浙江省湖州市长兴县九年级(上)期末数学试卷

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．方程2310x x --=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定2．要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．4.5cmD ．5cm3．如图，已知AOB ∆和11A OB ∆是以点O 为位似中心的位似图形，且AOB ∆和11A OB ∆的周长之比为1:2，点B 的坐标为()1,2-，则点1B 的坐标为（ ）．A ．()2,4-B ．()1,4-C ．()1,4-D ．()4,2-4．将抛物线y ＝ax 2+bx +c 向左平移2个单位，再向下平移3个单位得抛物线y ＝﹣(x +2)2+3，则（ ） A ．a ＝﹣1，b ＝﹣8，c ＝﹣10B ．a ＝﹣1，b ＝﹣8，c ＝﹣16C ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝0D ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝65．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D=35°，则∠OAC 的度数是（ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°6．如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，连结AE 交CD 于F ，则图中相似的三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对7．如图，以△ABC 的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF ，GH ，DJ ，如果△ABC 的面积为8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．28B ．24C ．20D ．168．如图，空地上（空地足够大）有一段长为10m 的旧墙MN ，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，已知木栏总长100m ，矩形菜园ABCD 的面积为900m 1．若设AD ＝xm ，则可列方程（ ）A ．（60﹣2x ）x ＝900 B ．（60﹣x ）x ＝900 C ．（50﹣x ）x ＝900 D ．（40﹣x ）x ＝9009．对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a★b＝()()a b a b a a b b+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y ＝2★x 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．10．若关于x 的方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥﹣1且k ≠0D ．k ≥﹣111．一元二次方程2x 2+3x +5＝0的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根12．下列函数中，y 的值随着x 逐渐增大而减小的是（ ）A ．2y x =B ．2y xC ．2y x =-D ．1y x =-二、填空题（每题4分，共24分）13．如果23x y =，那么x y y+=__________． 14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝9，cosA ＝13，那么AB ＝________. 15．平面直角坐标系xOy 中，若点P 在曲线y ＝18x上，连接OP ，则OP 的最小值为_____． 16．编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是___．17．若1x =为一元二次方程210x mx ++=的一个根，则m =__________．18．若52a b a +=，则a b=_________. 三、解答题（共78分）19．（8分）如图，抛物线y =x 2 +bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S △PAB =8，并求出此时P 点的坐标．20．（8分）如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，∠BOC =150°，将△BOC 绕点C 按顺时针旋转得到△ADC ，连接OD ，OA ．（1）求∠ODC 的度数；（2）若OB =4，OC =5，求AO 的长．21．（8分）如图，图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，ABC ∆在方格纸中的位置如图所示．（1）请在图中建立平面直角坐标系，使得A ，B 两点的坐标分别为(2,1)A -，(1,4)B -，并写出C 点的坐标； （2）在图中作出ABC ∆绕坐标原点旋转180︒后的111A B C ∆，并写出1A ，1B ，1C 的坐标．22．（10分）如图，在AOB ∆中，OAB 90∠=，4AO AB ==，以O 为原点OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，OAB ∆的顶点A 在反比例函数k y x=的图象上. （1）求反比例函数的解析式： （2）将OAB ∆向右平移m 个单位长度，对应得到'''A O B ∆，当函数k y x=的图象经过'''A O B ∆一边的中点时，求m 的值.23．（10分）如图，在矩形 ABCD 中，CE ⊥BD ，AB=4，BC=3，P 为 BD 上一个动点，以 P 为圆心，PB 长半径作⊙P ，⊙P 交 CE 、BD 、BC 交于 F 、G 、H （任意两点不重合），（1）半径 BP 的长度范围为 ；（2）连接 BF 并延长交 CD 于 K ，若 tan ∠KFC = 3 ，求 BP ；（3）连接 GH ，将劣弧 HG 沿着 HG 翻折交 BD 于点 M ，试探究PM BP是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由.24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,1)A --、(1,1)B -、(0,2)C -．（1）点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为______；（2）将ABC ∆绕着点C 顺时针旋转90︒，画出旋转后得到的11A B C ∆；（3）在（2）中，求边CA 所扫过区域的面积是多少？（结果保留π）．（4）若A 、B 、C 三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形ABC ∆的位置发生怎样的变化？25．（12分）如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，S 的最大值是多少；（2）如图乙，连接PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP′C ，当四边形PQP′C 为菱形时，求t 的值； （3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．26．如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连接EF 、EO ，若DE ＝2，∠DPA ＝45°．（1）求⊙O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】此题考查一元二次方程解的情况的判断．利用判别式24b ac ∆=-来判断，当>0∆时，有两个不等的实根；当0∆=时，有两个相等的实根；当∆<0时，无实根；【详解】题中224(3)4(1)940b ac ∆=-=--⨯-=+>，所以次方程有两个不相等的实数根，故选A ；2、C【解析】根据相似三角形三边对应成比例进行求解即可得.【详解】设另一个三角形的最长边为xcm ，由题意得5：2.5=9：x ，解得：x=4.5，故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键.3、A【分析】设位似比例为k ，先根据周长之比求出k 的值，再根据点B 的坐标即可得出答案．【详解】设位似图形的位似比例为k则1111,,OA kOA OB kOB A B kAB ===△AOB 和11A OB △的周长之比为1:2111112OA OB AB OA OB A B ++∴=++，即12OA OB AB kOA kOB kAB ++=++ 解得2k = 又点B 的坐标为(1,2)-∴点1B 的横坐标的绝对值为122-⨯=，纵坐标的绝对值为224⨯=点1B 位于第四象限∴点1B 的坐标为(2,4)-故选：A ．【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．4、D【分析】将所得抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移减逆向求出原抛物线的顶点坐标，从而求出原抛物线解析式，再展开整理成一般形式，最后确定出a 、b 、c 的值.【详解】解：∵y ＝－(x ＋2)2＋3，∴抛物线的顶点坐标为（-2， 3），∵抛物线y=ax 2+bx+c 向左平移 2 个单位，再向下平移 3个单位长度得抛物线y ＝－(x ＋2)2＋3，-2+2=0，3+3=1，∴平移前抛物线顶点坐标为（0，1），∴平移前抛物线为y=-x2+1，∴a＝－1，b＝0，c＝1．故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减；本题难点在于逆运用规律求出平移前抛物线顶点坐标.5、B【解析】解：∵∠D=35°，∴∠AOC=2∠D=70°，∴∠OAC=（180°-∠AOC）÷2=110°÷2=55°．故选B．6、C【分析】根据平行四边形的对边平行，利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”找出相似三角形，然后即可选择答案．【详解】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，所以，△ABE∽△FCE，△FCE∽△FDA，△ADF∽△EBA，共3对．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，利用平行四边形的对边互相平行的性质，再结合“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”即可解题7、B【分析】过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，根据全等三角形的性质得到EM＝CN，于是得到S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，于是得到结论．【详解】解：过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴∠EAM=∠CAB∵四边形ACDE、四边形ABGF是正方形，∴AC=AE，AF＝AB，∴∠EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝12AF•EM，S△ABC＝12AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，正确的作辅助线是解题的关键．8、B【分析】若AD＝xm，则AB＝（60−x）m，根据矩形面积公式列出方程．【详解】解：AD＝xm，则AB＝（100+10）÷1−x =（60−x）m，由题意，得（60−x）x＝2．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9、C【解析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【详解】由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y＝﹣2x，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．10、C【分析】根据根的判别式（240b ac =-≥△ ）即可求出答案．【详解】由题意可知：440k +≥△＝∴1k ≥-∵0k ≠∴1k ≥- 且0k ≠ ，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k 的取值范围． 11、D【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】由题意可知：△＝9﹣4×2×5＝﹣31＜0，故选：D ．【点睛】本题考查的是一元二次方程系数与根的关系，当0>时，有两个不相等的实数根；当0=时，有两个相等的实数根；当0<时，没有实数根.12、D【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．【详解】A 选项函数2y x =的图象是y 随着x 增大而增大，故本选项错误；B 选项函数2y x 的对称轴为0x =，当0x ≤时y 随x 增大而减小故本选项错误；C 选项函数2y x=-，当0x <或0x >，y 随着x 增大而增大故本选项错误； D 选项函数1y x =-的图象是y 随着x 增大而减小，故本选项正确；故选D.【点睛】本题考查了三种函数的性质，了解它们的性质是解答本题的关键，难度不大．二、填空题（每题4分，共24分）13、53【解析】∵x 2y 3=，根据和比性质，得x y y +=323+=53，故答案为53. 14、27 【解析】试题解析：1cos .3AC A AB == 9.AC = 解得：27.AB =故答案为27.15、1 【分析】设点P （a ，b ），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得ab ＝18，根据22a b +＝2op ，且22a b +≥2ab ，可求OP 的最小值．【详解】解：设点P （a ，b ）∵点P 在曲线y ＝18x上， ∴ab ＝18∵2a b -（）≥0， ∴22a b +≥2ab ，∵22a b +＝2op ，且22a b +≥2ab ，∴2op ≥2ab ＝31，∴OP 最小值为1．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用22a b +≥2ab 是本题的关键．16、35． 【解析】直接利用概率公式求解可得．【详解】在这5个乒乓球中，编号是偶数的有3个， 所以编号是偶数的概率为35， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了概率公式，关键是掌握随机事件A 的概率()P A =事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 17、-2【分析】把x =1代入已知方程可得关于m 的方程，解方程即可求得答案.【详解】解：∵1x =为一元二次方程210x mx ++=的一个根，∴110m ++=，解得：m =－2.故答案为：－2.【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，属于应知应会题型，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题关键.18、23【解析】根据分式的性质即可解答. 【详解】∵a b a +=1+b a =52, ∴b a =32∴a b =23 【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的运算性质.三、解答题（共78分）19、（1）y=x 2﹣2x ﹣1；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（1）（1+4）或（1-4）或（1，﹣4）．【分析】（1）由于抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （1，0）两点，那么可以得到方程x 2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=1，然后利用根与系数即可确定b 、c 的值．（2）根据S △PAB =2，求得P 的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P 点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （1，0）两点，∴方程x 2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=1，∴﹣1+1=﹣b ，﹣1×1=c ， ∴b=﹣2，c=﹣1，∴二次函数解析式是y=x 2﹣2x ﹣1．（2）∵y=﹣x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（1）设P 的纵坐标为|y P |，∵S △PAB =2， ∴12AB•|y P |=2， ∵AB=1+1=4，∴|y P |=4，∴y P =±4，把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣1，解得，x=1±， 把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣1，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（4）或（1﹣4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =2．【点睛】考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；1.二次函数图象上点的坐标特征．20、（1）60°；（2【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC 为等边三角形即可求解；（2）由旋转的性质得：AD =OB =1，结合题意得到∠ADO =90°．则在Rt △AOD 中，由勾股定理即可求得AO 的长．【详解】（1）由旋转的性质得：CD =CO ，∠ACD =∠BCO ．∵∠ACB =∠ACO +∠OCB =60°，∴∠DCO =∠ACO +∠ACD =∠ACO +∠OCB =60°，∴△OCD 为等边三角形，∴∠ODC =60°．（2）由旋转的性质得：AD =OB =1．∵△OCD 为等边三角形，∴OD =OC =2．∵∠BOC =120°，∠ODC =60°，∴∠ADO =90°．在Rt △AOD 中，由勾股定理得：AO ==【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理.21、（1）图形见解析，C 点坐标(3,3)-；（2）作图见解析，1A ，1B ，1C 的坐标分别是(2,1)- (1,4)- ()3,3-【分析】（1）根据已知点的坐标，画出坐标系，由坐标系确定C 点坐标；（2）由关于原点中心对称性画111A B C ∆，可确定写出1A ，1B ，1C 的坐标．【详解】解：（1）(2,1)A -，把(2,1)A -向左平移两个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到原点O,建立如下图的直角坐标系，∴ C （3，-3）；（2）分别找到,,A B C 的对称点1A ，1B ，1C ，顺次连接1A ，1B ，1C ，∴ 111A B C ∆即为所求，如图所示，1A （-2，1），1B （-1，4），1C （-3，3）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．22、（1）8y x=；（2）m 2或32【分析】（1）过A 点作AD x ⊥于点D ，根据4AO AB ==，OAB 90∠=可求出△AOB 的面积8，由等腰三角形的三线合一可知△AOD 的面积为4，根据反比例函数k 的几何意义几何求出k ；（2）分两种情况讨论：①当边''A B 的中点C 在8y x=的图象上，由条件可知2,2)A m ，2,0)B m +即可得到C 点坐标为(322)m ，从而可求得m ；②当边''A O 的中点E 在8y x =的图象上，过'A 点作''A D x ⊥于点'D ，由条件可知'(,0)O m ，'(22,2)A m +，因此中点(2,2)E m +，从而可求得m ．