线性二次型
- 格式：ppt
- 大小：3.71 MB
- 文档页数：76
下载文档原格式
合集下载
二次型定理
二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。
本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。
一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。
设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。
二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。
二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。
三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。
具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。
进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。
线性代数二次型的标准形和规范形
含有平方项
含有x1的项配方
解 f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
x1 22x1x22x1x32x2 25x3 26x2x3
(x1x2x3)2x22x322x2x3 2x225x326x2x3 (x 1 x 2 x 3 )2 x 2 2 4 x 3 2 4 去x 2 掉x 3配方后多出来的项
x3 0 0 1 y3
标准形为 f y12y22.
所用变换矩阵为
1 C 0
1 1
0 0
1 2 , 1
(C 10)
例2 用配方法化二次型
f 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换。
解 所给二次型中无平方项，所以先作线性变换
x1 3 y 3
即
x1 x2
1 1
1 1
0 y1 0 y2
x2 0 0 1 y3
原二次型化为
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
再配方，得
f 2 (y 1 y 3 ) 2 2 (y 2 2 y 3 ) 2 6 y 3 2 ,
第二节
本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换XCY，
把二次型f(x1,x2,,xn)XTAX化为y1, y2,, yn 的平方和 d1y12 d2y22 dnyn2 ，称之为二次型的标准形。从前面分
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵C， 使CTAC成为对角阵，即A与一个对角阵合同。
z3
线性代数—二次型(课件)
称 为 由 变 量 x 1 , x 2 , , x n 到 y 1 , y 2 , , y n 的 一 个 线 性 变 换 。
记
x 1
X
x2
,
x n
y 1
Y
y2
,
y n
c11
C
c21
cn1
c12 c22
cn2
c1n
c2n
,
cnn
则上述线性变换可以写成矩阵形式： XCY. 11
的矩阵A和二次型的秩，其 中 a 1,a 2,a 3不 全 为 零 。
解 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ( a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2
a1 2
a1
x1
( x1 , x2 , x3 ) a2 (x1, x2, x3)a2(a1,a2,a3)x2,
a3
x1 c11y1 c12y2 c1n yn x2 c2 1y1 c22y2 c2n yn , xn cn1 y1 cn2 y2 cnnxn
C 称为该线性变换的矩阵。
XCY.
若 C 0 ， 则 此 线 性 变 换 称 为 可 逆 线 性 变 换 。
如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。
a 2x 2 2 2 2 a 2x 3 2 x 3 2 a 2 n x 2 x n
称为一个(n元)二次型.
ann xn2
本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。
3
f(x1,x2,,xn) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 2 x 2 2 a 1 x 1 3 x 3 2 a 1 n x 1 x n
6
f(x1,x2, ,xn)XTA,X
线性二次型讲解
(3)
其解为：
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
(5)
线性二次型(LQ)最优控制问题
横截条件给出了终端时刻二者的关系：
1 [ xT (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f ) (6)
边界条件：
(17)
(6)
(13)
(t f ) Fx(t f )
(t ) P(t ) x(t )
P(t f ) F
(18)
线性二次型(LQ)最优控制问题
黎卡提方程求解问题：
（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分 方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值 解。
u(t ) R1BT R1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
(14)
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优线性反馈控制
求解P(t),但直接 利用式（12）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用性质求解P（t）
(t ) P(t ) x(t ) (13) x Ax BR 1BT Ax S
说明：
1 T J (u ) [ x (t )Qx(t ) u (t )T Ru (t )]dt 2 t0
(2)
1）要求系统完全能控。
2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应
线性二次型(LQ)最优控制问题
可以证明：
(10)
(t ) (22 F12 )1 (F11 21 ) x(t )
6考研基础复习(线性代数)二次型
A = (a ij ) n×n , AT = A .
一、二次型的基本内容
1、二次型及其矩阵表示 、
的矩阵， 对称阵 A 称为二次型 f ( x ) 的矩阵， 的二次型. 二次型 f ( x ) 称为对称阵 A 的二次型.
是实 A 数时， 是实二次型， 为实对称阵. 数时，f ( x ) 是实二次型， 为实对称阵.
