三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题11解三角形理含解析61

最新中小学教案、试题、试卷

专题11解三角形

考纲解读明方向

考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度

1.正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题

掌握

2017山东,9;2017浙江,14;

2017天津,15;2017北京,15;

2016课标全国Ⅱ,13;

2016天津,3;2015天津,13 选择题

填空题 ★★★

2.正、余弦定理的应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 掌握 2017课标全国Ⅱ,17;

2017课标全国Ⅲ,17;2017江苏,18;

2016课标全国Ⅲ,8;

2016山东,16;2016浙江,16;

2015湖北,13 解答题 ★★★

分析解读

1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.

2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.

2018年高考全景展示

1．【2018年理数全国卷II】在中，，，，则

A. B. C. D.

【答案】A 最新中小学教案、试题、试卷

【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.

详解：因为所以，选A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

2．【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．

【答案】

3

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

3．【2018年全国卷Ⅲ理】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。

详解：由题可知，所以，由余弦定理，所以，，，故选C.

点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。

4．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9 最新中小学教案、试题、试卷

【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

5．【2018年理数天津卷】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（I）求角B的大小；

（II）设a=2，c=3，求b和的值.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.

【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得

详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．

点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 最新中小学教案、试题、试卷

6．【2018年理北京卷】在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为

【解析】分析：（1）先根据平方关系求sinB,再根据正弦定理求sinA，即得∠A；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得AC边上的高．

详解：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得

=，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．

（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．

如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上的高为．

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

7．【2018年理新课标I卷】在平面四边形中，，，，.

（1）求；

（2）若，求.

【答案】 (1) .(2).

【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果. 最新中小学教案、试题、试卷

详解：（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.

由题设知，，所以.

（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得

.所以.

点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.

2017年高考全景展示

1.【2017山东，理9】在C中，角，，C的对边分别为a，b，c．若C为锐角三角形，且满足sin12cosC2sincosCcossinC，则下列等式成立的是

（A）2ab （B）2ba （C）2 （D）2

【答案】A

【解析】试题分析：sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC

所以2sincossincos2sinsin2BCACBAba，选A.

【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，C的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2ab.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.

2.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．

【答案】1510,24

【解析】

试题分析：取BC中点E，DC中点F，由题意：,AEBCBFCD，

△ABE中，1cos4BEABCAB，1115cos,sin14164DBCDBC， 最新中小学教案、试题、试卷

BC115sin22DSBDBCDBC△．

又2110cos12sin,sin44DBCDBFDBF，

10cossin4BDCDBF，

综上可得，△BCD面积为152，10cos4BDC．

【考点】解三角形

【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．

3.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为23sinaA

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

【解析】

试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin23sinaacBA，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sinsinBC的值；（2）由1coscos6BC和2sinsin3BC计算出1cos()2BC，从而求出角A，根据题设和余弦定理可以求出bc和bc的值，从而求出ABC△的周长为333.

试题解析：（1）由题设得21sin23sinaacBA，即1sin23sinacBA.

由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA.

故2sinsin3BC. 最新中小学教案、试题、试卷

【考点】三角函数及其变换.

【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()yAxb，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

4.【2017课标II，理17】ABC的内角ABC、、所对的边分别为,,abc，已知2sin8sin2BAC，

（1）求cosB；

（2）若6ac，ABC的面积为2，求b。

【答案】(1)15cos17B；

(2)2b。

【解析】

试题分析：利用三角形内角和定理可知ACB，再利用诱导公式化简sin()AC，利用降幂公式化简21cossin22BB，结合22sincos1BB求出cosB；利用（1）中结论090B，利用勾股定理和面积公式求出acac、，从而求出b。

试题解析：(1)由题设及ABC，2sin8sin2BB，故sin41cosBB。

上式两边平方，整理得217cos32cos150BB，

解得cos1B(舍去)，15cos17B。

（2）由15cos17B得8sin17B，故ABC14=sin217SacBac△。