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常见大题：1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件iA ”可以导致B 这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因iA 的概率问题 全概率公式：()()()1B |ni i i P B P A P A ==∑贝叶斯公式：1(|)()()()()ni i i jjj P A B P A P B A P A P BA ==∑｜｜一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。
先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=ii A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球，2分则b a aB P +=)(1，2分 111++++++++=b a a b a b b a a b a a b a a+=2分 依次类推2分二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？、解记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n==++，()1P A B =，()12r P A B =―—５分 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。
现在每次从中任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。
在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。
（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。
解设A 表示“任取一件产品被检验为正品”，B 表示“任取一件产品是正品”，则()96100P B =，()4100P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B =（1）由全概率公式得（2）这批产品被检验为合格品的概率为四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘x ’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘x ’。
题型3 平均数、标准差（方差）的计算问题例6 （2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100 人成绩的标准差为（ ）AB C ．3D ．85例7．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据123,,,,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均 数为 ，方差为 ．例8．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ． 84，4.84B ．84，1.6C ． 85，1.6D ．85，4题型6 古典概型与几何概型计算问题例11 （2008高考江苏2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ．例12．（2009年福建省理科数学高考样卷第4题）如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是 A ．4π B ．4πC ．44π-D ．π题型7 排列组合（理科）例14．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题）由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,则19a =A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430例15．（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题）有3张都标着字母A ，6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于 ．（用数字作答）题型8 二项式定理（理科）例15．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第12题）已知1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象 如图所示，则实数a 的值为___________．例16（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第4题）若23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，则5a 等于A ．56B ．56-C ．35D ．35-题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点） 例17．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第19题）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．例18．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试加试第4题）某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23． （1）求比赛三局甲获胜的概率； （2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X ，求X 的数学期望．分析：比赛三局甲即指甲连胜三局，可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲比赛的次数也就是本次比赛的次数，注意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．题型11 正态分布例19.（2008高考湖南理4）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4例20（2008高考安徽理10）设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>， 的密度函数图像如图所示．则有A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>理科部分一、选择题1．