基尔霍夫定律的相量表达式

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基尔霍夫定律的相量形式.

电压相量，如图(c)所示，从相量图上容易看出各正弦电压
的相位关系。
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一
定等于零，本题中 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26
即一般说来
n
Uk 0
k 1Biblioteka 关于复数的几个公式1. 假设复数 c rθ a jb
则有 c a2 b2 θ arctan b a
uk (t) Re[U kme jt ] Re[ 2U k e jt ]
代入KVL方程中得到
n uk (t) n Re[Ukmejt ] 0
k 1
k 1
n
n
uk (t) Re[
2Uke jt ] 0
k 1
k 1
由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，
j ej180 cos180 jsin180 1 1 j2 ej180 1180
模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将
时域模型中各电流符号 iS、i、i1、i2 用相应的相量符
号 IS、I、I1、I2 表示，并计算出电流相量。
I1 1060 A
I2 5 90 A
列出图(b)相量模型中结点1的KCL方程，其相量形式
为
I I1 I2 0
§8－3 基尔霍夫定律的相量形式
一、基尔霍夫电流定律的相量形式
基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集中参数电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路电流的代数和等于零。其数学表达式为
n
ik (t) 0
k 1
假设电路中全部电流都是相同频率ω的正弦电流，则可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式

45相量形式的基尔霍夫定律

4.6.1用相量法分析串联电路对于RLC串联电路来说，其阻抗为
Z = Z R + Z L + Z C = R + jωL + 1 jωC
1 = R + j ωL − ωC
1 = R 2 + ωL − ωC
2
ωL −
arctg R
1 ωC
(4-53)
0 • •
=U L =UC
•
•
为参考向量，相量图如
故电流表的读数为即(1) (2)
2 A = I R + (I C − I L ) 2 A
A = 5 2 + (25 − 20) 2 = 7.07 A
图4-26 例4-9相量图
A = 5 + ( 25 − 10) = 40.31A
2 2
从【例4-9】题的解法二，可以体会到应用向量图分析电路的要点，那就是：（1）首先要选好一个参考相量，这个参考相量的选择，必须能方便地将电路中其它电压、电流相量，根据电路的具体结构及参数特点逐一画出，把所给的条件转化成相量图中的几何关系。（2）最后根据相量图中的相量关系，使问题得到解决。一般对串联电路，选电流作参考方向较方便，如【例4-8】题。对并联电路，则选电压作参考相量较方便，如【例4-9】题。有些问题通过相量图分析将很直观和简便。
2 2 U S = U R + U L = 30 2 + 60 2 = 67.08V
图4-24例4-8解法二图
由题解图4-24b）可得
2 U S = U R + (U C − U L ) 2 = 15 2 + (100 − 80) 2 = 258V

电路相量图的原理及应用

电路相量图的原理及应用1. 什么是电路相量图电路相量图是一种用于表示电路中电压、电流及其相位信息的图形工具。

相量图使用矢量的长度和角度来表示电压和电流的振幅和方向。

通过使用相量图，我们可以更直观地理解和分析电路中的信号传输和变换。

2. 电路相量图的原理在电路相量图中，电压和电流被表示为复数的形式，其中实部表示振幅，虚部表示相位。

根据欧姆定律和基尔霍夫定律，我们可以推导出电阻、电容和电感的相量图表示。

•电阻的相量表示为：Z R=R•电容的相量表示为：$Z_C = \\frac{1}{j\\omega C} = \\frac{-j}{\\omega C}$•电感的相量表示为：$Z_L = j\\omega L$3. 电路相量图的应用3.1 直流电路分析通过使用电路相量图，我们可以更加简洁和方便地分析直流电路。

