浙江省台州市2019-2020年高三数学期末质量评估试题 文 新人教A版

浙江省台州市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不等式210x -<的解集是（ ） A. ()1,1-B. (),1-∞-C. (),1-∞D.()(),11,-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】直接根据一元二次不等式的解法解得即可；【详解】解：因为210x -<，所以()()110x x -+<，解得11x -<<，即()1,1x ∈- 故选：A【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知向量()1,2a =，(),4b m =，若//a b ，则实数m 的值为（ ） A. -8 B. -2C. 2D. 8【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行可得142m ⨯=，即可求出实数m 的值. 【详解】解：因为//a b ，所以142m ⨯=，解得2m =. 故选:C.【点睛】本题考查了已知向量平行求参数的值，属于基础题. 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1n S n=，*n N ∈，则2a =（ ） A. 12-B. 16-C. 16D.12【答案】A 【解析】 【分析】根据1n n n a S S -=-计算可得； 【详解】解：因为1n S n= 所以22111122a S S =-=-=- 故选：A【点睛】本题考查由前n 项和为n S 求数列的项，属于基础题.4.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，1sin 4B =，则b =（ ）A.6B.12C. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用正弦定理，结合题中所给的条件，求得结果. 【详解】根据正弦定理可得sin sin a b A B=， 即11124b=，解得12b =，故选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用正弦定理解三角形，属于基础题目. 5.若,a b ∈R ，且a b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A. 2a b a b +<+B. 2a b b +>C.2212a ab b >++ D. ()()220a ba b -->【答案】D 【解析】 【分析】根据条件取取1a =-，0b =和0a =，1b =，即可排除错误选项．【详解】解：根据a ，b R ∈，且a b ，取1a =-，0b =，则可排除A ，C ；取0a =，1b =，则可排除B ． 故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．6.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，点F 是AE 的中点，则BF =（ ）A. 3142AB AD + B. 3142AB AD -+ C. 1324AB AD +D. 1324AB AD -+【答案】B 【解析】 【分析】把向量AB ，AD 作为基底，利用平面向量基本定理和向量的加减法法则求解.【详解】解：因为F 是AE 的中点，所以12AF AE =， 因为点E 是边CD 的中点，所以1122DE DC AB ==，所以BF AF AB =-,12AE AB =-, 1()2AD DE AB =+-,11()22AD AB AB =+-, 3142AB AD =-+,故选：B【点睛】此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，利用了数形结合的思想，属于基础题.7.若对任意的()0,x ∈+∞，不等式220x ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (,-∞B. (-C. ()+∞D. (()22,-∞+∞【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知2a x x<+在()0,x ∈+∞恒成立，结合基本不等式可求出2x x +的最小值，继而可求出实数a 的取值范围.【详解】解：因为()0,x ∈+∞时，220x ax -+>恒成立，所以2a x x<+在()0,x ∈+∞恒成立，因为2x x +≥=2x x=，即x所以a <， 故选:A【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式求最值问题.本题的关键是进行参变分离.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1S a =，3S b =，5S c =，则（ ） A. 2a c b +=B. 2a c b ⋅=C. 15310a c b +=D.31510a c b +=【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和公式可得+33b d a =，+150c d a =，代入验证可得选项.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1S a =，3S b =，5S c =，所以1a a =，3132+3+332S b a d a d ⨯===，51554+15+02S c a a d d ⨯===， 所以+33b d a =，+150c d a =，对于A 选项：()+5106+10a c a a d a d +=+=，()223+36+6b a d a d ==，所以2a c b +=不成立，故A 选项不正确；对于B 选项：()25+105+10a c a a a a d d ⋅=⨯=，()22223+39+18+9a b a d ad d ==，所以2a c b ⋅=不成立，故B 选项不正确；对于C 选项：()15315+35+1030+30a c a a d a d +==，()10103+330+30b a d a d ==，所以15310a c b +=成立，故C 项正确；对于D 选项：()3153+155+1078+150a c a a d a d +==，()10103+330+30b a d a d ==，所以31510a c b +=不成立，故D 选项不正确， 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题.9.在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）A. B.【答案】D 【解析】 【分析】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.由余弦定理可求出11cos 16ABC ∠=，结合同角三角函数的基本关系可求出sin 16ABC ∠=，从而可求出()0,0B ，()4,0C ，11,88A ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，用x 表示向量432MA MB MC ++的坐标，从而可求出432MA MB MC ++的表达式，进而可求出最小值.【详解】解：由余弦定理可知22222224311cos 222416AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，所以2211315sin 1cos 11616ABC ABC ⎛⎫∠=-∠=-= ⎪⎝⎭，如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则()0,0B ，()4,0C ，设(),0M x ， 因为1111cos 2168AB ABC ⋅∠=⨯=，315315sin 2AB ABC ⋅∠=⨯=， 则11315,8A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11315,8MA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(),0MB x =-，()4,0MC x =-，因为()()11274324982x x x x ⎛⎫-+-+-=- ⎪⎝⎭，31531543020⨯+⨯+⨯= 所以273154329,2MA MB MC x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭， 则2227315432922MA MB MC x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为227902x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 当32x =时等号成立，所以315432MA MB MC ++≥， 故选:D.