根轨迹绘制的基本规则PPT课件
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根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
第四章-根轨迹法PPT课件
i1 n
1
|spj |
j1
G(s)H(s) （s z1）（s z2） （szm）
（s p1）（s p2） （s pn）
m
n
(szi)(s pj)
i1
j1
(2l 1) 180 l360 l 0,1,2,
2021
4
1.根轨迹的分支数
m
k(szi)
特征方程式1G(s)H(s)1
i1 n
0
(spj)
第四章 根轨迹法
根轨迹法是求闭环极点的图解方法，已知开环零、极点， 研究某一参数变化对闭环极点的影响趋势。
Im
Re
-2
-1 -0.423
2021
1
R(s)
K
Y(s) G(s) 2K k
s(0.5 s 1)
s(s2) s(s2)
两个开环极点p1 0, p2 2
( s ) Y R ( ( s s ) ) s 2 2 k s kD ( s ) s 2 2 s k 0s 1 ,2 1 1 k
满足上式的条件是什么？
1. s = zi 2. |s|→∞
规则3.根轨迹起始于开环极点，终止于开环零
点。若 n > m，还有n-m 条根轨迹终止于s
平面无穷远处。
2021
8
4.根轨迹的渐近线
若m < n ,当 k →∞时有 n-m 条根轨迹沿着 n-m 条渐近线
趋于s平面无穷远处。
n
m
pj zi
渐 近 线 在 实 轴 交 于 一 点 j1 i1
幅 值 条 件 | G ( s ) H ( s )| k |s z 1 ||s z 2 | |s z m | 1 讨 论 nm,k 的 情 况 |, s p 1 ||s p 2 | |s p n | |sz1||sz2| |szm| 10 , k 时 |sp1||sp2| |spn| k
绘制根轨迹的基本法则PPT课件
分离点的坐标d是可由如下方法确定：
(1)公式法（凑试法）
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
12
第12页/共85页
(2)重根法
闭环特征方程： 1 K * M (s) 0
N (s)
即： N(s) K *M (s) 0
F(s) N(s) K *M (s)
F(s) N(s) K *M (s) 0 F (s) N (s) K *M (s) 0
30
第30页/共85页
【例单位负反馈系统开环传递函数如下，绘制其根
轨迹
K* GK (s) s(s 3)(s2 2s 2)
解：1）绘制零极点分布
（1）(,2)有根轨迹，且有会合点，分离角为 90
1
1
1
2.5
2
d 2 d 1 j d 1 j
1.5
d 2 2 3.414
1
d=-3.414
0.5
p1=-1+j
Imaginary Axis
尝试其它方法
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
20
Real Axis
模值条件：
n
(s pj )
K*
j1 m
(s z j )
i1
29
第29页/共85页
绘制根轨迹基本步骤
• 计算开环极点、零点，并标注 • 确定根轨迹分支数 • 确定根轨迹起点和终点 • 确定实轴上的根轨迹 • 确定渐近线 • 确定分离点或会合点 • 确定初始角和终止角 • 确定与虚轴的交点 • 计算要求的参数
《根轨迹分析法》课件
《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法，通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。
本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内，使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。
2.1.2 根轨迹的性质（1）根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹，反映了闭环系统的稳定性。
（2）根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。
（3）根轨迹的分布与系统参数有关，通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。
2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤（1）确定系统开环传递函数。
（2）画出开环传递函数的极点和零点。
（3）根据系统参数的变化，绘制出根轨迹。
（4）分析根轨迹的形状，判断闭环系统的稳定性。
2.2.2 根轨迹的绘制技巧（1）利用软件工具，如MATLAB，自动绘制根轨迹。
（2）手动绘制根轨迹时，注意利用对称性和周期性简化绘制过程。
