积分及其应用

重积分及其应用：

DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，　　，　　，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴　　对于轴对于平面薄片的转动惯量：　　平面薄片的重心：的面积曲面

柱面坐标和球面坐标：

dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),,(sin),,(),,(sinsincossinsincossin),sin,cos(),,(,),,(),,(,sincos222222200),(0222，　　，　　转动惯量：，　　其中　　　　重心：，　　球面坐标：其中：　　　柱面坐标：

曲线积分：

)()()()()](),([),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL　　特殊情况：　　则：　　的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()coscos()}()](),([)()](),([{),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL

多重积分及其应用

多重积分是数学分析中的重要概念之一，它是对多个变量的函数在某个区域上进行积分的方法，常用于描述多变量问题的求解。本文将介绍多重积分的定义、性质以及在实际问题中的应用。

一、多重积分的定义

在单变量积分中，我们已经了解到积分是函数的反导数，表示曲线下的区域面积。而在多重积分中，我们将积分的概念进行了推广，用于描述函数在二维或更高维空间中的区域上的累积效应。

对于二维空间中的函数，我们可以定义二重积分。设函数f(x, y)在闭区域D上有界，如果存在极限

∬D f(x, y)dxdy = A

其中，D为区域D上的一组二重闭合区域，那么A就是函数f(x, y)在区域D上的二重积分。其中，dxdy表示对x和y进行积分。在实际计算中，我们可以将二重积分分解为两个单变量的积分，先对x进行积分，再对y进行积分。

类似地，我们可以推广到三维空间中的三重积分。如果函数f(x, y,

z)在闭区域V上有界，且以下极限存在

∭V f(x, y, z)dxdydz = A 其中，V为区域V上的一组三重闭合区域，那么A就是函数f(x, y,

z)在区域V上的三重积分。在实际计算中，我们可以按照积分次序的不同，先对x进行积分，再对y进行积分，最后对z进行积分。

二、多重积分的性质

多重积分具有许多有用的性质，下面我们介绍其中的一些重要性质。

1. 线性性质：多重积分具有线性性质，即对于任意常数a和b，以及两个函数f(x)和g(x)，有

∬D (af(x) + bg(x))dxdy = a∬D f(x)dxdy + b∬D g(x)dxdy

这个性质的重要性在于，我们可以将复杂的多重积分问题分解为多个简单的积分问题，从而更容易进行计算。

2. 积分区域可加性：设D为由两个区域D1和D2组成的闭区域，若函数f(x, y)在D上可积，则有

∬D f(x, y)dxdy = ∬D1 f(x, y)dxdy + ∬D2 f(x, y)dxdy

数值计算实习报告

——牛顿—柯特斯积分方法及其应用姓名：杨银月

学号：139084154

班级：数131牛顿—柯特斯积分算法及其应用

一、引言

●数值积分的必要性

现实生活当中往往会遇到这样的问题：拉着一块物体在一粗糙平面上沿着一直线从一点

移动到另一点所发生的功是多少？一个不规则的平面图形的面积是多少？已知边际成本—

产量函数求在一产量下的总成本……

通过物理和几何学以及经济学的知识容易知道这类问题是需要计算积分的，根据微积分

定理对于积分b

adxxfI)(

，只要找到)(xf

的原函数)(xF

，便有牛顿—莱布尼茨公式：

)()()(aFbFdxxfb

a

但是，现实生活中往往只能得到一些离散的点，无法得到连续的函数)(xf

，即便是给

定了)(xf

，也不一定就是容易找到原函数的（原函数往往非初等），比方说)0(sinxx

x

，

2

xe

等，故不能用N-L公式进行积分运算。即使能求得原函数的积分有时候计算也是非常困

难的。例如对于被积函数

611

)(

xxf



，其原函数

C

xxxx

xxxxF





1313

ln

341

)1

arctan(

61

arctan

31

)(

22

计算)(),(bFaF

仍然很困难，因此有必要研究积分的数值计算问题。

●数值积分的基本思想

由积分中值定理（如图1）知，在积分区间],[ba

内存在一点

，成立

)()()(fabdxxfb

a

图1就是说，底为ab

而高为)(f的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I

。问题在于点

的

具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出)(f的值，称)(f为区间],[ba上的平均高

度。这样只要对平均高度)(f提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法。如果我们

用两端点“高度”)(af与)(bf的算术平均值作为平均高度)(f的近似值，这样导出的求积公式

)]()([

2)(bfafab

dxxfb

a

)11(

便是众所周知的梯形公式。而如果改用区间的中点

2ba

c



的“高度”)(cf

通用积分，梦何时圆？

打造通用积分平台，实现不同区域、不同类型商家积分的通兑通存，看似不起眼的积分中也能挖掘出巨大的商机。

2009年11月初，脱胎于加拿大航空公司常旅客计划的专业积分运营公司Aeroplan宣布收购位于美国的卡尔森营销公司（Carlson Marketing），不仅将其业务版图从加拿大本土、英国和中东地区扩展至美国，同时也成为该行业中全球收入规模最大的上市公司。在此并购案发生前，2008年的集团收入就达到了约14亿美元。

Aeroplan和其所在的行业对绝大多数人来说都比较陌生，但事实上它所从事的业务并不复杂，简而言之就是 “买卖”积分—为不同行业、不同地域的商家搭建一个统一的积分平台，对消费者进行集中的积分奖励。Aeroplan集团旗下拥有针对加拿大航空公司和星空联盟各航空公司打造的积分平台Aeroplan，针对英国国内消费者的Nectar,以及面对中东地区阿联酋、卡塔尔和巴林航空公司常旅客 “飞行里程”计划60%的股份。每一个平台上都集合了从金融、零售到旅行休闲的各类商家，消费者一旦申请加入后在协议商家消费时就能实现一卡通积，而反过来，这些积分不仅能兑换成各种实用的奖品，还可以在合作商家处直接抵付一定的消费款。

以积分优惠来增加消费者黏性是商家的惯用招数之一，而通用积分平台的打造则同时扩大了消费者和商家双方的利益圈，因此类似强强联手的集合营销方式在欧美颇为流行，英国的Nectar，美国酒店业的“金点”（Gold Points Plus）, 德国的“返还”（Payback）, 澳大利亚的“优势卡”（Advantage Card）都是其中的典型代表。在Aeroplan起步的加拿大市场，超过70%的家庭参与了各种不同的“积分联盟”。

在中国，近年来也涌现出积分通、智买道和壹卡会等积分平台，试图挖掘出积分通兑通存背后所隐藏的巨大商业价值。但由于自身实力受限，合作的协议商家从规模到数量都无法取得实质性的突破，因此纵使占得了一定的先发优势，但现阶段谁也没有实力塑造出一个真正意义上覆盖全国的通用积分平台。2008年年中，平安“万里通”计划开始正式实施。而近期腾讯也在虚拟Q币的基础上“磨刀霍霍”，推出了“QQ返利”，与当当、凡客诚品和化妆品DHC、艺龙旅行等在线商家结成联盟，通过该平台指引到商城购物时能获得相应的积分，此积分既可用于兑现（当当除外），也可以8.8折的优惠换用腾讯现有业务。积分的含金量正开始获得越来越多的关注，而与之相伴的，自然是通用积分平台这片蓝海的竞争加剧。