电子教案-高等数学(四版_侯风波)演示文稿-达朗贝尔-电子课件

数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社1五、Γ函数与B函数Γ函数与B函数是含参变量的反常积分所定义的非初等函数，它们在数学、物理、经济中有广泛的应用．（一）Γ函数（Gamma函数）函数10()某某ed某αα+∞--Γ=称为Γ函数．由§12.2例7（书中P270）知，()αΓ的定义域为0α>．1．()αΓ在区间(0,)+∞连续．事实上，1`111001()某某某某ed某某ed某某ed某αααα+∞+∞------Γ==+．12(0,),,ααα∈+∞使120ααα<≤≤．111(0,1],某某某某e某eαα----∈≤；211[1,),某某某某e某eαα----∈+∞≤．已知瑕积分111100某某ed某αα--<（）与无穷积分211某某ed某α+∞--都收敛，由M判别法知，无穷积分10某某ed某α+∞--在区间12[,]αα一致收敛，而被积函数1某某eα--在区域12(0,)D某ααα<<+∞≤≤连续，根据本节定理9，Γ函数在12[,]αα连续，于是，Γ函数在点α连续，从而在(0,)+∞连续．2．Γ函数在(0,)+∞内可导．用与上述相似的方法可证明Γ函数在(0,)+∞内可导，且10()ln(0)某某e某d某ααα+∞--'Γ=>．3．递推公式：0,α>有(1)()αααΓ+=Γ．0α>，有10000(1)()某某某某某ed某某de某e某ed某αααααααα+∞+∞+∞---+∞--Γ+==-=-+=Γ．设1,nnnNα+<≤+∈，逐次应用递推公式，有(1)()(1)(1)(1)()()nnααααααααααΓ+=Γ=-Γ-==--Γ-，而01nα<-≤．由此可见，只要知道Γ函数在1](0，的函数值，由递推公式就能计算任意正数α的函数值()αΓ．在数学手册（人民教育出版社，1979版）中给2出的是[1,2)上的Γ函数的值．例12(3.65)2.651.65(1.65)Γ=Γ，查表知，(1.65)0.9001Γ=，带入上式，得(3.65)2.651.65(1.65)2.651.650.90013.9357Γ=Γ=≈．若求(0.65)Γ，则(1.65)0.9001(1.65)0.65(0.65),(0.65)1.38480.650.65ΓΓ=ΓΓ==≈．当,nnNα+=∈，有(1)()(1)(1)(1)1(1)!nnnnnnnnnΓ+=Γ=-Γ-==-Γ=，即0(1)!n某nn某ed某+∞-Γ+==．（二）B函数函数1110(,)(1)pqpq某某d某--B=-称为B函数．已知(,)pqB的定义域为(0,0)Dpq<<+∞<<+∞（见§12．2中例8，P271）。

上点P0 (x0 , y0 )的 邻域，而称不包含点 P0的邻域为无 心邻域．
二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函 数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义 域的图形一般由平面曲线围成．
例 3 设 f (x, y) exy ，求 f (2,3).
导数，记为
z x
f , x x0 x y y0
xx0 , zx
y y0
xx0 或f x (x0 , y0 ) .
y y0
类似地，当 x 固定在 x0 ，而 y 在 y0 处有改变量y ，
如果极限 lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) 存在，则称此极限为函
y0
y
数 z f (x, y)在点（x0，y0）处对 y 的偏导数，记为
f (x, y)在区域 D 内的每一点都连续,则称 f (x, y) 在区域 D
上连续．
若令 x x0 x, y y0 y ，则式
lim
x x0
f
(x, y)
f
(x0 , y0 ) ,
y y0
可写成 lim x0
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0 ,
y0 )
0.
y0
即
lim z 0.
x0
y0
证
因为P RT ，所以P
V
V
RT V2
．
又 V RT ，所以V R ．
P
T P
同样由 T PV ，所以T V ．
R
P R
因此,
P V V T
T P
(
RT V2

