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2019-2020学年山东省枣庄三中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若tan(π+α)=3，则sin(−α)cos(π−α)=( )A. −310B. 310C. −110D. 1102. sin2100= ( )A.B. −C.D. −3. 已知cosα=−45，sinα=35，那么α的终边所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知扇形的半径为2，弧长为4，则这个扇形的面积为( )A. 2B. 2πC. 4πD. 45. 设向量a ⃗ =(x,x +1)，b ⃗ =(1,2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x =( )A. −23B. 23C. −13D. 136. 若S =1+2sinxcosx cos x−sin x，则S 不能是( )A. 1+tanx1−tanxB. 1−tanx1+tanxC.1+sin2x cos2xD. cos2x1−sin2x7. 已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，则向量a 与向量a +2b 的夹角等于( )A. 150°B. 90°C. 60°D. 30°8. 已知f(x)=cosx −sinx ，x ∈[0,π]，则函数的值域和单调增区间分别为( )A. [−√2,1],(3π4,π) B. [−√2,1],(0,3π4) C. [−√2,√2],(3π4,π)D. [−√2,√2],(0,3π4)9. 将函数y =sin(2x +π3)的图象先向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，保持纵坐标不变，则得到的函数图象的表达式为( )A. =sin(2x +π6 ) B. y =sin(4x +2π3) C. y =sinxD. y =sin4x10. 为了得到函数y =12sin(2x +π3)的图象，可以把函数y =12sin2x 的图象上所有的点( )A. 向右平移π3个单位 B. 向左平移π6个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向右平移π6个单位11.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点为中心﹐其中，分别为原点到两个顶点的向量﹒若将原点到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为的形式﹐则的最大值为()。
秘密★启用前枣庄三中2019～2020学年度高一年级第二学期第一次学情调查化学试题2020.03本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共**页。
满分100分，考试用时60分钟。
答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在自己做题的答题纸（可打印、可用自己的纸张）最上方中间的位置。
考试结束后，将答题纸提交给七天网络平台。
第Ⅰ卷（共65分）注意事项：1.第Ⅰ卷分两部分20小题，共50分。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上（打印的）对应题目的答案标号涂黑；或者在自己的纸张上写清楚。
一、选择题：本题共15小题,每小题3分,共45分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．美国夏威夷联合天文中心的科学家发现了新型的氢粒子，这种粒子是由3个氢原子核(没有中子)和2个电子构成的。
下列关于这种粒子的说法正确的是()A．是氢的一种新单质B．是氢的一种新的同位素C．它的组成可用H3表示D．它比普通H2分子多一个氢原子核2.与OH-具有相同质子数和电子数的微粒是()A.F-B.NH3C.H2OD.Na+3．元素的性质呈周期性变化的根本原因是（）A．元素相对原子质量的递增，量变引起质变B．元素的原子半径周期性变化C．元素的金属性和非金属性呈周期性变化D．元素原子的核外电子排布呈周期性变化4.下列物质既含离子键又含共价键的是()A.CaCl2B.NaOHC.H2OD.Na2O5．将少量氯水加入KI溶液中振荡,再加入CCl4,振荡,静置后观察到的现象是A．形成均匀的紫色溶液B．有紫色沉淀析出C．液体分层,上层呈紫红色D．液体分层,下层呈紫红色6.某元素的阳离子R n＋，核外共有x个电子，原子的质量数为A，则该元素原子里的中子数为A.A－x－nB.A－x＋nC.A＋x－nD.A＋x＋n7.下列图中能正确表示X +3Y ＝2Z(放热反应)过程的能量变化的是：A. B.C. D.8.X、Y、Z 均为短周期主族元素，X、Y 处于同一周期，X、Z 的最低价离子分别为X 2－和Z －，Y ＋和Z －具有相同的电子层结构。
2019-2020学年山东枣庄高一上数学期末试卷一、选择题1. 已知集合A={x|x>2}，B={x|1<x<3}，则A∩B=( )A.{x|x>2}B.{x|x>1}C.{x|1<x<3}D.{x|2<x<3}2. tan3π4=( )A.1B.−1C.√2D.−√23. 设a=log20.3,b=30.5, c=0.30.5，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a4. 函数f(x)=6x −log2x的零点所在的区间为( )A.(12,1) B.(1,2) C.(3,4) D.(4,5)5. 要得到函数y=cos(2x+1)的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）A.向左平移1个单位B.向左平移12个单位C.向右平移1个单位D.向右平移12个单位6. 在平面直角坐标系xOy中，质点P在圆心为O半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(√2, −√2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数的图象大致为( )A. B.C. D.7. 已知a>0，b>0，则“2019a+2020b+12019a+12020b=4”是“(2019a+2020b)(12019a+12020b)=4”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数f(x)=sin x−sin3x，x∈[0, 2π]，则函数f(x)的所有零点之和等于（）A.4πB.5πC.6πD.7π二、多选题下列最小正周期为π的函数有( )A. y=cos2x2B. y=|sin x|C. y=cos|2x|D. y=tan(2x−π4)设函数f(x)=sin(2x+π4)+cos(2x+π4)，则f(x)( )A.是偶函数B.在(0,π2)上单调递减C.最大值为2D.其图像关于直线x=π2对称某同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时，给出下面几个结论中正确的有( )A. f(x)的图象关于点(−1,1)对称B. 