河北省尚义县第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题

2020-2021高一数学上期中试卷(及答案)(5)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭2．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>3．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭4．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<5．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.56．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）7．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =8．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1- 9．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,311．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．函数()12x f x =-的定义域是__________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.18．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____． 20．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.三、解答题21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 22．设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()12262xxxf <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．23．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 24．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4. （1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.25．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-. (1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围. 26．设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[],a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．4．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.5．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．6．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.7．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．10．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填解析：1【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1,故填1.17．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.18．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0 【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.19．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同 解析：(1,0)-【解析】 【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称， 作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-， 故答案为：(1,0)- 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.20．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】 解析：【解析】 【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案．【详解】若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，则，或当时，解得＜a ＜1，当时，不等式无解.综上实数的取值范围是（，1） 故答案为（，1）． 【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】 【分析】（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k x ==，1211(1),(1)82f kg k ====，()1,()0)8f x x g x x ==≥； （2）设投资股票等风险型产品为x 万元， 则投资债券等稳健型产品为20x -万元，1(20)()(20)8y f x g x x =-+=-212)3,0208x =-+≤≤Q ，2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.22．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（2）由题意可得出22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解；（3）容易求出1,13A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而得出1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(上是减函数，在)+∞上是增函数，从而可讨论109a <≤，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可． 【详解】()()1f x Q 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()af x x f x x-=-+=--， ()f x ∴为奇函数；()2若不等式()12262x x xf <-++在[]0,2上恒成立， 即122622xxx x a +<-++在[]0,2上恒成立，即22(2)162x x a <-++⋅在[]0,2上恒成立， 令2x t =，则[]1,4t ∈，223112612()22y t t t =-++=--+， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；()()123111x g x x x -==-+++是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，恒有2()()min max f x f x >，0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得115a >，不满足0a <；0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，1()1,()3max min f x f x ∴==，1213⨯<，不满足题意；0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，13≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，11()333min f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()()11max f x f a ==+，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得11159a <≤；1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()12133a a ∴+>+，解得513a ≤<；13)13<<，即119a <<时，()f x 在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()min f x f∴==()113,1133f a f a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当1313a a +≥+，即113a ≤<时，133a >+，a <<，113a ∴≤<，当1313a a +<+，即1193a <<时，1a >+，解得77a -<<+1193a ∴<<， 综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()af x x x=+的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题． 23．