中考数学二轮复习专题水平测试.操作性问题

专题13：操作性问题一、选择题1.(2017福建第10题)如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB 和点P 绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A B ''和点P '，则点P '所在的单位正方形区域是（ ）A ．1区B ．2区C ．3区D ．4区2.（2017广东广州第2题）如图2，将正方形ABCD 中的阴影三角形绕点A 顺时针旋转90°后，得到图形为 （ ）3.（2017湖南长沙第12题）如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则mn的值为（ ） A ．22 B ．21 C ．215- D ．随H 点位置的变化而变化4.（2017山东青岛第5题）如图，若将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°则顶点B 的对应点B 1的坐标为（ ）A.)2,4(-B.)4,2(-C. )2,4(-D.)4,2(-二、填空题1.(2017北京第15题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆可以看作是OCD ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由OCD ∆得到AOB ∆的过程： ．2. (2017北京第16题)下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知：0,90Rt ABC C ∆∠=，求作Rt ABC ∆的外接圆.作法：如图．（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于,P Q 两点；（2）作直线PQ ，交AB 于点O ； （3）以O 为圆心，OA 为半径作O .O 即为所求作的圆.请回答：该尺规作图的依据是 ．3.(2017天津第18题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点C B A ,,均在格点上. （1）AB 的长等于 ；（2）在ABC ∆的内部有一点P ，满足2:1:::=∆∆∆PCA PBC PAB S S S ，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明） .4.(2017山东滨州第15题)在平面直角坐标系中，点C 、D 的坐标分别为C (2，3)、D (1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为_______．5.(2017山东滨州第16题)如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在AB 边上的E 处，EQ 与BC 相交于点F ．若AD ＝8，AB ＝6，AE ＝4，则△EBF 周长的大小为___________．ABCDHQGFE6.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD 中，53AB BC ==，,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是.7.（2017浙江台州第8题）如图，已知等腰三角形,ABC AB AC =，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AE EC =B ．AE BE = C. EBC BAC ∠=∠D ．EBC ABE ∠=∠8.（2017浙江湖州第9题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（ ）9.(2017浙江舟山第9题)一张矩形纸片ABCD ，已知2,3==AD AB ，小明按下图步骤折叠纸片，则线段DG 长为（ ）A ．2B ．22 C.1 D ．2三、解答题1.（2017广东广州第20题） 如图12，在Rt ABC ∆中，0090,30,23B A AC ∠=∠==.（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若ADE ∆的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值． 2.（2017山东青岛第15题）已知：四边形ABCD ．求作：点P ．使∠PCB ＝∠B ，且点P 到AD 和CD 的距离相等。

备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题）翻折变换（折叠问题）专训单选题：1、(2017长安.中考模拟) 如图，对△ABC纸片进行如下操作：第1次操作：将△ABC沿着过AB中点D1的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，折痕D1E1到BC的距离记作h1，然后还原纸片；第2次操作：将△AD1E1沿着过AD1中点D2的直线折叠，使点A落在D1E1边上的A1处，折痕D1E1到BC的距离记作h2，然后还原纸片；…按上述方法不断操作下去…，经过第n次操作后得到的折痕Dn En到BC的距离记作hn ，若h=1，则hn的值不可能是（）A .B .C .D .2、(2019吴兴.中考模拟) 如图，将长BC=8cm，宽AB=4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A . 4cmB . cmC . cmD . c3、(2017长清.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A . 2B .C . 1D .4、(2017武汉.中考模拟) 如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A . 12B . 16C . 18D . 245、(2013百色.中考真卷) 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使DA 与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′E的长是（）A . 1B .C .D . 26、(2015.中考真卷) 如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A . （4，8）B . （5，8）C . （，）D . （，）7、(2012遵义.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）A . 3B . 2C . 2D . 28、(2020南岸.中考模拟) △ABC中，∠ACB=45°，D为AC上一点，AD=5 ，连接BD，将△ABD沿BD翻折至△EBD，点A的对应点E点恰好落在边BC上.延长BC至点F，连接DF，若CF=2，tan∠ABD= ，则DF长为（）A .B .C . 5D . 79、(2020鄞州.中考模拟) 三角形纸片ABC中，∠C=90°，甲折叠纸片使点A与点B 重合，压平得到的折痕长记为m；乙折叠纸片使得CA与CB所在的直线重合，压平得到的折痕长记为n，则m，n的大小关系是（）A . m≤nB . m<nC . m≥nD . m>n10、(2020沙河.中考模拟) 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根。

2024成都中考数学二轮复习微专题利用两点之间线段最短解决最值问题模型一“一线两点”型(一个动点＋两个定点)类型一线段和最小值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P.注：也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P′.模型应用1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝63，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为________．第1题图S矩形ABCD，2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是矩形内一动点，满足S△P AB＝13则PA＋PB的最小值为________．第2题图模型迁移3.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象相交于A(3，5)、B(a，－3)两点，与x轴交于点C.第3题图(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P为y轴上的动点，当PB＋PC取最小值时，求△BPC的面积．4.如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．第4题图类型二线段差最大值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：根据两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即AB的长，连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：将两定点异侧转化为同侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′并延长与直线l交于点P.模型应用5.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，点P是EF上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．第5题图6.如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BP－EP的最大值为________．第6题图7.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6，P为对角线BD上一动点，则PM－PN的最大值为________．第7题图模型迁移8.已知抛物线y＝x2－2x－8与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P 是抛物线对称轴上的一个动点，当|PB－PC|有最大值时，求点P的坐标．模型二“一点两线”型(两个动点＋一个定点)类型一两条线段的和最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的边OB上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PM ＋MN的值最小．解题思路：要使PM＋MN的值最小，设法将PM、MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可解决．作点P关于OA的对称点P′，过点P′作OB的垂线，分别与OA，OB交于点M、N.模型应用9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q 分别是AD，AC上的动点，则PC＋PQ的最小值为________．第9题图10.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，点M，N分别为BD，CD上的动点，则CM＋MN的最小值为________．第10题图类型二周长最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 的周长最小．