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.10.已知数列{}n a 满足12a >，21n n n a a a +=-，*n N ∈，则下列结论中不一定正确的是（ ）A. 134n n a a +>-，*n N ∈B. ()()321211a a a >--C.1234311111314a a a a a +++<+- D.()()()222234551114a a a a -+-+-<+【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知得112n n a a a +>>>，再将21n n n a a a +=-变形11111n n na a a +=--，再逐一分析选项即可.【详解】解：因为()212=2n n n n n n a a a a a a +-=--，12a >，所以有112n n a a a +>>>.又因()21=1n nn n n a a a a a +=--，所以()2111111==11n n n n n n na a a a a a a +=---- 对于A 选项，()2221343444020n n n n n n n n a a a a a a a a +>-⇔->-⇔-+>⇔->，故成立；对于B 选项，()()32321311321211222a aa a a a a a a a a >--⇔>⋅=⇔>，故成立； 对于C 选项，123433111111111111a a a a a a a +++=+<+---，故不成立； 对于D 选项，()()()()22222223423423411123a a a a a a a a a =++-+-+-++-+()()()()334453224=23a a a a a a a a a +++++++-+52554153a a a a +=<<+-+，故成立. 故选：C.【点睛】本题考查数列的单调性，数列不等式的综合应用，是中档题.二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分；单空题每小题4分.11.已知向量()1,2a =，()2,3b =-，则a =______，ab +=______. 【答案】 (1). 5 (2). ()1,5- 【解析】 【分析】根据向量模的坐标公式及平面向量线性运算的坐标运算法则计算可得； 【详解】解：因为向量()1,2a =，()2,3b =-所以22125a =+=，()()()1,22,31,5a b +=+-=-故答案为：5；()1,5-【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.12.若实数x ，y 满足约束条件111x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则x y -的最小值为________；此约束条件所表示的平面区域的面积为________. 【答案】 (1). 1- (2). 12【解析】 【分析】在直角坐标系内，画出约束条件所表示的平面区域，这样可以求出z 的最小值，判断约束条件所表示的平面区域的形状，求出面积即可.【详解】在直角坐标系内，约束条件所表示的平面区域如下图所示：由题意知()()()1,0,0,1,1,1A B C ,设z x y =-，由图象知z 在点B 处取得最小值，最小值为1-；约束条件所表示的平面区域是直角三角形，三角形的面积为111122⨯⨯=. 故答案为：1-；12. 【点睛】本题考查了判断不等式组所表示平面区域的面积，正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键.属于较易题.13.已知等比数列{}()n n a a R ∈的公比为q ，前n 项和为n S .若34a =，632a =，63n S =，则q =________， n =________. 【答案】 (1). 2 (2). 6 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式和前n 项和公式，列方程组，即可得答案； 【详解】21315611,4,2,32,a a a q q a a q ⎧==⋅=⎧⇒⎨⎨==⋅=⎩⎩63n S =，∴(1)631n q q-=-，解得：6n =；故答案为：2；6.【点睛】本题考查等比数列基本量运算，考查运算求解能力.14.已知函数()()f x x x a a R =+-∈.若()f x 的最小值为3，则a =________；若关于x 的不等式()()0f x b b ≤>的解集为[]1,3-，则a =________. 【答案】 (1). 3± (2). 2 【解析】 【分析】由绝对值不等式的性质，结合已知条件，解方程可得a ；由题意可得得1-，3为方程||||x x a b +-=的实根，代入方程，解得a ，b ，再由绝对值不等式的解法，检验可得所求值．【详解】解：由||||||||x x a x x a a +--+=，当()0x x a -取得等号，由题意可得||3a =，即3a =±；关于x 的不等式()(0)f x b b >的解集为[1-，3]， 可得1-，3为方程||||x x a b +-=的实根， 即有1|1|3|3|a a b +--=+-=，即|1||3|2a a +--=，而4,11322,134,4a a a a a a --⎧⎪+--=--<<⎨⎪⎩，由222a -=，解得2(1,3)a =∈-，4b =，则22,0()22,0222,2x x f x x x x x x -⎧⎪=+-=<<⎨⎪-⎩，由()4f x ，可得13x -，即解集为[1-，3]． 故答案为：3±；2．【点睛】本题考查含绝对值的函数的最值和不等式的解集，注意运用绝对值的意义和绝对值不等式的性质，考查方程思想和转化思想，以及化简运算能力，属于中档题． 15.已知x ，y 是正数，121x y +=，则21x y xy ++的最小值为________. 【答案】89【解析】 【分析】首先将题中已知条件转化，可得2x y xy +=，利用基本不等式可求得8xy ≥，之后应用不等式的性质求得结果. 【详解】由121x y +=可得21x y xy+=，即2x y xy +=， 所以211111x y xy xy xy xy+==+++，由121x y =+≥ 得8xy ≥，当且仅当24x y ==时取等号，所以有1108xy <≤，19118xy <+≤，18191xy≥+，所以21811191x y xyxy xyxy+==≥+++，所以21x yxy++的最小值为89，当且仅当24x y==时取等号，故答案为：89.【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，利用不等式的性质求最值，属于中档题.16.如图，在ABC中，点D是边BC上的一点，1DC=，2AC=，3BD=，120BAD∠=︒，则AB的长为________.【答案】77【解析】【分析】在两个三角形中，利用余弦定理，建立等量关系式，整理得出2AB AD=，结合题中所给的条件，利用余弦定理建立等量关系式，求得结果.【详解】因为cos cosADB ADC∠=-∠，所以2229142321AD AB ADAD AD+-+-=-⨯⨯⨯⨯，可得2AB AD=，在△ABD中，2222cosBD AD AB AD AB BAD=+-⨯⨯∠，所以22192()422AB ABAB AB=+-⨯⨯⨯-，整理得出2794AB=，所以2367AB=，所以677AB=，故答案为：77.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理解三角形，属于简单题目.17.在平面内，已知a ，b 是非零向量，e 是单位向量，1a e -=，()0b b e ⋅-=，则a b ⋅的取值范围是________. 【答案】1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】设,,OA a OE e OB b ===，可以得到2OC b =，则由题意可知，,,O A C 三点在半径为1的圆E 上，作DE AC ⊥于D ，设,AEC OED αβ∠=∠=，用,,EA EC EO 表示出,a b ，得出a b ⋅关于,αβ的函数，从而求出a b ⋅的范围.