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振动计算力学公式一、简谐振动（Simple Harmonic Motion）简谐振动指的是一个物体在一个平衡位置附近做低幅度的周期性振动。
简谐振动的一些重要的力学公式如下：1. 位移（Displacement）：x = A * cos(ωt + φ)其中，x表示位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位。
2. 速度（Velocity）：v = -A * ω * sin(ωt + φ)其中，v表示速度。
3. 加速度（Acceleration）：a = -A * ω^2 * cos(ωt + φ)其中，a表示加速度。
4. 动能（Kinetic Energy）：K = 0.5 * m * v^2其中，K表示动能，m表示质量。
5. 势能（Potential Energy）：P = 0.5 * k * x^2其中，P表示势能，k表示弹性系数。
6. 总机械能（Total Mechanical Energy）：E = K + P其中，E表示总机械能。
7. 振动周期（Vibration Period）：T = 2π/ω其中，T表示振动周期。
二、阻尼振动（Damped Vibration）阻尼振动指的是振动过程中受到了阻尼力的影响，导致振幅逐渐减小。
阻尼振动的一些重要的力学公式如下：1. 位移（Displacement）：x = A * e^(-βt) * cos(ωdt + φ)其中，x表示位移，A表示振幅，β表示阻尼系数，ωd表示阻尼角频率，t表示时间，φ表示相位。
2. 速度（Velocity）：v = -A * β * e^(-βt) * cos(ωdt + φ) - A * ωd * e^(-βt) * sin(ωdt + φ)其中，v表示速度。
3. 加速度（Acceleration）：a = A * (β^2 * e^(-βt) *cos(ωdt + φ) + 2β * ωd * e^(-βt) * sin(ωdt + φ)) - A *ωd^2 * e^(-βt) * cos(ωdt + φ)其中，a表示加速度。
什么称为力，力的单位？使物体获得加速度或变形，位移对另一个物体的作用称之为力，牛顿=1 公斤米 /秒方什么是应力，应力单位是什么？物体单位面积上受到的作用力称之为应力，单位N/CM 方。
什么称之为力矩？力和力臂的乘积为力矩单位 M=F.R正弦振动定义可以用时间的正弦函数和余弦函数表示其位移变化的运动叫做正弦振动，公式X （t ）=A随机振动的定义随机振动是瞬时值在任何瞬间不能确定的振动什么是加速度加速度是速度随时间的变化率什么是加速度谱密度即单位频率上的均方加速度值，单位用表示， g 是重力加速度， HZ 是每秒多少周的带宽。
什么是正弦振动的频率和周期物体或质点在单位时间（ 1s）内振动的次数为频率，物体或质点来回往复运动一次所经历的时间 T 称为振动周期。
什么是共振频率当外界激振频率与结构试件的固有频率一致时结构发生共振，对应于振动最大的频率为共振频率，反共振是指一个迫振系统，如果激振频率作稍微变化引起响应增加，这点称之为反共振点。
什么是均方根加速度给定时间间隔 T 内，加速度变化量X（t ）的均方根值冲击的特性是什么冲击的特性是冲击作用下产生的加速度幅值大，持续作用时间短，短至几毫秒时间。
简单冲击波形三要素加速度峰值持续时间波形什么是电压、电流电流是有规则的流动称之电流，单位是安培电压是正极和负极之间的电位差叫做电压，计量单位伏特欧姆定律的定义I =U/R 通过电路的电流 I ，等于该部分电路两端的电压 U 除以该部分电路的电阻 R什么叫电阻，用什么单位计量？电路中某两点间在一定电压作用下决定电流强度的物理量，称为电阻。
电阻也可以理解为物体对电流通过时呈现的阻力，计量单位是欧姆，电阻并联：R =什么是电容，计量单位？电容是储存电荷的能力叫做电容器量，简称电容，用C 表示。
计量单位：法拉、微法拉、微微法拉电容器并联时，总电容等于各个电容之和。
串联是，总电容的倒数等于各个电容倒数之和，而较其他任何一个电容器的电容为小。
振动台力学公式1、 求推力（F ）的公式F=（m 0+m 1+m 2+ ……）A …………………………公式（1）式中：F —推力（激振力）（N ）m 0—振动台运动部分有效质量（kg ）m 1—辅助台面质量（kg ）m 2—试件（包括夹具、安装螺钉）质量（kg ）A — 试验加速度（m/s 2）2、 加速度（A ）、速度（V ）、位移（D ）三个振动参数的互换运算公式2.1 A=ωv ……………………………………………………公式（2）式中：A —试验加速度（m/s 2）V —试验速度（m/s ）ω=2πf （角速度）其中f 为试验频率（Hz ）2.2 V=ωD ×10-3………………………………………………公式（3）式中：V 和ω与“2.1”中同义D —位移（mm 0-p ）单峰值2.3 A=ω2D ×10-3 ………………………………………………公式（4）式中：A 、D 和ω与“2.1”，“2.2”中同义公式（4）亦可简化为： A=D f ⨯2502式中：A 和D 与“2.3”中同义，但A 的单位为g1g=9.8m/s 2所以： A ≈D f ⨯252,这时A 的单位为m/s 2 定振级扫频试验平滑交越点频率的计算公式3.1 加速度与速度平滑交越点频率的计算公式f A-V =VA 28.6 ………………………………………公式（5） 式中：f A-V —加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（A 和V 与前面同义）。