解题思路：要使△PMN的周长最小，即PM＋MN＋PN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可解决．分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″交OA、OB于点M、N.模型应用11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一定点，点E，F分别为边AC，BC上的动点，当△DEF的周长最小时，则∠FDE＝________．第11题图12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上，且AD＝4，点E，F分别为边AC，AB上的动点，则△DEF周长的最小值为________．第12题图模型三“一定长＋两定点”型类型一异侧线段和最小值问题(“造桥”问题)模型分析问题：已知l1∥l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM ＋MN＋NB的值最小．解题思路：要求AM＋MN＋NB的最小值，MN为定值，即要求AM＋NB的最小值，通过平移构造平行四边形，将AM、NB转化到同一条直线上．将点A向下平移d个单位到点A′，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1于点M.模型应用13.如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ＝241.在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA ＋AB＋BQ最小，则PA＋BQ＝________．第13题图类型二同侧线段和最小值问题(平移型问题)模型应用14.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为________．第14题图15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝12，∠ABC＝60°，点E、F是AD边上的动点，且EF＝2，则四边形BEFC周长的最小值为________．第15题图模型迁移16.如图，已知点A(3，1)，B(1，0)，PQ是直线y＝x上的一条动线段，且PQ＝2(点Q在点P的下方)，当AP＋PQ＋QB取得最小值时，求点Q的坐标．第16题图参考答案1.33【解析】如解图，连接DE ，则PD ＋PE ≥DE ，设DE 交AC 于点M ，当点P 与点M 重合时PD ＋PE 取得最小值，且最小值为DE .∵在菱形ABCD 中，AC ＝63，BD ＝6，∴AO ＝33，OD ＝3，AC ⊥BD ，∴AD ＝OA 2＋OD 2＝6，∴AD ＝BD ＝AB ，∴∠BAD ＝60°，∵点E 为AB 的中点，∴DE ⊥AB ，∴DE ＝AD ·sin60°＝3 3.第1题解图2.41【解析】如解图，设△PAB 底边AB 上的高为h ，∵S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，∴12AB ·h ＝13AB ·AD ，∴h ＝2，即h 为定值，在AD 上截取AE ＝2，作EF ∥AB ，交CB 于点F ，故点P 在直线EF 上运动，作点A 关于直线EF 的对称点A ′，连接A ′B ，交直线EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，即为A ′B 的长．由对称得AA ′＝2AE ＝4，∴A ′B ＝AA ′2＋AB 2＝42＋52＝41，即PA ＋PB 的最小值为41.第2题解图3.解：(1)把点A (3，5)代入y ＝m x可得m ＝3×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝15x，把点B (a ，－3)代入y ＝15x，可得a ＝－5，∴B (－5，－3)．把点A (3，5)，B (－5，－3)代入y ＝kx ＋b k ＋b ＝55k ＋b ＝－3＝1＝2，∴一次函数的表达式为y ＝x ＋2；(2)∵一次函数的表达式为y ＝x ＋2，令y ＝0，则x ＝－2，∴C (－2，0)，如解图，作点C 关于y 轴的对称点C ′，则C ′(2，0)，即CC ′＝4，连接BC ′交y 轴于点P ，此时PC ＋PB 有最小值，最小值为BC ′，设直线BC ′的表达式为y ＝k ′x ＋b ′，5k ′＋b ′＝－3k ′＋b ′＝0，′＝37′＝－67，则BC ′的表达式为y ＝37x －67，∴P (0，－67)，即OP ＝67，此时S △BPC ＝S △BCC ′－S △PCC ′＝12×4×3－12×4×67＝307.第3题解图4.解：当y ＝0时，－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴点A 坐标为(－3，0)，点B 坐标为(1，0)．当x ＝0时，y ＝3，∴点C 坐标为(0，3)．∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴当PB ＋PC 最小时，△PBC 的周长最小．∵点A ，点B 关于抛物线的对称轴l 对称，∴连接AC ，交l 于点P ，点P 即为所求的点．∵AP ＝BP ，∴PB ＋PC ＋BC ＝AC ＋BC .∵A (－3，0)，B (1，0)，C (0，3)，∴AC ＝32，BC ＝10，∴△PBC 周长的最小值为32＋10.5.3【解析】如解图，延长BA 交EF 于P ′，当点P 位于P ′处时|PA －PB |的值最大，∴|PA －PB |的最大值为AB ＝3.第5题解图6.7【解析】如解图，连接BE 并延长交AC 于点P ′，此时BP －EP 取得最大值为BE ，在等边△ABC 中，AD 是中线，∴BD ＝DC ＝2，∴AD ＝BD ·tan60°＝2×3＝23，∵E 为AD的中点，∴DE ＝12AD ＝3.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝22＋（3）2＝7，∴BP －EP 的最大值为7.第6题解图7.2【解析】如解图，以BD 为对称轴作点N 的对称点N ′，连接MN ′并延长交BD 于点P ，连接NP ，根据轴对称性质可知PN ＝PN ′，∴PM －PN ＝PM －PN ′≤MN ′，当P ，M ，N ′三点共线时，PM －PN 取得最大值，最大值为MN ′的长，∵正方形的边长为8，∴AC ＝2AB ＝82，∵O 为AC 中点，∴AO ＝OC ＝42，∵N 为OA 中点，∴ON ＝22，∴ON ′＝CN ′＝22，∴AN ′＝62，∵BM ＝6，∴CM ＝AB －BM ＝8－6＝2，∴CM BM ＝CN ′AN ′＝13，∵∠MCN ′＝∠BCA ，∴△CMN ′∽△CBA ，∴∠CMN ′＝∠CBA ＝90°，∵∠N ′CM ＝45°，∴△N ′CM 为等腰直角三角形，∴MN ′＝CM ＝2，即PM －PN 的最大值为2.第7题解图8.解：如解图，连接PA ，则PA ＝PB ，当x ＝0时，y ＝x 2－2x －8＝－8，则C (0，－8)，当y ＝0时，x 2－2x －8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4，则A (－2，0)，B (4，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴|PB －PC |＝|PA －PC |≤AC (当点A 、C 、P 共线时取等号)，延长AC 交直线x ＝1于点P ′，设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，把A (－2，0)，C (0，－8)代入得2m ＋n ＝0＝－8＝－4＝－8，∴直线AC 的解析式为y ＝－4x －8，当x ＝1时，y ＝－4－8＝－12，即P ′(1，－12)，∴当|PB －PC |有最大值时，点P 的坐标为(1，－12)．第8题解图9.245【解析】如解图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC 于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，∴PC＋PQ＝PC＋PM＝CM，根据垂线段最短可知，此时PC＋PQ有最小值，即为CM，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，∵S△ABC＝12AB·CM＝12AC·BC，∴CM＝AC·BCAB＝6×810＝245.第9题解图10.33【解析】如解图，过点A作CD的垂线，垂足为N，与DB的交点记为M，∵四边形ABCD为菱形，∴点A与点C关于对角线BD对称，∴AM＝CM，∴CM＋MN＝AM＋MN ＝AN，根据垂线段最短可知，此时CM＋MN有最小值，最小值为AN.∵AB＝6，∠A＝120°，∴∠ADC＝60°，AD＝6，∴AN＝AD·sin60°＝33，∴CM＋MN的最小值为3 3.第10题解图11.90°【解析】如解图，作D关于AC的对称点D′，关于BC的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交BC于点F，此时，△DEF的周长最小，最小为D′D″，∵AB＝AC，∠BAC ＝90°，∴∠B＝45°，DD′⊥AC，DD″⊥BC，∴∠BDD′＝45°，∴∠D′DD″＝135°，∴∠D′＋∠D″＝45°，∵ED′＝ED，DF＝D″F，∴∠D′＝∠D′DE，∠D″＝∠D″DF，∴∠D″DF＋∠D′DE＝45°，∴∠FDE＝90°.第11题解图12.4【解析】如解图，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线AB的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交AB于点F，此时△DEF的周长最小，最小值为D′D″的长，连接AD′、AD″，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∵∠DAB＝∠D″AB，∠DAC＝∠D′AC，∴∠D′AD″＝2∠BAC＝60°，∵AD′＝AD，AD″＝AD，∴AD′＝AD″，∴△AD′D″是等边三角形，∴D′D″＝AD′＝AD＝4，∴△DEF的周长的最小值为4.第12题解图13.10【解析】如解图，过点P作PF⊥b交a于点E，交b于点F，在PF上截取PC＝4，连接QC交b于点B，过点B作BA⊥a于点A，此时PA＋AB＋BQ最短．过点Q作QD⊥PF 于点D.在Rt△PQD中，∵∠D＝90°，PQ＝241，PD＝10，∴DQ＝PQ2－PD2＝8，CD ＝PD－PC＝6，∵AB＝PC＝4，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA＝BC，∴PA ＋BQ＝CB＋BQ＝QC＝DQ2＋CD2＝10.第13题解图14.10【解析】如解图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于点F，连接BD，∵DM∥AC，∴∠BDM＝90°，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE＋BF＝FM＋FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE＋FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝12＋32＝10，∴DE＋BF的最小值为10.第14题解图15.14＋237【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B′，作点B′关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF＝2，连接B′F，四边形EBB′F为平行四边形，则BE＝B′F，B″F＝B′F，此时四边形BEFC的周长为BE＋EF＋FC＋BC＝B″F＋EF＋FC＋BC＝B″C＋EF＋BC，当点C、F、B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．∵AB＝4，BB′＝2，∠ABC＝60°，∴B′B″经过点A.∴AB′＝2 3.∴B′B″＝4 3.∵BC＝12，∴B ′C ＝10.∴B ″C ＝B ′B ″2＋B ′C 2＝237.∴B ″C ＋EF ＋BC ＝14＋237.∴四边形BEFC 周长的最小值为14＋237.第15题解图16.解：如解图，过点A 作直线MN ∥直线y ＝x ，将点A (3，1)沿MN 向下平移2个单位后得到A ′(2，0)，作点B (1，0)关于直线y ＝x 的对称点B ′(0，1)，连接A ′B ′交直线y ＝x 于点Q .∵AA ′＝PQ ＝2，AA ′∥PQ ，∴四边形APQA ′是平行四边形，∴AP ＝A ′Q .∴AP ＋PQ ＋QB ＝A ′Q ＋PQ ＋B ′Q ，且PQ ＝2，∴当A ′Q ＋B ′Q 值最小时，AP ＋PQ ＋QB 值最小，根据两点之间线段最短，即A ′，Q ，B ′三点共线时A ′Q ＋B ′Q 值最小．∵B ′(0，1)，A ′(2，0)，∴直线A ′B ′的解析式y ＝－12x ＋1，＝x＝－12x ＋1，＝23＝23，∴点Q 的坐标为(23，23)．第16题解图。