2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹，可以确定控制器参数，使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。
2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合，从而优化系统的性能。
2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障，为故障诊断提供依据。
3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
通过学习本课件，您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性，并掌握绘制根轨迹的基本方法。
希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。
科学性：1. 内容准确：课件内容基于控制理论的基本原理，准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。
2. 逻辑清晰：课件从基本概念入手，逐步深入到方法介绍和应用实例，逻辑结构清晰，易于理解。
3. 实例典型：课件中提供了控制系统的实例，帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。
第4章根轨迹PPT
轨迹
第四章 根 轨 迹 法
4.1 根轨迹的概念 4.2 绘制根轨迹的依据 4.3 绘制根轨迹的基本法则
4.4 参数根轨迹和多回路系统根轨迹
4.5 正反馈根轨迹 4.6 滞后系统的根轨迹 4.7 根轨迹的应用 4.8 计算机绘制根轨迹
小结
轨迹
§4—1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义 如图所示一般闭环系统的闭 环传递函数为
另外，必须指出，用上式求出的点不一定都是分离点或 会合点，还必须满足特征方程或用相应的规则来检验。
轨迹
例4.1的分离点和汇合点
s( s 4)( s 2 2s 2) kg ( s 5)
dk g ds 0
得到-5.93,-3.38,-0.67+j0.46,-0.67-j0.46
轨迹
§4—4
一、参数根轨迹
参数根轨迹和多回路根轨迹
＊参数根轨迹：系统闭环极点随Kg以外的参数变化而变化的
轨迹。
＊绘制方法：把特征方程作等效处理，把要研究迹的绘制方法，进行绘制。
例4.2 单位反馈系统开环传递函数为
＊
绘制以a为变量的根轨迹。并分析a与系统性能的关系。
＊
软实验
轨迹
§4—5 正反馈系统的根轨迹
一、正反馈系统的特征方程 传递函数
Y ( s) G1 ( s) G( s) X ( s) 1 G1 ( s) H ( s)
X(s)
G1(S) H(S)
Y(s)
特征方程
1 G1 (s) H (s) 1 G0 (s) 0
简写为
G0 ( s) 1
轨迹
§4—2 绘制根轨迹的依据和条件
根轨迹的绘制依据是特征方程，根据特征方程可以得出比
第四章 根 轨 迹 法
4.1 根轨迹的概念 4.2 绘制根轨迹的依据 4.3 绘制根轨迹的基本法则
4.4 参数根轨迹和多回路系统根轨迹
4.5 正反馈根轨迹 4.6 滞后系统的根轨迹 4.7 根轨迹的应用 4.8 计算机绘制根轨迹
小结
轨迹
§4—1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义 如图所示一般闭环系统的闭 环传递函数为
另外，必须指出，用上式求出的点不一定都是分离点或 会合点，还必须满足特征方程或用相应的规则来检验。
轨迹
例4.1的分离点和汇合点
s( s 4)( s 2 2s 2) kg ( s 5)
dk g ds 0
得到-5.93,-3.38,-0.67+j0.46,-0.67-j0.46
轨迹
§4—4
一、参数根轨迹
参数根轨迹和多回路根轨迹
＊参数根轨迹：系统闭环极点随Kg以外的参数变化而变化的
轨迹。
＊绘制方法：把特征方程作等效处理，把要研究迹的绘制方法，进行绘制。
例4.2 单位反馈系统开环传递函数为
＊
绘制以a为变量的根轨迹。并分析a与系统性能的关系。
＊
软实验
轨迹
§4—5 正反馈系统的根轨迹
一、正反馈系统的特征方程 传递函数
Y ( s) G1 ( s) G( s) X ( s) 1 G1 ( s) H ( s)
X(s)
G1(S) H(S)
Y(s)
特征方程
1 G1 (s) H (s) 1 G0 (s) 0
简写为
G0 ( s) 1
轨迹
§4—2 绘制根轨迹的依据和条件
根轨迹的绘制依据是特征方程，根据特征方程可以得出比
根轨迹法PPT课件
定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个 或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性 能的影响.
