三角形的四大模型培训课件

人教版数学四年级下册三角形的分类PPT课件•三角形基本概念与性质•三角形分类方法及特点•三角形面积计算公式与应用•相似与全等三角形判定定理•直角三角形及其性质•三角形在生活中的应用举例三角形基本概念与性质由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形。

三角形的定义三角形的元素特殊三角形三角形的边、角、顶点、高、中线、角平分线等。

等腰三角形、等边三角形、直角三角形等。

030201三角形定义及元素三角形的三个内角之和等于180°。

三角形内角和定理通过测量或撕拼的方式验证三角形内角和定理。

验证方法利用三角形内角和定理求角度、判断三角形形状等。

应用举例三角形内角和定理三角形外角性质三角形外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

验证方法通过测量或推理的方式验证三角形外角性质。

应用举例利用三角形外角性质求角度、判断三角形形状等。

稳定性与不稳定性三角形的稳定性当三角形的三条边长确定时，三角形的形状和大小也就唯一确定了，这种性质叫做三角形的稳定性。

例如，在建筑、桥梁等工程中，经常利用三角形的稳定性来增强结构的稳固性。

三角形的不稳定性当三角形的边长或角度发生变化时，三角形的形状和大小也会随之改变，这种性质叫做三角形的不稳定性。

例如，在地震等自然灾害中，建筑物或桥梁等结构可能会因为受到外力作用而发生变形或破坏，其中就涉及到三角形的不稳定性。

三角形分类方法及特点03钝角三角形有一个角是钝角的三角形。

01锐角三角形三个角都是锐角的三角形。

02直角三角形有一个角是直角的三角形。

按角分类按边分类不等边三角形三边长度都不相等的三角形。

等腰三角形有两边长度相等的三角形。

等边三角形三边长度都相等的三角形。

特殊三角形介绍直角三角形中的等腰直角三角形既是直角三角形又是等腰三角形的特殊三角形。

等边三角形中的正三角形三边长度相等且三个角都是60度的特殊等边三角形。

等边三角形性质三边相等，三个内角都是60度，有三条对称轴。

专题11.12三角形中的几个重要几何模型（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【模型归纳】【模型一】燕尾模型如图：这样的图形称之为“燕尾模型”结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C【模型二】8字模型如图：这样的图形称之为“8字模型”结论：∠A+∠D=∠B+∠C【模型三】三角形角平分线（内分分模型）如图：这样的图形称之为“三角形双内角平分线模型”条件：BI、CI 为角平分线结论：01902BIC A ∠=+∠【模型四】三角形角平分线（内外分模型）如图：这样的图形称之为“三角形内外角平分线模型”条件：BP、CP 为角平分线结论：12P A ∠=∠【模型五】三角形角平分线（外外分模型）如图：这样的图形称之为“三角形双外角平分线模型”条件：BP、CP 为角平分线结论：01902P A ∠=-∠【模型六】角平分线+平行线模型条件：CP 平分∠ACB,DE 平行于BC结论：ED=EC第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】燕尾模型【例1】如图所示，已知四边形ABDC ，求证BDC A B C ∠=∠+∠+∠．【变式1】（2021九年级·全国·专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果52,25A B ︒︒∠=∠=，30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠=，那么F ∠的度数是（）．A ．72︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒【变式2】如图，A B C DE ∠+∠+∠+∠+∠=．【题型2】8字模型【例2】如图，求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.【变式1】如图，AB 和CD 相交于点O ，∠A ＝∠C ，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A ．∠B ＝∠D B ．∠1＝∠A ＋∠DC ．∠2＞∠D D ．∠C ＝∠D【变式2】下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ∠，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应（填“增加”或“减少”）度．【题型3】三角形的角平分线（内内分模型）【例3】（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，在△ABC 中，（1）如果AB =4cm ，AC =3cm ，BC 是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．（2）如果BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线．a 、当∠A =45°时，求∠BPC 的度数．b 、当∠A =x °时，求∠BPC 的度数．