专题13 操作性问题一、选择题1. （2017贵州遵义第3题）把一张长方形纸片按如图①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】试题分析：重新展开后得到的图形是C，故选C．考点：剪纸问题．2. （2017海南第13题）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B.故选B．考点：等腰三角形的性质.∠的平分线AG，若3. （2017河池第11题）如图，在ABCD中，用直尺和圆规作BADAD，则AG的长是（）=DE6,5=A ．6B ．8 C. 10 D ．12【答案】B.考点：作图—基本作图；平行四边形的性质.4. （2017新疆乌鲁木齐第9题）如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且60,2AFG GE BG ∠==o ，则折痕EF 的长为（ ）A ．1B 32 D ．23【答案】C.考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．5.（2017青海西宁第10题）如图，在正方形ABCD 中，3AB cm =，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自D 点出发沿折线DC CB -以每秒2cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设AMN ∆的面积为()2y cm ，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ． C. D ．【答案】A考点：动点问题的函数图象．6. （2017新疆乌鲁木齐第10题）如图，点()(),3,,1A a B b 都在双曲线3y x=上，点,C D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）A ．52．62 C. 21022．82【答案】B ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题．二、填空题1. （2017内蒙古通辽第15题）在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交边BC 于E ，DF 平分ADC ∠交边BC 于F .若11=AD ，5=EF ，则=AB .【答案】8或3【解析】试题分析：根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC ，由DF 平分∠ADC ，得到∠ADF=∠CDF ，等量代换得到∠DFC=∠FDC ，根据等腰三角形的判定得到CF=CD ，同理BE=AB ，根据平行四边形的性质得到AB=CD ，AD=BC ，得出AB=BE=CF=CD ，分两种情况：①如图1，在▱ABCD 中，∵BC=AD=11，BC ∥AD ，CD=AB ，CD ∥AB ，∴∠DAE=∠AEB ，∠ADF=∠DFC ，∵AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，DF 平分∠ADC 交BC 于点F ，②在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，∴AB=3；综上所述：AB的长为8或3．故答案为：．考点：平行四边形的性质2. （2017湖南常德第16题）如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（2，2），A2（4，0）组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，则k 的值为 ．【答案】12n-．考点：一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；规律型；综合题．3. （2017黑龙江齐齐哈尔第16题）如图，在等腰三角形纸片ABC 中，10AB AC ==，12BC =，沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是 ．【答案】10cm 或273cm 或413cm ．【解析】试题分析：如图：， 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵△ABC 边AB=AC=10cm ，BC=12cm ，∴BD=DC=6cm ，∴AD=8cm ，如图①所示：可得四边形ACBD 是矩形，则其对角线长为：10cm ，如图②所示：AD=8cm ，连接BC ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，则EC=8cm ，BE=2BD=12cm ，则BC=413 cm ， 如图③所示：BD=6cm ， 由题意可得：AE=6cm ，EC=2BE=16cm ，故AC=22616+ =273cm ，故答案为：10cm 或273cm 或413cm ．考点：图形的剪拼．4. （2017黑龙江齐齐哈尔第17题）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是ABC ∆的“和谐分割线”，ACD ∆为等腰三角形，CBD ∆和ABC ∆相似，46A ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ．【答案】113°或92°．考点：1.相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质．5. （2017黑龙江齐齐哈尔第18题）如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴的负半轴上，O 是坐标原点，4tan 3AOC ∠=，反比例函数k y x=的图像经过点C ，与AB 交于点D ，若COD ∆的面积为20，则k 的值等于 ．【答案】-24.考点：1.反比例函数系数k 的几何意义；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.菱形的性质；4.解直角三角形．6. （2017黑龙江齐齐哈尔第19题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12OA A 的直角边1OA 在y 轴的正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作第三个等腰直角三角形20172018OA A ，则点2017A 的坐标为 ．【答案】（0，（2）2016）或（0，21008）．考点：规律型：点的坐标．7. （2017黑龙江绥化第20题）在等腰ABC ∆中，AD BC ⊥交直线BC 于点D ，若12AD BC =，则ABC ∆的顶角的度数为 ．【答案】30°或150°或90°．【解析】 试题分析：①BC 为腰，∵AD ⊥BC 于点D ，AD=12BC ，∴∠ACD=30°， 如图1，AD 在△ABC 内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC 为底，如图3，∵AD ⊥BC 于点D ，AD=12BC ，∴AD=BD=CD ，∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAD ，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°， ∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°．考点：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质．三、解答题1. （2017贵州遵义第22题）乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97m处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测），无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′．（1）求主桥AB的长度；（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．（长度均精确到1m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）【答案】(1).168m；(2). 32m．（2）∵∠ABP=30°、AP=97，∴PB=2PA=194，又∵∠DBC=∠DBA=90°、∠PBA=30°，∴∠DBP=∠DPB=60°，∴△PBD是等边三角形，∴DB=PB=194，在Rt△BCD中，∵∠C=80°36′，∴BC=194tan tan8036DBC='∠︒≈32，答：引桥BC的长约为32m．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．2. （2017贵州遵义第26题）边长为22的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C 不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．（1）连接CQ，证明：CQ=AP；（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=38 BC；（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）当x=3或1时，CE=38BC；（3）. 结论：PF=EQ，理由见解析.