四川省成都市树德中学高 2019 级高二上期 10 月阶段性测试(数学理)

四川省成都市树德联合学校(高中部)高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆与圆（为椭圆半焦距）有四个不同交点，则椭圆离心率的取值范围是( )A． B． C． D．第Ⅱ卷参考答案：A略2. 已知，则的值为（）A．2 B．C．D．4参考答案：A略3. 设是奇函数的导函数, ,当时,则使得成立x的取值范围是（）A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞,－1)∪(1,+∞)C. (－1,0)∪(1,+∞) D．(－∞,－1)∪(0,1)参考答案：C4. 在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形参考答案：A5. 现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（）A．1m B．1.5m C．0.75m D．0.5m参考答案：A【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】根据题意知，长方体的所有棱长和是18m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其取最大值时的宽即为所求．【解答】解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是=米，（0＜x＜）则该长方体的体积V（x）=x?2x?（），由V′（x）=0，得到x=1，且当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，即体积函数V（x）在x=1处取得极大值V（1）=3，也是函数V（x）在定义域上的最大值．所以该长方体体积最大值时，x=1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m．故选A．【点评】本小题主要考查长方体的体积及用导数求函数最值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．属于中档题．6. 为等差数列，公差为，为其前项和，,则下列结论中不正确的是( )（A）（B）（C）（D）参考答案：C7. 圆（x﹣1）2+y2=1与直线的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．直线过圆心参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离d，和圆的半径r比较大小，即可得到此圆与直线的位置关系．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（1，0），半径r=1，所以（1，0）到直线y=x的距离d==＜1=r，则圆与直线的位置关系为相交．故选A【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆位置关系的判别方法．8. 异面直线是指（）A．空间中两条不相交的直线B．平面内的一条直线与平面外的一条直线C．分别位于两个不同平面内的两条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线参考答案：D【考点】异面直线的判定．【分析】依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除．【解答】解：A 不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行．B 不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交．C不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交．D 正确，这就是异面直线的定义．故选 D．9. 已知命题，则（） A． B．C． D．参考答案：C略10.A．B．C． D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若数列，则称数列为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________．参考答案：10012. 若“”是“”的必要不充分条件，则m的取值范围是__________参考答案：(－∞,－2]【分析】解出的等价条件，根据必要不充分的定义得到关于的不等式，求解即可。

高2014级第五期10月阶段性考试数学试题（理）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U =Z ，集合{}1,6A =，{}2,0,1,6A B =U ，那么=⋂B A C U )(( ) A ．∅ B ．{}3,4,5 C ．{}2,0 D ．{}1,62. 复数iiZ 212+-=(i 为虚数单位)所对应复平面内的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知b a ,是平面α内的两条不同直线，直线l 在平面α外，则b l a l ⊥⊥,是α⊥l 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若[x]表示不超过x 的最大整数，如[2.6]2,[ 2.6]3=-=-，执行如图所示的程序框图，记输出的值为0S ，则103log S =( )A. -1B. 0C. 1D. 25. 函数)2)(2sin(3)(πϕϕ<+=x x f 的图像向左平移6π个单位后关于原点对称, 则ϕ等于（ ）A.6π B. 6π- C.3π D.3π-6. 若等差数列{}n a 的公差0d ≠, 前n 项和为n S , 若*n N ∀∈, 都有10n S S ≤, 则( ) A. *n N ∀∈,1n n a a -< B. 9100a a ⋅> C. 217S S > D. 190S ≥7.某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等5名志愿者中选2名担任翻译，2名担任向导，还有1名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有 （ ）A ．20B ．22C ．24D ．368. 已知点P 在直线320x y +-=上, 点Q 在直线360x y ++=上, 线段PQ 的中点为00(,)M x y , 且002y x <+, 则y x 的取值范围是( ) A.1[,0)3- B. 1(,0)3- C. 1(,)3-+∞ D. 1(,)(0,)3-∞-+∞U9. 已知某几何体的三视图如图所示, 三视图是边长为1的等腰直角三角形和 边长为1的正方形, 则该几何体的体积为( )A.16 B. 13 C. 12 D. 2310. 已知函数||1211()()21log (1)x f x x =-++, 则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A. 1(,1)3B. 1(,)(1,)3-∞+∞U C. 1(,1)3-1(0,)(1,)3+∞U UD. ()1,11,(1,)3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U U11. 设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率, P 是椭圆和双曲线的一个公共点, 且满足1212||||PF PF F F +=u u u r u u u u r u u u u r, 则122212e e=+( )A.22B. 2C. 2D. 1 12.在锐角ABC ∆中, ,,A B C 所对边分别为,,a b c , 且22b a ac -=, 则11tan tan A B-的取值范围为( ) A. (1,)+∞ B. 2(1,3)3 C. (1,3) D. 2(2,6)3二. 填空题（每小题5分，共20分）13.二项式5(1)ax -(0)a >的展开式的第四项的系数为40-, 则a 的值为 . 14. 已知正数y x ,满足0=-+xy y x ，则y x 23+的最小值为 .正视侧视俯视15.过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，， 当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为__________.16. 已知函数2()244f x x tx t =---, 21()(2)g x t x=-+, 两个函数图象的公切线恰为3条, 则实数t 的取值范围为 .三. 解答题（共70分）17. （12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足,132-=n n a S 其中*∈N n(1)求数列{}n a 的通项公式；（2）设,32nn b a nn n +=求数列{}n b 的前n 项的和n T 。

高2014级第五期10月阶段性考试数学试题（理）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U =Z ，集合{}1,6A =，{}2,0,1,6AB =，那么=⋂B AC U )(( )A ．∅B ．{}3,4,5C ．{}2,0D ．{}1,6 2. 复数iiZ 212+-=(i 为虚数单位)所对应复平面内的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知b a ,是平面α内的两条不同直线，直线l 在平面α外，则b l a l ⊥⊥,是α⊥l 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若[x]表示不超过x 的最大整数，如[2.6]2,[ 2.6]3=-=-，执行如图所示的程序框图，记输出的值为0S ，则103log S =( )A. -1B. 0C. 1D. 25. 函数)2)(2sin(3)(πϕϕ<+=x x f 的图像向左平移6π个单位后关于原点对称, 则ϕ等于（ ）A.6π B. 6π- C.3π D.3π-6. 若等差数列{}n a 的公差0d ≠, 前n 项和为n S , 若*n N ∀∈, 都有10n S S ≤, 则( ) A. *n N ∀∈,1n n a a -< B. 9100a a ⋅> C. 217S S > D. 190S ≥7.某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等5名志愿者中选2名担任翻译，2名担任向导，还有1名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有 （ ）A ．20B ．22C ．24D ．368. 已知点P 在直线320x y +-=上, 点Q 在直线360x y ++=上, 线段PQ 的中点为00(,)M x y , 且002y x <+, 则y x 的取值范围是( ) A.1[,0)3- B. 1(,0)3- C. 1(,)3-+∞ D. 1(,)(0,)3-∞-+∞9. 已知某几何体的三视图如图所示, 三视图是边长为1的等腰直角三角形和 边长为1的正方形, 则该几何体的体积为( )A.16 B. 13 C. 12 D. 2310. 已知函数||1211()()21log (1)x f x x =-++, 则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A. 1(,1)3B. 1(,)(1,)3-∞+∞C. 1(,1)3-1(0,)(1,)3+∞ D. ()1,11,(1,)3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭11. 设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率, P 是椭圆和双曲线的一个公共点, 且满足1212||||PF PF F F +=,=( )B. 212.在锐角ABC ∆中, ,,A B C 所对边分别为,,a b c , 且22b a ac -=, 则11tan tan A B-的取值范围为( ) A. (1,)+∞B.C. D.二. 填空题（每小题5分，共20分）13.二项式5(1)ax -(0)a >的展开式的第四项的系数为40-, 则a 的值为 . 14. 已知正数y x ,满足0=-+xy y x ，则y x 23+的最小值为 .正视侧视俯视15.过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，， 当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为__________.16. 已知函数2()244f x x tx t =---, 21()(2)g x t x=-+, 两个函数图象的公切线恰为3条, 则实数t 的取值范围为 .三. 解答题（共70分）17. （12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足,132-=n n a S 其中*∈N n(1)求数列{}n a 的通项公式；（2）设,32nn b a nn n +=求数列{}n b 的前n 项的和n T 。

OA OP OB OP (
A．10 B．2
x 1 的 图 象 交 于 A, B 两 点 ， O 为 坐 标 原 点 ， 则 x2
) C．5 D．
3．已知命题 p：若 a，b 是实数，则 a＞b 是 a ＞b 的充分不必要条件；命题 q：“∃x∈R，x +2＞3x”的 否定是“∀x∈R，x +2＜3x”，则下列命题为真命题的是（ A． p q B． p q C． p q D． p q 4．下列三个数： a ln 确的是（ A． a ＞c＞b A． 1 B． 2 ） B． a ＞b＞c C． 3 C．b＞c＞ a D． 4 ， D．b＞ a ＞c ）
，则该双曲线的离心率为
高三数学 2018 年 10 月阶考（理）
第 1页
共2页
三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第 17 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答.满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过 程） 17．已知正数数列1an 䁕的前 n 项和为Sn ，满足an 9 Sn 䁕香 求数列1an 䁕的通项公式； 䁕 设bn 9 䁕香 − an Sn−香 䁕n ≥ ，a香 9 香． 20. 已知椭圆 C :
15.某科室派出 4 名调研员到 3 个学校,调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少一名,则不同的分 ㌳䁟 中， 内角 ‫ݔ‬㌳‫ݔ‬䁟 的对边分别为 ‫ ݔ ݔݔ‬， 若
香
16.定义：如果函数 f ( x ) 在[a，b]上存在 x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足 f ( x1 ) f ( x2 )
高 2016 级高三上期 10 月阶段性测试数学试题（理）

树德中学高2019级第三期10月阶段性测试数学试题（理科）（完卷时间120分钟；满分150分） 命题人：韦莉第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2222135x y m n +=1. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a （ ）A. 2B. 26C. 25D. 12. 在空间直角坐标系中，点A(1, 2, 3)与点B(1, 3, 5)之间的距离（ ） A.1B.√5C.3√10D.23. 圆x 2+y 2−2x −8=0和圆x 2+y 2+2x −4y −4=0的公共弦所在的直线方程是（ ） A.x +y +1=0 B.x +y −3=0 C.x −y +1=0D.x −y −3=04．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．22B ．1C ．2D ．25. 已知圆C 1:x 2+y 2+2x −4y +1=0，圆C 2：(x −3)2+(y +1)2=1，则这两圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相离C.外切D.内含6．已知椭圆2222135xy mn +=和双曲线2222231x y m n -=有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. 15x y =± B. 15y x =± C. 3y x =± D. 3x y =± 7．方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是（ ）A ．一条直线及一个圆B ．两个点C ．一条射线及一个圆D ．两条射线及一个圆 8. 若圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上有且仅有三个不同点到直线l:y =kx 的距离为2√2，则直线l 的倾斜角是（ ）A.π12或5π12B.π12或π4C.π6或π3D.0或π29. 若方程√4−x 2=kx −2k +3有两个不等实根，则k 的取值范围（ ）A.(0, 512) B.(13, 34]C.(512, +∞)D.(512,34] 10. 曲线C 的方程为()()2222112,x y x y -++++=若直线:12l y kx k =+-与曲线C 有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.[)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11. 如图，△PAB 所在的平面α和梯形ABCD 所在的平面β互相垂直，且,4AD AB AD ⊥=，86BC AB AD BC ==，，,tan 2tan 10ADP BCP ∠+∠=，则点P 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆的一部分B. 椭圆的一部分 C ．直线的一部分 D. 抛物线的一部分12．已知圆C 的方程为(x −1)2+y 2=1，P 是椭圆x 24+y 23=1上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A 、B ，求PA →⋅PB →的范围为（ ） A.[0, 569]B.[2√2−3, 569]C. [2√2−3, +∞]D.[32, 569]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 圆22:6210C x y x y +-++=关于直线0x y +=对称的圆的方程为 _______． 14. 如果椭圆x 236+y 29=1的弦被点(4, −2)平分，则这条弦所在的直线方程是________．15．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．16. 设圆O:x 2+y 2=3，直线l:x +3y −6=0，点P(x 0, y 0)∈l 若在圆O 上存在点Q ，使得∠OPQ =60∘，则x 0的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.（本小题满分10分） 已知Rt PAB 中,A ∠是直角, 4,3PA AB ==, 有一个椭圆C 以P 为一个焦点, 另一个焦点Q 在AB 上, 且椭圆经过点A 、B .（1）求AQ 长度； （2）求椭圆的离心率。

高2013级第五期10月阶段性考试数学试题（理）（试卷共150分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，B={y|y=2x+1，x ∈R}，则A B ⋂=（ ）A ．（﹣∞，1]B ．(1,)+∞C ．（0，1]D ． [0，1]2．已知复数Z 满足(12)5Z i i -=g ，则复数Z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 分配4名煤气工去3个不同的居民家里检查煤气管道， 要求4名煤气工都分配出去， 并每名煤气工只去一个居民家， 且每个居民家都要有人去检查， 那么分配的方案共有（ ） A ． 24种 B ．18种 C ． 72种 D ．36种 4．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若如图所示的程序框图输出的S 是30， 则在判断框中M 表示的 “条件” 应该是 （ ） A ．n≥3 B ．n≥4 C ．n≥5 D ．n≥66.一个几何体的三视图（单位：Cm ）如图所示，则该几何体的体积是80cm 3． 则图中的x 等于（ ） A ．B ．C ． 3D ． 67.设a ＞0，b ＞0，若点P （1，1）到直线（a+1）x+（b+1）y ﹣2=0的 距离为1，则ab 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8.O 为坐标原点，点M 的坐标为（1，1），若点N （x ，y ）的坐标满足，则的最大值为（ ） A ．B ． 2C ．D ． 29.若实数x ，y 满足|x －1|－ln1y＝0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )10.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2线与圆x 2+y 2=b 2相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，PF 1⊥PQ ，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．11.定义：12nnp p p +++L 为n 个正数123,,n p p p p L 的“均倒数”。

