电子教案-高等数学(四版_侯风波)演示文稿-达朗贝尔-电子课件
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数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社
数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社1五、Γ函数与B函数Γ函数与B函数是含参变量的反常积分所定义的非初等函数，它们在数学、物理、经济中有广泛的应用．（一）Γ函数（Gamma函数）函数10()某某ed某αα+∞--Γ=称为Γ函数．由§12.2例7（书中P270）知，()αΓ的定义域为0α>．1．()αΓ在区间(0,)+∞连续．事实上，1`111001()某某某某ed某某ed某某ed某αααα+∞+∞------Γ==+．12(0,),,ααα∈+∞使120ααα<≤≤．111(0,1],某某某某e某eαα----∈≤；211[1,),某某某某e某eαα----∈+∞≤．已知瑕积分111100某某ed某αα--<（）与无穷积分211某某ed某α+∞--都收敛，由M判别法知，无穷积分10某某ed某α+∞--在区间12[,]αα一致收敛，而被积函数1某某eα--在区域12(0,)D某ααα<<+∞≤≤连续，根据本节定理9，Γ函数在12[,]αα连续，于是，Γ函数在点α连续，从而在(0,)+∞连续．2．Γ函数在(0,)+∞内可导．用与上述相似的方法可证明Γ函数在(0,)+∞内可导，且10()ln(0)某某e某d某ααα+∞--'Γ=>．3．递推公式：0,α>有(1)()αααΓ+=Γ．0α>，有10000(1)()某某某某某ed某某de某e某ed某αααααααα+∞+∞+∞---+∞--Γ+==-=-+=Γ．设1,nnnNα+<≤+∈，逐次应用递推公式，有(1)()(1)(1)(1)()()nnααααααααααΓ+=Γ=-Γ-==--Γ-，而01nα<-≤．由此可见，只要知道Γ函数在1](0，的函数值，由递推公式就能计算任意正数α的函数值()αΓ．在数学手册（人民教育出版社，1979版）中给2出的是[1,2)上的Γ函数的值．例12(3.65)2.651.65(1.65)Γ=Γ，查表知，(1.65)0.9001Γ=，带入上式，得(3.65)2.651.65(1.65)2.651.650.90013.9357Γ=Γ=≈．若求(0.65)Γ，则(1.65)0.9001(1.65)0.65(0.65),(0.65)1.38480.650.65ΓΓ=ΓΓ==≈．当,nnNα+=∈，有(1)()(1)(1)(1)1(1)!nnnnnnnnnΓ+=Γ=-Γ-==-Γ=，即0(1)!n某nn某ed某+∞-Γ+==．（二）B函数函数1110(,)(1)pqpq某某d某--B=-称为B函数．已知(,)pqB的定义域为(0,0)Dpq<<+∞<<+∞（见§12．2中例8，P271）。
电子教案-高等数学(四版_侯风波)演示文稿-10-电子课件
上点P0 (x0 , y0 )的 邻域，而称不包含点 P0的邻域为无 心邻域．
二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函 数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义 域的图形一般由平面曲线围成．
例 3 设 f (x, y) exy ，求 f (2,3).
导数，记为
z x
f , x x0 x y y0
xx0 , zx
y y0
xx0 或f x (x0 , y0 ) .
y y0
类似地，当 x 固定在 x0 ，而 y 在 y0 处有改变量y ，
如果极限 lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) 存在，则称此极限为函
y0
y
数 z f (x, y)在点（x0，y0）处对 y 的偏导数，记为
f (x, y)在区域 D 内的每一点都连续,则称 f (x, y) 在区域 D
上连续．
若令 x x0 x, y y0 y ，则式
lim
x x0
f
(x, y)
f
(x0 , y0 ) ,
y y0
可写成 lim x0
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0 ,
y0 )
0.
y0
即
lim z 0.
x0
y0
证
因为P RT ，所以P
V
V
RT V2
．
又 V RT ，所以V R ．
P
T P
同样由 T PV ，所以T V ．
R
P R
因此,
P V V T
T P
(
RT V2
二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函 数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义 域的图形一般由平面曲线围成．
例 3 设 f (x, y) exy ，求 f (2,3).