2024年高等数学电子教案word一、教学内容本教案依据《高等数学》教材，涉及第三章“一元函数微分学”的3.1节至3.3节。

详细内容包括导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、微分中值定理及导数的应用等。

二、教学目标1. 理解并掌握导数的定义，能熟练运用导数求解实际问题。

2. 掌握求导法则，能对常见函数求导。

3. 了解导数与函数图形的关系，能运用导数分析函数的性质。

三、教学难点与重点重点：导数的定义及求导法则，导数的应用。

难点：高阶导数的求法，隐函数求导，微分中值定理的理解与应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、《高等数学》辅导书、笔记本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中的优化问题，如最短路径、最大利润等，引导学生思考如何解决这类问题，从而引出导数的概念。

2. 理论讲解（10分钟）详细讲解导数的定义、几何意义、物理意义等，让学生对导数有一个全面的认识。

3. 例题讲解（15分钟）讲解例题，涵盖求导法则、高阶导数、隐函数求导等，让学生掌握求导方法。

4. 随堂练习（10分钟）设计针对性强的练习题，让学生及时巩固所学知识。

5. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 黑板左侧：导数的定义、求导法则、高阶导数公式。

2. 黑板右侧：例题及解答，随堂练习。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列函数的导数：y=x^3, y=sin(x), y=e^x。

（2）已知函数f(x)=x^2+3x+1，求f(x)在x=2时的导数。

（3）求隐函数y=x^2+2x^3的导数。

2. 答案：（1）y'=3x^2, y'=cos(x), y'=e^x。

（2）f'(x)=2x+3，所以f'(2)=7。

（3）y'=2x+6x^2。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对导数的定义和求导法则掌握较好，但在高阶导数和隐函数求导方面存在一定困难，需要在课后加强练习。

的 项 然 于 数 它 各 显 小 级 1 1 1 1 1 1 1+( p + p ) +( p +⋯ p ) +( p +⋯ p ) +⋯ + + 2 2 4 4 8 8 1 1 2 1 3 =1+ p−1 +( p−1) +( p−1) +⋯ 2 2 2
应 各 , 所 级 是 比 数 公 为 对 的 项 而 得 数 等 级 ,其 比 ∞ 1 1 q = p−1 <1 故 敛 于 当p >1 ,级 ∑ p 收 . , 收 , 是 敛 时 数 2 n= n 1
∞
证 我 利 定 分 几 意 加 证 . 们 用 积 的 何 义 以 明 n 1 调 级 部 和 n =∑ ， 图 示 考 曲 和 数 分 S 如 所 . 察 线 k= k 1 1 y = , x =1 x = n+1和y =0所 y , x 围 的 边 形 面 成 曲 梯 的 积 S 1 与 影 示 阶 形 积A 阴 表 的 梯 面 n 1/2 之 的 系 间 关 ，
子 式 + u ∑u ＝ +u +u +… u +…
n= 1 n 1 2 3
n
∞
为 数 无 级 ， 称 项 数 其 第 称 常 项 穷 数 简 数 级 ， 中 n项 un 称 一 项 通 ． 为 般 或 项
例① 算 级 术 数 a +(a2 +d) +(a +2d) +… （ 1 +(n−1 d) + … ) ＋ a 1 1
②等 级 （ 何 数 比 数 几 级 ） 2 a +aq+aq + +a qn−1 +… ， … 1 1 1 1

定理2.6.4 设f (x)与g (x)是R [x]的两个多项式,它们的次数都 不大于n.若是以R中n + 1个或更多的不同的数来代 替x时,每次所得f (x)与g (x)的值都相等,那么 f (x) = g (x) . 证 令 u (x) = f (x) – g (x) 若f (x)≠g (x), 换一句话说, u (x) ≠0 ,那么u (x)是一个 次数不超过n的多项式,并且R中有n + 1个或更多的 根. 这与定理2.6.3矛盾.
当x = c时f (x)的值 f (c) .
综合除法
设f ( x) a0 x n a1 x n 1 a 2 x n 2 a n 1 x a n , 并且设
(1) 其中
f ( x) ( x c) q ( x) r ,
q( x)b x
0 n 1
.... bn 1
f ( x) a0 a1 x ai x a m x , j n g ( x) b0 b1 x b j x bn x ,
i m
c0 , c1 ,cm n .
由于f (x)和g (x)都是本原多项式,所以p不能整除f (x)
的所有系数,也不能整除g (x)的所有系数.令 ai 和b j各
这样,欲求系数 bk ,只要把前一系数 bk 1 乘以c再加 上对应系数 a k ,而余式的 r 也可以按照类似的规律 求出. 因此按照下所指出的算法就可以很快地陆续 求出商式的系数和余式:
c | a0 b0
a1 cb0 b1
a 2 a n 1 cb1 cbn 2 b2 bn r
比较等式(1)中两端同次项的系数,我们得到
a 0 b0 , a1 b1 cb0 , a 2 b2 cb1 , a n 1 bn 1 cbn 2 , a n r cbn 1 .