【详解】设,,OA a OE e OB b ===，由1a e -=，可知A 在以E 为圆心，以1为半径的圆E 上，设b 与e 的夹角为γ，因为()0b b e ⋅-=，所以20b b e -⋅=，所以cos b γ=，所以BE OB ⊥，延长OB 交圆E 于C ，则C 在圆E 上，且12b OC =， 所以1()()2a b EA EO EC EO ⋅=-⋅- 21[()]2EA EC EO EA EC EO =⋅+-+⋅， 作ED AC ⊥，垂足为D ，设,AEC OED αβ∠=∠=， 则cos ,2EA EC EA EC ED α⋅=+=，所以()2cos cos 2EA EC EO αβ+⋅=，所以21(cos 12cos cos )cos cos cos 2222a b ααααββ⋅=+-=-， 当2cos 12α=且cos cos 12αβ=-时，a b ⋅取得最大值2；又22211coscoscos (coscos )cos 22224αααβββ-=--， 所以2cos 1β=且1cos cos 022αβ-=时，a b ⋅取得最小值14-， 故答案为：1[,2]4-.【点睛】该题考查的是有关平面向量的问题，涉及到的知识点有平面向量的数量积运算，在解题的过程中，注意灵活应用题中所给的条件，判断点所处的位置，属于较难题目. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18.已知向量a ，b 满足1a =，2b =，1a b ⋅=. （Ⅰ）求向量a ，b 的夹角θ；（Ⅱ）若向量()a ab λ⊥+，求实数λ的值. 【答案】（Ⅰ）3πθ=；（Ⅱ）1λ=-.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接根据公式cos a b a bθ⋅=计算可得；（Ⅱ）由向量垂直可得()0a a b λ⋅+=，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：（Ⅰ）因为1cos 2a b a bθ⋅==，[]0,θπ∈. 所以3πθ=.（Ⅱ）因为()a ab λ⊥+，所以()0a a b λ⋅+=，即20a a b λ+⋅=，10λ+=.故1λ=-.【点睛】本题考查向量数量积及向量垂直的运算，属于基础题. 19.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，2410a a +=，749=S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记11n n n b a a +=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）21nn +. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到答案；（Ⅱ）由{}n a 的通项公式得到{}n b 的通项公式，然后利用裂项相消法求前n 项和即可. 【详解】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 根据2410a a +=，有12410a d +=.① 根据749=S ，有1767492a d ⨯+=.② 由①、②解得，11a =，2d =，故21n a n =-. （Ⅱ）因为111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以 12n b b b +++1111111111123355723212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112122122121n n n n n ⎛⎫=-=⋅= ⎪+++⎝⎭. 所以数列{}n b 的前n 项的和为21nn +. 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法以及利用裂项相消法求数列的和，遇到形如11n n n b a a +=的表达式时，其和需要用裂项相消法，注意通项的表达形式．属于中档题. 20.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5cos 45b A a c +=. （1）求cos B ；（2）记边AC 上的高为h ，求hb的最大值.【答案】（1）cos 45B =；（2）32. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角可得cos 45B =； （2）利用余弦定理、三角形的面积公式可得223585ac hb ac ac=+-，再利用基本不等式，即可得答案；【详解】解：（1）由正弦定理，得5sin cos 4sin 5sin B A A C +=. 因为sin sin()C A B =+，所以5sin cos 4sin 5sin()B A A A B +=+， 即5sin cos 4sin 5sin cos 5cos sin B A A A B A B +=+， 即4sin 5sin cos A A B =. 由sin 0A ≠，得cos 45B =. （2）因为cos 45B =，()0,B π∈，所以3sin 5B =. 由三角形面积公式，得11sin 22bh ac B =.即35bh ac =.① 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-.即22285b ac ac =+-.② ①②两式相除，得223585ac h b a c ac=+-. 3335825h a c b c a =≤=+-，当且仅当“a c =”时取“=”. 所以，h b的最大值为32.【点睛】本题考查正余弦定理的运用、三角形的面积公式、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.21.已知函数()2f x x x a =++，a R ∈.（Ⅰ）当1a =-时，解不等式()1f x ≥；（Ⅱ）若对任意的实数a ，总存在[]01,2x ∈-，使得()0f x m ≥，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(][),01,-∞⋃+∞；（Ⅱ）(],4-∞. 【解析】 【分析】（Ⅰ）分两种情况去绝对值，求解一元二次不等式即可得出结果；（Ⅱ）首先设()f x 在[]1,2-上的最大值为()M a ，由题意可知，()min M a m ≥，分两种情况去绝对值，利用二次函数的单调性分三种情况求()M a ，可得a R ∈时，()()(){}max 1,2M a f f =-，代入利用绝对值不等式即可得出结论.【详解】解：（Ⅰ）由题意，不等式为211x x +-≥.当1x ≥时，220x x +-≥，解得2x -≤或1x ≥，所以1x ≥. 当1x <时，20x x -≥，解得0x ≤或1x ≥，所以0x ≤. 综上所述，不等式的解集为(][),01,-∞⋃+∞.（Ⅱ）设()f x 在[]1,2-上的最大值为()M a ，由题意可知，()min M a m ≥.22,(),x x a x a f x x x a x a⎧--≤-=⎨++>-⎩.（i ）当12a -<-，即12a >时，因为函数()f x 在(],a -∞-上单调递减，在1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以()()(){}max 1,2M a f f =-. （ii ）当1122a -≤-≤，即1122a -≤≤时，函数()f x (],a -∞-上单调递减，在[),a -+∞上单调递增.所以()()(){}max 1,2M a f f =-. （iii ）当12a ->，即12a <-时，函数()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[),a -+∞上单调递增.所以()()(){}max 1,2M a f f =-.由上可知，a R ∈时，()()(){}max 1,2M a f f =-.(){}max 11,24M a a a =-+++()()11242a a -++++≥()()12542a a --++≥=.当且仅当()()1124120a a a a ⎧-+=++⎪⎨-+≤⎪⎩，即2a =-时取等号.所以()M a 的最小值为4.所以4m ≤，即m 的取值范围是(],4-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式以及分类讨论研究二次函数的单调性求最值问题；考查了学生分析问题和解决问题的能力.属于中档题.22.已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，且对任意的*n N ∈，2n n b a =+，12n n n a b b +=-. （1）求2a ，3a 及数列{}n b 的通项公式； （2）记()11213n n n n a c b +++=-，*n N ∈， 求证：2123148n c c c n n ≤+++<++，*n N ∈. 