【详解】解：（1）过A 点作AD x ⊥于点D ，如图1∵4AO AB ==，OAB 90∠= ∴14482AOB S ∆=⨯⨯=，OD DB = ∴142AOD AOB S S ∆∆==，28AOD k S ∆==，即8y x =（2）①当边''A B 的中点C 在8y x =的图象上，如图2 ∵4AO AB ==，OAB 90∠= ∴'(22,22)A m +，'(42,0)B m +，点(32,2)C m +，即(32)28m +•=∴2m =②当边''A O 的中点E 在8y x=的图象上，过'A 点作''A D x ⊥于点'D ，如图3 ∵'(,0)O m ，'(22,22)A m +，∴中点(2,2)E m +即2(2)8m •+=∴32m =综上所述，符合条件的m 值有2或32【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握直角三角形、等边三角形的性质以及分类讨论思想是解题的关键．23、（1）95102BP <<；（2）BP=1；（3）1125PM BP = 【分析】（1）当点G 和点E 重合，当点G 和点D 重合两种临界状态，分别求出BP 的值，因为任意点都不重合，所以BP 在两者之间即可得出答案；（2）∠KFC 和∠BFE 是对顶角，得到tan =3BE BFE EF∠=，得出EF 的值，再根据△BEF ∽△FEG ，求出EG 的值，进而可求出BP 的值；（3）设圆的半径，利用三角函数表示出PO ，GO 的值，看PP G '∆用面积法求出P Q '，在P GQ '∆中由勾股定理得出MQ 的值，进而可求出PM 的值即可得出答案．【详解】（1）当G 点与E 点重合时，BG=BE ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，AB=4，BC=3，∴BD=5，∵CE ⊥BD ， ∴1122BC CD BD CE ⋅=⋅, ∴125CE =, 在△BEC 中，由勾股定理得：221293()55BE =-=, ∴910BP =, 当点G 和点D 重合时，如图所示：∵△BCD 是直角三角形，∴BP=DP=CP ,∴52BP =， ∵任意两点都不重合，∴95102BP <<， （2）连接FG ，如图所示：∵∠KFC=∠BFE ，tan ∠KFC = 3，∴tan 3BFE ∠=， ∴3BE EF=， ∴335BE EF ==, ∵BG 是圆的直径，∴∠BFG=90°，∴∠GFE+∠BFE=90°，∵CE ⊥BD ，∴∠FEG=∠FEB=90°，∴∠GFE+∠FGE=90°，∴∠BFE=∠FGE∴△BEF ∽△FEG ，∴2EF BE EG =⋅, ∴99255EG =, ∴15EG =, ∴BG=EG+BE=2，∴BP=1，（3）PM BP为定值， 过P '作P Q BD '⊥,连接P G '，P M '，P P '交GH 于点O ，如下图所示：设5BP x PG P G P M ''====，则3PO P O x '==，4GO x =， ∴1122P Q PG GO PP ''⋅=⋅， ∴245P Q x '=， ∴2275MQ GQ P G P Q x ''==-=， ∴145MG x =， ∴115PM PG MG x =-=， ∴1111:5525PM x x BP == 【点睛】本题考查了动圆问题，矩形的性质，面积法的运用，三角函数，相似三角形的判定和性质等知识点，属于圆和矩形的综合题，难度中等偏上，利用数形结合思想和扎实的基础是解决本题的关键．24、（1）(1,-1)；（2）见详解；（3）54π；（4）图形ABC ∆的位置是向右平移了3个单位. 【分析】(1)先求出点B 的坐标，再点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标即可；(2)根据将ABC ∆绕着点C 顺时针旋转90︒的坐标特征即可得到A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点连线即可；(3) 利用扇形面积公式进行计算可得线段AC 旋转时扫过的面积．(4) A 、B 、C 三点的横坐标都加3，即图形ABC ∆的位置是向右平移了3个单位.【详解】解：（1）∵点B 的坐标是(1,1)- ,∴点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为(1,-1);（2）如图所示，11A B C ∆即为所求作的图形；（3）∵22215CA +，190ACA ∠=︒ ∴1290553604CAA S ππ⨯==扇形；（4）∵A 、B 、C 三点的横坐标都加3，纵坐标不变，∴图形ABC ∆的位置是向右平移了3个单位.【点睛】本题考查了利用旋转变换作图以及扇形面积的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．25、 (1)当t 为52秒时，S 最大值为185；（1）2013； （3）52或2513或4013． 【分析】（1）过点P 作PH ⊥AC 于H ，由△APH ∽△ABC ，得出=PH AP BC AB ，从而求出AB ，再根据535PH t -，得出PH=3﹣35t ，则△AQP 的面积为：12AQ•PH=12t （3﹣35t ），最后进行整理即可得出答案； （1）连接PP′交QC 于E ，当四边形PQP′C 为菱形时，得出△APE ∽△ABC ，=AE AP AC AB，求出AE=﹣45t+4，再根据QE=AE ﹣AQ ，QE=12QC 得出﹣95t+4=﹣12t+1，再求t 即可； （3）由（1）知，PD=﹣35t+3，与（1）同理得：QD=﹣95t+4，从而求出218t 18t 255-+，在△APQ 中，分三种情况讨论：①当AQ=AP ，即t=5﹣t ，②当PQ=AQ 218t 18t 255-+，③当PQ=AP 218t 18t 255-+﹣t ，再分别计算即可．【详解】解：（1）如图甲，过点P 作PH ⊥AC 于H ，∵∠C=90°，∴AC ⊥BC ，∴PH ∥BC ，∴△APH ∽△ABC ， ∴=PH AP BC AB， ∵AC=4cm ，BC=3cm ，∴AB=5cm ， ∴5=35PH t -， ∴PH=3﹣35t ， ∴△AQP 的面积为： S=12×AQ×PH=12×t×（3﹣35t ）=﹣310（t ﹣52）1+185， ∴当t 为52秒时，S 最大值为185cm1． （1）如图乙，连接PP′，PP′交QC 于E ，当四边形PQP′C 为菱形时，PE 垂直平分QC ，即PE ⊥AC ，QE=EC ， ∴△APE ∽△ABC ， ∴=AE AP AC AB， ∴AE=(5)4=5AP AC t AB ⋅-⨯=﹣45t+4 QE=AE ﹣AQ═﹣45t+4﹣t=﹣95t+4， QE=12QC=12（4﹣t ）=﹣12t+1， ∴﹣95t+4=﹣12t+1， 解得：t=2013， ∵0＜2013＜4， ∴当四边形PQP′C 为菱形时，t 的值是2013s ； （3）由（1）知，PD=﹣35t+3，与（1）同理得：QD=AD ﹣AQ=﹣95t+4∴ 在△APQ 中，①当AQ=AP ，即t=5﹣t 时，解得：t 1=52；②当PQ=AQ ，即218t 18t 255-+=t 时，解得：t 1=2513，t 3=5； ③当PQ=AP ，即218t 18t 255-+=5﹣t 时，解得：t 4=0，t 5=4013； ∵0＜t ＜4， ∴t 3=5，t 4=0不合题意，舍去，∴当t 为52s 或2513s 或4013s 时，△APQ 是等腰三角形．【点睛】本题考查相似形综合题．26、（1）233；（2）13π﹣23． 【分析】（1）根据垂径定理得CE 的长，再根据已知DE 平分AO 得CO ＝12AO ＝12OE ，根据勾股定理列方程求解． （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）连接OF ，∵直径AB⊥DE，∴CE＝12DE＝1．∵DE平分AO，∴CO＝12AO＝12OE．设CO＝x，则OE＝2x．由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．x∴OE＝2x．即⊙O．（2）在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，∴∠D＝90°﹣45°＝45°．∴∠EOF＝2∠D＝90°．∴S扇形OEF＝290360π⋅⋅⎝⎭＝13π．∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝3S Rt△OEF＝2123⎛⨯⎝⎭＝23．∴S阴影＝S扇形OEF﹣S Rt△OEF＝13π﹣23．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．。

浙江省长兴县古城中学2024届数学九年级第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．若232m 1x ﹣ +10x+m=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值应为（ ） A ．m="2" B ．m=23 C ．m=32 D ．无法确定 2．若抛物线y ＝ax 2+2x ﹣10的对称轴是直线x ＝﹣2，则a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．-0.5D ．0.5 3．将抛物线2(3)4y x =--向上平移两个单位长度，得到的抛物线解析式是( )A ．2(4)4y x =--B ．2(2)4y x =--C ．2(3)6y x =--D ．2(3)2y x =--4．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ）A ．3-B ．3C ．3-D ．35．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知x =﹣2是一元二次方程x 2+mx +4=0的一个解，则m 的值是（ ）A ．﹣4B ．4C ．0D ．0或4 7．若反比例函数k y x=的图象经过(1,3)-，则这个函数的图象一定过（ ） A ．(3,1)- B ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(3,1)-- D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭8．一元二次方程221x x -=的一次项系数和常数项依次是（ ）A ．1-和1B ．1-和1-C ．2和1-D ．1-和39．如图，在ABC ∆中，2AB =，=3.6BC ，=60B ∠，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转度得到ADE ∆，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.610．如图，在平面直角坐标系中，已知点(3,6)A -，(9,3)B --，以原点O 为位似中心，相似比为13，把ABO ∆缩小，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(9,1)-或(9,1)-B ．(3,1)--C ．(1,2)-D ．(3,1)--或(3,1)二、填空题(每小题3分,共24分) 11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果tan ∠A =33，那么cos ∠B =_____． 12．小亮同学想测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米，同时测量旗杆的影长时由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长为6米，留在墙上的影高为3米，通过计算他得出旗杆的高度是___________米.13．将抛物线y=x 2+x 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．14．再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s ，在这个问题中，距离=平均速度v ⨯时间t ，02t v v v +=，其中0v 是开始时的速度，t v 是t 秒时的速度.如果斜面的长是18m ，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为________s.15．如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm 的等边三角形，点是母线的中点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的表面爬行到点处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是_______cm ．16．如图，△ABC 是不等边三角形，DE ＝BC ，以D ，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出______个．17．设x 1、x 2是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个实数根，则x 1+x 2=_________．18．已知扇形的圆心角为90°，弧长等于一个半径为5cm 的圆的周长，用这个扇形恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥的高为__________cm ．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣4）三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．20．（6分）如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE BC ∥，EF AB ∥，:1:3AD AB =.（1）当5DE =时，求FC 的长；（2）设AD a =，CF b =，那么FE =__________，EA =__________（用向量a ，b 表示）21．（6分）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．()1为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯个？()2如果商场要想每月的销售利润最多，这种台灯的售价又将定为多少？这时应进台灯多个？22．（8分）（1）计算：122126045330452(2)tan tan cos sin ---︒+-⎛⎫ ⎝⎭-⎪． （2）如图，正方形纸板ABCD 在投影面a 上的正投影为1111D C B A ，其中边AB CD 、与投影面平行，,AD BC 与投影面不平行.若正方形ABCD 的边长为5厘米，145BCC ∠=，求其投影1111D C B A 的面积．23．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1） ①直接写出抛物线的对称轴是________；②用含a 的代数式表示b ；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A 恰好为整点，若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．24．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC=10，∠B=30°，O 是线段AB 上的一个动点，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O 交BC于点D，过点D作直线AC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设OB=x，求∠ODE的内部与△ABC重合部分的面积y的最大值．25．（10分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：EB=DC；（2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数．26．（10分）如图，点A，C，D，B在以O点为圆心，OA长为半径的圆弧上，AC=CD=DB，AB交OC于点E．求证：AE=CD．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解题分析】试题分析：根据一元二次方程的定义进行解得2m﹣1=2，解得m=32．故选C．考点：一元二次方程的定义2、D【分析】根据抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴方程得到222x a=-=-，然后求出a 即可． 【题目详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+2x ﹣10的对称轴是直线x ＝﹣2， ∴222x a=-=-， ∴0.5a =；故选：D ．【题目点拨】本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2-4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2-4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．3、D【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.【题目详解】由题意得2(3)42y x =--+=2(3)2x --.故选D.【题目点拨】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k （a ，b ，c 为常数，a ≠0），确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．4、B【分析】根据题干可以明确得到p,q 是方程230x -=的两根,再利用韦达定理即可求解.【题目详解】解：由题可知p,q 是方程230x -=的两根,∴故选B.【题目点拨】本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键.5、D【解题分析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选D ．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．6、B【分析】直接把x=﹣2代入已知方程就得到关于m 的方程，再解此方程即可．【题目详解】∵x=﹣2是一元二次方程x 2+mx +4=0的一个解，∴4−2m+4=0，∴m=4.故选B.【题目点拨】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将x=﹣2代入已知方程.7、A【分析】通过已知条件求出3k =-，即函数解析式为3y x =-，然后将选项逐个代入验证即可得. 【题目详解】由题意将(1,3)-代入函数解析式得31k =-，解得3k =-， 故函数解析式为3y x=-， 将每个选项代入函数解析式可得，只有选项A 的(3,1)-符合，故答案为A.【题目点拨】本题考查了已知函数图象经过某点，利用代入法求系数，再根据函数解析式分析是否经过所给的点.8、B【解题分析】根据一元二次方程的一般形式进行选择．【题目详解】解：2x 2-x=1，移项得：2x 2-x-1=0，一次项系数是-1，常数项是-1．故选：B ．【题目点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b 分别叫二次项系数，一次项系数．9、A【分析】由将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，可得AD=AB ，又由∠B=60°，可证得△ABD 是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．【题目详解】由旋转的性质可知，AD AB =，∵60B ∠=，AD AB =，∴ADB ∆为等边三角形，∴2BD AB ==，∴ 1.6CD CB BD =-=，故选A ．