[小学奥数专题15】4-4-2-圆柱与圆锥.题库学生版

圆柱圆锥练习题和答案一、选择题1. 圆柱的体积公式是（）A. V = πr²hB. V = πr² + hC. V = πr² - hD. V = πrh2. 圆锥的体积公式是（）A. V = 1/3πr²hB. V = 3πr²hC. V = πr²h/3D. V = πr²h3. 圆柱的表面积公式是（）A. S = 2πrh + 2πr²B. S = πrh + πr²C. S = 2πrhD. S = πr²4. 圆锥的侧面展开图是（）A. 圆形B. 长方形C. 扇形D. 三角形5. 圆柱和圆锥的底面都是（）A. 圆形B. 长方形C. 扇形D. 三角形二、填空题6. 一个圆柱的底面半径为3厘米，高为5厘米，其体积是_________立方厘米。

7. 一个圆锥的底面半径为4厘米，高为9厘米，其体积是_________立方厘米。

8. 一个圆柱的底面周长为12.56厘米，高为4厘米，其表面积是_________平方厘米。

9. 一个圆锥的底面半径为2厘米，高为6厘米，其表面积是_________平方厘米。

三、计算题10. 一个圆柱形容器的底面直径为20厘米，高为30厘米，求其容积。

11. 一个圆锥形沙堆，底面半径为5米，高为3米，如果将沙堆铺在长10米，宽6米的长方形地面上，求铺成的沙堆高度。

四、解答题12. 一个圆柱形油桶，底面半径为0.8米，高为1.5米，求油桶的表面积和体积。

13. 一个圆锥形漏斗，底面半径为0.6米，高为0.9米，求漏斗的体积。

答案：1. A2. A3. A4. C5. A6. 141.37. 75.368. 150.729. 37.6810. 圆柱形容器的容积为3.14 × (20/2)² × 30 = 3000π 立方厘米。

11. 圆锥形沙堆的体积为1/3 × 3.14 × 5² × 3 = 78.5π 立方米。

一、圆的面积：S＝πr²1、已知半径。

如：沼气池底面半径5米，深2米，求占地面积。

解法：直接套用公式。

解答：S＝πr²＝3.14×5²＝78.5（cm²）2、已知直径。

如：篮球场中间的圆圈直径是3m，面积是多少？解法：先求半径，再套用公式。

解答：r＝d÷2＝S＝πr²＝3、已知周长。

如：周长是12.56dm的圆形面积是多少？解法：先求半径，再套用公式。

解答：r＝C÷π÷2＝S＝πr²＝二、圆的周长：C＝2πr1、已知半径。

如：秒针长12厘米，走一圈针尖扫过的距离是多少？解法：直接套用公式。

解答：C＝2πr＝2、已知直径。

如：压路机滚筒直径1米，滚动一周前进几米？解法一：先求半径，再套用公式。

解答：r＝C＝解法二：直接用公式C＝πd解答：C＝三、圆柱侧面积：S＝2πrh＝πdh＝Ch1、已知半径和高。

如：圆柱形钢材，2、已知直径和高。

如：铁皮罐头3、已知周长和高。

如：侧面展开是边长15.7厘米的正方形，侧面积是多少？4、逆应用——已知侧面积和高。

如：圆柱侧面积12.56平方米，高2米，求半径。

5、逆应用——已知侧面积和底面周长。

如：圆柱侧面积12.56平方米，底面周长6.28米，求高。

四、圆柱表面积（一）完整：S＝2πr²＋2πrh1、已知半径。

如：圆柱形木料2、已知直径。

如：圆柱形水池，要在底面和池壁贴瓷砖，3、已知周长。

如：一根木头（二）无盖：S＝πr²＋2πrh1、已知半径。

如：无盖的消防用黄沙桶2、已知直径。

如：无盖油桶，3、已知周长。

如：广场花柱（三）烟囱（侧面积）：S＝2πrh1、已知半径。

如：烟囱底面2、已知直径。

如：压路机滚轮3、已知周长。

如：大厅圆柱形立柱（四）求出面积后。

（1）烟囱做20节（2）若每平方米用油漆0.2升，（3）平均每千克油漆可涂5平方米，（五）面积变化。

2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列第二单元：八种问题之圆柱与圆锥的关系问题专项练习一、填空题。

1．一个圆锥的底面直径是4厘米，高12厘米，它的体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是( )立方厘米。

2．一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，若圆锥的高是72厘米，则圆柱的高为( )厘米；若圆柱的高是72厘米，则圆锥的高是( )厘米。

3．一个圆锥形橡皮泥，底面积是12cm2，高是9cm。

如果把它捏成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是( )cm；如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是( )cm2。

4．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高是( )厘米。

（单位：厘米）5．一个圆锥与一个圆柱的底面积相等。

已知圆锥与圆柱的体积的比是1∶6，圆锥的高是4.8厘米，圆柱的高是( )厘米。

6．一个高24厘米的圆锥形容器中装满水，将水倒入和它等底等高的圆柱形容器，圆柱形容器中水面的高度是( )厘米。

（容器厚度忽略不计）7．如图，圆柱直径4dm，高2dm，体积是( )dm3；如果把它加工成最大的圆锥，圆锥的体积是( )dm3。

8．把体积是28.26m3圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是16．把一根底面周长是24厘米，长是18厘米的圆柱形钢材加工成与它等底等体积的圆锥形钢材，圆锥的高是多少？17．把一个底面直径为2厘米，高6厘米的圆柱形木块加工成最大的圆锥，要去掉多少立方厘米的木材？18．把一个圆柱形钢料，削成一个最大的圆锥形零件，体积减少18.6立方厘米，原来的圆柱的体积是多少？19．零件A和零件B可以组合成零件C。

现在有一块长方体钢坯，长25.12分米，宽10分米，高12分米。

如果用这块钢胚单铸A零件，可以铸120个；如果单铸B零件，可以做40个。

如果铸C零件，可以铸多少个？20．聪聪预习“圆锥体积”时，想通过实验发现“圆锥的体积与同它等底等高的圆柱的体积之间的关系”，推导出圆锥的体积计算公式。

[小学奥数专题15】4-4-2-圆柱与圆锥.题库学生版圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式 立体图形表面积体积圆柱hr222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积2πV r h =圆柱圆锥hr22ππ360nS l r =+=+圆锥侧面积底面积 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长21π3V r h =圆锥体板块一 圆柱与圆锥【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1110.511.5【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？例题精讲圆柱与圆锥【例 3】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)【例 4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14)=【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)【例 5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？【例 6】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm．(π取3.14)第2题【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3=)【例 7】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)【例 8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【例 9】输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【例 10】 (2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)8(单位：厘米)4106【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？26【巩固】一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm ．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)5cm【例 11】 (第四届希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米．【例 12】 有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A 盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B 盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A 盒注满水，把A 盒的水倒入B 盒，使B 盒也注满水，问A 盒余下的水是多少立方厘米？【例 13】 兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)【例 14】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．【例 15】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【例 16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米？【例 17】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？【例 18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【巩固】有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？【例 19】一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中，水面高多少厘米？【例 20】(2009年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．1 2rr12hh【例 21】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？甲乙【例 22】(2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．20cm8cm100cm【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【巩固】如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？【例 23】(人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．板块二旋转问题【例 24】如图，ABC是直角三角形，AB、AC的长分别是3和4．将ABC∆绕AC旋转一周，求=)∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14ABCCB A【例 25】已知直角三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)【巩固】如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC【例 26】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)ABAB【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？B A。

