线为，由，得．由此能求出k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），M到L1，L2的距离分别为d1，d2，则d12+42=d22+82．…（2分）∴，∴x2﹣y2=80，即圆心M的轨迹方程M：x2﹣y2=80．…（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0．①∴AB的中点为，…（6分）∴AB的中垂线为，即，…（7分）由，得②…（8分）∵存在N使得|NA|=|NB|成立的条件是：①有相异二解，并且②有解．…（9分）∵①有相异二解的条件为，∴⇒且k≠±1．③…（10分）②有解的条件是，∴，④…（11分）根据导数知识易得时，k3﹣k+40＞0，因此，由③④可得N点存在的条件是：﹣1或1＜k＜．…（12分）点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22．已知直线l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（1）联立直线l1和l2的方程，消去参数即可得到交点的轨迹方程，根据a的取值a＞0，﹣1＜a＜0，a=﹣1，a＜﹣1说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐标和离心率．（2）通过a＞0，y≥1时，说明轨迹的图形，求出轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的表达式，通过配方讨论b与的大小，求出|PA|的最小值．解答：解：（1）由消去k，得y2﹣ax2=1①当a＞0时，轨迹是双曲线，焦点为，离心率；②当﹣1＜a＜0时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率；③当a=﹣1时，轨迹是圆，圆心为（0，0），半径为1；④当a＜﹣1时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率（2）当a＞0时，y≥1时，轨迹是双曲线y2﹣ax2=1的上半支．∵|PA|2=x2+（y﹣b）2==①当b＞时，|PA|的最小值为；②当b≤时，|PA|的最小值为|1﹣b|点评：本题考查知识点比较多，涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程，圆的方程，两点的距离公式等等，涉及分类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试常靠题型，多以压轴题为主．23．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面积的最小值．考点：圆锥曲线的轨迹问题；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）设出M的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的轨迹方程；（2）利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰A1B1的方程，分别令y=0和y=1求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形A1B1C1D1面积，利用基本不等式求出其最小值．解答：解：（1）如图，设M（x，y），B′（x0，2），又E（0，b）显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b，则而BB′的中点在直线l上，故，①由于⇒代入①即得，又0≤x0≤2点M的轨迹方程（0≤x≤2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）易知曲线S的方程为（﹣2≤x≤2）设梯形A1B1C1D1的面积为s，点P的坐标为．由题意得，点Q的坐标为（0，1），直线B1C1的方程为y=1．对于有∴∴直线A1B1的方程为，即：令y=0得，，∴．令y=1得，，∴所以当且仅当，即时，取“=”且，时，s有最小值为．梯形A1B1C1D1的面积的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）点评：本题考查两点关于一条直线对称的充要条件；向量运算的几何意义；曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；利用基本不等式求函数的最值．属于一道难题．24．（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长．（2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ，①若φ=60°，θ=45°，求点B的轨迹；②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．考点：圆锥曲线的轨迹问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由圆锥的母线长为4，母线与高成45°角，知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半径为2，由圆周公式2πR可算出底面周长．（2）①设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，﹣acos60°）．设B（x，y，0），则=（0，﹣acos60°，﹣asin60°）．=（x，y，﹣asin60°）．所以．又由|•cos45°，知﹣acos60°•y+a2sin60°=a，平方整理得，由此知点B的轨迹．②设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（x，y，0），则（6分）=（0，﹣acosφ，﹣asinφ）．=（x，y，﹣asinφ）．所以φ．由|•cosθ=a••cosθ．知cos2θ•x2+（cos2θ﹣cos2φ）y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0．故当φ=时，点B的轨迹为圆；当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆；当θ=φ＜时，点B的轨迹为抛物线；当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线．解答：解：（1）∵圆锥的母线长为4，母线与高成45°角，高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，即高和底面半径长度一样，则由勾股定理可知底面半径为2，则由圆周公式2πR可算出底面周长4π；（2分）（2）①设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，﹣acos60°）．设B（x，y，0），则=（0，﹣acos60°，﹣asin60°）．=（x，y，﹣asin60°）．∴．又∵|•cos45°=a•．∴﹣acos60°•y+a2sin60°=a．（11分）平方整理得cos245°•x2+（cos245°﹣cos260°）y2+a2ysin60°sin120°+a2sin260°（cos245°﹣sin260°）=0．即，∴点B的轨迹椭圆；（4分）②设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（x，y，0），则（6分）=（0，﹣acosφ，﹣asinφ）．=（x，y，﹣asinφ）．∴φ．又∵|•cosθ=a••cosθ．∴﹣acosφ•y+a2sinφ=a．（11分）平方整理得cos2θ•x2+（cos2θ﹣cos2φ）y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0．i．当cos2θ﹣cos2φ=0，即θ=φ时，上式为抛物线方程；ii．当cos2θ﹣cos2φ＞0，即θ＜φ时，上式为椭圆方程；iii．当cos2θ﹣cos2φ＜0，即θ＞φ时，上式为双曲线方程．（14分）故当φ=时，点B的轨迹为圆；当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆；当θ=φ＜时，点B的轨迹为抛物线；当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线．（16分）点评：第（1）题考查圆锥的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．第（2）题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．25．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C 于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．考点：椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析：（1）待定系数法求椭圆的方程．（2）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求出AB斜率．（3）设出AB直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算△PAB面积，使用基本不等式求最大值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由题意，解得a2=4，b2=2．所以，椭圆C的方程为．故点P（1，）（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，则PB的直线方程为．由得，．设A（x A，y A），B（x B，y B），则，同理可得．则，．所以直线AB的斜率为定值．（Ⅲ）设AB的直线方程为，由得．由，得m2＜8．此时，．