2019-2020学年四川省成都市成都市树德中学高二上学期期中数学（理）试题一、单选题1．与直线320x ++=垂直的直线的倾斜角为（ ）． A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】先求出直线的斜率,然后根据两直线垂直斜率之间的关系,可以求出与它垂直的直线的斜率,最后利用斜率与倾斜角之间的关系式,求出倾斜角即可. 【详解】323320x y y x +=⇒=,所以该直线的斜率为33-,设与它垂直的直线的斜率为k ,所以有313k k =-⇒=,设与直线320x +=垂直的直线的倾斜角为α,则有tan 33παα=⇒=.故选：B 【点睛】本题考查了由直线方程求直线的斜率,考查了直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系,考查了两直线垂直时斜率之间的关系,考查了数学运算能力.2．命题“若220x y +=,则0x =且0y =”的等价命题是（ ）． A ．若0x ≠或0y ≠,则220x y +≠ B ．若0x =且0y =,220x y +≠ C ．若220x y +≠,则0x ≠或0y ≠ D ．若220x y +≠,则0x ≠且0y ≠【答案】A【解析】根据原命题与逆否命题是等价命题,按照逆否命题的定义直接写出即可. 【详解】因为原命题与逆否命题是等价命题,所以命题“若220x y +=,则0x =且0y =”的等价命题是若0x ≠或0y ≠,则220x y +≠. 故选：A本题考查了原命题的等价命题,本题考查了写出一个命题的逆否命题.3．若双曲线221yxm-=的一个顶点在抛物线212y x=的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．3B．5C．23D．25【答案】B【解析】求出抛物线212y x=的准线，这样可以求出m的值，进而可以求出双曲线的离心率.【详解】∵抛物线212y x=的准线方程为12y=-，∴14m=，则离心率114512e+==，故本题选B.【点睛】本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.4．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.【解析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题． 5．下列说法正确．．的个数是（ ）． ①“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题； ②命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”是一个真命题； ③命题:p αβ≠,:sin sin q αβ≠,则p 是q 的必要不充分条件；④命题“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”． A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】说法①：按照逆命题的定义写出“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题,然后通过举特例可以判断该命题是不是真命题；说法②：根据原命题与逆否命题是等价命题,按逆否命题的定义写出命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”的逆否命题,然后根据等式的性质可以判断该命题是不是真命题；说法③：按照必要不充分条件的定义,结合正弦函数的性质可以判断p 是不是q 的必要不充分条件；说法④：根据含存在量词的命题否定的定义就可以判断“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是不是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”． 【详解】说法①：“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题是若m ,n 中至少有一个不小于2”,则4m n +≥,当3,0m n ==时,显然满足m ,n 中至少有一个不小于2”,但是得不到4m n +≥,所以本说法是错误的；说法②：命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”的逆否命题是若2a =且3b =则5a b +=,显然是真命题,因此原命题也是真命题,所以本说法是正确的；说法③：当0,αβπ==时，显然αβ≠成立,但是sin sin αβ≠不成立,故由:p αβ≠不一定能推出sin sin αβ≠成立,但是由sin sin αβ≠成立,一定能推出αβ≠,所以本说法是正确的；说法④：因为命题“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”,所以本说法是正确的.因此一共有3个说法是正确的. 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了写含存在量词的否定,考查了原命题、逆命题的真假.6．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的基本事件的个数，再求概率即可. 【详解】解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为13， 故选B. 【点睛】本题考查了古典概型，属基础题.7．为了解成都锦江区粮丰社区居民的家庭收入和年支出的关系,现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入（x 万元） 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1支出（y 万元） 5.8 7.88.18.49.9根据上表可得x ,y 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+,其中ˆ0.78b =,由此估计该社区一户收入为14万元,家庭年支出为（ ）． A ．11.12万元 B ．12.02万元C ．11.02万元D ．12.12万元【答案】A【解析】求出,y x ,根据ˆ0.78b=,ˆˆa y bx =-,可以求出ˆa ,最后把14代入ˆˆˆy bx a =+中,求出家庭年支出. 【详解】5.87.88.18.49.98.38.69.911.112.18,1055y x ++++++++====.因此有ˆˆ80.78100.2ay bx =-=-⨯=,所以ˆ0.780.2y x =+,最后把14代入得, ˆ0.78140.211.12y=⨯+=. 故选：A 【点睛】本题考查了求几个数的平均数,本题考查了求线性回归方程,考查了线性回归方程的应用,考查了数学运算能力.8．已知在平面直角坐标系xOy 中,圆()()221:1216C x y -++=与圆()()222:31C x t y t -+--=交于点A ,B 两点,若AO BO =（O 为坐标原点）,则实数t 的值为（ ）． A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【解析】根据相交圆的几何性质和等腰三角形的性质可知：12,,O C C 在同一条直线上,得到t 的值,再检验两圆是否相交. 【详解】因为圆()()221:1216C x y -++=与圆()()222:31C x t y t -+--=交于点A ,B 两点,所以直线12C C 垂直平分线段AB ,又因为AO BO =,所以点A 在线段AB 的垂直平分线上,故12,,O C C 在同一条直线上, 圆()()221:1216C x y -++=的圆心坐标为1(1,2)C -,半径为4, 圆()()222:31C x t y t -+--=的圆心坐标为2(,3)C t t +,半径为1,所以直线1OC 的方程为2y x =-,把2(,3)C t t +的坐标代入,得321t t t +=-⇒=-, 此时有12253255C C =<<∴符合题意. 故选：C【点睛】本题考查了两圆相交弦的性质,考查了等腰三角形的性质,考查了三点共线,考查了数学运算能力. 9．已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，的延长线交于点，且，，则直线的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，求得是的中点，且，过作于点，由抛物线的定义，得直线的倾斜角为，设直线交轴于点，由及是的中点，得，解得，即,进而求解直线的方程.【详解】 由题意，根据 ，，得是的中点，且.过作于点，则由抛物线的定义，得,所以，即直线的倾斜角为.设直线交轴于点，根据及是的中点，得.又，所以，即,因此直线的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及标准方程和几何性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义的转化作用，以及熟记抛物线的几何性质的应用是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．太极图被称为“中华第一图”．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极鱼”．已知()(){22,11A x y x y =+-≤或()22224110x y x y x ⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪++≥⎨⎬⎪⎪≤⎪⎪⎩⎭，下列命题中：①A 在平面直角坐标系中表示的区域的面积为3π2；②()00,x y A ∃∈，使得22000410x y x +-+=；③(),x y A ∀∈，都有25225x y -≤+≤+点(),x y A ∈，则223x t x y -=--的取值范围是2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦．其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】集合A 表示的图形，分别分析选项，得到正确答案， ①根据图象，直接求判断集合A 的面积是圆面积的一半； ②转化为两圆是否相交问题； ③设2z x y =+，122z y x =-+，表示斜率为12-的直线，2z表示纵截距，转化为线性规划问题； ④变形为()22112312222x y x y y tx x x --+---===----，先求12y z x -=-的范围，最后求t 的范围.【详解】①如图，根据对称性可知，集合A 表示的面积占圆面积的一半，2114222S r πππ==⨯⨯=，故①不正确；②22000410x y x +-+=，整理为()2223x y -+=，以()2,0为圆心，3r =的圆，与()2211x y +-=的圆的圆心距2221531d+=<，可知两圆相交，有2个交点，所以()00,x y A ∃∈，使得22000410x y x +-+=，故②正确；③设2z x y =+，122z y x =-+，表示斜率为12-的直线，2z表示纵截距，如图，当直线与圆()2211x y +-=相切时，2z x y =+取得最大值，此时圆心到直线的距离0215zd +-==，解得25z =-或25z =+，如图，舍去25z =-，所以z 的最大值是25+，如图，当直线与224x y +=相切时，2z x y =+取得最小值，圆心到直线的距离 25z d ==，25z =±，如图舍去25z =，所以z 的最小值是25z =-，所以(),x y A ∀∈，都有25225x y -≤+≤+成立，③正确；④()22112312222x y x y y tx x x --+---===----， 设12y z x -=-表示可行域内的点与点()2,1连线的斜率， 设()12y k x -=-，当直线与圆()2211x y +-=相切时，圆心到直线的距离212111k d k -++==+，解得3k =，如图可知3k =，当直线过点()0,2-时，斜率()123202k --==-，其他满足条件的直线夹在这两直线之间，所以332z ≤≤，13222z ∴≤-≤+632t -≤≤，故④不正确.故只有②③正确.故选：B 【点睛】本题考查不等式，线性规划问题，圆与圆的位置关系的综合问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.11．双曲线22:13x C y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于P 、Q 两点,且190F PQ ∠=︒,则1F PQ V 的内切圆半径等于（ ）． A 52- B 51- C 51 D 53【答案】D【解析】根据双曲线的定义和勾股定理可以计算出12PF PF +的值,最后再根据直角三角形内切圆半径公式和双曲线的定义可以求出1F PQ V 的内切圆半径. 【详解】因为190F PQ ∠=︒,所以22212(231)16PF PF +=+=,而1223PF PF -=可得 1225PF PF +=根据直角三角形内切圆半径,可得1F PQ V 的内切圆半径等于11122125235322PF PQ FQ PF PF F Q FQ +-++--===故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了勾股定理的应用,考查了直角三角形内切圆的半径公式,考查了数学运算能力.12．如图，过抛物线24y x =焦点F 作直线l ，交抛物线于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，则22AB CD的最小值为（ ）A ．114B ．52C ．1314D ．1312【答案】D【解析】设出直线l 的方程，代入抛物线方程，求出线段PQ 的中点M 的坐标，以及圆M 的半径，然后表示出2AB ，2CD ，最后用换元法及基本不等式求出22AB CD的最小值. 【详解】由题意()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，代入24y x =，并消去x ，得2440y my --=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12124,4y y m y y +==-，1222y y m +=，代入2121x my m =+=+ ， ()22,21M m m ∴+，圆的半径()222121212111114222r PQ m y m y y y y ==+-=++-()222111616212m m m =++=+ 过点M 作MG AB ⊥，MH CD ⊥，则()()()()2222224244222161AB r MGm m m m ⎡⎤=-=+-=++⎢⎥⎣⎦， ()()()()22222222442221443CD r MHm m m ⎡⎤=-=+-+=+⎢⎥⎣⎦， ()()24222161443m m AB m CD++∴=+ ，令()2433m t t +=≥ ，234t m -=，22223312134444t t AB t t t t CD--⎛⎫++ ⎪-+⎝⎭∴=⨯= ()()1131122132131442t t ⎛⎫=+-≥-=- ⎪⎝⎭，当13t t=时，等号成立，即13t =. ∴22AB CD的最小值为131-.故选：D 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系的综合问题，意在考查逻辑推理和计算能力，属于中档难题，本题的关键是通过所设的直线，正确表示2AB 和2CD .二、填空题13．某协会有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,采用系统抽样法等间距样本，将全体会员随机按1200~编号,并按编号顺序平均分为40组（15~号,610~号,…,196200~号）,若第1组抽出的号码为3,则第6组抽出的号码是______． 【答案】28【解析】根据组数可以求出每组的人数,再根据第1组抽出的号码为3,这样就可以求出第k 组的号码,让6k =代入求值即可. 【详解】有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,因此每组5人,又因为第1组抽出的号码为3,所以第k 组的号码为5(1)352k k -+=-,当6k =时，可得28. 故答案为：28 【点睛】本题考查了系统抽样时计算抽出的号码问题,考查了数学运算能力. 14．已知函数()4f x x x=+，()2xg x t =+，若[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()21f x g x ≥，则实数t 的取值范围是______．【答案】1t ≤【解析】首先根据单调性求两个函数的值域，由题意可知()()max max f x g x ≥ 【详解】()4f x x x=+，在[]1,2上单调递减， ()()15,24f f == ， ()45f x ∴≤≤，()2x g x t =+，在[]1,2上单调递增，()()12,24g t g t =+=+ ()24t g x t ∴+≤≤+，若[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()21f x g x ≥，则()()max max f x g x ≥，即54t ≥+ ， 解得：1t ≤ . 故答案为：1t ≤ 【点睛】本题考查双变量任意，存在问题求参数的取值范围，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，一般对于双变量，若满足1x A ∀∈，2x B ∃∈，使()()12f x g x ≥，只需满足()()min min f x g x ≥ ，若是()()12f x g x ≤，只需满足()()max max f x g x ≤.15．已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，直线3y x =交双曲线C于A ，B 两点，若AF 、BF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为______． 31【解析】首先根据数形结合分析，FA FB ⊥，且O 是AB 的中点，所以OF OA =，直线与双曲线方程联立求点A 的坐标，根据22OF OA =，得到222222222333a b a b c b a b a∴+=--，再转化为关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由对称性可知原点O 是AB 的中点，又AF 、BF 的中点分别为M 、N ，//,//OM BF ON AF ∴， ∴四边形ONFM 是平行四边形，Q 0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，OM ON ∴⊥ ， ∴ 四边形ONFM 是矩形，FA FB ∴⊥,OF OA ∴=设(),A x y222213x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ ，解得2222222222333a b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩ ， 222222222333a b a b c b a b a∴+=-- ，即()2222243a b c b a =- ，222b c a =-， ()()22222244a c a c c a -=-4224840c a c a -+= ，两边同时除以4a ，得42840e e -+=，1e > ，()2242331e ∴=+=+ ，∴ 31e =+.31【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：222111c b e a ab c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.16．已知向量1a =r，2b =r ，则2a b a b ++-r r r r 的取值范围为______．【答案】333z ≤≤【解析】首先根据绝对值三角不等式求最小值，然后利用数量积求()()222254cos 88cos a b a b a ba bθθ++-=+-=+-r r r r r r r r 利用柯西不等式求最大值. 【详解】a b a b +≥+r r r r Q 当a r 与b r同向时，等号成立，()()2233a b a b a b a b a ∴++-≥++-==r r r r r r r r r，当a b +rr 与2a b -r r 同向，即a r 与b r 同向时，确定最小值3， ()()222254cos 88cos a b a b a ba bθθ++-=+-=+-r r r r r r r r()()2222ac bd ab c d +≤++Q ，当ad bc =时等号成立，上式()()154cos 244cos 1254cos 44cos 33θθθθ=+-≤+++-=44cos 254cos θθ-=+，解得1cos 2θ=-， 0θπ≤≤Q ，23θπ∴=，当a r 与b r的夹角为23π时取得最大值33∴原式的最大值是33333z ∴≤≤【点睛】本题考查向量的模的范围，意在考查转化与化归和计算能力，公式a b a b +≤+既适应于实数，也适用于向量，柯西不等式注意变形.三、解答题17．已知圆C 过点()2,1A --，和直线10x y -+=相切，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 【答案】（1）()()22122x y +++=；（2）0x =或34y x =． 【解析】（1）根据条件设圆心(),2C a a ，圆心到直线10x y -+=的距离就是半径，CA r =， 待定系数法求圆的方程；（2）由弦长公式可知圆心到直线的距离1d =，所以分k 不存在和k 存在两种情况讨论求直线方程. 【详解】（1）设圆心为(),2C a a ， ∴()()2212212a d a a -==+++1a =-．所以圆心()1,2--，2r =C 的方程()()22122x y +++=．（2）2222222l r d d =-⇒=-21d =， ①k 不存在时，0x =，满足条件1d =； ②k 存在时，设:l y kx =，2211k d k -==+，得34k =，所以3:4l y x =． 综上，直线l 的方程为0x =或34y x =． 【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程和求直线方程，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.18．设命题:p 实数m 满足240m am -+>；命题:q 曲线22115x y m m +=--表示双曲线．（1）若5a =，若p 为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）14m <≤；（2）4a <．【解析】（1）分别求两个命题表示的m 的取值范围，由题意可知，命题p 假q 真，列不等式求m 的取值范围；（2）根据逆否命题的等价性可知q 是p 的充分不必要条件，转化为在给定区间恒成立求参数，即4a m m ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，15m <<时恒成立，求a 的取值范围. 【详解】（1）当5a =时，2540m m -+> ，解得：4m >或1m <，22115x y m m +=--表示双曲线，可知()()150m m --<，解得：15m <<， :4p m >或1m <；:15q m <<．由题意知，p 假q 真141415m m m ≤≤⎧⇒<≤⎨<<⎩．综上，14m <≤．（2）由条件得q 是p 的充分不必要条件， ∴()1,5m ∀∈，240m am -+>恒成立，4a m m ∴<+恒成立，当()1,5m ∈时， 即min4a m m ⎛⎫<+⎪⎝⎭， 44m m +≥，当4m m=时等号成立，解得2m = 所以4a <． 【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数和根据充分必要条件求参数，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.19．为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在[]50,100内,现将成绩按区间[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90，[]90,100进行分组,绘制成如下的频率分布直方图．青年组中老年组(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；(2)从青年组[)80,90,[]90,100的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自[]90,100分数段的概率．【答案】(1)中位数为80，平均数为73.5(2)310【解析】(1)根据中位数使得左右两边的面积相等,可以确定中位数,再根据在频率分布直方图计算平均数的方法计算即可求出平均数；(2) 求邮青年组[)80,90,[]90,100的分数段中答卷的份数,再求出抽取比例,最后确定两段中分别抽取的答卷份数, 记[)80,90中的3位市民为a ,b ,c ,[]90,100中的2位市民为x ,y ,列出可能出现的情况,最后求出选出的3位市民中有2位来自[]90,100分数段的概率． 【详解】解：(1)由青年组的频率分布直方图可知,前3个小矩形的面积和为0.5,后2个小矩形的面积和为0.5,所以中位数为80．中老年组成绩的平均数为()550.01650.03750.03850.025950.0051073.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．(2)青年组[)80,90,[]90,100的分数段中答卷分别为12份,8份, 抽取比例为511284=+,所以两段中分别抽取的答卷分别为3份,2份．记[)80,90中的3位市民为a ,b ,c ,[]90,100中的2位市民为x ,y , 则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：(),,a b c ,(),,a b x ,(),,a b y ,(),,a c x ,(),,a c y ,(),,a x y ,(),,b c x ,(),,b c y ,(),,b x y ,(),,c x y ．其中,有2位来自[]90,100的有3种：(),,a x y ,(),,b x y ,(),,c x y ． 所以所求概率310P =． 【点睛】本题考查了在频率分布直方图确定中位数和平均数的方法,考查了分层抽样的方法,考查了古典概型概率的求法.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3直线30x y +=过椭圆C 的右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过椭圆C 上顶点M 的直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ,B 两点,且1MA MB k k +=-．求证：直线l 恒过定点,并求出该定点．【答案】(1)2214x y +=；(2)证明见解析,过定点()2,1-.【解析】(1)根据直线30x y +=过椭圆C 的右焦点可以求出c 的值,再根据离心率的公式求出a 的值,根据,,a b c 之间的关系求出b ,最后写出椭圆方程即可； (2)求出上顶点M 的坐标,设()11,A x y ,()22,B x y ,利用斜率公式化简等式1MA MB k k +=-,最后将直线方程与椭圆方程联立,根据根与系数关系,最后得到21m k =--,进而可以确定直线l 恒过定点,也就求出该定点的坐标.【详解】解：(1)3c =，322c e a a ==⇒=,1b =,椭圆C 的方程为2214x y +=；(2)上顶点()0,1M ,设()11,A x y ,()22,B x y ,12121111MA MB y y k k x x --+=-⇒+=-, 即()1212121211211kx m kx m x x k m x x x x +-+-++=+-=-．① 联立直线和椭圆得()222418440k x kmx m +++-=,12221282441x x km km x x m m +--==--,代入①式得,21m k =--, ∴:21l y kx m kx k =+=--恒过定点()2,1-． 【点睛】本题考查了求椭圆标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线过定点的判断,考查了数学运算能力.21．已知动圆过定点()0,1A ，在x 轴截得的弦长为2． （1）求动圆圆心的轨迹E 的方程；（2）若()0001,2P x y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭为轨迹E 上一动点，过点P 作圆()22:11C x y +-=的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点，求PMN V 面积的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）22x y =；（2）2，()2,1P ±．【解析】（1）设(),E x y ，根据EA R =，弦长2222222l R d R y =-=- ，所以221R y =+，利用2R 相等，转化成关于(),x y 的方程；（2）设过点P 且与圆C 相切的直线的方程为()00y y k x x -=-，首先表示纵截距00y y kx =-，然后利用直线与圆相切，有002111kx y d k -+==+，表示为关于k 的二次方程，并且()001220211x y k k x -+=-，200122021y y k k x -=-，最后再表示面积()()201002001201122PMN S y k x y k x x k k x =---=-△，再求最值. 【详解】（1）设(),E x y ，根据EA R =()2221R x y ∴=+-Q 弦长2222222l R d R y =-⇒=-，解得：221R y =+ ，()22211x y y ∴+-=+ ，整理为：22x y =,E ∴的轨迹方程为22x y =．（2）设过点P 且与圆C 相切的直线的方程为()00y y k x x -=-， 令0x =，得00y y kx =-，∴切线与y 轴的交点为()000,y kx -，而002111kx y d k -+==+，整理得()()2220000012120x k x y k y y -+-+-=，012y >，∴201x >． 设两切线斜率为1k ，2k ，则()001220211x y k k x -+=-，200122021y y k k x -=- ∴()()201002001201122PMN S y k x y k x x k k x =---=-△， ∵()()()()2222200000122222200042414111y y x y y k k x x x ---=-=---， ∴0122021y k k x -=-，则200221PMN y S y =-△．令()0210y t t -=>，则012t y +=， ()221221121222t t t t f t t t t+⎛⎫ ⎪++⎝⎭===++ 而1112122222t t t t++≥⋅=，当且仅当122t t =，即1t =时，“＝”成立．此时，()2,1P ±∴PMN S △的最小值为2，()2,1P ±． 【点睛】本题考查轨迹法求抛物线方程，以及直线，圆，抛物线三者的综合性问题，考查了转化与化归和计算，变形，化简能力，属于难题，本题第二问的关键是设直线()00y y k x x-=-，利用相切，有002111kx ydk-+==+，表示为关于k的二次方程，这样是求面积，化简面积的基础.22．已知抛物线21:1C y x=-与y轴交于点M,直线1:l y kx=与抛物线1C交于点A，B两点．直线MA,MB分别交椭圆222:14xC y+=于点D、E（D,E与M不重合）(1)求证：MD ME⊥；(2)若1732MABMDESS=△△,求直线1l的斜率k的值；(3)若O为坐标原点,直线2l交椭圆2C于P，Q，若ON OP OQ=+u u u r u u u r u u u r,且14OP OQk k⋅=-,则22ON PQ+是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)32k=±；(3)是定值,22ON PQ+为定值10.【解析】(1) 直线l和抛物线方程联立,根据根与系数关系、斜率公式可以计算出1MA MBk k⋅=-,也就证明出MD ME⊥；(2)设出直线MA的斜率,直线MB的斜率,求出它们的直线方程,通过解一元二次方程组求出A,B的坐标,最后利用面积公式求出MABS△的表达式,同理求出MDES△的表达式,最后求出直线1l的斜率k的值；(3) 设()33,P x y,()44,Q x y,根据余弦定理和14OP OQk k⋅=-,可以得到又223344x y+=,224444x y+=.通过对两个等式进行移项相乘和两个等式相加,最后可以求出22ON PQ+的值为定值.【详解】解：(1)由题意知,直线l的方程为y kx=．由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=, 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1x ，2x 是上述方程的两个实根， 于是12x x k +=,121x x =-． 又点M 的坐标为()0,1-， 所以()()()2221212121212121211111111MA MBkx kx k x x k x x y y k k k k x x x x x x +++++++-++⋅=⋅====--故MA MB ⊥,即MD ME ⊥．(2)设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-，由1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，或1211x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为()211,1k k -． 又直线MB 的斜率为11k ，同理可得点B 的坐标为21111,1k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 于是，22111121111111111222k S MA MB k k k k k +=⋅=++=．由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得()22111480k x k x +-=, 解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 又直线的斜率为11k ,同理可得点E 的坐标211221184,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 于是,()()()2112221132112144k k S MD ME k k +⋅=⋅=++． 因此，21122111174176432S k S k ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭． 由题意知,解得214k =或2114k =．又由点A ,B 的坐标可知,21211111111k k k k k k k -==-+,所以32k =±． (3)设()33,P x y ,()44,Q x y ,四边形OPNQ 为平行四边形， 由余弦定理有2222cos ONOP PN OP PN OPN =+-⋅⋅∠,2222cos PQ OP OQ OP OQ POQ =+-⋅⋅∠,两式相加得()22222ON PQ OP OQ +=+．又3434144OA OB k k x x y y ⋅=-⇒=-． 又223344x y +=,224444x y +=，上面两式移项相乘得()()222222223434343444164x xy y x x x x --==⇒+=,上面两式相加得()2222223434344441x x y y y y -+-=-+⇒+=． 所以()()2222222234342210ON PQ OP OQ xx y y +=+=+++=．因此22ON PQ +为定值10． 【点睛】本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系,考查了椭圆中定值问题,考查了数学运算能力和等式恒等变形能力.。