（ 定二次型， （负） 正 则称该二次型为正 负） 定二次型， 定二次型的矩阵 A 称为正（负）定矩阵. 称为正（ 定矩阵.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别 、
f ( x 1 , L , x n ) = x T Ax ， 如果实二次型
对于任意一组不全为零的实数 x = ( x 1 , L , x n ) T ，都有
二、典型题型分析及举例
例6.6
——题型 ：基本概念题 题型I： 题型
4、二次型和矩阵的正定性及其判别 、
正定； 特征值全正； ② A 正定； 特征值全正； 一切主子式全 > 0 ； 一切顺序主子式全 > 0 ； A 与 E 合同 A 1 正定； 正定； 存在可逆矩阵 C ，使 A = C T C ；
4、二次型和矩阵的正定性及其判别 、
A 正定； 正定；
的矩阵为： 的矩阵为： 二次型的秩为： 二次型的秩为：
， .
二、典型题型分析及举例
例6.2
——题型 ：基本概念题 题型I： 题型
二次型： 二次型：
2 2 2 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x1 + x 2 + x 3 + 2 x1 x 2 + tx 2 x 3
是正定的，那么 t 应满足不等式： 应满足不等式： 正定的， .
线性代数二次型
线性代数二次型线性代数中的二次型描述的是多元函数的形式，是一个关于多元变量的最高次平方项的函数。
当我们只考虑第二次有关变量的函数时，称为二次函数，可以表示为：f(x,y)=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy+a_{20}x^2+a_{02}y^2其中，a_{ij}为常数系数。
当变量个数为二时，a_{ij}一共有6个：a_{00},a_{01},a_{02},a_{10},a_{11},a_{20}，其中a_{20}和a_{02}分别描述了x和y各自本身的作用。
它们两个变量将产生函数f(x,y)的极值，即满足极值条件的函数点以及其附近的极大值点的方向向量。
由f(x,y)的定义可以发现，其图形是一条抛物线；若a_{20}<0，a_{02}<0，则函数的上拱与下凹形成一个凹型；若a_{20}>0，a_{02}>0，则函数的上拱与下凹形成一个凸型；若a_{20}>0，a_{02}<0，则函数形成一个锥形。
二次型在线性代数、优化理论、公众经济学等多个方面都具有重要意义。
在线性代数里，二次型是证明方程组有解最重要的准则之一；在优化理论里，二次型是求极值最为常见的一类问题；在公众经济学里，二次型有着应用广泛的基本模型，研究双位置不确定性下的物价水平和量的曲线就是一个运用二次型的典型的例子。
在运筹学应用上，常常使用二次型表示变量与变量之间的关系，对其解析或者可以利用数学优化算法求解它所代表的最优化问题。
几何上，二次型可以用来表示抛物线，平面曲线，曲面等。
它们也被广泛运用到电子技术、信息科学、控制理论等多个领域中。
从上面的描述可以看出，二次型在线性代数、优化理论、公众经济学等多个学科中都非常重要，可以说是当今学科发展的重要内容。
线性代数-二次型
二次型也用于描述平面或三维空间中的曲面，如椭球面、抛 物面、双曲面等。这些曲面也可以通过调整二次型的系数来 改变其形状和大小。
在物理中的应用
在经典力学中，二次型常常用来描述物体的运动轨迹。例如，行星的运动轨迹可 以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到行星的运动轨迹。
在量子力学中，二次型也用于描述粒子的波函数。例如，一个自由粒子的波函数 可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到粒子的能级和波 函数。
02
矩阵$A$的元素由二次型中各项的系数决定，即$A =
(a_{ij})$，其中$a_{ij} = frac{1}{2}(b_{ij} + b_{ ji})$。
03
矩阵表示的二次型可以方便地进行代数运算和变换，
例如求导数、求极值等。
二次型的几何意义
二次型在几何上表示一个二次 曲面或曲线，其形状由矩阵 $A$决定。
THANKS
感谢观看
在经济学中的应用
二次型在经济学中也有广泛的应用。 例如，在微观经济学中，二次型可以 用来描述消费者的效用函数，通过求 解这个二次型的最大值，可以得到消 费者的最优消费决策。
VS
在宏观经济学中，二次型可以用来描 述一个国家的生产函数，通过求解这 个二次型的最大值，可以得到一个国 家最优的产出水平。此外，二次型也 用于描述成本函数、需求函数等。
正定二次型
01
正定性
对于正定二次型，其矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
02
特征
正定二次型的特征值都大于0。
03
实例
对于二次型 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，它是一个正定二次型，因为其
矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
在物理中的应用
在经典力学中，二次型常常用来描述物体的运动轨迹。例如，行星的运动轨迹可 以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到行星的运动轨迹。
在量子力学中，二次型也用于描述粒子的波函数。例如，一个自由粒子的波函数 可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到粒子的能级和波 函数。
02
矩阵$A$的元素由二次型中各项的系数决定，即$A =