【题目点拨】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB10、D【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k ，位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，把B 点的横纵坐标分别乘以13或-13即可得到点B′的坐标． 【题目详解】解：∵以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小， ∴点B （-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选D ．【题目点拨】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．二、填空题(每小题3分,共24分)11、12【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A =30°，进而得出∠B 的度数，进而得出答案．【题目详解】∵tan ∠A =3， ∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =180°﹣30°﹣90°=60°， ∴cos ∠B =12． 故答案为：12．【题目点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键．12、10.5【分析】根据题意画出图形，然后利用某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可求出旗杆的高度.【题目详解】根据题意画出如下图形，有6,3CD BE DE ===，则AC 即为所求.设AB=x 则10.86x = 解得7.5x =∴7.5310.5AC AB BC =+=+=故答案为10.5.【题目点拨】本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长是解题的关键.13、y=x 1+x ﹣1．【解题分析】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加．因此，将抛物线y=x 1+x 向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是y=x 1+x ﹣1．14、26【分析】根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t ．然后由“平均速度v ⨯时间t”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t 的值．【题目详解】依题意得s=0 1.52t +×t=34t 2， 把s=18代入，得18=34t 2， 解得 t=6，或t=-6（舍去）． 故答案为26【题目点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．15、2【题目详解】解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=， ∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，∴在圆锥侧面展开图中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，∴在圆锥侧面展开图中BD=， ∴这只蚂蚁爬行的最短距离是2cm ．故答案为：2． 16、4 【解题分析】试题分析：如图，能画4个,分别是:以D 为圆心,AB 为半径画圆;以C 为圆心,CA 为半径画圆．两圆相交于两点（DE 上下各一个）,分别于D 、E 连接后,可得到两个三角形；以D 为圆心,AC 为半径画圆;以E 为圆心,AB 为半径画圆．两圆相交于两点（DE 上下各一个）,分别于D 、E 连接后,可得到两个三角形．因此最多能画出4个考点：作图题．17、1【分析】观察方程可知,方程210x x --=有两个不相等的实数根,由根与系数关系直接求解.【题目详解】解:方程210x x --=中,△=()()21411--⨯⨯-=5>0, ∴方程有两个不相等的实数根,∴ 12x x +=b a-=1. 故答案为:1. 【题目点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数关系.关键是先判断方程的根的情况,利用根与系数关系求解.18、515【分析】利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.【题目详解】解：设扇形半径为R ，根据弧长公式得，90=25180R∴R=20，根据勾股定理得圆锥的高为：22205515 .故答案为：515 .【题目点拨】本题考查弧长公式，及圆锥的高与母线、底面半径之间的关系，底面周长等于扇形的弧长这个等量关系和勾股定理是解答此题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）存在，P（3172+，﹣2）；（3）当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为1．【题目详解】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P 在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，交x 轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．试题解析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得16404a b ca b cc-+=⎧⎪=+=⎨⎪=-⎩，解得134abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x 2﹣3x ﹣4=﹣2，解得x=3172-（小于0，舍去）或x=3172+， ∴存在满足条件的P 点，其坐标为（3172+，﹣2）； （3）∵点P 在抛物线上，∴可设P （t ，t 2﹣3t ﹣4），过P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，∵B （4，0），C （0，﹣4），∴直线BC 解析式为y=x ﹣4，∴F （t ，t ﹣4），∴PF=（t ﹣4）﹣（t 2﹣3t ﹣4）=﹣t 2+4t ，∴S △PBC =S △PFC +S △PFB =12PF•OE+12PF•BE=12PF•（OE+BE ）=12PF•OB=12（﹣t 2+4t ）×4=﹣2（t ﹣2）2+1，∴当t=2时，S △PBC 最大值为1，此时t 2﹣3t ﹣4=﹣6，∴当P 点坐标为（2，﹣6）时，△PBC 的最大面积为1．考点：二次函数综合题．20、（1）CF 10=；（2）2a -，12b a - 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可．（2）利用三角形法则求解即可．【题目详解】（1）∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE=BF=5，∵AD ：AB=DE ：BC=1：3，∴BC=15，∴CF=BC-BF=15-5=1．（2）∵AD ：AB=1：3，∴22DB AD a == ，∵EF=BD ，EF ∥BD ，∴2FE DB a =-=- ，∵CF=2DE ， ∴1122ED CF b == ， ∴12EA ED DA b a =+=- . 【题目点拨】此题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21、（1）这种台灯的售价应定为50元或80元，这时应进台灯200个或500个；()2 商场要想每月的销售利润最多，这种台灯的售价定为65元，这时应进台灯450个．【分析】（1）设这种台灯的售价应定为x 元，根据题意得：利润为（x-30）[600-10（x-40）]=10000；（2）由（1）得：W=（x-30）[600-10（x-40）]，进而求出最值即可．【题目详解】（1）设这种台灯的售价应定为x 元，根据题意得：（x-30）[600-10（x-40）]=10000，x 2-130x+4000=0，x 1=80，x 2=50，则600-10（80-40）=200（个），600-10（50-40）=500（个），答：这种台灯的售价应定为50元或80元，这时应进台灯200个或500个； ()2根据题意得：设利润为W ，则()()230600104010(65)12250W x x x ⎡⎤=---=--+⎣⎦， 则()600106540450--=（个），∴商场要想每月的销售利润最多，这种台灯的售价定为65元，这时应进台灯450个．22、（1）5+（2 【分析】(1)代入特殊角的三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可；(2) 作BE ⊥CC 1于点E ，利用等腰直角三角形的性质求得BE 的长即可求得BC 的正投影11B C 的长，即可求得答案．【题目详解】(1) 122126045330452(2)tan tan cos sin ---︒+-⎛⎫ ⎝⎭-⎪21=21--+-()232=231()2222-+-- 352=522+- ； (2)过点B 作BE ⊥CC 1于点E ，在Rt BCE 中，45BCE ∠=︒，5BC =，∴52sin 452BE BC =︒=， ∵1BB ⊥11B C ，1CC ⊥11B C ，且BE ⊥CC 1，∴四边形11BB C E 为矩形，∴1152B C BE ==， ∵115C D CD ==， ∴1111111152252522A B C D S B C C D ===四边形． 【题目点拨】本题主要考查了平行投影的性质，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质，本题理解并掌握正投影的特征是解题的关键：正投影是在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影．23、（1）①直线x ＝1；②b ＝－1a ；（1）－1≤a ＜－1或1＜a ≤1．【分析】(1) ①根据抛物线的对称性可以直接得出其对称轴；②利用对称轴公式2b x a=-进一步求解即可； （1）分两种情况：①0a >，②0a <，据此依次讨论即可．【题目详解】解：（1）①∵当x =0时，y =c ，∴点A 坐标为（0，c ），∵点A 向右平移1个单位长度，得到点B ，∴点B （1，c ），∵点B 在抛物线上，∴抛物线的对称轴是：直线x =1；故答案为：直线x =1；②∵抛物线的对称轴是直线：x =1，∴12b a-=，即2b a =-； （1）①如图，若0a >，因为点A （0，c ），B （1，c ）都是整点，且指定区域内恰有一个整点，因此这个整点D 的坐标必为（1，c －1），但是从运算层面如何保证“恰有一个”呢，与抛物线的顶点C （1，c －a ）做位置与数量关系上的比较，必须考虑到紧邻点D 的另一个整点E （1，c －1）不在指定区域内，所以可列出不等式组：12c c a c c a ->-⎧⎨-≤-⎩，解得：12a <≤； ②如图，若0a <，同理可得：12c c a c c a +<-⎧⎨+≥-⎩，解得：21a -≤<-； 综上所述，符合题意的a 的取值范围是－1≤a <－1或1<a ≤1．【题目点拨】本题主要考查了抛物线的性质和一元一次不等式组的综合运用，熟练二次函数的性质、灵活应用数形结合的数学思想是解题关键．24、 (1)证明见解析；（2）103【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠C =∠B ，∠ODB =∠C ，从而∠ODB=∠C ，根据同位角相等两直线平行可证OD ∥AC ，进而可证明结论；（2）①当点E 在CA 的延长线上时，设DE 与AB 交于点F ，围成的图形为△ODF ; ②当点E 在线段AC 上时，围成的图形为梯形AODE .根据三角形和梯形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的性质求解.【题目详解】证明：（1）连接OD ，∵AB=AC，∴∠C=∠B．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B∴∠ODB=∠C∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）①当点E在CA的延长线上时，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF．∵OD= OB= x，∠B=30°，∴∠FOD=60°，∵∠ODE=90°，∴DF=3x，∴S△ODF=12x·3x=322x，(0＜x≤103)当x=103时，S△ODF最大，最大值为5039；②当点E在线段AC上时，围成的图形为梯形AODE．∵AB=AC=10，∠B=30°，∴作OH ⊥BC ，∵OD= OB= x ，∠B=30°，∴x ，∴，∵∠C=30°，∠DEC=90°，∴DE=12 x)，x)=15，∴－5，∴S 梯形AODE =12 (2x －5+ x)·12 8(－2x +12 x －20) (103＜x ＜10)当x=6时，S 梯形AODE 最大，最大值为综上所述，当x=6时，重合部分的面积最大，最大值为．点睛：本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的判定，解直角三角形，三角形和梯形的面积公式，二次函数的性质，知识点比较多，难度比较大.熟练掌握切线的判定方法及二次函数的性质是解答本题的关键.25、（1）证明见解析；（2）110°【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，由旋转的性质可得∠DAE ＝60°，AE ＝AD ，利用SAS 即可证出EAB ≌DAC △，从而证出结论；（2）根据等边三角形的判定定理可得EAD 为等边三角形，从而得出∠AED=60°，由（1）中全等可得∠AEB ＝∠ADC ，求出∠AEB 即可求出结论．【题目详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC ．∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，∴∠DAE ＝60°，AE ＝AD ．∴∠BAD +∠EAB ＝∠BAD +∠DAC ．∴∠EAB ＝∠DAC ．在EAB 和DAC △中，∵AB AC EAB DAC AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EAB ≌DAC △．∴EB ＝DC ．（2）如图，由（1）得∠DAE ＝60°，AE ＝AD ，∴EAD 为等边三角形．∴∠AED ＝60°，由（1）得EAB ≌DAC △，∴∠AEB ＝∠ADC ．∵∠BED ＝50°，∴∠AEB=∠AED+∠BED=110°，∴∠ADC=110°．【题目点拨】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题的关键．26、证明见解析【解题分析】试题分析：连接OC ，OD ，根据弦相等，得出它们所对的弧相等，得到AC CD ==BD ,再得到它们所对的圆心角相等，证明,AEC ACE ∠=∠ 得到,AC AE =又因为,AC AE = 即可证明.试题解析：证明：方法一：连接OC ，OD ，∵AC=CD=DB ，AC CD ==BD ,∴AOC COD BOD ∠=∠=∠，∴22COB COD DOB COD AOC ∠=∠+∠=∠=∠，∵2COB CAE ∠=∠，∴AOC CAE ∠=∠， AOC OA OC ∆=在中，，18090-22AOC AOC ACO ︒︒-∠∠∴∠==， 180--ACE AEC CAE ACE ︒∆∠=∠∠在中， 180(90)2AOC AOC ︒︒∠=-∠-- 90-2AOC ︒∠=， ACE AEC ∴∠=∠，AC AE ∴=，AC CD =，AE CD ∴=．方法二：连接OC ，OD ，∵AC=CD=DB ，AC CD ==BD ,∴AOC COD BOD ∠=∠=∠，∴22COB COD DOB COD AOC ∠=∠+∠=∠=∠， ∵2COB CAE ∠=∠，∴AOC CAE ∠=∠， ∵∠CAO =∠CAE +∠EAO ，∠AEC =∠AOC +∠EAO ， ∴∠CAO =∠AEC ，在AOC △中，.OA OC =∴∠ACO =∠CAO ，∴∠ACO =∠AEC ，AC AE ∴=， AC CD =，AE CD ∴=.方法三：连接AD ，OC ，OD ，∵AC=DB ，AC =BD ,∴∠ADC =∠DAB ，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠DCO，∵AC=CD，AO=DO，∴CO⊥AD，∴∠ACO=∠DCO，∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，∵AC=CD，∴AE=CD．。

2018-2019学年浙江省湖州市长兴县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题号中对应字母的方框涂黑不选、多选、错选均不给分1．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，着地时反面向上B．星期天一定是晴天C．打开电视机，正在播放动画片D．在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾2．（3分）已知＝，则的值是（）A．B．C．D．3．（3分）把抛物线y＝x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2+1B．y＝（x+1）2C．y＝x2﹣1D．y＝（x﹣1）2 4．（3分）一个不透明的布袋里装有7个球．其中3个红球，4个白球，它们除颜色外都相同，从布袋中随机摸出一个球摸出的球是红球的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝12，CD切⊙O于点E，交PA，PB 于点C，D两点，则△PCD的周长是（）A．12B．18C．24D．306．（3分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB 为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m7．（3分）如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若△CDE与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（4，2）B．（6，0）C．（6，4）D．（6，5）8．（3分）在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7B．8C．8或17D．7或179．（3分）超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（）A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm 10．（3分）已知AD、BE、CF为△ABC的三条高（D、E、F为垂足），∠ABC＝45°，∠C＝60°，则的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为cm（结果保留根号）．12．（4分）某人沿坡度为1：的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来升高了米．13．（4分）如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，点D在⊙O上，连结CD，AD，则∠ADC的度数是．14．（4分）如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′＝．15．（4分）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE＝时，⊙C与直线AB相切．三、解答題（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：4sin60°+tan45°﹣2sin30°18．