（1）()1124x f x -=+⋅（2）2133,⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）10092 【解析】 【分析】（1）令0x <<-1,则01x <-<,代入解析式可求得()f x -.再根据奇函数性质即可求得()f x 在()1,0-上的解析式;（2）利用分析法,先求得当0x <<-1时,4x 的值域,即可逐步得到()f x 在()1,0-上的值域; （3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验()()1f x f x +-的值,即可由函数的性质求解. 【详解】（1）当0x <<-1时,01x <-<,()4142124x x xf x ---==++⋅, 因为()f x 是()1,1-上的奇函数 所以()()1124x f x f x -=--=+⋅, （2）当0x <<-1时,14,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3124,32x ⎛⎫+⋅∈ ⎪⎝⎭,121,12433x -⎛⎫∈-- ⎪+⋅⎝⎭,所以()f x 在()1,0-上的值域为21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （3）当01x <<时,()442x x f x =+,()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅, 所以1201732015520131201820182018201820182018f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 故135********20182018201820182f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题. 24．(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围. 【详解】（1）由已知可得()()21f x a x b a =-+-，对称轴为1x =. 因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增，所以()()21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x==+-. 因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x+-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k xx ≤-+.令21log t x=，则2221k t t ≤-+. 因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12t =时，()max 14h t =，所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.25．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1-【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围． 【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩.(2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-；当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1.据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则a 的取值范围是()1,1-. 【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围． 26．（1）；（2）；（3）()0,2【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立， 即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax =x R ∈Q 0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝，因为＜5，所以函数()f x 的最小值为．（3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数， 所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--）而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解； 由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m << 故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．。

河北省2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题含解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共26题）1、已知全集，，，，则A ．B ．C ．D ．2、不等式成立的一个充分不必要条件是（）A ．或B ．C ．或D ．3、已知函数的定义域是，则的定义域为（）A ．B ．C ．D ．4、命题“ 所有能被 2 整除的数都是偶数” 的否定是A ．所有不能被2 整除的数都是偶数B ．所有能被2 整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2 整除的数是偶数D ．存在一个能被2 整除的数不是偶数5、若正数x 、y 满足，则的最小值等于（）A ． 4B ． 5C ．9D ．136、如果在区间上为减函数，则的取值范围（）A ．B ．C ．D ．7、若不等式的解集为，则的解集为（）A ．B ．C ．D ．8、函数定义域和值域分别为、，则= （）A ．[-1 ，3]B ．[-1 ，4]C ．[0 ，3]D ．[0 ，2]9、已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为A ．B ．C ．D ．10、设函数，则的值域是（）A ．B ．C ．D ．11、已知集合，则＝（）A ．{ x |1 ＜x ≤4}B ．{ x |0 ＜x ≤6}C ．{ x |0 ＜x ＜ 1}D ．{ x |4≤ x ≤6}12、“ ，” 的否定是（）A ．，B ．，C ．，D ．，13、已知那么（）A ．B ．C ．D ．14、下列函数中，与函数是相等函数的是（）A ．B ．C ．D ．15、已知；；，则（）A ．B ．C ．D ．16、“ ” 是“ 关于x 的方程有实数根” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件17、函数的单调递增区间为（）A ．B ．C ．D ．18、已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．19、下列四个命题：其中不正确命题的是（）A ．函数在上单调递增，在上单调递增，则在R 上是增函数B ．若函数与轴没有交点，则且C ．当时，则有成立D ．和表示同一个函数20、下列说法正确的是（）A ．若幂函数的图像经过点，则解析式为B ．所有幂函数的图象均过点C ．幂函数一定具有奇偶性D ．任何幂函数的图象都不经过第四象限21、已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）A ．是奇函数B ．是增函数C ．无最值D ．有最大值22、关于函数的性质描述，正确的是（）A ．的定义域为B ．的值域为C ．在定义域上是增函数D ．的图象关于原点对称23、（多选题）已知，，为实数，且，则下列不等式正确的是（）A ．B ．C ．D ．24、（多选题）下列计算正确的是（）A ．B ．C ．D ．已知，则25、（多选）设，且，那么（）A ．有最小值B ．有最大值C ．ab 有最大值D ．ab 有最小值26、（多选）定义在R 上的函数满足，当时，，则函数满足（）A ．B ．是奇函数C ．在上有最大值D ．的解集为二、填空题（共8题）1、已知函数, 若f(-2)=2 ，求f(2)= ________ ．2、若集合，，其中，，，，是从定义域A 到值域B 的一个函数，则_____ ．3、已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ____________.4、下列几个命题：① 方程若有一个正实根，一个负实根，则；② 函数是偶函数，但不是奇函数；③ 函数的值域是，则函数的值域为；④ 一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是.其中正确的有 __________.5、若函数的定义域是，则函数的定义域是 ______ ．6、已知幂函数的图象过点，则=__________.7、已知函数，若，则________.8、若函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，若，则不等式的解集为 ______ ．三、解答题（共11题）1、已知函数的定义域，的值域为，.（ 1 ）求；（ 2 ）若，求实数的取值范围 .2、已知f ( x ) 是R 上的奇函数，当x ＞ 0 时，解析式为f ( x ) ＝.(1) 求f ( x ) 在R 上的解析式；(2) 用定义证明f ( x ) 在(0 ，＋∞) 上为减函数．3、设：实数满足，：实数x 满足.（ 1 ）若，若命题和命题都是真命题，求实数的取值范围；（ 2 ）若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．4、已知函数，.（ 1 ）若时，当时，求的最小值 .