相量图可以帮助我们计算电流和电压的大小和方向，从而更好地理解和解决直流电路中的问题。

例如，当我们需要计算电阻串联电路中总电阻时，可以将每个电阻的相量图相加得到总阻抗。

3.2 交流电路分析在交流电路中，相量图发挥着重要的作用。

交流电压和电流的相量图可以用于计算电路中电压的幅值、相位和频率响应。

通过将电路的各个元件转换为相量图形式，我们可以方便地计算电路中电压和电流的大小和相位差，进而计算功率、阻抗和电流的分布。

3.3 三相电路分析在三相电路分析中，电路相量图也是必不可少的工具。

通过将三相电压和电流表示为相量的形式，我们可以更好地理解和分析三相电路中的功率传输、电压平衡和相序问题。

3.4 系统稳定性分析电路相量图可以用于分析系统的稳定性。

通过计算电路的传输函数，并绘制相量图，我们能够评估系统的稳定性和抗干扰能力。

相量图可以帮助我们观察电路中的衰减、相位移和共振频率。

4. 总结电路相量图是一种重要的工程工具，它帮助我们直观地理解和分析电路中的信号传输和变换。

通过使用电路相量图，我们可以更好地计算电压和电流的大小、相位差和频率响应。

正弦交流电的相量表示法(2)

电工基础
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r

0
1
r a 2 b2

复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1

基本元件的相量形式(3)

电流与电压同相
电工基础
三、电感元件的相量形式：电感元件的相量形式：
i
L
Z L = ωL∠90 = jωL = j 2πfL
ɺ I
ZL
相量图
+
u
−
ɺ U
ϕi
ɺ I
+
ɺ U
−
i (t ) = I m sin(ωt + ϕi ) A u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
u(t ) = L ⋅
Q=
ωt
t
2 UC
XC
电源
i 电
源
(var) : 电容元件电
u
电工基础
例：求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 ɺ ZC C = 10µF i C I
+
u
解： X C =
− u (t ) = 100 2 sin(1000t + 30 )V
ɺ UC
电工基础
u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
ϕ
ɺ I +1
电流与电压同相
ɺ I = I∠ϕi (A) ɺ U = U∠ϕ u (V )
ɺ U Z= ɺ = Z ∠ϕ z I
u(t ) = R ⋅ i(t )
= R ⋅ I m sin(ωt + ϕ i )
大小关系：大小关系： m = R ⋅ I m U
ϕ z = ϕu − ϕi
电工基础
电感元件的功率：电感元件的功率：
1）瞬时功率: 瞬时功率:
p ( t ) = u ( t )i ( t )

电工学第六版课后答案

第一章习题1－1 指出图1－1所示电路中A 、B 、C 三点的电位。

图1－1 题 1－1 的电路解：图（a ）中，电流 mA I 51226.=+=, 各点电位 V C = 0 V B = 2× = 3V V A = (2+2)× = 6V图（b ）中，电流mA I 1246=+=，各点电位 V B = 0 V A = 4×1 = 4V V C =－ 2×1 = －2V|图（c ）中，因S 断开，电流I = 0，各点电位 V A = 6VV B = 6V V C = 0图（d ）中，电流mA I 24212=+=，各点电位 V A = 2×(4+2) =12V V B = 2×2 = 4V V C = 0图（e ）的电路按一般电路画法如图，电流mA I 12466=++=，各点电位 V A = E 1 = 6VV B = (－1×4)+6 = 2V ?V C = －6V1－2 图1－2所示电路元件P 产生功率为10W ，则电流I 应为多少解：由图1－2可知电压U 和电流I 参考方向不一致，P = －10W ＝UI 因为U ＝10V, 所以电流I ＝－1A ）图 1－2 题 1－2 的电路1－3 额定值为1W 、10Ω的电阻器，使用时通过电流的限额是多少解：-根据功率P = I 2 R A R P I 3160101.===1－4 在图1－3所示三个电路中，已知电珠EL 的额定值都是6V 、50mA ，试问哪个电珠能正常发光图 1－3 题 1－4 的电路解：图（a ）电路，恒压源输出的12V 电压加在电珠EL 两端，其值超过电珠额定值，不能正常发光。