若x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)C. f(x)的值域为(−1,1)D. 函数g(x)=f(x)−x有三个零点具有性质：f(1x)=−f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的T函数.下列函数中T函数有( )A. y=x−1xB. y=x+1xC. y={x,0<x<10,x=1−1x,x>1D.y=ln1−x1+x(x≠0)三、填空题已知f(x)={3x−4,x>1，3x,x≤1，若a<b,f(a)=f(b)，则a+3b的取值范围是________.四、解答题在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合．角α的终边过点P(−35,45)，以角α的终边为始边，逆时针旋转π4得到角β的终边.(1)求tanα的值；(2)求cos(α+β)的值.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2, 3]上有最大值4和最小值1．(1)求a，b的值；(2)设f(x)=g(x)x−2，若不等式f(x)−k>0在x∈(2,5]上恒成立，求实数k的取值范围．已知函数f(x)=√32cos2x+sin x cos x+1．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[−π4,π4]时，求f(x)的最大值和最小值.2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度的一次函数.(1)当0≤x≤220时，求函数v(x)的表达式：(2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）f(x)=x⋅v(x)可以达到最大？并求出最大值.已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,−π2≤φ<π2)的图像关于直线x=π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(α2)=√34(π6<α<2π3)，求cos(α+3π2)的值.已知实数a>0，定义域为R的函数f(x)=e xa+ae x是偶函数，其中e为自然对数的底数．(1)求a；(2)判断f(x)在(0, +∞)上的单调性并用定义证明；(3)是否存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f(t−2)<f(2t−m)恒成立．若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年山东枣庄高一上数学期末试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】先求出集合B，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由题意得，A={x|x>2}，B={x|1<x<3}，则A∩B={x|2<x<3}.故选D．2.【答案】B【考点】诱导公式【解析】利用正切函数的诱导公式tan(π−π4)=−tanπ4即可求得答案．【解答】解：∵tan3π4=tan(π−π4)=−tanπ4=−1.故选B．3.【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】解：a=log20.3<log21=0，b=30.5>30=1，0<c=0.30.5<0.30=1，故b>c>a.故选D.4.【答案】C 【考点】函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增，函数y=6x与函数y=−log2x在(0,+∞)上单调递减，则函数f(x)=6x−log2x在(0,+∞)上单调递减，若函数f(x)存在零点，则零点唯一.f(3)=2−log23>0，f(4)=32−log24=−12<0，f(3)⋅f(4)<0，则函数f(x)零点所在的区间为(3,4).故选C.5.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】化简函数y=cos(2x+1)，然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可．【解答】解：因为函数y=cos(2x+1)=cos[2(x+12)]，所以要得到函数y=cos(2x+1)的图象，只要将函数y=cos2x的图象向左平移12个单位．故选B．6.【答案】C【考点】单位圆与周期性函数的图象变换【解析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：如图，通过分析可知当t =0时，点P 到x 轴距离d 为√2，于是可以排除答案A ，D ， 再根据当t =π4时，可知点P 在x 轴上，此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B .故选C ． 7.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：①因为a >0，b >0， 所以2019a +2020b +12019a +12020b =(2019a +12019a )+(2020b +12020b) ≥2√2019a ×12019a +2√2020b ×12020b =4， 当且仅当2019a =12019a ，2020b =12020b ， 即a =12019，b =12020时取等号，将即a =12019，b =12020代入运算得(2019a +2020b)(12019a +12020b )=4，即“2019a +2020b +12019a +12020b =4”是“(2019a +2020b)(12019a +12020b )=4”的充分条件， ②(2019a +2020b)(12019a +12020b)=2+2019a 2020b +2020b2019a≥2+2√2019a2020b ×2020b2019a =4，当且仅当2019a2020b =2020b2019a ，即2019a =2020b 时取等号，推不出“2019a +2020b +12019a+12020b=4”，故“2019a +2020b +12019a+12020b=4”是“(2019a +2020b)(12019a+12020b)=4”的不必要条件，综合①②得： “2019a +2020b +12019a+12020b=4”是“(2019a +2020b)(12019a+12020b)=4”的充分不必要条件.故选A . 8. 【答案】 D【考点】 函数的零点 【解析】利用两角和差的正弦公式将sin 3x 展开，结合f(x)＝0，利用三角函数值进行求解即可． 【解答】解：f(x)=sin x −sin 3x=sin x −(sin x cos 2x +cos x sin 2x) =sin x −(sin x cos 2x +2sin x cos x cos x) =sin x −sin x(cos 2x +2cos 2x) =sin x(1−cos 2x −2cos 2x) =sin x(−cos 2x −cos 2x) =−2sin x cos 2x ，由f(x)=0，得sin x =0或cos 2x =0， 由sin x =0得x =kπ，k ∈Z ， ∵ x ∈[0, 2π]，∴ x =0或x =π或x =2π， 由cos 2x =0得2x =kπ+π2=2kπ+π2，k ∈Z ，即x =2kπ+π4，∵ x ∈[0, 2π]， ∴ x =π4或x =3π4或x =5π4或x =7π4，则所有零点之和为0+π+2π+π4+3π4+5π4+7π4=7π.