复合根式化简经典例题(含详细解答步骤)

数学综合算式根式的运算与化简数学是一门让人们头疼的学科，其中根式的运算与化简更是让人望而却步的一项任务。

然而，只要我们掌握了一些基本的方法和技巧，根式的运算与化简就变得轻松而有趣。

本文将介绍一些常见的数学综合算式根式的运算与化简方法，帮助读者顺利解决这一难题。

一、根式的运算1. 同底数根式的运算当根号下的底数相同时，我们可以将根式合并为一个根式，再进行简化。

例如：√2 + √2 = 2√22. 根式的加减法当根号下的数字相同时，我们可以直接将它们的系数相加或相减。

例如：2√3 + 3√3 = 5√33. 根式的乘法同底数的根式相乘时，我们可以将它们的系数相乘，底数保持不变。

例如：3√2 × 4√2 = 12√44. 根式的除法同底数的根式相除时，我们可以将它们的系数相除，底数保持不变。

例如：8√5 ÷ 4√5 = 25. 根式的混合运算当根式涉及到多个操作时，我们可以根据需要先进行加减法，再进行乘除法。

例如：(2√3 + √2) × (3√3 - √2) = (6√9 - 2) = (6 × 3 - 2) = 16二、根式的化简1. 平方根的化简当根号下的数字是一个完全平方数时，我们可以将其化简为一个整数。

