数学与猜想第一卷(G.波利亚)思维导图

中学数学教学中创新思维的培养摘要：创设问题情境，激趣促思，明确思维方向，诱发猜想，交流归纳，激发思维的主动性，联想探究，深化理解，培养学生的发散思维，掌握并综合运用思维的方法，促进思维的创新和发展关键词：思维；创新；发展中图分类号：g633.6 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）12-197-01数学教学的目的，不仅要使学生牢固地掌握系统的知识和技能，而且要使学生的思维得到创新和发展，教学实践证明：只有恰当地调控教学过程，促使学生的思维得到创新和发展才能更深刻地理解和巩固所学知识，才能提高学生分析和解决问题的能力。

在数学教学中，必须在传授基础知识的同时，注重学生思维的创新和发展，一、创设情境，激趣促思，明确思维的方向在教学中应该有计划，有目的精心创设各种问题情境，提出挑战性的问题，设置认知上的冲突，激发学生的思维和兴趣，引导学生明确思维的方向，促进思维的创新和发展。

例如，在圆的教学中，讲圆的概念时，教师不是直接去告诉学生什么是圆，而是先从学生熟悉的生活实际入手，创设情境，激发学生的思维和兴趣提出这样一个问题让学生去思考：“车轮为什么都要做成圆形的?为什么不是方形的或其他的形状？”这一问题立即会引起全班学生的注意和思维：学生经过思考和讨论，得出结论：“如果做成方形或其他形状的车轮时，在转动过程中会颠簸。

”然后又问：为什么做成圆形的车轮就不会颠簸？在学生进入积极的思维后，教师要及时引导学生去寻求解决问题的途径：要把学生作为主体，给他们提供足够的思维时间和思维空间，同时让他们在群体因素的影响下，通过讨论形成思路：“因为圆形轮子边上各个部分到轮子轴心的距离都相等：而其它形状轮子边上的各个部分到轮子轴心的距离都不相等”，从而得出圆的概念：“到定点的距离等于定长的点的集合，叫做圆”。

