分式不等式的解法与应用

分式不等式的解法与应用练习

分式不等式是数学中常见的一种不等式类型，它由一个分式表达式构成，需要求解使得分式不等式成立的变量范围。本文将介绍分式不等式的解法与应用，并提供相关的练习题。

一、分式不等式的解法

分式不等式的解法包括以下几种常用方法：

1. 找零点法：

当分式的分子与分母均为线性函数时，我们可以通过找零点的方法求解。具体步骤如下：

（1）将分式不等式化简为分式等式，即分式的分子等于零；

（2）求解得到零点，即使分子等于零的解；

（3）借助零点将数轴分割成若干个区间；

（4）在每个区间内选择一个测试点，代入分式不等式进行判断；

（5）根据测试点的结果判断每个区间的解集，最终得到不等式的解集。

2. 变形法：

对于一些特殊形式的分式不等式，我们可以通过变形的方法求解。例如，对于分式不等式$\frac{a}{x} > b$，可以通过以下步骤进行变形：

（1）首先将不等式转化成分子与分母同号的形式，即$x > 0$； （2）然后将不等式转化为线性不等式的形式，即$a > bx$；

（3）求解得到$x$的范围，即使得线性不等式成立的解；

（4）最后将$x$的范围与$x > 0$的条件综合得到分式不等式的解集。

3. 公共倍数法：

当分式不等式中含有两个分式项且分母不同的情况下，我们可以通过取两个分母的公共倍数来化简分式，使得不等式的解集更易求解。

二、分式不等式的应用练习

以下是一些分式不等式的练习题，供你巩固解题技巧：

1. 解方程$\frac{1}{x} > \frac{2}{x-1}$，并求出$x$的取值范围。

2. 解不等式$\frac{4}{x+3} - \frac{2}{x-1} \leq 3$，并求出$x$的取值范围。

3. 已知$\frac{1}{x+2} > \frac{1}{x+1}$，求比$x$大的最小整数范围。

4. 解不等式$\frac{3}{x-4} + \frac{2}{x} > 0$，并求出$x$的取值范围。

态度决定一切，细节决定成败！ 1 不等式（组）、分式方程应用题

一.不等式及不等组应用题：

1.为了迎接60周年国庆，展示城市风貌，园林部门设想利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A,B两种园艺造型共50个，摆放在人民广场，搭配每个造型所需花卉情况如表所示：

（1） 符合题意的设计方案有哪几种？

（2） 若搭配一个A种造型的成本是1000元，搭配一个B种造型的成本是1200元，设搭配A,B两种造型的成本为Y元，其中A种造型个数为X，试写出Y与X之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种搭配方案成本最低？最低成本是多少？

2. 某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．

（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．

（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；

请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？

3. 某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x块．

（1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？

（2）设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？

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分式不等式解法专项训练

例1、（1）303202xxxx与解集是否相同，为什么？

（2）303202xxxx与解集是否相同，为什么？

通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：

（1）00fxfxgxgx

（2）000fxgxfxgxgx

解题方法：数轴标根法。

解题步骤：（1）首项系数化为“正”

（2）移项通分，不等号右侧化为“0”

（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（十字相乘法、求根公式法、无法分解（△<0法，配方法））

（4）数轴标根。

例2、解不等式：22320712xxxx

例3、解不等式：22911721xxxx

点评：1、不能随便去分母

2、移项通分，必须保证右侧为“0”

3、注意重根问题

系数非正，小于等于

右侧非0 康博思优立中学教育 高中数学

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例4、解不等式：22560(0)32xxxx

点评：1、不能随便约去因式

2、重根空实心，以分母为准

例5、解不等式：2121332xxxx

点评：不等式左右不能随便乘除因式。

例6、解不等式：22331xxx

点评：

二次三项式，a>0,△<0，恒正也可利用配方法判定二次三项式的正负 十字相乘法分解因式受阻

△≥0 △＜0

分式不等式的解法

郭浴琼

目标：掌握简单的分式不等式的解法．

重难点：简单的分式不等式的解法．

一．知识要点

1.进行同解变形：00fxfxgxgx；分式不等式转化为整式不等式来解．0()00()fxgxfxgxgx；

2.有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”求解，但必须注意分母不为零．

二．例题精讲

例1.解关于x的不等式。

（1）222232xxxxx；（2）2251031372xxxx.

例2.已知对任意xR，总有222321xtxxx，求实数t的取值范围．

例3.设1a，解关于x的不等式2220xaxaxxa．

例4.设函数2fxax，不等式6fx的解集为1,2，试求不等式1xfx的解集．

例5.若不等式0xaxbxc的解集为1,23,，求a+b的值。

例6.已知函数23xfxxa（xa，a为非零常数）．

（1）解不等式fxx；

（2）设xa，fx的最小值为6，求a的值．

例7.（1）解关于x的不等式220axxaxa； （2）解关于x的不等式221axx；

（3）已知关于x的不等式2226149282120kkxkxkk的解集M与整数集Z满足1MZ，求实数k的取值范围．