(a_{ij})$，其中$a_{ij} = frac{1}{2}(b_{ij} + b_{ ji})$。
03
矩阵表示的二次型可以方便地进行代数运算和变换，
例如求导数、求极值等。
二次型的几何意义
二次型在几何上表示一个二次 曲面或曲线，其形状由矩阵 $A$决定。
THANKS
感谢观看
在经济学中的应用
二次型在经济学中也有广泛的应用。 例如，在微观经济学中，二次型可以 用来描述消费者的效用函数，通过求 解这个二次型的最大值，可以得到消 费者的最优消费决策。
VS
在宏观经济学中，二次型可以用来描 述一个国家的生产函数，通过求解这 个二次型的最大值，可以得到一个国 家最优的产出水平。此外，二次型也 用于描述成本函数、需求函数等。
正定二次型
01
正定性
对于正定二次型，其矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
02
特征
正定二次型的特征值都大于0。
03
实例
对于二次型 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，它是一个正定二次型，因为其
矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
线性代数二次型与二次型矩阵
线性代数二次型与二次型矩阵二次型在线性代数中扮演了重要的角色，它是数学中一种重要的函数形式。
本文将介绍线性代数中的二次型以及与之相关的二次型矩阵。
1. 二次型的定义在线性代数中，二次型是指一个二次齐次多项式，它的形式可以表示为：$$Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots +a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \ldots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是 $n$ 个实数变量，$a_{ij}$ 是实数系数。
2. 二次型矩阵对于一个二次型 $Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，可以将其对应的系数矩阵标记为 $A$。
矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 即为二次型中 $x_i$ 和$x_j$ 的系数。
例如，$a_{11}$ 对应的是 $x_1^2$ 的系数。
对应于上述的二次型，我们可以将其系数矩阵表示为：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\\end{bmatrix}$$其中，$A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵。
3. 二次型矩阵的性质二次型矩阵具有一些重要的性质，下面列举其中几个：- 如果矩阵 $A$ 是一个对称矩阵，即 $A = A^T$，那么对应的二次型就是轴对称的。
- 二次型矩阵 $A$ 的秩等于二次型的秩，即 $rank(A) = rank(Q)$。
线性代数的二次型
线性代数的二次型二次型作为线性代数中的一个重要概念，在各个领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念、矩阵表示、规范形以及二次型的几何意义等方面进行论述，帮助读者更好地理解和应用线性代数中的二次型。
一、基本概念在线性代数中，二次型是一种特殊的多项式形式，它包含了二次项和线性项，不包含常数项。
通常表示为：$$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中，$x_1,x_2,\cdots,x_n$是$n$个实数变量，$a_{ij}$是$n\timesn$阶实对称矩阵的元素。
二、矩阵表示二次型可以通过矩阵和向量的乘法来表示。
假设$A$是一个$n\times n$阶实对称矩阵，$x$是一个$n$维列向量，则二次型$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx$。
这样的表示方式更加简洁和便于计算。
三、规范形在研究二次型时，我们常常希望将其化为规范形，以便更好地理解和研究其性质。
规范形指的是将二次型化为一种特定形式的简化表示。
1. 实对称矩阵的对角化实对称矩阵可以对角化为对角阵，即$A=P\Lambda P^T$，其中$P$是正交矩阵，$\Lambda$是对角矩阵。
由于正交矩阵的转置等于其逆矩阵，所以对于二次型$Q(x)=x^TAx$，我们有$Q(x)=x^TP\LambdaP^Tx$。
2. 规范形当实对称矩阵的对角元素为1或-1，其余元素均为0时，二次型称为规范二次型。
规范二次型具有简洁的特点，形式为$Q(x)=\pmx_1^2\pm x_2^2\pm \cdots \pm x_r^2$，其中$r$是规范二次型中非零对角元素的个数。
四、二次型的几何意义二次型可以与几何图形相联系，使得我们能够通过计算二次型的特征值和特征向量来获得图形的有关信息。
1. 特征值与特征向量对于二次型$Q(x)=x^TAx$，如果存在非零向量$x$和实数$\lambda$，满足$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$是$A$的一个特征值，$x$是相应的特征向量。
线性二次型分析
x(t f ) 11 x(t ) 12 (t )
(8) (9)
(t f ) 21 x(t ) 22 (t )
线性二次型(LQ)最优控制问题
（9）-（8）*F 可得
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 )(t ) 0