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
绘制根轨迹的基本.ppt
根轨迹增益K=0 根轨迹增益K=
时特征方程的根 时特征方程的根
m
K(s zj)
1
j1 n
0
(s pi )
n
i1
m
(s pi ) K (s z j ) 0
i1
j1
K 0时，s pi ,i 1,2 , n
根轨迹的起点是开环传函的极点（开环极点）
1 K
n
(s
i1
pi
)
m
(s
j1
z
j
)
4.2 绘制根轨迹的基本条件和绘制规则
利用模条件和角条件绘制根轨迹：G0 (s)
K s(s
2)
1、首先在S平面上用“ ”标G出0s 的开环极点，
用“ ”G表0出s 的开环零点 。
G0
(s)
K s(s
2)
无开环零点
开环极点为：p1 0, p2 2
2、依据角条件，试探地找出根轨迹。
jω
arg s args 2 2k 1
×
×
规则4 根轨迹的渐近线 ①. 渐近线的方向
×σ
s ，在s平面远方，可以认为所有开环零极点
引向点s的矢量角都相等，为 j，则根据角条件：
mj nj 2k 1
j
2k 1
nm
k 0,1,
j
n
m
,
3
nm
,
5
nm
②. 渐近线与实轴交点
根据规则1，渐近线的交点必在实轴上
n
m
pi z j
sa
i 1
步骤：(1).在正实轴上取一点s1
p2
×
arg s1 0 args1 2 0 -2
根轨迹ppt课件.ppt
3.分析方法及思路 1）从数学模型的建立看开环传递函数的特点： 物理元件→典型环节→开环结构→闭环结构→系统数学模型
（1）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极 点，-------很容易获得；
（2）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数， 这一点对分析系统和改造系统非常有利； （3）可以直接求取稳态误差； (4）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有 简单的关系。 2)一个美好的愿望： 开环零极点图+开环增益→闭环零极点全部可能的分布图→ 分析系统的三大类性能。
j 1 n i 1
)
(s z
j 1 n i 1
j
)
s ( s pi )
(s p )
i
则幅值条件和相角条件可以进一步写成如下实用形式：
幅值条件：
G1 ( s ) H1 ( s )
sz
j 1 n i 1
m
j
s p
1 K*
基本公式
i
幅值条件：
第四章 根轨迹法
4.1 4.2 4.3 4.4 根轨迹法的基本概念 根轨迹绘制的基本规则 广义根轨迹 线性系统性能的根轨迹分析法
一、本章内容提要: 1．介绍已知系统开环传递函数的极点、零 点的条件下确定闭环系统的根轨迹法，并分 析系统参量变化时对闭环极点位置的影响； 2．根据闭环特征方程得到相角条件和幅值 条件由此推出绘制根轨迹的基本法则； 3．根轨迹绘制：常规根轨迹、参数根轨迹 、根轨迹曲线族、零度根轨迹; 4．根轨迹法分析系统性能
三、本章重点、关键、难点 1．重点：根轨迹的绘制和利用根轨迹 图分析控制系统 2．关键点：根轨迹方程，幅值条件， 相角条件 3．难点：广义根轨迹的绘制
《ch根轨迹》PPT课件
K
Y(s)
s(s 2)
-
时的根轨
K
解：闭环传递函数为
(s)
1
s(s
2) K
s2
K 2s
K
s(s 2)
系统特征方程为D(s) s2 2s K 0
s1,2 1 1 K
K
0
1/2
1
2
s1
0 -0.29 -1 -1+j
s2
-2
-1.7
-1
-1-j
3 -1+2j -1-2j
∞ -1+j∞ -1-j∞
× p3 40 3.5 p3
70
2×p2
p2
105
o z
1 Z
130
0×p1 p1
90
× p4
p4
其等效传递函数为
Gk (s)
k(s 2) s(s2 2s 3)
s(s 1
k(s 2) j 2)(s 1
j
2)
其渐近线为 (0 1 j 2 1 j 2) (2) 0
31
180 (2k 1)
23
于是可知 K*=4 对应的闭环极点在分离点两侧。经过若干次试探， 找出满足模值条件的两个闭环极点
s1 2 s2 2.52
另外两个根可以从特征方程求出
K * 4 D(s) s 4 5s3 8s 2 6s 4 (s 2)(s 2.52(s s3 )(s s4 )
s3,4 0.24 j0.86
m
n1
出 180 ( i i )
j 1
i 1
m
n1
入 180 ( i i )
j 1
i 1
例 求以下特征方程的根轨迹。
第042章 常规根轨迹绘制的基本法则PPT课件
解：由法则1，根轨迹起于G(s)的极点p1=0，p2=-4， p3=-1+j，p4=-1-j，终于G(s)的有限零点z1=-1以及 无穷远处。 由法则2，根轨迹的分支数有4条，且对称于实轴。 由法则3，有n-m=3条根轨迹渐近线，其交点：
a
(2k1)(2k1),;
nm 41 3
(k0,1,2)
轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹
的分离点。分离点的坐标d是下列方程的解：
m
1
n
1
j1 dzj i1 dpi
(4-20)
式中，zj为各开环零点的数值；pi为各开环极点的数值；
