八年级数学上册14.3.2公式法课时练习1(含解析)(新版)新人教版

人教版八年级数学上册课时练 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3.2 公式法一、选择题1．因式分解x 2+mx ﹣12﹣﹣x +p ﹣﹣x +q ），其中m ﹣p ﹣q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ）A ．1B ．4C ．11D ．122．已知a=2012x+2011﹣b=2012x+2012﹣c=2012x+2013，那么a 2+b 2+c 2—ab﹣bc﹣ca 的值等于( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如果四个互不相同的正整数m﹣n﹣p﹣q 满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=( )A ．24B ．25C ．26D ．284．多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（ ）A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣15．把多项式2425m -分解因式正确的是﹣ ﹣A ．(45)(45)m m +-B ．(25)(25)m m +-C ．(5)(5)m m -+D ．(5)(5)m m m -+6．下列四个多项式，可能是2x 2＋mx －3 (m 是整数)的因式的是A ．x －2B ．2x ＋3C ．x ＋4D ．2x 2－17．已知a ＝2018x ＋2018，b ＝2018x ＋2019，c ＝2018x ＋2020，则a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）A ．56B ．60C ．62D ．889．对二次三项式4x 2﹣6xy ﹣3y 2分解因式正确的是（ ）A ．4()()x y x y +B ．4()()x y x y -C ．(321)(321)x y y x y y ---+D ．321213(2)(2)x y x y -+-- 10．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =﹣ 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=﹣ ()18x y +=﹣()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x﹣ 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ﹣ A ．201030B ．201010C ．301020D ．203010二、填空题11．在实数范围内因式分解：231x x +-=____________ 12．2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=_______． 13．在学习对二次三项式x 2+ax+b 进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a ，而分解的结果是(x+4)(x －3)，小红看错b 而分解的结果是(x+1)(x －5)．相信聪明的你能写出正确的分解结果是_________．14．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝s ×t (s ，t 是正整数，且s ≤t )，如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：()p F n q =、例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有()311862F ==．给出下列关于F (n )的说法：(1)()122F =；(2)()3248F =；(3)F (27)＝3；(4)若n 是一个整数的平方，则F (n )＝1．其中正确说法的有_____．15．正数,,a b c 满足22222212ab a b bc b c ac a c ++=++=++=，那么()()()222a b c +++=______．三、解答题16．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，求2x+y 的值；（2）已知a ﹣b=4，ab+c 2﹣6c+13=0，求a+b+c 的值．17．观察下列因式分解的过程：（1）x 2﹣xy +4x ﹣4y＝（x 2﹣xy ）+（4x ﹣4y ）（分成两组）＝x （x ﹣y ）+4（x ﹣y ）直接提公因式）＝（x ﹣y ）（x +4）（2）a 2﹣b 2﹣c 2+2bc＝a 2﹣（b 2+c 2﹣2bc ）（分成两组）＝a 2﹣（b ﹣c ）2（直接运用公式）＝（a +b ﹣c ）（a ﹣b +c ）（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：①ad ac bd bc --+②2269x y x --+（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x +x （1+x ）+x （1+x ）2+…+x （1+x ）n 分解因式．18．材料1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．例如：()am bm cm m a b c ++=++，2221(1)x x x ++=+都是因式分解．因式分解也可称为分解因式．材料2：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称作一元二次方程．一元二次方程的般形式是：20ax bx c ++=（其中a ，b ，c 为常数且0a ≠）．“转化”是一种重要的数学思想方法，我们可以利用因式分解把部分一元二次方程转化为一元一次方程求解．例如解方程；240x -=24(2)(2)x x x -=+-()()220x x ∴+-=20x ∴+=或20x -=∴原方程的解是12x =-，22x =∴原方程的解是12x =-，22x =又如解方程：2210x x -+=2221(1)x x x -+=-()210x ∴-=10x ∴-= ∴原方程的解是121x x ==请阅读以上材料回答以下问题：（1）若22(2)(2)x x m x n x -+=+-，则m =_______；n =_______； （2）请将下列多项式因式分解：22a a -=_______，2244x xy y -+=________；（3）在平面直角坐标系中，已知点()2,1P m m -，)Q n ，其中m 是一元二次方程()22(3)134m m m ---=的解，n 为任意实数，求PQ 长度的最小值．19．（阅读与思考） 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解呢？我们已经知道，(a 1x + c 1)(a 2x + c 2) = a 1a 2x 2 + a 1c 2x + a 2c 1x + c 1c 2= a 1a x 2 +(a 1c 2+ a 2c 1 ) x + c 1c 2．反过来，就得到：()()()2121221121122a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++． 我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把a 1， a 2 ， c 1 ， c 2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于ax 2+bx +c 的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为(a 1x + c 1 )(a 2 x + c 2 )，其中a 1 ， c 1位于图的上一行，a 2 ， c 2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是26x x --就可以分解为(x + 2)(x - 3)．请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：26x x --= ．（理解与应用）请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2257+-x x = ；（2）22672-+x xy y = ．（探究与拓展）对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq + np = b ， pk + qj = e ，mk + nj = d ，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= (mx + py + j )(nx + qy + k )，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式2235294x xy y x y +-++-= ； （2）若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值； （3）已知x ，y 为整数，且满足2232231x xy y x y ++++=-，请写出一组符合题意的x ，y 的值．20．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如22ax bxy cy ++的关于x ，y 的二次三项式来说，方法的关键是将2x 项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积，即12a a a =•，将2y 项系数c 分解成两个因式1c ，2c 的积，即12c c c =•，并使1221a c a c +正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：221221()()ax bxy cy a x c y a y c y ++=++例：分解因式：2228x xy y --解：如图1，其中111=⨯，8(4)2-=-⨯，而21(4)12-=⨯-+⨯所以2228(4)(2)x xy y x y x y --=-+而对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成fk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，mk nj d +=，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py f nx qy k =++++例：分解因式222332x xy y x y +-+++解：如图3，其中111=⨯，3(1)3-=-⨯，212=⨯而2131(1)=⨯+⨯-，1(1)231=-⨯+⨯，31211=⨯+⨯所以222332(1)(32)x xy y x y x y x y +-+++=-+++请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①2263342x xy y -+= ． ②22261915x xy y x y --++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值． 21．观察下列式子的因式分解做法：﹣x 2-1=(x -1)(x+1)；﹣x 3﹣1=x 3﹣x+x ﹣1=x （x 2﹣1）+x ﹣1=x （x ﹣1）（x+1）+（x ﹣1）=（x ﹣1）[x （x+1）+1]=（x ﹣1）（x 2+x+1）；﹣x 4﹣1=x 4﹣x+x ﹣1=x （x 3﹣1）+x ﹣1=x （x ﹣1）（x 2+x+1）+（x ﹣1）=（x ﹣1）[x （x 2+x+1）+1]=（x ﹣1）（x 3+x 2+x+1）；…（1）模仿以上做法，尝试对x 5﹣1进行因式分解；（2）观察以上结果，猜想x n ﹣1= ；（n 为正整数，直接写结果，不用验证）（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．22．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a 2+6a +8，解：原式=a 2+6a +8+1-1=a 2+6a +9-1=(a +3)2－12=[(3)1][(3)1](4)(2)a a a a +++-=++②M =a 2-2a －1，利用配方法求M 的最小值．解：22221212(1)2a a a a a --=-+-=--∵(a -b )2≥0，∴当a =1时，M 有最小值－2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法．．．因式分解：223x x +-． （2）若228M x x =-，求M 的最小值．（3）已知x 2+2y 2+z 2-2xy -2y -4z +5=0，求x +y +z 的值．23．阅读以下内容解答下列问题．七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是 ．（2）对于多项式x 3﹣5x 2+x+10，我们把x ＝2代入此多项式，发现x ＝2能使多项式x 3﹣5x 2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x 3﹣5x 2+x+10中有因式（x ﹣2），（注：把x ＝a 代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x ﹣a ）），于是我们可以把多项式写成：x 3﹣5x 2+x+10＝（x ﹣2）（x 2+mx+n ），分别求出m 、n 后再代入x 3﹣5x 2+x+10＝（x ﹣2）（x 2+mx+n ），就可以把多项式x 3﹣5x 2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”． ①求式子中m 、n 的值；②用“试根法”分解多项式x 3+5x 2+8x+4．【参考答案】1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．B 7．D 8．B 9．D 10．B11．3322x x ⎛⎫⎛+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．2001400013．(x+2)(x －6)14．215．6416．(1)1；(2)3．17．（1）﹣（d ﹣c ）（a ﹣b ）；﹣（x ﹣3+y ）（x ﹣3﹣y ）；（2）（1+x ）n +118．（1）6m =-，3n =；（2）(2)a a -，2(2)x y -；（3）3.19．阅读与思考：图略，( x - 3)( x + 2)；理解与应用：（1）( x -1)(2x + 7)；（2）(2x - y )(3x - 2y )；探究与拓展：（1）(x + 2y-1)(3x - y + 4)；（2）43或-78；（3）x =－1，y =0． 20．（1）(27y)(36)x x y --；(235)(23)x y x y +--+；（2）61或-82．21．（1）（x ﹣1）（x 4+x 3+x 2+x+1）（2）（x ﹣1）（x n ﹣1+x n ﹣2+…+x 2+x+1）（3）6431- 22．（1）(3)(1)x x +-；（2）8-；（3）4．23．（1）降次；（2）①m＝﹣3，n＝﹣5；②（x+1）（x+2）2。