【答案】（1）23a =；39a =；132n n b -=+.；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据递推关系12n n n a b b +=-，2n n b a =+，得13n n a a +=，再利用等比数列通项公式，即可得答案； （2）求出()231423131n nn n n n c n ⋅+==+--，再利用错位相减法求和，进行不等式的证明；【详解】（1）根据11a =，2n n b a =+，得1123b a =+=， 根据12n n n a b b +=-，得1212a b b =-，即223b =-， 故25b =，23a =.同理可得，311b =，39a =.根据12n n n a b b +=-，2n n b a =+，得()()1222n n n a a a +=+-+，即13n n a a +=. 又11a =，故数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，13-=n n a . 所以132n n b -=+.（2）由（1）知，()231423131n nn n n n c n ⋅+==+--.当1n =时，14c =，14748c ≤<成立； 当2n ≥时， 根据()2224422838331n n n n n n c n n ---=+≤+⋅⋅+-21223n n n -=+⋅， 得：21201212322333n n n c c c n n -⎛⎫+++≤++++++ ⎪⎝⎭. 令01223333n n A -=+++ ① 则1211213333n n n nA ---=+++ ② ①-②得：2212111233333n n nA --=++++-211113321313n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+--.所以22153115443234n n n A --⎛⎫=--<⎪⋅⎝⎭. 所以，当2n ≥时，22121531288n c c c n n n n +++<+++=++. 又1214n c c c c +++>=，所以，当2n ≥时，2123148n c c c n n ≤+++<++.综上所述，对任意*n N ∈，恒有2123148n c c c n n ≤+++<++. 【点睛】本题考查等比数列通项公式求解、错位相减法求和、不等式的证明，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习 新人教A 版必修2基础梳理1．圆的一般方程的定义．当D 2＋E 2－4F>0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程． 2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形．已知点M(x 0，y 0)和圆的方程x ＋y ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.则其位置关系如下表：练习1：二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆的方程？ 答案：A ＝C≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0练习2：圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ►思考应用1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？解析：圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中的系数A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？ 解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．自测自评1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)， 半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4.2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F解析：由题知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B )A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1.4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0． 解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73， 展开整理得，x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0为圆的一般方程． 5．指出下列圆的圆心和半径： (1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12； (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a ，0)，半径r ＝|a |； (3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2. 基础达标1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5＝0表示的曲线是(C ) A ．两直线 B ．圆 C ．一点D ．不表示任何曲线2．x 2＋y 2－4y －1＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(2，0)，5B ．(0，－2)，5C ．(0，2)， 5D ．(2，2)，5解析：x 2＋(y －2)2＝5，圆心(0，2)，半径 5.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是(C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0配方得(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，故所求直线为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是(A )A ．[0，2]B ．[0，1]C.⎣⎡⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫0，12 解析：l 必过圆心(1，2)，0≤k ≤2(几何意义知)． 5．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________． 解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13，r ＝13，C ＝2πr ＝213π. 答案：213π6．(1)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．解析：设M (x ，y )(1)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝1，化简得3x －2y ＋5＝0.所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0；(2)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝12，化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089，故此时M 的轨迹是以(6，23)为圆心，半径为4313的圆，它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089.巩固提升7．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________________________________________________________________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根． 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．解析：设点P 的坐标为(x ，y )， A 的坐标为(x 0，y 0)．∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上， ∴有2x 0－3y 0＋5＝0. 又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线方程得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0， 化简得：2x －3y －6＝0即为所求．1．任何一个圆的方程都可写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F >0时，方程才表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D，E，F的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多．3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．。