例如：√4 = 2, √9 = 32. 提取公因数当根号下的数字可以分解为两个数的乘积时，我们可以提取出其中的一个因数。

例如：√12 = √4 × √3 = 2√33. 消去分母中的根号当分数的分母中有根号时，我们可以通过乘以该根号的共轭形式来消去分母中的根号。

例如：1/√2 = √2/24. 合并同类项当根号下的数字相同时，我们可以将它们合并为一个根号，并进行系数的相加或相减。

例如：√5 + 3√5 = 4√55. 化简复合根式当根号下的数字具有分解因式时，我们可以化简为多个根式的乘法形式。

例如：√48 = √16 × √3 = 4√3三、实例演练1. 化简根式将√18化简为最简根式。

8种常用二次根式化简计算技巧，8道考试真题详细讲解，抛砖引玉二次根式的化简计算题，很多同学觉得很难，考试的时候，总是容易发生计算错误。

只要掌握二次根式的性质和基本运算法则，这类考试题就是送分题。

下面，通过8道例题，来一起分享，二次根式化简计算题，在考试中常用的8种解题方法和技巧，希望可以起到一个抛砖引玉的作用。

方法技巧一、乘法公式法，一般都是运用到平方差公式，这个过程中，可以化二次根式为整数。

关键，是通过观察数字特征，找出可以套用乘法公式的部分，简化计算步骤和难度。

方法技巧二、拆项因式分解法。

也就是分子或者分母，通过拆项的方法，因式分解，方便分子分母约分。

那么二次根式的因式分解方法，类似于整式的因式分解。

方法技巧三、倒数法。

也就是先算二次根式的倒数，解除结果后，再倒回来的一个计算方法。

这个方法，应用特别广发。

一般特征是，原式的分子可以化成单项式的形式，分母是一个多项式，若先算倒数而且方便约分，就适用这个方法。

方法技巧四、分子分母约分法。

就是分子和分母先因式分解，然后约分的方法。

方法技巧五、配方法。

就是，二次根式里，被开方数先配方成完全平方的形式，然后再开方化简计算的一种方法。

一般，这类题目会是一个二重二次更是，甚至多重二次根式。

先配方法被开方数，就是主要化简方法。

方法技巧六、先平方，再开方法。

就是，二次根式先算出它的平方，再开方，得出原式的值的过程。

这类题型的一般特征，就是两个二次根式的被开方数恰好符合，平方差公式。

方法技巧七、换元法。

就是根据题意，数字特征，把数字设代成字母，方便书写和计算的一种方法。

换元法，又叫设代法，在很多的计算题中，都非常实用，相信大家也不陌生。

方法技巧八、整体思想法。

就是把原式，或者原式的某一部分看做一个整体，求出整体的值的解题方法。

整体思想，是数学里的一个非常重要的解题思想。

专题07 复合二次根式的化简【例题讲解】，只要我们找到两个正数a b ，，使a b m ab n +==，，即22m +==)a b ==>．，这里712m n ==，，由于4374312+=´=，．即227+==2===请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：(1)=___________=___________；(2)写出计算过程(3)n 为正整数1．观察下列各式及其化简过程：1===，====(1)(2)；(3))=>中，m，n与a，b之间的关a b系．2．先阅读材料，然后回答问题(1)问题的过程如下，=①=②==在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________(2)因为21)3=+，1,=因为2(27=-，2=请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：次根式”去掉一层根号，达到化简效果．解：设24+=（a ，b 为非负有理数），则4a b +=++∴43a b ab +=ìí=î①②由①得，4b a =-，代入②得：()43a a -=，解得11a =，23a =∴13b =，21b =∴224(1+==1==请根据以上阅读理解，解决下列问题：(1)的化简结果是__________；(2)；(3)理由．完全平方式进行化简，如：1．请用上述方法探索并解决下列问题：(1)(2)；(3)若2+=()，且a，m，n为正整数，求a的值．a m6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m ，n ，使22m n a +=并且mn =则将a +变成()2222m n mn m n +±=±化简．∵(22231211+=++=++=1==仿照上例化简下列各式：7．先阅读下列解答过程：的式子的化简，只要我们找到两个正数a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +=， =)a b ==>．．7m =，12n =，由于437+=，4312´=，即227+==2===+请根据材料解答下列问题：(1)=______；(2)（请写出计算过程）；a±m2+n2±2mn，即变成(m±n)2例如，222+，请仿照上例解下列问题：(1) ；(2) .∵==，∴==+1mn =a ±，变成2222()m n mn m n +±=±因为2223121(1+=++=++=1==+仿照上例化简下列各式：（1（210∵)2×1+122，1=；仿照上例化简下列各式：11．阅读下面材料，回答问题：(1)======请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．(2)．12．阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a 且，则可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2化简．例如：∵2+=）2请你仿照上例将下列各式化简（1（2x m2+n2±2mn＝(m±n)2化简．解：∵＝122＝2==1请你仿照上面的方法，化简下列各式：可将a ±变成222m n mn +±，即变成()2m n +.例如：=22++=2请仿照上例化简下列各式：15．先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一===|1|＝1解决问题：①=_________________＝________________＝_________________②根据上述思路，试将下列各式化简：； .。

知识要点1•重二次根式：如果二次根式的被开方数(式)中含有二次根式，这样的式子叫做重二次根式。

如J3 返，J8 卩2 .化简重二次根式对于重二次根式70—2&，设法找到两个正数x、y( x > y)使x y a , xy b , 则J a 27b J仮Q 斥迥典型例题例1化简J3 2运J3 272b JJ1992 ，a b JJ1992 V l991，那么ab 的值是例2 已知a多少？13例3化简(35 8丁7 伍化简M $8 J40 8^5 〈8J40 8^5。

化简J ii 21 75 1 77 。

求满足J—3/3 x J y的有序有理数对（X, y）V 4练习题1. J6 735 J6 735 的值为（A .万75 B.714 c. 14722 .代数式J8寸63 48 463的值是（A. 3^2 B . 2屈C. 542D. 2丿53. J3 2 血的值等于A. 43 42B. 43 1 c. 73 血D. 42 i4.如果x y J A/S—5迈,x y J772—5/3，那xy 的值是（）。