∵AP=x，∴PC=4﹣x，∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，∴AP AB CE CP=，∴224xy x=-22x（4﹣x）=222x x+（0＜x＜4），由CE=38BC=332284⨯=，∴y=﹣2232244x+=，x2﹣4x=3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x=3或1，∴当x=3或1时，CE=38 BC；（3）解：结论：PF=EQ，理由是：如图3，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°，∵∠BPQ=45°，∴∠GPB=45°，∴∠GPB=∠PQB=45°，∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ=PG，∵∠BAD=90°，∴F、A、G、P四点共圆，连接FG，∴∠FGP=∠FAP=45°，考点：四边形综合题．3. （2017湖南株洲第24题）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=kx（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=tx（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．①求k的值以及w关于t的表达式；②若用w max和w min分别表示函数w的最大值和最小值，令T=w max+a2﹣a，其中a为实数，求T min．【答案】①求k的值以及w关于t的表达式；②T min=54．考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征.4. （2017内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角030=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角060=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7. 求（1）单摆的长度（7.13≈）；（2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）.【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm （2）从点A 摆动到点B 经过的路径长为29.295cm考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹5. （2017内蒙古通辽第25题）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形，如图1，□ABCD 为1阶准菱形.（1）猜想与计算邻边长分别为3和5的平行四边形是 阶准菱形；已知□ABCD 的邻边长分别为b a ,（b a >），满足r b a +=8，r b 5=，请写出□ABCD 是 阶准菱形.（2）操作与推理小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把□ABCD 沿BE 折叠（点E 在AD 上），使点A 落在BC 边上的点F 处，得到四边形ABEF .请证明四边形ABEF 是菱形.【答案】（1）3，12（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；（2）先判断出∠AEB=∠ABE ，进而判断出AE=BF ，即可得出结论．试题解析：（1）如图1，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：如图2，∵b=5r，∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：故答案为：3，12考点：四边形综合题6. （2017郴州第22题）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在,A C两城市间修建一条高速铁路60方向上，在线段AC上距A城市（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东030方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，120km的B处测得P在北偏东0请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？）（参考数据：3 1.732【答案】这条高速公路不会穿越保护区,理由详见解析.考点：解直角三角形的应用.7. （2017郴州第25题） 如图，已知抛物线285y ax x c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于C 点，且(2,0),(0,4)A C -，直线1:42l y x =--与x 轴交于D 点，点P 是抛物线285y ax x c =++上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交直线l 于点F .（1）试求该抛物线的表达式；（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图（2），过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接AC ，①求证：ACD ∆是直角三角形；②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点,,P C H 为顶点的三角形与ACD ∆相似？【答案】（1）y=15x 2+85x ﹣4；（2）点P 的坐标为（﹣52，﹣274）或（﹣8，﹣4）；（3）①详见解析；②，点P 的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似．由两点间的距离公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，∴AC2+CD2=AD2．∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．②由①得∠ACD=90°．当△ACD∽△CHP时，AC CHCD HP=218255545n nn--=-218255545n nn+=-，解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．当△ACD∽△PHC时，AC PHCD CH=225184555nn n-=--225184555nn n-=+．解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．考点：二次函数综合题.8. （2017郴州第26题）如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1/cm s 的速度运动，当D 不与点A 重合是，将ACD ∆绕点C 逆时针方向旋转060得到BCE ∆，连接DE .（1）求证：CDE ∆是等边三角形；（2）当610t <<时，的BDE ∆周长是否存在最小值？若存在，求出BDE ∆的最小周长； 若不存在，请说明理由.（3）当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以,,D E B 为顶点的三角形是直角三角形？ 若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，23+4；（3）当t=2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，考点：旋转与三角形的综合题.9. （2017湖北咸宁第20题）小慧根据学习函数的经验，对函数|1|-=x y 的图象与性质进行了研究，下面是小慧的研究过程，请补充完成：⑴函数|1|-=x y 的自变量x 的取值范围是 ； ⑵列表，找出y 与x 的几组对应值.xΛ 1- 0 1 2 3Λ yΛb1 012Λ其中，=b ；⑶在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各队对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； ⑷写出该函数的一条性质： .【答案】（1）任意实数；（2）2；（3）详见解析；（4）函数的最小值为0（答案不唯一）．考点：一次函数的性质；一次函数的图象． 10. （2017湖北咸宁第23题）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.理解：⑴如图1，已知B A ,是⊙O 上两点，请在圆上找出满足条件的点C ，使ABC 为“智慧三角形”（画出点C 的位置，保留作图痕迹）；⑵如图2，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CD CF 41=，试判断AEF ∆是否为“智慧三角形”，并说明理由； 运用：⑶如图3，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点Q 是直线3=y 上的一点，若在⊙O 上存在一点P ，使得OPQ ∆为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P 的坐标（﹣223，13），（223，13）．考点：圆的综合题．11. （2017湖北咸宁第24题）如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于B A 、两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知6==OC OB .⑴求抛物线的解析式及点D 的坐标；⑵连接F BD ,为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；⑶平行于x 轴的直线交抛物线于N M ,两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且MN PQ 21=时，求菱形对角线MN 的长. 【答案】（1）y=12x 2﹣2x ﹣6，D （2，﹣8）；（2）F 点的坐标为（7，92）或（5，﹣72）；（3）菱形对角线MN 的长为65+1或65﹣1．∴FG AGBE DE=，即21264228x xx--=+=12，当点F在x轴上方时，则有21261222x xx--=+，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7，92）；当点F在x轴上方时，则有21261222x xx--=-+，得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣72）；综上可知F点的坐标为（7，92）或（5，﹣72）；（3）∵点P在x轴上，∴由菱形的对称性可知P（2，0），如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，考点：二次函数综合题．12. （2017广西百色第25题）已知ABC V 的内切圆O e 与,,AB BC AC 分别相切于点,,D E F ，若»»EFDE =，如图1. (1)判断ABC V 的形状，并证明你的结论；(2)设AE 与DF 相交于点M ，如图2，24,AF FC ==求AM 的长.【答案】（1）△ABC为等腰三角形，证明见解析；（2）AM=82．考点：三角形的内切圆与内心．13. （2017广西百色第26题）以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知(4,0)A -，(0,2)B -，(0,4)M ，P 为折线BCD 上一动点，内行PE y ⊥轴于点E ，设点P 的纵坐标为.a（1）求BC 边所在直线的解析式；（2）设22y MP OP =+，求y 关于a 的函数关系式；（3）当OPM V 为直角三角形，求点P 的坐标.