【变式1】如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF V 和CEF △都是等腰三角形②DE BD CE =+；③BF CF >；④若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2】如图，在ABC 中，已知70A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线OB 、OC 相交于点O ，则BOC ∠的度数为．【题型4】三角形的角平分线（内外分模型）【例4】如图，在△ABD 中，∠ABD 的平分线与∠ACD 的外角平分线交于点E ，∠A=80°，求∠E 的度数【变式1】如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的角平分线CA 2是∠A 1CD 的角平分线，BA 3是A 2BD ∠的角平分线，CA 3是∠A 2CD 的角平分线，若∠A 1=α，则∠A 2013为（）A ．2013αB ．20132αC ．2012αD ．20122α【变式2】如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，……以此类推，若A α∠=，则2020A ∠=．【题型5】三角形的角平分线（外外分模型）【例5】如图，已知在ABC ∆中，B ∠、C ∠的外角平分线相交于点G ，若ABC m ∠=︒，ACB n ∠=︒，求BGC ∠的度数.【变式1】如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠A =m ，则∠BOC =（）A ．B ．C ．D ．【变式2】如图，△ABC 中，分别延长△ABC 的边AB 、AC 到D 、E ，∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点P ，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：（1）若∠A ＝60°，则∠P ＝°；（2）若∠A ＝40°，则∠P ＝°；（3）若∠A ＝100°，则∠P ＝°；（4）请你用数学表达式归纳∠A 与∠P 的关系．【题型6】角平分线+平行线模型【例6】（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，在ABC 中，84A BO ∠=︒,平分ABC CO ∠，平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与,AB AC 分别相交于点M N ，．若6,8AB AC ==．（1）求BOC ∠的度数；（2）求AMN 的周长．【变式1】如图，△EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分∠EFG ，交线段EG 于点H ，若∠AEF ＝36°，∠BEG ＝57°，则∠EHF 的大小为（）A ．105°B ．75°C ．90°D ．95°【变式2】如图，EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分EFG ∠，交线段EG 于点H ，若36AEF ∠=︒，57BEG ∠=︒，则EHF ∠的大小为．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在ABC 中，1AE ，1BE 分别是内角CAB ∠、外角CBD ∠的三等分线，且113E AD CAB ∠=∠，113E BD CBD ∠=∠，在1ABE 中，2AE ，2BE 分别是内角1E AB ∠，外角1E BD ∠的三等分线．且2113E AD E AB ∠=∠，2113E BD E BD ∠=∠，…，以此规律作下去．若C m ∠=︒．则n E ∠=度．【例2】（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，AB CF ，AD CE ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°【例3】（2020·北京·中考真题）如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1＞∠4+∠5D ．∠2＜∠52、拓展延伸【例1】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A B C ∠∠∠、、之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY XZ 、恰好经过点B 、C ，若50A ∠=︒，直接写出ABX ACX ∠+∠的结果；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50,130DAE DBE ∠=︒∠=︒，求DCE ∠的度数；③如图4，,ABD ACD ∠∠的10等分线相交于点291G G G 、、、 ，若1140,77BDC BG C ∠=︒∠=︒，求A ∠的度数．【例2】如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ．（1）如果∠A ＝70°，求∠BPC 的度数；（2）如图②，作△ABC 外角∠MBC ，∠NCB 的角平分线交于点Q ，试探索∠Q ，∠A 之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP ，QC 交于点E ，在△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A 的度数．。