A. 3j3 3恵B. 3屈3丘C. 7j3 5^2D. 7^2 5^35.化简J8 ^/15得A . 3 —75B .5—75C .75 -73D .73 —757 .计算J2 罷^2 73 J3 2/2 ^3 2^2 。

6 .化简J4 415415 2』3757 .计算J2 罷^2 73 J3 2/2 ^3 2^2 。

9. J4 2^3 J4 273 8.』27 10运。

10.』6 21 J5 1 2丟11. J7 J T5J I6 2715。

12. J8 J28 与』6 J20。

13. J3 J5 73 75 与。

14.415J6 435与J5 721 。

15.化简2 J75 2 JV5 116.化简: J4 21 血1 73。

17.化简:Q I5 2J5 12J3 2血18 .若有理数a、b满足J a 750 b ，试求a、b的值。

初二数学讲座《复合二次根式》姓名一．知识摘要1．如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做复合二次根式，如2．化简复合二次根式，要灵活运用二次根式的性质和运算法则，常用的方法有：（1）平方法：将复合二次根式平方后化简，再对结果开方.（2）配方法：利用公式将复合二次根式内部的二次根式化成平方形式，从而脱去外层根号.（3）构造法：将复合二次根式的整体设为一个未知数或将各部分设为不同的未知数，从而构造关于未知数的方程，解出待求值.（4）待空系数法：根据复合二次根式的特点，将原式设为几个简单二次根式的和或差的形式，通过平方并化简后，比较系数求出结果.二．例题1．化简代数式（）A. 3B. 1 +C. 2 +D.234．求.5．设a=那么a是（）A. 无理数 B. 正整数 C. 分数 D. 负数6．计算：7．已知a +b =a –，求a b的值8．若x =的值是____________三．习题1）A.B.C.12D. 12．代数式）A.B.C.D.3．的值等于（）A.B. 1C.D. 14．如果x + yx –y =那么xy的值是（）A.B.C.D.5．若一个数的平方是5-（）A.B.C.D. 11-或678．计算：910．已知x =x+的值11．设的值123参考答案 初二数学讲座《复合二次根式》一．知识摘要1．如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做复合二次根式，如2．化简复合二次根式，要灵活运用二次根式的性质和运算法则，常用的方法有： （1）平方法：将复合二次根式平方后化简，再对结果开方. （2）配方法：利用公式将复合二次根式内部的二次根式化成平方形式，从而脱去外层根号. （3）构造法：将复合二次根式的整体设为一个未知数或将各部分设为不同的未知数，从而构造关于未知数的方程，解出待求值.（4）待空系数法：根据复合二次根式的特点，将原式设为几个简单二次根式的和或差的形式，通过平方并化简后，比较系数求出结果. 二．例题1所得结果是（ ） A. 3B. 1 +C. 2 +D. 解：设y > 0则y 2= 3 ++3-68+=y ∴=2=______________.解：原式的分母8(23)+==44∴==+原式3．计算：解：设aa 3 + b3 = 54 +– 2()()108a b a ab b ∴+-+= 即 (a + b )[(a + b )2 – 3ab ] = 108 (a+b )3 – 18(a + b ) – 108 = 0[(a + b )3 – 216] – 18[(a + b ) – b ] = 0 [(a + b ) – 6][(a + b )2 + 6 (a + b ) +18] = 0 即[(a + b )－6][(a + b + 3)2 + 9] = 0 6a b ∴+=4．求. 解：A313A =+×1+4于是32A =+，即A 3 + A – 2 = 0 (A 3 – 1) + (A – 1) = 0 A 2 + A + 2 = (A +12)2 +74> 0 10,1A A ∴-==5．设a =a 是（ ）A. 无理数B. 正整数C. 分数D. 负数 解：3236712a =+ 33223373273272=-+-- 33372)7=--= －26解：2003 = a ，则原式变为：a + 2∴原式= 2003 + 2 = 2005 7．已知a +b =a –ab = ___________解：由题设条件，有(a +b )2(a – b )2 =又4ab = (a + b )2 – (a – b )221()()4ab a ba b ⎡⎤∴=+--⎣⎦=14⎡-⎣8．若x =2+____________解：由1+1-∴原式+=6363193++-=-三．习题1）A.B.C.12D. 1解：设原式为x，则x2 = 14x∴=2．代数式）A.B.C.D.解；改原式为n，则n2 = 18x∴=3的值等于（）A.B. 1C.D. 11-4．如果x + yx –y = xy的值是（）A.B.C.D.解：xy =221[()()]4x y x y+--=5．若一个数的平方是5-，则这个数的立方是（）A.B.C.D. 11-或解：设x2=5-，则x =±x3 = x·x2 =±6．化简解：原式7．计算：解：原式4=+58．计算：_______________9_____________解：设，则m2 = 6m∴=10．如果x =x+= ______________解： 1 –x2=22144+-=∴原式4=11．设的值是____________解：x∴原式=2-12______________解：2=2 ===6。