在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()222f x x bx a =++有两相异零点的概率是（ ）A ．16B ．14C ．13D ．122．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分别为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，则y 与x 的线性回归方程可能是（ ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =-5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．已知炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，则军火库发生爆炸的概率是 （ ） A ． 0.006 B ．0.4 C ． 0.5 D ． 0.6 6．从标有1237，，，，的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是（ ）A ．1649B ．1549C ．27D ．13497．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为 （ ）A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m8．6名同学报考,,A B C 三所院校，如果每一所院校至少有1人报考，则不同的报考方法共有（ ） A ．216种 B ．540种 C ．729种 D ．3240种 二、填空题9． 某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该高 学生中，剔除 人，高一、高二、高三抽取的人数依次是 ． 10． 5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 _____ ． 11．若x 50(1)x +展开式中最大的项是 项． 三、解答题13．甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．（1）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；（2）若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及E ξ． 15．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列．16．某地10（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系； （2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．1.分析：根据标准差的计算公式直接计算即可．解析： 平均数是520410*********3100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，标准差是s ====．答案B ．2.分析：根据平均数与方差的性质解决．解析：16,183.解析：C4.分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算公式计算．解析：点数和为4，即()()()1,3,2,2,3,1，基本事件的总数是36，故这个概率是31369=．或是数形结合处理． 5.分析：就是圆的面积和正方形面积的比值．解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是4π，答案A ．6.分析：按照千位的数字寻找规律．解析：千位是1的四位偶数有123318C A =，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014，答案A ．7.分析：由于字母A 是一样的，没有区别，故可以按照含有字母A 的多少分类解决，如含有2个字母A 时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可，再在其余位置上安排数字．解析：不含字母A 的有66720A =；含一个字母A 的有156667204320C A =⨯=；含两个字母A 时，24665400C A =；含三个字母A 时，33662400C A =．故总数为72043205400240012840+++=．8.分析：根据点列的图可以知道012,,a a a 的值，即可以通过列方程组解决.解析：由图123,4a a ==，又根据二项展开式113n n a C a na -===，()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====，解得13a =． 9.分析：根据展开式的系数之比求出n 值．解析：2323,n n a C a C =-=-，由23:1:7a a =，得8n =，故55856a C =-=-，答案B ．10.分析：根据对随机变量ξ的规定，结合,x y 的取值确定随机变量可以取那些值，然后根据其取这些值的意义，分别计算其概率．解析：（1）x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ．因此，随机变量ξ的最大值为3 ． 有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． （2）ξ的所有取值为3,2,1,0． 0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况， 1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况． 91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．11.解析：记甲n 局获胜的概率为n P ，3,4,5n =，（1）比赛三局甲获胜的概率是：333328()327P C ==； （2）比赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327P C ==；比赛五局甲获胜的概率是：232542116()()3381P C ==；甲获胜的概率是：3456481P P P ++=． （3）记乙n 局获胜的概率为'n P ，3,4,5n =．333311'()327P C ==，2343122'()()P C ==；23254128'()()P C ==；故甲比赛次数的分布列为：1882168107()3()4()5()27272727818127E X =⨯++⨯++⨯+=． 12.分析：根据正态密度曲线的对称性解决． 