2024年北师大版六年级下册数学暑假必刷专题：圆柱与圆锥一、单选题1．等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱少24立方厘米，则圆柱的体积是（）立方厘米．A．8B．12C．36D．732．一个圆柱体和一个圆锥体，它们的体积和底面积分别相等，圆柱的高是12米，圆锥的高是（）米．A．36B．12C．4 D．33．小吴同学看见矿泉水瓶上有一张包装纸，用手指估测矿泉水瓶的直径约6厘米，包装纸的高约5厘米，重叠处宽约1厘米，计算包装纸面积的正确算式是（）。

A．6π×5+1B．（6+1）π×5C．（6π+1）×5D．（6π+1）×5+π4．将一个正方形绕着它的一条边旋转一周得到一个圆柱体，圆柱体侧面展开图的长和宽之比是（）。

A．2：1B．π：1C．4：1D．2π：15．一个圆柱容器底面积是240cm2，高20cm，原来水面高度是8cm，往容器内浸没物体后，水面高度均上升至10cm，下面说法错误的是（）。

A．正方体、圆锥、圆柱的体积相同B．圆锥的体积是480cm3C．圆锥的高度是圆柱的3倍D．三个物体全部浸入一个容器，水不会溢出二、填空题6．一个圆锥的体积是60立方厘米，底面积是12平方厘米，它的高是厘米。

7．一个圆柱形橡皮泥，底面积是10cm2，高是6cm。

如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是cm；如果把它捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是cm2。

8．一个圆柱的底面积是50平方分米，高是6分米，它的体积是立方分米；把它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是立方分米。

9．如图，把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体。

表面积比原来增加了40平方厘米。

已知圆柱的高和半径为相邻的自然数，那么这个圆柱的体积最大是立方厘米。

10．圆柱甲的底面半径是圆锥乙的底面半径的2倍，圆柱甲的高是圆锥乙的高的3倍，若圆柱甲的体积是60立方厘米，则圆锥乙的体积是立方厘米。

11．有一块直角边分别为3厘米和4厘米的直角三角板，绕着4厘米的这条边旋转一周，形成的图形的体积是立方厘米。

立體圖形 表面積體積 圓柱h r 222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积2πV r h =圆柱 圓錐h r 22ππ360n S l r =+=+圆锥侧面积底面积 注：l 是母線，即從頂點到底面圓上的線段長21π3V r h =圆锥体板塊一 圓柱與圓錐【例 1】 如圖，用高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的3個圓柱組成一個物體．問這個物體的表面積是多少平方米？(π取3.14)11111.50.5【例 2】 有一個圓柱體的零件，高10釐米，底面直徑是6釐米，零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔的直徑是4釐米，孔深5釐米(見右圖)．如果將這個零件接觸空氣的部分塗上防銹漆，那麼一共要塗多少平方釐米？例題精講圓柱與圓錐【例 3】(希望杯2試試題)圓柱體的側面展開，放平，是邊長分別為10釐米和12釐米的長方形，那麼這個圓柱體的體積是________立方釐米．(結果用π表示)【例 4】如右圖，是一個長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個油桶(接頭處忽略不計)，求這個油桶的容積．(π 3.14=)【鞏固】如圖，有一張長方形鐵皮，剪下圖中兩個圓及一塊長方形，正好可以做成1個圓柱體，這個圓柱體的底面半徑為10釐米，那麼原來長方形鐵皮的面積是多少平方釐米？(π 3.14=)【例 5】把一個高是8釐米的圓柱體，沿水準方向鋸去2釐米後，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體表面積減少12.56平方釐米．原來的圓柱體的體積是多少立方釐米？【鞏固】一個圓柱體底面周長和高相等．如果高縮短4釐米，表面積就減少50.24平方釐米．求這個圓柱體的表面積是多少？【例 6】一個圓柱體形狀的木棒，沿著底面直徑豎直切成兩部分．已知這兩部分的表面積之和比圓柱體的表面積大22008cm，則這個圓柱體木棒的側面積是________2cm．(π取3.14)第2题【鞏固】已知圓柱體的高是10釐米，由底面圓心垂直切開，把圓柱分成相等的兩半，表面積增加了40平方釐米，求圓柱體的體積．(π3=)【例 7】一個圓柱體的體積是50.24立方釐米，底面半徑是2釐米．將它的底面平均分成若干個扇形後，再截開拼成一個和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方釐米？(π 3.14=)【例 8】右圖是一個零件的直觀圖．下部是一個棱長為40cm的正方體，上部是圓柱體的一半．求這個零件的表面積和體積．【例 9】 輸液100毫升，每分鐘輸2.5毫升．如圖，請你觀察第12分鐘時圖中的數據，問：整個吊瓶的容積是多少毫升？【例 10】 一個擰緊瓶蓋的瓶子裏面裝著一些水(如圖)，由圖中的數據可推知瓶子的容積是_______ 立方釐米．(π取3.14) 8(单位：厘米)4106【鞏固】一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形(不包括瓶頸)，如圖．已知它的容積為26.4π立方釐米．當瓶子正放時，瓶內的酒精的液面高為6釐米；瓶子倒放時，空餘部分的高為2釐米．問：瓶內酒精的體積是多少立方釐米？合多少升？【鞏固】一個酒瓶裏面深30cm，底面內直徑是10cm，瓶裏酒深15cm．把酒瓶塞緊後使其瓶口向下倒立這時酒深25cm．酒瓶的容積是多少？(π取3)253015【鞏固】一個蓋著瓶蓋的瓶子裏面裝著一些水，瓶底面積為10平方釐米，(如下圖所示)，請你根據圖中標明的數據，計算瓶子的容積是＿＿＿＿＿＿．【鞏固】一個透明的封閉盛水容器，由一個圓柱體和一個圓錐體組成，圓柱體的底面直徑和高都是12釐米．其內有一些水，正放時水面離容器頂11釐米，倒放時水面離頂部5釐米，那麼這個容器的容積是多少立方釐米？