（6分）已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，∠ADE＝∠B，求证：AD2＝AE•AB．19．（6分）已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），且过点（1，0）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标．20．（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为3米（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2.5米的通道，请判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7．）21．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．（1）小礼诵读《论语》的概率是；（直接写出答案）（2）请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．22．（10分）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sin A＝，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．23．（10分）定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形（1）求美角∠C的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为2，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD＝AC．24．（12分）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC 相似，请直接写出△ABC的面积．2018-2019学年浙江省湖州市长兴县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题号中对应字母的方框涂黑不选、多选、错选均不给分1．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，着地时反面向上B．星期天一定是晴天C．打开电视机，正在播放动画片D．在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾【分析】根据必然事件的定义就是一定发生的事件，即可作出判断．【解答】解：A、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误；B、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误；C、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误；D、必然事件，故选项正确．故选：D．【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（3分）已知＝，则的值是（）A．B．C．D．【分析】依据＝，即可得出a＝b，进而得到的值．【解答】解：∵＝，∴a＝b，∴＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．3．（3分）把抛物线y＝x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2+1B．y＝（x+1）2C．y＝x2﹣1D．y＝（x﹣1）2【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（1，0）；可设新抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+k代入得：y＝（x﹣1）2，故选：D．【点评】抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．4．（3分）一个不透明的布袋里装有7个球．其中3个红球，4个白球，它们除颜色外都相同，从布袋中随机摸出一个球摸出的球是红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】直接根据概率公式求解即可．【解答】解：∵从布袋中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出的球是红球的有3种可能，∴从布袋中随机摸出一个球摸出的球是红球的概率是，故选：B．【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．5．（3分）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝12，CD切⊙O于点E，交PA，PB 于点C，D两点，则△PCD的周长是（）A．12B．18C．24D．30【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝12，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝12+12＝24，即△PCD的周长为24，故选：C．【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED 是解题的关键．6．（3分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB 为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【分析】连接OA，设OB＝OC＝x，则OD＝8﹣x，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．【解答】解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝4m，设B半径OC＝xm，则DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．7．（3分）如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若△CDE与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（4，2）B．（6，0）C．（6，4）D．（6，5）【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．A、当点E的坐标为（4，2）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；C、当点E的坐标为（6，4）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝3，则AB：BC≠DE：CD，△EDC与△ABC不相似，故本选项符合题意；D、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．8．（3分）在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7B．8C．8或17D．7或17【分析】首先根据特殊角的三角函数值求得∠B的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长．【解答】解：∵cos∠B＝，∴∠B＝45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB＝12，∠B＝45°，∴AD＝BD＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD+CD＝12+5＝17，故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，能从中整理出直角三角形是解答本题的关键，难点为分类讨论，难点中等．9．（3分）超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（）A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm 【分析】设：左侧抛物线的方程为：y＝ax2，点A的坐标为（﹣3，4），将点A坐标代入上式并解得：a＝，由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，将y＝2代入抛物线表达式，即可求解．【解答】解：设左侧抛物线的方程为：y＝ax2，点A的坐标为（﹣3，4），将点A坐标代入上式并解得：a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2，由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，将y＝2代入抛物线表达式得：2＝x2，解得：x＝（负值已舍去），则AD＝2AH+2x＝6+3，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后求解．10．（3分）已知AD、BE、CF为△ABC的三条高（D、E、F为垂足），∠ABC＝45°，∠C＝60°，则的值是（）A．B．C．D．【分析】判断出△ABD与△BCF均是等腰直角三角形，据此得到＝＝，∠ABC＝∠ABC，从而知道△BFD∽△BCA，据此推出＝，然后根据△CDE∽△CBA，求出＝＝，将转化为，根据等腰直角三角形的性质，得出AD＝a，则AB＝a，AC＝，代入即可求解．【解答】解：∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°，∠BCF＝45°，∴△ABD与△BCF均是等腰直角三角形，∵＝＝，∠ABC＝∠ABC，∴△BFD∽△BCA，∴＝，同理可得，△CDE∽△CBA，∴＝＝，故DF＝AC，DE＝AB，∴＝＝，设AD＝a，则AB＝a，AC＝，＝＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用图中的等腰直角三角形找到相关相似三角形是解答的关键．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为3（﹣1）cm（结果保留根号）．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC＝AB＝3（﹣1）．故本题答案为：3（﹣1）．【点评】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值．12．（4分）某人沿坡度为1：的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来升高了5米．【分析】已知了坡度，可求出坡角的度数，进而根据坡面长求出铅直高度即此人垂直升高的距离．【解答】解：如图．Rt△ABC中，AB＝10，tan A＝，∴∠A＝30°，BC＝AB＝5．即此人所在的位置比原来升高了5米．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．13．（4分）如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，点D在⊙O上，连结CD，AD，则∠ADC的度数是20°．【分析】根据等弧所对的圆周角相等，求出∠AOC即可解决问题．【解答】解：连接OC．∵＝，∴∠AOB＝∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故答案为20°【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．14．（4分）如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′＝．【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就可以了．【解答】解：设BC与A′C′交于点E，由平移的性质知，AC∥A′C′，∴△BEA′∽△BCA，∴S△BEA′：S△BCA＝A′B2：AB2＝1：2，∵AB＝，∴A′B＝1，∴AA′＝AB﹣A′B＝，故答案为：．【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．15．（4分）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为﹣1．【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，可以判断a的正负，得到关于a的方程，从而可以求得a的值．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3＝a（x+1）2+3a2﹣a+3，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，∴a＜0，当x＝﹣1时，y＝7，∴7＝a（x+1）2+3a2﹣a+3，解得，a1＝﹣1，a2＝（舍去），故答案为：﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE＝或时，⊙C与直线AB相切．【分析】求出AB上的高，CH，即可得出圆的半径，证△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．【解答】解：过C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，BC＝2，AB＝4，AC＝6，∴由三角形面积公式得：BC•AC＝AB•CH，CH＝3，分为两种情况：①如图1，∵CF＝CH＝3，∴AF＝6﹣3＝3，∵A和F关于D对称，∴DF＝AD＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，DE ＝②如图2，∵CF ＝CH ＝3， ∴AF ＝6+3＝9， ∵A 和F 关于D 对称， ∴DF ＝AD ＝4.5， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ACB ，∴，∴，DE ＝；故答案为：或【点评】本题考查了三角形的中位线，含30度角的直角三角形性质，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 三、解答題（本题有8小题，共66分） 17．（6分）计算：4sin60°+tan45°﹣2sin30°【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：原式＝4×+1﹣2×＝2+1﹣1＝2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 18．（6分）已知：如图，△ABC 中，AD 是角平分线，点E 在AC 上，∠ADE ＝∠B ，求证：AD 2＝AE •AB ．【分析】证明△ABD∽△ADE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可证明．【解答】证明：∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠DAC，又∵∠ADE＝∠B，∴△ABD∽△ADE，∴＝，∴AD2＝AE•AB．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19．（6分）已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），且过点（1，0）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2+2，然后把（1，0）代入求出a即可；（2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；解方程﹣（x+1）2+2＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入得a•（1+1）2+2＝0，解得a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+2；（2）当x＝0时，y＝﹣（x+1）2+2＝，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，）；当y＝0时，﹣（x+1）2+2＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．20．（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为3米（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2.5米的通道，请判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7．）【分析】（1）根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出AC；（2）根据勾股定理求出CD，求出PC的长度，比较大小得到答案．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，sin∠ABD＝，∴AD＝AB×sin∠ABD＝3×＝3，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝6，答：新传送带AC的长度为6米；（2）距离B点5米的货物MNQP不需要挪走，理由如下：在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝3，由勾股定理得，CD＝＝3≈5.1，∴CB＝CD﹣BD≈2.1，PC＝PB﹣CB≈2.9，∵2.9＞2.5，∴距离B点5米的货物MNQP不需要挪走．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．21．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．（1）小礼诵读《论语》的概率是；（直接写出答案）（2）请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小红和小亮诵读两个不同材料的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）小红诵读《论语》的概率＝；故答案为．（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小红和小亮诵读两个不同材料的结果数为6，所以小红和小亮诵读两个不同材料的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．22．（10分）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sin A＝，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OE．根据OB＝OE得到∠OBE＝∠OEB，然后再根据BE是△ABC 的角平分线得到∠OEB＝∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C＝90°得到∠AEO＝∠C＝90°证得结论AC是⊙O的切线．（2）连接OF，利用S阴影部分＝S梯形OECF﹣S扇形EOF求解即可．【解答】解：（1）证明：连接OE．∵OB ＝OE∴∠OBE ＝∠OEB∵BE 是∠ABC 的角平分线∴∠OBE ＝∠EBC∴∠OEB ＝∠EBC∴OE ∥BC∵∠C ＝90°∴∠AEO ＝∠C ＝90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）连接OF ．∵sin A ＝，∴∠A ＝30°∵⊙O 的半径为3，∴AO ＝2OE ＝6，∴AE ＝3，∠AOE ＝60°，∴AB ＝9，∴BC ＝AB ＝4.5，AC ＝4.5，∴CE ＝AC ﹣AE ＝1.5， ∵OB ＝OF ，∠ABC ＝60°，∴△OBF 是正三角形．∴∠FOB ＝60°，CF ＝4.5﹣3＝1.5，∴∠EOF ＝60°．∴S 梯形OECF ＝（3+1.5）×＝4.5，S 扇形EOF ＝＝1.5π，∴S 阴影部分＝S 梯形OECF ﹣S 扇形EOF ＝4.5﹣1.5π．