浙江省台州市2019-2020学年第一学期高一年级期末质量评估数 学1：已知全集{}1,0,1,2,5U =-，{}0,2,5A =，则U C A =（ ） A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.{}1,0,1-解析：{}1,1U C A =-，故选：C2：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第2题） 2：sin120=（ ）A.2B.12C.2-D.12-解析：sin1202=，故选：A. 3：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第3题）3：函数1()2f x x =-的定义域为（ ） A.()1,-+∞B.[)1,-+∞C.(1,2)(2,)-+∞UD.[1,2)(2,)-+∞U解析：10[1,2)(2,)2x x x +≥⎧⇒∈-+∞⎨≠⎩U ，故选：D4：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第4题） 4：下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） A.sin y x =B.2xy =C.2log y x =D.21y x=解析：对A 选项：sin y x =的值域为[]1,1-，A 错；对B 选项：2xy =的值域为()0,+∞，B 错；对C 选项：2log y x =的值域为[)0,+∞，C 正确；对D 选项：21y x=的值域为()0,+∞，D 错，故选C. 5：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第5题）5：本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A.3πB.3π-C.23πD.23π-解析：由于时针是顺时针转动，形成的角是负角，又由于时针转动1小时，转动的弧度数为6π-，因此时针转过2小时所形成的弧度数为3π-，故选：B. 6：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第6题）6：函数()log (2)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象经过定点（ ） A.()1,1--B.()1,0-C.()2,2-D.()2,0-解析：令21x +=，即1x =-时，故()11f -=-，故该图象经过定点()1,1--，故选：A. 7：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第7题）7：已知角α是锐角，若sin ,cos αα是关于x 的方程20x mx n ++=的两个实数根，则实数m 和n 一定满足（ ） A.240m n -=B.221m n =+C.10m n ++≤D.0mn >解析：（考察韦达定理，三角函数基本公式） 由题sin cos m αα⇒+=-，sin cos n αα=.22221sin cos (sin cos )2sin cos 2m n αααααα=+=+-=-，∴221m n =+故选B.8：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第8题）8：已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，若()f x 在()0,+∞上单调递减，且()10f -=，则不等式(1)()0x f x -≤的解集为（ ） A.{|10}x x -≤<B.{|1}x x ≥-C.{|100}x x x -≤<>或D.{ | 0}x x >解析：∵()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数在()0,+∞上单调递减，且()10f -=.不妨设2()1(0),f x x x =-≠，()(1)g x x =-.如图(1)()010x f x x -≤⇒-≤<或0x >，故选C.9：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第9题）9：若实数x 、y 满足2cos 1x y -=，则2cos x y +的取值范围是（ ） A.[)1,-+∞B.[]1,10-C.9,16⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.9,1016⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：∵2cos 112cos x y x y -=⇒=+，cos [1,1]y ∈-∴2229cos (12cos )cos 4cos 5cos 1,1016x y y y y y ⎡⎤+=++=++∈-⎢⎥⎣⎦.故选D. 10：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第10题）10：设函数2cos ,10()23,02x x x f x ax x a x --≤≤=+-<≤⎪⎩，若()f x 在区间[]1,2-上是单调函数，则（ ）A.12a ≥-B.1123a -≤≤C.13a ≥D.102a -≤<或0a > 解析1：分类讨论当10x -≤≤时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，1,666x πππ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，所以此时函数()f x 在区间[]1,0-上单调递增，所以2()23f x ax x a =+-在区间(]0,2上单调递增， 当0a >时，对称轴10x a =-<，此时()f x 在(]0,2上单调递增，且需满足31a -≥-，得103a <≤； 当0a =时，()2,(0,2]f x x x =∈，符合题意；当0a <时，对称轴10x a =->，此时()f x 在(]0,2上单调递增，且需满足3112a a -≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩，得102a -≤<；综上所述：1123a -≤≤，故选项B 正确. 解析2：特殊值排除当10x -≤≤时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，1,666x πππ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，所以此时函数()f x 在区间[]1,0-上单调递增，所以2()23f x ax x a =+-在区间(]0,2上单调递增，必有31a -≥-，得13a ≤，排除选项A ，C ，D ，故选项B 正确.l1：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第11题）11：已知23a =，2log 5b =，则2b =____________，2a b +=_____________. 解析：由2log 5b =，得25b =，22215a b a b +=⋅=.故答案为5；15 12：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第12题） 12：设函数1()2f x x =+，则()1f =____________；若1(())3f f x =，则x =____________. 解析：11(1)123f ==+；由1(())3f f x =，即11()23f x =+，得()1f x =，由112x =+，解得1x =-.