14.3.2　公式法一、能力提升1.下列因式分解正确的是( )A.a 2-b 2=(a-b )2B.x 2+4y 2=(x+2y )2C.2-8a 2=2(1+2a )(1-2a )D.x 2-4y 2=(x+4y )(x-4y )2.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m 的值为( )A.-5B.3C.7D.7或-13.已知多项式x+81b 4可以分解为(4a 2+9b 2)·(2a+3b )(3b-2a ),则x 为( )A.16a 4B.-16a 4C.4a 2D.-4a 24.将下列多项式分解因式,结果中不含因式x-1的是( )A.x 2-1B.x (x-2)+(2-x )C.x 2-2x+1D.x 2+2x+15.已知x 为任意实数,则多项式x-1-14x 2的值( )A.一定为负数B.不可能为正数C.一定为正数D.可能为正数或负数或零6.如果x+y=1,那么12x 2+xy+12y 2的值是 .7.分解因式:9x 2-y 2-4y-4= .8.分解因式:x (x-1)-3x+4= .9.如图,利用1个a×a 的正方形,1个b×b 的正方形和2个a×b 的长方形可拼成一个正方形,从而可得到因式分解的公式 .10.把下列各式分解因式:(1)a 3b-ab ;(2)x 2-2xy+y 2-9;(3)5mx 2-10mxy+5my 2;(4)(x 2+y 2)2-4x 2y 2.11.利用因式分解计算下列各题:(1)5352×4-4652×4;(2)1022+102×196+982;(3)17.82-2×17.8×7.8+7.82;(4)982+4×98+4.12.现有一种根据自己生日用“因式分解”法产生的密码,既简单又方便记忆.原理是:若某人的生日是8月5日,他选择了多项式x3+x2y,其分解因式的结果是x·x·(x+y),然后将x=8,y=5代入,此时各个因式的值分别是:x=8,x=8,x+y=13,于是就可以把“8813”作为密码.小明选择了多项式x3+2x2y+xy2,他的生日是10月22日,请你写出用上述方法产生的密码.(写出一个即可)二、创新应用★13.阅读下面的解题过程:分解因式:x2-4x-12.解:x2-4x-12=x2-4―-12=x2-4x+4-4-12=(x-2)2-42=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2).请仿照上面的解法把下列各式分解因式:(1)a2+2a-8;(2)y2-y-6.一、能力提升1.C2.D3.B4.D 因为x 2-1=(x+1)·(x-1),x (x-2)+(2-x )=(x-2)(x-1),x 2-2x+1=(x-1)2,x 2+2x+1=(x+1)2.5.B 因为x-1-14x 22-x +1-12≤0,所以x-1-14x 2的值不可能为正数.6.127.(3x+y+2)(3x-y-2)　原式=9x 2-(y 2+4y+4)=9x 2-(y+2)2=(3x+y+2)(3x-y-2).8.(x-2)2　原式=x 2-x-3x+4=x 2-4x+4=(x-2)2.9.a 2+2ab+b 2=(a+b )210.解(1)a 3b-ab=ab (a 2-1)=ab (a+1)(a-1).(2)x 2-2xy+y 2-9=(x 2-2xy+y 2)-9=(x-y )2-32=(x-y+3)(x-y-3).(3)5mx 2-10mxy+5my 2=5m (x 2-2xy+y 2)=5m (x-y )2.(4)(x 2+y 2)2-4x 2y 2=(x 2+y 2+2xy )(x 2+y 2-2xy )=(x+y )2(x-y )2.11.解(1)5352×4-4652×4=4×(5352-4652)=4×(535+465)×(535-465)=4×1000×70=280000.(2)1022+102×196+982=(102+98)2=2002=40000.(3)原式=(17.8-7.8)2=102=100.(4)原式=982+2×98×2+22=(98+2)2=1002=10000.12.解x 3+2x 2y+xy 2=x (x 2+2xy+y 2)=x (x+y )2=x (x+y )(x+y ).当x=10,y=22时,密码为103232或323210或321032.选其一个作答即可.二、创新应用13.解(1)a 2+2a-8=a 2+2―-8=a 2+2a+1-9=(a+1)2-32=(a+1+3)(a+1-3)=(a+4)(a-2).(2)y 2-y-6=y 2―-6=y ―254=y ―=y -12-12=(y+2)(y-3).。