【点评】本题主要考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．23．（10分）定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形（1）求美角∠C的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为2，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD＝AC．【分析】（1）先判断出∠C＝2∠A，再判断出∠A+∠C＝180°，即可得出结论；（2）先求出∠E＝60°，再求出DE，最后用锐角三角函数即可得出结论；（3）作出辅助线，判断出△BCF是等边三角形，得出∠AFB＝∠BCD，进而判断出△ABF ≌△DBC，得出AF＝CD，即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是圆美四边形，∴∠C＝2∠A，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝60°，∴∠C＝120°；（2）由（1）知，∠A＝60°，如图1，连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，∴∠E＝∠A＝60°，∵⊙O的半径为2，∴DE＝2×2＝4，在Rt△DBE中，BD＝DE•sin E＝4×＝6；（3）如图2，在CA上截取CF＝CB，由（1）知，∠BCD＝120°，∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△BCF是等边三角形，∴BC＝BF，∠BFC＝60°，∴∠AFB＝120°，∠AFB＝∠BCD，在△ABF和△BCD中，，∴△ABF≌△DBC（AAS），∴AF＝DC，∴AC＝CF+AF＝BC+CD．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．24．（12分）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC 相似，请直接写出△ABC的面积．【分析】（1）求出A、B的坐标，把点B坐标代入直线表达式即可求解；（2）利用△AMD∽△DMB，＝，即可求解；（3）分△ABC∽△APB、△ABC∽△PAB两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣x﹣k＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，则x＝﹣2或4，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），把点B坐标代入直线y＝﹣x+b得：﹣×4+b＝0，解得：b＝，∴直线BD的表达式为：y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），把点D的坐标代入抛物线表达式得：（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，k＝，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣；（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），则：DM＝﹣x+，BM＝4﹣x，AM＝﹣2﹣x，∵∠MDA＝∠ABD，∠AMD＝∠DMB，∴△AMD∽△DMB，∴＝，即：（﹣x+）2＝（4﹣x）（﹣2﹣x），解得：x＝﹣5或4（舍去x＝4），∴点D的坐标为（﹣5，3）；（3）由抛物线的表达式，令x＝0，则y＝﹣k，∴点C的坐标为（0，﹣k），OC＝k，①当△ABC∽△APB时，则∠BAC＝∠PAB，设点P的坐标为（x，y），过点P作PN⊥x轴交于点N，则ON＝x，PN＝y，tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝kx+k，把点P（x，）代入抛物线表达式并解得：x＝8或﹣2（舍去﹣2），故点P的坐标为（8，5k），∵△ABC∽△APB，∴AB2＝AC•AP，即：62＝，解得：k＝，S＝AB•OC＝＝；△ABC②△ABC∽△PAB时，同理可得：k＝，S＝AB•OC＝＝3，△ABC故：△ABC的面积为＝或3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等，（2）（3）的关键是通过相似确定线段间的比例关系．。

湖州市长兴县、安吉县2021-2022学年第一学期初三数学期末试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选的均不给分。

1．（3分）下列各式中，y 是x 的二次函数的是( ) A ．21y x =B ．211y x x=++ C ．221y x =- D ．21y x =-2．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币2021次，正面朝上最有可能接近的次数为( ) A ．800B ．1000C ．1200D ．14003．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，13AB =，则sin B 的值为( ) A ．135B ．1213C ．512D ．5134．（3分）已知圆心角度数为60︒，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为( ) A ．20πB ．15πC ．10πD ．5π5．（3分）如图，////AD BE CF ，3AB =，6BC =，2DE =，则EF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．（3分）下列说法正确的是( ) A ．等弧所对的圆周角相等 B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．过弦的中点的直线必过圆心7．（3分）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使ADE ∆与ABC ∆相似，那么这个条件是( )A ．AEDB ∠=∠B ．ADEC ∠=∠C ．AD AEAC AB=D ．AD DEAB BC=8．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3tan 4A =．以点C 为圆心，CB 长为半径的圆交AB于点D ，则AD 的长是( )A ．1B ．75C ．32D ．29．（3分）已知11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是( )A ．若12|1||1|x x ->-，则12y y >B ．若12|1||1|x x ->-，则12y y <C ．若12|1||1|x x -=-，则12y y =D ．若12y y =，则12x x =10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点M ，N 的坐标分别为(1,3)-，(3,3)，若抛物线2222y x mx m m =-+-+与线段MN 只有一个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．10m -<或71771722m-+< B ．10m -<或7172m -> C ．0m <或71771722m-+< D ．71712m+- 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）把抛物线22y x =向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 ． 12．（4分）已知线段4a =厘米，3b =厘米，那么线段a 与b 的比例中项c = 厘米． 13．（4分）从311，π，3，0这四个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为 ． 14．（4分）如图，五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，则ODC ∠的度数是 ．15．（4分）如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，6BC =，1cos 3ABC ∠=，点P 在边AC 上运动（可与点A ，C 重合），将线段BP 绕点P 逆时针旋转120︒，得到线段DP ，连结BD ，则BD 长的最小值为 ．16．（4分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为22图1所示的七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD 中（其中点E ，F ，G ，H ，K 都在矩形边上），则AD 长是 ．三、解答题（本题共有8小题，共66分） 17．（6分）已知:3:2a b =，求： （1）a b b+； （2）274a bb-的值． 18．（6分）对于二次函数223y x x =+-，请回答下列问题： （1）求出此函数图象的顶点坐标；（2）当22x -<<时，请直接写出y 的取值范围．19．（6分）某校九年级（2）班A 、B 、C 、D 四位同学参加了校篮球队选拔． （1）若从这四人中随机选取一人，恰好选中B 参加校篮球队的概率是 ；（2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中B 、C 两位同学参加校篮球队的概率．20．（8分）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞．运载火箭从地面O 处垂直地面发射，当火箭到达点A 时，地面D 处的雷达站测得4000AD =米，仰角为30︒．经过3秒后，火箭从点A 直线上升到达点B 处，此时地面C 处的雷达站测得B 处的仰角为45︒．已知C ，D 两处相距460米，求火箭从A 到B 处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：3 1.732≈，2 1.414)≈．21．（8分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点F 在BC 边上，过A ，B ，F 三点的O 交AC 于另一点D ，作直径AE ，连接EF 并延长交AC 于点G ，连接BE ，BD ，四边形BDGE 是平行四边形． （1）求证：AB BF =．（2）当F 为BC 的中点，且3AC =时，求O 的直径长．22．（10分）某农户养殖经销大闸蟹，已知大闸蟹的成本价为60元/千克．市场调查发现，该大闸蟹每天的销售量w （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：2240w x =-+．设大闸蟹每天的销售利润为y （元)． （1）求y 与x 之间的函数关系式．（2）当销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定大闸蟹的利润不得高于40%，该农户想要每天获得1600元的销售利润，销售价应定为多少？23．（10分）如图①，四边形ABCD 与四边形CEFG 都是矩形，点E ，G 分别在边CD ，CB 上，点F 在AC 上，3AB =，4BC =（1）求AFBG的值； （2）把矩形CEFG 绕点C 顺时针旋转到图②的位置，P 为AF ，BG 的交点，连接CP （Ⅰ）求AFBG的值； （Ⅱ）判断CP 与AF 的位置关系，并说明理由．24．（12分）如图，抛物线2y x bx c =-++经过(1,0)A -，(3,0)B 两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线上是否存在点P ，使得BCP ∆是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M 为OC 的中点，若有一动点P 自点M 处出发，沿直线运动至x 轴上的某点（设为点)E ，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点（设为点)F ，最后又沿直线运动至点C ，则点P 运动的总路程最短为 ．（请直接写出答案）参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选的均不给分。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √-92. 已知a，b是实数，且a+b=0，则下列等式中正确的是（）A. a=0，b=0B. a=0，b≠0C. a≠0，b=0D. a≠0，b≠03. 如果a²+b²=25，a+b=5，那么a-b的值为（）A. 5B. 10C. 15D. 204. 已知一元二次方程x²-3x+2=0，则x的值为（）A. 1B. 2C. 1或2D. 无法确定5. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴的对称点坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（2，3）D.（-2，3）6. 如果一个等腰三角形的底边长为4，腰长为6，那么这个三角形的周长为（）A. 10B. 16C. 20D. 247. 在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，则BC的长度为（）A. 2√7B. 4√7C. 6√7D. 8√78. 已知一次函数y=kx+b（k≠0），当x=1时，y=2；当x=-1时，y=-2，则该一次函数的解析式为（）A. y=3x+1B. y=3x-1C. y=-3x+1D. y=-3x-19. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x²B. y=2xC. y=2/xD. y=x³10. 若m，n是方程x²-5x+m=0的两根，则m+n的值为（）A. 5B. -5C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共40分）11. （4分）若a²+b²=1，且a+b=0，则ab的值为______。

12. （4分）若一个数的平方等于4，则这个数是______。

13. （4分）在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-2，3），则线段AB的长度为______。

14. （4分）若一个等边三角形的边长为6，则它的周长为______。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，则tan A ＝（ ）A ．23B ．32C ．21313D ．313132．如图，点C 在以AB 为直径的O 上，若10AB =，30A ∠=︒，则AC 的长为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．3．对于二次函数y ＝﹣14（x ﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ） A ．当x ＞2时，y 随x 的增大而增大 B ．当x ＝2时，y 有最大值﹣3 C ．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3）D ．图象与x 轴有两个交点4．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x （单位：千克）及方差2S （单位：千克2）如下表所示：甲 乙 丙 丁 x24 24 23 20 2S2.11.921.9今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．6．已知函数kyx=是的图像过点()2,3-，则k的值为（）A．-2 B．3 C．-6 D．67．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为( )A．95B．125C．185D．3658．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若64ABC∠=，则AEC∠的度数为（）A ．106°B ．116°C ．126°D ．136°9．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④10．从{3,2,1,0,1,2,3}---这七个数中随机抽取一个数记为a ，则a 的值是不等式组352132x x x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪<+⎪⎩的解，但不是方程2320x x -+=的实数解的概率为（ ）．A ．17B ．27C ．37D ．4711．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，43=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）A ．3或4B ．83或4C ．83或6D ．4或612．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，点P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PBC ＝∠PCA ，则线段AP 长的最小值为（ ）A．0.5 B．2﹣1 C．2﹣2D．1 3二、填空题（每题4分，共24分）13．公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了有关黄金矩形的问题．并建立起比例理论，他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于较长部分之比．所谓黄金矩形指的就是矩形的宽与长的比适合这一比例．则在黄金矩形中宽与长的比值是______．14．已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2__S乙2（填“＞”、“=”、“＜”）15．比较大小：10_____1．（填“＞”、“=”或“＜”）16．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC=DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的有________．(填序号)①小红的运动路程比小兰的长；②两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇；③当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D；④在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径．17．如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则S △AFC =__________cm 2.18．已知某种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系是h ＝25-t 3+20t+1，若此礼炮在升空到最高处时引爆，到引爆需要的时间为_____s ． 三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知正方形ABCD ，点E 为AB 上的一点，EF ⊥AB ，交BD 于点F ．（1）如图1，直按写出DFAE的值 ； （2）将△EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当BE ＝BA 时，其他条件不变，△EBF 绕点B 顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜360°），当α为何值时，EA ＝ED ？在图3或备用图中画出图形，并直接写出此时α＝ ．20．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为r （r ＞0）．给出如下定义：若平面上一点P 到圆心O 的距离d ，满足1322r d r ≤≤，则称点P 为⊙O 的“随心点”．