解析：B 根据正态密度曲线的对称性，即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2x =对称，故1122c c ++-=，即2c =．13.分析：根据正态密度曲线的性质解决．解析：A 根据正态分布),(2σμN 函数的性质：正态分布曲线是一条关于μ=x 对称，在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．理科部分1．解析：D 根据题意,a b 应满足22b a >，即b a >，以(),a b 为点，在aob 平面上，结合图形可知这个概率为12． 2．解析：A 线性回归直线一定过样本中心点()2.5,3.5，故选A ．3．解析：D 设A B C ，，分别表示炸中第一、第二、第三座军火库这三个事件．则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.1P C =．设D 表示”军火库爆炸”，则D A B C =．又AB C ，，∵彼此互斥， ()()()()()0.20.30.10.6P D P A B C P A P B P C ==++=++=∴．4．解析：A 基本事件总数为7749⨯=个，而满足条件的基本事件个数为16个：(13)(22)(31)(17)(26)(35)(44)，，，，，，，，，，，，，，(53)(62)(71)(57)(66)(75)(67)(76)(77)，，，，，，，，，，，，，，，，，．故所求事件的概率为1649．5．解析：B 根据随机模拟的思想，可以认为树叶落在该场地上是随机的，这样椭圆草坪的面积和整个矩形场地的面积之比就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个矩形场地上的树叶数目之比．23009660401632()300m -⨯⨯=．6．解析：B 先将6名同学分成()()()1,1,4;1,2,3;2,2,2三组，再分配到三所院校．其中()()1,1,4,2,2,2涉及到均匀分组，注意考虑分组的特殊性．540!3121332224262336111246=⎪⎭⎫ ⎝⎛++A C C C C C C C C ，选B ． 7．解析：二 2，80、60、50 总体人数为400302250952++=（人），∵9525190=……余2，400805=，3022605-=，250505=，∴从高二年级中剔除2人，所以从高一，高二，高三年级中分别抽取80人、60人、50人． 8．解析：25101(2x x ++=，其展开式的第1r +项为101010222110102r r rr r r rr T C C x----+==，令10022r r--=，则5r =，即展开式中的常数项是第6项，该项的值为552102C -=．9．解析：30 设第1r +项为1r T +且最大，则有11505011112505029r r r r r r r R r r r r C C T T r T T C C --+++++⎧⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎪⎪⎩⎩≥≥≥≥． ∴50(1)x +展开式中第30项最大． 10． 解析一：（1）甲运动员击中10环的概率是：10.10.10.450.35---=设事件A 表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，则()0.350.450.8P A =+=． 事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：恰有1次击中9环以上，概率为()()121130.810.80.096P C =-=； 恰有2次击中9环以上，概率为()()212230.810.20.384P C =-=·； 恰有3次击中9环以上，概率为()()33330.810.80.512P C =-=·． 因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率1230.992P P P P =++=． （2）记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B ，则()10.10.150.75P B =--=． 因为ξ表示2次射击击中9环以上的次数，所以ξ的可能取值是0,1,2． 因为()20.80.750.6P ξ==⨯=； ()()()10.810.7510.80.750.35P ξ==⨯-+-⨯=；()()()010.810.750.05P ξ==-⨯-=．所以ξ的分布列是所以00.0510.3520.6 1.55E ξ=⨯+⨯+⨯=． 解析二：（1）设事件A 表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上”(含9环，下同)，则()0.350.450.8P A =+=．甲运动员射击3次，均未击中9环以上的概率为()30030.810.80.008P C =⨯-=·． 所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率010.992P P =-=．（2）同解析一．11．解析：（1）有放回抽样时，取到的黑球数X 可能的取值为0,1,2,3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为（２）不放回抽样时，取到的黑球数Y 可能的取值为0,1,2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15CC P Y C ===．因此，Y 的分布列为12．解析：（1）由题意知，年收入x ．从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．6x =∵， 1.83y =，1021406ii x ==∑，102135.13ii y ==∑，101117.7i i i x y ==∑，0.172b ≈∴， 1.830.17260.798a y bx =-=-⨯=．从而得到回归直线方程为0.1720.798y x =+． （2）0.17290.798 2.346y =⨯+=万元．。
概率论与数理统计案例分析概率论与数理统计作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
本文将通过一些具体案例来分析概率论和数理统计在实际中的应用。
案例一：市场营销中的A/B测试在市场营销领域，A/B测试是一种常见的实验设计方法，用于比较两种不同的营销策略、广告设计或产品设计等。
假设某电商公司希望提高其网站用户的转化率，他们可以设计一个A/B测试来比较两种不同的促销活动对用户购买行为的影响。
首先，将用户随机分为两组，一组接受A方案，另一组接受B方案。
然后通过收集和分析用户的购买数据，可以利用概率论和数理统计方法来评估两种方案的效果。