(π3 )5cm【例 11】(希望杯2試試題)如圖，底面積為50平方釐米的圓柱形容器中裝有水，水面上漂浮著一塊棱長為5釐米的正方體木塊，木塊浮出水面的高度是2釐米．若將木塊從容器中取出，水面將下降________釐米．【例 12】有兩個棱長為8釐米的正方體盒子，A盒中放入直徑為8釐米、高為8釐米的圓柱體鐵塊一個，B盒中放入直徑為4釐米、高為8釐米的圓柱體鐵塊4個，現在A盒注滿水，把A盒的水倒入B盒，使B盒也注滿水，問A盒餘下的水是多少立方釐米？【例 13】蘭州來的馬師傅擅長做拉麵，拉出的麵條很細很細，他每次做拉麵的步驟是這樣的：將一個麵團先搓成圓柱形面棍，長1.6米．然後對折，拉長到1.6米；再對折，拉長到1.6米……照此繼續進行下去，最後拉出的麵條粗細(直．問：最後馬師傅拉出的這些細麵條的總長有多少徑)僅有原先面棍的164米？(假設馬師傅拉麵的過程中．麵條始終保持為粗細均勻的圓柱形，而且沒有任何浪費)【例 14】一個圓柱形容器內放有一個長方形鐵塊．現打開水龍頭往容器中灌水．3分鐘時水面恰好沒過長方體的頂面．再過18分鐘水灌滿容器．已知容器的高為50釐米，長方體的高為20釐米，求長方體底面面積與容器底面面積之比．【例 15】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方釐米，高是15釐米，水深8釐米．現將一個底面積是16平方釐米，高為12釐米的長方體鐵塊豎放在水中後．現在水深多少釐米？【鞏固】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方釐米，高是15釐米，水深10釐米．現將一個底面積是16平方釐米，高為12釐米的長方體鐵塊豎放在水中後．現在水深多少釐米？【鞏固】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方釐米，高是15釐米，水深13釐米．現將一個底面積是16平方釐米，高為12釐米的長方體鐵塊豎放在水中後．現在水深多少釐米？【例 16】一個圓柱形玻璃杯內盛有水，水面高2.5釐米，玻璃杯內側的底面積是72平方釐米．在這個杯中放進棱長6釐米的正方體鐵塊後，水面沒有淹沒鐵塊．這時水面高多少釐米？【例 17】一個盛有水的圓柱形容器，底面內半徑為5釐米，深20釐米，水深15釐米．今將一個底面半徑為2釐米，高為17釐米的鐵圓柱垂直放入容器中．求這時容器的水深是多少釐米？【例 18】有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯，其內直徑依次是10釐米、20釐米，杯中盛有適量的水．甲杯中沉沒著一鐵塊，當取出此鐵塊後，甲杯中的水位下降了2釐米；然後將鐵塊沉沒於乙杯，且乙杯中的水未外溢．問：這時乙杯中的水位上升了多少釐米？【鞏固】有一只底面半徑是20釐米的圓柱形水桶，裏面有一段半徑是5釐米的圓柱體鋼材浸在水中．鋼材從水桶裏取出後，桶裏的水下降了6釐米．這段鋼材有多長？【例 19】一個盛有水的圓柱形容器底面內半徑為5釐米，深20釐米，水深15釐米．今將一個底面半徑為2釐米，高為18釐米的鐵圓柱垂直放人容器中．求這時容器的水深是多少釐米?【例 20】如圖11-7，有一個圓柱和一個圓錐，它們的高和底面直徑都標在圖上，單位是釐米．那麼，圓錐體積與圓柱體積的比是多少?【例 21】一個圓錐形容器高24釐米，其中裝滿水，如果把這些水倒入和圓錐底面直徑相等的圓柱形容器中，水面高多少釐米？【例 22】(”希望杯”一試六年級)如圖，圓錐形容器中裝有水50升，水面高度是圓錐高度的一半，這個容器最多能裝水升．，乙容器中水的【例 23】如圖，甲、乙兩容器相同，甲容器中水的高度是錐高的13，比較甲、乙兩容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少高度是錐高的23的的幾倍？乙甲【例 24】張大爺去年用長2米、寬1米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤．今年改用長3米寬2米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形的糧囤．問：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍?【例 25】(仁華考題)如圖，有一卷緊緊纏繞在一起的塑膠薄膜，薄膜的直徑為20釐米，中間有一直徑為8釐米的卷軸，已知薄膜的厚度為0.04釐米，則薄膜展開後的面積是平方米．20cm8cm100cm【鞏固】圖為一卷緊繞成的牛皮紙，紙卷直徑為20釐米，中間有一直徑為6釐米的卷軸．已知紙的厚度為0.4毫米，問：這卷紙展開後大約有多長？【鞏固】如圖，厚度為0.25毫米的銅版紙被卷成一個空心圓柱(紙卷得很緊，沒有空隙)，它的外直徑是180釐米，內直徑是50釐米．這卷銅版紙的總長是多少米？【例 26】(人大附中分班考試題目)如圖，在一個正方體的兩對側面的中心各打通一個長方體的洞，在上下底面的中心打通一個圓柱形的洞．已知正方體邊長為10釐米，側面上的洞口是邊長為4釐米的正方形，上下底面的洞口是直徑為4釐米的圓，求此立體圖形的表面積和體積．板塊二旋轉問題【例 27】如圖，ABC是直角三角形，AB、AC的長分別是3和4．將ABC∆繞AC旋轉一周，求ABC∆掃出的立體圖形的體積．(π 3.14=)CB A4 3【例 28】 已知直角三角形的三條邊長分別為3cm ，4cm ，5cm ，分別以這三邊軸，旋轉一周，所形成的立體圖形中，體積最小的是多少立方釐米？(π取3.14)【鞏固】如圖，直角三角形如果以BC 邊為軸旋轉一周，那麼所形成的圓錐的體積為16π，以AC 邊為軸旋轉一周，那麼所形成的圓錐的體積為12π，那麼如果以AB 為軸旋轉一周，那麼所形成的幾何體的體積是多少？ABC【例 29】 如圖，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，對角線AC 、BD 相交O ．E 、F 分別是AD 與BC 的中點，圖中的陰影部分以EF 為軸旋轉一周，則白色部分掃出的立體圖形的體積是多少立方釐米？(π取3)A BA B【鞏固】(華杯賽決賽試題)如圖，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，對角線AC 、BD 相交O ．圖中的陰影部分以CD 為軸旋轉一周，則陰影部分掃出的立體的體積是多少立方釐米？B A【例 30】 如圖，從正方形ABCD 上截去長方形DEFG ，其中AB=1釐米，DE=12釐米，DG=13釐米。

圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式 立体图形表面积体积 圆柱hr222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积2πV r h =圆柱圆锥hr22ππ360nS l r =+=+圆锥侧面积底面积 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 21π3V r h =圆锥体板块一 圆柱与圆锥【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)11111.50.5【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为22 3.14 1.514.13⨯⨯=(立方米)，侧面积为2 3.14(0.51 1.5)118.84⨯⨯++⨯=(立方米)，所以该物体的表面积是14.1318.8432.97+=(立方米)．【答案】32.97【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？例题精讲圆柱与圆锥【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为266π10π()24π560π18π20π98π307.722⨯+⨯⨯+⨯=++==(平方厘米)．【答案】307.72【例 3】 (希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示) 【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 当圆柱的高是12厘米时体积为210300π()122ππ⨯⨯=(立方厘米)当圆柱的高是12厘米时体积为212360π()102ππ⨯⨯=(立方厘米)．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360π立方厘米．【答案】300π立方厘米或360π立方厘米【例 4】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆的直径为：()16.561 3.144÷+=(米)，而油桶的高为2个直径长，即为：428(m)⨯=，故体积为100.48立方米．【答案】100.48立方米【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：2π1062.8⨯⨯=(厘米)， 原来的长方形的面积为：10462.81022056⨯+⨯⨯=（）（）(平方厘米)．【答案】2056【例 5】 把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.562 6.28÷=厘米，底面半径为6.28 3.1421÷÷=厘米，所以原来的圆柱体的体积是2π188π25.12⨯⨯==(立方厘米)．【答案】25.12【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56÷=(厘米)，侧面积是：12.5612.56157.7536⨯=(平方厘米)，两个底面积是：()23.1412.56 3.142225.12⨯÷÷⨯=(平方厘米)．所以表面积为：157.753625.12182.8736+=(平方厘米)．【答案】182.8736【例 6】 (两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm ，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm ．(π取3.14)第2题【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．设圆柱体底面半径为r ，高为h ，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大： 2222008(cm )r h ⨯⨯=，所以2502(cm )r h ⨯=，所以，圆柱体侧面积为： 22π2 3.145023152.56(cm )r h ⨯⨯⨯=⨯⨯=．【答案】3152.56【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3=) 【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面，长方形的长等于圆柱体的高为10厘米，宽为圆柱底面的直径，设为2r ，则210240r ⨯⨯=，1r =(厘米)．圆柱体积为：2π11030⨯⨯=(立方厘米)．【答案】30【例 7】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积．(法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．可知，圆柱体的高为()2÷⨯=(厘米)，所以增加的表面积为2421650.24 3.1424⨯⨯=(平方厘米)；(法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.142 6.28÷=平方⨯=厘米，所以侧面长方形的面积为50.24 6.288厘米，所以增加的表面积为8216⨯=平方厘米．【答案】16【例 8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768平方厘米，89120立方厘米．【答案】89120【例 9】输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输2.5毫升，12分钟已输液2.51230⨯=(毫升)，因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是10050150+=(毫升)．【答案】150【例 10】 (”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)(单位：厘米)【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为1082-=厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：24π()(62) 3.1432100.482⨯⨯+=⨯=(立方厘米)．【答案】100.48【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的623÷=倍．所以酒精的体积为326.4π62.17231⨯=+立方厘米，而62.172立方厘米62.172=毫升0.062172=升． 【答案】0.062172【巩固】一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm ．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：101015π375π22⨯⨯=瓶中剩余空间的体积1010(3025)π125π22-⨯⨯=酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)+==【答案】1500【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为752cm-=，从而水与空着的部分的比为4:22:1=，由图1知水的体积为104⨯，所以总的容积为()4022160÷⨯+=立方厘米．【答案】60【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3=)5cm【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】设圆锥的高为x厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：()22215π611π6π63x x⨯⨯=-⨯⨯+⨯⨯⨯，解得9x=，所以容器的容积为：221π612π69540π16203V=⨯⨯+⨯⨯⨯==(立方厘米)．【答案】1620【例 11】(希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米．【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】在水中的木块体积为55375⨯⨯=(立方厘米)，拿出后水面下降的高度为7550 1.5÷=(厘米)【答案】1.5【例 12】有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B 盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A盒注满水，把A盒的水倒入B盒，使B盒也注满水，问A盒余下的水是多少立方厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】将圆柱体分别放入A盒、B盒后，两个盒子的底面被圆柱体占据的部分面积相等，所以两个盒子的底面剩余部分面积也相等，那么两个盒子的剩余空间的体积是相等的，也就是说A盒中装的水恰好可以注满B盒而无剩余，所以A盒余下的水是0立方厘米．【答案】A盒余下的水是0立方厘米【例 13】兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费) 【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】最后拉出的面条直径是原先面棍的164，则截面积是原先面棍的2164，细面条的总长为：21.6646553.6⨯=(米)．注意运用比例思想．【答案】6553.6【例 14】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】因为18分钟水面升高：502030-=(厘米)．所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高20厘米需要的时间是：20181230⨯=(分钟)，实际上只用了3分钟，说明容器底面没被长方体底面盖住的部分只占容器底面积的13:124=，所以长方体底面面积与容器底面面积之比为3:4．【答案】3:4【例 15】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】 根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．(法1)：808(8016)6406410⨯÷-=÷=(厘米)；(法2)：设水面上升了x 厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：8016(8)x x =+，解得：2x =，8210+=(厘米)．(提问”圆柱高是15厘米”，和”高为12厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？)【答案】10【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？ 【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 8010(8016)12.5⨯÷-=，因为12.512>，所以此时水已淹没过铁块，8010(8016)1232⨯--⨯=，32800.4÷=，所以现在水深为120.412.4+=厘米【答案】12.4【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？ 【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 玻璃杯剩余部分的体积为80(1513)160⨯-=立方厘米，铁块体积为1612192⨯=立方厘米，因为160192<，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度15厘米【总结】铁块放入玻璃杯会出现三种情况：①放入铁块后，水深不及铁块高；②放入铁块后，水深比铁块高但未溢出玻璃杯；③水有溢出玻璃杯．【说明】教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事．一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠，不知道工匠有没有掺假，必须知道黄金头冠的体积是多少，可是又没有办法来测量．(如果知道体积，就可以称一下纯黄金相应体积的重量，再称一下黄金头冠的重量，就能知道是否掺假的结果了)于是，国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德．(小朋友们，你们能帮阿基米德解决难题吗？)阿基米德苦思冥想不得其解，就连晚上沐浴时还在思考这个问题．当他坐进水桶里，看到水在往外满溢时，突然灵感迸发，大叫一声：”我找到方法了……”，就急忙跑出去告诉别人，大家看到了一个还光着身子的阿基米德．他的方法是：把水桶装满水，当把黄金头冠放进水桶，浸没在水中时，所收集的溢出来的水的体积正是头冠的体积．【答案】15【例 16】 一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器，底面积是72—6×6=36(平方厘米)．水的体积是72 2.5180⨯=(立方厘米)． 后来水面的高为180÷36=5(厘米)．【答案】5【例 17】 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：222515217517.72πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=(厘米)．它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中． 于是所求的水深便是17.72厘米．【答案】17.72【例 18】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 两个圆柱直径的比是1:2，所以底面面积的比是1:4．铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的14，即120.54⨯=(厘米)．【答案】0.5【巩固】有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的520，即41，钢材底面积就是水桶底面积的161．根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的16倍． 6÷(520)2=96(厘米)，(法2)：3．14×202×6÷(3．14×52)=96(厘米)． 【答案】96【例 19】 一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米? 【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：22251521817.725πππ⨯⨯+⨯⨯=⨯（厘米）；它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中．此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形．底面积为225221πππ-=，水的体积保持不变为2515315ππ⨯=．所以有水深为315617217ππ=(厘米)，小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出于是6177厘米即为所求的水深． 【答案】6177【例 20】 如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【关键词】华杯赛，初赛，3题【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 圆锥的体积是211624,33ππ⨯⨯⨯=，圆柱的体积是248128ππ⨯⨯=．所以，圆锥体积与圆柱体积的比是16:1281:243ππ=. 【答案】1:24【例 21】 一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中，水面高多少厘米？ 【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设圆锥形容器底面积为S ，圆柱体内水面的高为h ，根据题意有：1243S Sh ⨯⨯=，可得8h =厘米．【答案】8【例 22】 (”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水 升．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容器容积是水的体积的8倍，即508400⨯=升．【答案】400【例 23】 如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？甲乙【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设圆锥容器的底面半径为r ，高为h ，则甲、乙容器中水面半径均为23r ，则有21π3V r h =容器，221228ππ33381V r h r h =⨯=乙水（），222112219πππ333381V r h r h r h =-⨯=甲水（），2219π198188π81r h V V r h ==甲水乙水，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的198倍． 【答案】198倍【例 24】 张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍? 【关键词】华杯赛，决赛，口试，23题【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 底面周长是3，半径是32π，2233()24πππ⨯=所以今年粮囤底面积是234π，高是2．同理，去年粮囤底面积是224π，高是1．2232(2)(1) 4.5.44ππ⨯÷⨯=因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍． 【答案】4.5【例 25】 (仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是 平方米．20cm 8cm100cm【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：22208ππ1008400π22⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(立方厘米)，薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为8400π0.04659400÷=平方厘米65.94=平方米．另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为22208ππ84π22⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(平方厘米)，展开后为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π0.046594÷=厘米，所以展开后薄膜的面积为6594100659400⨯=平方厘米65.94=平方米．【答案】65.94【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积． 因此，纸的长度 ：()22 3.1410093.1410 3.1437143.50.040.04⨯-⨯-⨯≈≈==纸卷侧面积纸的厚度(厘米)所以，这卷纸展开后大约71.4米．【答案】71.4【巩固】如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 卷在一起时铜版纸的横截面的面积为2218050ππ7475π22⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(平方厘米)，如果将其展开，展开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25毫米(即0.025厘米)，所以长为7475π0.025938860÷=厘米9388.6=米．所以这卷铜版纸的总长是9388.6米．本题也可设空心圆柱的高为h ，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中h 在计算过程将会消掉．【答案】9388.6米【例 26】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：210106444π225368π⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-(平方厘米)；内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：()24316244π22π232192328π24π22416π⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯=+-+=+(平方厘米)，所以，总表面积为：22416π5368π7608π785.12++-=+=(平方厘米)．⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可．挖出的几何体体积为：24434444π2321926424π25624π⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=++=+(立方厘米)； 所求几何体体积为：()10101025624π668.64⨯⨯-+=(立方厘米)． 【答案】668.64板块二 旋转问题【例 27】 如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周，求ABC ∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)CB A43【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右上图所示，ABC ∆扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为3，高为4，体积为：21π3412π37.683⨯⨯⨯==．【答案】37.68【例 28】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14) 【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 以3cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm ，高是3cm 的圆锥体，体积为2313.144350.24(cm )3⨯⨯⨯= 以4cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm ，高是4cm 的圆锥体，体积为2313.143437.68(cm )3⨯⨯⨯= 以5cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高345 2.4⨯÷=cm 的两个圆锥，高之和是5cm 的两个圆的组合体，体积为2313.14 2.4530.144(cm )3⨯⨯⨯=【答案】30.144【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设BC a =，AC b =，那么以BC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为2π3ab ，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为2π3a b ，由此可得到两条等式：224836ab a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两条等式相除得到43b a =，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到34a b =⎧⎨=⎩，根据勾股定理，直角三角形的斜边AB 的长度为5，那么斜边上的高为2.4．如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为2.4，高的和为5，所以体积是22.4π59.6π3⨯=． 【答案】9.6π【例 29】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)。