故选D .二、多选题【答案】 B,C【考点】三角函数的周期性及其求法 二倍角的余弦公式 【解析】 此题暂无解析【解答】解：A，y=cos2x2=1+cos x2，它的最小正周期为：2π|1|=2π，不符合题意；B，函数y=sin x的图象是把y=sin x的图象中横轴下方的部分以横轴为对称轴翻折上去，而y=sin x的最小正周期是2π，所以y=sin x的最小正周期为π，符合题意；C，函数y=cos|2x|的图象与y=cos(2x)的图象一样，而y=cos(2x)的最小正周期为2π|2|=π，故y=cos|2x|的最小正周期也是π，符合题意；D，y=tan(2x−π4)的最小正周期为：π|2|=π2，不符合题意．故选BC.【答案】A,B,D【考点】两角和与差的正弦公式诱导公式函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=sin(2x+π4)+cos(2x+π4)=√2sin(2x+π4+π4)=√2cos2x.选项A，f(−x)=√2cos(−2x)=√2cos2x=f(x)，它是偶函数，故正确；选项B，x∈(0,π2)，则2x∈(0,π)，因此f(x)是单调递减，故正确；选项C，f(x)=√2cos2x的最大值为√2，故错误；选项D，当x=π2时，f(x)=√2×cos(2×π2)=−√2，因此当x=π2时，函数有最小值，因此函数图像关于x=π2对称，故正确. 故选ABD.【答案】B,C【考点】函数零点的判定定理函数奇偶性的性质函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知：∵f(−x)=−x1+|x|=−f(x)，∴f(x)为奇函数，且图象关于原点对称，A不正确.当x>0时，f(x)=11+1x∈(0, 1)，当x<0时，f(x)∈(−1, 0)，当x=0时，f(x)=0，∴f(x)∈(−1, 1)，C正确.则当x>0时，f(x)=11+1x反比例函数的单调性可知，f(x)在(0, +∞)上是增函数，f(x)在(−∞, 0)上也是增函数，∴若x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)B正确.④由③知f(x)的图象与y=x只有(0, 0)这一个交点．D不正确．故选BC.【答案】A,C【考点】函数新定义问题【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A，f(1x)=1x−x=−(x−1x)=−f(x)，满足题意；对于B，f(1x)=1x+x=f(x)，不满足题意；对于C，f(1x)={1x,0<1x<10,1x=1−x,1x>1即f(1x)={1x,x>10,x=1−x,0<x<1故f(1x)=−f(x)，满足题意；对于D，f(1x)=ln1−1x1+1x=ln x−11+x≠−f(x)，不满足题意.综上可知，满足“倒负”变换的T函数是A，C．故选AC．三、填空题【答案】(−∞，8]【考点】函数恒成立问题分段函数的应用函数的图象与图象变化【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题画图：结合图像可知要使得f (a )=f (b )，关键使得做一条直线平行于x 轴， 能使得与f (x )有两个交点，则a ≤1，43<b <73， 得到a +3b ≤8，故范围为(−∞,8]. 故答案为：(−∞，8]. 四、解答题 【答案】解：(1)由角α的终边过点 P (−35,45)， 得cos α=−35，sin α=45， 所以tan α=sin αcos α=−43.(2)由(1)得sin 2α=2sin αcos α=−2425， cos 2α=cos 2α−sin 2α=−725， 由题意β=α+π4，所以cos (α+β)=cos (2α+π4) =cos 2αcos π4−sin 2αsin π4=√22(cos 2α−sin 2α) =√22×(−725+2425) =17√250. 【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的余弦公式 同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由角α的终边过点 P (−35,45)，得cos α=−35，sin α=45，所以tan α=sin αcos α=−43.(2)由(1)得sin 2α=2sin αcos α=−2425， cos 2α=cos 2α−sin 2α=−725，由题意β=α+π4，所以cos (α+β)=cos (2α+π4) =cos 2αcos π4−sin 2αsin π4=√22(cos 2α−sin 2α) =√22×(−725+2425) =17√250. 【答案】解：(1)∵ g(x)开口方向向上，且对称轴为x =1， ∴ g(x)在[2,3]上单调递增，∴ {g(x)min =g(2)=4a −4a +1+b =1,g(x)max =g(3)=9a −6a +1+b =4,解得，{a =1,b =0.(2)∵ f(x)−k >0在x ∈(2,5]上恒成立， ∴ 只需k <f(x)min ， 由(1)知，f(x)=x 2−2x+1x−2=x +1x −2=x −2+1x −2+2 ≥2√(x −2)⋅1x−2+2=4,当且仅当x −2=1x−2，即x =3时等号成立，∴ k <4.【考点】不等式恒成立问题二次函数在闭区间上的最值 二次函数的性质 基本不等式 【解析】（1）依题意知，g(x)=ax 2−2ax +1+b(a >0)在区间[2, 3]上递增，由{g(2)=1g(3)=4即可求得a 、b 的值．【解答】解：(1)∵ g(x)开口方向向上，且对称轴为x =1， ∴ g(x)在[2,3]上单调递增，∴ {g(x)min =g(2)=4a −4a +1+b =1,g(x)max =g(3)=9a −6a +1+b =4,解得，{a =1,b =0.(2)∵ f(x)−k >0在x ∈(2,5]上恒成立， ∴ 只需k <f(x)min ， 由(1)知，f(x)=x 2−2x+1x−2=x +1x −2=x −2+1x −2+2 ≥2√(x −2)⋅1x−2+2=4,当且仅当x −2=1x−2，即x =3时等号成立， ∴ k <4. 【答案】解：(1)f(x)=12sin 2x +√32cos 2x +1=sin (2x +π3)+1，由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2， 得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，所以，f(x)的单调递增区间是[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z . (2)f(x)=sin (2x +π3)+1，由x ∈[−π4,π4]，得2x +π3∈[−π6, 5π6]， 当2x +π3=π2，即x =π12时，f(x)有最大值f(π12)=1+1=2；当2x +π3=−π6，即x =−π4时， f(x)有最小值f(−π4)=−12+1=12. 