专题11.12三角形中的几个重要几何模型（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【模型归纳】【模型一】燕尾模型如图：这样的图形称之为“燕尾模型”结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C【模型二】8字模型如图：这样的图形称之为“8字模型”结论：∠A+∠D=∠B+∠C【模型三】三角形角平分线（内分分模型）如图：这样的图形称之为“三角形双内角平分线模型”条件：BI、CI 为角平分线结论：01902BIC A ∠=+∠【模型四】三角形角平分线（内外分模型）如图：这样的图形称之为“三角形内外角平分线模型”条件：BP、CP 为角平分线结论：12P A ∠=∠【模型五】三角形角平分线（外外分模型）如图：这样的图形称之为“三角形双外角平分线模型”条件：BP、CP 为角平分线结论：01902P A ∠=-∠【模型六】角平分线+平行线模型条件：CP 平分∠ACB,DE 平行于BC结论：ED=EC第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】燕尾模型【例1】如图所示，已知四边形ABDC ，求证BDC A B C ∠=∠+∠+∠．【答案】见解析【分析】方法1连接BC ，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线AD ，根据三角形的外角性质得到31B ∠=∠+∠，42C ∠=∠+∠，两式相加即可得到结论；方法3延长BD ，交AC 于点E ，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．解：方法1如图所示，连接BC .在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠= ，即12180A ABD ACD ∠+∠+∠+∠+∠= .在BCD △中，12180BDC ∠+∠+∠= ，++BDC A ABD ACD ∴∠=∠∠∠；方法2如图所示，连接AD 并延长.3∠ 是ABD △的外角，31+ABD ∴∠=∠∠.同理，42ACD ∠=∠+∠.3412ABD ACD ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠.即BDC A ABD ACD ∠=∠+∠+∠.方法3如图所示，延长BD ，交AC 于点E .DEC ∠ 是ABE 的外角，DEC A ABD ∴∠=∠+∠.BDC ∠ 是DEC 的外角，BDC DEC ACD ∴∠=∠+∠.BDC A ABD ACD ∴∠=∠+∠+∠.【点拨】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．【变式1】（2021九年级·全国·专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果52,25A B ︒︒∠=∠=，30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠=，那么F ∠的度数是（）．A ．72︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒【答案】B 【分析】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，根据三角形内角和定理求出,BOC ∠再利用邻补角的性质求出DEO ∠，再根据四边形的内角和求出DFO ∠，根据邻补角的性质即可求出DFC ∠的度数．解：延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，如图，∵180,OAB B AOB ∠+∠+∠=︒∴180,AOB B OAB ∠=︒-∠-∠同理得180,AOC OAC C ∠=︒-∠-∠∵360,AOB AOC BOC ∠+∠+∠=︒∴360BOC AOB AOC∠=︒-∠-∠360(180)(180)B OAB OAC C =︒-︒-∠-∠-︒-∠-∠107,B C BAC =∠+∠+∠=︒∵72,BED ∠=︒∴180108,DEO BED ∠=︒-∠=︒∴360DFO D DEO EOF∠=︒-∠-∠-∠36035108107110,=︒-︒-︒-︒=︒∴180********DFC DFO ∠=︒-∠=︒-︒=︒,故选：B ．【点拨】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180(2)n ︒-．【变式2】如图，A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=．【答案】180︒/180度【分析】连接CE ，根据三角形内角和定理得到A B OEC OCE ∠+∠=∠+∠，然后根据三角形内角和定理求解．解：如图所示，连接CE ，∵180A B AOB ∠+∠+∠=︒，180OEC OCE COE ∠+∠+∠=︒，AOB COE∠=∠∴A B OEC OCE ∠+∠=∠+∠，∵DEC DEO OEC ∠=∠+∠，DCE DCO OCE ∠=∠+∠，∴A B ACD D DEB∠+∠+∠+∠+∠OCE OEC ACD D DEB=∠+∠+∠+∠+∠()()OCE ACD OEC DEB D=∠+∠+∠+∠+∠DCE DEC D=∠+∠+∠180=︒．故答案为：180︒．【点拨】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．【题型2】8字模型【例2】如图，求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.【答案】360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒.【分析】连接CD ，将A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠转化为四边形CDEF 的内角和即可求出答案.解：如图所示，连接CD .由对顶三角形得，A B ACD BDC ∠+∠=∠+∠，∴A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠360CDE DCF E F =∠+∠+∠+∠=︒.【点拨】本题考查了三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是解题的关键.【变式1】如图，AB 和CD 相交于点O ，∠A ＝∠C ，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A ．∠B ＝∠DB ．∠1＝∠A ＋∠DC ．∠2＞∠D D ．∠C ＝∠D【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．解：∵∠A ＋∠AOD ＋∠D ＝180°，∠C ＋∠COB ＋∠B ＝180°，∠A ＝∠C ，∠AOD ＝∠BOC ，∴∠B ＝∠D ，∵∠1＝∠2＝∠A ＋∠D ，∴∠2＞∠D ，故选项A ，B ，C 正确，故选D ．【点拨】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．