树德中学高2019级10月月考数学考试题一个选项符合题目要求。

请将所选答案代号填在机读卡的相应位置。

1.已知P ={0,1}，Q ={-1,0,1}，f 是从P 到Q 的映射，则满足f (0)>f (1)的映射有（B ）个 A .2 B .3 C .4 D .52.下列四个集合中，表示空集的是（D ） A .{0}B . 22{(,)|,,}x y y x x y R =-∈C .{||5,,}x x x Z x N =∈∉D .2{|2+3-20,}x x x x N =∈3.设集合3{|0}2x M x x -=≤-，集合{|(3)(2)0}N x x x =--≤，则M 与N 的关系是（D ） A .M N = B . M N ∈C . M N ⊃≠D . M N ⊂≠4.已知奇函数()f x 在区间[0,5]上是增函数，那么下列不等式中成立的是（D ） A . (4)()(3)f f f π>-> B . ()(4)(3)f f f π>>C . (4)(3)()f f f π>>D . (3)()(4)f f f π->->-5.若集合{1,3,}A x =，2{1,}B x =，{1,3,}A B x =满足条件的实数x 的个数有（C ）个A .1B .2C .3D .46.已知25(5)()(2)(5)x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则(8)f 的函数值为（C ）A .-312B .-174C .-76D .1747.设集合{|3,M x x k k z ==∈,{|31,}P x x k k z ==+∈,{|31,}Q x x k k z ==-∈,则C ()Z P Q =（A ）A . MB . PC . QD .∅8.设函数()f x 是R 上的偶函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(f x x x =，则当(,0)x ∈-∞时，()f x 等于（A ）A . (x xB . (x x -C . (x x -D . (x x9.已知集合{|3,1,2,3,4}M x x n n ===，{|3,1,2,3}kN x x k ===，则满足：()()MN S MN ⊂⊆≠的集合S 有（B ）个A .6B .7C .8D .910.函数y =的单减区间是（D ）A .(),1-∞-B .()1,-+∞C .()3,1--D .()1,1- 11.1()1(1)f x x x =--函数的最大值为（D ）A .45 B .54 C .34 D .4312.已知()32||f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩当时当时，则()F x 的最值是（B ）A .最大值为3，最小值 B .最大值为 C .最大值为3，无最小值 D .既无最大值为，也无最小值二、填空题：本大题共4个小题，每题4分，共16分。