（ 2 ）求关于的不等式的解集 .5、定义域在R 的单调增函数满足恒等式（x ，），且.(1) 求，；(2) 判断函数的奇偶性，并证明；(3) 若对于任意，都有成立，求实数k 的取值范围 . 6、已知全集，集合，集合．（ 1 ）求及；（ 2 ）若集合，，求实数的取值范围．7、已知二次函数．（ 1 ）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（ 2 ）若在上恒成立，求实数的取值范围．8、已知函数f ( x ) ＝，a 为常数，且函数的图象过点 ( － 1 ，2).（ 1 ）求a 的值；（ 2 ）若g ( x ) ＝ 4 －x － 2 ，且g ( x ) ＝f ( x ) ，求满足条件的x 的值 .9、已知幂函数（实数）的图像关于轴对称，且.（ 1 ）求的值及函数的解析式；（ 2 ）若，求实数的取值范围 .10、已知函数，，从下面三个条件中任选一个条件，求出的值，并解答后面的问题 .① 已知函数，满足；② 已知函数在上的值域为③ 已知函数，若在定义域上为偶函数 .（ 1 ）证明在上的单调性；（ 2 ）解不等式.11、现对一块边长 8 米的正方形场地ABCD 进行改造，点E 为线段BC 的中点，点F 在线段CD 或AD 上（异于A ，C ），设（米），的面积记为（平方米），其余部分面积记为（平方米） .（ 1 ）当（米）时，求的值；（ 2 ）求函数的最大值；（ 3 ）该场地中部分改造费用为（万元），其余部分改造费用为（万元），记总的改造费用为W （万元），求W 取最小值时x 的值 .============参考答案============一、选择题1、 B【详解】试题分析：由题意得，，所以画出集合运算的韦恩图可知，集合．考点：集合的运算与集合的表示．【思路点晴】本题主要考查了集合的运算与集合的表示，属于基础题，解答本题的关键在于正确采用集合的韦恩图法作出运算，是题目的一个难点．2、 D【分析】求出不等式解集，根据充分不必要条件，找其解集的真子集即可 .【详解】解不等式，解集为，不等式成立的充分不必要条件，即为集合的真子集，只有选项 D 符合.故选 :D .【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查充分不必要条件的判断，是基础题 .3、 B【分析】先根据的定义域求出的定义域，进而可求出的定义域 . 【详解】由题可知在中，，则，所有的定义域为，则在中，，则，即的定义域为.故选： B.【点睛】本题考查复合函数的定义域的求法，属于基础题 .4、 D【详解】试题分析：命题“ 所有能被 2 整除的整数都是偶数” 的否定是“ 存在一个能被 2 整除的数不是偶数” ．故选 D ．考点：命题的否定．5、 C【分析】由得（），代入后变形，换元后用对勾函数的单调性求解．【详解】因为正数x 、y 满足，所以（），所以，令，，，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的最小值为 9 ，此时．故选： C ．【点睛】本题考查用对勾函数的单调性求最值，解题关键是用代入法化二元函数为一元函数，构造对勾函数．变形时一定注意新元取值范围．6、 B【分析】当= 时，= ，符合题意 . 当时，由题意可得，求得的范围 . 综合可得的取值范围 .【详解】当时，，满足在区间上为减函数；当时，由于的对称轴为，且函数在区间上为减函数，则，解得.综上可得，.故选： B【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零 . 当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.7、 D【分析】由不等式的解集为可得，，，代入化简即可求解 .【详解】不等式的解集为，，且是方程的两根，，即，，则化为，，，解得或.故选： D.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集与系数的关系，考查一元二次不等式的求解，属于基础题 .8、 D【分析】先求出函数的定义域和值域 , 得到集合、，再求交集即可 .【详解】解 : 要使函数有意义 ,则解得，故；由，所以. 故.则选 : D【点睛】本题考查函数的定义域和值域的求法 , 考查集合的交集运算, 是简单题.9、 B【分析】先由偶函数的定义得出定义域关于原点对称，可得出，由偶函数的性质，将不等式化为，再利用函数在上的单调性列出不等式组可解出实数的取值范围 .【详解】由于函数是定义在上的偶函数，则定义域关于原点对称，，得，所以，函数的定义域为，由于函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，由于函数为偶函数，则，由，可得，则，解得.因此，不等式的解集为，故选 B.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题时要充分利用函数的奇偶性与单调性求解，同时要将自变量置于定义域内，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题 .10、 D【详解】当, 即时 , 或,,其最小值为，无最大值 ,因此这个区间的值域为；当时 , , ，其最小值为，其最大值为，因此这区间的值域为，综合得函数值域为，故选 D ．11、 A【分析】化简集合，按照补集定义求出，再按交集定义，即可求解 .【详解】,或，，.故选 :A.【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题 .12、 B【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以“ ，” 的否定是“ ，”故选： B【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单 .13、 A【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可 .【详解】∵ 函数f ( x )= ，∴∴ = = +1= ，故选： A ．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，基础题．14、 B【分析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果 .【详解】的定义域为；对于 A ，定义域为，与定义域不同，不是同一函数， A 错误；对于 B ，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数， B 正确；对于 C ，定义域为，与定义域不同，不是同一函数， C 错误；对于 D ，，与解析式不同，不是同一函数， D 错误.故选： B.15、 D【分析】由指数函数的性质可得，即可得解 .函数为减函数，，故，又函数为增函数，，故，故.故选： D ．16、 A【分析】根据一元二次方程有实数根可得，从而解得的取值范围；由推出关系可确定结果 .【详解】当方程有实数根可得：，解得：，“ ” 是“ 关于的方程有实数根” 的充分不必要条件故选【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够根据一元二次方程有实数根求得的取值范围 .17、 A【分析】由二次函数、指数函数的单调性结合复合函数的单调性运算即可得解 .令可得或，所以函数的定义域为或，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，又函数在R 上单调递减，所以函数的单调递增区间为.故选： A.18、 B【分析】利用的奇偶性及指数函数的单调性求出当时的值域A ，由二次函数的单调性求出在上的值域B ，由题意知，列出不等式组求解即可 .【详解】当时，，因为是定义在上的奇函数，所以，当时，，记，，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，即当时，，记，对于任意，存在，使得等价于，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性与值域，指数函数、二次函数的单调性，属于中档题 .19、 ABCD【分析】根据函数的性质，不等式的性质，函数的定义对各个选项进行判断，错误命题也可通过举反例说明．【详解】，满足在上单调递增，在上单调递增，但在R 上不是增函数， A 错；时，，它的图象与轴无交点，不满足且， B 错；当，但时，，不等式不成立， C 错；，与的对应法则不相同，值域也不相同，不是同一函数， D 错．故选： ABCD ．【点睛】本题考查判断命题的真假，考查函数的性质，不等式的性质，函数的定义等，对一个假命题可以通过举反例说明其为假．20、 AD【分析】根据幂函数的解析式，研究幂函数的性质，依次分析，得到结果 .【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，所以A 正确；函数的图象不经过点，所以B 不正确；为奇函数，是偶函数，是非奇非偶函数，所以幂函数不一定具有奇偶性，所以C 不正确；因为对于幂函数，当时，一定成立，所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以D 正确；故选： AD.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，解题方法如下：（ 1 ）明确幂函数的解析式的形式，利用待定系数法求得函数解析式，对命题判断正误；（ 2 ）明确随着幂指数的变化，图象走向以及函数的定义域要明确，进而清楚函数的奇偶性以及图象所过的象限，从而判断命题的正误.21、 BC【分析】由函数在区间上有最小值求出的取值范围，表示出，进一步应用的范围对的单调性、最值作出判断．函数在区间上有最小值，函数的对称轴应当位于区间内，有，则，当时，在区间上为增函数，此时，（ 1 ）；当时，在区间上为增函数，此时，（ 1 ）；当时，，根据对勾函数的性质，其在上单调递增，在上单调递增，此时（ 1 ）；综上，在区间上单调递增，并且是开区间，所以函数在上没有最值，故选： BC.