（1）当⊙O 的半径r =2时，A （3，0），B （0，4），C （32-，2），D （12，12-）中，⊙O 的“随心点”是 ； （2）若点E （4，3）是⊙O 的“随心点”，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）当⊙O 的半径r =2时，直线y=- x+b （b ≠0）与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在⊙O 的“随心点”，直接写出b 的取值范围 ．21．（8分）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数5y x=-的图象相交于点(1,)A m -，(,1)B n -两点，与x ，y 轴分别交于C ，D 两点．（1）求一次函数的表达式； （2）求COD △的面积．22．（10分）某市2017年对市区绿化工程投入的资金是5000万元，为争创全国文明卫生城，加大对绿化工程的投入，2019年投入的资金是7200万元，且从2017年到2019年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同. （1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2020年预计需投入多少万元？23．（10分）如图，平面直角坐标系中，一次函数y ＝x ﹣1的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx的图象交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，13OA AE =．（1）求反比例函数的表达式与点D 的坐标；（2）以CE 为边作▱ECMN ，点M 在一次函数y ＝x ﹣1的图象上，设点M 的横坐标为a ，当边MN 与反比例函数y ＝kx的图象有公共点时，求a 的取值范围．24．（10分）有A B 、两个口袋，A 口袋中装有两个分别标有数字2，3的小球，B 口袋中装有三个分别标有数字1,4,5--的小球（每个小球质量、大小、材质均相同）．小明先从A 口袋中随机取出一个小球，用m 表示所取球上的数字；再从B 口袋中顺次取出两个小球，用n 表示所取两个小球上的数字之和． （1）用树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果；（2）求nm的值是整数的概率． 25．（12分）如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在边BC 上移动（点E 不与点B 、C 重合），满足DEF B ∠=∠，且点D 、F 分别在边AB 、AC 上． （1）求证：BDECEF ；（2）当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分DFC ∠．26．如图，点E 在ABC 的中线BD 上，EAD ABD ∠=∠．（1）求证：ADE BDA △∽△； （2）求证：ACB DEC ∠=∠．参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、B【分析】根据正切的定义tan aA b=计算，得到答案． 【详解】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3tan 2BC A AC ==，故选：B ． 【点睛】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键. 2、D【分析】根据直径所对圆周角是直角,可知∠C=90°,再利用30°直角三角形的特殊性质解出即可. 【详解】∵AB 是直径, ∴∠C=90°, ∵∠A=30°,∴2AC AB =,10AC AB ===. 故选D. 【点睛】本题考查圆周角的性质及特殊直角三角形,关键在于熟记相关基础知识. 3、B【分析】根据二次函数的性质对A B C 、、进行判断；通过解方程﹣14（x ﹣2）2﹣3＝0对D 进行判断即可. 【详解】∵二次函数y ＝﹣14（x ﹣2）2﹣3， ∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，故选项A 错误；当x ＝2时，该函数取得最大值，最大值是﹣3，故选项B 正确； 图象的顶点坐标为（2，﹣3），故选项C 错误； 当y ＝0时，0＝﹣14（x ﹣2）2﹣3，即()2212x -=-,无解，故选项D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，把求二次函数与x 轴的交点问题转化为解关于x 的一元二次方程问题可求得交点横坐标，牢记其()2y a x h k =-+的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键． 4、B【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定． 【详解】因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大， 而乙组的方差比甲组的小， 所以乙组的产量比较稳定， 所以乙组的产量既高又稳定， 故选B ． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义． 5、D【详解】解：过点P 作PF ⊥BC 于F ，∵PE=PB ， ∴BF=EF ，∵正方形ABCD 的边长是1， ∴22112+=∵AP=x ，∴2-x ， ∴PF=FC=22(2)122x x =-， ∴BF=FE=1-FC=22x ， ∴S △PBE =122221212x x x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 即2122y x x =-+（0＜x 2）， 故选D ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象． 6、C【解析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解． 【详解】∵反比例函数ky x=的图象经过点（-2，3）， ∴k ＝-2×3＝-1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数kyx=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．7、C【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．【详解】解：在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB=2234+=1．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=1，∴CM=125，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（125）2，解得：AM=95，∴AE=2AM=185．故选：C．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8、B【解析】根据圆的内接四边形对角互补，得出∠D的度数，再由轴对称的性质得出∠AEC的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D=180°-∠ABC=180°-64°=116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D=∠AEC=116°，故答案为B ．【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质及轴对称的性质，解题的关键是熟知圆的内接四边形对角互补及轴对称性质． 9、A【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．【详解】解：原几何体的主视图是：．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，左侧的图形只需要两个正方体叠加即可．故取走的正方体是①．故选A ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图,中等难度,作出几何体的主视图是解题关键.10、B【分析】先解不等式，再解一元二次方程，利用概率公式得到概率 【详解】352132x x x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪<+⎪⎩①② 解①得，2x >-， 解②得，34x >-． ∴34x >-． ∵a 的值是不等式组352132x x x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪<+⎪⎩的解， ∴0,1,2,3a =．方程23120x x -+=，解得11x =，22x =．∵a 不是方程232x x -+的解，∴0a =或3．∴满足条件的a 的值为1，2（2个）． ∴概率为27． 故选B ． 11、D【分析】分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN AC AC CB =，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =，165BH k =，则1685CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，BC ＝8，∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10，CAN CAB ∴∠≠∠， 设3CN k =，4BM k =，①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽，∴CN AC AC CB =， ∴3668k =， 32k ∴=， 6BM ∴=．②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，∴BM MH BH BA AC BC ==， ∴41068k MH BH ==， 125MH k ∴=，165BH k =， 1685CH k ∴=-， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒，ACN CHM ∴∆∆∽，∴CN MHAC CH=，∴123516685kkk=-，1k∴=，4BM∴=．综上所述，4BM=或1．故选：D．【点睛】本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．12、C【分析】先计算出∠PBC+∠PCB＝45°，则∠BPC＝135°，利用圆周角定理可判断点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交BC于P′，作BC所对的圆周角∠BQC，利用圆周角定理计算出∠BOC＝90°，从而得到△OBC为等腰直角三角形，四边形ABOC为正方形，所以OA＝BC＝2，OB=2，根据三角形三边关系得到AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），于是得到AP的最小值.【详解】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，∵∠PBC＝∠PCA，∴∠PBC+∠PCB＝45°，∴∠BPC ＝135°，∴点P 在以BC 为弦的⊙O 上，如图，连接OA 交BC 于P ′，作BC 所对的圆周角∠BQC ，则∠BCQ ＝180°﹣∠BPC ＝45°，∴∠BOC ＝2∠BQC ＝90°，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴四边形ABOC 为正方形，∴OA ＝BC ＝2，∴OB ＝BC ， ∵AP ≥OA ﹣OP （当且仅当A 、P 、O 共线时取等号，即P 点在P ′位置），∴AP 的最小值为2．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形的性质.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.二、填空题（每题4分，共24分）13、12【分析】根据黄金矩形指的就是矩形的宽与长的比适合黄金分割比例，所以求出黄金分割比例即可，设线段长为1，较长的部分为x ，则较短的部分为1-x ，根据较长部分对于全部之比，等于较短部分对于较长部分之比，求出x ，即可得到比值．【详解】解：设线段长为1，较长的部分为x ，则较短的部分为1-x ∴11x x x-=∴x 1，x 2（舍）∴黄金分割比例为：1x =．【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，读懂题意并且列出比例式正确求解是解决本题的关键．14、＞【解析】要比较甲、乙方差的大小，就需要求出甲、乙的方差；首先根据折线统计图结合根据平均数的计算公式求出这两组数据的平均数；接下来根据方差的公式求出甲、乙两个样本的方差，然后比较即可解答题目.【详解】甲组的平均数为：3626463+++++=4，S甲2=16×[(3-4)2+(6-4)2+(2-4)2+(6-4)2+(4-4)2+(3-4)2]=73，乙组的平均数为：4353465+++++=4，S乙2=16×[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=23，∵73＞23，∴S甲2＞S乙2.故答案为：>.【点睛】本题考查的知识点是方差,算术平均数,折线统计图，解题的关键是熟练的掌握方差,算术平均数,折线统计图. 15、＞．【解析】先求出【详解】∵12=9＜10，＞1，故答案为＞．【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．16、④【分析】利用图象信息一一判断即可解决问题．【详解】解：①由图可知，速度相同的情况下，小红比小兰提前停下来，时间花的短，故小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；②两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C 距离相等，故本选项不符合题意；③当小红运动到点D 的时候，小兰也在点D ，故本选项不符合题意；④当小红运动到点O 的时候，两人的距离正好等于⊙O 的半径，此时t=9.682=4.84，故本选项正确；故答案为：④．【点睛】本题考查动点问题函数图象、解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．17、9 【解析】连接BF ，过B 作BO ⊥AC 于O ，过点F 作FM ⊥AC 于M.Rt △ABC 中,AB=3,BC=6,22223635AC AB BC =+=+=∵∠CAB=∠BAC, ∠AOB=∠ABC, ∴△AOB ∽△ABC,AB BO AC BC ∴= ,65AB BC BO AC ⋅∴== . ∵EF=BG=2BE=2GF ，BC=2AB ，∴Rt △BGF 和Rt △ABC 中,2BG BC FG AB== ,∴Rt △BGF ∽Rt △ABC ，∴∠FBG=∠ACB, ∴AC ∥BF,65FM OB ∴==∴S △AFC =12AC×FM=9. 【点睛】△ACF 中，AC 的长度不变，所以以AC 为底边求面积．因为两矩形相似，所以易证AC ∥BF ，从而△ACF 的高可用BO 表示．在△ABC 中求BO 的长度，即可计算△ACF 的面积．18、1【分析】将关系式h=53-t 2+20t+1转化为顶点式就可以直接求出结论． 【详解】解：∵h=53-t 2+20t+1＝53-（t ﹣1）2+11，∴当t ＝1时，h 取得最大值，即礼炮从升空到引爆需要的时间为1s ，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的性质顶点式的运用，解答时将一般式化为顶点式是关键．三、解答题（共78分）19、（1；（2）DF AE ，理由见解析；（3）作图见解析，30°或150°【分析】(1)直接利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；(2)先判断出BF BD BE AB==ABE ∽△DBF ，即可得出结论； (3)先判断出点E 在AD 的中垂线上，再判断出△BCE 是等边三角形，求出∠CBE =60°，再分两种情况计算即可得出结论．【详解】(1)∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD =45︒，BD AB ，∵EF ⊥AB ，∴∠BEF =90︒，∴∠BFE =∠ABD =45︒，∴BE =EF ，∴BF BE ，∴DF =BD ﹣BF AB ﹣BE )=，∴DF AE=；(2)DF AE ，理由：由(1)知，BF BE ，BD AB ，∠BFE =∠ABD =45︒，∴BF BD BE AB== 由旋转知，∠ABE =∠DBF ，∴△ABE ∽△DBF ，∴DF BD AE AB==∴DF=2AE；(3)如图3，连接DE，CE，∵EA=ED，∴点E在AD的中垂线上，∴AE=DE，BE=CE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90︒，AB=BC，∴BE=CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠CBE=60︒，∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=90︒-60︒=30︒，即：α=30︒，如图4，同理，△BCE是等边三角形，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90︒+60︒=150︒，即：α=150︒，故答案为：30︒或150︒．【点睛】本题属于相似形的综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用相似比表示线段之间的关系．20、 (1) A,C ；（2）10103r ≤≤；(3) 1≤b≤--1． 【分析】（1）根据已知条件求出d 的范围：1≤d ≤3，再将各点距离O 点的距离，进行判断是否在此范围内即可，满足条件的即为随心点；（2）根据点E （4，3）是⊙O 的“随心点”，可根据1322r d r ≤≤，求出d=5，再求出r 的范围即可； （3）如图a ∥b ∥c ∥d ，⊙O 的半径r=2，求出随心点范围13d ≤≤，再分情况点N 在y 轴正半轴时，当点N 在y 轴负半轴时，分情况讨论即可.【详解】(1) ∵⊙O 的半径r=2， ∴32r =3，12r =1 ∴1≤d ≤3∵A （3，0），∴OA=3，在范围内∴点A 是⊙O 的“随心点”∵B （0，4）∴OB=4，而4＞3，不在范围内∴B 是不是⊙O 的“随心点”，∵C （32-，2）， ∴OC=32，在范围内 ∴点C 是⊙O 的“随心点”，∵D （12，12-）， ∴OD=12＜1，不在范围内 ∴点D 不是⊙O 的“随心点”，故答案为：A,C（2）∵点E （4，3）是⊙O 的“随心点”∴OE=5，即d=5 若152r =， ∴r=10 若 352r =，103r =∴10103r ≤≤ (3)∵如图a ∥b ∥c ∥d ，⊙O 的半径r=2，随心点范围1322r d r ≤≤ ∴13d ≤≤∵直线MN 的解析式为y=x+b ，∴OM=ON ，①点N 在y 轴正半轴时， 当点M 是⊙O 的“随心点”，此时，点M （-1，0），将M （-1，0）代入直线MN 的解析式y=x+b 中，解得，b=1， 即：b 的最小值为1，过点O 作OG ⊥M'N'于G ，当点G 是⊙O 的“随心点”时，此时OG=3，在Rt △ON'G 中，∠ON'G=45°，∴GO=3∴在Rt △GNN’中，NN '=sin GO GN N '∠=3sin 45=32 b 的最大值为32∴1≤b≤32②当点N 在y 轴负半轴时，同①的方法得出-32-1． 综上所述，b 的取值范围是：1≤b≤32-32-1．【点睛】此题考查了一次函数的综合题，主要考查了新定义，点到原点的距离的确定，解（3）的关键是找出线段MN 上的点是圆O 的“随心点”的分界点，是一道中等难度的题目．21、（1）4y x =-+；（2）8【分析】（1）根据题意先把(1,)A m -，(,1)B n -代入5y x =-确定A 点和B 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据题意分别求出C 、D 点的坐标，进而根据面积公式进行运算可得结论．