故答案为13，1- 13：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第13题）13cos 04παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则sin 2cos αα-=____________，2sin cos 2cos ααα+=_______.方法提供与解析： 解析1：（代入消元）cos sin cos 0422πααααα⎫⎛⎫--=--=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以sin 2cos 0αα-=；即sin 2cos αα=，所以222sin cos 5cos 1ααα+==，即21cos 5α=，所以224sin cos 2cos 4cos 5αααα+==.故答案为0；45.解析2：（转正切）同上可得，sin 2cos 0αα-=，所以tan 2α=，于是22222sin cos 2cos tan 24sin cos 2cos sin cos tan 15αααααααααα+++===++.故答案为0；45. 解析3：（利用平方和为1解方程组）同上可得，sin 2cos 0αα-=；由22sin 2cos 0sin cos 1αααα-=⎧⇒⎨+=⎩cos 5sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩cos 5sin αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以24sin cos 2cos 5ααα+=. 故答案为0；45. 14：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第14题）14：函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中0A >，0ω>，02πϕ<<，则ω=__________，sin ϕ=______________.解析：由图知，2A =，22T t t ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以2ω=.()2sin(2)f x x ϕ=+. 又62sin()25f ππϕ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以3sin 5ϕ=.故答案为2；35.15：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第15题） 15：已知幂函数223()()m m f x x m Z +-=∈是奇函数，且()51f <，则m 的值为___________.解析：因为22323(5)5123012mm f m m m +-=<⇒+-<⇒-<<，又因为m Z ∈，所以1m =-，或0m =.当1m =-时，2232m m +-=-，不符题意，舍去；当0m =时，2233m m +-=-，符合题意.故答案为0.16：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第16题）16：已知函数()f x 的最小正周期为2，当[0,2]x ∈时，2()23f x x x =-++.若[2018,2020]x ∈-，则满足()4f x ≥的所有x 取值的和为_____________.解析：在函数()f x 的一个周期内，即[0,2]x ∈时，22()23(1)44f x x x x =-++=--+≤，又因为()4f x ≥，所以()4f x =，且当且仅当1x =时取得()14f =.在[2018,2020]x ∈-内共有2019个周期，且每个周期内的x 取奇数时的函数值为4，故所有的x 值之和为(2017)(2015)(1)13201720192019=-+-++-+++++=L L .故答案为2019.17：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第17题）17：设函数()|1|2|2|f x x x =-+-，若不等式()a f x b ≤≤的解集为[],a b ，则是下列说法中，正确的序号是_______________. ①b a a b >；②11a b -<-；③函数1()ln f x x x=-在(),a b 上有零点；④函数()log x b f x a x =-在(0,)x ∈+∞上单调递增.解析：（数形结合）由不等式|1|2|2|a x x b ≤-+-≤的解集为[],a b ，由|1|2|2|x x -+-的单调性结合图形可得|1|2|2|x x b -+-=的两根为a ，b ，解得5652a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1b a a b <<得①不正确；13|1||1|62a b -=<=-故②正确；显然当1()ln f x x x=-时，556ln 0665f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，552ln 0225f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭故在(),a b 上有零点，所以③正确；因为(0,1)a ∈，1b >，所以x a 为减函数，log b x 为增函数，故()log xb f x a x =-为减函数，所以④不正确 故填②③18：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第18题） 18：设集合{ |12}A x x =-<<，{}2|230B x x x =+-<. （1）求A B I ；（2）设集合{|20}C x x a =->，若A C ⊆，求实数a 的取值范围. 解析：（1）依题：{|12}A x x =-<<，{|31}B x x =-<<，所以{|11}A B x x =-<<I （2）题意知{}|202a C x x a x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，由于A C ⊆，所以12a ≤-，即2a ≤- 19：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第19题）19.已知cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）求sin 2α的值；（2）设角β的终边与单位圆的交点为,10P y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,)βπ∈，求2αβ-的大小.解析：（1）因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5α==，所以4sin 22sin cos 5ααα==.（2）令角β的终边与单位圆的交点为,10P y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则cos β=，因为(0,)βπ∈所以sin 10β==，由（Ⅰ）知4sin 25α=，223cos 2cos sin 5ααα=-= 所以4tan 23α=，1tan 7β=，则tan 2tan tan(2)11tan 2tan βαββ--==-由cos β=得0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且0,2(0,)2πααπ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭，所以2,2παβπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以24παβ-=20：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第20题） 20：已知函数()(1)xxf x a a a -=->.（1）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）若对于任意的[1,3]x ∈，()21(5)0f x f mx -+-≥恒成立，求实数m 的最大值. （1）解析：（单调性定义）()f x 在R 上是增函数.正明：取任意的12,x x R ∈，且12x x < 则()()()()()112211222111xx x x x x x xf x f x a aa a a a a --+⎛⎫-=---=-+ ⎪⎝⎭，又1a >，12x x <，则120x x a a ->，12110x x a ++>，则()()210f x f x ->，故()f x 在R 上是增函数.