导数，记为
z x
f , x x0 x y y0
xx0 , zx
y y0
xx0 或f x (x0 , y0 ) .
y y0
类似地，当 x 固定在 x0 ，而 y 在 y0 处有改变量y ，
如果极限 lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) 存在，则称此极限为函
y0
y
数 z f (x, y)在点（x0，y0）处对 y 的偏导数，记为
f (x, y)在区域 D 内的每一点都连续,则称 f (x, y) 在区域 D
上连续．
若令 x x0 x, y y0 y ，则式
lim
x x0
f
(x, y)
f
(x0 , y0 ) ,
y y0
可写成 lim x0
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0 ,
y0 )
0.
y0
即
lim z 0.
x0
y0
证
因为P RT ，所以P
V
V
RT V2
．
又 V RT ，所以V R ．
P
T P
同样由 T PV ，所以T V ．
R
P R
因此,
P V V T
T P
(
RT V2
2024年高等数学电子教案word
2024年高等数学电子教案word一、教学内容本教案依据《高等数学》教材，涉及第三章“一元函数微分学”的3.1节至3.3节。
详细内容包括导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、微分中值定理及导数的应用等。
二、教学目标1. 理解并掌握导数的定义，能熟练运用导数求解实际问题。
2. 掌握求导法则，能对常见函数求导。
3. 了解导数与函数图形的关系，能运用导数分析函数的性质。
三、教学难点与重点重点：导数的定义及求导法则，导数的应用。
难点：高阶导数的求法，隐函数求导，微分中值定理的理解与应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、《高等数学》辅导书、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中的优化问题，如最短路径、最大利润等，引导学生思考如何解决这类问题，从而引出导数的概念。
2. 理论讲解（10分钟）详细讲解导数的定义、几何意义、物理意义等，让学生对导数有一个全面的认识。
3. 例题讲解（15分钟）讲解例题，涵盖求导法则、高阶导数、隐函数求导等，让学生掌握求导方法。
4. 随堂练习（10分钟）设计针对性强的练习题，让学生及时巩固所学知识。
5. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 黑板左侧：导数的定义、求导法则、高阶导数公式。
2. 黑板右侧：例题及解答，随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列函数的导数：y=x^3, y=sin(x), y=e^x。
（2）已知函数f(x)=x^2+3x+1，求f(x)在x=2时的导数。
（3）求隐函数y=x^2+2x^3的导数。
2. 答案：（1）y'=3x^2, y'=cos(x), y'=e^x。
（2）f'(x)=2x+3，所以f'(2)=7。
（3）y'=2x+6x^2。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对导数的定义和求导法则掌握较好，但在高阶导数和隐函数求导方面存在一定困难，需要在课后加强练习。
高等数学(侯风波)第12章课件PPT
的 项 然 于 数 它 各 显 小 级 1 1 1 1 1 1 1+( p + p ) +( p +⋯ p ) +( p +⋯ p ) +⋯ + + 2 2 4 4 8 8 1 1 2 1 3 =1+ p−1 +( p−1) +( p−1) +⋯ 2 2 2
应 各 , 所 级 是 比 数 公 为 对 的 项 而 得 数 等 级 ,其 比 ∞ 1 1 q = p−1 <1 故 敛 于 当p >1 ,级 ∑ p 收 . , 收 , 是 敛 时 数 2 n= n 1
∞
证 我 利 定 分 几 意 加 证 . 们 用 积 的 何 义 以 明 n 1 调 级 部 和 n =∑ ， 图 示 考 曲 和 数 分 S 如 所 . 察 线 k= k 1 1 y = , x =1 x = n+1和y =0所 y , x 围 的 边 形 面 成 曲 梯 的 积 S 1 与 影 示 阶 形 积A 阴 表 的 梯 面 n 1/2 之 的 系 间 关 ，
子 式 + u ∑u ＝ +u +u +… u +…
n= 1 n 1 2 3
n
∞
为 数 无 级 ， 称 项 数 其 第 称 常 项 穷 数 简 数 级 ， 中 n项 un 称 一 项 通 ． 为 般 或 项
例① 算 级 术 数 a +(a2 +d) +(a +2d) +… （ 1 +(n−1 d) + … ) ＋ a 1 1
②等 级 （ 何 数 比 数 几 级 ） 2 a +aq+aq + +a qn−1 +… ， … 1 1 1 1
应 各 , 所 级 是 比 数 公 为 对 的 项 而 得 数 等 级 ,其 比 ∞ 1 1 q = p−1 <1 故 敛 于 当p >1 ,级 ∑ p 收 . , 收 , 是 敛 时 数 2 n= n 1
∞
证 我 利 定 分 几 意 加 证 . 们 用 积 的 何 义 以 明 n 1 调 级 部 和 n =∑ ， 图 示 考 曲 和 数 分 S 如 所 . 察 线 k= k 1 1 y = , x =1 x = n+1和y =0所 y , x 围 的 边 形 面 成 曲 梯 的 积 S 1 与 影 示 阶 形 积A 阴 表 的 梯 面 n 1/2 之 的 系 间 关 ，
子 式 + u ∑u ＝ +u +u +… u +…
n= 1 n 1 2 3
n
∞
为 数 无 级 ， 称 项 数 其 第 称 常 项 穷 数 简 数 级 ， 中 n项 un 称 一 项 通 ． 为 般 或 项
例① 算 级 术 数 a +(a2 +d) +(a +2d) +… （ 1 +(n−1 d) + … ) ＋ a 1 1
②等 级 （ 何 数 比 数 几 级 ） 2 a +aq+aq + +a qn−1 +… ， … 1 1 1 1
高等代数电子教案
定理2.6.4 设f (x)与g (x)是R [x]的两个多项式,它们的次数都 不大于n.若是以R中n + 1个或更多的不同的数来代 替x时,每次所得f (x)与g (x)的值都相等,那么 f (x) = g (x) . 证 令 u (x) = f (x) – g (x) 若f (x)≠g (x), 换一句话说, u (x) ≠0 ,那么u (x)是一个 次数不超过n的多项式,并且R中有n + 1个或更多的 根. 这与定理2.6.3矛盾.