用公式法进行因式分解一、填空题(本大题共20小题，共60.0分)1.分解因式：xy2+8xy+16x= ______ ．2.因式分解：4m2-36= ______ ．3.因式分解：2a3-8ab2= ______ ．4.将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是______ ．5.把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是______ ．6.因式分解：2x2-32x4= ______ ．7.因式分解：a2b-4ab+4b= ______ ．8.分解因式：mx2-4m= ______ ．9.分解因式a2b-a的结果为______ ．10.分解因式：2ax2-8a= ______ ．11.分解因式：2m2-8= ______ ．12.分解因式：ma2+2mab+mb2= ______ ．13.分解因式：a2b-b3= ______ ．14.分解因式：x（x-1）-y（y-1）= ______ ．15.分解因式：ax3y-1axy= ______ ．416.因式分解：3y2-12= ______ ．17.因式分解：m2n-6mn+9n= ______ ．18.因式分解：a2b-ab+1b= ______ ．419.分解因式-a3+2a2b-ab2= ______ ．20.分解因式：a2b+4ab+4b= ______ ．二、计算题(本大题共30小题，共180.0分)21.分解因式（1）a2（a-b）+4b2（b-a）（2）m4-1（3）-3a+12a2-12a3．22.把下列多项式分解因式：（1）6x2y-9xy；（2）4a2-1；（3）n2（n-6）+9n．23.把下列各式因式分解（1）ap-aq+am（2）a2-4（3）a2-2a+1（4）ax2+2axy+ay2．24.分解因式：x+xy+xy2（1）14（2）（m+n）3-4（m+n）25.因式分解：（1）x（x-2）-3（2-x）（2）x2-10x+25．26.把下列各式进行因式分解：（1）a3-6a2+5a；（2）（x2+x）2-（x+1）2；（3）4x2-16xy+16y2．27.因式分解：（1）x2-y2（2）-4a2b+4ab2-b3．28.分解因式（1）x3-16x（2）8a2-8a+2．（2）b4-4ab3+4ab2．30.分解因式：（1）2x2-4x（2）a2（x-y）-9b2（x-y）（3）4ab2-4a2b-b3（4）（y2-1）2+6（1-y2）+9．31.分解因式：（1）3a2+6ab+3b2（2）9（m+n）2-（m-n）2．32.因式分解：（1）a（x-y）-b（y-x）（2）3ax2-12ay2（3）（x+y）2+4（x+y+1）33.分解因式：（1）a（x-y）-b（y-x）；（2）16x2-64；（3）（x2+y2）2-4x2y2．34.分解因式（1）4x3y-xy3（2）-x2+4xy-4y2．35.分解下列因式：（1）9a2-1（2）p3-16p2+64p．36.因式分解：（1）x2-10xy+25y2（2）3a2-12ab+12b2（3）（x2+y2）2-4x2y2（4）9x4-81y4．37.将下列各式分解因式（1）16a2b2-1（2）12ab-6（a2+b2）38.把下列各式因式分解（1）4a2-16（2）（x2+4）2-16x2．39.把下列多项式因式分解：（1）x3y-2x2y+xy；（2）9a2（x-y）+4b2（y-x）．40.分解因式（1）x3-xy2（2）（x+2）（x+4）+1．41.因式分解：-3a3b+6a2b2-3ab3．42.把下列各式分解因式：①4m（x-y）-n（x-y）；②2t2-50；③（x2+y2）2-4x2y2．43.因式分解（1）x2-5x-6（2）2ma2-8mb2（3）a3-6a2b+9ab2．44.分解因式：2x2-12x+18．45.分解因式：（1）x3+2x2+x（2）x3y3-xy．46.因式分解：（1）ax2-2ax+a（2）24（a-b）2-8（b-a）47.因式分解：（1）4x2-16y2（2）x2-10x+25．48.分解因式（1）m（a-3）+2（3-a）（2）x2-6x+9．49.因式分解：6xy2-9x2y-y2．50.分解因式（1）x2（a+b）-a-b（2）a3b-2a2b2+ab3（3）y4-3y3-4y2（4）-（a2+2）2+6（a2+2）-9．用公式法进行因式分解答案和解析【答案】1.x（y+4）22.4（m+3）（m-3）5.a （2x +3y ）（2x -3y ）6.2x 2（1+4x ）（1-4x ）7.b （a -2）28.m （x +2）（x -2）9.a （ab -1）10.2a （x +2）（x -2）11.2（m +2）（m -2）12.m （a +b ）213.b （a +b ）（a -b ）14.（x -y ）（x +y -1）15.axy （x +12）（x -12）16.3（y +2）（y -2）17.n （m -3）218.b （a -12）219.-a （a -b ）220.b （a +2）221.解：（1）原式=a 2（a -b ）-4b 2（a -b ）=（a -b ）（a 2-4b 2）=（a -b ）（a +2b ）（a -2b ）；（2）原式=（m 2+1）（m 2-1）=（m 2+1）（m +1）（m -1）；（3）原式=-3a （4a 2-4a +1）=-3a （2a -1）2．22.解：（1）原式=3xy （2x -3）；（2）原式=（2a +1）（2a -1）；（3）原式=n （n 2-6n +9）=n （n -3）2．23.解：（1）原式=a （p -q +m ）；（2）原式=（a +2）（a -2）；（3）原式=（a -1）2；（4）原式=a （x 2+2xy +y 2）=a （x +y ）2．24.解：（1）原式=14x （1+4y +4y 2）=14x （1+2y ）2；（2）原式=（m +n ）[（m +n ）2-4]=（m +n ）（m +n +2）（m +n -2）．25.解：（1）原式=x （x -2）+3（x -2）=（x -2）（x +3）；（2）原式=（x -5）2．26.解：（1）原式=a （a 2-6a +5）=a （a -1）（a -5）；（2）原式=（x 2+x +x +1）（x 2+x -x -1）=（x +1）2（x +1）（x -1）；（3）原式=4（x 2-4xy +4y 2）=4（x -2y ）2．27.解：（1）原式=（x +y ）（x -y ）；（2）原式=-b （4a 2-4ab +b 2）=-b （2a -b ）2．28.解：（1）原式=x （x 2-16）=x （x +4）（x -4）；（2）原式=2（4a 2-4a +1）=2（2a -1）2．29.解：（1）原式=3（m 4-16）=3（m 2+4）（m +2）（m -2）；30.解：（1）原式=2x（x-2）；（2）原式=（x-y）（a2-9b2）=（x-y）（a+3b）（a-3b）；（3）原式=-b（b2-4ab+4a2）=-b（2a-b）2；（4）原式=（y2-1）2-6（y2-1）+9=（y2-4）2=（y+2）2（y-2）2．31.解：（1）原式=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2；（2）原式=[3（m+n）+m-n][3（m+n）-（m-n）]=（4m+2n）（2m+4n）=4（2m+n）（m+2n）．32.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=3a（x2-4y2）=3a（x+2y）（x-2y）；（3）原式=（x+y）2+4（x+y）+4=（x+y+2）2．33.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=16（x2-4）=16（x+2）（x-2）；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．34.解：（1）原式=4xy（x2-y2）=4xy（x+y）（x-y）；（2）原式=-（x2-4xy+4y2）=-（x-2y）2．35.解：（1）原式=（3a+1）（3a-1）；（2）原式=p（p2-16p+64）=p（p-8）2．36.解：（1）原式=（x-5y）2；（2）原式=3（a2-4ab+4b2）=3（a-2b）2；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2；（4）原式=9（a2+3y2）（x2-3y2）．37.解：（1）原式=（4ab+1）（4ab-1）；（2）原式=-6（a2-2ab+b2）=-6（a-b）2．38.解：（1）原式=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）；（2）原式=（x2+4+4x）（x2+4-4x）=（x-2）2（x+2）2．39.解：（1）原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2；（2）原式=9a2（x-y）-4b2（x-y）=（x-y）（3a+2b）（3a-2b）．40.解：（1）原式=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）；（2）原式=（x+3）2．41.解：原式=-3ab（a2-2ab+b2）=-3ab（a-b）2．42.解：①4m（x-y）-n（x-y）=（x-y）（4m-n）；②2t2-50=2（t2-25）=2（t+5）（t-5）；③（x2+y2）2-4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．43.解：（1）原式=（x-6）（x+1）；（2）原式=2m（a2-4b2）=2m（a+2b）（a-2b）；（3）原式=a（a2-6ab+9b2）=a（a-3b）2．44.解：原式=2（x2-6x+9）=2（x-3）2．45.解：（1）原式=x（x2+2x+1）=x（x+1）2；（2）原式=xy（x2y2-1）=xy（xy+1）（xy-1）．（2）原式=24（a-b）2+8（a-b）=8（a-b）[3（a-b）+1]=8（a-b）（3a-3b+1）．47.解：（1）原式=（2x+4y）（2x-4y）；（2）原式=（x-5）2．48.解：（1）原式=m（a-3）-2（a-3）=（a-3）（m-2）；（2）原式=（x-3）2．49.解：原式=-y（9x2-6xy+y）．50.解：（1）原式=x2（a+b）-（a+b）=（a+b）（x2-1）=（a+b）（x+1）（x-1）；（2）原式=ab（a2-2ab+b2）=ab（a-b）2；（3）原式=y2（y2-3y-4）=y2（y-4）（y+1）；（4）原式=-[（a2+2）-3]2=-（a-1）2（a+1）2．。