复合二次根式的化简作者：刘志伟来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第01期一般地，我们把二次根式的被开方数中套有二次根式的式子称为复合二次根式，即形如a±cb（其中a，b，c表示有理数）的式子，如9+45、4-23等都是复合二次根式.在竞赛试题中，有时我们会遇到将复合二次根式化简的问题.下面我们介绍四种化简复合二次根式的方法，供读者参考.1配方法通过配方，把根号下的式子写成一个完全平方式，从而把根号内的式子移到根号外，达到化简二次根式的目的.1.当c=2时，如果能找到两个正数x，y（其中x>y），且使这两个正数的和为a，积为b，则a±cb=x±y.例1化简11-230.解11-230=（6）2-26×5+（5）2=6-5.2.当c是大于2的偶数时，可以把c中除了2以外的因数移到根号里面，从而转化为情形1.例2化简9+62.解9+62=9+218=（6）2+26×3+（3）2=6+3.3.当c=1时，可以先把根号内式中各项都乘以2，再将各项代数和除以2，从而转化为情形1.例3化简3-5.解3-5=6-252=6-252=（5）2-25+122=（5-1）22=5-12=10-22.4.当c既不是1也不是偶数时，可以先把c移到根号里面，从而转化为情形3.例4化简14+53.解14+53=14+75=28+2752=28+2752=（25）2+2×5×3+（3）22=（25+3）22=5+32=52+62.2待定系数法设a±cb=x±y，然后将两边平方，利用对应项的系数相等列出方程，求出x，y的值，从而将复合二次根式化简.例5化简6-33.解设6-33=x-y（其中x，y是有理数），两边平方，得6-33=x+y-2xy.利用对应项的系数，得x+y=6，2xy=33（即4xy=27）.解方程组x+y=64xy=27，得x=92y=32.所以6-33=92-32=322-62.3共轭根式法两个根式的积与和都为有理式，这两个根式就互为共轭根式.如a+cb与a-cb（其中a，b，c表示有理数）是一对共轭根式.在化简复合二次根式时，可以借助它的共轭根式，然后求出这一对共轭根式的平方和与积，最后通过解方程组求出复合二次根式的值.例6化简7-212.解7-212的共轭根式是7+212.设7+212=x，7-212=y，则x2+y2=（7+212）+（7-212）=14，xy=（7+212）（7-212）=72-（212）2=49-48=1.所以（x+y）2=x2+y2+2xy=14+2=16，（x-y）2=x2+y2-2xy=14-2=12.显然x+y>0，x-y>0.所以x+y=4，①x-y=23.②①-②，得2y=4-23.所以y=2-3，即7-212=2-3.4公式法设a+cb=x+y（或a-cb=x-y，其中x>y），两边平方，得a+cb=x+y+2xy.利用对应项的系数相等，得x+y=a，cb=2xy（即bc2=4xy）.解方程组x+y=a4xy=bc2，得x=a+a2-bc22y=a-a2-bc22.所以a±cb=a+a2-bc22±a-a2-bc22.上面两个公式就是化简复合二次根式的公式.例7化简19-83.解在19-83中，a=19，b=3，c=8，由化简复合二次根式的公式，得19-83=19+192-3×822-19-192-3×822=19+172-19-132=4-3.。

复合二次根式的解题技巧
以下是 6 条关于复合二次根式解题技巧的内容：
1. 哇哦，要记住先化简再动手呀！就像化简根号下 48 这种，咱可以先化成根号下 16 乘以 3，然后不就好算了嘛！这就跟你收拾房间一样，先把
大杂物分类了，后面整理起来就轻松多啦，不是吗？
2. 嘿，遇到那种分子分母都有二次根式的式子，别慌呀！想想看能不能进行分母有理化呀！比如算 2 除以根号 2 ，给分子分母同时乘以根号 2 不就可
以啦！这就好像你要过一条小河，找到了合适的石头就能稳稳地过去啦！3. 呀！看到复合二次根式里面有完全平方的影子，那就要抓住机会呀！像根号下 9+6 倍根号 2 ，不就能变成根号下（3+根号 2）的平方嘛！这不是和你突然发现了一件旧衣服还能改成新款式一样惊喜嘛！
4. 啊哈，咱可以利用整体代换的方法呀！比如说已知a+根号a 的平方=b，让你求一个含有 a+根号 a 的式子的值，那就直接把它当成一个整体套进去呗！这不就跟你有个特别的昵称，别人一叫你就知道是在叫你一样嘛！
5. 呦呵，有时候要学会巧妙构造呀！比如给你个根号 3+根号 2 ，让你求它的倒数的整数部分，那咱就先构造出它的倒数来嘛，然后再想办法算，是不是很有意思呀！就像搭积木一样，拼出你想要的形状。