2015-2016学年四川省成都市树德中学高二（上）10月月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a，b满足（）A．a+b=1 B．a﹣b=1 C．a+b=0 D．a﹣b=02．过点（﹣1，2）且与直线y=tan30°x+2垂直的直线方程为（）A．y﹣2=（x+1）B．y﹣2=（x+1）C．y﹣2=﹣（x+1）D．y﹣2=﹣（x+1）3．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR34．已知ab≠0，点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r2，则下列结论正确的是（）A．m∥l，且l与圆相交B．l⊥m，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．l⊥m，且l与圆相离5．（2014•湖北模拟）已知M={（x，y）|=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a=（）A．﹣6或﹣2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣26．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或27．过点P（3，0）有一条直线l，它加在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直线l方程为（）A．6x﹣y﹣18=0 B．8x﹣y﹣24=0 C．5x﹣2y﹣15=0 D．8x﹣3y﹣24=08．若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣1=0的面积，则+的最小值为（）A．5 B．7 C．2D．99．2≤|x|+|y|≤3，则x2+y2﹣2x的取值范围是（）A． B． C． D．10．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．11．实数对（x，y）满足不等式组若目标函数z=kx﹣y在x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，﹣13，5，3，4﹣，15，16﹣，15【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】好像约束条件表示的可行域，确定目标函数的几何意义，通过目标函数的最小值，求出k 的范围即可．【解答】解：实数对（x，y）满足不等式组表示的可行域如图：目标函数z=kx﹣y在x=3，y=1时取最大值，即直线z=kx﹣y在y轴上的截距﹣z最小，由图形可知，直线z=kx﹣y的斜率最大值为1，k的最小值为﹣，所以k的取值范围是．故选B．【点评】本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合的思想以及计算能力．12．函数y=﹣的最大值是（）A．2 B．10 C． D．0【考点】函数的最值及其几何意义；两点间距离公式的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由配方可得函数表示x轴上的一点P（x，0）与点A（2，3）和B（0，1）的距离之差，连接AB延长交x轴于P，由|PA|﹣|PB|≤|AB|，运用两点的距离公式，计算即可得到最大值．【解答】解：函数y=﹣=﹣，表示x轴上的一点P（x，0）与点A（2，3）和B（0，1）的距离之差，如图，连接AB延长交x轴于P，由k AB=k AP=1，可得P（﹣1，0）．|PA|﹣|PB|≤|AB|，由|AB|==2，故最大值为2．故选A．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用几何意义，结合三点共线知识，考查运算能力，属于中档题．13．过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=﹣．故答案为B．【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）14．一个空间几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的表面积为48+8m2．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以左视图为底面的四棱柱，且底面是一个上底为2，下底为4，高为4的梯形，又由棱柱的高为4，代入多面体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以左视图为底面的四棱柱且底面是一个上底为2，下底为4，高为4的梯形，则梯形的腰长为又由棱柱的高为4∴该几何体的底面积为（2+4）×4=12该几何体的侧面积（2+4+2）×4=24+8∴该几何体的表面积为2×12+24+8=48+8故答案为：48+8【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．15．已知点P（1，0）在圆x2+y2﹣4x+2y+5k=0的外部，则k的取值范围是（，1）．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据圆的标准方程的特征可得k＜1，再根据点在圆的外部可得k＞，综合可得实数k的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x+2y+5k=0，即（x﹣2）2+（y+1）2=5﹣5k，∴5﹣5k＞0，即k＜1．∵点P（1，0）在圆x2+y2﹣4x+2y+5k=0的外部，∴12+02﹣4+5k＞0，∴k＞．综上可得，＜k＜1，故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查圆的标准方程、点和圆的位置关系，属于基础题．16．自点A（﹣3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0相交于MN，且|MN|=4，则光线l所在的直线方程为：x+2y﹣3=0或2x+y+3=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；分类讨论；直线与圆．【分析】由对称性和直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得．【解答】解：设直线l的斜率为k，则反射光线的斜率为﹣k且经过A关于x轴的对称点（﹣3，﹣3），故反射光线的方程为y+3=﹣k（x+3），即kx+y+3k+3=0，∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的圆心为（2，2），半径为3，|MN|=4，∴圆心（2，2）到直线kx+y+3k+3=0的距离d==，∴=，解得k=﹣2或k=﹣，当k=﹣2时，直线方程为y﹣3=﹣2（x+3），即2x+y+3=0；当k=﹣时，直线方程为y﹣3=﹣（x+3），即x+2y﹣3=0；故答案为：x+2y﹣3=0或2x+y+3=0【点评】本题考查直线的对称性和直线与圆的位置关系，涉及分类讨论的思想，属中档题．17．已知集合A={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤}，B={（x，y）||x﹣1|+2|y﹣2|≤a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是a≥．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】首先，令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），然后，将集合A，B用m，n表示，再结合条件A⊆B，进行求解．【解答】解：令|x﹣1|=m，|y﹣2|=n，（m≥0，n≥0），根据集合A得，m2+n2≤，根据集合B得，m+2n≤a，∵A⊆B，∴a≥（a+2b）max，构造辅助函数f（m）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣）f（n）=m+2n﹣a+λ（m2+n2﹣），∴f′（m）=1+2λm，f′（n）=2+2λn，令f′（m）=1+2λm=0，f′（n）=2+2λn=0，得到m=﹣，n=﹣，∵m2+n2=，∴λ=±1，∵m≥0，n≥0，∴λ=1，∴m=，n=1时，a+2b有最大值，∴a≥（a+2b）max=+2=，∴a≥，故答案为：a≥．【点评】本题重点考查集合间的基本关系，属于中档题．三、解答题：18．（10分）（2013秋•建瓯市校级期中）如图所示（单位：cm），四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积+圆台的侧面积+半球面面积，该几何体的体积为V圆台﹣V半球．由此能求出结果．【解答】解：由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积+圆台的侧面积+一半球面面积．又S球=×4π×22=8π（cm2），S圆台侧=π（2+5）=35π（cm2），S圆台下底=π×52=25π（cm2），即该几何全的表面积为8π+35π+25π=68π（cm2）．又V圆台=×（22+2×5+52）×4=52π（cm3），V半球=××23=（cm3）．所以该几何体的体积为V圆台﹣V半球=52π﹣=（cm3）．【点评】本题考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意圆台、半球的体积的求法和应用．19．（12分）（2015秋•成都校级月考）直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点．①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．②当|PA|•|PB|最小时，求l的方程．【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】①由已知直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y﹣4=k（x﹣1），则A（，0），B （0，﹣k+4），由此利用均值定理能求出|OA|+|OB|最小时直线l的方程．②由|PA|•|PB|=•，利用均值定理能求出当|PA|•|PB|最小时，直线l的方程．【解答】解：①∵直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点，∴直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y﹣4=k（x﹣1），则A（，0），B（0，﹣k+4），∴|OA|+|OB|=﹣=（﹣﹣k）+5≥2+5=9，当且仅当k=﹣2时取等号，∴l的方程为y﹣4=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣6=0．②由①知|PA|•|PB|=•==﹣=4（﹣）≥4=8，当且仅当k=﹣1时取等号，∴l的方程为y﹣4=﹣（x﹣1），即x+y﹣5=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．20．（10分）（2004•江苏）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；数形结合．【分析】设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，列出x和y的不等关系及目标函数z=x+0.5y．利用线性规划或不等式的性质求最值即可．【解答】解：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，则，设z=x+0.5y=0.25（x+y）+0.25（3x+y）≤0.25×10+0.25×18=7，当即时，z取最大值7万元答：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大．【点评】本题考查线性规划的应用问题，利用不等式的性质求最值问题，考查对信息的提炼和处理能力．21．（12分）（2015秋•成都校级月考）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求①顶点C的坐标；②直线BC的方程；③过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的方程．【考点】圆的一般方程．【专题】直线与圆．【分析】①令直线AC边所在的直线斜率为k，则=﹣1，从而直线AC的方程为2x+y﹣11=0．解方程组，能求出顶点C的坐标．②设点B的坐标为（x0，y0），且点B与点A关于直线2x﹣y﹣5=0对称，又点B在直线BH上，能求出x0=﹣1，y0=﹣3，由两点式，得直线BC的方程．③设过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的圆心为（a，a），由此能求出圆的方程．【解答】解：①令直线AC边所在的直线斜率为k，∵AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0，∴=﹣1，解得k=﹣2，∴直线AC的方程为：y﹣1=﹣2（x﹣5），即，2x+y﹣11=0．∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，解方程组，得x=4，y=3，∴顶点C的坐标为（4，3）．②设点B的坐标为（x0，y0），且点B与点A关于直线2x﹣y﹣5=0对称，∴，又点B在直线BH上，∴x0﹣2y0﹣5=0，∴x0=﹣1，y0=﹣3，所以，由两点式，得直线BC的方程为：，整理，得6x﹣5y﹣9=0．③设过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的圆心为（a，a），∵A（5，1），C（4，3），∴，解得，∴圆的半径r==，∴圆的方程为=．【点评】本题考查顶点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点斜式方程、直线对称、圆的方程等知识点的合理运用．22．（12分）（2015秋•成都校级月考）已知曲线C：x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0．①求证：不论a取何实数，曲线C必过一定点A②当a≠2时，求证：曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上并写出此直线方程．③若a=1时，动点P到①中定点A及点B（﹣2，1）的距离之比为1：2，求点P的轨迹M，并指出曲线M与曲线C的公共点个数．【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．【专题】直线与圆．【分析】①曲线C即x2+y2﹣20+a（﹣4x+2y+20）=0，由，求得曲线C一定经过点A（4，﹣2）．②证明：当a≠2时，曲线C即（x﹣2a）2+（y+a）2=5（a﹣2）2，表示一个圆，且圆心在直线y=﹣x上．③设动点P（x，y），由题意可得=，化简可得（x﹣6）2+（y+3）2=20，故点P的轨迹是以F1（6，﹣3）为圆心，半径等于R1=2的圆．再根据a=1时，圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得点P的轨迹M与曲线C的公共点个数为2．【解答】解：①证明：曲线C：x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0，即x2+y2﹣20+a（﹣4x+2y+20）=0，由，求得，故曲线C一定经过点A（4，﹣2）．②证明：当a≠2时，曲线C即（x﹣2a）2+（y+a）2=5（a﹣2）2，表示以（2a，﹣a）为圆心、半径等于|a﹣2|的圆，且圆心在直线y=﹣x上．③设动点P（x，y）到①中定点A及点B（﹣2，1）的距离之比为1：2，即=，化简可得（x﹣6）2+（y+3）2=20，故点P的轨迹是以F1（6，﹣3）为圆心，半径等于R1=2的圆．a=1时，曲线C即（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，是以F2（2，﹣1），半径等于R2=的圆．再根据F1F2=2，大于半径之差而小于半径之和，故点P的轨迹M为圆F1，故曲线M与曲线C的公共点个数为2．【点评】本题主要考查圆的标准方程，轨迹方程的求法，圆和圆的位置关系，属于中档题．23．（14分）（2015秋•成都校级月考）（理科）如图，A，B，C，D在y=x2上，A、D关于抛物线对称轴对称，过点D（x0，y0）作抛物线切线，可证切线斜率为x0，BC∥切线，点D到AB，AC距离分别为d1，d2，d1+d2=|AD|①试问：△ABC是锐角，钝角还是直角三角形？请说明判断的理由．②若△ABC的面积为240，求A点的坐标和BC直线的方程．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】①利用导数的几何意义即可得出直线BC的斜率，进而可得直线AC、AB的斜率之间的关系，即可判断三角形的形状；②利用点A的坐标表示弦长|AC|、|AB|，进而利用面积即可得出坐标，及直线方程．【解答】解：①由y=x2得，y′=x．设D（x0，x02），由导数的几何意义知BC的斜率k BC=x0，由题意知A（﹣x0，x02），设C（x1，x12），B（x2，x22），则k BC==（x1+x2）=x0，∴x2=2x0﹣x1，所以B（2x0﹣x1，（2x0﹣x1）2），k AC==（x1﹣x0），k AB==（x2﹣x0），=（x0﹣x1），所以k AC=﹣k AB，∴∠DAC=∠DAB，∴d1=d2，又由d1+d2=|AD|得：sin∠DAC=，∴∠DAC=∠DAB=45°，故△ABC是直角三角形．②由①知，不妨设C在AD上方，AB的方程为：y﹣x02=﹣（x+x0），由得到另一个交点B（x0﹣4，（x0﹣4）2）．由AC方程为：y﹣x02=x+x0，由得到另一个交点C（x0+4，（x0+4）2）．∴|AB|=|（x0﹣4）﹣（﹣x0）|=|2x0﹣4|，|AC|=|（x0+4）﹣（﹣x0）|=|2x0+4|，∴S△ABC=•2|2x0﹣4||2x0+4|=240，解得x0=±8，∴A（8，16）或（﹣8，16），若x0=8时，B（4，4），C（12，36），BC：y=4x﹣12，若x0=﹣8时，B（﹣12，36），C（﹣4，4），BC：y=﹣4x﹣12．【点评】熟练掌握导数的几何意义、直线的斜率与倾斜角的关系、直线与抛物线相交问题、弦长公式即可得出．24．（2015秋•成都校级月考）（文科）如图，已知抛物线C：y=x2，点P（x0，y0）为抛物线上一点，y0∈，圆F方程为x2+（y﹣1）2=1，过点P作圆F的两条切线PA，PB分别交x轴于点M，N，切点分别为A，B．①求四边形PAFB面积的最大值．②求线段MN长度的最大值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】①四边形PAFB面积S=2S△APF=2，求出|AP|的最大值，即可求四边形PAFB面积的最大值．②求出M，N的坐标，表示出|MN|，即可求线段MN长度的最大值．【解答】解：①设P（x0，x02），则x02∈，x02∈，由题意，∠FAP=90°，∠FBP=90°，△AFP中，|AP|==，令x02=t∈，则|AP|=，四边形PAFB面积S=2S△APF=2=，最大值为，此时x02=20，即y0=5时取到；②设P（x0，x02），则圆的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0）．由点到直线的距离公式可得=1∴（x02﹣1）k+2x0（1﹣x02）k+（1﹣x02）2﹣1=0，设两根为k1，k2，则k1+k2=﹣，k1k2=，∵M（x0﹣x02，0），N（x0﹣x02，0），∴|MN|=x02|﹣|=2•（x02=t∈，t﹣8=m∈）∴|MN|=2•，令=p∈，∴|MN|=2，最大值为2，p=，即y0=3时取到．【点评】本题考查圆锥曲线的综合，考查四边形面积的计算，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

点分别为 A x1, y1 , B x2, y2 ．
（1）求曲线 E 的轨迹方程；
x2
（2）（结论：过椭圆 a2
y2 b2
1上一点
x0 , y0
的椭圆的切线方程为
x0 x a2

y0 y b2
1）利用结论解决以下
问题：设 O 为坐标原点，求 OAB 面积的最大值。
高二数学 2019-10 阶考 第 2页 共 2 页
(2)如果△BMN 的重心 G (2，0) ，求直线 l 方程的一般式．
18.（12 分）已知以点 䁚h 䁚䁚h
h
且 h 䃊䁚为圆心的圆经过原点 O, 且直线
M,N, 圆心 圆原 ,
䁚 䁚求圆 C 的方程．
䁚
䁚若点 P x, y 在圆 C 上，求
x y
的取值范围。
x 1
䃊 与圆 C 交于
21（. 12 分）设 M
→→ 由三角形重心的性质知BF＝2FQ，
2＝2x0－2，
又 B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，即
故得 x0＝3，y0＝－2，即 Q 的坐标为(3，－2)．
－4＝2y0，
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且2x021 ＋1y621 ＝1，2x022 ＋1y622 ＝1，
A．(－3,5)
B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5)
D．(－5,1)∪(1,3)
3．已知双曲线ax22－y2＝1(a>0)的焦距为 4，则双曲线的渐近线方程是(
)
A．y＝± 3x 3
B．y＝± 3x
C．y＝±2 3x 3
D．y＝± 3x 2