【变式2】下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ∠，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应（填“增加”或“减少”）度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点拨】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．【题型3】三角形的角平分线（内内分模型）【例3】（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，在△ABC中，（1）如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．（2）如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．【答案】(1)13cm(2)a、112.5°；b、90°＋12 x°【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6cm，再求出周长为13cm．（2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC．解：（1）∵AB=4cm，AC=3cm∴1＜BC＜7∴BC=6cm∴三角形的周长为：C△ABC=AB+AC+BC=4+3+6=13cm（2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135°∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+12∠ACB =12(∠ABC+∠ACB)=12×135°=67.5°∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−67.5°=112.5°b 、当∠A =x °时，由三角形的内角和可知：∠ABC +∠ACB =180°−∠A =180°−x °∵BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠PBC =12∠ABC ，∠PCB =12∠ACB∴∠PBC +∠PCB =12∠ABC +12∠ACB =12(∠ABC +∠ACB )=12×(180°−x °)=90°−12x °∴∠BPC =180°−(∠PBC +∠PCB )=180°−(90°−12x °)=90°＋12x °【点拨】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想．【变式1】如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDFV和CEF△都是等腰三角形②DE BD CE=+；③BF CF>；④若80ABFC∠=︒．∠=︒，则130其中正确的有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．解：①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∵DE∥BC，∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等），∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∴DB=DF，EF=EC，∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，∴①选项正确，符合题意；②∵DE=DF+FE，∴DB=DF，EF=EC，∴DE=DB+CE，∴②选项正确，符合题意；③根据题意不能得出BF＞CF，∴④选项不正确，不符合题意；④∵若∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∴∠CBF+∠BCF=12×100°=50°，∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，∴④选项正确，符合题意；故①②④正确．故选C【点拨】等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系，解题关键是逐个判断选项即可得出正确答案．【变式2】如图，在ABC 中，已知70A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线OB 、OC 相交于点O ，则BOC ∠的度数为．【答案】125︒【分析】根据三角形的内角和定理求出ABC ACB ∠+∠，再根据角平分线的定义求出OBC OCB ∠+∠，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.解：在ABC 中,180 ********ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵ABC ∠与ACB ∠的角平分线,BO CO 相交于点O ，∴()111105522OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，在BOC 中,()1 801 80 55 1 25BOC OBC OCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故答案为:125︒.【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.【题型4】三角形的角平分线（内外分模型）【例4】如图，在△ABD 中，∠ABD 的平分线与∠ACD 的外角平分线交于点E ，∠A=80°，求∠E 的度数【答案】40°【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x ，∠ACE=∠ECD=y ，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．解：由题意：设∠ABE=∠EBC=x ，∠ACE=∠ECD=y ，则有2=2=y x A y x E +∠⎧⎨+∠⎩①②，①-2×②可得∠A=2∠E ，∴∠E=12∠A=40°．【点拨】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．【变式1】如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的角平分线CA 2是∠A 1CD 的角平分线，BA 3是A 2BD ∠的角平分线，CA 3是∠A 2CD 的角平分线，若∠A 1=α，则∠A 2013为（）A ．2013αB ．20132αC ．2012αD ．20122α【答案】D解：∵BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，又∵∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∴∠A 1BC+∠A 1=12(∠A+∠ABC)=12∠A+12∠ABC=12∠A+∠A 1BC ，∴∠A 1=12∠A ；,同理可得：∠A 2=12∠A 1=2α，∠A 3=12∠A 2=4α，L ，∠A n =12∠A n-1=12n α-，∴∠A 2013=20122α.