3.2 速度与位移平滑交越点频率的计算公式DV f D V 28.6103⨯=- …………………………………公式（6） 式中：D V f -—加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（V 和D 与前面同义）。
3.3 加速度与位移平滑交越点频率的计算公式f A-D =DA ⨯⨯23)2(10π ……………………………………公式（7） 式中：f A-D — 加速度与位移平滑交越点频率（Hz ），（A 和D 与前面同义）。
动contents •简谐振动•阻尼振动与受迫振动•振动的合成与分解•振动在介质中的传播•多自由度系统的振动•非线性振动与混沌目录01简谐振动简谐振动的定义与特点定义简谐振动是最基本、最简单的振动形式，指物体在跟偏离平衡位置的位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
特点简谐振动的物体所受的回复力F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，且方向始终指向平衡位置；振动过程中，系统的机械能守恒。
动力学方程根据牛顿第二定律，简谐振动的动力学方程可以表示为F=-kx，其中F为回复力，k为比例系数，x为物体偏离平衡位置的位移。
运动学方程简谐振动的运动学方程可以表示为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相。
势能与动能在简谐振动过程中，系统的势能Ep和动能Ek都在不断变化，但它们的总和保持不变，即机械能守恒。
能量转换在振动过程中，势能和动能之间不断相互转换。
当物体向平衡位置运动时，势能减小、动能增加；当物体远离平衡位置时，势能增加、动能减小。
同方向同频率简谐振动的合成当两个同方向、同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动仍然是一个简谐振动，其振幅等于两个分振动振幅的矢量和，其初相等于两个分振动初相的差。
同方向不同频率简谐振动的合成当两个同方向、不同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动一般不再是简谐振动，而是比较复杂的周期性振动。
在某些特定条件下（如两个分振动的频率成简单整数比），合振动可能会呈现出一定的规律性。
相互垂直的简谐振动的合成当两个相互垂直的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动轨迹一般是一条复杂的曲线。
在某些特定条件下（如两个分振动的频率相同、相位差为90度），合振动轨迹可能会呈现出一定的规律性，如圆形、椭圆形等。
02阻尼振动与受迫振动阻尼振动的定义与分类定义阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于系统内部摩擦或外部介质阻力的存在，使振动幅度逐渐减小，能量逐渐耗散的振动。
工程力学中的振动模态和振型的计算方法在工程力学领域，振动模态和振型的分析与计算具有至关重要的意义。
它们对于结构设计、故障诊断、噪声控制等方面都发挥着关键作用。
那么，究竟什么是振动模态和振型？又有哪些有效的计算方法呢？振动模态是指结构在自由振动时的固有振动特性，包括固有频率、振型和阻尼比等。
而振型则是结构在某一固有频率下振动时各点位移的相对比值。
简单来说，振动模态反映了结构振动的“模式”，而振型则描述了这种模式下结构各部分的振动形态。
在实际工程中，计算振动模态和振型的方法有多种，下面我们来介绍几种常见的方法。
有限元法是目前应用最为广泛的一种方法。
它将连续的结构离散化为有限个单元，通过建立单元的刚度矩阵和质量矩阵，然后组装得到整个结构的总体刚度矩阵和总体质量矩阵，进而求解特征值问题得到振动模态和振型。
这种方法的优点是可以处理复杂的几何形状和边界条件，并且能够得到较为精确的结果。
但是，有限元法需要对结构进行网格划分，计算量较大，对于大型复杂结构可能需要较长的计算时间。
实验模态分析法是通过对实际结构进行实验测量来获取振动模态和振型的方法。
通常使用加速度传感器、力传感器等测量设备，对结构施加激励，然后测量结构的响应，通过信号处理和模态参数识别算法来得到模态参数。