由图可见，s0点左边开环实数零、极点到s0点的 向量相角为零，而其右边零、极点到s0点的向量相角 等于π。如果令∑φj 和Σθi分别代表s0点之右所有开环 实数零点和极点到s0点的向量相角和，那么s0点位于 根轨迹上的充分必要条件为：
m0
n0
j i (2k1)
j1Leabharlann i1这些相角中的每一个相角都等
于π，而π与-π代表相同角度，因
i 1 j 1
即若s0是位于实轴上的根轨迹上的 点，则s0点右变的所有开环实数零 点和极点个数之和等于奇数。
对于图4-7系统，根据本法则可
知，z1和p1之间、z2和p4之间，以及 z3和-∞之间的实轴部分，都是根轨 迹的一部分。
图4-7 实轴上的根轨迹
法则5 根轨迹的分离点与分离角。两条或两条以上根
（起点）。 nm K* 0
即：当n≥m时，有n-m 条根轨迹的终点将在无穷远
处（开环无限零点)。若n＜m, 则有m-n条根轨迹始
于无穷远处（开环无限极点）。
图4-4 根轨迹的起点和终点表示图
a
(2k1)(2k1),;
nm 41 3
(k0,1,2)
轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹
的分离点。分离点的坐标d是下列方程的解：
m
1
n
1
j1 dzj i1 dpi
(4-20)
式中，zj为各开环零点的数值；pi为各开环极点的数值；
由图可见，s0点左边开环实数零、极点到s0点的 向量相角为零，而其右边零、极点到s0点的向量相角 等于π。如果令∑φj 和Σθi分别代表s0点之右所有开环 实数零点和极点到s0点的向量相角和，那么s0点位于 根轨迹上的充分必要条件为：
m0
n0
j i (2k1)
j1Leabharlann i1这些相角中的每一个相角都等
于π，而π与-π代表相同角度，因
i 1 j 1
即若s0是位于实轴上的根轨迹上的 点，则s0点右变的所有开环实数零 点和极点个数之和等于奇数。
对于图4-7系统，根据本法则可
知，z1和p1之间、z2和p4之间，以及 z3和-∞之间的实轴部分，都是根轨 迹的一部分。
图4-7 实轴上的根轨迹
法则5 根轨迹的分离点与分离角。两条或两条以上根
（起点）。 nm K* 0
即：当n≥m时，有n-m 条根轨迹的终点将在无穷远
处（开环无限零点)。若n＜m, 则有m-n条根轨迹始
于无穷远处（开环无限极点）。
图4-4 根轨迹的起点和终点表示图
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t
g(2k1)
nm
nm
11/18/2020
7
根轨迹的渐近线
y t( g 2 k 1 ) x a n 1 b m 1 t( g 2 k 1 )x n m n m n m
n
m
n
m
a n 1 b m 1j 1pji 1zi j 1pji 1zi
nm
z1
p3
x j y a n n 1 m b m 1 K g n 1 m c( o 2 n k s m 1 ) js( i 2 n k n m 1 )
xan n 1 m bm 1K g n 1mco (2 n k s m 1 )
1
yKgnmsi
n(2k1)
nm
y xan1bm1
2
根轨迹的支数和起始点
3、根轨迹的支数：
n阶特征方程有n个根。当Kg 从0到无穷大变化时， n个根在复平
面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。
4、根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
Kg= 0时为起点， Kg= ∞时为终点。
由根轨迹方程
m
n
K g ( s zi )
由根轨迹方程知：当s→∞时
m
根轨迹方 ls i 程 min1((s左 s p zij))边 ls i m ssm n ls i m sn1m0 j1
根轨迹方程 li右 m边 1 0 Kg Kg
我们称系统有n－m个无限远零点。有限值零点加无穷远零 点的个数等于极点数。
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4
根轨迹的渐近线
5.根轨迹的渐近线： 若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益 Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹 趋向无穷远的方位可由渐近线决定。
由根轨迹方程可得： n
(s p j)
j 1 m
Kg
(s zi)
n
i 1
(spj)
j1
m
(szi)
ssm n a bm n11ssnm 11 ab11ssab00
(s p j)
i 1 n
1 得 j1 m
Kg
(s p j)
(s zi)
j 1
i1
当Kg= 0时，只有s = －pj (j = 1~n) 时，上式才能成立。而－pj是 开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有
n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。
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根轨迹的起点和终点
nm
nm
这是与实轴交点为－，斜率为 tg (2k 1) 的直线方程。也就
nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