通过统计显著性检验和置信区间分析，可以得出结论，哪种方案对用户购买行为影响更大，从而指导公司的营销策略。
案例二：医学研究中的双盲试验在医学研究领域，双盲试验是一种常用的研究设计，用于评估新药物的疗效。
在一次双盲试验中，研究者和参与者都不知道哪些人接受了治疗，哪些人接受了安慰剂。
通过随机分组和盲法设计，可以最大程度地减少实验结果的偏倚。
利用概率论和数理统计方法，研究人员可以对试验数据进行分析，来评估新药物的疗效是否显著，以及是否出现不良反应等情况。
通过以上案例分析，可以看出概率论和数理统计在实际中的重要性和应用价值。
无论是市场营销领域还是医学研究领域，都离不开对数据的收集、分析和解释。
掌握好概率论和数理统计知识，对于提高决策的科学性和准确性有着重要的意义。
希望本文的案例分析能够让读者更深入地理解概率论和数理统计的实际应用，为他们在相关领域的工作和研究提供一定的启发和帮助。
概率论与数理统计重点总结及例题解析(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。
现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。
（同步45页三、1）解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。
P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)＝，P(B| A2)＝，P(B| A3)＝。
由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。
若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少（同步49页三、1）【】练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。
解：设事件i A ={从第i 箱取的零件}，i B ={第i 次取的零件是一等品}（1）P(1B )=P(1A )P(1B |1A )+P(2A )P(1B |2A )=52301821501021=+ （2）P(1B 2B )=194.02121230218250210=+C C C C ,则P(2B |1B )=)()(121B P B B P = 二、连续型随机变量的综合题例：设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=othersx x x f 020)(λ求：（1）常数λ；（2）EX ；(3)P{1<X<3}；（4）X 的分布函数F(x)（同步47页三、2）解：(1)由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 (2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P(4)当x<0时，⎰∞-==xdt x F 00)( 当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()( 当x ≥2时，F （x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)( 且E(X)=7/12。
初一数学统计与概率试题答案及解析1.下列事件是不确定事件的是………………………………………………（）A．三角形一条中线把三角形分成面积相等的两部分；B．在图形的旋转变换中，面积不会改变C．掷一枚硬币，停止后正面朝上D．抛出的石子会下落【答案】C【解析】ABD都是一定会发生的事件，而C正面朝上的概率为，为不确定时间，故选C2.某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表:-项目三好学生优秀学生干部优秀团员-已知该班共有28人获得奖励,其中获得两项奖励的有13人,那么该班获得奖励最多的一位同学可获得的奖励为( )- A.3项- B.4项- C.5项- D.6项【答案】B【解析】试题考查知识点：概率问题思路分析：抓住学生和班干部是不兼容的具体解答过程：如果某同学是一位班干部，那么他最多可获得的奖励可以有市级、校级优秀学生干部和市级、校级优秀团员等四项奖励；如果某同学是一位普通学生（是团员），那么他最多可获得的奖励可以有市级、校级三好学生和市级、校级优秀团员等四项奖励；如果某同学是一位普通学生（不是团员），那么他最多可获得的奖励可以有市级、校级三好学生等两项奖励；综上所述，该班获得奖励最多的一位同学可获得的奖励为4项。
试题点评：分情况讨论即可。
3.一个扇形统计图，某一部分所对应扇形的圆心角为108°，则该部分在总体中所占的百分比是．【答案】30%．【解析】因为圆心角的度数=百分比×360°，所以该部分在总体中所占有的百分比=108°÷360°=30%．【考点】扇形统计图．4.小明是2013年入学的，现就读的班级是2014-2015学年八年级2班，座位号是15号，他发现他的学号是20130215．若小英的学号是20120310，则小英现就读的班级是班，座位号是号．【答案】2015届九年级3班，10．【解析】根据学号的表示：前四位是年级， 56位是班级，七八位是座位号，可得答案．小英的学号是20120310，则小英现就读的班级是2015届九年级3班，座位号是10号，【考点】用数字表示事件5.已知样本容量为30，在频数分布直方图中共有三个小长方形，各个小长方形的高的比值是2：4：3，则第三组的频数为（）A．10B．12C．9D．8【答案】A．【解析】用30乘以第三组的高所占的比例即可，即第三组的频数为30×=10．故答案选A．【考点】频数（率）分布直方图．6.某次测验后，60﹣70分这组人数占全班总人数的20%，若全班有45人，则该组的频数为．【答案】9．【解析】用总人数45乘以60﹣70分这组人数占全班总人数的百分比即可得该组的频数，即频数=45×20%=9．【考点】频数与频率．7.下列调查方式，你认为最合适的是（）A．了解恒安新区每天的流动人口数，采用抽样调查方式B．要了解全市七年级学生英语单词的掌握情况，采用全面调查方式C．了解矿区居民日平均用水量，采用全面调查方式D．旅客进火车站上车前的安检，采用抽样调查方式【答案】A.【解析】选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由此可得选项A，了解恒安新区每天的流动人口数，宜采用抽样调查方式；选项B，要了解全市七年级学生英语单词的掌握情况，宜采用抽样调查方式；选项C，了解矿区居民日平均用水量，宜采用抽样调查方式；选项D，旅客进火车站上车前的安检，宜采用全面调查方式.故答案选A.【考点】全面调查与抽样调查．8.（3分）下列抽样调查较科学的是（）①小琪为了了解某市2007年的平均气温，上网查询了2007年7月份31天的气温情况②小华为了了解初中三个年级平均身高，在2014-2015学年七年级抽取了一个班的学生做调查③小智为了了解初中三个年级的平均体重，在七、八、2015届九年级各抽一个班学生进行调查④小明为了知道烤箱内的面包是否熟了，任意取出一小块品尝．