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下：（ 1 ）由函数在区间上有最小值求出的取值范围；（ 2 ）根据所求的的范围，分类讨论，得到其在上是增函数；（ 3 ）根据区间为开区间，所以没有最值，得到结果.22、 ABD由被开方式非负和分母不为，解不等式可得的定义域，可判断 A ；化简，讨论，，分别求得的范围，求并集可得的值域，可判断 B ；由，可判断 C ；由奇偶性的定义可判断为奇函数，可判断 D ；【详解】对于 A ，由，解得且，可得函数的定义域为，故 A 正确；对于 B ，由A 可得，即，当可得，当可得，可得函数的值域为，故 B 正确；对于 C ，由，则在定义域上是增函数，故 C 错误；对于 D ，由的定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，故 D 正确；故选： ABD【点睛】本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题 .23、 AD根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项 .【详解】A. 在上单调递减，所以当时，，故 A 正确；B. 当时，不成立，故 B 不正确；C. 当时，，两边同时除以得，，故 C 不正确；D. 当时，两边同时乘以得，，或两边同时乘以得，，所以，故 D 正确.故选： AD24、 BC【分析】根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断 .【详解】A. ，故错误；B. ，故正确；C. ，故正确；D. 因为，所以，则，故错误；故选： BC25、 AD【分析】先利用可求出有最小值，再可得有最小值.【详解】由得：（当且仅当时取等号），即且，解得：，有最小值，知 A 正确；由得：（当且仅当时取等号），即且，解得：，有最小值，知正确 .故选： AD.【点睛】本题考查基本基本不等式的应用，属于中档题 .26、 ABD【分析】先研究函数的奇偶性，可以先令x = y =0 求得f (0) 的值，再令y =- x ，代入原式，可得奇偶性；然后结合单调性的定义判断单调性，最后判断函数在上的最值情况以及根据单调性求解不等式即可 .【详解】令x = y =0 ，则f (0)= f (0)+ f (0) ，所以f (0)=0 ，故A 正确；再令y =- x ，代入原式得f (0)= f ( x )+ f (- x )=0 ，所以f (- x )=- f ( x ) ，故该函数为奇函数，故 B 正确；由f ( x + y )= f ( x )+ f ( y ) 得f ( x + y )- f ( x )= f ( y ) ，令x< x 2 ，再令x 1 = x + y ，x 2 = x ，则y = x 1 - x 2 <0 ，结合x <0 时，1f ( x )>0 ，所以f ( x)- f ( x 2 )= f ( x 1 - x 2 )>0 ，所以f ( x 1 )> f ( x 2 ) ，1所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f ( x ) 在上递减，故f ( n ) 是最小值，f ( m ) 是最大值，故 C 错误；又，即，结合原函数在定义域内是减函数可得，，解得，故 D 正确.故选 ABD.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性以及利用单调性求最值和解函数不等式的方法，综合性较强，合理赋值是解决抽象函数问题的常用手段，属中档题 .二、填空题1、【分析】利用函数的解析式，结合已知条件直接求解函数值即可．【详解】函数 f （x ）=ax 5 ﹣ bx+|x| ﹣ 1 ，若 f （﹣ 2 ）=2 ，可得：﹣ 32a+2b+1=2 ，即32a ﹣2b= ﹣ 1f （ 2 ）=32a ﹣2b+1= ﹣1+1=0故答案为 0.【点睛】本题考查函数的解析式以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．2、 7【分析】，，是从定义域A 到值域B 的一个函数，所以中的每一个元素在的作用下，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故与或相等，然后结合其他条件，分情况讨论进行求解．【详解】解：由对应法则知，，，，又，∴ ，∴解得或( 舍)所以于是，∴ ，∴ .【点睛】本题考查了函数的定义，函数定义的本质是集合之间的对应关系，即一一对应或多对一的对应关系，掌握好函数的定义是解决本题的关键．3、【分析】求出函数在区间上的值域为，再结合函数的值域为，得出函数在上单调递增，可得出函数在区间上的值域，再由两段值域并集为，可得出关于实数的不等式（组），解出即可 .【详解】当时，，则，则函数在区间上的值域为. 又函数的值域为，则函数在上单调递增，当时，，所以，函数在区间上的值域为，由题意可得，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，在解题时不要忽略对函数单调性的分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题 .4、①④【分析】① 根据一元二次方程根与系数的关系，直接判断；②根据函数的定义域，化简函数，判断选项；③根据图象平移，判断选项；④画出函数的图象，判断交点个数 . 【详解】① 由一元二次方程根与系数的关系，得，故① 正确；② 根据函数的定义域可知，解得：，此时，所以（），所以函数既是奇函数，又是偶函数；故② 不正确；③ 由的图象向左平移一个单位而得，所以两个函数的值域相同，即函数的值域为，故③ 不正确；④ 是偶函数，并且图象如下图所示，与图象的交点是 2 个，3 个，或 4 个，不可能有 1 个的时候，故④正确.5、【分析】根据抽象函数的定义域的求法，结合函数，列出不等式组，即可求解 . 【详解】由题意，函数的定义域是，即，则函数满足，解得，即函数的定义域是.故答案为：.【点睛】求抽象函数定义域的方法：1 、已知函数的定义域为，求复合函数的定义域时：可根据不等式解得，则的取值范围即为所求定义域；2 、已知复合函数的定义域为，求函数的定义域，求出函数的值域，即为的定义域 .6、 3【分析】先由幂函数定义，再代入点的坐标即可求解 .【详解】解：由幂函数定义知，，又过，所以，，故答案为： 3【点睛】考查幂函数定义的应用，基础题 .7、 2【分析】得出即可【详解】因为所以即，因为，所以故答案为： 2【点睛】若是奇函数，则的图象关于对称，满足.8、【分析】由函数的单调性和奇偶性可得、的解，转化不等式为或，即可得解 .【详解】由题意，函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，，所以函数在上是减函数，且，则当时，；当时，；所以时，；当时，；不等式等价于或，解得.所以不等式的解集为.故答案为：.三、解答题1、（ 1 ）；（ 2 ）或.【分析】（ 1 ）根据题意可得，解不等式求出集合，再利用二次函数的性质求出集合，根据集合的交运算即可求解 .（ 2 ）由知，分类讨论或，列不等式即可求解 .【详解】解：（ 1 ）由题可得，解得且，所以函数的定义域且，因为对任意，，所以，所以函数的值域，∴ .（ 2 ）由知，当时，则，解得；当时，则，解得.综上，或.2、 (1) f ( x ) ＝(2) 见解析【解析】试题分析：（ 1 ）分别求出当x ＜ 0 和x=0 时的解析式，写成分段函数的形式；（ 2 ）设∀x 1 ，x 2 ∈(0 ，＋∞) ，且x 1 ＜x 2 ，通过作差证明f ( x 1 ) ＞f ( x 2 ) 即可．试题解析： (1) 设x ＜ 0 ，则－x ＞ 0 ，∴ f ( －x ) ＝.又∵ f ( x ) 是R 上的奇函数，∴ f ( －x ) ＝－f ( x ) ＝，∴ f ( x ) ＝.又∵ 奇函数在x=0 时有意义，∴ f (0) ＝0 ，∴ 函数的解析式为f ( x ) ＝(2) 证明：设∀x 1 ，x 2 ∈(0 ，＋∞) ，且x 1 ＜x 2 ，则f ( x 1 ) －f ( x 2 ) ＝－＝＝.∵ x 1 ，x 2 ∈(0 ，＋∞) ，x 1 ＜x 2 ，∴ x 1 ＋ 1 ＞0 ，x 2 ＋ 1 ＞0 ，x 2 －x 1 ＞ 0 ，∴ f ( x 1 ) －f ( x 2 ) ＞0 ，∴ f ( x 1 ) ＞f ( x 2 ) ，∴ 函数f ( x ) 在(0 ，＋∞) 上为减函数．点睛：用定义法证明函数单调性的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论，注意取值时要取所给区间上的任意两数x 1 ，x 2 ，变形是解题的重点，目的使所做的差变成成绩的形式．3、（ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）解一元二次不等式求得中的取值范围，解绝对值不等式求得中的取值范围，根据为真，即都为真命题，求得的取值范围 .（ 2 ）解一元二次不等式求得中的取值范围，根据是的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围 .【详解】对于：由得，解（ 1 ）当时，对于：，解得，由于为真，所以都为真命题，所以解得，所以实数的取值范围是.（ 2 ）当时，对于：，解得. 由于是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，所以，解得. 所以实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值范围，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，属于中档题 .4、（ 1 ） 4 ；（ 2 ）答案见解析.【分析】（ 1 ）将代入函数解析式，得到，之后结合，利用基本不等式求得结果；（ 2 ）首先求时，不等式的解集，之后时，求得方程的根为，，分类讨论求得其解集 .【详解】（ 1 ）若时，，当且仅当，即时取得等号 .故的最小值为 4.（ 2 ）①当时，不等式的解为.② 当时，令解得，.当时，，解得.