14.3.2公式法一、单选题1．若多项式251712x x +-可因式分解为()()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，则a c -的值是（ ） A ．1B ．7C ．11D ．13 【答案】B【分析】将多项式5x 2+17x -12进行因式分解后，确定a 、b 、c 的值即可．【详解】因为5x 2+17x -12=（x +4）（5x -3）=（x +a ）（bx +c ），所以a =4，b =5，c =-3，所以a -c =4-（-3）=7，故选：B ．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a 、b 、c 的值是得出正确答案的关键．2．下列因式分解正确的是（ ）A ．()321x x x x -=-B ．256(1)(6)x x x x --=+-C ．211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ D ．()()()222222223(1)23x x x x x x x +-+-=++- 【答案】B【分析】分别根据因式分解的方法：提公因式法，公式法，十字相乘法逐项运算即可．【详解】A. ()()()32111x x x x x x x -=-=-+，故该选项不符合题意． B. 256(1)(6)x x x x --=+-，故该选项符合题意．C. 21x +，不可以继续分解，故该选项不符合题意．D. ()()22222223(1)(3)(1)x xx x x x x +-+-=++-．故该选项不符合题意．故选B ．【点评】本题考查因式分解．一个多项式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．3．多项式322+6+9x x y xy 与339x y xy -的公因式是（ ）A ．2(3)x x y +B ．(3)x x y +C ．(3)xy x y +D ．(3)x x y -【答案】B 【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论．【详解】∵322+6+9x x y xy()2269x x xy y =++()23x x y =+， 339x y xy -()229xy x y =-()()33xy x y x y =+-，∴多项式322+6+9x x y xy 与339x y xy -的公因式是(3)x x y +．故选：B ．【点评】本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键．4．多项式24ax a -与多项式244x x ++的公因式是（ ）A ．2x +B ．2x -C ．22x -D ．()22x - 【答案】A【分析】分别将多项式24ax a -与多项式244x x ++进行因式分解，再寻找他们的公因式是2x +．【详解】∵()()224(4)22ax a a x a x x -=-=+- 又∵()22442x x x ++=+∴多项式24ax a -与多项式244x x ++的公因式是2x +．故选A ．【点评】本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式． 5．下列因式分解正确的是（ ）A ．222()x xy y x y -+=-B ．256(2)(3)x x x x --=--C ．()3244x x x x -=-D ．2294(32)(32)m n m n m n -=+-【答案】D【分析】按照因式分解的方法逐个计算即可．【详解】A. 222()x xy y x y -+≠-，故错误，不符合题意；B. 256(1)(6)x x x x --=+-，故原式错误，不符合题意；C. ()342)(2x x x x x -=+-，原式分解不彻底，不符合题意；D. 2294(32)(32)m n m n m n -=+-，正确，符合题意；故选：D ．【点评】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用因式分解的方法进行计算，注意：因式分解要彻底． 6．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）A ．4x 2+1B ．9a 2b 2-3ab +1C ．x 2-x +14D ．-x 2-y 2 【答案】C【分析】利用平方差公式，完全平方公式判断即可．【详解】A . 4x 2+1，两个平方项，符号相同，不能因式分解；B . 9a 2b 2-3ab +1，有两个平方项，没有二倍项，不能因式分解；C . x 2-x +14=（x -12）2，能用完全平方公式分解； D . -x 2-y 2，两个平方项，符号相同，不能因式分解；故选：C ．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．7．若二次三项式21x ax +-可分解为()()2x x b -+，则a+b 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】（x-2）（x+b ）=x 2+（b-2）x-2b ，∵二次三项式x 2+ax-1可分解为（x-2）（x+b ）， ∴221a b b =-⎧⎨-=-⎩，解得：3212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴a+b= -32+12=-1． 故选：A ．【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键．8．下列因式分解正确的是（ ）A ．221144y y y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭B ．()322812246a a a a +=+C ．()()22444x y x y x y -=+-D ．()2214497m m m -+=-【答案】D【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断得出答案．【详解】A 、221142y y y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，故此选项错误，不符合题意； B 、()322812423a a aa +=+，故此选项错误，不符合题意； C 、()()22422x y x y x y -=+-，故此选项错误，不符合题意；D 、()2214497m m m -+=-，故此选项正确，符合题意；故选：D ．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．二、填空题目9．如果2x Ax B ++因式分解的结果为()()35x x -+，则A =__________，B =__________．【答案】2， 15-【分析】根据因式分解的意义，可得：()()2235215x Ax B x x x x ++=-+=+-，再根据各项对应相等，可得答案．【详解】()()2235215x Ax B x x x x ++=-+=+-，得 2A =，15B =-．故答案为：2，15-．【点评】本题考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键． 10．分解因式：2218m -=______．【答案】()()233m m +-【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】2218m -=2（m 2-9）=2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11．因式分解()()26x mx x p x q +-=+-，其中,,m p q 都为整数，则m 的最大值是______． 【答案】5【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可．【详解】∵(x ＋p )(x ＋q )= x 2＋(p +q )x +pq = x 2＋mx -6∴p +q =m ，pq =-6，∴pq =1×()6-=(1)- ×6=(2)- ×3=2×(3)- =6- ，∴m =5- 或5或1或1- ，∴m 的最大值为5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．12．一个四位整数abcd （千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ），若满足a b c d k +=+=，那么，我们称这个四位整数abcd 为“k 类等和数”．例如：3122是一个“4类等和数”，因为：31224+=+=；5417不是一个“k 类等和数”，因为：549+=，178+=，98≠．（1）写出最小的“3类等和数”是___________，最大的“8类等和数”是___________．（2）若一个四位整数abcd 是“k 类等和数”，且满足()46,0ab cd a c +=≠，求满足条件的所有“k 类等和数”的个数，并把它们写出来．【答案】1203； 8080；（2） 满足条件的所有“k 类等和数”的个数是3，分别是3214，2323， 1432．【分析】(1)根据题意即可得到结论；(2) 根据 ，可得b +d =6或16，再分情况写出即可．【详解】（1）三类等和数为a +b =c +d =3，当a = 1、b =2、c =0、d = 3时符合三类等和数，且最小．故最小的三类等和数为1203．当a =8、b =0、c = 8、d = 0时符合8类等和数，且最大，故最大的8类等和数为8080．故答案为：①1203； ②8080．(2) ∵ab +cd =46 (a ， c ≠0)，只有当ab =cd =23时，∴b +d =6或16，∴b =0， d =6 (不合题意)b =1， d =5 (不合题意)；b =2，d =4，a =3，c =1即3214；b =3， d =3，a =2，c =2即2323；b =4， d =2 ，a =1，c =3即1432；b =5，d =1 (不合题意)；b =6，d =0 (不合题意)；b =7，d =9 (不合题意)；b =8，d =8 (不合题意)；b =9，d =7 (不合题意)；综上所述，满足条件的所有“k 类等和数”的个数是3，分别是3214，2323， 1432．【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念“k 类等和数”是解题的关键．三、解答题13．计算题：（1）解不等式组321213x x x x >+⎧⎪+⎨>-⎪⎩，并写出它的整数解． （2）利用因式分解计算：①2920.167220.1620.16⨯+⨯-； ②2211050491111⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③2210110119899+⨯+．【答案】（1）不等式组的解集为14x <<，整数解为2、3；（2）①2016；②20011；③40000． 【分析】（1）分别解两个不等式得到不等式组的解集，然后确定不等式组的整数解．（2）①提取公因式20.16，再简便计算即可；②利用平方差公式简便计算即可；③利用完全平方公式简便计算即可．