A．①②B．②③C．③④D．②④【答案】C．【解析】抽样调查只考查总体中的一部分个体，因此它的优点是调查范围小，节省人力、物力、财力，但结果往往不如全面调查得到的结果准确，为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性．由此可得①一年中不同季节气温变化是很大的，调查时只选了一天的情况，调查的对象太少，缺乏代表性，也不符合广泛性；②要了解初中三个年级的情况，一个年级的学生不具代表性，不科学；③和④的抽样调查符合样本的代表性和广泛性的标准，是较科学的，故答案选C．【考点】全面调查与抽样调查．9.下列调查中，适合全面调查方式的是（）A．调查人们的环保意识B．调查端午节期间市场上粽子的质量C．调查某班50名同学的体重D．调查某类烟花爆炸燃放安全质量【答案】C【解析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．A、人数多，不容易调查，因而适合抽样调查；B、数量较多，不易全面调查；C、数量较少，易全面调查；D、数量较多，具有破坏性，不易全面调查．【考点】全面调查与抽样调查10.下列调查中，最适宜采用全面调查方式（普查）的是（）A．对重庆市中学生每天学习所用时间的调查B．对全国中学生心理健康现状的调查C．对某班学生进行6月5日是“世界环境日”知晓情况的调查D．对重庆市初中学生课外阅读量的调查【答案】C．【解析】A、对重庆市中学生每天学习所用时间的调查，人数众多，适宜采用抽样调查，故此选项错误；B、对全国中学生心理健康现状的调查，人数众多，适宜采用抽样调查，故此选项错误；C、对某班学生进行6月5日是“世界环境日”知晓情况的调查，人数不多，适宜采用全面调查，故此选项正确；D、对重庆市初中学生课外阅读量的调查，人数众多，适宜采用抽样调查，故此选项错误；故选C．【考点】全面调查与抽样调查．11.綦江县教委在推进课堂教学改革的过程中，为了切实减轻学生的课业负担，对义务教育阶段低年级学生原则上要求老师不布置课外作业，2015届九年级学生每天的课外作业总时间不得超过1小时（学生阅读、自学除外）：为了了解各校情况，县教委对其中40个学校2015届九年级学生课外完成作业时间调研后进行了统计，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）计算出学生课外完成作业时间在30～45分钟的学校对应的扇形圆心角；（2）将图中的条形图补充完整；（3）计算出学生课外完成作业时间在60～75分钟的学校占调研学校总数的百分比．【答案】（1）162°；（2）补图见解析，（3）10%．【解析】由扇形统计图可知：（1）学生课外完成作业时间在30～45分钟的学校对应的扇形圆心角为360°×45%=162°；（2）15-30段的学校个数为40×30%=12个；（3）60-75分的学校为40-12-18-6=4个，则占的百分比为×100%=10%．试题解析：（1）360°×45%=162°；（2）40×30%=12；如图；（3）40-12-18-6=4，×100%=10%．【考点】1.条形统计图；2.扇形统计图．12.（4分）一组样本数据：101，98，102，100，99的方差是（）A．0B．1C．10D．2【答案】D【解析】欲求“方差”，根据题意，先求出这组数据的平均数，再利用方差公式计算．即平均数=（99+98+101+102+100）=100，方差s2=[（99﹣100）2+（98﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（100﹣100）2]=2.故选D．【考点】方差13.下列调查中，调查方式选择合理的是（）A．为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查B．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查C．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查【答案】B【解析】：A、为了了解某一品牌家具的甲醛含量，因为普查工作量大，适合抽样调查，故本选项错误；B、为了了解某公园的游客流量，选择抽样调查，故本项正确；C、为了了解神州飞船的设备零件的质量情况的调查是精确度要求高的调查，适于全面调查，故本选项错误；D、为了了解一批袋装食品是否有防腐剂，选择抽样调查，故本项错误，故选：B．【考点】抽样调查和全面调查14.某市将大、中、小学生的视力进行抽样分析，其中大、中、小学生的人数比为2:3:5，若已知中学生被抽到的人数为150人，则应抽取的样本容量等于（）A．1500B．1000C．150D．500【答案】 D【解析】大、中、小学生的人数比为2:3:5，所以３份为150人，每份50人，故总数为50×10=500人，故选D．【考点】抽样调查15.已知样本数据为1，2，3，4，5，则它的方差为（）A．10B．C．2D．【答案】C．【解析】先计算出数据的平均数，然后根据方差公式计算．平均数=（1+2+3+4+5）=3，所以s2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．故选C．【考点】方差．16.（2015秋•陕西校级期末）在“国庆车展”期间，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，图①是各型号参展轿车的百分比，图②是已售出的各型号轿车的数量．（两幅统计图尚不完整）（1）参加展销的D型号轿车有多少辆？（2）请你将图②的统计图补充完整；（3）通过计算说明哪一款型号的轿车销售情况最好？【答案】（1）250辆；（2）见解析；（3）D型号的轿车销售的情况最好【解析】（1）先利用扇形统计图计算出参加展销的D型号轿车所占的百分比，然后用这个百分比乘以1000即可得到参加展销的D型号轿车的数量；（2）先利用扇形统计图得到参加展销的C型号轿车所占的百分比，则可计算出参加展销的C型号轿车的数量，然后把参加展销的C型号轿车的数量乘以50%得到售出的C型号轿车的数量，再补全条形统计图；（3）分别计算出各型号轿车的销售的成交率，然后比较它们的大小即可判断哪一款型号的轿车销售情况最好．解：（1）1000×（1﹣35%﹣20%﹣20%）=1000×25%=250（辆），所以参加展销的D型号轿车有250辆；（2）1000×20%×50%=100（辆），如图2，（3）四种轿车的成交率分别为：A：×100%=48%，B：×100%=49%，C：50%，D：×100%=52%．所以D型号的轿车销售的情况最好．【考点】条形统计图；扇形统计图．17.下列调查中，适合采用普查方式的是（）A．对小北江水质情况的调查B．对市场上腊味质量情况的调查C．对某班48名同学体重情况的调查D．