第二单元圆柱与圆锥-（单元测试）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版一、单选题(共5题；共15分)1．（3分）如图，甲、乙两个圆柱形容器中的水深都是8厘米，分别往两个容器放入一个体积相同的铁球（全部浸没，水没有溢出）后，甲、乙两个容器水面高度相比，（）。

A．甲高B．乙高C．一样高D．不能确定2．（3分）把两个体积相等、高不等的圆柱削成两个体积最大的圆锥，这两个圆锥的（）。

A．体积相等B．体积、底面积都不相等C．底面积相等D．侧面积相等3．（3分）圆柱的侧面展开图是正方形，那么圆柱的高和（）相等。

A．底面直径B．底面周长C．底面积D．底面半径4．（3分）下图中圆柱体、正方体和圆锥体的底面积相等，高也相等。

下面说法正确的是（）。

A．圆锥的体积是圆柱体积的3倍。

B．正方体的体积是圆锥体积的3倍。

C．圆柱的体积比正方体的体积大一些。

D．以上说法都不对。

5．（3分）甲圆柱的底面直径是6 cm，高是10 cm；乙圆柱的底面直径是10 cm，高是6 cm。

那么它们的表面积相比较，（）。

A．甲>乙B．甲=乙C．甲<乙D．无法确定二、判断题(共5题；共15分)6．（3分）当圆锥的底面直径和高都是5dm时，圆锥的侧面展开图是一个正方形。

（）7．（3分）圆柱的体积比和它等底等高的圆锥的体积大23。

（）8．（3分）把圆锥的侧面展开，得到的是一个长方形。

9．（3分）一个圆柱形容器中盛满30升水，倒入一个和它等底等高的圆锥形钢材，容器中还剩10升水。

（）10．（3分）把正方体木块削成一个最大的圆柱，则此圆柱的底面直径与高相等。

（）三、填空题(共7题；共24分)11．（8分）圆锥有个顶点、个底面和个侧面，它的底面是一个。

12．（2分）一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积相等。

若圆柱的高是15厘米，那么圆锥的高是厘米。

13．（2分）一个圆柱体底面直径是10cm，高6cm，将它沿底面直径纵向平均切成两半（如下图），表面积增加了cm2。

【数学】圆柱与圆锥(奥数)一、圆柱与圆锥1．如图，这是用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是一个直径为2米的半圆。

大棚内的空间有多大?【答案】解：3.14×（2÷2）2×15÷2=23.55（立方米）答：大棚内的空间有23.55立方米。

【解析】【分析】观察图可知，大棚的形状是一个圆柱的一半，要求大棚内的空间大小，用圆柱的体积÷2=大棚内的空间大小，据此列式解答.2．工厂要生产一节烟囱，烟囱长2.5m，横截面是直径为40cm的圆。

（1）做一节烟囱一共需要铁皮多少平方米?（接头处忽略不计）（2）如果烟囱中充满废气，一节烟囱中最多可以容纳废气多少立方米?【答案】（1）解：40cm=0.4m3.14×0.4×2.5=3.14（m2）答：做一节烟囱一共需要铁皮3.14平方米。

（2）解：3.14×（0.4÷2）2×2.5=0.314（m3）答：一节烟囱中最多可以容纳废气0.314立方米。

【解析】【分析】1cm=0.01m，（1）做一节烟囱一共需要铁皮的平方米数=这节烟囱横截面的周长×长，其中这节烟囱横截面的周长=横截面的半径×2×π；（2）一节烟囱中最多可以容纳废气的立方米数=这节烟囱的容积=πr2h。

据此代入数据作答即可。

3．一个圆锥形沙堆，底面周长是31.4米，高是1.2米．每立方米黄沙重2吨，这堆黄沙重多少吨？【答案】解：底面半径：31.4÷（2×3.14）＝31.4÷6.28＝5（米）这堆沙子的总重量： ×3.14×52×1.2×2＝3.14×25×0.4×2＝78.5×0.4×2＝31.4×2＝62.8（吨）答：这堆黄沙重62.8吨。