当时，若，即解原不等式得或.若，即解原不等式得或.若，即解原不等式得.综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；时，不等式解集为或. 时，不等式解集为. 时，不等式解集为.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关不等式的问题，解题方法如下：（ 1 ）将参数值代入函数解析式，对式子进行变形，结合自变量的范围，利用基本不等式求得结果；（ 2 ）首先求方程的根，对参数进行讨论，讨论的标准就是根的大小，最后求得不等式的解集；（ 3 ）要用好分类讨论思想.5、 (1) ，； (2) 是奇函数，证明见解析； (3) .【分析】(1) 运用赋值法, 代入求出的值 , 代入, 结合已知条件求出的值 .(2) 令代入已知的恒等式中 , 结合函数奇偶性的定义判断出函数的奇偶性 .(3) 由(2) 知函数为奇函数, 运用奇函数性质进行化简, 再结合函数的单调性求解不等式, 解出实数k 的取值范围 .【详解】(1) 令可得,令, ∴ ∴ ∴ ;(2) 令∴ ∴ , 即∴ 函数是奇函数 .(3)∵ 是奇函数 , 且在时恒成立 ,∴ 在时恒成立 ,又∵ 是R 上的增函数 .∴ 即在时恒成立 .∴ 在时恒成立 .令,∵ ∴ . 由抛物线图象可得∴ .则实数k 的取值范围为.【点睛】本题考查了抽象函数求值及性质问题 , 关键在于利用已知条件中的恒等式, 采用赋值法求解, 结合函数奇偶性和单调性解答不等式恒成立问题, 可以采用分离参数的方法处理, 此题较为综合, 需要掌握解题方法.6、（ 1 ），；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）解出集合中的不等式，化简集合即可 .（ 2 ）由条件建立不等式即可 .【详解】（ 1 ）由得，所以，由所以所以（ 2 ）因为，且所以，所以的取值范围为：【点睛】本题为基础题，考查集合的运算 .7、（ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）解不等式即得解；（ 2 ）化为在恒成立，令，求出函数的最小值即可 . 【详解】（ 1 ）若在单调递增，则，所以；（ 2 ）因为在上恒成立，所以在恒成立，即在恒成立令，则，当且仅当时等号成立所以.【点睛】方法点睛：处理参数的问题常用的方法有：（ 1 ）分离参数法（先分离参数转化为函数的最值）；（ 2 ）分类讨论法（对参数分类讨论求解）.8、（ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）直接代入求值即可；（ 2 ）由（ 1 ）知，又g ( x ) ＝f ( x ) ，代入整理可得，令，求即可得出结果 .【详解】（ 1 ）由已知得，解得a ＝ 1.（ 2 ）由（1 ）知，又g ( x ) ＝f ( x ) ，则 4 －x － 2 ＝，，令，则t >0 ，t 2 －t － 2 ＝0 ，即 ( t － 2)( t ＋ 1) ＝0 ，又t >0 ，故t ＝ 2 ，即，解得x ＝－ 1 ，故满足条件的x 的值为－ 1.【点睛】本题主要考查了指数与指数函数和函数与方程 . 属于较易题.9、（ 1 ），；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）由，得到，从而得到，又由，得出的值和幂函数的解析式；（ 2 ）由已知得到且，由此即可求解实数的取值范围 . 【详解】（ 1 ）由题意，函数（实数）的图像关于轴对称，且，所以在区间为单调递减函数，所以，解得，又由，且函数（实数）的图像关于轴对称，所以为偶数，所以，所以.（ 2 ）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递减函数，所以不等式，等价于且，解得或，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 .10、选法见解析；，；（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）根据函数的对称性，定义域和值域，奇偶性计算得到，，再求导证明单调性 .（ 2 ）利用函数的奇偶性和单调性解不等式得到答案.【详解】（ 1 ）①由得对称中心为即得，；②( i ) 当时，在上单调递增，则有得，得，；( ii ) 当时，在上单调递减，则得，无解，所以，；③ 由得，因为在上是偶函数，则，且，所以，；由① 或②或③得，，，由得，则在上单调递增 .（ 2 ）因为，则为奇函数 .由即又因为在上单调递增，则解得.【点睛】本题考查了函数对称性，奇偶性，单调性，函数的定义域和值域，解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用 .11、（ 1 ）（ 2 ）32 （ 3 ）或【分析】（ 1 ）当米时，点F 在线段CD 上，利用算出即可（ 2 ）分两种情况讨论，分别求出最大值，再作比较（ 3 ），利用基本不等式可求出其取得最小值时，然后再分两种情况讨论【详解】（ 1 ）由题知：当米时，点F 在线段CD 上，所以所以（平方米）（ 2 ）由题知，当（米）时，点F 在线段AD 上此时：（平方米）当（米）时，点F 在线段CD 上，，令所以所以因为，所以，等号当且仅当时，即时取得所以最大值为 32（ 3 ）因为，所以：。

尚义一中2020～2021学年第一学期高一年级期中考试试卷数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5mm 黑色签字笔在答题卡相应栏内填写自己的班级、姓名、考场、准考证号，并用2B 铅笔将考试科目、准考证号涂写在答题卡上。

2．II 卷内容须用0.5mm 黑色签字笔写在答题卡相应空格或区域内。

3．考试结束，将答题卡交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题选出答案后，请填在答题卡上．） 1.集合A={1,2,3}的非空真子集的个数是( )A.5B.6C.7D.82.已知集合A={x|x<0},B={x|x>-2},C={x|x>-1},则(A ∩B)∪C=()A.{x|-1<x<0}B.{x|x>-1}C.{x|-2<x<0}D.{x|x>-2}3.已知集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x ∈A,y ∈A},则集合B 等于() A.{-4,4} B.{-4,0,4} C.{-4,0} D.{0}4.x>1是x>2的()A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.若命题p:∀x ∈R ,x 2+ax +1≥0为真命题,则实数a 的取值范围是()A.a ≥2B.a ≤−2C.−2≤a ≤2D.a ≤−2或a ≥2 9.若a ,b ∈R 且a >b ,则()A.a 2>b 2B.b a <1C.1a <1bD.a 2>b27.不等式2x 2−3x +5>0的解集是（）A.{x|x <12或x >3} B.{x|x <1或x >32}C.RD.8.不等式1−1x−1>0的解集是（）A.{x|x >2}B.{x|x <1}C.{x|1<x <2}D.{x|x <1或x >2}二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分。

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第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题选出答案后，请填在答题卡上．）1. 集合A={1,2,3}的非空真子集的个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 82. 已知集合A={x|x<0},B={x|x>-2},C={x|x>-1},则(A∩B)∪C=( )A. {x|-1<x<0}B. {x|x>-1}C. {x|-2<x<0}D. {x|x>-2}3. 已知集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},则集合B等于( )A. {-4,4}B. {-4,0,4}C. {-4,0}D. {0}4. x>1是x>2的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 若命题p:∀x∈R,x2+ax+1≥0为真命题,则实数a的取值范围是( )A. a≥2B. a≤−2C. −2≤a≤2D. a≤−2或a≥29. 若a,b∈R且a>b,则( )A. a2>b2B. ba<1 C.1a<1bD.a2>b27. 不等式2x2−3x+5>0的解集是（）A. {x|x<12或x>3}B. {x|x<1或x>32}C. RD.8. 不等式1−1x−1>0的解集是（）A. {x|x>2}B. {x|x<1}C. {x|1<x<2}D. {x|x<1或x>2}二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分。

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2．II卷内容须用0.5mm黑色签字笔写在答题卡相应空格或区域内。

3．考试结束，将答题卡交回。