线性二次型(LQ)最优控制问题
状态调节器—无限时间状态调节器 终端时间t , 无限时间问题
设线性定常系统的状态方程为
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
(1)
初始条件x(t0 ) x0 , 终端时间t
假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，求最优控制 u * (t )，使系统的二次型性能指 标取极小值。
最优性能指标为：
1 J [ x(t ), t ] x(t )T P(t ) x(t )T 2
*
(19)
线性二次型(LQ)最优控制问题
状态调节器的设计步骤
（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R
（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)
P PA AT P PBR 1BT P Q
u(t ) R1BT R1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
(14)
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优线性反馈控制
Байду номын сангаас
求解P(t),但直接 利用式（12）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用性质求解P（t）
(t ) P(t ) x(t ) (13) x Ax BR 1BT Ax S
(3)
其解为：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a 2 b p 1
*
1 a 2
最优控制为：
u (t )* R 1 B T Px (t ) x1 (t ) a 2 x2 (t )
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优状态调节器系统结构图
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
物理意义
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用极小值原理求u(t)的表达式
(1)
(2) R(t)正定，保证其逆阵的存在
规范方程组：
写成矩阵形式：
x Ax BR 1BT Ax S H Qx AT x S x x A (4) Q AT
利用矩阵P正定的性质
2 p11 p22 p12 0 (a 2) b a 2 1 0 0 (a 1) b a 2 (a 1) 2 1 2 平方 b a a a2 a2
线性二次型(LQ)最优控制问题
* 与给定条件 a b 2 0矛盾，故假设 p12 1不成立
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
性能指标中的参数的影响---r变化的影响
线性二次型(LQ)最优控制问题
性能指标中的参数的影响--- tf 变化的影响
线性二次型(LQ)最优控制问题
状态调节器—无限时间状态调节器 终端时间 t , 无限时间问题
设线性定常系统的状态方程为
(15)
（13）对时间求导
Px Px Px P[ Ax BR 1BT Px] [ P PA PBR 1BT P]x
（15）与（16）相等，可得
(16)
P PA AT P PBR1BT P Q
边界条件：
(17)
(6)
P(t f ) F (18)
线性二次型(LQ)最优控制问题
输出调节器---无限时间调节器
设线性定常系统的状态方程为
x(t ) Ax(t ) Bu (t ) y(t ) Cx(t )
(1) (2)
假设控制向量 (t ) 不受约束 ，求最优控制 u* (t )，使下列二次型性能指 标最小。
1 T J [ y (t )Qy(t ) u(t )T Ru(t )]dt 2 t0
令P (t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) (12)
(11) (10)
(t ) P(t ) x(t )
(13)
可见 (t )与x(t )是线性关系，（ ）代入u(t )表达式则有 12
u(t) R1BT R1BT P(t)x(t) K(t)x(t)
线性二次型(LQ)最优控制问题
性能指标的物理含义
两个积分项相互制约，应折中处理
线性二次型(LQ)最优控制问题
加权矩阵的选取
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型的三种情形
线性二次型(LQ)最优控制问题
状态调节器—有限时间状态调节器
1 T 1 tf T J (u) x (t f ) Fx(t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u(t )T R(t )u(t )]dt 2 2 t0
1 T 1 tf T J y (t f ) Fy(t f ) [ y (t )Q(t ) y(t ) u(t )T R(t )u(t )]dt 2 2 t0
终端时间 t0 及t f 固定, 系统完全可观测
物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。 根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题
（4）求解最优轨线x*(t) （5）计算性能指标最优值
1 J [ x(t ), t ] x(t )T P(t ) x(t )T 2
*
线性二次型(LQ)最优控制问题
例