实验模态分析法的优点是能够直接测量实际结构的振动特性，结果较为可靠。
但是，实验需要耗费较多的时间和成本，而且对于一些难以测量的结构部位可能存在困难。
传递矩阵法适用于一些具有特殊结构的系统，如轴系、梁等。
它通过将结构沿长度方向离散化为一系列单元，建立每个单元的传递矩阵，然后通过矩阵相乘得到整个结构的传递矩阵，从而求解振动模态和振型。
传递矩阵法的计算效率较高，但适用范围相对较窄。
子结构法是将复杂结构分解为若干个子结构，分别计算子结构的模态参数，然后通过综合得到整个结构的模态参数。
这种方法可以有效地降低计算规模，提高计算效率，尤其适用于大型复杂结构的分析。
振动台力学公式1、 求推力（F ）的公式F=（m 0+m 1+m 2+ ……）A …………………………公式（1） 式中：F —推力（激振力）（N ）m 0—振动台运动部分有效质量（kg ） m 1—辅助台面质量（kg ）m 2—试件（包括夹具、安装螺钉）质量（kg ）A — 试验加速度（m/s 2）2、 加速度（A ）、速度（V ）、位移（D ）三个振动参数的互换运算公式 2.1 A=ωv ……………………………………………………公式（2） 式中：A —试验加速度（m/s 2）V —试验速度（m/s ） ω=2πf （角速度） 其中f 为试验频率（Hz ）2.2 V=ωD ×10-3………………………………………………公式（3） 式中：V 和ω与“2.1”中同义D —位移（mm 0-p ）单峰值2.3 A=ω2D ×10-3 ………………………………………………公式（4） 式中：A 、D 和ω与“2.1”，“2.2”中同义 公式（4）亦可简化为：A=D f ⨯2502式中：A 和D 与“2.3”中同义，但A 的单位为g1g=9.8m/s 2所以： A ≈D f ⨯252,这时A 的单位为m/s 2 定振级扫频试验平滑交越点频率的计算公式 3.1 加速度与速度平滑交越点频率的计算公式f A-V =VA28.6 ………………………………………公式（5）式中：f A-V —加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（A 和V 与前面同义）。
3.2 速度与位移平滑交越点频率的计算公式DV f DV 28.6103⨯=- …………………………………公式（6） 式中：D V f -—加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（V 和D 与前面同义）。
3.3 加速度与位移平滑交越点频率的计算公式f A-D =DA ⨯⨯23)2(10π ……………………………………公式（7） 式中：f A-D — 加速度与位移平滑交越点频率（Hz ），（A 和D 与前面同义）。
根据“3.3”，公式（7）亦可简化为：f A-D ≈5×DA A 的单位是m/s 24、 扫描时间和扫描速率的计算公式 4.1 线性扫描比较简单：S 1=11V f f H - ……………………………………公式（8） 式中： S1—扫描时间（s 或min ）f H -f L —扫描宽带，其中f H 为上限频率，f L 为下限频率（Hz ） V 1—扫描速率（Hz/min 或Hz/s ）4.2 对数扫频： 4.2.1 倍频程的计算公式n=2Lg f f LgLH ……………………………………公式（9）式中：n —倍频程（oct ）f H —上限频率（Hz ） f L —下限频率（Hz ）4.2.2 扫描速率计算公式R=TLg f f LgLH2/ ……………………………公式（10）式中：R —扫描速率（oct/min 或）f H —上限频率（Hz ） f L —下限频率（Hz ） T —扫描时间 4.2.3扫描时间计算公式T=n/R ……………………………………………公式（11）式中：T —扫描时间（min 或s ）n —倍频程（oct ）R —扫描速率（oct/min 或oct/s ）5、随机振动试验常用的计算公式 5.1 频率分辨力计算公式:△f=Nf max……………………………………公式（12） 式中：△f —频率分辨力（Hz ）f max —最高控制频率 N —谱线数（线数） f max 是△f 的整倍数5.2 随机振动加速度总均方根值的计算 （1）利用升谱和降谱以及平直谱计算公式 PSD(g 2/Hz)功率谱密度曲线图（a ） A 2=W ·△f=W ×(f 1-f b ) …………………………………平直谱计算公式A 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎰111)(m b a b f f f f m f w df f w b ba……………………升谱计算公式 A 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎰121112111)(m f f f f m f w df f w ……………………降谱计算公式 式中：m=N/3 N 为谱线的斜率（dB/octive ） 若N=3则n=1时，必须采用以下降谱计算公式A3=2.3w 1f 1 lg12f f 加速度总均方根值：g mis=321A A A ++ （g ）…………………………公式（13-1）设：w=w b =w 1=0.2g 2/Hz f a =10Hz f b =20Hz f 1=1000Hz f 2=2000Hz w a →w b 谱斜率为3dB ，w 1→w 2谱斜率为-6dB利用升谱公式计算得：A 1=5.12010111202.011111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++m b ab b f f m f w 利用平直谱公式计算得：A 2=w ×（f 1-f b ）=0.2×(1000-20)=196利用降谱公式计算得：A 3 =1002000100011210002.0111212111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----m f f m f w 利用加速度总均方根值公式计算得：g mis=321A A A ++=1001965.1++=17.25(2) 利用平直谱计算公式：计算加速度总均方根值 PSD(g 2/Hz)功率谱密度曲线图（b ）为了简便起见，往往将功率谱密度曲线图划分成若干矩形和三角形，并利用上升斜率（如3dB/oct ）和下降斜率（如-6dB/oct ）分别算出w a 和w 2，然后求各个几何形状的面积与面积和，再开方求出加速度总均方根值g rms =53241A A A A A ++++ (g)……公式（13-2）注意：第二种计算方法的结果往往比用升降谱计算结果要大，作为大概估算可用，但要精确计算就不能用。
例：设w=w b +w 1=0.2g 2/Hz f a =10Hz f b =20Hz f 1=1000Hz f 2=2000Hz 由于f a 的w a 升至f b 的w b 处，斜率是3dB/oct ，而w b =0.2g 2/Hz10dB w w ab3lg= 所以w a =0.1g 2/Hz 又由于f 1的w 1降至f 2的w 2处,斜率是-6dB/oct ，而w 1=0.2g 2/Hz10dB w w 6lg12-= 所以w 2=0.05g 2/Hz 将功率谱密度曲线划分成三个长方形(A 1 A 2 A 3)和两个三角形（A 4 A 5），再分别求出各几何形的面积，则A 1=w a ×（f b -f a ）=0.1×(20-10)=1 A 2=w ×（f 1-f b ）=0.2×(1000-20)=196 A 3=w 2×（f 2-f 1）=0.05×(2000-1000)=50()()()()5.0210201.02.024=--=--=a b a b f f w w A()()()()7521000200005.02.0212214=--=--=f f w w A加速度总均方根值g rms =54321A A A A A ++++=755.0501961++++ =17.96（g ）5.3 已知加速度总均方根g (rms)值,求加速度功率谱密度公式S F =02.119802⨯rmsg ……………………………………………………公式（14） 设：加速度总均方根值为19.8g rms 求加速度功率谱密度S FS F =)/(2.002.119808.1902.11980222Hz g g rms =⨯=⨯ 5.4 求X p-p 最大的峰峰位移（mm ）计算公式准确的方法应该找出位移谱密度曲线，计算出均方根位移值，再将均方根位移乘以三倍得出最大峰值位移（如果位移谱密度是曲线，则必须积分才能计算）。
在工程上往往只要估计一个大概的值。
这里介绍一个简单的估算公式X p-p =1067·32131067oo o o f w f w ⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ……………………………………公式（15）式中：X p-p —最大的峰峰位移（mm p-p ）f o —为下限频率（Hz ）w o —为下限频率（f o ）处的PSD 值（g 2/Hz ） 设： f o =10Hz w o =0.14g 2/Hz则: X p-p =1067·p p o o o mm fw f w -=⨯=⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛6.121014.010*******3213 5.5 求加速度功率谱密度斜率(dB/oct)公式 N=10lgn w w LH/ (dB/oct)…………………………………………公式（16） 式中： n=lg2lg /LHf f （oct 倍频程） w H —频率f H 处的加速度功率谱密度值（g 2/Hz ） w L —频率f L 处的加速度功率谱密度值（g 2/Hz ）。