第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题选出★★答案★★后，请填在答题卡上．）1. 直线的倾斜角为()A. B.C. D.2. 若点到直线的距离为，则直线的方程为()A.B.C. 或D. 或3. 已知,,,则与的夹角为( )A. B.C. D.4. 设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（）A. B.C. D.5. 已知,(其中，，是两两垂直的单位向量)，则与的数量积等于( )A. B.C. D.6. 以下四组向量:①,②,③,④,其中,为直线,的方向向量,则它们互相平行的是( )A. ②③.B. ①④C. ①②④D. ①②③④7. 直线关于直线对称的直线方程是( )A. B.C. D.8. 已知,是夹角为的两个单位向量,则与的夹角是( )A. B.C. D.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 已知向量,则下列结论正确的是( )A. B.C. D.10. 如果,且,那么直线通过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11. 一条直线和平面所成角为,那么的正弦值可能是( )A. B.C. D.12. 如图,空间四边形中,分别是的中点,下列结论正确的是( )A.B. 平面C. 平面D. 是一对相交直线第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分，每小题做出★★答案★★后，请写在答题卡上．）13. 已知，，，点在轴上，则当点坐标为__________时，.14. 已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，则异面直线BC1与DC所成角的余弦值为__________.15. 若实数满足关系，则式子的最小值为__________.16. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，点在上，且，则的长为__________．四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 根据下列条件求直线的方程：（1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为；（2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为；（3）过点，且在两坐标轴上的截距相等.18. 如图所示,在长方体中,,,为线段上一点.(1)求证:; (2)当为线段的中点时,求点到平面的距离.19. 如下图，在平行四边形中，点，过点作于点． (1)求所在直线的方程；(2)求点坐标．20. 直棱柱中，底面是直角梯形，，．若为的中点，求证：平面，且平面．21. 在长方体中，，，，是的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：（1）求直线与所成的角的余弦值；（2）作于，求点到点的距离.22. （2018全国II理）如图,在三棱锥中,,,为的中点. (1)证明:平面; (2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.附试题★★答案★★第1题：【★★答案★★】B【解析】∵，∴倾斜角为.第2题：【★★答案★★】C【解析】由，化简得，所以或，所以，直线的方程为或．第3题：【★★答案★★】C【解析】由题意可知,,设,则,∴.第4题：【★★答案★★】D【解析】直线的倾斜角为，则，由，即，∴.故选D.....第5题：【★★答案★★】A【解析】设则∴.第6题：【★★答案★★】D【解析】①∵,∴.②∵,∴.③∵,∴.④∵,∴.第7题：【★★答案★★】D【解析】根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得★★答案★★A或D,再根据两直线交点在直线处,故选D.第8题：【★★答案★★】B【解析】∵,,,∴,∴第9题：【★★答案★★】B,C【解析】∵,∴,∴. ∵,∴.第10题：【★★答案★★】A,B,D【解析】由已知得直线在轴上的截距,在轴上的截距,故直线经过第一、二、四象限,所以不经过第三象限.第11题：【★★答案★★】A,B,C【解析】直线与平面所成的角范围是,由线面角的定义知的正弦值取值范围是,所以A、B、C正确.第12题：【★★答案★★】B,C【解析】点平面,点直线,点平面,点平面,则是异面直线,是异面直线,★★答案★★A、D错,,由直线与平面平行的判定定理可得平面,★★答案★★B对,,由直线与平面平行的判定定理可得平面,★★答案★★C对.第13题：【★★答案★★】【解析】设点，因为，所以直线的斜率存在．则由知，，所以，解得.第14题：【★★答案★★】【解析】以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，∴，，，, ∴. ∴异面直线DC与BC1所成的角的余弦值为.第15题：【★★答案★★】【解析】解法一：∵，∴上式可看成是一个动点到一个定点的距离的平方. 从而即为点与直线上任意一点的距离.∴的最小值应为点到直线的距离，即. 解法二：∵，∴，∴.∵，∴时，.第16题：【★★答案★★】【解析】以为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为，所以．由于为的中点，取中点，所以．因为，所以为的四等分点，从而为的中点，故．根据空间两点间的距离公式，可得.第17题：【★★答案★★】（1）（2）或（3）或【解析】（1）在轴上的截距为，所以在轴上的截距为，利用截距式可得方程为. （2）在轴上的截距为，所以在轴上的截距为或，利用截距式可得方程为或. （3）①若直线在坐标轴上的截距不为零（或者说直线不过原点），则可设直线方程为，由已知过点，即，解得，∴的方程为，即；②若直线在两坐标轴上的截距为零（或者说直线过原点），则可设直线的方程为，代入点的坐标，得.的方程为，即，∴所求直线的方程为或.第18题：【★★答案★★】见解析【解析】(1)证明:连接,因为是长方体,且, 所以四边形是正方形,所以, 因为在长方体中,平面,平面, 所以, 因为平面,平面, 且,所以平面, 因为平面,所以.(2)点到平面的距离,的面积, 所以, 在中,,,所以,同理. 又,所以的面积. 设三棱锥的高为,则因为,所以, 所以,解得,即三棱锥的高为. 所以点到平面的距离为.第19题：【★★答案★★】(1);(2)【解析】（1）由题意可得直线的斜率为，∵，∴，∴的斜率为，∴的方程为：，化为一般式可得；（2）由题意可得，∵，∴直线的斜率与的斜率相等，∴的方程为：，联立方程，解得，∴第20题：【★★答案★★】略【解析】为的中点，连接，,, 所以, 因为，得到平行四边形，所以，因为面，面，面,所以平面,平面．第21题：【★★答案★★】（1）；（2）.【解析】（1)由题意得，，，. ∴，，∴，∴与所成的角的余弦值为. （2）由题意得，，∵，设，∴，，，∴解得∴，∴.....第22题：【★★答案★★】(1)见解析 (2)【解析】(1)因为,为的中点,所以,且.连接,因为,所以为等腰直角三角形,且,.由知.由,知平面. (2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系. 由已知得,,,,,.取平面的法向量.设(),则.设平面的法向量为,由,得,可取,所以.由已知可得,所以,解得或(舍去),所以.又,所以,所以与平面所成角的正弦值为.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2020-2021学年某校高一（上）期中数学试卷一.选择题（共10道小题，每小题5分，共50分）1. 已知集合U＝{0, 1, 2, 3, 4}，M＝{0, 1, 2}，则∁U M＝（）A.{0, 1, 2}B.{0, 1, 2, 3, 4}C.{1, 2}D.{3, 4}【答案】D【考点】补集及其运算【解析】根据集合的基本运算进行计算即可．【解答】集合U＝{0, 1, 2, 3, 4}，M＝{0, 1, 2}，则∁U M＝{3, 4}，2. 若f(x)=1−x1+x，则f(0)＝（）A.1B.12C.0D.−1【答案】A【考点】求函数的值函数的求值【解析】直接把f(x)=1−x1+x中的x换成0，可求出f(0)的值．【解答】∵f(x)=1−x1+x，∴f(0)=1−01+0=1．3. 若x>y>1，则下列下列四个数中最小的数是（）A.x+y2B.2xyx+yC.√xD.12(1x+1y)【答案】D【考点】不等式的概念【解析】利用不等式的性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】∵x>y>1，∴12(1x+1y)<2xyx+y<√xy<x+y2，∴12(1x+1y)．4. 命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是( )A.∀x∈R，|x|+x2<0B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+x02<0D.∃x0∈R，|x0|+x02≥0【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是∃x0∈R，|x0|+x02<0.故选C.5. 已知函数f(x)＝x2+2(a−1)x+2在区间(−∞, 4]上递减，则a的取值范围是（）A.[−3, +∞)B.(−∞, −3]C.(−∞, 5]D.[3, +∞)【答案】B【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】由f(x)在区间(−∞, 4]上递减知：(−∞, 4]为f(x)减区间的子集，由此得不等式，解出即可．【解答】f(x)的单调减区间为：(−∞, 1−a]，又f(x)在区间(−∞, 4]上递减，所以(−∞, 4]⊆(−∞, 1−a]，则4≤1−a，解得a≤−3，所以a的取值范围是(−∞, −3]，6. 已知a，b为实数，则“a+b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】“a+b>4”⇒“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．即可判断出关系．【解答】“a+b>4”⇒“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．∴ “a+b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．7. 