二、诱发猜想，交流归纳，激发思维的主动性在教学中教师在创设情景的同时还要善于诱发猜想；引导学生交流归纳，激活思维，主动去思考和学习。

小学数学思维导图(全)一、数的概念1. 自然数自然数是无限的，可以一直往上数。

自然数是离散的，相邻的自然数之间没有其他数。

自然数是可数的，可以一个一个地数出来。

2. 整数整数是可加的，可以相加得到新的整数。

整数是可减的，可以相减得到新的整数。

整数是可乘的，可以相乘得到新的整数。

整数是可除的，可以相除得到新的整数。

3. 分数分数有分子和分母两部分，分子表示被等分的部分，分母表示等分的总份数。

分数可以相加、相减、相乘、相除。

分数可以化简，即分子和分母同时除以它们的最大公约数。

4. 小数小数有整数部分和小数部分两部分，整数部分表示整体中的整数部分，小数部分表示整体中的小数部分。

小数可以相加、相减、相乘、相除。

小数可以化简，即去掉末尾的0。

二、数的运算1. 加法加法是可交换的，即加数的位置可以交换。

加法是可结合的，即加数可以按照任意顺序相加。

加法的结果是唯一的。

2. 减法减法的结果是唯一的。

减法的结果可以是正数、负数或0。

3. 乘法乘法是可交换的，即乘数的位置可以交换。

乘法是可结合的，即乘数可以按照任意顺序相乘。

乘法的结果是唯一的。

4. 除法除法的结果可以是正数、负数或分数。

除法的结果是唯一的。

三、几何图形1. 线段线段有长度。

线段可以测量。

线段可以比较长度。

2. 角角有大小。

角可以测量。

角可以比较大小。

3. 三角形三角形有面积。

三角形的面积可以用公式计算。

三角形的面积可以比较大小。

4. 四边形四边形有面积。

四边形的面积可以用公式计算。

四边形的面积可以比较大小。

四、数学应用1. 解决实际问题数学可以应用于解决实际问题，例如：计算购物时的找零。

计算路程和时间的关系。

计算物体的面积和体积。

2. 数学游戏数学游戏可以帮助学生提高数学思维能力和兴趣，例如：猜数字游戏。

24点游戏。

数独游戏。

3. 数学竞赛数学竞赛可以激发学生的学习兴趣和竞争意识，例如：数学奥林匹克竞赛。

华罗庚金杯赛。

小学生数学竞赛。

五、数学思维方法1. 归纳法归纳法是一种从具体事例出发，得出一般结论的思维方式。

一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫同向可加性我们把只含有一个未知数，并且未知求出相应的一元二次方程的根利用二次函数的图像与X轴的交点确定一元二次不等式的解集如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值如果积xy等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值积定和最小，和定积最大设A、B是非空的实数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,是幂函数的底数，幂函数的系数是1， 比如2不是幂函数一次函数：二次函数：反比例函数：第五章 三角函数角的定义平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角角的分类按照旋转方向正角负角零角按照终边位置第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角度量角的两种制度角度制弧度制诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等sin（2kπ+α）=sinα k∈zcos（2kπ+α）=cosα k∈ztan（2kπ+α）=tanα k∈z 公式二:设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系sin（π+α）=－sinα k∈zcos（π+α）=－cosα k∈ztan（π+α）=tanα k∈z 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanα弧长与角的换算1°=π/180°，1rad=180°/π弧长公式L=n× π× r/180，L=α× r扇形面积公式S=LR/2三角函数的定义域、值域y＝sinαy＝cosαy＝tanα三角函数的单调性正弦函数余弦函数一周是360度，也是2π弧度，即360°=2π.（n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长，α是圆心角度数）（R是扇形半径，L是扇形对应的弧长）定义域是R，值域[-1,1]定义域是R，值域[-1,1]定义域是α≠kπ+π/2区间是(kπ-π/2,kπ+π/2)值域是Ry=sinx在[2kπ-π/2，2kπ+π/2]，k∈Z，上是增函数；在[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]，k∈Z，上是减函数；三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]y=cosx在[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，上是减函数；在[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z，上是增函数；余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]；余弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。

2023最新小学数学课程标准内附思维导图建议收藏第一部分前言数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。

作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在(培养人)的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。

一、课程性质数学课程具有基础性、普及性和发展性。

二、课程基本理念人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

三、课程设计思路符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。

（一）学段划分三个学段：第一学段（1~3年级）、第二学段（4~6年级）、第三学段（7~9年级）。

（二）课程目标义务教育阶段数学课程目标:分为总目标和学段目标课程目标从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述。

数学课程目标包括结果目标和过程目标。

结果目标使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述，过程目标使用“经历、体验、探索”等术语表述（三）课程内容在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。

“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。

在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。

为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。

建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。

归纳推理与类比推理阅读材料先观察一个例子：19109944811147114614544111311211+==+=+++=++=+==++=+==不难发现，从1到10，其中只有7需要用4个平方数（即4=22，1=12）来表示，其余的用一个，两个或三个就够了。

由此，人们很自然就会概括出一个结论：对任何一个正整数，或者本身是平方数，或者总是两个、三个或四个平方数之和。

首次提出这一命题的是G.B.德·梅齐里亚克（Bachet de meziriac 法国数学家 1581一1638 ），他一直试到325，都未发现反例。

由此他相信，上述概括出的结论很可能是正确的。

他的发现就是运用归纳推理获得的。

这种由一类事物中个别（或部分）事物具有某种属性，推断该类事物中每一个对象都具有该属性的推理，称为归纳推理。

归纳推理的一个重要特征是：从部分推断整体，由个别到一般，结论的对象范围超出了已知的对象范围。

在人类认识中，归纳具有十分重要的作用。

首先，归纳是人们获得知识的基础。

其次，大数学家欧拉说过：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的……这类仅从观察为旁证而仍未被证明的知识……是通常所说的用归纳所获得的。

”法国数学家拉普拉斯则断言：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。

”德国天才数学家高斯（Guass ）宣称：“在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。

”但是，归纳推理得出的结论不一定是正确的。

几个有名的归纳推理例子： 例11131475125510538336224+=+=+=+=+=+= 这是德国数学家哥德巴赫提出的猜想：“所有大于或等于4的偶数都可以写成两个素数之和”这个猜想至今没有得到证明。

例2655371225712171251243212222=+=+=+=+费尔马猜想：“形如122+n（n 为正整数）的数都是素数”。

瑞士数学家欧拉在验证5=n 时发现67004176411252⨯=+，推翻了费尔马的猜想。