由椭圆的方程可得点P（1，），根据点到直线的距离公式可得P到AB的距离为，由两点间的距离公式可得=，故===≤×=．因为m2=4使判别式大于零，所以当且仅当m=±2时取等号，所以△PAB面积的最大值为．点评：直线与圆锥曲线的综合问题，注意应用一元二次方程根与系数的关系，式子的化简变形，是解题的难点和关键．26．已知点B（0，1），A，C为椭圆上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．（I）当a=4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．（II）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）依题意，可知椭圆的方程为：+y2=1，设C（4cosθ，sinθ），可求得直线l的方程为y=﹣x++，令y=0得x==cosθ（cosθ≠0），利用余弦cosθ的有界性即可求得线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围；（II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴对称时，设出AB的方程为y=kx+1（k＞0），BC的方程为y=﹣x+1，利用直线与方程与椭圆方程联立，利用等腰直角三角形ABC中的两腰|AB|=|BC|，借助基本不等式即可求得a的取值范围；同理可求两条腰AB与BC关于y轴对称时a的取值范围．解答：解：（I）∵a=4，∴椭圆的方程为：+y2=1，故B（0，1），设C（4cosθ，sinθ），则BC的中点M（2cosθ，），∵BC的斜率k BC=，∴线段BC的中垂线l的斜率k=﹣=﹣，∴直线l的方程为：y﹣=﹣（x﹣2cosθ），∴y=﹣x++，令y=0得：x==cosθ（cosθ≠0）∵﹣1≤cosθ≤1且cosθ≠0，∴﹣≤x=cosθ≤且x≠0，∴线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围为[﹣，0）∪（0，]．（II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴对称时，作图如右，设此时过B（0，1）的AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=﹣x+1，由得：（a2k2+1）x2+2a2kx=0，设该方程两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=0，则|AB|==|x1﹣x2|•=•。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题第02节 一元二次不等式及解法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 【·湖北八校联考】不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)2.【·潍坊质检】“01a <<”是“2210ax ax >＋＋的解集是实数集R ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 关于x 的不等式x2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]4. 若函数f(x)＝(a2＋4a －5)x2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]5. 如果关于x 的不等式250x a ≤－的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )A ．80≤a<125B ．80<a<125C ．a<80D ．a>1256.【厦门模拟】不等式(x2－2)log2x>0的解集是( )A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)7.【莆田二模】若不等式20ax bx c >＋＋的解集是(－4,1)，则不等式2()(13)0b x a x c >－＋＋＋的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)8. 若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A. 0B. 2C. 4D. 69. 设2()1f x x bx =++,且(1)(3),f f -=则()0f x >的解集是 ( ) A.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ B.R C.{}|1x x ≠ D.{}|1x x =10. 设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-都成立，则t 的取值范围是（ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．12t ≤-或0t =或12t ≥ D ．2t ≤-或0t =或2t ≥11．【北京市房山区周口店中学高三上学期期中考试】已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（ ）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x xD ．{}|<-lg2x x12.【南昌二中高三上学期第三次考试】不等式2162a bx x b a+<+对任意,(0,)a b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是A ．(2,0)-B ．(,2)(0,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．(,4)(2,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．若关于x 的不等式1420x x a ≥＋－－在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．14．已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]2,1∈x 且[]3,2∈y ，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是．15．已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 .16．【绍兴市一中高三9月回头考数学】已知关于x 的不等式220x ax a -+<的解集为A ，若A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围为三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【日照模拟】已知函数2f(x)=21ax ax ++的定义域为R.(1)求a 的取值范围； (2)若函数f(x)的最小值为22，解关于x 的不等式220x x a a <－－－. 18．已知集合{}2|230,,A x x x x R =--≤∈{}22|240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈ （1）若[]0,3AB =,求实数m 的值；（2）若⊆A B C R ，求实数m 的取值范围. 19．已知不等式012<--mx mx ．（1）若对R x ∈∀不等式恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对]3,1[∈∀x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若对满足2||≤m 的一切m 的值不等式恒成立，求实数x 的取值范围．20．【定州中学高三第一次月考数学】已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+∈≤≤-+-<--=)21(15))(212(3)2(1)(x x R x x x x x x f ．（1）求函数)(x f 的最小值；（2）已知R m ∈，命题p ：关于x 的不等式+≥2)(m x f 22-m 对任意R m ∈恒成立；q ：函数x m y )1(2-=是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题1．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．32．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．323．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．64．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A ．21-B ．2C ．21+D ．22+5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B 6C 5D ．26．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦7．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．328．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣9．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定10．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b + B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +11．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．