下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是（）A.M＝{x|x∈Z}，N＝{y|y∈Z}，对应关系f:x→y，其中y=x2B.M＝{x|x>0, x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f:x→y，其中y＝±2xC.M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f:x→y，其中y＝x2D.M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f:x→y，其中y=2x【答案】C【考点】函数的概念及其构成要素【解析】根据函数的定义进行判断即可．【解答】A．M中的一些元素，在N中没有元素对应，比如，x＝3时，y=32∉N，∴y不是x的函数；B．M中的任意元素x，在N中有两个元素±2x与之对应，不满足对应的唯一性，∴y不是x的函数；C．满足在M中的任意元素x，在集合N中都有唯一元素x2与之对应，∴y是x的函数；D．M中的元素0，通过y=2x在N中没有元素对应，∴y不是x的函数．8. 设x∈R，定义符号函数sgn x={1，x>0 0，x=0−1，x<0，则函数f(x)=|x|sgn x的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】 C【考点】函数的图象变换 【解析】本题主要考查函数图象的识别. 【解答】解：∵ sgn x ={1，x >0，0，x =0，−1，x <0，∴ f(x)=|x|sgn x ={x ，x >0，0，x =0，x ，x <0，即f （x ）=x ．故选C ．9. 设函数f(x)={x 2−(a −1)x +2,x ≥1(3a +1)x −5,x <1 在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.(−13,3] B.(−13,2)C.(−13,2]D.[2, 3]【答案】 C【考点】分段函数的应用 【解析】利用分段函数是增函数，列出不等式组，求解即可． 【解答】函数f(x)={x 2−(a −1)x +2,x ≥1(3a +1)x −5,x <1 在R 上是增函数，可得：{a−12≤13a +1>03a +1−5≤1−a +1+2， 解得−13<a ≤2故实数a 的取值范围是(−13, 2]．10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 D【考点】函数的概念及其构成要素 【解析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力． 【解答】对于 A ，由图象可知当速度大于 40km/ℎ 时，乙车的燃油效率大于 5km/L ，∴ 当速度大于 40km/ℎ 时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于 5km ，故 A 错误； 对于 B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴ 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 B 错误；对于 C ，由图象可知当速度为 80km/ℎ 时，甲车的燃油效率为 10km/L ，即甲车行驶 10km 时，耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为 80km ，燃油为 8 升，故C 错误； 对于 D ，由图象可知当速度小于 80km/ℎ 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴ 用丙车比用乙车更省油，故 D 正确； 二.填空题函数f(x)=√3x−x 2x−2的定义域为________．【答案】 [0, 2)∪(2, 3] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组得答案． 【解答】解：由{3x −x 2≥0x −2≠0，解得0≤x ≤3，且x ≠2．∴函数f(x)=√3x−x2x−2的定义域为[0, 2)∪(2, 3]．故答案为：[0, 2)∪(2, 3]．设函数f(x)满足f(x−1)＝4x−4，则f(x)＝________．【答案】4x【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】变形f(x−1)得出f(x−1)＝4(x−1)，从而得出f(x)＝4x．【解答】f(x−1)＝4x−4＝4(x−1)；∴f(x)＝4x．给出下列三个函数：①y=x2−2xx−2；②y=x3+xx2+1；③y=√x2．其中与函数f(x)＝x相同的函数的序号是________．【答案】②【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】通过求定义域，化简函数，即可找出与f(x)＝x相同的函数．【解答】f(x)＝x的定义域为R；①y=x2−2xx−2的定义域为{x|x≠2}，定义域不同，与f(x)＝x不相同；②y=x3+xx2+1=x的定义域为R，与f(x)＝x相同；③y=√x2=|x|，解析式不同，与f(x)＝x不相同．已知f(x)为R上的奇函数，x>0时，f(x)=x3+1x，则f(−1)+f(0)＝________．【答案】−2【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由定义域为R的奇函数的性质可得f(0)的值，由函数的解析式可得f(1)的值，结合函数的奇偶性可得f(−1)的值，将f(0)与f(1)相加即可得答案．【解答】则f(−1)+f(0)＝−2(1)故答案为：−2．已知函数f(x)=1a−1x(a >0, x >0)，若f(x)在[12, 2]上的值域为[12, 2]，则a =________． 【答案】25【考点】函数的值域及其求法 【解析】求f′(x)，根据f′(x)的符号判断函数f(x)在[12, 2]上的单调性，根据单调性即可求f(x)在[12, 2]上的值域，根据已知的值域[12, 2]即可求出a ． 【解答】解：∵ f′(x)=1x 2>0恒成立， ∴ f(x)在[12, 2]上增函数， ∵ f(x)在[12, 2]上的值域为[12, 2]， ∴ f(12)=1a −2=12，f(2)=1a −12=2， 解得a =25 故答案为：25若关于x 的不等式ax 2+x +b >0的解集是(−1, 2)，则a +b =________．【答案】 1【考点】一元二次不等式的解法 【解析】根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a ，b 即可． 【解答】解：关于x 的不等式ax 2+x +b >0的解集是(−1, 2)， ∴ −1，2是方程ax 2+x +b =0的两个根， ∴ −1+2=−1a ，−1×2=ba ， 解得a =−1，b =2； ∴ a +b =−1+2=1． 故答案为：1．已知x >0，y >0，且x +y ＝8，则(1+x)⋅(1+y)的最大值为________．25【考点】基本不等式及其应用【解析】由已知结合xy≤(x+y2)2即可求解．【解答】因为x>0，y>0，且x+y＝8，所以(1+x)⋅(1+y)＝1+xy+x+y＝9+xy≤9+(x+y2)2=9+16＝25，当且仅当x＝y＝4时取等号，关于x的方程2kx2−2x−3k−2=0的两实根，一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围为________．【答案】k<−4或k>0．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】首先分析题目已知方程2kx2−2x−3k−2=0的两实根，一个小于1，另一个大于1．可以联想到转化为考虑抛物线f(x)=2kx2−2x−3k−2在1的取值问题，然后分为抛物线开口向上和开口向下，分别讨论即可得到答案．【解答】解：因为方程有两实根，所以二次项系数不为0，则k≠0．又因为方程2kx2−2x−3k−2=0的两实根，一个小于1，另一个大于1，则存在两种情况：情况1：当k>0时，：函数f(x)=2kx2−2x−3k−2图象开口向上，此时只需f(1)< 0即可．即2k−2−3k−2<0解得k>−4．结合前提条件有k>0．情况2：当k<0时，函数2kx2−2x−3k−2图象开口向下，此时只需f(1)>0，即可即2k−2−3k−2>0解得k<−4．结合前提条件有k<−4．综上，满足题意的k的取值范围是k<−4或k>0．故答案为k<−4或k>0．已知函数f(x)={−x2+kx，x≤1，2x2，x>1，若存在a，b∈R，且a≠b，使得f(a)=f(b)成立，则实数k的取值范围是________．【答案】k<2或k>3【考点】分段函数的应用【解析】依题意，在定义域内，f(x)不是单调函数．结合二次函数的图象和性质及分段函数的单调性，可得结论．解：依题意，在定义域内，f(x)不是单调函数．由f(x)=2x2，x>1为增函数，且x=1时，2x2=2得：x≤1时，k2<1或−1+k>2，解得：k<2或k>3，故答案为：k<2或k>3.已知函数f(x)=x1−|x|(x∈(−1,1))，有下列结论：①∀x∈(−1, 1)，等式f(−x)+f(x)＝0恒成立；②∀m∈[0, +∞)，方程|f(x)|＝m有两个不等的实根；③∀x1，x2∈(−1, 1)，若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；④存在无数多个实数k，使得函数g(x)＝f(x)−kx在(−1, 1)上有三个零点．则其中正确结论的序号为________．【答案】①③④【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用函数的图象和函数的关系式的变换及函数的对称性，单调性的应用判断①②③④的结论．