【答案】（1）直线BC 的解析式为y=12x ﹣2； （2）当点P 在边BC 上时， y=10a 2+24a+48；当点P 在边CD 上时，y= 10a 2﹣40a+48；（3）点P 的坐标为（45，2﹣25），（4，0）．∵△POM是直角三角形，Ⅰ、当∠POM=90°时，∴OP2+OM2=PM2，∴5a2﹣16a+16+16=5a2﹣24a+32，∴a=0，∴P（4，0），Ⅱ、当∠MPO=90°时，OP2+PM2=5a2﹣16a+16+5a2﹣24a+32=10a2﹣40a+48=OM2=16，∴25（舍）或a=225，∴P（455，2﹣55），即：当△OPM为直角三角形时，点P 45225），（4，0）．考点：四边形综合题．14. （2017哈尔滨第27题）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线3y x =-经过B 、C 两点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点C 作直线CD y ^轴交抛物线于另一点D ，点P 是直线CD 下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P 作PE x ^轴于点E ，PE 交CD 于点F ，交BC 于点M ，连接AC ，过点M 作MN AC ^于点N ，设点P 的横坐标为t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接PC ，过点B 作BQ PC ^于点Q (点Q 在线段PC 上)，BQ 交CD 于点T ，连接OQ 交CD 于点S ，当ST TD =时，求线段MN 的长.【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3；（2）d=2105 t ；（3）MN=3105．（3）如图2，∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为x=1，∴由抛物线对称性可得D（2，﹣3），∴CD=2，过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，∴四边形OCKB为正方形，∴∠OBK=90°，CK=OB=BK=3，∴DK=1，∵BQ⊥CP，∴∠CQB=90°，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°，∴四边形OHQI为矩形，∵∠OCQ+∠OBQ=180°，∴∠OBQ=∠OCH，∴△OBQ≌△OCH，∴QG=OS，∠GOB=∠SOC，∴∠SOG=90°，∴∠ROG=45°，∵OR=OR，∴△OSR≌△OGR，∴SR=GR，∴SR=CS+BR，∵∠BOR+∠OBI=90°，∠IBO+∠TBK=90°，∴∠BOR=∠TBK，∴tan∠BOR=tan∠TBK，∴BROB=TKBK，∴BR=TK，∵∠CTQ=∠BTK，∴∠QCT=∠TBK，∴tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，∴SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，在Rt△SKR中，∵SK2+RK2=SR2，∴（2m+1）2+（2﹣m）2=（3﹣m）2，解得m1=﹣2（舍去），m2=12；∴ST=TD=12，TK=32，∴tan∠TBK=TKBK=32÷3=12，∴tan∠PCD=12，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，∵CF′=OE′=t，∴PF′=12t，∴PE′=12t+3，∴P（t，﹣12t﹣3），∴﹣12t﹣3=t2﹣2t﹣3，考点：二次函数综合题．15. （2017黑龙江齐齐哈尔第26题）如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线折叠，点B 落在点D 处，DC 与y 轴相交于点E ．矩形OABC 的边OC ，OA 的长是关于x 的一元二次方程212320x x -+=的两个根，且OA OC >．（1）求线段OA ，OC 的长；（2）求证：ADE COE ∆≅∆∆，并求出线段OE 的长；（3）直接写出点D 的坐标；（4）若F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点P ，使以点E ，C ，P ，F 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（2）∵四边形ABCO 是矩形，∴AB=OC ，∠ABC=∠AOC=90°，∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在直线折叠，点B 落在点D 处，∴AD=AB ，∠ADE=∠ABC=90°，∴AD=OC ，∠ADE=∠COE ，在△ADE 与△COE 中，ADE COE AED CEO AD OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△COE ；∵CE 2=OE 2+OC 2，即（8﹣OE ）2=OE 2+42，∴OE=3；（3）过D 作DM ⊥x 轴于M ，则OE ∥DM ，∴△OCE ∽△MCD ，∴58OC OE CE CM DM CD === ，∴CM=325，DM=245，∴OM=125 ， ∴D （﹣125，245）； （4）存在；∵OE=3，OC=4，∴CE=5，过P 1作P 1H ⊥AO 于H ，∵四边形P 1ECF 1是菱形，∴P 1E=CE=5，P 1E ∥AC ， ∴∠P 1EH=∠OAC ，∴1PH OC EH AO = =12，∴设P 1H=k ，HE=2k ，∴P 15，∴P 155， ∴5，∴P 155），同理P 353﹣5，当A 与F 重合时，四边形F 2ECP 2是菱形，∴EF 2∥CP 2，EF 2，=CP 2=5，∴P 2（4，5）；当CE 是菱形EP 4CF 4的对角线时，四边形EP 4CF 4是菱形，∴EP 4=5，EP 4∥AC ，如图2，过P 4作P 4G ⊥x 轴于G ，过P 4作P 4N ⊥OE 于N ，则P 4N=OG ，P 4G=ON ，EP 4∥AC ，∴4P N EN =12， 设P 4N=x ，EN=2x ，∴P 4E=CP 45，∴P 4G=ON=3﹣2x ，CG=4﹣x ，∴（3﹣2x ）2+（4﹣x ）2=5）2，∴x=54，∴3﹣2x=12，∴P4（54，12），综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣5，25+3），（5，3﹣25），（4，5），（54，12）．考点：四边形综合题．16. （2017黑龙江绥化第22题）如图，,,A B C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离．请用直尺和圆规在所给的图中作出点P．(不写作法和证明，只保留作图痕迹)【答案】作图见解析.理由：∵MN 垂直平分线段AC ，∴PA=PC ，∴PC+PB=PA+PB=AB ．考点：作图—应用与设计作图．17. （2017黑龙江绥化第29题）在平面直角坐标系中，直线314y x =-+交y 轴于点B ，交x 轴于点A ，抛物线212y x bx c =-++经过点B ，与直线314y x =-+交于点(4,2)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为m 的点M 在直线BC 上方的抛物线上，过点M 作//ME y 轴交直线BC 于点E ，以ME 为直径的圆交直线BC 于另一点D ．当点E 在x 轴上时，求DEM V 的周长；（3）将AOB ∆绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90o，得到111AO B ∆，点,,A O B 的对应点分别是111,,A O B ．若111AO B ∆的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点1A 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为：y=﹣12x 2+54x+1； （2）△DEM 的周长=6415； （3）点A 1（34 ，3196）或（﹣712，29288 ）．（2）如图1，∵直线y=﹣34x+1交x轴于点A，当y=0时，﹣34x+1=0，x=43，∴A（43，0），∴OA=43，在Rt△AOB中，∵OB=1，∴AB=53，∴sin∠ABO=45OAAB=，cos∠ABO=35OBAB=，∵ME∥x轴，∴∠DEM=∠ABO，∵以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，∴∠EDM=90°，∴DE=ME•cos∠DEM=35ME，DM=ME•sin∠DEM=45ME，当点E在x轴上时，E和A重合，则m=OA=43，当x=43时，y=﹣12×（43）2+54×43+1=169；∴ME=169，∴DE=31659⨯ =1615，DM=41659⨯ =6445，∴△DEM的周长=DE+DM+ME=16641615459++ =6415；（3）由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，∵O1A1⊥x轴，∴点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，点O1，B1的纵坐标相等，∴﹣12x2+54x+1=﹣12（x+1）2+54（x+1）+1，考点：二次函数综合题．18. （2017湖北孝感第20题）如图，已知矩形()ABCD AB AD < .（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①以点A 为圆心，以AD 的长为半径画弧交边BC 于点E ，连接AE ；②作DAE ∠的平分线交CD 于点F ；③连接EF ;（2）在（1）作出的图形中，若8,10AB AD ==，则tan FEC ∠的值为 .【答案】（1）画图见解析；（2）34. 【解析】考点：1.作图﹣基本作图；2.全等三角形的判定与性质；3.解直角三角形.19. （2017内蒙古呼和浩特第24题）如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的O e 上的四个点，C 是劣弧»BD的中点，AC 与BD 交于点E ．（1）求证：2DC CE AC =⋅；（2）若2AE =，1EC =，求证：AOD ∆是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点C 作O e 的切线，交AB 的延长线于点H ，求ACH ∆的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△ACH 的面积934. 【解析】试题分析：（1）由圆周角定理得出∠DAC=∠CDB ，证明△ACD ∽△DCE ，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）∵AE=2，EC=1，∴AC=3，∴DC 2=CE•AC=1×3=3，∴DC=3， 连接OC 、OD ，如图所示： ∵C 是劣弧»BD的中点，∴OC 平分∠DOB ，BC=DC=3， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AB=22AC BC +=23，∴OB=OC=OD=DC=BC=3，∴△OCD 、△OBC 是正三角形，∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，∴∠AOD=180°﹣2×60°=60°，∵OA=OD ，∴△AOD 是正三角形；（3）∵CH 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CH ，∵∠COH=60°，∴∠H=30°，∵∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠H=∠BAC ，∴AC=CH=3，∵AH=33，AH 上的高为BC•sin60°=32 ，∴△ACH 的面积=12 ×33×32=93 ．