为何？
第二节 不定积分的积分方法
一、换元积分法 二、分部积分法 三、简单有理数的积分
一、换元积分法
1．第一换元积分法(凑微分法)
例 1 求 e3xdx.
解 被积函数e3x是复合函数，不能直接套用公式
exdx ex C，我们可以把原积分作下列变形后计算：
e3xdx 1 3
e3xd(3x) 令u 3x
xdx
sec
x(sec x tan tan x sec x
x)
dx
sec2 x tan x
sec x tan sec x
xdx
(tan
x
1
sec
x)
d(tan
x
sec
x)
ln
|
sec
x
tan
x
|
C.
类似得(6) csc xdx ln | csc x cot x | C．
本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用．
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
5
x2
1
x2xBiblioteka 12x2C.
52
（２）
x2 x2
1dx 1
x2 1 x2 1
2
dx
1
2 x2
1dx
dx
2
x

sù)。
(x at) (x at) 1
x at
( )d.
2
2a xat
3. 传播
u x,0 F x
(chuánbō)波
*考察 u x,t F x at 情况： u x,t0 F x at0
由左图可知振动的波形以常速
度 a 向右传播。因此，F x at
§2 达朗贝尔（d’Alembert）公式(gōngshì)、波的传 播
1.叠加原理(yuánlǐ)（思想：化繁为简，大道至简
）*物理上叠加现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这 些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加 。比如，声学(shēngxué)中把弦线振动时所发出的复杂的 声音分解成各种单音的叠加（类比：三原色）。
t
0, ( x),
x x
R, R.
自由 (zìyóu)振 动
utt
(
x,
t
)
a
2uxx
(
x,
t
)
f
( x, t ),
t 0, x R,
零初始 条件受
u(x, 0) 0, ut (x, 0) 0,
x R. 迫振动
这样求解弦振动(zhèndòng)的柯西问题就转化为分别求解齐 次方程带非齐次边界条件的柯西问题(I)和非齐次方程带齐次初 始条件的柯西问题(II)
下面我们来确定 F 和 G函数表达式。
第六页，共23页。
u x,t F x at G x at ,
u(
x,
0)
(x),
ut (x, 0)
(x),
x R.
把上述通解(tōngjiě)表达式代入初始条件，得
到u ： F (x) G(x) (x), t0

f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) ( y0 y) ( y0 ).
用前面相同的方法, 又可得到
F ( x, y) f yx ( x0 3 x, y0 4 y) x y
( 0 3 ,4 1).
当 x, y 不为零时，由 (5), (6) 两式又得
极值问题
其中f xy，f y x这两个既有x，又有y的高阶偏导数称为 混合偏导数. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
z 3z
x
y0x0
1 x
y
f ( x0 x, y0 y)
f ( x0 , y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) ; (1)
类似地有
1
f
y
x ( x0 ,
y0 )
lim
x0
lim
y0
x
y
f ( x0 x,
y0 y)
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ) . (2) 为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2)
(3)
证令
F ( x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 y) f ( x0, y0 ),
于是有 ( x) f ( x, y0 y) f ( x, y0 ).
F ( x, y) ( x0 x) ( x0) .