2019-2020学年四川省成都市树德中学高一（上）10月段考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．3C．4D．162．（5分）若集合A＝{x|x2＞4}，B＝{x|x2+3x≤0}，则A∪B＝（）A．{x|﹣3≤x＜﹣2}B．{x﹣3≤x＜2}C．{x|x≤0或x＞2}D．{x|x＜0或x＞2}3．（5分）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N是（）A．M B．N C．I D．∅4．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）+f（1）＝0，则实数a的值等于（）A．﹣3B．﹣1C．1D．35．（5分）在映射f：A→B中，A＝B＝{（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与B中的元素（﹣1，2）对应的A中的元素为（）A．（﹣3，1）B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（）6．（5分）若f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，5]D．[3，+∞）7．（5分）函数y＝（x≠1）在区间[2，5）上的最大值、最小值分别是（）A．，4B．无最大值，最小值7C．4，0D．最大值4，无最小值8．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，则不等式f（2）＜f（）的解集是（）A．（0，）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）9．（5分）函数f（x）＝x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[2，4]C．[0，4]D．（2，4]10．（5分）函数f（x）＝是R上的减函数，则实数a的取值a范围（）A．[﹣，0）B．（﹣∞，]C．[﹣1，﹣]D．（﹣∞，﹣1]11．（5分）已知函数f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，且当x＞0时，f（x）单调递增，则关于x的不等式f （x﹣1）＞f（a）的解集为（）A．B．C．D．随a的值而变化12．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，且f[f（x）]＝x，定义在R上的奇函数g（x）在（0，+∞）上为增函数且g（﹣1）＝0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知A，B是非空集合，定义运算A﹣B＝x|x∈A且x∉B，若M＝x|y＝，N＝y|y＝x2，﹣1≤x≤1，则M﹣N＝．14．（5分）已知集合{a，，1}＝{a2，a+b，0}，则不等式a2019x2﹣（a+b）2019x﹣2a2018＜0的解集为．15．（5分）设集合M＝{（x，y）|＝a﹣1}，集合N＝{（x，y）|（a2﹣1）x+（a﹣1）y＝15}，且M∩N＝∅，则实数a的取值集合为．16．（5分）已知函数f（x）＝若存在唯一的整数x，使得＞0成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设集合A＝{x|a﹣3＜x＜a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞3}．（1）若a＝3，求A∪B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．（12分）设A＝{x|﹣x2+3x+10≥0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A．（1）求A；（2）求实数m的取值范围．19．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（1）求a，b的值．（2）当c∈R时，解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．20．（12分）已知是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5（a＞1）．（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]，上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．22．（12分）已知集合D＝{（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2＝k}（其中k为正常数）．（1）设u＝x1x2，求u的取值范围；（2）求证：当k≥1时不等式对任意（x1，x2）∈D恒成立；（3）求使不等式对任意（x1，x2）∈D恒成立的k2的范围．2019-2020学年四川省成都市树德中学高一（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，∴A∩B＝{1，3}，则A∩B的子集个数为22＝4．故选：C．2．【解答】解：集合A＝{x|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜﹣2}，B＝{x|x2+3x≤0}＝{x|﹣3≤x≤0}，∴A∪B＝{x|x≤0或x＞2}．故选：C．3．【解答】解：∵N∩∁I M＝∅，∴N∩M＝N，即M∪N＝M，故选：A．4．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（1）＝2×1＝2，∵f（a）+f（1）＝0，∴f（a）＝﹣2，当a＞0时，f（a）＝2a＝﹣2，解得a＝﹣1，不成立，当a≤0时，f（a）＝a+1＝﹣2，解得a＝﹣3．∴实数a的值等于﹣3．故选：A．5．【解答】解：解：在映射f：A→B中，A＝B＝{（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），设与B中的元素（﹣1，2）对应的A中的元素为（x，y），则，解得x＝，y＝，∴与B中的元素（﹣1，2）对应的A中的元素为（，）．故选：D．6．【解答】解：f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x＝﹣，函数f（x）在（﹣∞，1﹣a]上单调递减，∴要使f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，则对称轴1﹣a≥4，解得a≤﹣3．即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故选：A．7．【解答】解：函数y＝＝1+在[2，5）上递减，即有x＝2处取得最大值4，由x＝5取不到，则最小值取不到．故选：D．8．【解答】解：∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，则由不等式f（2）＜f（）可得2＞，∴x＜0，或x＞，故选：D．9．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5．且f（x）＝x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，∴实数m的取值范围是[2，4]，故选：B．10．【解答】解：∵函数f（x）＝是R上的减函数，∴，解得：a∈（﹣∞，﹣1]，故选：D．11．【解答】解：因为f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，所以（a﹣1）+2a＝0，解得a＝．则f（x）定义域为[﹣，]．由偶函数性质知，f（x﹣1）＞f（a）可化为f（|x﹣1|）＞f（），又x＞0时，f（x）单调递增，所以|x﹣1|＞①，又﹣≤x﹣1②，联立①②解得x＜或＜x≤，故不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为[，）∪（，]．故选：C．12．【解答】解：由f[f（x）]＝x有f[f（0）]＝0，设f（0）＝t，则f（t）＝0，若t＞0，则f（0）＞f（t）这与函数单调递增相矛盾；若t＜0，则f（0）＜f（t）这与函数单调递增相矛盾；所以t＝0，即f（0）＝0，，即f（x）g（x）＜0，或，所以不等式的解集为（﹣1，0）∪（0，1），故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．【解答】解：∵M＝{x|x≤1}，N＝{y|0≤y≤1}，∴M﹣N＝{x|x＜0}．故答案：{x|x＜0}．14．【解答】解：∵{a，，1}＝{a2，a+b，0}，∴或，且a≠1，∴解得，∴由a2019x2﹣（a+b）2019x﹣2a2018＜0得，﹣x2+x﹣2＜0，解得x∈R，∴原不等式的解集为R．故答案为：R．15．【解答】解：集合M＝{（x，y）|＝a﹣1}，表示直线（a﹣1）x﹣y﹣2a+5＝0上除（2，3）以外的所有点组成的集合；当a＝1时，N＝∅，满足M∩N＝∅；当a＝0时，直线（a﹣1）x﹣y﹣2a+5＝0与直线（a2﹣1）x+（a﹣1）y＝15平行，满足M∩N＝∅；当直线（a2﹣1）x+（a﹣1）y＝15经过（2，3）点，代入得，2a2+3a﹣20＝0，∴a＝﹣4，或a＝时，满足M ∩N＝∅；综上，a的所有取值是：1，0，﹣4，．故答案为：{1，0，﹣4，}．16．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：（1）当x＞0时，f（x）≤f（1）＝3，∵存在唯一的整数x，使得＞0成立，∴a＜f（x）只有1个整数解，又f（2）＝0，∴0≤a＜3．（2）若x＜0，则f（x）≥f（0）＝0，∵存在唯一的整数x，使得＞0成立，∴a＞f（x）只有1个整数解，又f（﹣1）＝2，f（﹣2）＝8，∴2＜a≤8．∴当0≤a≤2或3≤a≤8时，＞0只有1个整数解．故答案为：[0，2]∪[3，8]．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）a＝3时，A＝{x|0＜x＜6}，且B＝{x|x＜﹣1，或x＞3}，∴A∪B＝{x|x＜﹣1，或x＞0}；（2）∵A∪B＝R，∴，∴0＜a＜2，∴实数a的取值范围为（0，2）．18．【解答】解：（1）根据题意，﹣x2+3x+10≥0⇒﹣2≤x≤5，则A＝{x|﹣x2+3x+10≥0}＝{x|﹣2≤x≤5}；（2）分2种情况讨论：①、当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，B＝∅，B⊆A成立；②、当m+1≤2m﹣1，即m≥2时，B≠∅，若B⊆A，必有，解可得2≤m≤3；综合可得：m≤3．即m的取值范围为{m|m≤3}19．【解答】解：（1）根据题意，不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，即1、b是方程ax2﹣3x+2＝0的两根，则有，解可得，（2）由（1）的结论，a＝1，b＝2；原不等式即x2﹣（c+2）x+2c＜0；即（x﹣2）（x﹣c）＜0，方程x2﹣（c+2）x+2c＝0有两根，2和c，当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，当c＝2时，不等式的解集为∅．综合可得：当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，当c＝2时，不等式的解集为∅．20．【解答】解：（1）由题意得：0∈（﹣1，1），∴f（0）＝b＝0，∴f（x）＝，∴f（）＝＝＝∴a＝1，（2）由（1）f（x）＝＝y，则yx2+y＝x，即yx2﹣x+y＝0这个方程一定有解当y＝0时，x＝0，当y≠0时：△＝1﹣4y2≥0，﹣≤y≤且y≠0，综上可知：y∈[﹣，]．21．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2﹣2ax+5（a＞1），∴f（x）开口向上，对称轴为x＝a＞1，…（2分）∴f（x）在[1，a]是单调减函数，…（6分）∴f（x）的最大值为f（1）＝6﹣2a；f（x）的最小值为f（a）＝5﹣a2…（10分）∴6﹣2a＝a，且5﹣a2＝1∴a＝2…（14分）（2）函数f（x）＝x2﹣2ax+5＝（x﹣a）2+5﹣a2．开口向上，对称轴为x＝a，∵f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，对称轴大于等于2，∴a≥2，a+1≥3，f（x）在（1，a）上为减函数，在（a，a+1）上为增函数，f（x）在x＝a处取得最小值，f（x）min＝f（a）＝5﹣a2，f（x）在x＝1处取得最大值，f（x）max＝f（1）＝6﹣2a，∴5﹣a2≤f（x）≤6﹣2a，∵对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，∴6﹣2a﹣（5﹣a2）≤4，解得：﹣1≤a≤3；综上：2≤a≤3．22．【解答】解：（1），当且仅当时等号成立，故u的取值范围为．（2）解法一（函数法）＝由，又k≥1，k2﹣1≥0，∴f（u）＝u﹣在上是增函数所以＝即当k≥1时不等式成立．解法二（不等式证明的作差比较法）＝＝＝，将k2﹣4x1x2＝（x1﹣x2）2代入得：＝∵（x1﹣x2）2≥0，k≥1时4﹣k2x1x2﹣4k2＝4（1﹣k2）﹣k2x1x2＜0，∴，即当k≥1时不等式成立．（3）解法一（函数法）记＝，则，即求使对恒成立的k2的范围．由（2）知，要使对任意（x1，x2）∈D恒成立，必有0＜k＜1，因此1﹣k2＞0，∴函数在上递减，在上递增，要使函数f（u）在上恒有，必有，即k4+16k2﹣16≤0，解得．解法二（不等式证明的作差比较法）由（2）可知＝，要不等式恒成立，必须4﹣k2x1x2﹣4k2≥0恒成立即恒成立由得，即k4+16k2﹣16≤0，解得．因此不等式恒成立的k2的范围是。