【详解】（1）解不等式32x x >+得：1x >， 解不等式1213x x +>-得：4x <， 所以不等式组的解集为14x <<，不等式组的整数解为2、3；（2）①2920.167220.1620.16⨯+⨯-20.16(29721)=⨯+-20.16100=⨯2016=； ②2211050491111⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1101105049504911111111⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 210011=⨯ 20011=； ③2210110119899+⨯+22=+⨯⨯+101210199992(10199)=+2=200=．40000【点评】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算．14．因式分解：（1）15a3＋10a2（2）3ax2＋6axy＋3ay2（3）（2x＋y）2﹣（x＋2y）2【答案】（1）5a2（3a＋2）；（2）3a（x＋y）2；（3）3（x＋y）（x﹣y）【分析】（1）原式提取公因式即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用平方差公式分解即可．【详解】（1）原式＝5a2（3a＋2）；（2）原式＝3a（x2＋2xy＋y2）＝3a（x＋y）2；（3）原式＝（2x＋y＋x＋2y）（2x＋y﹣x﹣2y）＝3（x＋y）（x﹣y）．【点评】本题考查了多项式的因式分解，具体考查了提公因式法和公式法，对于多项式的因式分解，首先考虑是否有公因式可提，然后再考虑是否能用公式法，要注意：因式分解必须分解到再也不能分解为止，此外，完全平方公式和平方差公式不要用错．15．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”．将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23＋32＝55，和与11的商为55÷11＝5，所以f（23）＝5．根据以上定义，回答下列问题：（1）填空：①下列两位数：50，42，33中，“湘一数”为；②计算：f（45）＝．（2）如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11，请求出“湘一数”b．（3）如果一个“湘一数”c，满足c﹣5f（c）＞30，求满足条件的c的值．【答案】（1）①42；②9；（2）38；（3）71，81，82，91，92，93【分析】（1）①由“湘一数”的定义可得；②根据定义计算可得；（2）由f（10m＋n）＝m＋n，可求得k的值，即可求b；（3）设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据c﹣5f（c）＞30可列出不等式，即可写出满足条件的c的值．【详解】（1）①由“湘一数”的定义可得，“湘一数”为42．②f（45）＝（45＋54）÷11＝9．故答案为：①42；②9．（2）设任意一个“湘一数”的十位上的数字是m，个位上的数字是n，则f（10m＋n）＝（10m＋n＋10n＋m）÷11＝m＋n．又∵一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11，∴k＋2（k＋1）＝11，解得k＝3．∴b＝10k＋2（k＋1）＝12k＋2＝12×3＋2＝38．（3）设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y，∵c﹣5f（c）＞30，∴10x＋y﹣5（x＋y）＞30，∴5x＞30＋4y，∵y≥1，∴5x＞34，即x＞6.8，∵x为整数，∴x可取7，8，9，当x＝7时，y＝1，c＝71；当x＝8时，y＝1或2，c＝81或82；当x＝9时，y＝1或2或3，c＝91或92或93；综上，满足条件的c的值为：71，81，82，91，92，93．【点评】本题考查了因式分解的应用，解一元一次不等式；理解“湘一数”的定义，并按照定义分析是解题关键．16．如图，A ，B 两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C ．（1）若抽中的卡片是B ．①求整式C ；②当x ﹣1时，求整式C 的值．（2）若无论x 取何值，整式C 的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？【答案】（1）①2484C x x =---，②-8；（2）抽中的卡片是A【分析】（1）①根据卡片B 各项改变符号后得出253x x -+- ，再与整式A 相加，合并同类项即可；②先利用完全平方公式化简整式C ，再把x ﹣1代入整式C 即可；（2）分和抽中的卡片是B 和抽中的卡片是A 两种情况进行计算即可得出答案．【详解】（1）①∵253B x x =-+，291A x x =--，∴2225391484C x x x x x x =-+-+--=---，②()()22248442141C x x x x x =---=-++=-+，当x ﹣1时，原式=)24118--+=-（2）当抽中的卡片是B 时，由②得()()222484421410C x x x x x =---=-++=-+≤ ∴不符合题意；当抽中的卡片是A 时，∵253B x x =-+，291A x x =--，∴2229153484C x x x x x x =-+++-+=++，=()()22421410x x x ++=+≥， ∴无论x 取何值，整式C 的值都是非负数，∴抽中的卡片是A ．【点评】此题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式是解决问题的关键．17．若一个四位数A 满足：①千位数字2﹣百位数字2＝后两位数，则称A 为“美妙数”．例如：∵62﹣12＝35，∴6135为“美妙数”．②7×（千位数字﹣百位数字）＝后两位数，则称A 是“奇特数”．例如：7×（8﹣5）＝21，∴8521为“奇特数”．（1）若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是 ．若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是 ．（2）一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为m ，百位数字均为n ，且这个“美妙数”比“奇特数”大14，求满足条件的“美妙数”．【答案】（1）8715，4016或5316；（2）8628【分析】（1）根据美妙数的定义进行解答便可；（2）根据新定义表示出美妙数与奇特数，再根据题意列出方程，求得符合每件的解，进而求得结果．【详解】（1）∵82﹣72＝15，∴若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是8715，∵16＝42﹣02＝52﹣32，∴若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是4016或5316，故答案为8715；4016或5316；（2）根据题意得，（1000m +100n +m 2﹣n 2）﹣[1000m +100n +7（m ﹣n ）]＝14，化简得（m ﹣n ）（m +n ﹣7）＝14，∵m 、n 均为整数，且1≤m ≤9，0≤n ≤9，∴m ＝8，n ＝6，∴满足条件的“美妙数”为，1000m +100n +m 2﹣n 2＝8628．【点评】本题主要考查了新定义，整数的计算，因式分解的应用，关键是根据新定义列出代数式和方程． 18．阅读理解：下面是小明同学分解因式ax +ay +bx +by 的方法，首先他将该多项式分为两组得到 （ax +ay ）+ （bx +by ）．然后对各组进行因式分解，得到a （x +y ）+ b （x +y ），结果发现有公因式（x +y ），提出后得到 （x +y ） （a +b ）．（1）小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式255m mn m n +++进行因式分解，则她最后提出的公因式是 ；（2）请同学们也尝试用小明的方法对多项式2222a b a b -++进行因式分解；（3）若小强同学将多项式43236x x x x k -+-+进行因式分解时发现有公因式（x ﹣3），求k 的值．【答案】（1）()m n +；（2）()(2)a b a b +-+；（3）9k =．【分析】（1）由题意，分别提取公因式m 和5，再整体提取公因式（m+n ）即可；（2）由题意，分别利用平方差公式和提公因式法分解，然后再提取公因式（a+b ）即可；（3）由分组分解法、提公因式法、以及完全平方公式法进行分解因式，即可求出答案．【详解】（1）根据题意，255m mn m n +++=()5()m m n m n +++=(5)()m m n ++；故答案为：()m n +；（2）根据题意，2222a b a b -++=()()2()a b a b a b +-++=()(2)a b a b +-+；（3）根据题意，∵把多项式43236x x x x k -+-+进行因式分解时有公因式（x ﹣3），∴43236x x x x k -+-+=233)((6)x x x k x -+-+∴多项式26x x k -+中有公因式(3)x -，∵2(3)(3)69x x x x --=-+，∴22669x x k x x -+=-+，∴9k =．【点评】本题考查了因式分解的分组分解法、公式法和提取公因式法，以及待定系数法求相关字母的值，这都是基本的计算能力，难度不大．19．（阅读材料） 在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：23111111111111;;()333623231535235-==-==-==-⨯⨯等． （问题解决）利用上述材料中的方法，解决下列问题：261220342380（2）求11111141224402(1)2(1)n n n n ++++++-+的值； （3）求211111315356341n +++++-的值． 【答案】（1）1920；（2）22n n +；（3）21n n +． 【分析】（1）根据题目中的式子特点，先分解，然后裂项，再计算即可解答本题；（2）先提出12，然后裂项计算即可解答本题； （3）根据题目中式子的特点，先裂项，然后计算即可解答本题．【详解】（1）111111261220342380++++++ ＝111223+⨯⨯+134⨯+…+1118191920+⨯⨯ ＝1﹣1111122334+-+-+…+111118191920-+- ＝1﹣120＝1920； （2）11111141224402(1)2(1)n n n n ++++++-+ ＝12×[1112612+++…+1n(n 1)+] ＝12×[111223+⨯⨯+134⨯+…+1n(n 1)+] ＝12×（1﹣1111122334+-+-+…+111n n -+） ＝12×（1﹣11n +） ＝12×111n n +-+ ＝22n n +； （3）211111315356341n +++++- ＝111335+⨯⨯+157⨯+…+1(21)(21)n n -+2335572121n n -+＝12×（1﹣121n +） ＝12×221n n + ＝21n n +． 【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．20m n 、，使22m n a +=并且mn =将a ±变成2222()m n mn m n +±=±化简．=1=== 根据上述材料化简下列各式：（1=（2=（3=【答案】（11；（2）5-（3）【分析】（1）可以根据2241+=++ （2）可以根据222212-=+--=+-（3）可以根据(22114822⎡-=-=+-⎢⎣化简． 【详解】（1=1===（2325====+=- （3==== 【点评】本题考查新定义下的实数运算，通过归纳掌握材料所给方法是解题关键 ．祝福语祝你考试成功!。