考点：圆的综合题．20. （2017内蒙古呼和浩特第25题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点C ，其顶点记为M ，自变量1x =-和5x =对应的函数值相等．若点M 在直线l ：1216y x =-+上，点(3,4)-在抛物线上．（1）求该抛物线的解析式；（2）设2y ax bx c =++对称轴右侧x 轴上方的图象上任一点为P ，在x 轴上有一点7(,0)2A -，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出相应的P 点横坐标x 的取值范围；（3）直线l 与抛物线另一点记为B ，Q 为线段BM 上一动点（点Q 不与M 重合）．设Q 点坐标为(,)t n ，过Q 作QH ⊥x 轴于点H ，将以点Q ，H ，O ，C 为顶点的四边形的面积S 表示为t 的函数，标出自变量t 的取值范围，并求出S 可能取得的最大值．【答案】（1）抛物线的解析式为y=4x 2﹣16x+8；（2）当x=247时，∠PCO=∠ACO ，当2+2＜x ＜247时，∠PCO ＜∠ACO ，当247＜x ＜4时，∠PCO ＞∠ACO ；（3）祥见解析.（3）解方程组212164168y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩ ，解得：128x y =-⎧⎨=⎩ ，∴D （﹣1，28）， ∵Q 为线段BM 上一动点（点Q 不与M 重合），∴Q （t ，﹣12t+16）（﹣1≤t ＜2），①当﹣1≤t ＜0时，S=12（﹣t ）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t ）=6t 2﹣12t=6（t ﹣1）2﹣6， ∵﹣1≤t ＜0，∴当t=-1时，S 最大=18；②当0＜t ＜43时，S=12t•8+12t （﹣12t+16）=﹣6t 2+12t=﹣6（t ﹣1）2+6， ∵0＜t ＜43，∴当t=1时，S 最大=6； ③当43＜t ＜2时，S=12t•8+12（12t ﹣16）=6t 2﹣4t=6（t ﹣13）2﹣23， ∵43＜t ＜2，∴此时S=16为最大值．考点：二次函数综合题．21. （2017青海西宁第28题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且4,3OA OC ==.若抛物线经过,O A 两点，且顶点在BC 边上，对称轴交BE 于点F ，点,D E 的坐标分别为()()3,0,0,1.（1）求抛物线的解析式；（2）猜想EDB ∆的形状并加以证明；（3）点M 在对称轴右侧的抛物线上，点N 在x 轴上，请问是否存在以点,,,A F M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=﹣34x 2+3x ；（2）△EDB 为等腰直角三角形，证明见解析；（3）存在．点M 坐标为（623+，2）或（62153+，﹣2）．①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，∴点M的纵坐标为2或﹣2，在y=﹣34x2+3x中，令y=2可得2=﹣34x2+3x，解得623±，∵点M在抛物线对称轴右侧，∴x＞2，∴623 +∴M点坐标为（633+，2）；在y=﹣34x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣34x2+3x，解得6215±，∵点M在抛物线对称轴右侧，∴x＞2，∴6215+，考点：二次函数综合题．22. （2017湖南张家界第23题）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n 为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．【答案】（1）223y x x =--+；（2）214；（3）①4；②3；③3＜n ＜4或n ＜3；（4）（﹣5，0）或（3﹣42，0）或（3+42，0）或（﹣1，0）．（2）解223y x x y x m⎧=--+⎨=+⎩得2330x x m ++-=，∵直线l 1：y =x +m 与c 1仅有唯一的交点，∴△=9﹣4m +12=0，∴m =214； （3）∵抛物线c 1关于y 轴对称的抛物线记作c 2，∴抛物线c 2的顶点坐标为（1，4），与y 轴的交点为（0，3），∴抛物线c 2的解析式为：223y x x =-++，∴①当直线l 2过抛物线c 1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c 2的顶点（1，4）时，即n =4时，l 2与c 1和c 2共有两个交点；②当直线l 2过D （0，3）时，即n =3时，l 2与c 1和c 2共有三个交点；③当3＜n ＜4或n ＜3时，l 2与c 1和c 2共有四个交点；（4）如图，∵若c 2与x 轴正半轴交于B ，∴B （3，0），∴OB =3，∴AB =224(13)++ =42： ①当AP =AB =42PB =8，∴P 1（﹣5，0）；②当AB =BP =42P 2（3﹣420）或P 3（3+42，0）；③当AP =PB 时，点P 在AB 的垂直平分线上，∴PA =PB =4，∴P 4（﹣1，0）．综上所述，点P 的坐标为（﹣5，0）或（3﹣42，0）或（3+42，0）或（﹣1，0）时，△PAB 为等腰三角形．考点：二次函数综合题；分类讨论；轴对称的性质；压轴题．23. （2017辽宁大连第26题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，且经过点)23,0(A . （1）若此抛物线经过点)21,2(-B ，且与x 轴相交于点F E ,.①填空：=b （用含a 的代数式表示）；②当EF 的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若21=a ，当10≤≤x ，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为3时，求b 的值. 【答案】（1）①﹣2a ﹣1，②抛物线解析式为y=x 2﹣3x+32；（2）1或﹣5.。

卜人入州八九几市潮王学校专题二：操作型问题【知识梳理】操作型问题主要借助三角板、纸片等工具进展图形的折与展、割与补、平移与旋转等变换，通过动手操作和理性的考虑，考察学生的空间想象、推理和创新才能。

解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等理论活动和思维过程，灵敏运用所学知识和生活经历，探究和发现结论，从而解决问题．关键是抓住图形变化中的不变性。

【课前预习】1、如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，方案拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形，以上图形一定能被拼成的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，假设将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，那么展开后三角形的周长是()A．210．2＋10．12D．183．将两个形状一样的三角尺放置在一张矩形纸片上，按如下列图画线得到四边形ABCD，那么四边形ABCD的形状是_______．【例题精讲】例1、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD①所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上挪动时，折痕的端点P、Q也随之挪动．假设限定点P、Q分别在AB、AD边上挪动，那么点A′在BC边上可挪动的最大间隔为______．例2、如图，在一块正方形ABCD木板上需贴三种不同的墙纸，正方形EFCG局部贴A型墙纸，△ABE局部贴B型墙纸，其余局部贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．【探究1】假设木板边长为2米，FC＝1米，那么一块木板用墙纸的费用需________元；【探究2】假设木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最费用；【探究3】设木板的边长为a(a为整数)，当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最？假设用这样的多块木板贴一堵墙(7×3平方米)进展装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，那么需要这样的木板多少块？例3、如以下列图，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图②，量得它们的斜边长为10 cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F 重合(在图③至图⑥中统一用F表示)．小明在对这两张三角形纸片进展如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．(1)将图③中的△ABF沿BD向右平移到图④的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的间隔．(2)将图③中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度．(3)将图③中的△ABF沿直线AF翻折到图⑥的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH＝DH.例4．如下列图，有一张长为5，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．A C B(1)该正方形的边长为______(结果保存根号)；(2)现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程．【稳固练习】1、七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形．请你用七巧板中标号为①②③的三块板〔如图①〕经过平移、旋转拼成图形．(1)拼成矩形，在图②中画出示意图；(2)拼成等腰直角三角形．在图③中画出示意图．注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格的顶点上．2、如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°.(1)理论与操作:利用尺规按以下要求作图，并在图中标明相应的字母(保存作图痕迹，不写作法)．①作△ABC 的外接圆，圆心为O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ；③连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE .(2)综合与运用:在你所作的图中，假设AB ＝4，BC ＝2，那么：①AD 与⊙O 的位置关系是_______．②线段AE 的长为_______．