（2）解析：（奇偶性+单调性）注意到()()f x f x =-，则()f x 为奇函数，则()()221(5)01(5)f x f mx f x f mx -+-≥⇒-≥-， 由（1）可知，()f x 在R 上是增函数，则()221(5)15f x f mx x mx -≥-⇒-≥-， 则原问题等价于对于任意的[1,3]x ∈，215x mx -≥-恒成立，求实数m 的最大值. 即[1,3]x ∈，4m x x ≤+恒成立，易知当[1,3]x ∈时，min 44x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m 的最大值为4.21：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第21题） 21：已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若把()f x 图象上所有的点向左平行移动3π个单位后，得到函数()g x 的图象（1）求函数()g x 的解析式，并写出()g x 的单调增区间； （2）设函数()()2()h x f x g x =+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求满足3()2h x ⎡∈-⎢⎣⎦的实数x 的取值范围. （1）解析：平移变换 由题意得：()sin 2sin 2cos 2362g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令2202k x k πππ-+≤≤+，解得2k x k πππ-+≤≤，则单调增区间,,2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）解析：辅助角公式3()()2()sin 22cos 22cos 226223h x f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得242,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，又3()2h x ⎡∈-⎢⎣⎦，得到1sin 232x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，则2233x ππ+=-或2336x πππ-≤+≤或542633x πππ≤+≤， 解得2x π=-或312x ππ-≤≤-或42x ππ≤≤，即,,231242x πππππ⎧⎫⎡⎤⎡⎤∈---⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦U U . 22：（2019学年台州市高一上期末试卷试题解析第22题）22：如图，AB 是半圆的直径，C ，D 是半圆上的两点，AB CD P ，2AD BC ==，设2(AB x x =>，四边形ABCD 的周长为()f x .（1）求函数()f x 的解析式； （2）若关于x 的方程12()4f x m x-=在区间[]2,4上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； （3）记ABC V 的面积为()g x 是否存在实数a ，对于任意的1[2,3]x ∈，总存在2[2,3]x ∈，使得()()124f x g x a -≥+成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（1）解析：如图，在Rt ACB V 中，过点C 作CE AB ⊥于点E ，则2BC BE BA =⋅，所以2BE x =，42CD x x=-，所以1()41f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，)x ∈+∞；（2）解析： 由[2,4]x ∈，12()4f x m x -=，得121x m x x-+-=， 所以121x m x x -+-=±，即31m x x -=-或11m x x-=+，由方程12()4f x m x-=在区间[]2,4上有两个不相等的实数根， 得513124m ≤-≤，即实数的取值范围是717,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）解析：()g x =，x >()g x a +=由题意知min min (()4)()f x g x a -≥+，因为1()44f x x x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭在[]2,3上单调递增，所以()4(2)6f x f -≥=.所以min ()6g x a +≤，假设存在实数a 满足条件，则至少存在一个2x满足2x a +3a +>3a >，又2()10x a +-≥，所以当1a ≥-时，在[2,3]x ∈上，2()10x a +-≥恒成立，所以()g x a +在[]2,3上单调递增，()(2)g x a g a +≥+=6≤，解得22a ≤≤，所以12a -≤≤；31a -<<-时，存在23x =，使得()()2222106x a x a g x a ⎧+>⎪⎪+-≥⎨⎪+≤⎪⎩都满足，所以符合.综上，实数a的取值范围是2].。

2019-2020年高中数学 第一章 单元检测卷（B ）新人教A 版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列各组对象中不能构成集合的是( )A ．北京尼赏文化传播有限公司的全体员工B ．xx 年全国经济百强县C ．xx 年全国“五一”劳动奖章获得者D ．美国NBA 的篮球明星2．能表示直线x ＋y ＝2与直线x －y ＝4的公共点的集合是( )A ．x ＝3，y ＝－1B ．(3，－1)C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{x |x <－2或x >5}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合为( )A ．[－3,5)B ．[－2,3]C ．[－3，－2)D ．(－∞，3]∪[5，＋∞)4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x >1}，则集合A ∩∁U B 等于( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |0<x ≤1}5．若集合A 、B 、C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系是( )A ．ACB ．CAC ．A ⊆CD ．C ⊆A6．已知f (x )、g (x )为实数函数，且M ＝{x |f (x )＝0}，N ＝{x |g (x )＝0}，则方程[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是( )A ．MB ．NC ．M ∩ND ．M ∪N7．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－32x ＋y ＝6的解集的正确表示方法为( ) A ．{1,4} B ．{4,1}C ．{(1,4)}D ．{x ＝1，y ＝4}9．已知集合A ＝{0,2,3}，B ＝{x |x ＝a ·b ，a ，b ∈A }，则集合B 的子集的个数是( )A ．4个B ．8个C ．15个D ．16个10．集合M 由正整数的平方组成，即M ＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M 对下列运算封闭的是( )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法11．设集合M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．[－1,2]12．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合运算：P *Q ＝{z |z ＝ab (a ＋b )，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，则P *Q 中元素之和是( )A ．0B ．6C．12二、填空题(13．设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且A⊇B，则实数k的取值范围为________．14．定义两个数集A，B之间的距离是|x－y|min(其中x∈A，y∈B)．若A＝{y|y＝x2－1，x ∈Z}，B＝{y|y＝5x，x∈Z}，则数集A，B之间的距离为______________．15．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为____________．