2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）10月段考数学试卷一.选择题（每小题5分，共60分）1.直线V3x+3y4-a=0的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 150°D. 120°2.两个圆Ci： x2+y2+2x+2y - 2=0 与C2： x2+y2 - 4x - 2y+l=0 的公切线有且仅有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条fx - y》_ 13.若实数x, y满足不等式组：x+y>l ，则该约束条件所围成的平面区域3x - y^3的面积是（）A. 3B.孚C. 2D. 2^2乙4.如果直线y=ax+2与直线y=3x - b关于直线y二x对称，那么（）A. a二寺,b=6 B・b= - 6C・ a=3, b= - 2 D. a=3, b=65.若直线X y二kx-近与直线2x+3y - 6=0的交点位于第一象限，则直线I的倾斜角的取值范围（）K 兀、/兀兀、/兀兀、L兀兀_,rA•［丁丁）B・（可，可）C・（亍-）D•［亍-］6.原点在圆C：x2+y2+2y+a - 2=0外，则a的取值范围是（）A. a>2 B・ 2<a<3C. a<2 D. 0<a<27.若曲线Ci： x2+y2 - 2x=0与曲线C2： y (y - mx - m) =0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是（）(0, 省）c•占，爭-A.（-卑,爭）B.（-警,0） U OO, -^0 U+8）&过点P （1, 1）作直线I,与两坐标轴相交所得三角形面积为4,则直线I有A. 1条B. 2条C・3条D. 4条\+y- 2<09.x、y满足约束条件x-2y-2<0,若z=y - ax取得最大值的最优解不唯一，2x - y+2》0♦则实数a的值为( )A.寺或・1B. 2或寺C. 2或1D. 2或・110.己知方程/+ ——二0有两个不等实根a和b,那么过点A (a, a2).tan sin^B (b, b2)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.随8值的变化而变化□・某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元•公司在生产这两种产品的计划中, 要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A. 1800 元B. 2400 元C. 2800 元D. 3100 元12.已知点P (t, t),点M是圆0空X2+ (y - 1) 上的动点，点N是圆(X- 2) 2+y2#上的动点，则|PN| - |PM|的最大值是( )A. 1B. V5- 2 C・ 2+V5 D・ 2二、填空题(每小题5分，共20分)13.设A (3, 3, 1), B (1, 0, 5), C (0, 1, 0),则AB 的中点M 到点C 的距离为・14.已知实数x, y满足x2+y2 - 4x+l=0,则艺的最大值为•X15.已知O是坐标原点，点A ( - 1, 0),若M (x, y)为平面区域上的一个动点，贝'JIOA+OMl的取值范围是—・设集合A二{(x16. x, y€ R}, B={ (x, y) |2mWx+yW2m+l, x, ye R},若AGBH0,则实数m的取值范围是三、解答题(共70分)17.已知两条直线I】：(a - 1) x+2y+l=0, l2： x+ay+1二0,求满足下列条件的a值:(1)h//l2(2)li丄J.18.已知直线I经过直线2x+y・5二0与x・2y=0的交点，(1)点A (5, 0)至IJI的距离为3,求丨的方程；(2)求点A (5, 0)至IJI的距离的最大值.19.设直线I的方程为y二kx+b (其中k的值与b无关),圆M的方程为x2+y2 - 2x ・ 4=0.(1)如果不论k取何值，直线I与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围;(2)b=l, I与圆交于A, B两点，求|AB|的最大值和最小值.y>020.设约束条件“茫;_x 所确定的平面区域为D.(O'C t_C 1)(1)记平面区域D的面积为S二f (t),试求f (t)的表达式.(2)设向量(1, - 1), b=(2，- 1), Q (x, y)在平面区域D (含边界) 上，OQ a+nb，(m, neR),当面积S取到最大值时，用x, y表示m+3n,并求m+3n的最大值.21.已知圆M： X2+ (y- 1) 2=1<, Q是x轴上的动点，QA, QB分别切圆M于A, B两点.(1)若Q (1, 0),求切线QA, QB的方程；(2)若|AB|二芋，求直线MQ的方程.22.已知过点A (0, 1)且斜率为k的直线I与圆C： (x - 2) 2+ (y - 3) 2=1交于M, N两点.(1)求k的取值范围；(2)若S AM oN=6tanZMON,其中0为坐标原点，求|MN|.2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1.直线V3x+3y+a=0的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 150°D. 120°【考点】直线的倾斜角.【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可得岀.【解答】解：设直线的倾斜角为a, ae[o\ 180°）.・\tana二-\ a=150 .故选：C.2.两个圆Ci： x2+y2+2x+2y - 2=0 与C2： x2+y2 - 4x - 2y+l=0 的公切线有且仅有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【考点】圆的切线方程.【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数. 【解答】解：两圆的圆心分别是（-1, -1）, （2, 1）,半径分别是2, 2 两圆圆心距离：732 + 22=V13<^4,说明两圆相交，因而公切线只有两条.故选B.^-7>- 13.若实数x, y满足不等式组：< x+y>l ,则该约束条件所围成的平面区域3x - y^3的面积是（）A. 3B.誓C・ 2 D・ 2V2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域.x _ _ 1【分析】先根据约束条件:x+y>l ,画出可行域，求出可行域顶点的坐标,3x - /C3再利用几何意义求而积和周长C即可.【解答】解：不等式组所表示的平面区域如图所示解得A (2, 3)、B (1, 0)、C (0, 1),所以S AABC=2;（表示的平面区域的面积为：矩形的面积-三个三角形的面积=2X3--^--2 -专=2 ・）故选C.4.如果直线y=ax+2与直线y=3x - b关于直线y二x对称，那么（）A. a二寺,b=6 B・ a二寺,b= - 6C・ a=3, b= - 2 D. a=3, b=6【考点】反函数.【分析】木题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3x - b 的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解.【解答】解：法一：由题意，函数y=3x - b的反函数为y二与y=ax+2对照可得a=y, b=6；法二：在y=ax+2 ±取点（0, 2）,则点（2, 0）在y二3x・b上，故得b二6；又y=3x - 6上有点（0, - 6）,则点（-6, 0）在y二ax+2上，代入得a二寺，由此可得a二寺，b=6答案：a吉，b=65.若直线1* y=kx - ^3与直线2x+3y - 6=0的交点位于第一象限，则直线I的倾斜角的取值范围（）「兀兀、/兀兀、z 71 兀、「兀兀A・［亍丁）B.（亍丁）c. F D. -y］【考点】直线的斜率；两条直线的交点坐标.【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0,联立得到关于k的不等式组，求岀不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的止切值等于斜率k,根据正切函数图象得到倾斜角的范围.【解答】解：联立两直线方程得：2x+3y策右■将①代入②得：X二专勢③，把③代入①，求得y 」；［鈔,所以两肓线的交点坐标为（蕩吝，［餌），因为两直线的交点在第一象限，所以得到由①解得：k>-|；由②解得k>爭或k<-寻所以不等式的解集为：k>誓,故直线I 的倾斜角的取值范围应为（=,辛）.b Z故选B.6.原点在圆C ： x 2+y 2+2y+a - 2=0外，则a 的取值范围是（ ）A. a>2 B ・ 2<a<3C. a<2 D. 0<a<2【考点】直线与圆的位置关系.【分析】根据二次方程表示圆的条件，以及圆心到原点的距离大于半径，列出不 等式组，综合可得实数a 的取值范围.【解答】解：・・•圆 x 2+y 2+2y+a - 2=0,即 x 2+ （y+1） 2=3 - a,••・3・a>0,艮卩a<3.•・•原点（0, 0）在圆 x 2+y 2+2y+a ・ 2二0 的外部，Aa - 2>0, Aa>2. 综上可得，2<a<3, 故选：B.7. 若曲线 Ci ： x 2+y 2 - 2x=0 与曲线 C 2： y (y - mx - m)则实数m 的取值范围是（）A.（一埠，啤）B.（一埠3 3 3OO, - ^.） U +8）【考点】圆的一般方程；圆方程的综合应用.【分析】由题意可知曲线C" x 2+y 2 - 2x=0表示一个圆, =0表示两条直线y=0和y ・mx- m=0,把圆的方程化为标准方程后找岀圆心与半径，由图象可知此圆与y 二0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y-mx-m=0要有2个交点，根据直线y - mx - m=0过定点，先求出直线与圆相切时m设直线I 的倾斜角为8,则tan0>^-,所以ew （乎，手）•Jb z方法二、・・•直线I 恒过定点（0, -馅），作出两直线的图象・， 设直线2x+3y - 6=0与x 轴交于点A,与y 轴交于点B.从图中看出， 斜率 l<ApVkV+8,JT JT=0有四个不同的交点,曲线 C 2： y (y - mx - m),0) U (0,的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围.由直线y - mx - m 二0可知：此直线过定点(-1, 0), 在平面直角坐标系中画出图象如图所示:直线y=0和圆交于点(0, 0)和(2, 0),因此直线y - mx - m=0与圆相交即可 满足条件.化简得：m 2=y,解得m 二土誓•, 而m 二0时，直线方程为y=0,即为x 轴，不合题意， 则直线y - mx - m 二0与圆相交时，me (-省•，0) U (0, 故选B.&过点P (1, 1)作直线I,与两坐标轴相交所得三角形面积为4,则直线I 有 ( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【考点】直线的截距式方程.【分析】设直线的方程为：y-l=k (x-1), (kHO)•得出与坐标轴的交点，可 得寺| (1-k)(1-右|二4,解出k 的值即可判断出结论.【解答】解：设直线的方程为：y ・l=k (x ・l), (kHO).当直线y - mx - m=0与圆相切时,|2m圆心到直线的距离临百i化为标准方程得:C 2： y (y - mx - m) =0 表示两条直线 y=0 和 y - mx - m=0,令X二0,解得y=l - k；令y二0,解得x=l - ・・；寺| (1 - k) (1 - =4,化为(k - 1) $二±8k,即k2 - 10k+l=0, k2+8k+l=0, 由于△>(),可得两个方程共有4个不同的解. 因此直线I共有4条.故选：D.2<09. x、y满足约束条件h-2y-2<0,若z=y - ax取得最大值的最优解不唯一，2x - y+2》0♦则实数a的值为( )A.寺或・1B. 2或寺C. 2或1D. 2或・1【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC).由z=y - ax得y二ax+z,即直线的截距最大，z也最大.若护0,此时y二z,此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a>0,目标函数y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y - ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x - y+2=0平行，此时a=2,若a<0,目标函数y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y - ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y二ax+z与直线x+y - 2=0,平行，此吋a= - 1,综上a= - 1或a二2,故选：D10.已知方程xJ ----------------- 二0有两个不等实根a和b,那么过点A (a, a2)>tan smB (b, b2)的直线与圆x2+y2=l的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.随8值的变化而变化【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由a与b为一元二次方程的两个不等的实根，利用韦达定理表示出a+b 和ab,然后根据点A和B的坐标求出直线AB的斜率，利用屮点坐标公式求出线段AB 的中点坐标，根据中点坐标和求出的斜率写出直线AB的方程，根据圆的方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线AB的距离d,化简后把表示出的a+b和ab代入即可求出值为1,与圆的半径相等，进而得到直线AB与圆的位置关系是相切.【解答】解：由a和b为方程/+ ——=0的两个不等的实根，tantJ sin^得至ij a+b二-••ab= - .tanD sin^又A (a, a2)> B (b, b2),2 2 2 2J+b,线段AB的中点坐标为(¥，兰竺) a- b 厶2得到直线AB的斜率k』二2 2所以直线I AB： y= (b+a) (x-普)+皂尹.由圆x2+y2=l,得到圆心坐标为(0, 0),半径r“，I a2 + b2 _ (s+b) / I | G+b) $一_ (a+b) ? 则圆心到直线AB的距离d= 1 2 ' 1 =1 2 "^2Vl2 + (a+b) 2Vl2 + (a+b) 2I—1— I |sb | sin 8V tan2 0所以直线AB与圆的位置关系是相切.故选B11.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中, 要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A. 1800 元B. 2400 元C. 2800 元D. 3100 元【考点】简单线性规划.【分析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可.【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元'x+2y<12则根据题意可得< 2x+y<12 , z=300x+400yx, 且x, y€ N作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L： 3x+4y=0,然后把直线向可行域平移，（x+2y二12由&+尸12可得®=4，此时z最大z=280012. 已知点P (t, t),点M 是圆0“ x 2+ (y - 1) 2=j±的动点，点N 是圆02： (x-2) 2+y 2=j 上的动点，则|PN| - |PM|的最大值是( )A. 1B. V5- 2C. 2+^5D. 2【考点】两点间的距离公式.【分析】先根据两圆的方程求岀圆心和半径，结合图形，把求PN - PM 的最大值 转化为P02 - POi+1的最大值，再利用P02-POi 二P02-POi'WOiQ"，即可求出 对应的最大值.圆 01： X 2+ (y- 1) 2冷的圆心 6(0, 1),圆02： (x-2) 2+y 2=j 的圆心O2 (2, 0),这两个圆的半径都是寺 要使PN - PM 最大，需PN 最大，且PM 最小，由图可得，PN 最大值为PO2+寺，PM 的最小值为P0： - p 故PN - PM 最大值是(P02号)・（P01 -寺）=P02 - P01+1,【解答】解：如图所示,点P (t, t)在直线y二x上，Oi (0, 1)关于y二x的对称点Of (1, 0), 直线『与y=x的交点为原点0,则PO2 - POi=PO2 - POfWOigl，故P02 - POi+1的最大值为1+1=2,即|PN|・|PM|的最大值为2.故选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13.设A (3, 3, 1), B (1, 0, 5), C (0, 1, 0),则AB 的中点M 到点C 的距离为辱.—2 —【考点】空间两点间的距离公式.【分析】设出点M的坐标，利用A, B的坐标，求得M的坐标，最后利用两点间的距离求得答案.【解答】解：M为AB的中点设为(x, y, z),・3+1 p 3・・xp=2,3AM (2, £ 3),14.已知实数x, y满足x2+y2 - 4x+l=0,则艺的最大值为_貞_・X ——【考点】直线与圆的位置关系.【分析】艺可看作点(x, y)与原点连线的斜率，所以问题转化为求圆上一点与X 原点连线中斜率最大值的问题.【解答】解：圆的圆心坐标(2, 0)半径为頁，如图：设Z=k,则y=kx,X所以k为过原点与圆x2+y2 - 4x+U0上的点连线的斜率.由几何意义知，直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值或最小值,圆的半径为馅，圆心到原点的距离为2,所以k=tan60°=V3,故答案为：字.VC (0, 1, 0),所以十的最大值是负(x+y A 215.已知0是坐标原点，点A ( -1, 0),若M (x, y)为平面区域x<ly<2±的一个动点，贝'JlOA+OMl的取值范围是 "，・【考点】简单线性规划.【分析】由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把II转化为可行域内的点M (x, y)到定点N (1, 0)的距离，数形结合可得答案.【解答】解：OA+OM =( - 1，0) + (x, y) = (x- 1, y), 则丨OA+OMl l)Sy2,设z 二OA+OM =7(x- l)2 + y2，则z的几何意义为M到定点D (1, 0)的距离，由约束条件作平面区域如图，由图象可知当M 位于A (0, 2)时，z 取得最大值Z =^/1+4=V5, 当M 位于C (1, 1)时，z 取得最小值z=l,即■ 1 ) ? + y $的取值范围是［1 ‘葩］‘ 故答案为:［1,码］.16. 设集合A={(x, y) l^<(x + x, y€ R}, B={ (x, y)2mWx+yW2m+l, x, yWR},若AQBH0,则实数m的取值范围是［寺，2+逅］.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或 等于半径，进而联立不等式组求得m 的范围. 【解答】解：依题意可知，若AQBH0,则AH0, 必彳『乎总醴，解可得mWO 或m2*,此时集合A 表示圆环内点的集合或点(2, 0),集合B 表示与x+y 二0平行的一系 列直线的集合，要使两集合不为空集，需至少一条直线与圆有交点或点在某一条 直线上， ①m 二0 时，A={ (2, 0) }, B= { (x, y) |OWx+yWl},此时AAB=0,不合题意;②当m<0吋，有亏許|<5或I2一芬1又由mVO,则(V2 - 1)誓，可得AQB 二0,不合题意;乙 一 2一加一1Wm 或 |一^— 又由m2寺,则m 的范围是［寺,2+V21; 综合可得m 的范围是［寺，2+^21; 故答案为［寺，2+伍］.三、解答题(共70分)17. 已知两条直线Ip (a - 1) x+2y+l=0, l 2： x+ay+l=0,求满足下列条件的a 值: (1) li/7l 2 (2) I 】丄I?.【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直 关系.【分析】(1)根据两直线平行关系，得斗二2工1,即可求出a 的值.1 a(2)根据两直线垂直的关系，即(a-1) +2a 二0,即可求出a 的值. 【解答】解：(1)由题意，斗丄丄工1,・・・护-1；1 a(2) J (a - 1) +2a=0, Aa=y ・18. 已知直线I 经过直线2x+y - 5二0与x - 2y=0的交点, (1)点A (5, 0)到I 的距离为3,求I 的方程;(2)求点A (5, 0)至Ijl 的距离的最大值.【考点】点到直线的距离公式；两条直线的交点坐标.【分析】(1)直线方程为(2x+y - 5) +入(x - 2y) =0,根据点A (5, 0)到I 的 距离为3,建立方程解出入值，即得直线方程.(2)先求出交点P 的坐标，当I 丄PA 时，点A (5, 0)至Ijl 的距离的最大值，故最大值为:PA ；【解答】解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为③当m2专时，有| $梟111解可得：2-©WmW2+近，1 -Wm,mW（2x+y - 5）+ 入（x - 2y） =0,即（2+入）x+ （1 - 2X） y - 5=0, 110+5X -5|・・•点A （5, 0）至lj I的距离为3,厂—二戸.7（2+入尸 + （1 - 2 入）z即2A2 - 5入+2=0,・・・入二2,或入寺・・・1方程为x=2或4x - 3y - 5=0. f2x+y - 5二0（2）由。

16.
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
与双曲线
C2
:
x2 m2
y2 n2
1(m 0, n 0) 有相同的焦点 F1, F2 ，其中
F1 为左焦点．点 P 为两曲线在第一象限的交点，e1、e2 分别为曲线 C1、C2 的离心率，若△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，则 e2﹣e1 的取值范围为_____． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 如图，圆 C 与 x 轴正半轴交于两点 A，B（B 在 A 的右方），与 y 轴相切
A． k 4 或 k 0 B． k 3 C． k 3 或 k 1 D． k 1
3
4
4
12.点 A 、 B
为椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 长轴的端点， C
、 D 为椭圆 E 短轴的端点，动点 M
满足
MA MB 2 ，若 MAB 面积的最大值为 8， MCD 面积的最小值为 1，则椭圆的离心率为
于点 M 0,1 ，已知 AB 2 3 .
（1）求圆 C 的标．准．方程； （2）求圆 C 在点 A 处的切线 l 的方程.
20.
设椭圆 M
：x2 a2
y2 b2
1a b 0 的离心率与双曲线 x2 y2
1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴
长为 4.
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）若直线 x 2 y m 交椭圆 M 于 A ， B 两点， P 2，1 为椭圆 M 上一点，求 PAB 面积的最大
联立
x2 3
y
y2 1