q (2 k 1 ) k0 , 1 , 2
nm
180 0
nm1
90
90 0
nm2
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180 60
0
60
nm3
180
45
45 0
nm4
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[例4-2]系统开环传递函数为：Gk(s)s(sK 1)g(s5) ，试确定根 轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴
轨迹的性质。
1、根轨迹的连续性：
闭环系统特征方程的某些系数是增益Kg的函数。当Kg从0到
无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续 变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。
2、根轨迹的对称性：
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭 复根。即特征根位于复平面的实轴上或对称于实轴。
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由根轨迹方程
m
m
K g ( s zi )
i 1 n
1
(s p j)
得
(s
i 1
n
(s
zi ) p j)
1 Kg
j 1
j 1
当Kg= ∞时，① s = －zi (i = 1~m) ，上式成立。 －zi是开环传递函
数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个
有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在无穷远处。
第二节 根轨迹绘制的基本规则
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1
根轨迹的连续性和对称性
一、根轨迹绘图的基本规则 用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通
过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线 和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨
迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数Kg的180度根
2 1 0
60
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实轴上的根轨迹
6、实轴上的根轨迹：
实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开 环系统的零点数和极点数的总和为奇数。 [证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、 p2，复平面上有一对共轭极点p3、 p4和一对 共轭零点z1、 z2 。 先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意 试探点构成的两个向量的相角之和为0°；
Kg
i1
m
式中 an1 p j ，bm1 zi
j 1
i 1
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根轨迹的渐近线
s n m ( a n 1 b m 1 ) s n m 1 K g
当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为
sn m (a n 1 b m 1 )sn m 1 K g
s
nm
s(1n 1m an 1 sbm 1)(K g)n 1m
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根轨迹的渐近线
san n1 m bm1(Kg)n 1m
设s=x+jy, 利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根据德莫弗(De Moive)代数定理(cosq +jsinq )n= cos(nq )+jsin(nq )，上式可写为
snm(1an1 sbm 1)Kg
两边开n-m次方
s(1an 1 sbm 1)n 1m(K g)n 1m
利用二项式定理
( 1 x ) K 1 K K ( K x 1 ) x 2 K ( K 1 ) ( K I 1 ) x I ( 1 x 1 )
2 !
I !
当 x1时，(1x)K 1Kx，令 xan1bm1 ， K 1
的交点和倾角。
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 p 1 0 , p 2 1 , p 3 5 , 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
渐近线与实轴的交点： pizi 152
nm 30
渐近线与实轴的倾角： q(2k1)60 ,180
nm
零极点分布和渐近线（红线） 如图所示。
5
180
60