【考点】二倍角的正弦公式 两角和与差的正弦公式 函数最值的应用 函数的单调性及单调区间 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)f(x)=12sin 2x +√32cos 2x +1=sin (2x +π3)+1，由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2， 得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，所以，f(x)的单调递增区间是[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z . (2)f(x)=sin (2x +π3)+1，由x ∈[−π4,π4]，得2x +π3∈[−π6, 5π6]， 当2x +π3=π2，即x =π12时， f(x)有最大值f(π12)=1+1=2；当2x +π3=−π6，即x =−π4时， f(x)有最小值f(−π4)=−12+1=12.【答案】解：(1)由题意，当0≤x ≤20 时，v (x )=100， 当20≤x ≤22 时，设 v (x )=ax +b ，因为 v (20)=20a +b =100，v (220)=220a +b =0， 所以a =−12,b =110， 所以y (x )={100，0≤x ≤20，−12x +110,20<x ≤220.(2)由(1)知：f(x)={100x，0≤x≤20，−12x2+110x,20<x≤220.当0≤x≤20时，f(x)的最大值为f(20)=2000，当20<x≤200时，f(x)=−12(x−110)2+6050，当x=110时，f(x)的最大值为f(110)=6050，综上，当车流密度为110辆千米时，车流量最大，最大值为6050辆时．【考点】函数模型的选择与应用分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)=100，当20≤x≤22时，设v(x)=ax+b，因为v(20)=20a+b=100，v(220)=220a+b=0，所以a=−12,b=110，所以y(x)={100，0≤x≤20，−12x+110,20<x≤220.(2)由(1)知：f(x)={100x，0≤x≤20，−12x2+110x,20<x≤220.当0≤x≤20时，f(x)的最大值为f(20)=2000，当20<x≤200时，f(x)=−12(x−110)2+6050，当x=110时，f(x)的最大值为f(110)=6050，综上，当车流密度为110辆千米时，车流量最大，最大值为6050辆时．【答案】解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T=π，从而ω=2πT=2，又因为f(x)的图象关于直线x=π3对称，所以2×π3+φ=kπ+π2，k∈Z，又因为−π2≤φ<π2，所以k=0，φ=π2−2π3=−π6，因此所求解析式为f(x)=√3sin(2x−π6).(2)由(1)知f(x)=√3sin(2x−π6)，所以f(α2)=√3sin(2×α2−π6)=√34，即sin(α−π6)=14，由π6<α<2π3得0<α−π6<π2，所以cos(α−π6)=√1−sin2(α−π6)=√1−(14)2=√154，所以cos(α+3π2)=sinα=sin[(α−π6)+π6]=sin(α−π6)cosπ6+cos(α−π6)sinπ6=14×√32+√154×12=√3+√158.【考点】两角和与差的正弦公式诱导公式同角三角函数间的基本关系函数解析式的求解及常用方法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f(x)的最小正周期T =π， 从而ω=2πT=2，又因为f(x)的图象关于直线x =π3对称， 所以2×π3+φ=kπ+π2，k ∈Z ， 又因为−π2≤φ<π2， 所以k =0，φ=π2−2π3=−π6，因此所求解析式为f(x)=√3sin (2x −π6).(2)由(1)知f(x)=√3sin (2x −π6)，所以f (α2)=√3sin (2×α2−π6)=√34， 即sin (α−π6)=14， 由π6<α<2π3得0<α−π6<π2，所以cos (α−π6)=√1−sin 2(α−π6)=√1−(14)2=√154， 所以cos (α+3π2)=sin α=sin [(α−π6)+π6]=sin (α−π6)cos π6+cos (α−π6)sin π6=14×√32+√154×12=√3+√158. 【答案】解：(1)定义域为R 的函数f(x)=e x a+a e x是偶函数，则f(−x)=f(x)恒成立， 即e −x a +a e −x=e x a+a e x，故(1a−a)(e x −e −x )=0恒成立，因为e x −e −x 不可能恒为0，所以当1a −a =0时，f(−x)=f(x)恒成立， 而a >0， 所以a =1.(2)该函数f(x)=e x +1e x 在(0, +∞)上单调递增，证明如下： 设任意x 1，x 2∈(0, +∞)，且x 1<x 2， 则：f(x 1)−f(x 2)=(e x 1+1e x 1)−(e x 2+1e x 2) =(e x 1−e x 2)+(1e x 1−1e x 2) =(e x 1−e x 2)+e x 2−e x 1e x 1e x 2=(e x 1−e x 2)(e x 1e x 2−1)e x 1e x 2，因为0<x 1<x 2，所以e x 1<e x 2，且e x 1>1,e x 2>1， 所以(e x 1−e x 2)(e x 1e x 2−1)e x 1e x 2<0，即f(x 1)−f(x 2)<0， 即f(x 1)<f(x 2)，故函数f(x)=e x +1e x 在(0, +∞)上单调递增．(3)由(2)知函数f(x)在(0, +∞)上递增， 而函数f(x)是偶函数，则函数f(x)在(−∞, 0)上递减．若存在实数m ，使得对任意的t ∈R ，不等式f(t −2)<f(2t −m)恒成立． 则|t −2|<|2t −m|恒成立，即|t −2|2<|2t −m|2， 即3t 2−(4m −4)t +m 2−4>0对任意的t ∈R 恒成立， 则Δ=(4m −4)2−12(m 2−4)<0， 得到(m −4)2<0，m ∈⌀， 所以不存在． 【考点】函数恒成立问题 偶函数函数单调性的判断与证明【解析】(Ⅰ)由偶函数的定义得到关于x恒成立的表达式进而求解；(Ⅱ)根据函数单调性的定义，对函数值作差，将其分子分母化成因式乘积的形式，判断每一个因式的正负即可；(Ⅲ)根据函数的单调性和奇偶性，将函数符号f去掉，得到关于t的不等式，由恒成立问题求解即可．【解答】解：(1)定义域为R的函数f(x)=e xa +ae x是偶函数，则f(−x)=f(x)恒成立，即e −xa +ae−x=e xa+ae x，故(1a−a)(e x−e−x)=0恒成立，因为e x−e−x不可能恒为0，所以当1a−a=0时，f(−x)=f(x)恒成立，而a>0，所以a=1.(2)该函数f(x)=e x+1e在(0, +∞)上单调递增，证明如下：设任意x1，x2∈(0, +∞)，且x1<x2，则：f(x1)−f(x2)=(e x1+1e x1)−(e x2+1e x2)=(e x1−e x2)+(1e x1−1e x2)=(e x1−e x2)+e x2−e x1 e x1e x2=(e x1−e x2)(e x1e x2−1)e x1e x2，因为0<x1<x2，所以e x1<e x2，且e x1>1,e x2>1，所以(e x1−e x2)(e x1e x2−1)e x1e x2<0，即f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=e x+1e x在(0, +∞)上单调递增．(3)由(2)知函数f(x)在(0, +∞)上递增，而函数f(x)是偶函数，则函数f(x)在(−∞, 0)上递减．若存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f(t−2)<f(2t−m)恒成立．则|t−2|<|2t−m|恒成立，即|t−2|2<|2t−m|2，即3t2−(4m−4)t+m2−4>0对任意的t∈R恒成立，则Δ=(4m−4)2−12(m2−4)<0，得到(m−4)2<0，m∈⌀，所以不存在．。