02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法，包括向量在空间直角 坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标 计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积 等运算在坐标计算中的实现方法，以及这些 运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，反映了函数值随自变量变化的快 慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的 切线斜率，即函数图像在该点的倾斜 程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全 增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$，其 中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关， $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。

第三章 导数与微分
第一节 导数的概念
第二节
第三节
求导法则
微分及其在近似计算中的应用
第一节 导数的概念
一、两个实例
二、导数的概念 三、可导与连续
四、求导举例
第一节 导数的概念
一、两个实例
1 .变速直线运动的瞬时速度
设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s=s(t)， 求该物体在 t0 时刻的瞬时速度.设在 t0 时刻物体的位置 为 s( t0 ).当经过 t0 + Δt 时刻获得增量 Δt 时，物体的位 置函数 s 相应地有增量 s s (t0 t ) s (t0 ), （如下图）
y f ( x) 根 设函数 y f ( x) 在点 x 处可导,有 lim x0 x
三、可导与连续
因为 y f (0 x) f (x) x , 所以在 x 0 点的右导数:
x y x f ( 0 ) lim lim lim 1. x 0 x x 0 x x 0 x x y x f ( 0 ) lim lim lim 1 . 而左导数是: x 0 x x 0 x x 0 x
N (t ) lim
Δx 0
N (t Δ t ) N (t ) Δt
关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物 繁殖率等等，在这里就不再一一列举了.
y 据函数的极限与无穷小的关系,可得 f ( x) ( x) . x 其中 (x) 是x 0 的无穷小，两端各乘以 x ,即得 y f ( x ) x α ( x ) x ,由此可见 lim y 0 . x 0
分别叫做函数 f ( x) 在点 x0 处的左导数和右导数， 且分别记为 f ( x0 ) 和 f ( x0 ) .

第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

二、重点：复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及图形。

难点:复合函数及分段函数.自学:集合,映射三、主要外语词汇:Functionandmapping四、辅助教学情况:多媒体课件第四版（修改）五、参考资料(资料):同济大学《高等数学》第五版一、集合1.集合概念集合(简称集):具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.可表示为A?{M?{NN?R表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.Z?{?????,?n,?????,?2,?1,0,1,2,?????,n,?????}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.子集:若x?A,则必有x?B,则称A是B的子集,记为A?B(读作A包含于B)或B?A. 如果集合A与集合B互为子集,A?B且B?A,则称集合A与集合B相等,记作A?B.若A?B且A?B,则称A是B的真子集,记作A≠⊂B.例如,N≠⊂Z≠⊂Q≠⊂R.不含任何元素的集合称为空集,记作?.规定空集是任何集合的子集.2.集合的运算设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B 的并集(简称并),记作A?B,即A?B设与B 的A?B设与B 的A\A都是,设(1)交换律A?B?B?A,A?B?B?A;(2)结合律(A?B)?C?A?(B?C),(A?B)?C?A?(B?C);(3)分配律(A?B)?C?(A?C)?(B?C),(A?B)?C?(A?C)?(B?C);(4)对偶律(A?B)C?A C?B C,(A?B)C?A C?B C.(A?B)C?A C?B C的证明:x?(A?B)C?x?A?B?x?A且x?B?x?A C且x?B C?x?A C?B C,所以(A?B)C?A C?B C.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为A?B,即A?B?{(x,y)|x?A且y?B}.2.3.设(a[a[a度[a区间在数轴上的表示:邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).设?是一正数,则称开区间(a??,a??)为点a的?邻域,记作U(a,?),即U(a,?)?{x|a??<x<a??}?{x||x?a|<?}.其中点a称为邻域的中心,?称为邻域的半径.去心邻域U (a ,?):U (a ,?)?{x |0<|x ?a |<?} 二、函数 1.函数概念定义设数集D ?R ,则称映射f :D ?R 为定义在D 上的函数,通常简记为y ?f (x ),x ?D ,注y 之间（,例如“（因此构（求定义域举例:求函数412--=x xy 的定义域.解：要使函数有意义,必须x ?0,且x 2??4?0.解不等式得|x |?2.所以函数的定义域为D ?{x ||x |?2},或D ?(??,2]?[2,??]).(5)表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集{P (x ,y )|y ?f (x ),x ?D }称为函数y ?f (x ),x ?D 的图形.图中的R f 表示函数y ?f (x )的值域.2.单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个x ?D ,对应的函数值y 总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个x ?D ,总有确定的y 值.例如,r ]，由当x 取(?r . ,,3.数注：（1）分段函数是一个函数，而不是两个函数。