故选D ．点拨：利用三角形外角的性质和三角形内角和定理结合角平分线的定义推导得到∠A 1和∠A 的关系是解这道题的关键，由此可推导出∠A 2与∠A 1的关系，进一步推广到∠A n 和∠A n-1的关系就可找到规律求得∠A 2013.【变式2】如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，……以此类推，若A α∠=，则2020A ∠=．【答案】20202α【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，整理即可得解112A A ∠=∠，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．解：∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A1，∴∠A1=12∠A ，∵∠A=α．∠A1=12∠A=12α，同理可得∠A2=12∠A1=212α，根据规律推导，∴2020A ∠=20202α，故答案为20202α．【点拨】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．【题型5】三角形的角平分线（外外分模型）【例5】如图，已知在ABC ∆中，B ∠、C ∠的外角平分线相交于点G ，若ABC m ∠=︒，ACB n ∠=︒，求BGC ∠的度数.【答案】()12BGC m n ∠=+ 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在BCG ∆中，∠BGC=180°-（12∠EBC+12∠BCF ）=180°-12（∠EBC+∠BCF ）=180°-12（180°-∠ABC+180°-∠ACB ）=180°-12（180°-m°+180°-n°）；=()12+ m n 【点拨】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．【变式1】如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠A =m ，则∠BOC =（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形的内角和，可得∠ABC+∠ACB，根据角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根据角平分线的定义，可得∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和，可得答案．解：如图：，由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m，由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m，由∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，得∠OBC+∠OCB=12（∠DBC+∠BCE）=90°+12m，由三角形的内角和，得∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-12 m．故选：B．【点拨】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义是解题关键．【变式2】如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：（1）若∠A＝60°，则∠P＝°；（2）若∠A＝40°，则∠P＝°；（3）若∠A＝100°，则∠P＝°；（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系．【答案】（1）65；（2）45；（3）40；（4）∠P =90°-12∠A【分析】（1）若∠A =50°，则有∠ABC +∠ACB =130°，∠DBC +∠BCE =360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC +∠PCB 的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P 的度数；（2）、（3）和（1）的解题步骤类似．解：（1）∵∠A =50°，∴∠ABC +∠ACB =180°-50°=130°，∴∠DBC +∠BCE =360°-130°=230°，∵BP ，CP 分别为∠CBD 与∠BCE 的平分线，∴12CBP CBD ∠=∠，12BCP BCE ∠=∠，∴()11152CBP BCP CBD BCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴()18065P CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒；（2）∵∠A =40°，∴∠ABC +∠ACB =180°-40°=140°，∴∠DBC +∠BCE =360°-140°=220°，∵BP ，CP 分别为∠CBD 与∠BCE 的平分线，∴12CBP CBD ∠=∠，12BCP BCE ∠=∠，∴()11102CBP BCP CBD BCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴()18070P CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒；（3）∵∠A =100°，∴∠ABC +∠ACB =180°-100°=80°，∴∠DBC +∠BCE =360°-80°=280°，∵BP ，CP 分别为∠CBD 与∠BCE 的平分线，∴12CBP CBD ∠=∠，12BCP BCE ∠=∠，∴()11402CBP BCP CBD BCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴()18040P CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒；（4）∠ABC +∠ACB =180°-∠A ，∴()360180DBC BCE ABC ACB A ∠+∠=︒-∠+∠=︒+∠，∵BP ，CP 分别为∠CBD 与∠BCE 的平分线，∴12CBP CBD ∠=∠，12BCP BCE ∠=∠，∴()119022CBP BCP DBC BCE A ∠+∠=∠+∠=︒+∠，∴()1180902P CBP BCP A ∠=︒-∠+∠=︒-∠．故答案为：∠P =90°-12∠A ．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义．【题型6】角平分线+平行线模型【例6】（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，在ABC 中，84A BO ∠=︒,平分ABC CO ∠，平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与,AB AC 分别相交于点M N ，．若6,8AB AC ==．（1）求BOC ∠的度数；（2）求AMN 的周长．