排列组合典型题大全含答案

关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，排列组合典型题大全

一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素

看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数

【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？

（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？

（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？

【解析】：（1）43（2）34（3）34

【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，

第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.

【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38B、83C、3

8AD、3

8C

【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠

军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种

不同的结果。所以选A

1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？

2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？

3、4个同学参加3项不同的比赛

（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？

（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？

4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的

可能性有多少？

5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？

6、（全国II文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共

(A)10种(B)20种(C)25种(D)32种

7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责

方法有多少种？

8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？

思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

【例1】,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有

【解析】：把,AB视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4

424A种

关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进

行自排。由分步计数原理可得共有522

522480AAA种不同的排法

乙甲丁丙

【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3

位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）

A.360B.288C.216D.96

【解析】：间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，2222

3242CAAA=432种

其中男生甲站两端的有12222

23232ACAAA=144，符合条件的排法故共有288

例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（C）种。

A）720B）360C）240D）120

三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几

个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为5

5A种，再用甲乙去插6个空位有2

6A种，不同的排法种数是52

563600AA种

【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）

【解析】：111

789AAA=504或分类

【例3】高三（一）班学要安=排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是

【解析】：不同排法的种数为52

56AA＝3600

【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工

程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是

【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有2

5A＝20种不同排法。

【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，

但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为种.

【解析】：111

91011AAA

=990要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素

一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的

二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3

5C种方

法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒

模型可使问题容易解决.

【例7】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？

【解析】：解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A3

3，○*○*○*○，在四个空

中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A1

4种，所以每个人左右两边都空位的排法有

3

31

4AA=24种.

解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，

于是有A3

4=24种.

【例8】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？

【解析】：先排好8辆车有A8

8种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9

个空档中任选一个，将空车位置插入有C1

9种方法，所以共有C1

9A8

8种方法.注：题中*表示元素，○表示空.

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5

5A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4

6A不

同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54

56AA种

四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四

人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，

其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）

A.36种B.12种C.18种D.48种

【解析】：方法一：从后两项工作出发，采取位置分析法。23

33A36A

方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法243

31

21

2ACC；若小张、小赵都入选，则有

选法122

32

2AA，共有选法36种，选A.

【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

【解析】：老师在中间三个位置上选一个有1

3A种，4名同学在其余4个位置上有4

4A种方法；所以共有14

3472AA种。.

【例3】

有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，【解析】法一：16

56A3600A法二：25

653600AA法三：36006

66

67

7AAA五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

【例1】（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）

A、36种B、120种C、720种D、1440种

（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为

（A）5

105

15AA（B）3

35

55

105

15AAAA（C）15

15A（D）3

35

55

105

15AAAA

（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不

同排法？

【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共6

6720A种，选C.

（2）答案：C

（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有2

4A种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有

1

4A种，其余5个元素任排5个位置上有5

5A种，故共有1254455760AAA种排法.

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有2

4A种,再排后4个位置上的特殊元素丙有1

4A种,

其余的5人在5个位置上任意排列有5

5A种,则共有215

445AAA种

前 排后 排

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么

不同排法的种数是346

六.环排问题线排策略

例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人4

4A并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！

种排法即7！

HFDC

A

ABCDEAB

E

GHGF

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120

五．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法

.

【例1】.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,AB可以不相邻）那么不同的排法种数是（）

【解析】：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即5

5160

2A一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1m

nA

n一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.