【详解】解：（1）把(1,)A m -，(,1)B n -代入5y x =-得55m n =⎧⎨=⎩， 把(1,5)A -和(5,1)B -代入y kx b =+得51154k b k k b b ⎧=-+=-⎧⇒⎨⎨-=+=⎩⎩， 所以一次函数表达式为4y x =-+. （2）在4y x =-+中含0x =得4y =，令0y =得4x =，(4,0)C ∴，(0,4)D ，11||||44822COD S OC OD ∴=⋅=⨯⨯=△. 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解以及掌握待定系数法求函数解析式．22、（1）20%；（2）8640万元.【分析】（1）设平均增长率为x,根据题意可得2018年投入的资金是5000(1+x)万元，2019年投入的资金是5000(1+x) (1+x)万元，由2019年投入的资金是7200万元即可列出方程.，求解即可.（2）相当于数字7200增长了20%，列式计算.【详解】解：（1）设两年间每年投入资金的平均增长率为x ，根据题意得，5000(1+x)2=7200解得，x 1=0.2=20%，x 2= -2.2（不符合题意，舍去）答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为20%；（2）根据题意得，7200（1+20%）=8640万元.答：在2020年预计需投入8640万元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，根据a(1+x)2=b （a 、b 、x 、n 分别表示增长前量、增长后量、增长率和增长次数）列方程是解答增长率问题的关键.23、（1）D （﹣3，﹣4）；（1）当边MN 与反比例函数y ＝k x 的图象有公共点时4＜a ≤6或﹣3＜a ≤﹣1． 【分析】（1）利用待定系数法以及等腰直角三角形的性质求出EC ，OE 即可解决问题．（1）如图，设M （a ，a ﹣1），则N （a ，12a），由EC ＝MN 构建方程求出特殊点M 的坐标即可判断． 【详解】解：（1）由题意A （1，0），B （0，﹣1），∴OA ＝OB ＝1，∴∠OAB ＝∠CAE ＝45°∵AE ＝3OA ，∴AE ＝3，∵EC ⊥x 轴，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAC ＝∠ACE ＝45°，∴EC ＝AE ＝3，∴C （4，3），∵反比例函数y ＝xk 经过点C （4，3）， ∴k ＝11， 由112y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩或34x y =-⎧⎨=-⎩， ∴D （﹣3，﹣4）．（1）如图，设M （a ，a ﹣1），则N （a ，12a）∵四边形ECMN 是平行四边形，∴MN ＝EC ＝3，∴|a ﹣1﹣12a|＝3，解得a ＝6或﹣1或﹣1±13（舍弃）， ∴M （6，5）或（﹣1，﹣3）， 观察图象可知：当边MN 与反比例函数y ＝x k 的图象有公共点时4＜a ≤6或﹣3＜a ≤﹣1． 【点睛】考核知识点：反比例函数与一次函数.数形结合，解方程组求图象交点，根据图象分析问题是关键.24、（1）答案见解析；（2）12． 【分析】（1）共有12种等可能的情况，根据题意画出树状图即可； （2）根据树状图列出n m 所有可能的值，即可求出n m的值是整数的概率． 【详解】（1）用树状图法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果如下：共有12种等可能的情况；（2）由树状图可知，n m所有可能的值分别为： 311113,,,3,,1,2,1,,2,22233-------- 共12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中n m的值是整数的情况有6种． n m ∴的值是整数的概率61122P ==． 【点睛】本题考查了概率统计的问题，掌握树状图的性质以及画法是解题的关键．25、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C ，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，DEF B ∠=∠，即可判定CEF BDE ∠=∠，根据相似三角形的判定方法即可得△BDE ∽△CEF ；（2）由相似三角形的性质可得BE DE CF EF=，再由点E 是BC 的中点，可得BE=CE ，即可得CE DE CF EF=，又因C DEF ∠=∠，即可判定△CEF ∽△EDF ，根据相似三角形的性质可得CFE EFD ∠=∠，即可证得即FE 平分∠DFC ．【详解】解：（1）因为AB=AC,所以∠B=∠C ，因为∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，DEF B ∠=∠所以CEF BDE ∠=∠,所以△BDE ∽△CEF ；（2）因为△BDE ∽△CEF ，所以BE DE CF EF=, 因为点E 是BC 的中点，所以BE=CE,即CE DE CF EF =, 所以CE CF DE EF=，又C DEF ∠=∠,故△CEF ∽△EDF, 所以CFE EFD ∠=∠,即FE 平分∠DFC ．26、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由∠DAE=∠ABD ，∠ADE=∠BDA ，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ADE ∽△BDA ； （2）由点E 在中线BD 上，可得=DC DE BD DC，又由∠CDE=∠BDC ，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得△CDE ∽△BDC ，继而证得∠DEC=∠ACB ．【详解】解：证明：（1）∵∠DAE=∠ABD ，∠ADE=∠BDA ，∴△ADE ∽△BDA ；（2）∵D 是AC 边上的中点，∴AD=DC ，∵△ADE ∽△BDA ∴=AD DE BD AD， ∴=DC DE BD DC ， 又∵∠CDE=∠BDC ，∴△CDE ∽△BDC ，∴∠DEC=∠ACB ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．。

2025届浙江省九年级数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．直角三角形两直角边之和为定值,其面积与一直角边之间的函数关系大致图象是下列中的（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，菱形ABCD 中，EF ⊥AC ，垂足为点H ，分别交AD 、AB 及CB 的延长线交于点E 、M 、F ，且AE ：FB ＝1：2，则AH ：AC 的值为（ ）A ．14 B ．16 C ．25 D ．153．不透明袋子中有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出1个球，是红球的概率是( ) A ．16B ．15C ．25D ．354．如果关于x 的方程220--=x x k 没有实数根，那么k 的最大整数值是（ ） A ．-3B ．-2C ．-1D ．05．反比例函数y ＝1k x-的图象，在每个象限内，y 的值随x 值的增大而增大，则k 可以为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．若ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：4，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为（ ） A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：167．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（）A．9︰16 B．3︰4 C．9︰4 D．3︰168．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）A．点O B．点P C．点M D．点N9．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（）A．B．C．D．10．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5B．7C．5或7D．10二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____．12．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝35º，则∠OAB＝º．13．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____． 14．如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到A B C ''''''△的位置.设1BC =，3AC =，则顶点A 运动到点A ''的位置时，点A 经过的路线长为_________．15．二次函数2(12)12y x m x =-+-+，当2x >时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是__________． 16．已知二次函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是__________17．某公司生产一种饮料是由A ，B 两种原料液按一定比例配成，其中A 原料液的原成本价为10元/千克，B 原料液的原成本价为5元/千克，按原售价销售可以获得50%的利润率，由于物价上涨，现在A 原料液每千克上涨20%，B 原料液每千克上涨40%，配制后的饮料成本增加了13，公司为了拓展市场，打算再投入现在成本的25%做广告宣传，如果要保证该种饮料的利润率不变，则这种饮料现在的售价应比原来的售价高_____元/千克． 18．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的面积是__________．三、解答题(共66分)19．（10分）已知△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：（1）按要求作图：先将△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得△OA 1B 1，再以原点O 为位似中心，将△OA 1B 1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA 2B 2； （2）直接写出点A 1的坐标，点A 2的坐标．20．（6分）如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B,CD=4，BD=2,求AC的长21．（6分）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin B=35，点D、E分别在边AB、BC上，且AD∶DB=2∶3，DE⊥BC．（1）求∠DCE的正切值；（2）如果设AB a=，CD b=，试用a、b表示AC.22．（8分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数kyx=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．（1）求k和b的值；（2）求△OAB的面积．23．（8分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这A B C D E F G H，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．8名学生分别标记为,,,,,,,学生A B C D E F G H垃圾类别厨余垃圾√√√√√√√√可回收垃圾√×√××√√√有害垃圾×√×√√××√其他垃圾×√√××√√√（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．24．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．25．（10分）三个小球上分别标有数字﹣2，﹣1，3，它们除数字外其余全部相同，现将它们放在一个不透明的袋子里，从袋子中随机地摸出一球，将球上的数字记录，记为m，然后放回；再随机地摸取一球，将球上的数字记录，记为n，这样确定了点(m，n)．（1）请列表或画出树状图，并根据列表或树状图写出点(m，n)所有可能的结果；（2）求点(m，n)在函数y＝x的图象上的概率．26．（10分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，1．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是1的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x).根据三角形面积公式即可得到关系式,观察形式即可解答.【详解】解:设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x).根据三角形面积公式则有:y = ，以上是二次函数的表达式,图象是一条抛物线,所以A选项是正确的.【点睛】考查了现实中的二次函数问题,考查了学生的分析、解决实际问题的能力.2、B【分析】连接BD，如图，利用菱形的性质得AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，再证明EF∥BD，接着判断四边形BDEF 为平行四边形得到DE＝BF，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，所以AE：CF＝1：5，然后证明△AEH∽△CFH得到AH：HC＝AE：CF＝1：5，最后利用比例的性质得到AH：AC的值．【详解】解：连接BD，如图，∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∵EF ⊥AC ， ∴EF ∥BD ， 而DE ∥BF ，∴四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE ＝BF ，由AE ：FB ＝1：2，设AE ＝x ，FB ＝DE ＝2x ，BC ＝3x ， ∴AE ：CF ＝x ：5x ＝1：5， ∵AE ∥CF ， ∴△AEH ∽△CFH ，∴AH ：HC ＝AE ：CF ＝1：5， ∴AH ：AC ＝1：1． 故选：B ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质及相似三角形的性质. 3、D【分析】利用概率公式直接求解即可. 【详解】解：袋子装有5个球，其中3个红球，2个白球,∴从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是:35故选:D ． 【点睛】本题考查的是利用概率的定义求事件的概率. 4、B【分析】先根据根的判别式求出k 的取值范围，再从中找到最大整数即可． 【详解】224(2)41()440b ac k k -=--⨯⨯-=+< 解得1k <-∴k 的最大整数值是-2 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键． 5、A【解析】试题分析：因为y=1k x-的图象，在每个象限内，y 的值随x 值的增大而增大， 所以k-1＜0，k ＜1． 故选A ．考点：反比例函数的性质． 6、C【分析】根据相似三角形的性质解答即可.【详解】解：∵ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：4，∴ABC ∆与DEF ∆的周长比为：1：4. 故选：C. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键. 7、B【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果． 因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B. 考点：本题主要考查了相似三角形的性质点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方 8、B【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上． 【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M 、N 为对应点，所以位似中心(如图)在M 、N 所在的直线上，点P 在直线MN 上，所以点P 为位似中心．故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．9、D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下：故选D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．10、B【解析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．本题解析：x ²-4x+3=0(x−3)(x−1)=0，x−3=0或x−1=0，所以x ₁=3,x ₂=1，当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，所以三角形的周长为7.故答案为7.考点：解一元二次方程-因式分解法, 三角形三边关系, 等腰三角形的性质二、填空题(每小题3分,共24分)11、﹣5＜x＜1【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（1，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y ＝ax 2+bx +c 图象与x 轴的两个交点关于直线x ＝﹣1对称，即 抛物线y ＝ax 2+bx +c 图象与x 轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x ＝﹣1对称， ∴另一个交点的坐标为（1，0），∵不等式ax 2+bx +c ＞0，即y ＝ax 2+bx +c ＞0， ∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图形在x 轴上方， ∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是﹣5＜x ＜1． 故答案为﹣5＜x ＜1． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x 轴的交点，然后由图象找出当y ＞0时，自变量x 的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 12、55【解析】分析：∵∠ACB 与∠AOB 是AB所对的圆周角和圆心角，∠ACB ＝35º，∴∠AOB=2∠ACB=70°． ∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=18070255︒-︒=︒．13、14【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8， 其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8， 所以恰好能搭成一个三角形的概率＝14． 故答案为14． 【点睛】本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．14、43π⎛+ ⎝⎭【分析】根据题意得到直角三角形在直线l 上转动两次点A 分别绕点B 旋转120°和绕C ″旋转90°，将两条弧长求出来加在一起即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵BC=1，AC =∴AB=2，∠CBA=60°，∴弧AA′=120241803ππ⨯=；弧=；∴点A 经过的路线的长是44(33ππ=；故答案为：4(3π+. 