412．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23二、填空题13．已知向量(9,6),(3,)a b x ==，若//a b ，则()b a b ⋅-=___________.14．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内． 其中真命题为______15．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．20．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足1132AD AB AC =+，则DB DC ⋅=__________．三、解答题21．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.22．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值； （2）求PA PB ⋅的最小值.23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 25．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值； （2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.2．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得55m =， ∴452555D ⎛⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45255,EA λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭； ∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354λλλ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 当34λ=时，551,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 3．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.4．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．5．C解析：C 【分析】以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos 3BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==，所以点Q 的轨迹为圆2234x y +=，又()3,4P ，所以，3322PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ -≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡⎤+=∈-+⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+， 令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 21,O 在BM 的延长线上时,OB 21． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy ac xy x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.9．C解析：C 【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA≥，由垂线段最短可确定结论. 【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥，ABC ∴为直角三角形. 故选：C . 【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.10．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零， 所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122bb bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.二、填空题13．26【分析】先由求出求出再进行的计算【详解】因为所以解得所以故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化利用坐标运算比较简单解析：26 【分析】先由//a b 求出2x =，求出b ，再进行()b a b ⋅-的计算. 【详解】因为//a b ，所以9180x -=，解得2x =，所以(6,4),()362426a b b a b -=⋅-=⨯+⨯=.故答案为：26 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．14．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.15．【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般【分析】先利用平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-解出2a b ⋅=，然后求解2a b -的最值即可得到a b -的最值. 【详解】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=， 而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,D(2,0)-， 由||1AP=，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M为PC中点，即有3cos sin (,)22M θθ+， 则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝ 2(3cos )4θ-=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494． 【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题 解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解． 【详解】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-， 故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.18．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.19．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表 13【分析】建立平面直角坐标系，从而得到,,a b c 的坐标，这样即可得出a b λ+的坐标，根据a b λ+与c 共线，可求出λ，从而求出a b λ-的坐标，即得解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：(1,1),(0,1),(2,1)a b c ==-= ；(,1)a b λλλ∴+=-a b λ+与c 共线2(1)02λλλ∴--=∴=(2,3)a b λ∴-=22||2313a b λ∴-=+=13【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.20．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-【分析】 根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-， 所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan x =，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果. 【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s 3co x x x ==， 又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.22．（1）223-；（2）2-. 【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解. 【详解】（1）当OA OP ⊥时，如图所示，∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752OPB ︒-︒∠==︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒， 在POB 中，由余弦定理，得222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=-∴84362PB =-=，又222PA OA ==，∴1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-=- ⎪⎝⎭（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(3B -，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()22cos ,2sin 12cos 32sin PA PB αααα⋅=--⋅-- 2222cos 4cos 234sin αααα=--+-+2cos 2324sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭. ∵20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当62ππα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．