【解析】【分析】用底面周长除以圆周率的2倍即可求出底面半径。

370份精品奥数资料 需要购买请联系QQ971063715板块一 圆柱与圆锥【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1110.511.5【解析】 从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为22 3.14 1.514.13⨯⨯=(立方米)，侧面积为2 3.14(0.51 1.5)118.84⨯⨯++⨯=(立方米)，所以该物体的表面积是14.1318.8432.97+=(立方米)．【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为例题精讲圆柱与圆锥266π10π()24π560π18π20π98π307.722⨯+⨯⨯+⨯=++==(平方厘米)．【例 3】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)【解析】 当圆柱的高是12厘米时体积为210300π()122ππ⨯⨯=(立方厘米)当圆柱的高是12厘米时体积为212360π()102ππ⨯⨯=(立方厘米)．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360π立方厘米．【例 4】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)【解析】 圆的直径为：()16.561 3.144÷+=(米)，而油桶的高为2个直径长，即为：428(m)⨯=，故体积为100.48立方米．【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：2π1062.8⨯⨯=(厘米)，原来的长方形的面积为：10462.81022056⨯+⨯⨯=（）（）(平方厘米)．【例 5】 把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【解析】 沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.562 6.28÷=厘米，底面半径为6.28 3.1421÷÷=厘米，所以原来的圆柱体的体积是2π188π25.12⨯⨯==(立方厘米)．【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？【解析】 圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56÷=(厘米)，侧面积是：12.5612.56157.7536⨯=(平方厘米)，两个底面积是：()23.1412.56 3.142225.12⨯÷÷⨯=(平方厘米)．所以表面积为：157.753625.12182.8736+=(平方厘米)．【例 6】 (2019年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm ，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm ．(π取3.14)第2题【解析】 根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面． 设圆柱体底面半径为r ，高为h ，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大： 2222008(cm )r h ⨯⨯=，所以2502(cm )r h ⨯=，所以，圆柱体侧面积为：22π2 3.145023152.56(cm )r h ⨯⨯⨯=⨯⨯=．【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3=)【解析】 圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面，长方形的长等于圆柱体的高为10厘米，宽为圆柱底面的直径，设为2r ，则210240r ⨯⨯=，1r =(厘米)．圆柱体积为：2π11030⨯⨯=(立方厘米)．【例 7】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)【解析】 从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积． (法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．可知，圆柱体的高为()250.24 3.1424÷⨯=(厘米)，所以增加的表面积为24216⨯⨯=(平方厘米)；(法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.142 6.28⨯=厘米，所以侧面长方形的面积为50.24 6.288÷=平方厘米，所以增加的表面积为8216⨯=平方厘米．【例 8】 右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm 的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【解析】 这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768平方厘米，89120立方厘米．【例 9】 输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【解析】 100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输2.5毫升，12分钟已输液2.51230⨯=(毫升)，因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是10050150+=(毫升)．【例 10】 (2019年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)(单位：厘米)【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为1082-=厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：24π()(62) 3.1432100.482⨯⨯+=⨯=(立方厘米)．【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【解析】 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的623÷=倍．所以酒精的体积为326.4π62.17231⨯=+立方厘米，而62.172立方厘米62.172=毫升0.062172=升．【巩固】一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm ．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【解析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：101015π375π22⨯⨯=瓶中剩余空间的体积1010(3025)π125π22-⨯⨯=酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)+==【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．【解析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为752cm-=，从而水与空着的部分的比为4:22:1=，由图1知水的体积为104⨯，所以总的容积为()4022160÷⨯+=立方厘米．【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3=)5cm【解析】设圆锥的高为x厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：()22215π611π6π63x x⨯⨯=-⨯⨯+⨯⨯⨯，解得9x=，所以容器的容积为：221π612π69540π16203V=⨯⨯+⨯⨯⨯==(立方厘米)．【例 11】(第四届希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米．【解析】 在水中的木块体积为55375⨯⨯=(立方厘米)，拿出后水面下降的高度为7550 1.5÷=(厘米)【例 12】 有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A 盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B 盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A 盒注满水，把A 盒的水倒入B 盒，使B 盒也注满水，问A 盒余下的水是多少立方厘米？【解析】 将圆柱体分别放入A 盒、B 盒后，两个盒子的底面被圆柱体占据的部分面积相等，所以两个盒子的底面剩余部分面积也相等，那么两个盒子的剩余空间的体积是相等的，也就是说A 盒中装的水恰好可以注满B 盒而无剩余，所以A 盒余下的水是0立方厘米．【例 13】 兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)【解析】 最后拉出的面条直径是原先面棍的164，则截面积是原先面棍的2164，细面条的总长为：21.6646553.6⨯=(米)．注意运用比例思想．【例 14】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．【解析】 因为18分钟水面升高：502030-=(厘米)．所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高20厘米需要的时间是：20181230⨯=(分钟)，实际上只用了3分钟，说明容器底面没被长方体底面盖住的部分只占容器底面积的13:124=，所以长方体底面面积与容器底面面积之比为3:4．【例 15】 一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【解析】 根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．(法1)：808(8016)6406410⨯÷-=÷=(厘米)； (法2)：设水面上升了x 厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：8016(8)x x =+，解得：2x =，8210+=(厘米)． (提问”圆柱高是15厘米”，和”高为12厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？)【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【解析】8010(8016)12.5⨯÷-=，因为12.512>，所以此时水已淹没过铁块，8010(8016)1232⨯--⨯=，32800.4÷=，所以现在水深为120.412.4+=厘米【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【解析】 玻璃杯剩余部分的体积为80(1513)160⨯-=立方厘米，铁块体积为1612192⨯=立方厘米，因为160192<，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度15厘米【总结】铁块放入玻璃杯会出现三种情况：①放入铁块后，水深不及铁块高；②放入铁块后，水深比铁块高但未溢出玻璃杯；③水有溢出玻璃杯．【说明】教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事．一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠，不知道工匠有没有掺假，必须知道黄金头冠的体积是多少，可是又没有办法来测量．(如果知道体积，就可以称一下纯黄金相应体积的重量，再称一下黄金头冠的重量，就能知道是否掺假的结果了)于是，国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德．(小朋友们，你们能帮阿基米德解决难题吗？)阿基米德苦思冥想不得其解，就连晚上沐浴时还在思考这个问题． 当他坐进水桶里，看到水在往外满溢时，突然灵感迸发，大叫一声：”我找到方法了……”，就急忙跑出去告诉别人，大家看到了一个还光着身子的阿基米德．他的方法是：把水桶装满水，当把黄金头冠放进水桶，浸没在水中时，所收集的溢出来的水的体积正是头冠的体积．【例16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米？【解析】把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器，底面积是72—6×6=36(平方厘米)．水的体积是72 2.5180⨯=(立方厘米)．后来水面的高为180÷36=5(厘米)．【例17】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？【解析】若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：222515217517.72πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=(厘米)．它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中．于是所求的水深便是17.72厘米．【例18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【解析】两个圆柱直径的比是1:2，所以底面面积的比是1:4．铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的14，即120.54⨯=(厘米)．【巩固】有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？【解析】根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的520，即41，钢材底面积就是水桶底面积的161．根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的16倍．6÷(520)2=96(厘米)，(法2)：3．14×202×6÷(3．14×52)=96(厘米)．【例19】一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中，水面高多少厘米？【解析】设圆锥形容器底面积为S，圆柱体内水面的高为h，根据题意有：1243S Sh⨯⨯=，可得8h=厘米．【例20】(2019年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．【解析】 圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容器容积是水的体积的8倍，即508400⨯=升．【例 21】 如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？甲乙【解析】 设圆锥容器的底面半径为r ，高为h ，则甲、乙容器中水面半径均为23r ，则有21π3V r h =容器，221228ππ33381V r h r h =⨯=乙水（），222112219πππ333381V r h r h r h =-⨯=甲水（），2219π198188π81r h V V r h ==甲水乙水，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的198倍．【例 22】 (2019年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是 平方米．【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：22208ππ1008400π22⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(立方厘米)，薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为8400π0.04659400÷=平方厘米65.94=平方米．另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为22208ππ84π22⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(平方厘米)，展开后为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π0.046594÷=厘米，所以展开后薄膜的面积为6594100659400⨯=平方厘米65.94=平方米．【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【解析】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积． 因此，纸的长度 ：()22 3.1410093.1410 3.1437143.50.040.04⨯-⨯-⨯≈≈==纸卷侧面积纸的厚度(厘米) 所以，这卷纸展开后大约71.4米．【巩固】如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？【解析】 卷在一起时铜版纸的横截面的面积为2218050ππ7475π22⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(平方厘米)，如果将其展开，展开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25毫米(即0.025厘米)，所以长为7475π0.025938860÷=厘米9388.6=米．所以这卷铜版纸的总长是9388.6米． 本题也可设空心圆柱的高为h ，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中h 在计算过程将会消掉．【例 23】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．【解析】 ⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：210106444π225368π⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-(平方厘米)；内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：()24316244π22π232192328π24π22416π⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯=+-+=+(平方厘米)，所以，总表面积为：22416π5368π7608π785.12++-=+=(平方厘米)．⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可．挖出的几何体体积为：24434444π2321926424π25624π⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=++=+(立方厘米)； 所求几何体体积为：()10101025624π668.64⨯⨯-+=(立方厘米)．板块二 旋转问题【例 24】 如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周，求ABC∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)CB A43【解析】 如右上图所示，ABC ∆扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为3，高为4，体积为：21π3412π37.683⨯⨯⨯==．【例 25】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)【解析】 以3cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm ，高是3cm 的圆锥体，体积为2313.144350.24(cm )3⨯⨯⨯= 以4cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm ，高是4cm 的圆锥体，体积为2313.143437.68(cm )3⨯⨯⨯= 以5cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高345 2.4⨯÷=cm 的两个圆锥，高之和是5cm 的两个圆的组合体，体积为2313.14 2.4530.144(cm )3⨯⨯⨯=【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC【解析】 设BC a =，AC b =，那么以BC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为2π3ab ，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为2π3a b ，由此可得到两条等式：224836ab a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两条等式相除得到43b a =，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到34a b =⎧⎨=⎩，根据勾股定理，直角三角形的斜边AB 的长度为5，那么斜边上的高为2.4．如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为2.4，高的和为5，所以体积是22.4π59.6π3⨯=．【例 26】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)A BA B【解析】 扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形． 两个圆锥的体积之和为212π3530π903⨯⨯⨯⨯==(立方厘米)； 圆柱的体积为2π310270⨯⨯=(立方厘米)，所以白色部分扫出的体积为27090180-=(立方厘米)．【巩固】(2019年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？B A【解析】 设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V ，则V 等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥，减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积后得到． 所以，2211π6102π3590π33V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=(立方厘米)， 那么阴影部分扫出的立体的体积是2180π540V ==(立方厘米)．。