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查【答案】C．【解析】A、对小北江水质情况的调查，不适合采用普查，故选项错误；B、对市场上腊味质量情况的调查，费事费力，不适合采用普查，故选项错误；C、对某班48名同学体重情况的调查，调查范围较小，比较容易做到，适合普查，故本选项正确；D、对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查，不适合采用普查，故选项错误．故选C．【考点】全面调查与抽样调查．18.为了了解某校1500名学生的体重情况，从中抽取了100名学生的体重，就这个问题来说，下面说法正确的是（）A．1500名学生是总体B．1500名学生的体重是总体C．每个学生是个体D．100名学生是所抽取的一个样本【答案】B【解析】根据题意由抽样调查的意义，可知总体是1500名学生的体重情况，每个学生的体重是个体，100名学生的体重是所抽取的一个样本．故选B【考点】抽样调查19.为了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽查了100•名运动员的年龄．就这个问题来说，下面说法中正确的是（）A．2000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．100名运动员是抽取的一个样本D．抽取的100名运动员的年龄是样本【答案】D【解析】2000名运动员的年龄是总体；每个运动员的年龄是个体；100名运动员的年龄是抽取的样本．【考点】总体、个体、样本的定义20.（2015•路北区一模）如图所示是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户居民家庭教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（）A．甲户比乙户大B．乙户比甲户大C．甲、乙两户一样大D．无法确定哪一户大【答案】B【解析】根据条形统计图及扇形统计图分别求出甲乙两人教育支出所占的百分比，比较大小即可做出判断．解：由条形统计图可知，甲户居民全年总支出为1200+2000+1200+1600=6000（元），教育支出占总支出的百分比为×100%=20%，乙户居民教育支出占总支出的百分比为25%，则乙户居民比甲户居民教育支出占总支出的百分比大．故选B．【考点】条形统计图；扇形统计图．21.（2014•湖州）下面的频数分布折线图分别表示我国A市与B市在2014年4月份的日平均气温的情况，记该月A市和B市日平均气温是8℃的天数分别为a天和b天，则a+b= ．【答案】12【解析】根据折线图即可求得a、b的值，从而求得代数式的值．解：根据图表可得：a=10，b=2，则a+b=10+2=12．故答案为：12．【考点】频数（率）分布折线图．22.（2015秋•岑溪市期末）为了了解我区2014年一模考试数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的一模数学成绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指（）A．150B．被抽取的150名考生C．被抽取的150名考生的一模数学成绩D．我区2014年一模考试数学成绩【答案】C【解析】根据从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，即可得出答案．解：了解我区2014年一模考试数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的一模数学成绩进行统计分析．样本是被抽取的150名考生的一模数学成绩．故选：C．【考点】总体、个体、样本、样本容量．23.某公园元旦期间，前往参观的人非常多．这期间某一天某一时段，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，并绘制成如下图表．表中“10～20”表示等候检票的时间大于或等于10min而小于20min，其它类同．（1）这里采用的调查方式是（填“普查”或“抽样调查”），样本容量是；（2）表中a= ，b= ，并请补全频数分布直方图；（3）在调查人数里，若将时间分段内的人数绘成扇形统计图，则“40～50”的圆心角的度数是．【答案】（1）抽样调查，40；（2）a=0.350；b=5；（3）45°．【解析】（1）由于前往参观的人非常多，5月中旬的一天某一时段，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，由此即可判断调查方式，根据已知的一组数据可以求出接受调查的总人数c；（2）总人数乘以频率即可求出b，利用所有频率之和为1即可求出a，然后就可以补全频率分布直方图；（3）用周角乘以其所在小组的频率即可求得其所在扇形的圆心角；解：（1）填抽样调查或抽查；总人数为：8÷0.200=40；（2）a=1﹣0.200﹣0.250﹣0.125﹣0.075=0.350；b=8÷0.200×0.125=5；频数分布直方图如图所示：（3）“40～50”的圆心角的度数是0.125×360°=45°．故答案为：抽样调查，40；a=0.350，b=5；45°．【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；扇形统计图．24.为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查．下列抽取学生的方法最合适的是（）A．随机抽取该校一个班级的学生B．随机抽取该校一个年级的学生C．随机抽取该校一部分男生D．分别从该校初一、初二、初三年级中各随机抽取10%的学生【答案】D【解析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．解：因为要了解初中的视力情况范围较大、难度较大，所以应采取抽样调查的方法比较合适，本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析，故只有D符合实际并具有普遍性，故选：D．【考点】全面调查与抽样调查．25.（2015•南昌）某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）回收的问卷数为份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为．（2）把条形统计图补充完整（3）若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？【答案】（1）120，30°；（2）见解析；（3）1375人．【解析】（1）用“从来不管”的问卷数除以其所占百分比求出回收的问卷总数；用“严加干涉”部分的问卷数除以问卷总数得出百分比，再乘以360°即可；（2）用问卷总数减去其他两个部分的问卷数，得到“稍加询问”的问卷数，进而补全条形统计图；（3）用“稍加询问”和“从来不管”两部分所占的百分比的和乘以1500即可得到结果．