6. 哈哈，记得多观察式子的特点呀！有时候一个小小的特点就能让你找到解题的关键哦！比如根号下某个式子再加上另一个式子和根号下单独那个式子
有倍数关系，这就是突破口呀！就像你找宝藏，发现了一个小小的线索就可能找到大宝藏一样令人兴奋呢！
我的观点结论就是：掌握好这些复合二次根式的解题技巧，就能在解题过程中游刃有余啦，相信大家一定能行！。

简化根式运算在数学中，根式是一种形式为√a的表达式，表示求a的平方根。

根式运算是指对根式进行化简、求值等操作。

本文将介绍几种常见的简化根式运算方法。

一、合并同类项在根式中，如果具有相同根指数的项相加或相减，可以合并为一个项。

例如：√2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2√12 - √3 = 2√3 - √3 = √3二、分解质因数分解质因数是指将一个数分解成几个质数的乘积。

在根式运算中，分解质因数可以帮助我们将根号下的数写成简化形式。

例如：√12 = √(2^2 * 3) = 2√3√18 = √(2 * 3^2) = 3√2三、有理化分母有理化分母是指将根式出现在分母中的算式转化为分子含有根式的形式。

主要有以下两种常见的有理化分母的方法：1. 乘以形式为√a的有理数的共轭形式。

例如：1 - √2----------------1 + √2分子分母同时乘以1 - √2（共轭形式），得到： (1 - √2)(1 - √2)---------------------------(1 + √2)(1 - √2)然后展开、整理得：1 - √22----------------1 - 21 - √2----------------- 12. 分子分母同时乘以形式为a的有理数。

例如： 1-------√2 + 1分子分母同时乘以√2 - 1，得到：(1)(√2 - 1)---------------------(√2 + 1)(√2 - 1)然后展开、整理得：√2 - 1-----------------2 - 1√2 - 1-----------------1四、提取因数当根式中含有完全平方数的时候，可以提取出来。

例如：√8 = √(4 * 2) = 2√2√18 = √(9 * 2) = 3√2五、化简复合根式复合根式是指根式中包含根式的情况。

对于复合根式，我们可以采用逐步化简的方法。

例如：√(√8) = √(2 * 2 * 2) = √(2^3) = 2√2√(1 + √2) = √(1 + √2)(1 - √2)/(1 - √2) = √(1 - 2)/(-1) = √(-1)/(-1) = i六、一些常用的根式值在根式运算中，一些常用的根式值可以简化运算。

中考知识点根式的化简与运算中考知识点：根式的化简与运算一、根式的基本概念根式是数学中常见的一种表示方法，它可以表示一个数的正平方根、立方根等。

根式的一般形式为√a，其中a为被开方数，称为根式的被开方数。

在根式中，被开方数必须是非负数，即a≥0。

二、根式的化简化简根式是将复杂的根式表达式简化为更简单的形式。

具体化简方法如下：1. 同底数的根式相乘：√ab = √a * √b例如：√2 * √3 = √62. 同底数的根式相除：√a / √b = √(a / b)例如：√6 / √2 = √(6 / 2) = √33. 根式的加减法：根式之间可以进行加减运算，要求根式的底数和指数相同。

例如：√2 + √3注意：化简根式时，我们常根据质因数分解或有理化的方法来进行化简，以使根号内不含有根号。

三、根式的乘方运算根式的乘方运算用来表示根式的指数次幂。

1. 指数为偶数的根式平方：(√a)^2 = a例如：(√2)^2 = 22. 指数为奇数的根式平方：(√a)^3 = a^(3/2)例如：(√2)^3 = 2^(3/2)3. 根式乘方的一般运算规律：(√a)^m = a^(m/2)其中，m为正整数，a为非负实数。

四、根式的合并与分解在进行根式的运算中，我们经常需要合并或分解根式，以方便后续运算。

1. 合并根式：合并根式是将多个具有相同底数的根式合并成一个根式。

例如：√2 + √2 = 2√22. 分解根式：分解根式是将一个根式分解成若干个具有相同底数的根式之和。

例如：√18 = √(2 * 3^2) = √2 * 3五、根式的有理化有理化是指将含有根号的式子转化为不含根号的式子。

有理化的常见方法如下：1. 分子有理化：对于含有根号的分式，将分子和分母同时乘以分子中含有根号的无理数，以消去根号。

例如：√2 / 2 = (√2 * √2) / (2 * √2) = √2 / 2√22. 二次有理化：对于含有二次根式的式子，可利用配方法将其有理化。