八年级数学上册 14.3.2 公式法学案1(含解析)(新版)新人教版【学习目标】1、能直接利用平方差公式因式分解、2、掌握利用平方差公式因式分解的步骤、【学习重点】正确熟练运用平方差公式进行因式分解【学习难点】把多项式进行必要的变形，灵活运用平方差公式进行因式分解【学习过程】一、知识准备(1)填空：4a2=(2a)2； b2=(b)2； 0、16a4=(0、4a2)2； a2b2=(ab)2、(2)因式分解：2a2-4a=2a(a-2)；(x+y)2-3(x+y)=(x+y)(x+y-3)、二、做一做(1)计算填空：(x+2)(x-2)=x2-4;(y+5)(y-5)=y2-25、(2)根据上述等式填空：x2-4=(x+2)(x-2);y2-25=(y+5)(y-5)、(3)公式：a2-b2=(a+b)(a-b)、语言叙述：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积、三、例题探究例1、分解因式：(1)x2y-4y; (2)(a+1)2-1; (3)x4-1; (4)-2(x-y)2+32; (5)(x+y+z)2-(x-y+z)2、解：(1)原式=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)；(2)原式=(a+1+1)(a+1-1)=a(a+2)；(3)原式=(x2+1)(x2-1)=(x2+1)(x+1)(x-1)；(4)原式=-2［(x-y)2-16］=-2(x-y+4)(x-y-4)；(5)原式=［(x+y+z)+(x-y+z)］［(x+y+z)-(x-y+z)］=(x+y+z+x-y+z)(x+y+z-x+y-z)=2y(2x+2z)=4y(x+z)、例2 求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数、证明：依题意，得(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n、∵8n是8的n倍，∴当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数、例3 已知x-y=2，x2-y2=6，求x，y的值、解：依题意，得(x+y)(x-y)=6、∵x-y=2，∴x+y=3∴∴自学反馈(1)下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？①x2+y2;②x2-y2;③-x2+y2;④-x2-y2、解：①不能，不符合平方差公式；②能，符合平方差公式；③能，符合平方差公式；④不能，不符合平方差公式、 (2)分解因式：①a2-b2; ②9a2-4b2; ③-a4+16、解：①(a+b)(a-b)；②(3a+2b)(3a-2b)；③-(a2+4)(a+2)(a-2)、自学检测1、下列公式中，不能用平方差公式分解因式的是（ B ）A、-x2+y2B、-1-m2C、a2-9b2D、4m2-12、下列运用平方差公式分解因式，正确的是（ B ）A、x2+y2=（x+y）（x-y）B、x2-y2=（x+y）（x-y）C、-x2+y2=（-x+y）（-x-y）D、-x2-y2=-（x+y）（x-y）3、判断下列分解因式是否正确？为什么？并改正。