当x = c时f (x)的值 f (c) .
综合除法
设f ( x) a0 x n a1 x n 1 a 2 x n 2 a n 1 x a n , 并且设
(1) 其中
f ( x) ( x c) q ( x) r ,
q( x)b x
0 n 1
.... bn 1
f ( x) a0 a1 x ai x a m x , j n g ( x) b0 b1 x b j x bn x ,
i m
c0 , c1 ,cm n .
由于f (x)和g (x)都是本原多项式,所以p不能整除f (x)
的所有系数,也不能整除g (x)的所有系数.令 ai 和b j各
这样,欲求系数 bk ,只要把前一系数 bk 1 乘以c再加 上对应系数 a k ,而余式的 r 也可以按照类似的规律 求出. 因此按照下所指出的算法就可以很快地陆续 求出商式的系数和余式:
c | a0 b0
a1 cb0 b1
a 2 a n 1 cb1 cbn 2 b2 bn r
比较等式(1)中两端同次项的系数,我们得到
a 0 b0 , a1 b1 cb0 , a 2 b2 cb1 , a n 1 bn 1 cbn 2 , a n r cbn 1 .
电子教案-高等数学(四版_侯风波)演示文稿-5-电子课件
为何？
第二节 不定积分的积分方法
一、换元积分法 二、分部积分法 三、简单有理数的积分
一、换元积分法
1．第一换元积分法(凑微分法)
例 1 求 e3xdx.
解 被积函数e3x是复合函数，不能直接套用公式
exdx ex C，我们可以把原积分作下列变形后计算：
e3xdx 1 3
e3xd(3x) 令u 3x
xdx
sec
x(sec x tan tan x sec x
x)
dx
sec2 x tan x
sec x tan sec x
xdx
(tan
x
1
sec
x)
d(tan
x
sec
x)
ln
|
sec
x
tan
x
|
C.
类似得(6) csc xdx ln | csc x cot x | C．
本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用．
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
5
x2
1
x2xBiblioteka 12x2C.
52
（２）
x2 x2
1dx 1
x2 1 x2 1
2
dx
1
2 x2
1dx
dx
2
x
第二节 不定积分的积分方法
一、换元积分法 二、分部积分法 三、简单有理数的积分
一、换元积分法
1．第一换元积分法(凑微分法)
例 1 求 e3xdx.
解 被积函数e3x是复合函数，不能直接套用公式
exdx ex C，我们可以把原积分作下列变形后计算：
e3xdx 1 3
e3xd(3x) 令u 3x
xdx
sec
x(sec x tan tan x sec x
x)
dx
sec2 x tan x
sec x tan sec x
xdx
(tan
x
1
sec
x)
d(tan
x
sec
x)
ln
|
sec
x
tan
x
|
C.
类似得(6) csc xdx ln | csc x cot x | C．
本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用．
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
5
x2
1
x2xBiblioteka 12x2C.
52
（２）
x2 x2
1dx 1
x2 1 x2 1
2
dx
1
2 x2
1dx
dx
2
x
最新《数学物理方程-福州大学-江飞》1.2达朗贝尔公式、波的传播ppt课件
sù)。
(x at) (x at) 1
x at
( )d.
2
2a xat
3. 传播
u x,0 F x
(chuánbō)波
*考察 u x,t F x at 情况： u x,t0 F x at0
由左图可知振动的波形以常速
度 a 向右传播。因此，F x at
§2 达朗贝尔（d’Alembert）公式(gōngshì)、波的传 播
1.叠加原理(yuánlǐ)（思想：化繁为简，大道至简
）*物理上叠加现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这 些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加 。比如，声学(shēngxué)中把弦线振动时所发出的复杂的 声音分解成各种单音的叠加（类比：三原色）。
t
0, ( x),
x x
R, R.