图（b ）电路电珠的电阻Ω=Ω==120120506K R .，其值与120Ω电阻相同，因此电珠EL 的电压为6V ，可以正常工作。

图（c ）电路，电珠与120Ω电阻并联后，电阻为60Ω，再与120Ω电阻串联，电珠两端的电压为V 4126012060＝＋⨯小于额定值，电珠不能正常发光。

电路基本定律的相量形式

U
i
L
u
U IX L di jX L 则 uL X L L dt jL u 2 IL sin(t 90 )
jX C
i 2 I sin t
UI
I
u领先 i 90°
U I jX L
0
I2XL
设
i
C
u
iC
du dt
1 j C 1 j C
？
？
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路电路图基本参数（正方向）关系
i 复数阻抗设电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率
u 2U sin t
I
U IR
U
R
u
u iR
R
则
U IR
UI
0
i 2 I sin t
设
u、 i 同相
图 KVL的相量形式
回路的电压方程：其KVL相量表达式为：
u1 u 2 u 3 u 4 0
U1 U 2 U 3 U 4 0
小结
电路参数
R L
基本关系复阻抗
u iR
R
I
U
U
电路参数
基本关系
复阻抗
电路参数
jX L j L
di uL dt
项目十九电路基本定律的相量形式
电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、基尔霍夫定律。
i
R
u
L
uR uL
u uR uL di iR L dt
电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、基尔霍夫定律。
I

第8章_相量法

R
W直 =I 2RT
T i 2 ( t ) Rd t R W交 0
例周期电压如图所示。求其有效值U。 u(t)/V 2 1 0
1 2 3 4 5 6
t/s
解根据有效值的定义，有
1 U T

T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 2 0 1 dt 1 2 dt 2 0 dt 1.29 V 3
有效值也称均方根值(root-mean-square，简记为 rms。)
正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 * 注意区分电压、电流的瞬时值、有效值、最大值的符号。
频率f : 每秒钟完成循环的次数，单位：Hz(赫兹) 。
关系 : f 1 T
2f
2 T
小常识
* 电网频率：中国 50 Hz
美国、日本 60 Hz * 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
i(t)=Imcos( t + φ)
例 + u + u1
U1 U2 U3
u1 (t ) 3 2 cos 314t V
-
u2 (t ) 4 2 cos (314t 90o ) V 求u。 + u2 u(t ) u (t ) u (t ) 5 2 cos (314t 53.1o ) V 1 2 U2 490 V U1 30o V
u, i u i O

7向量法-电路定律的相量形式

7电路定律的相量形式1. 电阻元件 VCR 的相量形式设图8.13（a）中流过电阻的电流为则电阻电压为：其相量形式：图8.13（a）以上式子说明：（1）电阻的电压相量和电流相量满足复数形式的欧姆定律：，图8.13（b）为电阻的相量模型图。

图 8.13（ b ）（2）电阻电压和电流的有效值也满足欧姆定律：U R = RI（3）电阻的电压和电流同相位，即：ψu = ψi电阻电压和电流的波形图及相量图如图8.14（a）和（b）所示。

图 8.14（a）（b）电阻的瞬时功率为：即瞬时功率以2ω交变，且始终大于零，如图8.14（a）所示，表明电阻始终吸收功率。

2. 电感元件 VCR 的相量形式设图 8.15（a）中流过电感的电流为则对应的相量形式分别为：图 8.15 （ a ）（ b ）以上式子说明：（1）电感的电压相量和电流相量满足关系：，其中X L=ωL=2πfL ，称为感抗，单位为Ω(欧姆)，图8.16（b）为电感的相量模型图。

（2）电感电压和电流的有效值满足关系：，表示电感的电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积。

（3）电感电压超前电流相位，即：电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。

注意:（1）感抗表示限制电流的能力；（2）感抗和频率成正比如图8.16（c）所示，当；电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。

图 8.16 （a）（b）（c）电感的瞬时功率为：即电感的瞬时功率以 2ω交变，有正有负，如图8.16（a）所示。

电感在一个周期内吸收的平均功率为零。

3. 电容元件 VCR 的相量形式图 8.17 （ a ）（ b ）设图8.17（a）中电容的电压为：则对应的相量形式分别为：以上式子说明：（1）电容的电压相量和电流相量满足关系：其中X C =1/ωC ，称为容抗，单位为Ω(欧姆)，图8.17（b）为电容的相量模型图。

（2）电容电压和电流的有效值满足关系：，表示电容的电压有效值等于电流有效值与容抗的乘积。

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