【解答】对于②：函数f(x)=x1−|x|(x∈(−1,1))为奇函数，故|f(x)|为偶函数，当x＝0时，|f(0)|＝0，当m＝0时，方程|f(x)|＝m只有一个实根，当m>0时，方程有两个实数根，故②错误（1）对于③当x∈[0, 1)时，f(x)=x1−|x|=x1−x≥0，函数为增函数，当x∈(−1, 0]时，f(x)=x1−|x|=x1+x≤0，函数为增函数，故函数在x∈(−1, 1)上单调递增，若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)，故③正确（2）对于④：由函数g(x)＝f(x)−kx＝0，得f(x)＝kx，所以f(0)＝0，即x＝0，为函数的一个零点，由于函数f(x)为奇函数，函数在(−1, 1)上单调递减，所以可以存在无数的实数k，使得函数g(x)＝f(x)−kx在(−1, 1)上有3个零点，如上图，故答案为：①③④．三．解答题已知全集U=R，集合A={x|2<x<9}，B={x|x2≥8}．（1）求A∩B，B∩(∁U A)；（2）已知集合C={x|a<x<a+2}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）∵集合A={x|2<x<9}，B={x|x2≥8}={x|x≥2√2或x≤−2√2}，∴A∩B={x|2√2≤x<9}，而∁U A={x|x≤2或x≥9}，∴B∩(∁U A)={x|x≤−2√2或x≥9}；（2）∵B={x|x2≥8}={x|x≥2√2或x≤−2√2}，集合C={x|a<x<a+2}，C⊆B，∴a≥2√2或a+2≤−2√2，∴a≥2√2或a≤−2−2√2．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）先求出关于集合B中的x的范围，从而求出A∩B，B∩(∁U A)即可；（2）根据C⊆B，结合集合B，C的范围得到不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵集合A={x|2<x<9}，B={x|x2≥8}={x|x≥2√2或x≤−2√2}，∴A∩B={x|2√2≤x<9}，而∁U A={x|x≤2或x≥9}，∴B∩(∁U A)={x|x≤−2√2或x≥9}；（2）∵B={x|x2≥8}={x|x≥2√2或x≤−2√2}，集合C={x|a<x<a+2}，C⊆B，∴a≥2√2或a+2≤−2√2，∴a≥2√2或a≤−2−2√2．(Ⅰ)画出函数y＝x2−2x−3，x∈(−1, 4]的图象；(Ⅱ)讨论当k为何范围时，方程x2−2x−3−k＝0在(−1, 4]上的解集为空集、单元素集、两元素集？【答案】(I)f(x)＝x2−2x−3＝(x−1)2−4，则图象如右图所示，其中不含点(−1, 0)，含点(4, 5)．(II)原方程的解与两个函数y＝x2−2x−3，x∈(−1, 4]和y＝k的图象的交点构成一一对应．易用图象关系进行观察．（1）当k∈(5, +∞)∪(−∞, −4)时，原方程在(−1, 4]上的解集为空集；（2）当k∈[0, 5]∪{−4}时，原方程在(−1, 4]上的解集为单元素集；（3）当−k∈(−4, 0)时，原方程在(−1, 4]上的解集为两元素集．【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】（I）根据二次函数的图象和性质，作出函数f(x)＝x2−2x−3，x∈(−1, 4]的图象；(II)在(I)的基础上，再作出y＝k的图象，根据条件，上下移动，来研究k的范围．【解答】(I)f(x)＝x2−2x−3＝(x−1)2−4，则图象如右图所示，其中不含点(−1, 0)，含点(4, 5)．(II)原方程的解与两个函数y＝x2−2x−3，x∈(−1, 4]和y＝k的图象的交点构成一一对应．易用图象关系进行观察．（1）当k∈(5, +∞)∪(−∞, −4)时，原方程在(−1, 4]上的解集为空集；（2）当k∈[0, 5]∪{−4}时，原方程在(−1, 4]上的解集为单元素集；（3）当−k∈(−4, 0)时，原方程在(−1, 4]上的解集为两元素集．已知函数f(x)=x2+1x．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）当x∈(1, +∞)时，判断f(x)的单调性并证明；（3）在（2）的条件下，若实数m满足f(3m)>f(5−2m)，求m的取值范围．【答案】f(x)=x2+1x为奇函数，利用如下：f(−x)=(−x)2+1−x =−1+x2x=−f(x)，故f(x)为奇函数，x∈(1, +∞)时，f(x)的单调性递增，利用如下：设1<x1<x2，f(x)＝x+1x，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2，＝(x1−x2)(1−1x1x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1, +∞)上单调递增，由f(3m)>f(5−2m)可得3m>5−2m>1，解得，1<m<2．故m的范围(1, 2)【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）检验f(−x)与f(x)的关系即可判断，（2）先设1<x1<x2，然后利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，（3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解．【解答】f(x)=x2+1x为奇函数，利用如下：f(−x)=(−x)2+1−x =−1+x2x=−f(x)，故f(x)为奇函数，x∈(1, +∞)时，f(x)的单调性递增，利用如下：设1<x1<x2，f(x)＝x+1x，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2，＝(x1−x2)(1−1x1x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1, +∞)上单调递增，由f(3m)>f(5−2m)可得3m>5−2m>1，解得，1<m<2．故m的范围(1, 2)已知函数f(x)＝mx2+(1−3m)x−4，m∈R．（1）当m＝1时，求f(x)在区间[−2, 2]上的最大值和最小值．（2）解关于x的不等式f(x)>−1．（3）当m<0时，若存在x0∈(1, +∞)，使得f(x)>0，求实数m的取值范围．【答案】当m＝1时，函数f(x)＝x2−2x−4在(−2, 1)上是减函数，在(1, 2)上是增函数，所以当x＝−2时，f(x)有最大值，且f(x)max＝f(−2)＝4+4−4＝4，当x＝1时，f(x)有最小值，且f(x)min＝f(1)＝−5．不等式f(x)>−1，即mx2+(1−3m)x−3>0，当m＝0时，解得x>3，当m≠0时，(x−3)(mx+1)＝0的两根为3和−1m，当m>0时，−1m <3，不等式的解集为：{x|x<−1m或x>3}，当m <0时，3−(−1m)=3m+13，∴ 当m <−13时，−1m <3，不等式的解集为{x|−1m <x <3}， 当m =−13时，不等式的解集为⌀，当−13<m <0时，3<−1m，不等式的解集为{x|3<x <−1m}，综上所述：当m >0时，−1m <3，不等式的解集为{x|x <−1m 或x >3}； 当m ＝0时，不等式的解集为{x|x >3}；当−13<m <0时，3<−1m，不等式的解集为{x|3, x <−1m}；当m =−13时，不等式的解集为⌀；当m <−13时，不等式的解集为{x|−1m <x <3}．m <0时，f(x)＝mx 2+(1−3m)x −4，m ∈R 为开口向下的抛物线， 抛物线的对称轴为x =−1−3m 2m=32−12m >1，若存在x 1∈(1, +∞)，使得f(x 1)>0，则(1−3m)2+16m >0， 即9m 2+10m +1>0，解得m <−1或−19<m <0， 综上所述：m 的取值范围是(−∞, −1)∪(−19, 0)．【考点】二次函数的图象 二次函数的性质【解析】（1）当m ＝1时，函数f(x)＝x 2−2x −4在(−2, 1)上是减函数，在(1, 2)上是增函数，由此能求出f(x)在区间[−2, 2]上的最大值和最小值．（2）不等式f(x)>−1，即mx 2+(1−3m)x −3>0，根据m ＝0，m >0，m <−13，m =−13，−13<m <0进行分类讨论，能求出关于x 的不等式f(x)>−1的解集． （3）m <0时，f(x)＝mx 2+(1−3m)x −4，m ∈R 为开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为x =32−12m>1，由此能求出m 的取值范围．【解答】当m ＝1时，函数f(x)＝x 2−2x −4在(−2, 1)上是减函数，在(1, 2)上是增函数， 所以当x ＝−2时，f(x)有最大值，且f(x)max ＝f(−2)＝4+4−4＝4， 当x ＝1时，f(x)有最小值，且f(x)min ＝f(1)＝−5． 不等式f(x)>−1，即mx 2+(1−3m)x −3>0， 当m ＝0时，解得x >3，当m ≠0时，(x −3)(mx +1)＝0的两根为3和−1m ，当m >0时，−1m<3，不等式的解集为：{x|x <−1m或x >3}，当m <0时，3−(−1m )=3m+13，∴ 当m <−13时，−1m<3，不等式的解集为{x|−1m<x <3}，当m =−13时，不等式的解集为⌀，当−13<m <0时，3<−1m ，不等式的解集为{x|3<x <−1m }， 综上所述：当m >0时，−1m<3，不等式的解集为{x|x <−1m或x >3}；当m ＝0时，不等式的解集为{x|x >3}；当−13<m <0时，3<−1m ，不等式的解集为{x|3, x <−1m }； 当m =−13时，不等式的解集为⌀；当m <−13时，不等式的解集为{x|−1m <x <3}．m <0时，f(x)＝mx 2+(1−3m)x −4，m ∈R 为开口向下的抛物线， 抛物线的对称轴为x =−1−3m 2m=32−12m >1，若存在x 1∈(1, +∞)，使得f(x 1)>0，则(1−3m)2+16m >0， 即9m 2+10m +1>0，解得m <−1或−19<m <0， 综上所述：m 的取值范围是(−∞, −1)∪(−19, 0)．。