2018-2019学年山东省枣庄市第三中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．一支由学生组成的校乐团有男同学48人，女同学36人，若用分层抽样的方法从该乐团的全体同学中抽取21人参加某项活动，则抽取到的男同学人数为（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】先由男女生总数以及抽取的人数确定抽样比，由男生总人数乘以抽样比即可得出结果. 【详解】用分层抽样的方法从校乐团中抽取21人，所得抽样比为21148364=+，因此抽取到的男同学人数为148124⨯=人. 故选C 【点睛】本题主要考查分层抽样，熟记概念即可，属于常考题型. 2．28cos3π=（ ）A B ． C ．12D ．12-【答案】D【解析】根据诱导公式处理28cos cos 33ππ=-即可得解. 【详解】281coscos 8cos cos 33332πππππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：D. 【点睛】此题考查利用诱导公式进行三角函数化简求值，关键在于熟练掌握诱导公式，准确进行化简求值.3．已知(,4),(3,2)a x b ==v v，a v ∥b v 则x =（ ）A ．6B ．38-C ．-6D ．38【答案】A【解析】根据向量平行（共线），它们的坐标满足的关系式，求出x 的值. 【详解】()(),4,3,2a x b v vQ ==，且//a b r r ，2430x ∴-⨯=，解得6x =，故选A. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（ ） A ．是互斥事件，不是对立事件 B ．是对立事件，不是互斥事件 C ．既是互斥事件，也是对立事件 D ．既不是互斥事件也不是对立事件 【答案】C【解析】至少1名女生的对立事件就是全是男生.因此事件“至少1名女生”与事件“全是男生” 既是互斥事件，也是对立事件5．为了得到函数y=sin （2x+π4）的图象，只需将函数y=sin2x 图象上所有的点( ) A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度【答案】A【解析】由条件根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，可得结论． 【详解】∵ππsin 2sin248y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故要得到πsin 24y x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，的图象， 只需将函数y=sin2x ，x ∈R 的图象向左平移π8个单位长度即可， 故选:A ． 【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，属于基础题． 6．一位妈妈记录了孩子6至9岁的身高（单位：cm ），所得数据如下表： 年龄x （岁） 6 7 8 9 身高y （cm ） 118126136144由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归方程为$$8.8y x a=+，预测该孩子10岁时的身高为 A ．154 B ．153C ．152D ．151【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由表格可知，6789118126136144x==7.5y==13144++++++，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为8.8ˆˆyx a =+，那么可知回归方程必定过样本中心点，即为（7,131）代入可知，a ∧=65，预测该学生10岁时的身高，将x=10代入方程中，即可知为153，故可知答案为B【考点】线性回归直线方程点评：主要是考查了线性回归直线方程的回归系数的运用，属于基础题． 7．如图，是上一点，分别以为直径作半圆，从作，与半圆相交于，，，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】求得阴影部分的面积和最大的半圆的面积，再根据面积型几何概型的概率计算公式求解. 【详解】连接，可知是直角三角形，又，所以，设，则有，得，所以，由此可得图中阴影部分的面积等于，故概率．故选C【点睛】本题考查了与面积有关的几何概型的概率的求法，当试验结果所构成的区域可用面积表示，用面积比计算概率.涉及了初中学习的射影定理，也可通过证明相似，求解各线段的长.8．已知角α终边上一点(2,3)P -，则cos()sin()2cos()sin(3)παπαπαπα++--的值为（ ） A ．32B ．32-C ．23 D ．23-【答案】A【解析】角α终边上一点()2,3P -，所以32tan α=-. ()()()()()cos sin 32cos sin 32sin sin tan cos sin παπααααπαπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==-=---.故选A. 9．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【解析】根据平均数相同求出x 的值，再根据方差的定义计算即可． 【详解】根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同，即15×（87+89+90+91+93）=15×（88+89+90+91+90+x ）， 解得x=2，所以平均数为x =90；根据茎叶图中的数据知甲的成绩波动性小，较为稳定（方差较小）， 所以甲成绩的方差为 s 2=15×[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2． 故选A ． 【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．10．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,sin sin sin sin 1cos2b ac A B B C B =+=-，则角B =（ ）A ．