2019-2020学年四川省成都市成都市树德中学高二上学期期中数学（理）试题一、单选题1．与直线20x ++=垂直的直线的倾斜角为（ ）． A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】先求出直线的斜率,然后根据两直线垂直斜率之间的关系,可以求出与它垂直的直线的斜率,最后利用斜率与倾斜角之间的关系式,求出倾斜角即可. 【详解】20x y x +=⇒=,所以该直线的斜率为设与它垂直的直线的斜率为k ,所以有1k k =-⇒=,设与直线20x +=垂直的直线的倾斜角为α,则有tan 3παα=⇒=.故选：B 【点睛】本题考查了由直线方程求直线的斜率,考查了直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系,考查了两直线垂直时斜率之间的关系,考查了数学运算能力.2．命题“若220x y +=,则0x =且0y =”的等价命题是（ ）． A ．若0x ≠或0y ≠,则220x y +≠ B ．若0x =且0y =,220x y +≠ C ．若220x y +≠,则0x ≠或0y ≠ D ．若220x y +≠,则0x ≠且0y ≠【答案】A【解析】根据原命题与逆否命题是等价命题,按照逆否命题的定义直接写出即可. 【详解】因为原命题与逆否命题是等价命题,所以命题“若220x y +=,则0x =且0y =”的等价命题是若0x ≠或0y ≠,则220x y +≠. 故选：A本题考查了原命题的等价命题,本题考查了写出一个命题的逆否命题.3．若双曲线221y x m-=的一个顶点在抛物线212y x =的准线上，则该双曲线的离心率为（ ） ABC．D．【答案】B【解析】求出抛物线212y x =的准线，这样可以求出m 的值，进而可以求出双曲线的离心率. 【详解】∵抛物线212y x =的准线方程为12y =-，∴14m =，则离心率2e ==，故本题选B. 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.4．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.【解析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题． 5．下列说法正确．．的个数是（ ）． ①“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题； ②命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”是一个真命题； ③命题:p αβ≠,:sin sin q αβ≠,则p 是q 的必要不充分条件；④命题“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”． A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】说法①：按照逆命题的定义写出“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题,然后通过举特例可以判断该命题是不是真命题；说法②：根据原命题与逆否命题是等价命题,按逆否命题的定义写出命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”的逆否命题,然后根据等式的性质可以判断该命题是不是真命题；说法③：按照必要不充分条件的定义,结合正弦函数的性质可以判断p 是不是q 的必要不充分条件；说法④：根据含存在量词的命题否定的定义就可以判断“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是不是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”． 【详解】说法①：“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题是若m ,n 中至少有一个不小于2”,则4m n +≥,当3,0m n ==时,显然满足m ,n 中至少有一个不小于2”,但是得不到4m n +≥,所以本说法是错误的；说法②：命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”的逆否命题是若2a =且3b =则5a b +=,显然是真命题,因此原命题也是真命题,所以本说法是正确的；说法③：当0,αβπ==时，显然αβ≠成立,但是sin sin αβ≠不成立,故由:p αβ≠不一定能推出sin sin αβ≠成立,但是由sin sin αβ≠成立,一定能推出αβ≠,所以本说法是正确的；说法④：因为命题“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”,所以本说法是正确的.因此一共有3个说法是正确的. 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了写含存在量词的否定,考查了原命题、逆命题的真假.6．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的基本事件的个数，再求概率即可. 【详解】解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为13， 故选B. 【点睛】本题考查了古典概型，属基础题.7．为了解成都锦江区粮丰社区居民的家庭收入和年支出的关系,现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得x ,y 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+,其中ˆ0.78b =,由此估计该社区一户收入为14万元,家庭年支出为（ ）． A ．11.12万元 B ．12.02万元C ．11.02万元D ．12.12万元【答案】A【解析】求出,y x ,根据ˆ0.78b=,ˆˆa y bx =-,可以求出ˆa ,最后把14代入ˆˆˆy bx a =+中,求出家庭年支出. 【详解】5.87.88.18.49.98.38.69.911.112.18,1055y x ++++++++====.因此有ˆˆ80.78100.2ay bx =-=-⨯=,所以ˆ0.780.2y x =+,最后把14代入得, ˆ0.78140.211.12y=⨯+=. 故选：A 【点睛】本题考查了求几个数的平均数,本题考查了求线性回归方程,考查了线性回归方程的应用,考查了数学运算能力.8．已知在平面直角坐标系xOy 中,圆()()221:1216C x y -++=与圆()()222:31C x t y t -+--=交于点A ,B 两点,若AO BO =（O 为坐标原点）,则实数t 的值为（ ）． A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【解析】根据相交圆的几何性质和等腰三角形的性质可知：12,,O C C 在同一条直线上,得到t 的值,再检验两圆是否相交. 【详解】因为圆()()221:1216C x y -++=与圆()()222:31C x t y t -+--=交于点A ,B 两点,所以直线12C C 垂直平分线段AB ,又因为AO BO =,所以点A 在线段AB 的垂直平分线上,故12,,O C C 在同一条直线上, 圆()()221:1216C x y -++=的圆心坐标为1(1,2)C -,半径为4, 圆()()222:31C x t y t -+--=的圆心坐标为2(,3)C t t +,半径为1,所以直线1OC 的方程为2y x =-,把2(,3)C t t +的坐标代入,得321t t t +=-⇒=-,此时有123255C C =<<∴符合题意.故选：C【点睛】本题考查了两圆相交弦的性质,考查了等腰三角形的性质,考查了三点共线,考查了数学运算能力. 9．已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，的延长线交于点，且，，则直线的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，求得是的中点，且，过作于点，由抛物线的定义，得直线的倾斜角为，设直线交轴于点，由及是的中点，得，解得，即,进而求解直线的方程.【详解】 由题意，根据，，得是的中点，且.过作于点，则由抛物线的定义，得,所以，即直线的倾斜角为.设直线交轴于点，根据及是的中点，得.又，所以，即,因此直线的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及标准方程和几何性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义的转化作用，以及熟记抛物线的几何性质的应用是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．太极图被称为“中华第一图”．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极鱼”．已知()(){22,11A x y x y =+-≤或()22224110x y x y x ⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪++≥⎨⎬⎪⎪≤⎪⎪⎩⎭，下列命题中：①A 在平面直角坐标系中表示的区域的面积为3π2；②()00,x y A ∃∈，使得22000410x y x +-+=；③(),x y A ∀∈，都有22x y -≤+≤+点(),x y A ∈，则223x t x y -=--的取值范围是2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦．其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】集合A 表示的图形，分别分析选项，得到正确答案， ①根据图象，直接求判断集合A 的面积是圆面积的一半； ②转化为两圆是否相交问题； ③设2z x y =+，122z y x =-+，表示斜率为12-的直线，2z表示纵截距，转化为线性规划问题； ④变形为()22112312222x y x y y tx x x --+---===----，先求12y z x -=-的范围，最后求t 的范围.【详解】①如图，根据对称性可知，集合A 表示的面积占圆面积的一半，2114222S r πππ==⨯⨯=，故①不正确；②22000410x y x +-+=，整理为()2223x y -+=，以()2,0为圆心，r =的圆，与()2211x y +-=的圆的圆心距1d=<，可知两圆相交，有2个交点，所以()00,x y A ∃∈，使得22000410x y x +-+=，故②正确；③设2z x y =+，122z y x =-+，表示斜率为12-的直线，2z表示纵截距，如图，当直线与圆()2211x y +-=相切时，2z x y =+取得最大值，此时圆心到直线的距离1d ==，解得2z =2z =2z =z 的最大值是2，如图，当直线与224x y +=相切时，2z x y =+取得最小值，圆心到直线的距离2d ==，z =±z =z的最小值是z =-(),x y A ∀∈，都有22x y -≤+≤+成立，③正确；④()22112312222x y x y y tx x x --+---===----， 设12y z x -=-表示可行域内的点与点()2,1连线的斜率， 设()12y k x -=-，当直线与圆()2211x y +-=相切时，圆心到直线的距离1d ==，解得k =，如图可知k =，当直线过点()0,2-时，斜率()123202k --==-，其他满足条件的直线夹在这两直线之间，所以32z ≤≤，1222z ∴≤-≤+2t ≤≤，故④不正确.故只有②③正确.故选：B 【点睛】本题考查不等式，线性规划问题，圆与圆的位置关系的综合问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.11．双曲线22:13x C y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于P 、Q 两点,且190F PQ ∠=︒,则1F PQ 的内切圆半径等于（ ）．A -B 1-C 1D 【答案】D【解析】根据双曲线的定义和勾股定理可以计算出12PF PF +的值,最后再根据直角三角形内切圆半径公式和双曲线的定义可以求出1F PQ 的内切圆半径. 【详解】因为190F PQ ∠=︒,所以22212(216PF PF +==,而12PF PF -=可得12PF PF +=根据直角三角形内切圆半径,可得1F PQ 的内切圆半径等于111221222PF PQ FQ PF PF F Q FQ +-++-===故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了勾股定理的应用,考查了直角三角形内切圆的半径公式,考查了数学运算能力.12．如图，过抛物线24y x =焦点F 作直线l ，交抛物线于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，则22AB CD的最小值为（ ）A ．114B ．52CD【答案】D【解析】设出直线l 的方程，代入抛物线方程，求出线段PQ 的中点M 的坐标，以及圆M 的半径，然后表示出2AB ，2CD ，最后用换元法及基本不等式求出22AB CD的最小值. 【详解】由题意()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，代入24y x =，并消去x ，得2440y my --=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12124,4y y m y y +==-，1222y y m +=，代入2121x my m =+=+ ， ()22,21M m m ∴+，圆的半径1212r PQ y ==-=()221m ==+ 过点M 作MG AB ⊥，MH CD ⊥，则()()()()2222224244222161AB r MGm m m m ⎡⎤=-=+-=++⎢⎥⎣⎦， ()()()()22222222442221443CD r MHm m m ⎡⎤=-=+-+=+⎢⎥⎣⎦， ()()24222161443m m AB m CD++∴=+ ，令()2433m t t +=≥ ，234t m -=，22223312134444t t AB t t t t CD--⎛⎫++ ⎪-+⎝⎭∴=⨯=())11311221442t t ⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭，当13t t=时，等号成立，即t =∴22AB CD故选：D 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系的综合问题，意在考查逻辑推理和计算能力，属于中档难题，本题的关键是通过所设的直线，正确表示2AB 和2CD .二、填空题13．某协会有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,采用系统抽样法等间距样本，将全体会员随机按1200~编号,并按编号顺序平均分为40组（15~号,610~号,…,196200~号）,若第1组抽出的号码为3,则第6组抽出的号码是______． 【答案】28【解析】根据组数可以求出每组的人数,再根据第1组抽出的号码为3,这样就可以求出第k 组的号码,让6k =代入求值即可. 【详解】有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,因此每组5人,又因为第1组抽出的号码为3,所以第k 组的号码为5(1)352k k -+=-,当6k =时，可得28. 故答案为：28 【点睛】本题考查了系统抽样时计算抽出的号码问题,考查了数学运算能力. 14．已知函数()4f x x x=+，()2xg x t =+，若[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()21f x g x ≥，则实数t 的取值范围是______．【答案】1t ≤【解析】首先根据单调性求两个函数的值域，由题意可知()()max max f x g x ≥ 【详解】()4f x x x=+，在[]1,2上单调递减， ()()15,24f f == ， ()45f x ∴≤≤，()2x g x t =+，在[]1,2上单调递增，()()12,24g t g t =+=+ ()24t g x t ∴+≤≤+，若[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()21f x g x ≥，则()()max max f x g x ≥，即54t ≥+ ， 解得：1t ≤ . 故答案为：1t ≤ 【点睛】本题考查双变量任意，存在问题求参数的取值范围，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，一般对于双变量，若满足1x A ∀∈，2x B ∃∈，使()()12f x g x ≥，只需满足()()min min f x g x ≥ ，若是()()12f x g x ≤，只需满足()()max max f x g x ≤.15．已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，直线y =交双曲线C于A ，B 两点，若AF 、BF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=，则双曲线C 的离心率为______．1【解析】首先根据数形结合分析，FA FB ⊥，且O 是AB 的中点，所以OF OA =，直线与双曲线方程联立求点A 的坐标，根据22OF OA =，得到222222222333a b a b c b a b a∴+=--，再转化为关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由对称性可知原点O 是AB 的中点，又AF 、BF 的中点分别为M 、N ，//,//OM BF ON AF ∴， ∴四边形ONFM 是平行四边形，0OM ON ⋅=，OM ON ∴⊥ ，∴ 四边形ONFM 是矩形，FA FB ∴⊥,OF OA ∴=设(),A x y22221x y a b y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ ，解得2222222222333a b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩ ， 222222222333a b a b c b a b a∴+=-- ，即()2222243a b c b a =- ，222b c a =-， ()()22222244a c a c c a -=-4224840c a c a -+= ，两边同时除以4a ，得42840e e -+=，1e > ，)2241e ∴=+= ，∴1e =.1【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.16．已知向量1a =，2b =，则2a b a b ++-的取值范围为______． 【答案】3z ≤≤【解析】首先根据绝对值三角不等式求最小值，然后利用数量积求()()222254cos a b a b a b a b ++-=++-=+利用柯西不等式求最大值. 【详解】a b a b +≥+ 当a 与b 同向时，等号成立，()()2233a b a b a b a b a ∴++-≥++-==，当a b +与2a b -同向，即a 与b 同向时，确定最小值3，()()222254cos a b a b a b a b++-=++-=+ac bd +≤，当ad bc =时等号成立，上式1=≤==，解得1cos 2θ=-， 0θπ≤≤Q ，23θπ∴=，当a 与b 的夹角为23π时取得最大值∴原式的最大值是3z ∴≤≤【点睛】本题考查向量的模的范围，意在考查转化与化归和计算能力，公式a b a b +≤+既适应于实数，也适用于向量，柯西不等式注意变形.三、解答题17．已知圆C 过点()2,1A --，和直线10x y -+=相切，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 【答案】（1）()()22122x y +++=；（2）0x =或34y x =． 【解析】（1）根据条件设圆心(),2C a a ，圆心到直线10x y -+=的距离就是半径，CA r =， 待定系数法求圆的方程；（2）由弦长公式可知圆心到直线的距离1d =，所以分k 不存在和k 存在两种情况讨论求直线方程. 【详解】（1）设圆心为(),2C a a ，∴d ==1a =-．所以圆心()1,2--，r =C 的方程()()22122x y +++=．（2）2l =⇒=21d =， ①k 不存在时，0x =，满足条件1d =； ②k 存在时，设:l y kx =，1d ==，得34k =，所以3:4l y x =． 综上，直线l 的方程为0x =或34y x =． 【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程和求直线方程，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.18．设命题:p 实数m 满足240m am -+>；命题:q 曲线22115x y m m +=--表示双曲线．（1）若5a =，若p 为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）14m <≤；（2）4a <．【解析】（1）分别求两个命题表示的m 的取值范围，由题意可知，命题p 假q 真，列不等式求m 的取值范围；（2）根据逆否命题的等价性可知q 是p 的充分不必要条件，转化为在给定区间恒成立求参数，即4a m m ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，15m <<时恒成立，求a 的取值范围.【详解】（1）当5a =时，2540m m -+> ，解得：4m >或1m <，22115x y m m +=--表示双曲线，可知()()150m m --<，解得：15m <<， :4p m >或1m <；:15q m <<．由题意知，p 假q 真141415m m m ≤≤⎧⇒<≤⎨<<⎩．综上，14m <≤．（2）由条件得q 是p 的充分不必要条件， ∴()1,5m ∀∈，240m am -+>恒成立，4a m m ∴<+恒成立，当()1,5m ∈时， 即min4a m m ⎛⎫<+⎪⎝⎭， 44m m +≥，当4m m=时等号成立，解得2m = 所以4a <． 【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数和根据充分必要条件求参数，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.19．为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在[]50,100内,现将成绩按区间[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90，[]90,100进行分组,绘制成如下的频率分布直方图．青年组中老年组(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；(2)从青年组[)80,90,[]90,100的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自[]90,100分数段的概率．【答案】(1)中位数为80，平均数为73.5(2)310【解析】(1)根据中位数使得左右两边的面积相等,可以确定中位数,再根据在频率分布直方图计算平均数的方法计算即可求出平均数；(2) 求邮青年组[)80,90,[]90,100的分数段中答卷的份数,再求出抽取比例,最后确定两段中分别抽取的答卷份数, 记[)80,90中的3位市民为a ,b ,c ,[]90,100中的2位市民为x ,y ,列出可能出现的情况,最后求出选出的3位市民中有2位来自[]90,100分数段的概率． 【详解】解：(1)由青年组的频率分布直方图可知,前3个小矩形的面积和为0.5,后2个小矩形的面积和为0.5,所以中位数为80．中老年组成绩的平均数为()550.01650.03750.03850.025950.0051073.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．(2)青年组[)80,90,[]90,100的分数段中答卷分别为12份,8份, 抽取比例为511284=+,所以两段中分别抽取的答卷分别为3份,2份．记[)80,90中的3位市民为a ,b ,c ,[]90,100中的2位市民为x ,y , 则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：(),,a b c ,(),,a b x ,(),,a b y ,(),,a c x ,(),,a c y ,(),,a x y ,(),,b c x ,(),,b c y ,(),,b x y ,(),,c x y ．其中,有2位来自[]90,100的有3种：(),,a x y ,(),,b x y ,(),,c x y ． 所以所求概率310P =． 【点睛】本题考查了在频率分布直方图确定中位数和平均数的方法,考查了分层抽样的方法,考查了古典概型概率的求法.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>直线0x y +=过椭圆C 的右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过椭圆C 上顶点M 的直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ,B 两点,且1MA MB k k +=-．求证：直线l 恒过定点,并求出该定点．【答案】(1)2214x y +=；(2)证明见解析,过定点()2,1-.【解析】(1)根据直线0x y +=过椭圆C 的右焦点可以求出c 的值,再根据离心率的公式求出a 的值,根据,,a b c 之间的关系求出b ,最后写出椭圆方程即可； (2)求出上顶点M 的坐标,设()11,A x y ,()22,B x y ,利用斜率公式化简等式1MA MB k k +=-,最后将直线方程与椭圆方程联立,根据根与系数关系,最后得到21m k =--,进而可以确定直线l 恒过定点,也就求出该定点的坐标.【详解】解：(1)c =，22c e a a ==⇒=,1b =,椭圆C 的方程为2214x y +=；(2)上顶点()0,1M ,设()11,A x y ,()22,B x y ,12121111MA MB y y k k x x --+=-⇒+=-, 即()1212121211211kx m kx m x x k m x x x x +-+-++=+-=-．① 联立直线和椭圆得()222418440k x kmx m +++-=,12221282441x x km km x x m m +--==--,代入①式得,21m k =--, ∴:21l y kx m kx k =+=--恒过定点()2,1-． 【点睛】本题考查了求椭圆标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线过定点的判断,考查了数学运算能力.21．已知动圆过定点()0,1A ，在x 轴截得的弦长为2． （1）求动圆圆心的轨迹E 的方程；（2）若()0001,2P x y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭为轨迹E 上一动点，过点P 作圆()22:11C x y +-=的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点，求PMN 面积的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）22x y =；（2）2，()P ．【解析】（1）设(),E x y ，根据EA R =，弦长2l == ，所以221R y =+，利用2R 相等，转化成关于(),x y 的方程；（2）设过点P 且与圆C 相切的直线的方程为()00y y k x x -=-，首先表示纵截距00y y kx =-，然后利用直线与圆相切，有1d ==，表示为关于k 的二次方程，并且()001220211x y k k x -+=-，200122021y y k k x -=-，最后再表示面积()()201002001201122PMN S y k x y k x x k k x =---=-△，再求最值. 【详解】（1）设(),E x y ，根据EA R =()2221R x y ∴=+-弦长2l =⇒=，解得：221R y =+ ，()22211x y y ∴+-=+ ，整理为：22x y =,E ∴的轨迹方程为22x y =．（2）设过点P 且与圆C 相切的直线的方程为()00y y k x x -=-， 令0x =，得00y y kx =-，∴切线与y 轴的交点为()000,y kx -，而1d ==，整理得()()2220000012120x k x y k y y -+-+-=，012y >，∴201x >． 设两切线斜率为1k ，2k ，则()001220211x y k k x -+=-，200122021y y k k x -=- ∴()()201002001201122PMN S y k x y k x x k k x =---=-△， ∵()()()()2222200000122222200042414111y y x y y k k x x x ---=-=---， ∴0122021y k k x -=-，则200221PMN y S y =-△．令()0210y t t -=>，则012t y +=， ()221221121222t t t t f t t t t+⎛⎫ ⎪++⎝⎭===++而111222t t ++≥=，当且仅当122t t =，即1t =时，“＝”成立．此时，()P∴PMN S △的最小值为2，()P ． 【点睛】本题考查轨迹法求抛物线方程，以及直线，圆，抛物线三者的综合性问题，考查了转化与化归和计算，变形，化简能力，属于难题，本题第二问的关键是设直线()00y y k x x -=-，利用相切，有1d ==，表示为关于k 的二次方程，这样是求面积，化简面积的基础.22．已知抛物线21:1C y x =-与y 轴交于点M ,直线1:l y kx =与抛物线1C 交于点A ，B 两点．直线MA ,MB 分别交椭圆222:14x C y +=于点D 、E （D ,E 与M 不重合）(1)求证：MD ME ⊥； (2)若1732MAB MDE S S =△△,求直线1l 的斜率k 的值；(3)若O 为坐标原点,直线2l 交椭圆2C 于P ，Q ，若ON OP OQ =+,且14OP OQ k k ⋅=-,则22ON PQ +是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)32k =±；(3)是定值,22ON PQ +为定值10. 【解析】(1) 直线l 和抛物线方程联立,根据根与系数关系、斜率公式可以计算出1MA MB k k ⋅=-,也就证明出MD ME ⊥；(2)设出直线MA 的斜率,直线MB 的斜率,求出它们的直线方程,通过解一元二次方程组求出A ,B 的坐标,最后利用面积公式求出MAB S △的表达式,同理求出MDE S △的表达式,最后求出直线1l 的斜率k 的值；(3) 设()33,P x y ,()44,Q x y ,根据余弦定理和14OP OQ k k ⋅=-,可以得到又223344x y +=,224444x y +=.通过对两个等式进行移项相乘和两个等式相加,最后可以求出22ON PQ +的值为定值. 【详解】解：(1)由题意知,直线l 的方程为y kx =．由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=, 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1x ，2x 是上述方程的两个实根， 于是12x x k +=,121x x =-． 又点M 的坐标为()0,1-， 所以()()()2221212121212121211111111MA MBkx kx k x x k x x y y k k k k x x x x x x +++++++-++⋅=⋅====--故MA MB ⊥,即MD ME ⊥．(2)设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-，由1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，或1211x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为()211,1k k -． 又直线MB 的斜率为11k ，同理可得点B 的坐标为21111,1k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．于是，21111111122k S MA MB k k k +=⋅==．由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得()22111480k x k x +-=, 解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 又直线的斜率为11k ,同理可得点E 的坐标211221184,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 于是,()()()2112221132112144k k S MD ME k k +⋅=⋅=++． 因此，21122111174176432S k S k ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭． 由题意知,解得214k =或2114k =．又由点A ,B 的坐标可知,21211111111k k k k k k k -==-+,所以32k =±． (3)设()33,P x y ,()44,Q x y ,四边形OPNQ 为平行四边形， 由余弦定理有2222cos ONOP PN OP PN OPN =+-⋅⋅∠,2222cos PQ OP OQ OP OQ POQ =+-⋅⋅∠,两式相加得()22222ON PQ OP OQ +=+．又3434144OA OB k k x x y y ⋅=-⇒=-． 又223344x y +=,224444x y +=，上面两式移项相乘得()()222222223434343444164x xy y x x x x --==⇒+=,上面两式相加得()2222223434344441x x y y y y -+-=-+⇒+=． 所以()()2222222234342210ON PQ OP OQ xx y y +=+=+++=．因此22ON PQ +为定值10． 【点睛】本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系,考查了椭圆中定值问题,考查了数学运算能力和等式恒等变形能力.。