lim(2n 1) 不存在；
n
（ 4 ） 对 于 数 列 un (1)n1 ， 即1,1,1,...,(1)n1,... 极 限 lim(1)n1不存在．
n
第十三页，共60页。
3.数列极限存在定理
单调数列 如果数列{un} 对于每一个正整数 n，都
有un un1，则称数列{un} 为单调递增数列；类似地，如
有定义无关．
邻域的概念：开区间（x ，x ）称为以x 为中 心，以 （ ＞０）为半径的邻域，简称为点x 的邻域，
记为 N （x ， ）．用N (xˆ0, ) 表示 x0 的空心邻域，即 (x0 , x0) (x0, x0 )( 0)．
定义１ 设函数 f (x)在 x0 的某一空心邻域N (xˆ0 , )
则称 x x0时， f (x)以 A 为极限，记为 lim f (x) A． xx0 五、无穷小量 1． 无穷小量的定义 定义 8 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小． 说明（1）数零是惟一可作为无穷小的常数. （2）无穷小表达的是量的变化状态，而不是量的大
小．一个量不管多么小，都不能是无穷小量，零是惟一例外 的．即无穷小量是绝对值无限变小且趋于零的量．
x
x x
x
x
f (x) x 1 1 1 中的1 为 x 时的无穷小量，所以，
x
xx
f (x) 1 1为所求极限值与一个无穷小量之和的形式． x
3． 无穷小量的运算性质
定理 5 有限个无穷小的代数和是无穷小量．
说明：无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.如
n
时
，
1 n2
,
2 n2
,
n 均 为 无 穷 小 量 ， 但 n2
x0

预备定理和概念
熟悉相关的预备定理和概念，如泰勒级数、欧拉公式等，为证明过 程做好准备。
证明过程详解
泰勒级数展开
利用泰勒级数展开，将复杂的函 数表示为无穷级数的情势，为后
续证明提供基础。
欧拉公式应用
利用欧拉公式将复数情势的泰勒级 数转换为实数情势，便于理解和应 用。
证明主要步骤
详细阐述证明的主要步骤，包括公 式的推导、等价变换、无穷级数的 求和等。
达朗贝尔公式教学课件
目 录
• 达朗贝尔公式简介 • 达朗贝尔公式的推导过程 • 达朗贝尔公式的证明 • 达朗贝尔公式的应用实例 • 达朗贝尔公式的贝尔公式的定义
总结词
达朗贝尔公式是物理学中的一个重要公式，用于描述振荡系统的运动规律。
详细描述
达朗贝尔公式是由法国数学家和物理学家达朗贝尔提出的，它通过将振荡系统 的运动表示为多个正弦波的叠加，来描述系统的位移、速度和加速度随时间的 变化。
达朗贝尔公式的历史背景
总结词
达朗贝尔公式的提出是在18世纪，是物理学发展史上的一个 重要里程碑。
详细描述
在达朗贝尔之前，科学家们对振荡系统的研究主要集中在单 摆和弹簧振荡器等简单模型上。然而，达朗贝尔公式的提出 为更复杂的振荡系统提供了统一的描述方法，推动了物理学 的发展。
达朗贝尔公式的应用领域
05
达朗贝尔公式的扩大与深化
与其他公式的关联
达朗贝尔公式与牛顿第二定律的关系
达朗贝尔公式是牛顿第二定律的特殊情势，适用于分析受力的质点运动。
与能量守恒定律的关联
达朗贝尔公式中的力与势能变化之间的关系与能量守恒定律相一致。
公式的进一步推导
要点一
推导达朗贝尔公式的微分情势
通过微积分学的方法，将达朗贝尔公式推导为适用于连续 系统的微分情势。

i i i i
w O
M O IO I
t t a F IR F IR
n F IR ＝－ m a C ＝－ m ( τ + a C ) a τ n C C C C 主矢： IR
2 τ M IIO ＝ M O ( F τ) FI i ＝－ ( m i r 2 ) å i i i a＝－ J O a 主矩： O å O I i O
☆刚体作平面运动（平行于对称平面）
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与 质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯 性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性 力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。 力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。 以质心C为基点，将平面运动分解 C 为跟随基点的平移和绕基点的转动。 对于刚体上的任意质点， 对于刚体上的任意质点，
i i
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 1、分析质点所受的主动力和约束力； 1 、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 2 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。 3 4、应用达朗贝尔原理表达式求解 4 、应用达朗贝尔原理表达式求解
＝ － m i r a τ , m i r w 2 n ) ( － i i 2 i i i i
C n n F IR F IR
F IR IR
m i
a a
F IR ＝å I i ＝å ( m i a i ) F I i － i i ＝－m a C IR C
第12章 达朗贝尔原理 12 达朗贝尔原理
(D’Alembert Principle)
第12章 达朗贝尔原理 12