4πB ．3π C ．6π D ．512π 【答案】B【解析】根据题意2sin sin sin sin 2sin A B B C B +=结合正弦定理22ab bc b +=，由题2b ac =，可得三角形为等边三角形，即可得解. 【详解】由题：sin sin sin sin 1cos2A B B C B +=-即2sin sin sin sin 2sin A B B C B +=，ABC ∆中，由正弦定理可得：22ab bc b +=，即2a c b +=，两边同时平方：22224c ac a b ++=，由题2b ac =，所以2224a c ac ac ++=， 即()20a c -=，所以a c b ==，即ABC ∆为等边三角形， 所以B =3π. 故选：B 【点睛】此题考查利用正弦定理进行边角互化，根据边的关系判断三角形的形状，求出三角形的内角.11．在ABC ∆中，5,10,25AB AC AB AC ==⋅=u u u r u u u r，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且3()5AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则||AP uuu r的最大值是（ ）A ．332B ．37C ．39D ．41【答案】B【解析】根据3()5AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r分析得出点P 的轨迹为线段1P D ，结合图形即可得到||AP uuu r的最大值.【详解】如图：取35AD AB u u u r u u u r =，135CP CB u u u r u u u r=，1//PD AC ， 点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且3()5AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r，根据平行四边形法则，点P 的轨迹为线段1P D ，则||AP uuu r的最大值是1||AP u u u r ， 在ABC ∆中，5,10,510cos 25AB AC AB AC BAC ==⋅=⨯⨯∠=u u u r u u u r ，1cos 2BAC ∠=，3sin 532BAC BC ∠==123PB =， 1||251237AP =+=u u u r故选：B 【点睛】此题考查利用向量方法解决平面几何中的线段长度最值问题，数形结合处理可以避免纯粹的计算，降低难度.12．已知1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r ，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-r r 在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】D【解析】求出函数()24f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()sin 024f x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，4,k x k Z ππω+=∈，根据不等式42,k k Z ππππω+<<∈求解，即可得到可能的取值.【详解】由题：1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r ，其中0>ω，111()sin sin sin 22222f x a b x x x ωωω=⋅-=+-r r1cos 11sin 222x x ωω-=+-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令()024f x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，,4x k k Z πωπ-=∈，4,k x k Z ππω+=∈若函数1()2f x a b =⋅-r r 在区间(,2)ππ内有零点，则42,k k Z ππππω+<<∈有解，解得：11,284k k k Z ω+<<+∈ 当110,84k ω=<<当551,84k ω=<<当992,84k ω=<< 结合四个选项可以分析，实数ω的取值可能是34. 故选：D 【点睛】此题考查根据函数零点求参数的取值范围，需要熟练掌握三角函数的图像性质，求出函数零点再讨论其所在区间列不等式求解.二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a c bb c a c-=-+，则角A =________. 【答案】3π 【解析】根据a c bb c a c-=-+得222b c a bc +-=，利用余弦定理即可得解. 【详解】 由题：a c bb c a c-=-+，222a c b bc -=-，222b c a bc +-=， 由余弦定理可得：2221cos 22b c a A bc +-==， ()0,,3A A ππ∈=.故答案为：3π【点睛】此题考查根据余弦定理求解三角形的内角，关键在于熟练掌握余弦定理公式，准确计算求解.14．,,,A B C D 四名学生按任意次序站成一排，则A 和B 都在边上的概率是___________. 【答案】16【解析】写出四名学生站成一排的所有可能情况，得出A 和B 都在边上的情况即可求得概率. 【详解】,,,A B C D 四名学生按任意次序站成一排，所有可能的情况为： ,,,,,ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB ，,,,,,BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA ，,,,,,CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA ，,,,,,DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA ，共24种情况，其中A 和B 都在边上共有,,,ACDB ADCB BCDA BDCA ，4种情况， 所以A 和B 都在边上的概率是16. 故答案为：16【点睛】此题考查古典概型，根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.15．如图所示，隔河可以看到对岸两目标,A B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的两点,C D ，测得,75,4530,45ACB BCD ADC ADB ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=（,,,A B C D 在同一平面内），则两目标,A B 间的距离为_________km .【答案】5153【解析】在ACD ∆中，在BCD ∆中，分别由正弦定理求出43AD =46BD =在BDA ∆中，由余弦定理可得解. 【详解】由图可得30,60CAD CBD ∠=︒∠=︒， 在ACD ∆中，由正弦定理可得,43sin120sin 30AD DCAD ==︒︒在BCD ∆中，由正弦定理可得46,sin 60sin 453DC DB BD ==︒︒， 在BDA ∆中，由余弦定理可得：222cos45AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒32462515482433323=+-⨯⨯⨯=. 