14。

3。

2公式法（1)——平方差公式班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一、选择题（每小题6分,共30分)1.下列代数式中能用平方差公式分解因式的是( )A。

a2＋b2 B.－a2－b2C.a2－c2－2ac D。

－4a2＋b22。

把a2－4a多项式分解因式，结果正确的是( ）A。

a(a－4) B。

(a＋2)（a－2) C。

a（a＋2）(a－2) D.（a－2）2－43.－4＋0.09x2分解因式的结果是（）A.(0.3x＋2)（0.3x－2) B。

（2＋0。

3x)(2－0。

3x)C.(0。

03x＋2)(0。

03x－2）D。

（2＋0。

03x)(2－0。

03x)4.分解因式4x2－64的结果是( )A。

4(x2－16) B。

4（x＋8)(x－8)C。

4(x＋4）(x－4) D.(2x＋8)（2x－8）5.已知多项式x＋81b4可以分解为（4a2＋9b2）（2a＋3b）(3b－2a)，则x的值是( )A.16a4B.－16a4C.4a2D。

－4a2二、填空题(每小题6分，共30分)6。

代数式－9m2＋4n2分解因式的结果是_______________________。

7.25a2－__________＝(－5a＋3b）（－5a－3b)。

8。

已知一个长方形的面积是a2－b2（a>b），其中长边为a＋b，则短边长是_______.9。

已知a＋b＝8，且a2－b2＝48，则式子a－3b的值是__________10。

若a－b＝1，则代数式a2－b2－2b的值为________。

三、解答题(共40分）11.分解因式：（1）4x2－y2; (2）－16＋a2b2；（3)2225100xy; （4）(x＋2y)2－(x－y）2。

12.分解因式：（1)a3－9a；（2）3m(2x－y)2－3mn2；（3)（a－b）b2－4（a－b)。

13。

计算：（1－错误!)(1－错误!)（1－错误!)…(1－错误!)(1－错误!）.参考答案1。

寄语：亲爱的小朋友，在学习过程中，的挑战就是逐级攀升的难度。

即使每一级都很陡峭，只要我们一步一个脚印地向上攀登，一层又一层地跨越，最终才能实现学习的目标。

祝愿你在学习中不断进步！相信你一定会成功。

相信你是最棒的！8年级上册数学人教版《14.3.2 公式法》课时练一、选择题2x2−10x+8( )1. 下列四个选项中为多项式的因式是2x−22x+2x+42x−4 A．B．C．D．2. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是()A．B．C．D．x2−4x2−2x−1x2−4x+4x2+4x+13. 下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是()A．B．C．D．x2+1x2+2x−4x2−2x+1x2+x+125a2+mab+36b2(5a−6b)2m()4. 如果可分解为，那么的值为30−3060−60 A．B．C．D．a b c a+b+c=0ac+b+1=0(c≠1)( )5. 已知三个实数、、满足，，则a=1b2−4ac>0a≠1b2−4ac≥0A．，B．，a=1b2−4ac<0a≠1b2−4ac≤0C．，D．，6. 下列因式分解正确的是()A．B．x2−x=x(x+1)a2−3a−4=a(a−3)−4 C．D．a2+b2−2ab=(a+b)2x2−y2=(x+y)(x−y)7. 下列因式分解正确的是( )A．x2−9=(x−3)2B．x2−2x−1=x(x−2)−1C．4y2−8y+4=(2y−2)2D．x(x−2)−(2−x)=(x−2)(x+1)二、填空题a3−4a8. 分解因式的结果是______．9. 给多项式加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是x 8+4写出一个即可．()10. 因式分解：______．7a 2−7b 2=11. 因式分解：______．4a x 2−4ax +a =三、计算题12. 分解因式：(1)a 2b−abc;(2)3x 2−27;． (3)(m 2−m )2+12(m 2−m)+11613. 已知，，求的值．ab =2a +b =5a 3b +2a 2b 2+a b 314. 分解因式：． (1)a 2−ab +ac−bc;(2)x 3+6x 2−x−6参考答案1．A 2．C 3．C 4．D 5．A 6．D 7．D 8．a(a +2)(a−2)9．答案不唯一4x 4()10．7(a +b)(a−b)11．a(2x−1)212．解：原式(1)=ab(a−c);原式(2)=3(x 2−9)=3(x +3)(x−3);原式(3)=(m 2−m )2+2⋅(m 2−m)⋅14+(14)2． =(m 2−m +14)2=[(m−12)2]2=(m−12)413．解：原式， =ab(a 2+2ab +b 2)=ab(a +b )2当，时，原式． ab =2a +b =5=2×25=5014．解：原式(1)=a(a−b)+c(a−b)=(a−b)(a +c);原式(2)=(x 3−x)+(6x 2−6)．=x(x 2−1)+6(x 2−1)=(x 2−1)(x +6)=(x +1)(x−1)(x +6)。

14.3.2公式法 【知识巩固】 1、若()22416-=+-x mx x ，那么m=________。

2、若n mx x ++2是一个完全平方式，则n m 、的关系是 。

3、()()222 16=+-x a 4、()()=-+-10010122__________。

5、当x 取__________时，多项式642++x x 取得最小值是__________。

6、222121,1y xy x y x ++=+则代数式的值是__________。

7、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是：（ ）A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+-B 、()()103252-+=-+x x x x C 、()224168-=+-x x x D 、()()()()2332-+=+-x x x x 8、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +-- 9、下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ）A 、2242b ab a +-B 、4142+-m m C 、269y y +- D 、222y xy x -- 10、把多项式2xn ＋2＋4x n －6x n －2分解因式，其结果应是（ ） （A ）2x n （x 2＋2－3x ）＝2x n （x －1）（x －2）（B ）2xn －2（x 2－3x ＋2）＝2x n －2（x －1）（x －2） （C ）2xn －2（x 4＋2x 2－3）＝2x n －2（x 2＋3）（x 2－1）＝2x n －2（x 2＋3）（x ＋1）（x －1） （D ）2x n －2（x 4－2x 2＋3）＝2xn －2 （x 2＋3）（x 2＋1） 11、若=+=-=+22,1,3b a ab b a 则（ ）A 、－11B 、11C 、－7D 、7 12、k x x x +--5223中，有一个因式为()2-x ，则k 值为（ ）A 、2B －2C 、6D 、－6【拓展探究】 13、已知a, b, c 为△ABC 三条边的长.(1)当b 2+2ab=c 2+2ac 时，试判断△ABC 的形状;(2)求证: a 2-b 2+c 2-2ac <0【答案】1、±8；2、n m 2)2(即m 2=4n ； 3、8ax ,4-ax ； 4、-2100； 5、-2，2； 6、21；7、C ； 8、B ； 9、C ； 10、C ； 11、D ； 12、B ； 13、(1) b 2+2ab=c 2+2ac∴a 2+b 2+2ab= a 2+c 2+2ac 即(a+b)2=(a+c)2a, b, c 为△ABC 三条边的长，∴a ＞0，b ＞0，c ＞0；∴a+b=a+c 则 b=c∴△ABC 为等腰三角形。