16．若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B⊆A，则实数m的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求q的值及∁U A. 18．(12分)已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤3}，N＝{x|x<1}，求M∪N，(∁U M)∩N，(∁U M)∪(∁U N)．19．(12分)已知全集U＝{x∈P|－1≤x≤2}，集合A＝{x|0≤x<2}、集合B＝{x|－0.1<x≤1}．(1)若P＝R，求∁U A中最大元素m与∁U B中最小元素n的差m－n的值；(2)若P＝Z，证明：(∁U B)∪A＝U.20．(12分)已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}；(1)若∁U(∁U B)＝{0,1}，求实数a的值；(2)若∁U A＝{3,4}，求实数a的值．21．(12分)设集合A＝{x∈R|2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2－2(m＋1)x＋m2＝0}．(1)若m＝4，求A∪B；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围．22．(12分)已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R ，x ∈R }．(1)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素；(2)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．第一章 集 合(B)1．D [根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为A 、B 、C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA 球员是否是篮球明星，故不能构成集合．]2．D [选项A 不是集合的表示方法；选项B 代表点的坐标，也不是集合的表示；选项C 是表示了集合，但里面的元素是3和－1，而两条直线的公共点是一个坐标，表示由这样的点构成的集合应把点的坐标放在集合中．]3．B [化简集合A ，得A ＝{x |－3≤x ≤3}，集合B ＝{x |x <－2或x >5}，所以A ∩B ＝{x |－3≤x <－2}，阴影部分为∁A (A ∩B )，即为{x |－2≤x ≤3}．]4．D [因为∁U B ＝{x |x ≤1}，所以A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．]5．C [∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∵B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选C.]6．C [若[f (x )]2＋[g (x )]2＝0，则f (x )＝0且g (x )＝0，故[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是M ∩N .]7．B 8.C9．A [B ＝{0,6}，子集的个数为22＝4个．]10．C [设a 、b 表示任意两个正整数，则a 2、b 2的和不一定属于M ，如12＋22＝5∉M ；a 2、b 2的差也不一定属于M ，如12－22＝－3∉M ；a 2、b 2的商也不一定属于M ，如1222＝14∉M ；因为a 、b 表示任意两个正整数，a 2·b 2＝(ab )2，ab 为正整数，所以(ab )2属于M ，即a 2、b 2的积属于M .故选C.]11．B12．D [∵P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，a ∈P ，b ∈Q ，故对a ，b 的取值分类讨论．当a ＝0时，z ＝0；当a ＝1，b ＝2时，z ＝6；当a ＝1，b ＝3时，z ＝12.综上可知：P *Q ＝{0,6,12}，元素之和为18.]13．[－1，12] 解析 由题意，∴实数k 的取值范围为[－1，12]． 14．0解析 集合A 表示函数y ＝x 2－1的值域，由于x ∈Z ，所以y 的值为－1,0,3,8,15,24，….集合B 表示函数y ＝5x 的值域，由于x ∈Z ，所以y 的值为0,5,10,15，….因此15∈A ∩B .所以|x －y |min ＝|15－15|＝0.15．{－3,2}解析 ∵2∈M ，∴3x 2＋3x －4＝2或x 2＋x －4＝2，解得x ＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3和2符合集合中元素的互异性，故所求的集合为{－3,2}．16．[－1，＋∞)解析 ∵B ⊆A ，当B ＝∅时，得2m －1>m ＋1，∴m >2，当B ≠∅时，解得－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围为m ≥－1.17．解 设方程x 2－5x ＋q ＝0的两根为x 1、x 2，∵x ∈U ，x 1＋x 2＝5，∴q ＝x 1x 2＝1×4＝4或q ＝x 1·x 2＝2×3＝6.当q ＝4时，A ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}＝{1,4}，∴∁U A ＝{2,3,5}；当q ＝6时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，∴∁U A ＝{1,4,5}．18．解 由题意得M ∪N ＝{x |x ≤3}，∁U M ＝{x |x >3}，∁U N ＝{x |x ≥1}，则(∁U M )∩N ＝{x |x >3}∩{x |x <1}＝∅，(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x >3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}．19．(1)解 ∁U A ＝{x |－1≤x <0，或x ＝2}，∴m ＝2，又∁U B ＝{x |－1≤x ≤0.1，或1<x ≤2}，∴n ＝－1，∴m －n ＝2－(－1)＝3；(2)证明 ∵P ＝Z ，∴U ＝{－1,0,1,2}，A ＝{0,1}，B ＝{0,1}，∴∁U B ＝{－1,2}，从而(∁U B )∪A ＝U .20．解 (1)∵∁U (∁U B )＝B ＝{0,1}，且B ⊆U ，∴|a －1|＝0，且(a －2)(a －1)＝1；或|a －1|＝1，且(a －2)(a －1)＝0；第一种情况显然不可能，在第二种情况中由|a －1|＝1得a ＝0或a ＝2，而a ＝2适合(a －2)(a －1)＝0，∴所求a 的值是2；(2)依题意知|a －1|＝3，或(a －2)(a －1)＝3，若|a －1|＝3，则a ＝4或a ＝－2；若(a －2)(a －1)＝3，则a ＝3±132， 经检验知a ＝4时，(4－2)(4－1)＝6，与集合中元素的互异性相矛盾，∴所求的a 的值是－2，或3±132. 21．解 (1)当m ＝4时，A ＝{x ∈R|2x －8＝0}＝{4}，B ＝{x ∈R|x 2－10x ＋16＝0}＝{2,8}， ∴A ∪B ＝{2,4,8}．(2)若B ⊆A ，则B ＝∅或B ＝A .当B ＝∅时，有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)<0，得m <－12； 当B ＝A 时，有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)＝0，且－－2m ＋12＝4，解得m 不存在． 故实数m 的取值范围为(－∞，－12)．22．解 A 中元素x 即为方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，x ∈R)的解．(1)∵A 中只有一个元素，∴ax 2＋2x ＋1＝0只有一解．当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，解得x ＝－12符合题意； 当a ≠0且Δ＝4－4a ＝0即a ＝1时，方程的解x 1＝x 2＝－1，此时A 中也只有一元素－1.综上可得：当a ＝0时，A 中的元素为－12；当a ＝1时，A 中的元素为－1. (2)若A 中只有一个元素，由(1)知a ＝0或a ＝1，若A 中没有元素，即方程ax 2＋2x ＋1＝0无解，解得a >1，综上可得：a >1或a ＝0或a ＝1..。