故答案为：5153【点睛】此题考查利用正余弦定理求解三角形，根据已知边角关系建立等式求解，此题求AB 的长度可在多个三角形中计算，恰当地选择可以减少计算量.16．在直角梯形.ABCD 中，,//,22AB AD AD BC AB BC AD ⊥===，,E F 分别为,BC CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在¼DG上运动（如图）.若AP AE BF λμ=+u u u r u u u r u u u r，其中,R λμ∈，则2λμ+的最大值是________.【答案】5 【解析】建立直角坐标系，设()cos ,sin ,0,2P πθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据AP AE BF λμ=+u u u r u u u r u u u r ，表示出12sin cos 2u λθθ+=+，结合三角函数相关知识即可求得最大值.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：()()()()0,0,0,1,2,0,2,2A D B C ，,E F 分别为,BC CD 的中点，()32,1,1,2E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在¼DG上运动， 设()cos ,sin ,0,2P πθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，AP AE BF λμ=+u u u r u u u r u u u r ，即()()32,1co in 2,1,s s u θθλ⎛=⎫+- ⎪⎝⎭，232cos sin u u λθλθ-=+⎧⎪⎨=⎪⎩，所以cos 22si 32n u u λθλθ-=+⎧⎨=⎩，两式相加：4sin c s 2o 2u λθθ++=，即()112sin cos ,tan 22u λθθθϕϕ++=+==，，即当sin θθ==时，12sin cos 2u λθθ+=+==【点睛】此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.三、解答题17．已知,αβ为锐角，4tan ,cos()3ααβ=+=． （1）求sin 2α的值； （2）求tan β的值【答案】(1)2425(2) tan 2β= 【解析】（1）结合α为锐角利用同角三角函数的关系，结合倍角公式即可求值；（2）结合,αβ为锐角，求出tan()αβ+，利用两角和的正切公式即可求出tan β的值. 【详解】（1）因为α为锐角，4tan ,3α=所以43sin ,cos 55αα==， 所以24sin 22sin cos 25ααα==（2）因为,αβ为锐角，cos()αβ+=，所以sin()αβ+=，tan()2αβ+=- 因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，4tan 3α=，所以tan 2β=【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系以及倍角公式，同时考查了两角和的正切公式，属于中档题.18．已知向量,a b r r 的夹角为60°，且||1,||2a b ==r r.（1）求||a b -rr 与|2|-r r a b 的值；（2）求a b -rr与2a b -rr的夹角θ.【答案】（1）||a b -=r r |2|2a b -=rr ；（2）6πθ=.【解析】（1）根据||a b -=r r|2|a b -=r r （2）根据公式()()2cos 2a b a ba b a bθ-⋅-=--r r r r r r r r 计算求解.【详解】（1）由题向量,a b r r的夹角为60°，所以cos601a b a b ⋅=⋅︒=rr r r ，||a b -===rr|2|2a b -===r r ；（2）()()222cos 2a b a b a b a bθ-⋅-====--r r r r r r r r r r r r所以6πθ=【点睛】此题考查平面向量数量积，根据定义计算两个向量的数量积，求向量的模长和根据数量积与模长关系求向量夹角.19．已知(2cos ,cos ),(cos )a x x b x x ωωωω==r r ，函数()f x a b m =⋅+rr （其中0,m R ω>∈），且()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π，并过点(0,2).（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调增区间.【答案】（1）2sin 2)1(6x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）根据向量的数量积得()f x 2sin 216x m πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，结合2662πω⨯+=ππ，()02f =即可求解； （2）令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即可求得增区间.【详解】（1）由题2()2cos cos f x a b m x x x m ωωω=⋅+=++rrcos 221x x m ωω=++2sin 216x m πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π，并过点(0,2) 所以2662πω⨯+=ππ，解得1ω=， ()02sin126f m π=++=，解得：0m =，所以2sin 2)1(6x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈2222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈函数()f x 的单调增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】此题考查根据平面向量的数量积，求函数解析式，根据三角函数的顶点坐标和曲线上的点的坐标求参数，利用整体代入法求单调区间.20．已知关于x 的一元二次函数2()1f x ax bx =++，从集合P 中随机取一个数作为此函数的二次项系数a ，从集合Q 中随机取一个数作为此函数的一次项系数b . （1）若{|13,}P x x x Z =≤≤∈，{|42,}Q x x x Z =-≤≤-∈，求函数()y f x =有零点的概率；（2）若{|13,},{|42,}P x x x R Q x x x R =≤≤∈=-≤≤-∈，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.【答案】（1）23；（2）34【解析】（1）依次列出所有可能的情况，求出满足240b a -≥的情况总数，即可得到概率；（2）列出不等关系，表示出平面区域，求出满足12ba-≤表示的区域的面积，即可得到概率. 