解决方案
理解向量的基本概念和运算规则，掌握向量的数量积、 向量积、混合积的计算方法；理解空间曲线和曲面的几 何性质，掌握空间曲线和曲面的参数方程和一般方程。
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高等数学的重要性与应用
总结词
高等数学在科学、工程、经济等领域有 着广泛的应用，是许多学科的基础工具 。
VS
详细描述
高等数学在科学研究、工程技术和经济发 展等领域中发挥着重要的作用。它是许多 学科的基础工具，如物理、化学、工程学 、经济学等都需要用到高等数学的知识。 通过学习高等数学，人们能够更好地理解 和分析各种复杂的现象和问题，为科学研 究和技术创新提供支持。
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
不定积分是微分学的逆运算，用于求函数的原函数。不定积分具有一些重要的性质，如线性性质、积 分常数性质等。
定积分的概念与性质
定积分是积分学的核心概念，用于计算平面图形面积和体积等。定积分具有一些重要的性质，如可加 性、区间可加性等。
级数与幂级数
级数的概念与性质
级数是无穷序列的和，分为收敛级数和发散 级数。级数具有一些重要的性质，如正项级 数、交错级数、几何级数等。
重积分与线积分
• 总结词：重积分与线积分是高等数学中的重要概念，它研究的是对积分区域进行积分的方法。 • 详细描述：重积分主要研究的是对二维或更高维度的区域进行积分的方法，而线积分主要研究的是对一维曲线
进行积分的方法。这些积分方法在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的质量分布问题、工程学中的 流体动力学问题等都可以用重积分与线积分来解决。 • 总结词：重积分与线积分在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的力学和热学等问题；工程学中的机 械设计和流体动力学等问题；经济学中的成本和收益等问题。 • 详细描述：在物理学中，重积分与线积分被广泛应用于描述物体的运动轨迹和质量分布

高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，函数f(x)趋向于某一数值L，我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作：lim(f(x),a)=L。

1.3 极限的运算极限的四则运算法则：1）lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2）lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3）lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) （g(x)≠0）4）lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) （c为常数，u(x)可导）1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|<M，则称f(x)为无穷小。

无穷大的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|>M，则称f(x)为无穷大。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。

2.2 导数的运算导数的四则运算法则：1）(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2）(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3）(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4）(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) （c为常数，u(x)可导）2.3 微分微分的定义：函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。

例8 作 下 分 函 的 形 出 面 段 数 图 ：
f(x)
2 1
0, 2 f (x) = x , 3−x,
−1< x ≤0, 0< x ≤1 , 1< ≤ 2. <x
-1O12 Nhomakorabeax
解 该 段 数 图 如 图 示 分 函 的 形 上 所 ．
D M 别 两 数 ， 在 应 f 义2 ,若 定 2 设 与 分 是 个 集 存 对 律 ,若 义 D 的 一 数 对 中 每 个 x， 过 应 律f ， 合 中 有 通 对 规 集 M 都 惟 M 一 定 数 y 与 对 ,则 y 为 D 到 的 数 也 确 的 之 应 称 从 函 （ 称 映 ） 记 f : D→M ,其 D 称 函 f 的 义 为 射 , 作 中 为 数 定 域 D中 每 个 x 根 对 规 f 对 于 个 y ， , 的 一 据 应 律 应 一 记 作 y = f (x), 称 函 f 在 x 的 数 ， 体 数 的 为 数 函 值 全 函 值 集 合 M w={y y = f (x), x∈D ⊂M } D
三、反函数
定 3 设 定 是 x的 数 =f (x)， 果 y 当 自 义3 义 给 y 函 y 如 把 作 变 量 x当 函 ， 由 系 y =f (x)所 定 函 x =ϕ(y) ， 作 数 则 关 式 确 的 数 称 函 y = f (x)的 函 ． y = f (x)称 直 函 ． 为 数 反 数 而 为 接 数
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