四川省成都市树德中学2018-2019学年上学期期末高二数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设a ∈R ，则“a=1”是“直线l 1：ax+2y ﹣1=0与直线l 2：x+（a+1）y+4=0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±2x ，则其离心率为（ ）A ．5B ．C ．D ．3．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（，）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＞1，则x ＞1”的否命题为“若x 2＞1，则x ≤1”B ．命题“若”的否定是“∀x ∈R ，x 2＜1”C ．命题“若x=y ，则co sx=cosy”的逆否命题为假命题D ．命题“若x=y ，则cosx=cosy”的逆命题为假命题5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A．B．C．D．6．在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．7．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7 B．5 C．4 D．3：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称10．点M是抛物线y2=x上的动点，点N是圆C1的曲线C上的一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．2 D．11．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26 C．30 D．3212．已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，] B．[2﹣3，+∞] C．[2﹣3，] D．[，]二、填空题（每小题5分，共20分）13．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．已知圆O 1：x 2+y 2=1，圆O 2：（x+4）2+（y ﹣a ）2=25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a= ．15．已知知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则= ．16．已知直线y=k （x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k 的所有可能取值构成集合A ；P （x ，y ）是椭圆+=1上一动点，点P 1（x 1，y 1）与点P 关于直线y=x+l 对称，记的所有可能取值构成集合B ，若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是 ． 三、解答题17．设命题p ：点（1，1）在圆x 2+y 2﹣2mx+2my+2m 2﹣4=0的内部；命题q ：直线mx ﹣y+1+2m=0（k ∈R ）不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．18．某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点，且|PF|=2．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；，直线（3）过原点的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1只有一个交点，求k的取值范围．与曲线C121．已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点．（1）若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值；（2）设直线AC的斜率为kAC ，直线BD的斜率为kBD，且kAC+4kBD=0，求证：直线AC过定点，并求此定点．22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．四川省成都市树德中学2018-2019学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．2．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D ．3．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（，）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据回归方程为=0.85x ﹣85.71，0.85＞0，可知A ，B ，C 均正确，对于D 回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A ，0.85＞0，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故正确；对于B ，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C ，∵回归方程为=0.85x ﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，故正确；对于D ，x=170cm 时， =0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg ，故不正确 故选D ．4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＞1，则x ＞1”的否命题为“若x 2＞1，则x ≤1”B ．命题“若”的否定是“∀x ∈R ，x 2＜1”C ．命题“若x=y ，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D ．命题“若x=y ，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；判断原命题的真假，进而可判断其逆否命题的真假；写出原命题的逆命题，可判断D．【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故D正确；故选：D5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由上程序框图，当运行程序后，写出每次循环x，y，z的值，当z＜20不成立，输出所求结果即可．【解答】解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B ．6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC ，CB 的长，则该矩形面积不小于9cm 2的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式，设AC=x ，则BC=10﹣x ，由矩形的面积S=x （10﹣x ）≥9可求x 的范围，利用几何概率的求解公式可求． 【解答】解：设AC=x ，则BC=10﹣x ， 矩形的面积S=x （10﹣x ）≥9， ∴x 2﹣10x+9≤0 解得1≤x ≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm 2的概率为P==．故选：A ．7．直线y=kx+3与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4相交于M 、N 两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】直线的倾斜角．【分析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=．利用|MN|=2，可得k的取值范围，由于k=tan θ，解出即可．【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．8．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D9．已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7 B．5 C．4 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，确定m的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，得y=x﹣z，即当z=﹣1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B10．点M是抛物线y2=x上的动点，点N是圆C：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称1的曲线C上的一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．2 D．【考点】关于点、直线对称的圆的方程；两点间的距离公式．【分析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆心坐标到抛物线上的坐标的距离的最小值，减去半径即可得到|MN|的最小值．【解答】解：圆C：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的圆的圆心坐标（3，0），1半径是1；设M的坐标为（y2，y），所以圆心到M的距离：，当y2=时，它的最小值为，则|MN|的最小值是：．故选A．11．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26 C．30 D．32【考点】椭圆的简单性质；循环结构．【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．故选D．12．已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，] B．[2﹣3，+∞] C．[2﹣3，] D．[，]【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．【解答】解：设PA与PB的夹角为2α，则|PA|=PB|=，∴y=•=|PA||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3，∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，∴•的最大值为=，∴•的范围为[2﹣3，]．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】由茎叶图知甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，由此能求出结果．【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a= ±2或0 ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出a，即可得出结论．【解答】解：∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，内切时， =4，外切时， =6，∴a=±2或0，故答案为±2或015．已知知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则= 4 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：+=1，﹣=1（a i ，b i ＞0，a 1＞b 1，i=1，2），a 12﹣b 12=a 22+b 22=c 2，c ＞0．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．可得m+n=2a 1，n ﹣m=2a 2，∠F 1PF 2=，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：（2c ）2=m 2+n 2﹣2mncos，化简整理由离心率公式即可得出．【解答】解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：+=1，﹣=1（a i ，b i ＞0，a 1＞b 1，i=1，2），a 12﹣b 12=a 22+b 22=c 2，c ＞0． 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ． 则m+n=2a 1，n ﹣m=2a 2， 解得m=a 1﹣a 2，n=a 1+a 2，由∠F 1PF 2=，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：（2c ）2=m 2+n 2﹣2mncos，∴4c 2=（a 1﹣a 2）2+（a 1+a 2）2﹣（a 1﹣a 2）（a 1+a 2）， 化为4c 2=a 12+3a 22，化为=4．故答案为：4．16．已知直线y=k （x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k 的所有可能取值构成集合A ；P （x ，y ）是椭圆+=1上一动点，点P 1（x 1，y 1）与点P 关于直线y=x+l 对称，记的所有可能取值构成集合B ，若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．【考点】几何概型．【分析】根据直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A ，B ，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵y=，∴x=y 2，代入y=k （x+）得y=k （y 2+），整理得ky 2﹣y+=0，直线y=k （x+）与曲线y=恰有两个不同交点，等价为ky 2﹣y+=0有两个不同的非负根，即△=1﹣k 2＞0，且＞0， 解得0＜k ＜1， ∴A={k|0＜k ＜1}．P 1（x 1，y 1）关于直线y=x+1的对称点为P （y 1﹣1，x 1+1），P 是椭圆+=l 上一动点，∴﹣4≤y 1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b ≤1，∴B={b|﹣1≤b ≤1}．∴随机的从集合A ，B 中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：．三、解答题17．设命题p ：点（1，1）在圆x 2+y 2﹣2mx+2my+2m 2﹣4=0的内部；命题q ：直线mx ﹣y+1+2m=0（k ∈R ）不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围． 【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p ，q 为真时的m 的范围，通过讨论p ，q 的真假，得到关于m 的不等式，取并集即可．【解答】解：点（1，1）在圆x 2+y 2﹣2mx+2my+2m 2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出分数在[70，80）内的频率．（2）利用频率分布直方图能求出中位数．（3）[60，70）分数段的人数为9人，[70，80）分数段的人数为18人．需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．由此利用列举法能求出从中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3…（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．…（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个…其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．…∴P（A）=．…19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点，且|PF|=2．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义可得，即p=2，可得抛物线的方程，结合题意可得椭圆中有4﹣n=1，解可得n的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；（2）联立抛物线、椭圆的方程，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解可得x的值，即可得A、B的坐标，进而可得双曲线的渐近线方程，由此设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0），结合抛物线的几何性质可得λ的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线C：y2=2px中，P到焦点距离等于P到准线距离，所以，p=2故抛物线的方程为C：y2=4x；又由椭圆，可知4﹣n=1，即n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为y=±x，由渐近线，可设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0）．由点P（1，m）在抛物线C：y2=4x上，解得m2=4，P（1，±2），因为点P在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过原点的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C，直线1与曲线C只有一个交点，求k的取值范围．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ，可得切线方程；（2）当直线l ⊥CN 时，弦长最短，可求直线l 的方程；（3）求出轨迹C 1，利用直线与曲线C 1只有一个交点，求k 的值．【解答】解：（1）圆C ：x 2+y 2﹣4x+3=0，即 （x ﹣2）2+y 2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为 y ﹣2=k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x ﹣4y ﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x ﹣4y ﹣1=0…（2）直线l ：2mx+2y ﹣1﹣3m=0恒过定点当直线l ⊥CN 时，弦长最短，此时直线的方程为x ﹣y ﹣1=0…（3）设点P （x ，y ），∵点P 为线段AB 的中点，曲线C 是圆心为C （2，0），半径r=1的圆，∴CP ⊥OP ，∴化简得（x ﹣1）2+y 2=1…由于点P 在圆内，由得x=所以C 1：（注：范围也可写成）…圆心到直线的距离d==1，∴，过（，）时，k=因为直线与曲线C 1只有一个交点，所以或…21．已知抛物线x 2=2py （p ＞0），其焦点F 到准线的距离为1．过F 作抛物线的两条弦AB 和CD （点A 、C 在第一象限），且M ，N 分别是AB ，CD 的中点． （1）若AB ⊥CD ，求△FMN 面积的最小值；（2）设直线AC 的斜率为k AC ，直线BD 的斜率为k BD ，且k AC +4k BD =0，求证：直线AC 过定点，并求此定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出M，N的坐标，可得S△FMN=|FM|•|FN|==，利用基本不等式求△FMN面积的最小值；（2）利用kAC+4kBD=0，得出x1x3=4，可得直线AC的方程，即可得出结论．【解答】（1）解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为y=kx+联立抛物线方程，得x2﹣2kx﹣1=0，，同理∴S△FMN=|FM|•|FN|==≥1当且仅当k=±1时，△FMN的面积取最小值1．…（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为y=kx+，联立抛物线方程，得x2﹣2kx﹣1=0，∴x1x2=﹣1，同理，x3x4=﹣1 …故kAC+4kBD===注意到点A、C在第一象限，x1+x3≠0，故得x1x3=4，…直线AC的方程为，化简得即所以，直线AC恒经过点（0，﹣2）…22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；轨迹方程．【分析】（1）由题意列关于P 的坐标的函数关系式，整理可得动点P 的轨迹C 的方程； （2）设直线AB 的方程为x=my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线系方程和椭圆方程，得到关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A 、B 中点的坐标，得到直线PQ 的，求出圆心与直线mx+2y=0的距离为，得到|PQ|．设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，可得2d=．结合题意化简可得2d=．代入得2d=．代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得四边形APBQ 面积的最大值．【解答】解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C 的方程是；（2）∵AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x=my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，得（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1=0．y 1+y 2=，y 1y 2=．x 1+x 2=m （y 1+y 2）﹣2=，于是AB 的中点为M （），故直线PQ 的斜率为﹣，PQ 的方程为y=﹣x ，即mx+2y=0，圆心与直线mx+2y=0的距离为，|PQ|=．设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，∴2d=．∵点A ，B 在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx 1+2y 1）（mx 2+2y 2）＜0，于是|mx 1+2y 1|+|mx 2+2y 2|=|mx 1+2y 1﹣mx 2﹣2y 2|，从而2d=．∵|y 1﹣y 2|==，∴2d=．故四边形APBQ 的面积S=|PQ|•2d=．令m 2+4=t （t ≥4），则S=（）．当，即时，．。