小学奥数教程∶圆柱与圆锥计算题一、圆柱与圆锥1．看图计算．（1）求圆柱的表面积（单位：dm）（2）求零件的体积（单位：cm）【答案】（1）解：3.14×10×20+3.14×（10÷2）2×2＝628+3.14×25×2＝628+157＝785（平方分米）答：圆柱的表面积是785平方分米。

（2）解： ×3.14×（2÷2）2×3+3.14×（2÷2）2×4＝ ×3.14×1×3+3.14×1×4＝3.14+12.56＝15.7（立方厘米）答：零件的体积是15.7立方厘米。

【解析】【分析】（1）圆柱的表面积是两个底面积加上一个侧面积，根据圆面积公式计算出底面积，用底面周长乘高求出侧面积；（2）圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高×，根据公式计算，用圆柱的体积加上圆锥的体积就是总体积。

2．如图，一个内直径是20cm的纯净水水桶里装有纯净水，水的高度是22cm．将水桶倒放时，空余部分的高度是3cm，无水部分是圆柱形．这个纯净水水桶的容积是多少升？【答案】解：3.14×（20÷2）2×22+3.14×（20÷2）2×3＝3.14×100×（22+3）＝3.14×100×25＝7850（立方厘米）7850立方厘米＝7.85升答：这个纯净水水桶的容积是7.85升。

【解析】【分析】水桶的容积包括水的体积和空余部分的体积，根据圆柱的体积公式分别计算后再相加即可求出水桶的容积。

3．一个圆柱形的汽油桶，底面半径是2分米，高是5分米，做这个桶至少要用多少平方分米的铁皮？它的容积是多少升？【答案】解：3.14×22×2+3.14×2×2×5=3.14×4×2+3.14×4×5=25.12+62.8=87.92（dm2）3.14×22×5=62.8（dm3）62.8dm3=62.8L答：做这个桶至少要用87.92平方分米的铁皮。

2024年人教版六年级下册数学暑假专项提升训练：圆柱与圆锥一、单选题1．一个圆柱和一个圆锥的底面积之比是1 ∶ 3，高之比是2 ∶ 3，体积之比是（ ）。

A．1 ∶ 3B．2 ∶ 3C．2 ∶ 9D．4 ∶ 92．如图，长方形的长是4 cm，宽是2 cm，分别以长边和宽边所在的直线为轴，旋转一周可以得到两个不同的圆柱。

这两个圆柱的体积相比较，（ ）。

A．甲大B．乙大C．同样大D．无法判断3．若圆柱的底面半径和高都扩大到原来的3 倍，则它的体积扩大到原来的（ ）倍。

A．3B．6C．27D．364．若一个圆柱的高缩小到原来的1，底面半径扩大到原来的3倍，则体积（ ）。

3A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍C．缩小到原来的1D．不变35．一个圆柱形零件，把它浸入一个装水的容器中，两种摆法都恰好有一半浸没在水中(如甲、乙两图所示)。

下面说法正确的是（ ）。

A．浸没在水中的体积相等，表面积不相等B．浸没在水中的体积相等，表面积也相等C．浸没在水中的表面积相等，体积不相等D．浸没在水中的体积和表面积都不相等二、填空题6．一个圆柱形状的饼干盒，底面直径是20厘米，高10厘米，要在它的侧面贴上的商标纸，商标纸的面积至少是 平方厘米。

7．一圆锥形沙堆，底面积是5平方米，高2.1米，这堆沙 立方米。

8．一个圆柱形的饮料瓶，从里面量半径是3厘米，高1分米，这个饮料瓶最多能装 毫升的饮料。

9．一个圆柱的底面周长是12.56分米，高是6分米，它的侧面积是 平方分米，表面积是 平方分米，体积是 立方分米。

10．甲、乙两个圆柱高的比是3：2，底面直径的比是2：3，则甲、乙体积比为 ，如果乙圆柱的体积是54立方厘米。

则甲圆柱的体积是 。

11．自来水管的内直径是2cm，水管内水的流速是每秒8cm，一位同学去洗手，走时忘记关水龙头，5分钟后另一位同学发现并关掉了水龙头，共浪费了 升水。

12．一个棱长为6分米的正方体木块的表面积是 平方分米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是 立方分米。

冀教版六年级数学下册《四圆柱和圆锥》-单元测试5一、单选题(总分：40分本大题共8小题，共40分)1.(本题5分)一个圆锥体积比和它等底等高的圆柱体积（）A.大2倍B.大约小了66.7%C.大约小了33.3%D.大约多了33.3%2.(本题5分)把一个体积为48cm3的圆柱切削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（）A.12 cm3B.16 cm3C.32 cm3D.36 cm33.(本题5分)一个圆锥体的底面半径是2厘米，高是3厘米，则容积是（）立方分米．A.37.68B.0.03768C.12.56D.0.012564.(本题5分)如图是一个直角三角形，两条直角边的长分别为3cm、4cm，斜边的长为5cm．如果以斜边为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积算式是（）A.3.14×32×4÷3B.3.14×42×3÷3C.3.14×（3×4÷5）2×5÷3D.3.14×32×5÷35.(本题5分)计算圆锥的体积采用（）公式．A.V=shB.1/3shC.V=3sh6.(本题5分)把一个最大圆柱切成一个最大的圆锥，圆锥的体积是12dm3，削去的体积是（）A.24dm3B.12dm3C.36 dm3D.48dm37.(本题5分)圆锥的底面半径扩大3倍，高缩小3倍，体积（）A.扩大3倍B.不变C.缩小3倍D.扩大9倍8.(本题5分)圆锥的高（）A.仅有1条B.仅有2条C.有3条D.无数条二、填空题(总分：25分本大题共5小题，共25分)9.(本题5分)圆柱的底面积与圆锥的底面积相等，圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱体积等于圆锥体积____．（判断对错）10.(本题5分)高相等的一个圆锥和一个圆柱的底面半径的比是2：1，体积的比为____．11.(本题5分)圆锥的底面积是3厘米2，高是1分米，这个圆锥的体积____厘米3．12.(本题5分)把一个圆柱切削成一个最大的圆锥，已知削去部分的体积是45立方厘米，原来的圆柱的体积是____立方厘米．13.(本题5分)一个圆锥，底面直径1.6分米，高0.4分米，把它一刀切开，成为形状相同的两半，表面积增加____平方厘米．三、解答题(总分：35分本大题共5小题，共35分)14.(本题7分)把一块高为9cm的圆锥形钢坯浸在一个底面积为28.26平方厘米的圆柱形水桶内，水面上升了2厘米．这个圆锥形钢坯底面积是多少平方厘米？15.(本题7分)有一个下面是圆柱、上面是圆锥的容器，圆柱高12厘米，圆锥高9厘米，容器内水深8厘米，将这个容器倒过来放时，此时水面到圆锥尖的高度是多少？16.(本题7分)把一块长15.7cm，宽是8cm，高5cm的长方体铝锭和一块底面直径是6cm，高24cm的圆柱形铝锭熔铸成一个底面半径8cm的圆锥体铝块，求这个圆锥体铝块是多少厘米？17.(本题7分)一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是120立方米，圆柱的体积是____立方米，圆锥的体积是____立方米．圆锥和圆柱体积的比是（____：____）．18.(本题7分)一个圆柱和一个圆锥的底面积与高分别相等，它们的体积之和是9.6立方分米，它们的体积各是多少？冀教版六年级数学下册《四圆柱和圆锥》-单元测试5参考答案与试题解析1.【答案】：B;【解析】：解：等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作“1”，那么圆柱的体积就是它的，（1-）÷1=。