自由 (zìyóu)振 动
utt
(
x,
t
)
a
2uxx
(
x,
t
)
f
( x, t ),
t 0, x R,
零初始 条件受
u(x, 0) 0, ut (x, 0) 0,
x R. 迫振动
这样求解弦振动(zhèndòng)的柯西问题就转化为分别求解齐 次方程带非齐次边界条件的柯西问题(I)和非齐次方程带齐次初 始条件的柯西问题(II)
下面我们来确定 F 和 G函数表达式。
第六页，共23页。
u x,t F x at G x at ,
u(
x,
0)
(x),
ut (x, 0)
(x),
x R.
把上述通解(tōngjiě)表达式代入初始条件，得
到u ： F (x) G(x) (x), t0
高教版数学分析第4版课件17-4
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) ( y0 y) ( y0 ).
用前面相同的方法, 又可得到
F ( x, y) f yx ( x0 3 x, y0 4 y) x y
( 0 3 ,4 1).
当 x, y 不为零时，由 (5), (6) 两式又得
极值问题
其中f xy，f y x这两个既有x，又有y的高阶偏导数称为 混合偏导数. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
z 3z
x
y0x0
1 x
y
f ( x0 x, y0 y)
f ( x0 , y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) ; (1)
类似地有
1
f
y
x ( x0 ,
y0 )
lim
x0
lim
y0
x
y
f ( x0 x,
y0 y)
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ) . (2) 为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2)
(3)
证令
F ( x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 y) f ( x0, y0 ),
于是有 ( x) f ( x, y0 y) f ( x, y0 ).
F ( x, y) ( x0 x) ( x0) .
高等数学电子教案(大专版)(2024)
02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法，包括向量在空间直角 坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标 计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积 等运算在坐标计算中的实现方法，以及这些 运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，反映了函数值随自变量变化的快 慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的 切线斜率，即函数图像在该点的倾斜 程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全 增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$，其 中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关， $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。
高等数学(侯风波)导数与微分课件PPT
第三章 导数与微分
第一节 导数的概念
第二节
第三节
求导法则
微分及其在近似计算中的应用
第一节 导数的概念
一、两个实例
二、导数的概念 三、可导与连续
四、求导举例
第一节 导数的概念
一、两个实例
1 .变速直线运动的瞬时速度
设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s=s(t)， 求该物体在 t0 时刻的瞬时速度.设在 t0 时刻物体的位置 为 s( t0 ).当经过 t0 + Δt 时刻获得增量 Δt 时，物体的位 置函数 s 相应地有增量 s s (t0 t ) s (t0 ), （如下图）
y f ( x) 根 设函数 y f ( x) 在点 x 处可导,有 lim x0 x
三、可导与连续
因为 y f (0 x) f (x) x , 所以在 x 0 点的右导数:
x y x f ( 0 ) lim lim lim 1. x 0 x x 0 x x 0 x x y x f ( 0 ) lim lim lim 1 . 而左导数是: x 0 x x 0 x x 0 x
N (t ) lim
Δx 0
N (t Δ t ) N (t ) Δt
关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物 繁殖率等等，在这里就不再一一列举了.
y 据函数的极限与无穷小的关系,可得 f ( x) ( x) . x 其中 (x) 是x 0 的无穷小，两端各乘以 x ,即得 y f ( x ) x α ( x ) x ,由此可见 lim y 0 . x 0
分别叫做函数 f ( x) 在点 x0 处的左导数和右导数， 且分别记为 f ( x0 ) 和 f ( x0 ) .
第一节 导数的概念
第二节
第三节
求导法则
微分及其在近似计算中的应用
第一节 导数的概念
一、两个实例
二、导数的概念 三、可导与连续
四、求导举例
第一节 导数的概念
一、两个实例
1 .变速直线运动的瞬时速度
设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s=s(t)， 求该物体在 t0 时刻的瞬时速度.设在 t0 时刻物体的位置 为 s( t0 ).当经过 t0 + Δt 时刻获得增量 Δt 时，物体的位 置函数 s 相应地有增量 s s (t0 t ) s (t0 ), （如下图）
y f ( x) 根 设函数 y f ( x) 在点 x 处可导,有 lim x0 x
三、可导与连续
因为 y f (0 x) f (x) x , 所以在 x 0 点的右导数:
x y x f ( 0 ) lim lim lim 1. x 0 x x 0 x x 0 x x y x f ( 0 ) lim lim lim 1 . 而左导数是: x 0 x x 0 x x 0 x
N (t ) lim
Δx 0
N (t Δ t ) N (t ) Δt
关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物 繁殖率等等，在这里就不再一一列举了.
y 据函数的极限与无穷小的关系,可得 f ( x) ( x) . x 其中 (x) 是x 0 的无穷小，两端各乘以 x ,即得 y f ( x ) x α ( x ) x ,由此可见 lim y 0 . x 0
分别叫做函数 f ( x) 在点 x0 处的左导数和右导数， 且分别记为 f ( x0 ) 和 f ( x0 ) .