解：（1）回收的问卷数为：30÷25%=120（份），“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为：×360°=30°．故答案为：120，30°；（2）“稍加询问”的问卷数为：120﹣（30+10）=80（份），补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1500×=1375（人），则估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有1375人．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．26.如图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），则捐款不少于15元的有（）A．40人B．32人C．20人D．12人【答案】B【解析】利用频数分布直方图可得各捐款数段的人数，然后把后两组的人数相加即可．解：由频数分布直方图得后两组的捐款不少于15元，所以捐款不少于15元的有20+12=32（人）．故选B．【考点】频数（率）分布直方图．27.为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项：A 1.5小时以上；B 1～1.5小时；C 0.5～1小时；D 0.5小时以下．图1、2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：（1）本次一共调查了多少名学生？（2）在图1中将选项B的部分补充完整；（3）若该校有3000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下．【答案】（1）本次一共调查了200位学生；（2）画图见解析；（3）学校有150人平均每天参加体育锻炼在0.5小时以下．【解析】（1）读图可得：A类有60人，占30%即可求得总人数；（2）计算可得：“B”是100人，据此补全条形图；（3）用样本估计总体，若该校有3000名学生，则学校有3000×5%=150人平均每天参加体育锻炼在0.5小时以下．解：（1）读图可得：A类有60人，占30%；则本次一共调查了60÷30%=200人；本次一共调查了200位学生；（2）“B”有200﹣60﹣30﹣10=100人，画图正确；（3）用样本估计总体，每天参加体育锻炼在0.5小时以下占5%；则3000×5%=150，学校有150人平均每天参加体育锻炼在0.5小时以下．【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．28.在我市百万读书工程活动中，就我县中小学教师阅读状况进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了教师每年阅读书籍数量的统计图（不完整），设x表示阅读书籍的数量（x为正整数，单位：本），其中A：1≤x≤3，B：4≤x≤6，C：7≤x≤9，D：x≥10．（1）本次共调查了名教师；（2）扇形统计图中扇形D的圆心角的度数为 °．【答案】（1）200；（2）72．【解析】（1）用A组的频数除以A组所占的百分比即可求得抽查的教师人数；（2）用总人数减去A、B、C组的频数即可求得D组的频数，用该组的频数除以总人数乘以周角的度数即可求得圆心角的度数．解：（1）本次共调查教师38÷19%=200（人），故答案为：200；（2）D组的频数为：200﹣38﹣74﹣48=40，扇形统计图中扇形D的圆心角的度数360°×=72°，故答案为：72．29.为了了解某校七年级期末考数学科各分数段成绩分布情况，从该校七年级抽取200名学生的期末考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是（）A．200B．被抽取的200名学生C．被抽取的200名学生的期末考数学成绩D．某校七年级期末考数学成绩【答案】C【解析】根据从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，即可得出答案．解：为了了解某校七年级考数学科各分数段成绩分布情况，从中抽取200名考生的段考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是被抽取的200名考生的段考数学成绩，故选：C．30.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（）A．2B．4C．12D．16【答案】B【解析】首先设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．解：设黄球的个数为x个，根据题意得：=，解得：x=4．∴黄球的个数为4．故选B．。
《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。
分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。
()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。
例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析：这是古典概型的问题。
另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。
解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注：这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。
（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。
解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