【点睛】 本题考查了弧长的计算方法及勾股定理，解题的关键是根据直角三角形的转动过程判断点A 是以那一点为圆心转动多大的角度．15、8m ≥【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当2x >时，函数值y 随x 的增大而减小可知二次函数的对称轴22b x a=-≤，故可得出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数2(12)12y x m x =-+-+，a =−1<0，∴抛物线开口向下，∵当2x >时，函数值y 随x 的增大而减小， ∴二次函数的对称轴22b x a=-≤， 即1222-≤m ， 解得8m ≥，故答案为：8m ≥．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．16、k≤4且k≠1【分析】根据二次函数的定义和图象与x 轴有交点则△≥0，可得关于k 的不等式组，然后求出不等式组的解集即可．【详解】解：根据题意得k−1≠0且△＝22−4×（k−1）×1≥0，解得k≤4且k≠1．故答案为：k≤4且k≠1.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17、1【分析】设配制比例为1：x，则A原液上涨后的成本是10（1+20%）元，B原液上涨后的成本是5（1+40%）x元，配制后的总成本是（10+5x）（1+13），根据题意可得方程10（1+20%）+5（1+40%）x＝（10+5x）（1+13），解可得配制比例，然后计算出原来每千克的成本和售价，然后表示出此时每千克成本和售价，即可算出此时售价与原售价之差．【详解】解：设配制比例为1：x，由题意得：10（1+20%）+5（1+40%）x＝（10+5x）（1+13），解得x＝4，则原来每千克成本为：1015414⨯+⨯+＝1（元），原来每千克售价为：1×（1+50%）＝9（元），此时每千克成本为：1×（1+13）（1+25%）＝10（元），此时每千克售价为：10×（1+50%）＝15（元），则此时售价与原售价之差为：15﹣9＝1（元）．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，仔细阅读题目，找到关系式是解题的关键．18、62【分析】作辅助线AD⊥BC构造直角三角形ABD，利用锐角∠B的正弦函数的定义求出三角形ABC底边BC上的高AD的长度，然后根据三角形的面积公式来求△ABC的面积即可．【详解】过A作AD垂直BC于D，在Rt△ABD中，∵sinB＝AD AB，∴AD＝AB•sinB＝4•sin45°＝4×22＝22，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×6×22＝62，故答案为：62【点睛】本题考查了解直角三角形．解答该题时，通过作辅助线△ABC底边BC上的高线AD构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义在直角三角形中求得AD的长度的．三、解答题(共66分)19、(1)见解析；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【解析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△OA1B1，△OA2B2，即为所求；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．20、6AC=【分析】根据相似三角形的判定定理可得△CAD∽△CBA，列出比例式即可求出AC.【详解】解：∵CD=4，BD=2,∴BC=CD＋BD=6∵∠CAD=∠B,∠C=∠C∴△CAD∽△CBA∴AC DC BC AC=∴26424AC BC CD =•=⨯=解得：AC =或-即AC =【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键.21、（1）98；（2）25AC a b =-． 【解析】试题分析：()1在Rt ABC △中，根据3sin 5B =，设35AC a AB a ==，． 则4BC a =． 根据:2:3AD DB =，得出： 23AD a DB a ==，．根据平行线分线段成比例定理，用a 表示出,.DE CE 即可求得. ()2先把AD 用a 表示出来，根据向量加法的三角形法则即可求出.试题解析：（1）390sin 5ACB B ∠=︒=，， ∴35AC AB =，∴设35AC a AB a ==，． 则4BC a =． :2:3?23AD DB AD a DB a ，，．=∴== 90ACB ∠=︒ 即AC BC ⊥，又DE BC ⊥，∴AC //DE ． ∴DE BD AC AB =，CE AD CB AB =，∴335DE a a a =，245CE a a a=． ∴95DE a =，85CE a =． DE BC ⊥， ∴9tan 8DE DCE CE ∠==． （2）:2:3:2:5AD DB AD AB =∴=，．∵AB a =，CD b =，∴25AD a =．DC b =-． ∵AC AD DC =+，∴25AC a b =-． 22、（1）k=10，b=3；（2）152. 【解析】试题分析：(1)、将A 点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式分别求出k 和b 的值；(2)、首先根据一次函数求出点B 的坐标，然后计算面积.试题解析：(1)、把x=2，y=5代入y=k x，得k==2×5=10把x=2，y=5代入y=x+b ，得b=3(2)、∵y=x+3 ∴当y=0时，x=-3， ∴OB=3 ∴S=12×3×5=7.5 考点：一次函数与反比例函数的综合问题.23、（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为58；（2）列表见解析. 【解析】()1直接利用概率公式求解可得； ()2 抽取两人接受采访，故利用列表法可得所有等可能结果．【详解】解：（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确有5人，故至少有三类垃圾投放正确的概率为58； （2）列表如下：【点睛】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24、（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）2π.【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形，由此计算即可；【详解】（1）△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示；（2）△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形=()()22222290139011360360ππ++-=2π．【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．25、（1）见解析；（2）1 3【分析】（1）根据题意列表，然后写出点（m，n）所有可能的结果即可；（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种，由概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）列表如下：点（m，n）所有可能的结果为：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣2），（3，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣1，﹣1），（3，﹣1），（﹣2，3），（﹣1，3）（3，3）；（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1），（3，3），∴点（m，n）在函数y＝x的图象上的概率为：31 93 ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式以及一次函数的性质等知识；列表得出所有结果是解题的关键．26、（1）23；（2）见解析，13【分析】（1）由标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，利用概率公式计算可得；（2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是1的倍数的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）∵在标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为23．故答案为：23；（2）列表如下：由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是1的倍数的有1种，所以这两个数字之和是1的倍数的概率为31 93 ．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。

浙江省2023-2024学年九年级上学期期末数学复习卷范围：1-4章满分：120分考试时间：120分钟姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．下列四个函数中是二次函数的是（）A．B．C．D．2．一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其余都相同，则从布袋里任意摸出一个球是红球的概率是（）A．B．C．D．3．已知的半径是5，点P在内，则OP的长可能是（）A．4 B．5 C．5.5 D．64．若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（）A．B．C．D．5．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－26．如图，D、E分别是边上的点，，若，，，则的长是（）A．2 B．4 C．6 D．87．如图，四边形内接于⊙O，交的延长线于点E，若平分，，则等于（）A．B．6 C．D．8．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．9．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（）A．B．C．D．10．如图，是的外角平分线，与的外接圆交于点D，连接交于点F，且，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：每次试验粒数50 100 300 400 600 1000发芽频数47 96 284 380 571 948估计这批青稞发芽的概率是．（结果保留到0.01）12．如图，四边形的四个顶点均在半圆上，若，则．13．如图，在ΔABC中，若∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长为．14．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，继续旋转至次得到正方形，则点的坐标是．15．二次函数的部分对应值列表如下：x …0 1 3 5 …y …7 7 …则一元二次方程的解为．16．如图，内接于半径为的半，为直径，点是的中点，连接交于点，平分交于点，且为的中点，则的长为 .三、解答题（本大题共7小题，共66分．第17题6分；第18题8分；第19题8分；第20题10分；第21题10分；第22题12分；第23题12分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知二次函数的图象经过点．(1)求的值．(2)若点也在这个二次函数的图象上，求的值．18.游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．让两个转盘分别自由转动一次．(1)求两次数字之和为4的概率；(2)若两次数字之积大于2，则游戏者获胜，请问这个游戏公平吗？请说明理由．19.对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：抽取件数（件）合格频数合格频率(1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到）；(2)估计出售件衬衣，其中次品．．大约有几件．20.如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)判断的形状，证明你的结论；(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长；(4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21.如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．22.基础巩固：（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：；尝试应用：（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，、恰好将三等分，求的值；拓展延伸：（3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC=2∠ABE．（1）求证：AB=AC；（2）当是等腰三角形时，求∠BCE的大小．（3）当AE=4，CE=6时，求边BC的长．浙江省2023-2024学年九年级上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．下列四个函数中是二次函数的是（）A．B．C．D．答案：C2．一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其余都相同，则从布袋里任意摸出一个球是红球的概率是（）A．B．C．D．答案：C3．已知的半径是5，点P在内，则OP的长可能是（）A．4 B．5 C．5.5 D．6答案：A4．若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（）A．B．C．D．答案：A5．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2答案：A6．如图，D、E分别是边上的点，，若，，，则的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8答案：C7．如图，四边形内接于⊙O，交的延长线于点E，若平分，，则等于（）A．B．6 C．D．答案：B8．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．答案：D9．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（）A．B．C．D．答案：C故选：C．10．如图，是的外角平分线，与的外接圆交于点D，连接交于点F，且，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．答案：B∴第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：每次试验粒数50 100 300 400 600 1000发芽频数47 96 284 380 571 948估计这批青稞发芽的概率是．（结果保留到0.01）答案：0.9512．如图，四边形的四个顶点均在半圆上，若，则．答案：130°13．如图，在ΔABC中，若∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长为．答案：14．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，继续旋转至次得到正方形，则点的坐标是．故答案为．15．二次函数的部分对应值列表如下：x …0 1 3 5 …y …7 7 …则一元二次方程的解为．答案：16．如图，内接于半径为的半，为直径，点是的中点，连接交于点，平分交于点，且为的中点，则的长为 .答案：三、解答题（本大题共7小题，共66分．第17题6分；第18题8分；第19题8分；第20题10分；第21题10分；第22题12分；第23题12分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知二次函数的图象经过点．(1)求的值．(2)若点也在这个二次函数的图象上，求的值．答案：(1)；(2)．18.游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．让两个转盘分别自由转动一次．(1)求两次数字之和为4的概率；(2)若两次数字之积大于2，则游戏者获胜，请问这个游戏公平吗？请说明理由．答案：(1)(2)该游戏公平，理由见解析19.对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：抽取件数（件）合格频数合格频率(1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到）；(2)估计出售件衬衣，其中次品．．大约有几件．答案：(1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率为；(2)估计出售件衬衣，其中次品大约有件20.如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)判断的形状，证明你的结论；(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长；(4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.答案：(1)抛物线的解析式为：；(2)是直角三角形(3)，的最小周长为：(4)存在，21.如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．答案：(1)见解析(2)．22.基础巩固：（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：；尝试应用：（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，、恰好将三等分，求的值；拓展延伸：（3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值．答案：（1）见解析；（2）；（3）（1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可；（2）根据，可得，，再由、恰好将三等分，可得到，再由直角三角形的性质可得，从而得到，即可；（3）过作的平行线，分别交、于、．可得也是等边三角形，从再而得到，再证得，可得，由（1）和，得，设，则．可得，，然后根据，可得，即可．详解：（1）证明：∵，∴，∴，同理，∴，∴；（2）∵，∴，，∵、恰好将三等分，∴，∴，∵，∴在中，，∴，根据（1）得，；（3）过作的平行线，分别交、于、．∵是等边三角形，∴，，∵，∴∴也是等边三角形，∴，∴，∴，又∵∴∴∴．∴，即，∴，由（1）和，得，设，则．∴，，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC=2∠ABE．（1）求证：AB=AC；（2）当是等腰三角形时，求∠BCE的大小．（3）当AE=4，CE=6时，求边BC的长．答案：（1）见解析；（2）67.5°或72°；（3）（1）根据题意可得，∠BAD=90°，再根据∠BAC=2∠ABE证即可；（2）由题意可知：，根据腰不同进行分类讨论，依据三角形内角和列方程即可；（3）连接AO并延长，交BC于点F，根据AE=4，CE=6，结合相似三角形，表示线段OA、DC、BE，求出半径长，即可求BC．（1）证明：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴90°∵，∴∴∴∴∴（2）由题意可知：，分情况：①那么，∴∴∴②那么∴∴∴③，此时E，A重合，舍去（3）连接AO并延长，交BC于点F，∵OA=OB，∴∠ABE=∠OAB，∵∠BAC=2∠ABE．∴∠BAF=∠CAF，∵AB=AC，∴AF⊥BC，∴∠AFB=90°，∵BD是⊙O的直径∴∴AF//CD∴∴，，，BE=，∵∠AEB=∠DEC，∠ABE=∠DCE，∴～∴∴∵∴∴∴，在直角中，∵∴。