【答案】(1)132︒(2)14【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线定义，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先利用三角形内角和定理及角平分线定义得出1902OBC OCB A ∠+∠=︒-∠，再根据内角和定理求解即可；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证明MO BM =，NO NC =，进而求解即可．（1）解：180A ABC ACB ，Ð+Ð+Ð=°180ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，()()111111809022222OBC OCB ABC ACB ABC ACB A A \�����窗-��，()11809090421322BOC OBC OCB A \Ð=°-Ð+Ð=°+Ð=°+°=°；（2）解：BO 平分ABC ∠，ABO CBO ∴∠=∠，MN BC ∥ ，MOB CBO ∴∠=∠，ABO MOB ∴∠=∠，MO BM ∴=，同理可得：NO NC =，AM MN AN AM MO ON AN AM BM AN NC AB AC ∴++=+++=+++=+，6,8AB AC == ，AMN ∴ 的周长=14AB AC +=．【变式1】如图，△EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分∠EFG ，交线段EG 于点H ，若∠AEF ＝36°，∠BEG ＝57°，则∠EHF 的大小为（）A ．105°B ．75°C ．90°D ．95°【答案】B 【分析】首先根据∠AEF =36°，∠BEG =57°，求出∠FEH 的大小；然后根据AB ∥CD ，求出∠EFG 的大小，再根据FH 平分∠EFG ，求出∠EFH 的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF 的大小为多少即可．解：∵∠AEF =36°，∠BEG =57°，∴∠FEH=180°-36°-57°=87°；∵AB ∥CD ，∴∠EFG=∠AEF=36°，∵FH 平分∠EFG ，∴∠EFH =12∠EFG =12×36°=18°，∴∠EHF =180°-∠FEH -∠EFH =180°-87°-18°=75°．故选：B ．【点拨】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．【变式2】如图，EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分EFG ∠，交线段EG 于点H ，若36AEF ∠=︒，57BEG ∠=︒，则EHF ∠的大小为．【答案】75°．【分析】首先根据∠AEF =36°，∠BEG =57°，求出∠FEH 的大小；然后根据AB ∥CD ，求出∠EFG 的大小，再根据FH 平分∠EFG ，求出∠EFH 的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF 的大小为多少即可．解：∵∠AEF =36°，∠BEG =57°∴∠FEH=180°-∠AEF-∠BEG=87°∵//AB CD∴∠EFG=∠AEF=36°∵FH 平分∠EFG∴∠EFH=12∠EFG=18°∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=75°故答案为：75.︒【点拨】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在ABC 中，1AE ，1BE 分别是内角CAB ∠、外角CBD ∠的三等分线，且113E AD CAB ∠=∠，113E BD CBD ∠=∠，在1ABE 中，2AE ，2BE 分别是内角1E AB ∠，外角1E BD ∠的三等分线．且2113E AD E AB ∠=∠，2113E BD E BD ∠=∠，…，以此规律作下去．若C m ∠=︒．则n E ∠=度．【答案】13nm 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先分别对1,ABC E AB △△运用三角形的外角定理，设1E AD α∠=，则3CAB α∠=，1E BD β∠=，则3CBD β∠=，得到1E βα=+∠，33C βα=+∠，同理可求：2211133E E C ⎛⎫∠=∠=∠ ⎪⎝⎭，所以可得13n n E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭．解：如图：∵113E AD CAB ∠=∠，113E BD CBD ∠=∠，∴设1E AD α∠=，1E BD β∠=，则3CAB α∠=，3CBD β∠=，由三角形的外角的性质得：1E βα=+∠，33C βα=+∠，∴113E C ∠=∠，如图：同理可求：2113E E ∠=∠，∴2213E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭，……，∴13nn E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭，即13n nE m ∠=︒，故答案为：13n m ．【例2】（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，AB CF ，AD CE ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°【答案】B 【分析】连接AC 并延长交EF 于点M ．由平行线的性质得31∠=∠，24∠∠=，再由等量代换得3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，先求出FCE ∠即可求出A ∠．解：连接AC 并延长交EF 于点M ．AB CF ，31∴∠=∠，AD CE ，24∴∠=∠，3412BAD FCE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，180180805050FCE E F ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ，50BAD FCE ∴∠=∠=︒，故选B ．【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．【例3】（2020·北京·中考真题）如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1＞∠4+∠5D ．∠2＜∠5【答案】A 【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．解：由两直线相交，对顶角相等可知A 正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B 选项为∠2＞∠3，C 选项为∠1=∠4+∠5，D 选项为∠2＞∠5．故选：A ．【点拨】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．