2007年(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p (0<p <1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) 23(1)p p -． (B) 2)1(6p p -.(C) 22)1(3p p -． (D) 22)1(6p p -． 【 】【答案】应选 (C) .【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：2213)1(p p C -. 故选(C) .(10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)()(y f x f Y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的密度)|(|y x f Y X 为 (A) )(x f X ． (B) )(y f Y ． (C ) )()(y f x f Y X . (D))()(y f x f Y X ． 【 】 【答案】应选 (A) .【详解】因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是)|(|y x f Y X =)(x f X . 因此选(A) .【评注】对于二维连续型随机变量(Ｘ,Ｙ)，有Ｘ与Ｙ相互独立⇔ f (x , y )=)()(y f x f X X ⇔)|(|y x f Y X =)(x f X ⇔)|(|x y f X Y =)(y f Y .(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于21的概率为____________． 【答案】应填43. 【详解】这是一个几何概型, 设x , y 为所取的两个数, 则样本空间}1,0|),{(<<=y x y x Ω, 记}21||,),(|),{(<-∈=y x y x y x A Ω.故 ΩS S A P A =)(43143==，其中ΩS S A ,分别表示A 与Ω 的面积. (23) (本题满分11分)设二维随机变量(X , Y )的概率密度为 2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它.(I) 求{}Y X P 2>；(II) 求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z . 【详解】(I) {}Y X P 2>⎰⎰>=yx dxdy y x f 2),(⎰⎰--=12210)2(ydx y x dy 247=. (II) 方法一： 先求Z 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(当z <0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ⎰⎰=1),()(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰---=yz zdx y x dy 0)2(3231z z -=； 当21<≤z 时, ⎰⎰-=2),(1)(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰-----=111)2(1yz z dx y x dy3)2(311z --=； 当2≥z 时, 1)(=z F Z . 故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z =)(z F Z '⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z方法二： ⎰∞+∞--=dx x z x f z f Z ),()(，⎩⎨⎧<-<<<---=-.,0,10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ⎩⎨⎧+<<<<-=.,0,10,10,2其他x z x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ; 当01z <<时, ⎰-=zZ dx z z f 0)2()()2(z z -=；当21<≤z 时, ⎰--=11)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z(24) (数1, 3)(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<<=.,0,1,)1(21,0,21),(其它x x x f θθθθθ 其中参数θ(0<θ<1)未知, n X X X 21,是来自总体X 的简单随机样本, X 是样本均值 (I) 求参数θ的矩估计量θˆ；(II) 判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由. 【详解】(I) dx x xf X E ),()(θ⎰∞+∞-=dx xdx x ⎰⎰-+=10)1(22θθθθ .412)1(414+=++=θθθ令 X =+412θ, 其中 ∑==ni i X n X 11，解方程得θ的矩估计量为: θˆ=212-X . (II) )]()([4)(4)4(222X E X D X E X E +==)]()([42X E nX D +=, 而 dx x f x X E ),()(22θ⎰∞+∞-=dx x dx x ⎰⎰-+=1202)1(22θθθθ .616132++=θθ )()()(22X E X E X D -=22)4121(61613+-++=θθθ 4851211212+-=θθ， 故 )4(2X E )]()([42X E n X D +=nn n n n n 1253133132++-++=θθ2θ≠,所以24X 不是2θ的无偏估计量.(24) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 独立分布, 且X 的概率分布为313221PX 记{}{}Y X V Y X U ,min ,,max ==.(I) 求(U , V )的概率分布;(II) 求(U , V )的协方差C ov (U , V ).【详解】(I) 易知U , V 的可能取值均为: 1, 2. 且{}{}})1,min ,1,(max )1,1(=====Y X Y X P V U P)1,1(===Y X P 94)1()1(====Y P X P , {}{}0})2,min ,1,(max )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,min ,2,(max )1,2(=====Y X Y X P V U P)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P )2()1()1()2(==+===Y P X P Y P X P 94=, {}{}})2,min ,2,(max )2,2(=====Y X Y X P V U P)2()2()2,2(======Y P X P Y X P 91=, 故(U , V )的概率分布为:(II) 9122941209411)(⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=UV E 916=, 而 914952941)(=⨯+⨯=U E , 910912981)(=⨯+⨯=V E .故 814910914916)()()(),(=⨯-=-=V E U E UV E V U Cov .2006年一、设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤=91。