【课后作业】班级一、必做题：1、如图，沿着虚线将长方形剪成两局部，那么由这两局部既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是()2、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，一共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，一共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，假设要得到2011个小正方形，那么需要操作的次数是()A．669B．670 C．671D．6723、如图，从边长为(a＋4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)cm的正方形(a>0)，剩余局部沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，那么矩形的面积为() A．(2a2＋5a)cm2B．(3a＋15)cm2 C．(6a＋9)cm2D．(6a＋15)cm24、请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六局部，用实线画出分割后的图形．5．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)、B(－6,0)、C(－1,0)．(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；(3)请直接写出:以A,B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.6、如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进展翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停顿滚动．(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的道路图；(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的道路与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．二、选做题：7、在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)，在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开场时骰子如图①那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图②所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是以下数中的()A．5B．4 C．3D．18、正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝b(b<2a)，且边AD和AE在同一直线上．小明发现：当b＝a时，如图①，在BA上选取中点G，连接FG和CG，挪动△FAG和△CBG的位置可构成正方形FGCH.(1)类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．⑵要使(1)中所剪拼的新图形是正方形须满足BG:AE=.9、阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题，如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．假设梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样考虑的：要想解决这个问题，首先应想方法挪动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题，他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形〔如图②〕．请你答复：图②中△BDE的面积等于_______．参考小伟同学考虑问题的方法，解决下面的问题：如图③，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．(1)在图③中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形〔保存画图痕迹〕；(2)假设△ABC的面积为1，那么以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于_______．。

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专题13:操作性问题一、选择题1。

（2017福建第10题)如图,网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A B''和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是( ）A．1区 B．2区 C．3区 D．4区【答案】D【解析】如图，根据题意可得旋转中心O，旋转角是90°,旋转方向为逆时针，因此可知点P 的对应点落在了4区，故选D.2。

(2017广东广州第2题）如图2,将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到图形为（）【答案】A【解析】试题分析：顺时针90°后，AD 转到AB 边上，所以,选A 。

考点：旋转的特征3.（2017湖南长沙第12题）如图，将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则m n 的值为（ ) A ．22 B ．21 C ．215- D ．随H 点位置的变化而变化【答案】B【解析】试题分析:设正方形ABCD 的边长为2a ，正方形的周长为m=8a ，设CM=x ，DE=y ，则DM=2a-x ，EM=2a-y ，∵∠EMG=90°，∴∠DME+∠CMG=90°．∵∠DME+∠DEM=90°，∴∠DEM=∠CMG，又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，∴CG CM MGDM DE EM==,即22CG x MGa x y a y==--∴CG=(2)(2)=,x a x x a y CG MGy y--=△CMG的周长为CM+CG+MG=2 4ax xy-在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2即（2a—x)2+y2=(2a-y）2整理得4ax—x2=4ay∴CM+MG+CG=2444ax x ayay y-===n．所以12 nm=故选：B．考点：1、正方形,2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理4.（2017山东青岛第5题）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°则顶点B的对应点B1的坐标为( ）A.)2,4(- B.)4,2(- C. )2,4(- D.)4,2(-【答案】B【解析】试题分析：将△ABC绕点O逆时针旋转90°后，图形如下图所以B1的坐标为)4,2(-故选：B二、填空题1。

初三数学分类试题—动手能力题西城1．在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 经过变换τ得到点(,)P x y '''，该变换记作),(),(y x y x ''=τ，其中⎩⎨⎧-='+='by ax y by ax x ,(,a b 为常数)．例如，当1a =，且1b =时，)5,1()3,2(-=-τ．(1) 当1a =，且2b =-时，(0,1)τ= ； (2) 若(1,2)(0,2)τ=-，则a = ，b = ；(3) 设点(,)P x y 是直线2y x =上的任意一点，点P 经过变换τ得到点(,)P x y '''．若点P 与点'P 重合，求a 和b 的值．海淀2．如图1，四边形ABCD 中，AC 、BD 为它的对角线，E 为AB 边上一动点（点E 不与点A 、B 重合），EF ∥AC 交BC 于点F ，FG ∥BD 交DC 于点G ，GH ∥AC 交AD 于点H ，连接HE ．记四边形EFGH 的周长为p ，如果在点E 的运动过程中，p 的值不变，则我们称四边形ABCD 为“Ω四边形”， 此时p 的值称为它的“Ω值”．经过探究，可得矩形是“Ω四边形”．如图2，矩形ABCD 中，若AB =4，BC =3，则它的“Ω值”为 ．图1 图2 图3（1）等腰梯形 （填“是”或 “不是”）“Ω四边形”；（2）如图3，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，=34AD AB =，，点C 为»AB 上的一动点，将△DAB沿CD的中垂线翻折，得到△CEF．当点C运动到某一位置时，以A、B、C、D、E、F中的任意四个点为顶点的“Ω四边形”最多，最多有个．东城3. 阅读并回答问题：数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：作法：①在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD=OE.②分别以D，E为圆心，以大于12DE为半径作弧，两弧在AOB∠内交于点C.③作射线OC，则OC就是AOB∠的平分线小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：作法：①利用三角板上的刻度，在OA，OB上分别截取OM，ON，使OM=ON.②分别过以M，N为OM，ON的垂线，交于点P.③作射线OP，则OP就是AOB∠的平分线.小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境，解决下列问题：（1）小聪的作法正确吗？请说明理由；（2）请你帮小颖设计用刻度尺作AOB∠平分线的方法.（要求：不与小聪方法相同，请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）.（3）朝阳4．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30º，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60º，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA +PB +PC 的最小值为； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60º，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3中画出并指明长度等于PA +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA +PB +PC 值最小时PB 的长．房山5.如图1，在矩形MNPQ 中，点E ，F ，G ，H 分别在边NP ，PQ ，QM ，MN 上， 当4321∠=∠=∠=∠时，我们称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形. 