六年奥数综合练习题（二）一、有一个圆柱形面包，要切一刀把它分成两块，截面会是什么形状的图形？二、用铁皮做一个如图所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？三、一个圆锥的底面周长是18.84厘米，高是4厘米。

从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了多少平方厘米？1)切开后表面积增加了2个三角形截面截面底边长为底面直径，高为圆锥高则底面直径=18.84/3.14=6分米半径为6/2=3分米则高=（25/2）*2/6=25/6分米则体积=3.14*3*3*（25/6）/3=39.25立方分米四、在一个边长为4厘米的正方体的前后、上下、左右面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米，高为1厘米的圆柱，求挖去后物体的表面积。

正方体原来的表面积为4*4*6=96平方厘米挖去圆柱后增加6个圆柱的侧面积，则圆柱侧面积=3.14*1*2*1=6.28平方厘米最后为96+6.28*6=133.68平方厘米五、一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积增加25.12平方厘米，求原来圆柱的表面积是多少平方厘米？六、七、把一个横截面是正方形的长方体木料切削成一个最大的圆柱体，此圆柱的表面积是32.97平方厘米，底面直径与高的比是1:3，原长方体的表面积是多少平方厘米？八、如图，在一个底面积为324平方厘米的正方体铸铁中，以相对的两面为底，挖出一个最大的圆柱，然后在剩下的铸铁表面涂上油漆，求涂油漆的面积是多少？九、图中是个柱体，高30厘米，底面是一个半径10厘米，圆心为270°的扇形，求这个柱体的表面积和体积。

十、如图上半部是个半圆柱，下半部是一个长方体，它的表面积是多少平方厘米？十一、 如图在一个圆柱上挖了一个边长为2厘米的方形的孔，现在这个物体的表面积是多少平方厘米？十一、如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱，在它的中间依次向下挖去半径分别为3厘米，2厘米，1厘米，高分别为2厘米，1厘米，0.5厘米的圆柱，最后得的立体图形表面积是多少平方厘米？十二、如图一块长方体铁皮，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积？大长方形的长是16.56,由小长方形的长a加上圆的直径d 得到，小长方形的宽b 等于两个等圆直径之和，也就是2d,小长方形是圆柱侧面展开图，所以其一边长应等于圆周长πd=3.14d,b=2d,所以b 是高h ，a=3.14d,a+d=16.56,3.14d+d=16.56,d=4cm,r=d/2=2cmh=b=2d=8cm,因此圆柱体积是V=πr^2*h=3.14*4*8=100.48cm^3由于没有说铁皮厚度，所以油桶的容积就是圆柱体积。

圆柱和圆锥一、推断题1.圆柱体的侧面积与两个底面积的和，就是圆柱体的表面积．2.一个圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积小12立方厘米．这个圆锥的体积是4立方厘米．3.圆柱的侧面积等于底面积乘高。

4.一个圆柱，底面半径为r，高是2πr．这个圆柱的侧面绽开图是一个正方形．二、填空题5.一个圆柱体形的罐头盒，底面周长56cm，高是10cm．这个罐头盒的侧面积是________ ．6.等底等高的圆柱和圆锥的体积之差是72cm3，圆锥的体积是________ cm3。

7.制作下面圆柱体的物体，至少要用________平方米的铁皮？8.一根长1米的圆木，现将它锯成同样长短的两段，表面积增加了56平方厘米，这根圆木原来的体积是________立方厘米．9.一个圆柱形油桶，侧面绽开是一个正方形，已知这个油桶的底面半径是5分米，那么油桶的高是________分米．三、单选题10.下面是两个圆柱的表面绽开图，请将圆柱和相应的绽开图连起来．（1）（）A.B.（2）（）A.B.11.一个圆柱的上下底面是（）的圆。

A. 完全相等B. 不完全相等C. 不确定12.边长是1厘米的正方形卷成一个圆柱体（1）它的体积是（）A.立方厘米B.立方厘米C.立方厘米D.立方厘米（2）与它等底等高的圆锥体的体积是（）.A.立方厘米B.立方厘米C.立方厘米D.立方厘米13.下面圆柱的表面积是（）。

A. 150.72平方厘米B. 207.24平方厘米 C. 56.52平方厘米14.一个圆柱的底面半径是4厘米，它的侧面绽开正好是一个正方形，这个圆柱的高是（）厘米．A. 4B. 8C. 12.56D. 25.12四、解答题15.标出下列圆锥的底面和高，并用字母表示．16.一个零件，如下图，求出它的体积。

五、应用题17.一个长方形的木块，高12厘米，长和宽都是10厘米，若把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？参考答案一、推断题1.【答案】正确【解析】【解答】解：一个立体图形的表面积是指一个立体图形全部的面的面积总和，因此圆柱体的侧面积与两个底面积的和就是圆柱体的表面积．【分析】留意表面积和侧面积定义的区分2.【答案】错误【解析】【解答】12÷2=6立方厘米，原题计算错误.故答案为：错误.【分析】等底等高的圆柱体积比圆锥体积多2倍，据此列式解答.3.【答案】错误【解析】【解答】解：圆柱的侧面积=底面周长×高，原题说法错误.故答案为：错误【分析】圆柱的侧面沿着高绽开后是一个长方形，长方形的长与底面周长相等，高与圆柱的高相等，所以圆柱的侧面积=底面周长×高.4.【答案】正确【解析】【解答】圆柱的底面周长是：C=2πr，高也是2πr，当底面周长和高相等时，侧面绽开图是一个正方形，原题说法正确.故答案为：正确.【分析】已知圆柱的底面半径是r，圆柱的底面周长是：C=2πr，然后对比底面周长和高，据此解答.二、填空题5.【答案】 560【解析】【解答】56×10=560(cm²)故答案为：560【分析】圆柱的侧面积=底面周长×高，由此依据圆柱的侧面积公式列式计算即可.6.【答案】36【解析】【解答】设圆锥的体积为a cm3，则圆柱的体积为（72+a）cm3，因为等底等高的圆柱体和圆锥体的体积之比是3：1，则可列方程为3 a=72+a，解得a=36 cm3故答案为：36.【分析】依据“等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍”，设圆锥的体积为a cm3，则圆柱的体积为（72+a）cm3，列方程解答.7.【答案】0.7536【解析】【解答】40÷2=20（厘米）3.14×40×50+3.14×202=125.6×50+3.14×400=6280+1256=7536（平方厘米）=0.7536（平方米）故答案为：0.7536【分析】依据题意可知，水桶是一个无盖圆柱，要求表面积，用侧面积+底面积=无盖水桶的表面积，据此列式解答.8.【答案】 2800【解析】【解答】1米=100厘米；56÷2=28（平方厘米）；28×100=2800（立方厘米）.故答案为：2800.【分析】依据1米=100厘米，先将单位化统一，将一根圆木锯成同样长短的两段，表面积增加了2个底面积，用增加的表面积÷2=圆柱的底面积，然后用圆柱的底面积×高=圆柱的体积，据此列式解答.9.【答案】31.4【解析】【解答】圆柱的底面周长为：2×3.14×5=6.28×5=31.4（分米）答：这个正方形的边长是31.4分米；故答案为：31.4。