线性二次型(LQ)最优控制问题
利用MATLAB求解
线性二次型(LQ)最优控制问题
利用MATLAB求解
线性二次型(LQ)最优控制问题
(2)
1）要求系统完全能控。
2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应
线性二次型(LQ)最优控制问题
可以证明：
u(t )* Kx(t ) R1BT Px(t )
P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程
(3)
PA AT P PBR1BT P Q 0
最优轨线满足下列线性定常齐次方程：
二次型性能指标为：
1 0 x(t ) 1u (t ) 0
1 2 2 J [ x1 (t ) 2bx1 (t ) x2 (t ) ax2 (t ) u 2 (t )]dt 2 0 2 式中a b 0(Q正定）
求使性能指标为极小值时的最优控制。 解：化为标准矩阵形式
0 1 0 x(t ) x(t ) 1u(t ) 0 0 y(t ) 1 0x(t )
二次型性能指标为：
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
(1)
初始条件 (t0 ) x0 , 终端时间 x t
假设控制向量 u (t )不受约束 ，求最优控制 u* (t )，使系统的二次型性能指 标取极小值。
说明：
1 T J (u) [ x (t )Qx(t ) u(t )T Ru(t )]dt 2 t0
(8) (9)
(t f ) 21 x(t ) 22 (t )
线性二次型(LQ)最优控制问题
（9）-（8）*F 可得
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 ) (t ) 0
(t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) x(t )
线性二次型(LQ)最优控制问题
状态调节器的设计步骤
（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R
（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)
P PA AT P PBR1BT P Q P(t f ) F
（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)
u(t)* K(t) x(t) R1BT P(t) x(t)
线性二次型(LQ)最优控制问题
输出调节器
线性二次型(LQ)最优控制问题
输出调节器---有限时间调节器
设线性时变系统的状态方程为
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y(t ) C (t ) x(t )
(1) (2)
假设控制向量u (t )不受约束 ，求最优控制 u* (t ) ，使下列二次型性能指 标最小。
展开整理得到三个代数方程
2 p12 1
p11 p12 p22 b 0
p22 a 2 p12
2 2 p12 p22 a 0
解之
p12 1
p11 p12 p22 b
线性二次型(LQ)最优控制问题
利用矩阵P正定的性质
p12 1
p22 a 2 p12
(t f ) Fx(t f )
(t ) P(t ) x(t )
(13)
线性二次型(LQ)最优控制问题
黎卡提方程求解问题：
（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分 方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值 解。
最优性能指标为：
J *[ x(t ), t ] 1 x(t )T P(t ) x(t )T 2 (19)
(14)
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优线性反馈控制
求解P(t),但直接 利用式（12）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用性质求解P（t）
(t ) P(t ) x(t ) (13) x Ax BR 1BT Ax S
H Qx AT Qx AT Px x
p11 u(t ) R B Px(t ) 1[0,1] p21
* 1 T
p12 x1 (t ) x (t ) p21x1 (t ) p22x2 (t ) p22 2
P满足下列黎卡提矩阵代数方程：
PA AT P PBR1BT P Q 0
(4)
x(t) [ Ax BR1BT P]x(t ) [ A BK ]x(t )
性能指标最优值
(5)
J *[ x(t0 )]
1 x(t0 )T Px(t0 )T 2
(6)
可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。
线性二次型(LQ)最优控制问题
例 已知二阶系统的状态方程为 0 x(t ) 0
为了与（6）建立联系，将（5）写成向终端转移形式：
x(t f ) x(t ) 11 12 x(t ) (t ) (t f , t ) (t ) 21 22 (t ) f (7)
x(t f ) 11 x(t ) 12 (t )
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
包含的主要内容：
线性二次型问题 状态调节器 输出调节器
跟踪器
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型问题
状态方程为
线性二次型(LQ)最优控制问题
0 1 A 0 0
0 B 1
1 b Q b a