已知：矩形ABCD 的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点，请解决下列问题： （1）在图2中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，请作出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ，并求出反射四边形EFGH 的周长.B图2B图3C B 图1（2）在图3中作出矩形ABCD 的所有反射四边形，并判断它们的周长之间的关系.门头沟6． 如图1，矩形MNPQ 中，点E 、F 、G 、H 分别在NP 、PQ 、QM 、MN 上，若4321∠=∠=∠=∠，则称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD 为矩形，且4=AB ，8=BC ．（1）在图2、图3中，点E 、F 分别在BC 、CD 边上，图2中的四边形EFGH 是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD 的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ；（2）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长各是多少；（3）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积各是多少．M N P Q GHEF1 23 4图1图3图2EFy PQMNOx12－－－－－－123 22题图怀柔7.探究与应用已知点P 的坐标为（m ，0），在x 轴上存在点Q （不与P 点重合），以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 落在反比例函数y = 2x-的图象上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m 取何值，符合上述条件的正方形只有．．两个，且一个正方形的顶点M 在第四象限，另一个正方形的顶点M 1在第二象限.（1）如图，若反比例函数解析式为y = 2x-，P 点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN ，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ 1M 1N 1； （2）请你通过改变P 点坐标，对直线M 1 M 的解析式 y ﹦kx ＋b 进行探究可得 k ﹦ ，若点P 的坐标为（m ，0）时，则b ﹦ ；（3）依据(2)的规律，如果点P 的坐标为（6，0），请你直接写出点M 1和点M 的坐标． 解：（1）如图（2）k ﹦ ，b ﹦ ；（3）M 1的坐标为（ ， ），M 的坐标为（ ， ）.大兴8. 在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90°，AB =6，BC =8．过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的T 处，折痕为MN ．当点T 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动．若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上移动(点M 可以与点A 重合，点N 可以与点C 重合），求线段AT 长度的最大值与最小值的和(计算结果不取近似值)．丰台9．操作探究：一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（2-）=3．若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． （1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A （1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B ，再按照“平移量”{－1，2}平移到点C ；最后按照“平移量”{－2，－1}平移到点D ，在图中画出四边形ABCD ，并直接写出点D 的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD 以点A 为中心，顺时针旋转90°，点B 旋转到点E ，连结AE 、BE 若动点P 从点A 出发，沿△AEB 的三边AE 、EB 、BA 平移一周． 请用“平移量”加法算式表示动点P 的平移过程．石景山10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、N 、分别在BC 、AB 上，将矩形ABCD 沿MN 折叠，设点B 的对应点是点E ． （1）若点E 在AD 边上，BM =27，求AE 的长； （2）若点E 在对角线AC 上，请直接写出AE 的取值范围： ． 解：昌平11. （1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站分别向A 、B 两镇供气. 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？解决问题：请你在所给图中画出泵站P 的位置，并保留作图痕迹；（2）【问题拓展】已知a >0，b >0，且a +b =2，写出2214m a b ++ （3）【问题延伸】已知a >0，b >022a b +224a b +224a b +三角形的面积.BAl密云12．实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．（1） 请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对 称图形．（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．顺义13． 问题：如果存在一组平行线a b c P P ，请你猜想是否可以作等边三角形ABC 使其三个顶点分别在,,a b c 上.小明同学的解答如下：如图1所示，过点A 作AM b ⊥于M ，作60MAN ∠=︒，且AN AM =，过点N 作CN AN ⊥交直线c 于点C ,在直线b 上取点B 使BM CN =，则ABC ∆为所求．(1) 请你参考小明的作法,在图2中作一个等腰直角三角形DEF 使其三个顶点分别在,,a b c 上，点D 为直角顶点；(2) 若直线,a b 之间的距离为1， ,b c 之间的距离为2， 则在图2中，DEF S ∆= ，在图1中，AC = ．参考答案1．解：(1)(0,1)τ=(2,2)-； ……………………………………… 1分(2)a =1-，b =12； ……………………………………… 3分(3) ∵点(,)P x y 经过变换τ得到的对应点(,)P x y '''与点P 重合， ∴(,)(,)τ=x y x y .∵点(,)P x y 在直线2y x =上， ∴(,2)(,2)τ=x x x x .∴2,22.x ax bx x ax bx =+=-⎧⎨⎩ ……………………………………… 4分即(12)0,(22)0.a b x a b x --=-+=⎧⎨⎩ ∵x 为任意的实数，∴120,220.a b a b --=-+=⎧⎨⎩ 解得3,21.4a b ==-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2.解： “Ω值”为10．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分（1）是；－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－3分（2）最多有5个．3．解：（1）小聪的作法正确. …………………1分 理由：∵PM ⊥OM , PN ⊥ON ， ∴∠OMP =∠ONP =90°. 在Rt △OMP 和Rt △ONP 中， ∵OP=OP ,OM=ON ，∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ）. ∴MOP NOP ∠=∠.∴OP 平分∠AOB . …………………2分 （2）解：如图所示. …………………3分作法：①利用刻度尺在OA ，OB 上分别截取OG=OH . ②连结GH ，利用刻度尺作出GH 的中点Q . ③作射线OQ ，则OQ 为∠AOB 的平分线.4．解：（161………………………………………………………………………………1分 （2）①如图，…………………………………………2分BD ； ……………………………………………………………………………3分 43. 5. 解：（1）如图，∴四边形EFGH 即为所求，且周长为58 （2）如图：DABAB指明结果（略） －－－－－－－－－－－－－－－－－－－4分矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分6．解：（1）利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ．（2）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是定值，定值是85（3）图2、图3中矩形ABCD 的反射四边形EFGH 的面积不是定值， 它们的面积分别是16、12DABGDC7.探究与应用解：（1）如图 ……………………1分（2）1-=k ，m b = ……………………3分（3）M 1的坐标为（113-，113+），M 的坐标为（113+，113-）………5分 8解：当点M 与点A 重合时，AT 取得最大值（如右上图）.…1分由轴对称可知，AT =AB =6. ……………………………2分当点N 与点C 重合时，AT 取得最小值（如右下图）.……3分过点C 作CD ⊥l 于点D ，连结CT ，则四边形ABCD 为矩形，∴ CD =AB =6.由轴对称可知，CT =BC =8.∴ 在Rt △CDT 中，CD =6，CT =8，∴ 由勾股定理，得DT =27.∴ AT =AD －DT =8－27.…………………………………………4分∴ 线段AT 长度的最大值与最小值的和为7214-.……5分9．（1）{4，3}． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－1分M 1 P QMNOy1 23－－－－－－ 1 2 3Q 1N 1（2）①画图 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分②D (0，3). －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－3分（3）{1，－2}+{1，3}+{－2，－1}．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分10．解：（1）由题意，△BMN 沿MN 折叠得到△EMN∴△BMN ≌△EMN∴EM =BM =27. 过点M 作MH ⊥AD 交AD 于点H ，则四边形ABMH 为矩形MH =AB =3， AH =BM =27. Rt △EHM 中，EH =2133)27(2222=-=-HM EM ∴AE 2137-=. ……………………………… 3分 (2) 1≤AE ≤3. …………………………… 5分11．解：（1）如图所示. ……………………………………… 1分（2）13. …………………………………………… 2分（3）32ab ． ………………………………………… 5分 12．（1）在图3中设计出符合题目要求的图形．……………2分（2）在图4中画出符合题目要求的图形．………………5分13. 解:(1)作 图 …………………………………………………………2分y x B A C D O 1 1(2 ) 5DEF S ∆= …………………………………………………………3分AC = …………………………………………………………5分。