2、拓展延伸【例1】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A B C ∠∠∠、、之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY XZ 、恰好经过点B 、C ，若50A ∠=︒，直接写出ABX ACX ∠+∠的结果；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50,130DAE DBE ∠=︒∠=︒，求DCE ∠的度数；③如图4，,ABD ACD ∠∠的10等分线相交于点291G G G 、、、 ，若1140,77BDC BG C ∠=︒∠=︒，求A ∠的度数．【答案】(1)BDC A B C ∠=∠+∠+∠，见解析(2)①40︒；②90︒；③70︒【分析】（1）首先连接AD 并延长，然后根据外角的性质，即可判断出BDC A B C ∠=∠+∠+∠；（2）①由（1）可得ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠，然后根据40A ∠=︒，90BXC ∠=︒，即可求出ABX ACX ∠+∠的值；②由（1）可得DBE DAE ADB AEB ∠=∠+∠+∠，再根据50,130DAE DBE ∠=︒∠=︒，求出ADB AEB ∠+∠的值；然后根据()12DCE ADB AEB DAE ∠=∠+∠+∠，即可求出DCE ∠的度数；③设1ABG x ∠=︒，1ACG y ∠=︒，结合已知可得10ABD x ∠=︒，10ACD y ∠=︒，再根据（1）可得77A x y ∠+︒+︒=︒，1010140A x y ∠+︒+︒=︒，即可判断出A ∠的度数．解：（1）解：BDC A B C ∠=∠+∠+∠，理由如下：如图，连接AD 并延长．根据外角的性质，可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠，又∵BDC BDF CDF ∠=∠+∠，BAC BAD CAD ∠=∠+∠，∴BDC A B C ∠=∠+∠+∠，故答案为：BDC A B C ∠=∠+∠+∠；（2）①由（1）可得ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠，∵50A ∠=︒，90BXC ∠=︒，∴905040ABX ACX ∠+∠=︒-︒=︒；②由（1）可得DBE DAE ADB AEB ∠=∠+∠+∠，∴1305080ADB AEB DBE DAE ∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴()8024120ADB AEB ∠+∠=︒÷=︒，∴()50490120DCE ADB AEB DAE ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒；③设1ABG x ∠=︒，1ACG y ∠=︒，则10ABD x ∠=︒，10ACD y ∠=︒，则77A x y ∠+︒+︒=︒，1010140A x y ∠+︒+︒=︒，解得7x y +=︒，所以77770A ∠=︒-︒=︒，即A ∠的度数为70︒．【点拨】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．【例2】如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ．（1）如果∠A ＝70°，求∠BPC 的度数；（2）如图②，作△ABC 外角∠MBC ，∠NCB 的角平分线交于点Q ，试探索∠Q ，∠A 之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP ，QC 交于点E ，在△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A 的度数．【答案】(1)125︒(2)1902Q A ∠=︒-∠(3)∠A 的度数是45︒或60︒或120︒或135︒【分析】（1）在△ABC 中，根据三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB =110°，根据角平分线的定义得出∠PBC ＝12∠ABC ，∠PCB ＝12∠ACB ，求出∠PBC +∠PCB =55°，再在△BPC 中，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据三角形外角性质得出∠MBC ＝∠ACB +∠A ，∠NCB ＝∠ABC +∠A ，求出∠MBC +∠NCB ＝∠ACB +∠A +∠ABC +∠A ＝180°+∠A ，根据角平分线的定义得出QBC ＝12∠MBC ，∠QCB ＝12∠NCB ，求出∠QBC+∠QCB＝90°+12∠A，根据三角形内角和定理求出即可；（3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可解：（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝55°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC＝12∠MBC，∠QCB＝12∠NCB，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A，∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12∠A；（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠BC+2∠E，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12∠A，∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12 MBC＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．【点拨】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．。

初中几何模型系列之（三）三角形四大模型
全面完整版+例题解析
第一部分模型展示
一、八字模型：二、飞镖模型：
证明的过程很简单，请同学们思考一下吧!
模型展示
三、角平分线模型
角平分线模型包含三种类型，1.两内角的角平分线相交于一点；2.两外角的角平分线相交于一点；3.一条内角和一个外
模型展示
四、角平分线&高线模型
注意：此模型要注意，在此结论三个角的关
系中，∠ B和∠ C之间永远是大角-小角。

第二部分例题解析
点评：此题既可用
8字模型又可用飞
镖模型，同学们一
定要仔细观察！
点评：此题既可用8字模型又可用飞镖模型，同学们
点评：此题用到8字模型的一种特殊情况，大家要体会这种情况！
点评：此题用到两次飞镖模型，大家在做题时要注意构造模型
点评：此题用到两次飞镖模型，大家在做题时要注意观察
点评：此题属于角平分线中两外角平分线相交于一点的情况
例题解析
点评：此题标准的角平分线
+高线模型，第一问的计算
过程实际上就是对第二问的
铺垫
Network Optimization Expert Team
第三部分课后练习
Network Optimization Expert Team。