14.3.2 因式分解公式法（第一课时）一、内容和内容解析1.内容因式分解平方差公式2.内容解析本节课是在学习了提公因式法后,公式法因式分解的第一课时，它是整式乘法中平方差公式的逆向应用，在教材中处于重要的地位。

平方差公式因式分解要充分理解公式的含义,掌握公式的形式与特点. 公式左边的多项式形式上是二项式,且两项符号相反;公式左边的每一项都可以化成某一个数或式的平方形式。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式分解因式。

二、目标和目标解析1、目标（1）进一步理解因式分解的概念，体会因式分解在简化计算上的应用。

（2）会用平方差公式进行因式分解，并从中体验“整体”的思路，树立“换元”的意识。

2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出因式分解中平方差公式的特点。

知道这里的平方差公式与整式乘法中的平方差公式是互逆变形的关系。

达成目标（2）的标志是：学生在数学活动过程中，体会平方差公式的结构、特征及公式中字母的广泛含义，理解平方差公式的意义，掌握运用平方差公式解决问题的方法.并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深对公式的理解。

三、教学问题诊断分析虽然有了第一节提公因式法做基础，但学生有时还会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。

学生在运用平方差公式分解因式的过程中经常遇到的困难是找不准哪个数或式相当于公式中的a ， b 。

因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课的教学难点是：灵活运用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求。

四、教学过程设计1.复习引入问题1 你能叙述多项式因式分解的定义吗？提公因式法的定义是什么？因式分解:（1）3mx-6nx 2;（2）4a 2b+10ab-2ab 3;（3）252 y 师生活动：学生独立思考并解答,找同学的答案投影展示。

人教版数学八年级上册14.3.2《公式法》课时练习一、选择题1.下列能用完全平方公式因式分解的是（）A．x2+2xy﹣y2B．﹣xy+y2C．x2﹣2xy+y2D．x2﹣4xy+2y22.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+93.分解因式：x2﹣4y2的结果是( )A.(x+4y)(x﹣4y)B.(x+2y)(x﹣2y)C.(x﹣4y)2D.(x﹣2y)24.下列因式分解错误的是( )A.2a－2b=2(a－b)B.x2－9=(x＋3)(x－3)C.a2＋4a－4=(a＋2)2D.－x2－x＋2=－(x－1)(x＋2)5.下列各式中不能用完全平方公式分解因式的是( )A.-x2+2xy-y2B.x4-2x3y+x2y2C.(x2-3)2-2(3-x2)+1D.x2-xy+12y26.下列多项式中，能用公式法分解因式的是( )A.-m2+n2B.a2﹣2ab﹣b2C.m2+n2D.﹣a2﹣b27.下列各式的分解因式中，没有用到公式法的是( )A.3m2﹣6mn+3n2=3(m﹣n)2B.x2b+ab2+ab=ab(a+b+1)C.mx2﹣4m=m(x﹣2)(x+2)D.x2+12x+36=(x+6)28.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为( )A.－21B.21C.-10D.109.若a、b、c为一个三角形的三边长，则式子(a-c)2-b2的值( )A.一定为正数B.一定为负数C.可能为正数，也可能为负数D.可能为010.若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为（）A.12 Ｂ.6Ｃ.3 Ｄ.0二、填空题11.因式分解：x2﹣1= ．12.当x=1，y=﹣时，代数式x2+2xy+y2的值是．13.已知a﹣b=2，那么a2﹣b2﹣4b的值为 .14.分解因式：x2﹣4（x﹣1）= ．三、解答题15.对下列多项式进行因式分解：(1)4a2-16 (2)3x﹣12x3 (3)(x-y)2-9(x+y)2;(4)2x2﹣18. (5)m3n―9mn. (6)-2m+4m2-2m3.(7)m2﹣4mn+4n2 (8)(x2－x)2－12(x2－x)＋36. (9)a3-6a2+5a；16.在三个整式x2+2xy、y2+2xy、x2中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.17.已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状.18. (1)将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一.例如，求x2+4x+5的最小值.解：原式=x2+4x+4+1=(x+2)2+1∵(x+2)2≥0 ∴(x+2)2+1≥1∴当x=﹣2时，原式取得最小值是1请求出x2+6x﹣4的最小值.(2)非负性的含义是指大于或等于零.在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0.请根据非负算式的性质解答下题：已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6a+b2﹣8b+25+|c﹣5|=0，求△ABC的周长.(3)已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ac.试判断△ABC的形状.参考答案1.答案为：C2.答案为：C.3.答案为：B.4.答案为：C.5.答案为：D.6.答案为：A.7.答案为：B.8.答案为：A.9.答案为：B.10.答案为：A11.答案为：(x+1)(x﹣1)．12.答案为：．13.答案为：4.14.答案为：（x﹣2）2．15. (1)原式=4(a+2)(a-2).(2)原式=3x(1+2x)(1﹣2x).(3)原式=-4(2x+y)(x+2y).(4)原式=2(x+3)(x﹣3).(5)原式=mn(m+3)(m-3).(6)原式=-2m(m-1)2.(7)原式=m2﹣4mn+4n2=(m﹣2n)2；(8)原式=(x＋2)2(x－3)2(9)原式=a(a-1)(a-5).16.解：2x(x+y)或(x+y)2或(x+y)(x-y)或(y+x)(y-x).17.解：∵a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0(a﹣b)2+(b﹣c)2=0∴a﹣b=0且b﹣c=0即a=b=c，故该三角形是等边三角形. 18.解：(1)x2+6x﹣4=x2+6x+9﹣9﹣4=(x+3)2﹣13，∵(x+3)2≥0∴(x+3)2﹣13≥﹣13∴当x=﹣3时，原式取得最小值是﹣13.(2)∵a2﹣6a+b2﹣8b+25+|c﹣5|=0，∴(a﹣3)2+(b﹣4)2+|c﹣5|=0，∴a﹣3=0，b﹣4=0，c﹣5=0，∴a=3，b=4.c=5，∴△ABC的周长=3+4+5=12.(3)△ABC为等边三角形.理由如下：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，∴a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc=0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ac﹣2ab﹣2bc=0，即a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，∴(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形.。