23．（1）π3；（2）27 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ，()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得： ()222a b a b -=-=2244a a b b -⋅+4123627-+=.【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）(2,4)-；（2）5-.【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+=∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．25．（1）1a b +=；-1；（2）45︒.【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=；b 在a 方向上的投影为||cos1352(12b =-=- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，， ∴向量a 与b 的夹角为45︒.【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦.【详解】（1）313cos 32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a a b a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b ⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】 本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。

2021年高考数学高考数学压轴题 平面向量多选题分类精编含答案一、平面向量多选题1．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗C ．()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=- 【答案】BD 【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λab 时,()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,()()()sin ,sin,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】解：对于A ：()()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a bλλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立； 对于C ，若λab ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立； 对于D ，1212cos ,x x y y a b a b+=⋅，212sin ,1a b a b ⎛ ⎪=- ⎪⋅⎭，即有222121212121x x y y x x y y a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⊗=⋅⋅-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⎭⎭===1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.2．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x=+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合； 对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是3【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =，故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =，所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：12sin 3a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.4．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ） A ．()a b a +⊥B ．|2|5a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影是2D ．向量a 的单位向量是55⎛ ⎝⎭【答案】ABD 【分析】多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】(2,1),(3,1)a b ==-对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；对于B:222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；对于C: 向量a 在向量b 上的投影是||(3)a b b ⋅==-，故C 错误；对于D: 向量a 的单位向量是⎝⎭，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【答案】BD 【分析】可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，则()0,0E ，()1,0A -，()10B ,，(3C ， 由2AD DC =可得222333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且12GE AD DC ==， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,2O ⎛ ⎝⎭， 对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误；对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确； 对于C，1,OA ⎛=- ⎝⎭，1,OB ⎛= ⎝⎭，OC ⎛= ⎝⎭，13OD ⎛=- ⎝⎭，所以1,33OA OB OC OD ⎛+++=-- ⎝⎭，所以23OA OB OC OD +++=，故C 错误； 对于D ，(BC =-，13ED ⎛=- ⎝⎭，所以ED 在BC 方向上的投影为127326BC ED BC+⋅==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.6．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 【答案】ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.7．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．2b = B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．(2)a b BC +⊥【答案】AD 【分析】本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 【详解】因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=， 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确， 因为AB a =，BC b =，所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误， 所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，C 错误， 因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=，所以(2)a b BC +⊥，D 正确， 故选：AD. 【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.8．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】AD 【分析】由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果. 【详解】平面向量,,a b c 两两夹角相等，∴两两向量所成的角是0︒或120︒.当夹角为0︒时，,,a b c 同向共线，则4a b c ++=； 当夹角为120︒时，,a b 为单位向量，1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，又2c =，1a b c ∴++=.故选：AD. 【点睛】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ）A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)【答案】ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。