【详解】（1）由题可得{}{|13,}1,2,3P x x x Z =≤≤∈=，{}{|42,}4,3,2Q x x x Z =-≤≤-∈=---，从集合P 中随机取一个数作为此函数的二次项系数a ，从集合Q 中随机取一个数作为此函数的一次项系数b ，记为(),a b ， 这样的有序数对共有()()()()()()()()()1,4,1,3,1,2,2,4,2,3,2,2,3,4,3,3,3,2---------，9种情况；函数()y f x =有零点，即满足240b a -≥，满足条件的有：()()()()()()1,4,1,3,1,2,2,4,2,3,3,4------，6种情况，所以其概率为23； （2）{|13,},{|42,}P x x x R Q x x x R =≤≤∈=-≤≤-∈，满足条件的有序数对(),a b ，1342a b ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩，即平面直角坐标系内区域：矩形ABCD 及内部区域，面积为4， 函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，即满足12b a -≤，2ba-≤，13a ≤≤， 即20a b +≥，平面直角坐标系内区域：直角梯形ABCE 及内部区域，面积为3，所以其概率为34.【点睛】此题考查古典概型与几何概型，关键在于准确得出二次函数有零点和在区间[1,)+∞上是增函数，分别所对应的基本事件个数以及对应区域的面积.21．随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各自随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：（1）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m甲（精确到0.01）；（2）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X甲与X乙及方差2S甲与2S乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X甲、2S甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】（1）26.67；（2）X甲X<乙，2S甲2S>乙，X甲=27.5，2S甲=178.75【解析】（1）根据每组小矩形的面积确定中位数所在区间，即可求解；（2）根据直方图特征即可判定X 甲X <乙，2S 甲2S >乙，根据平均数和方差的公式分别计算求值. 【详解】（1）由甲高中频率分布直方图可得：第一组频率0.1，第二组频率0.2，第三组频率0.3，所以中位数在第三组，m 甲0.50.10.2201026.670.3--=+⨯≈；（2）根据两个频率分布直方图可得：X甲X <乙，2S 甲2S >乙X 甲=50.1150.2250.3350.2450.15550.0527.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2S 甲=()()()()()()()2222221527.541527.582527.5123527.584527.565527.52178.7540⨯-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=【点睛】此题考查频率分布直方图，根据两组直方图特征判断中位数和方差的大小关系，求中位数，平均数和方差，关键在于熟练掌握相关数据的求法，准确计算得解. 22．如图，在ABC ∆中，90,3,1ABC AB BC ︒∠===，P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=.（1）若3PC =，求PA ； （2）若120APB ︒∠=，求ABP ∆的面积S . 【答案】（17（233【解析】（1）求出2212BP BC PC =-=，,36CBP ABP ππ∠=∠=，ABP ∆中由余弦定理即可求得PA ；（2）设PBA α∠=，利用正弦定理表示出()sin120sin 60AB PB =︒︒-α，求得3tan α=，利用面积公式即可得解. 【详解】（1）在ABC ∆中，90,1ABC AB BC ︒∠===，2AC =P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=，2PC =，所以12BP ==，CBP ∆中，由余弦定理得：2221cos 22BP BC PC CBP BP BC +-∠==⋅所以,36CBP ABP ππ∠=∠=ABP ∆中，由余弦定理得：AP =2==；（2）120APB ︒∠=，设0,,90,602PBA PBC PAB π⎛⎫∠=α∈∠=︒-α∠=︒-α ⎪⎝⎭， 在Rt PBC ∆中，sin sin PB BC =⋅α=α，在PBA ∆中，由正弦定理()sin120sin 60AB PB=︒︒-α，即()sin 2sin 60α=︒-α，sin sin α=α-α，所以tan2α=，sin PB α==ABP ∆的面积11sin2214S AB PB α=⋅==. 【点睛】此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强.。
2019-2020学年山东省枣庄市第三中学高一3月网上测试数学试题一、单选题1．已知点()1,1A -，()2,3B -， 则与向量AB u u u v方向相同的单位向量为（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫-⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】由题得()3,4AB =-u u u r ，设与向量AB u u u r方向相同的单位向量为()3,4a λ=-r ，其中0λ>，利用1a =r列方程即可得解.【详解】由题可得：()3,4AB =-u u u r，设与向量AB u u u r方向相同的单位向量为()3,4a λ=-r ，其中0λ>，则1a ==r ，解得：15λ=或15λ=-（舍去） 所以与向量AB u u u r方向相同的单位向量为34,55a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r故选A 【点睛】本题主要考查了单位向量的概念及方程思想，还考查了平面向量共线定理的应用，考查计算能力，属于较易题． 2．设复数20211iz i i-=-，则||z =（）. AB C ．2D ．1【答案】A【解析】根据复数的运算法则计算出12z i =+，结合复数模长公式即可得结果. 【详解】 由21(1)12i i iz i i i i i--=-=-=+，得|z |=故选：A .本题主要考查了复数的四则运算，复数模长的概念，属于基础题.3．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且//,m n αβ^，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，则αβ⊥ B ．若m n ⊥，则//αβ C ．若//m n ，则//αβ D ．若//m n ，则αβ⊥【答案】D【解析】若αβ⊥,则需使得平面α内有直线平行于直线n ；若//αβ,则需使得n α⊥,由此为依据进行判断即可 【详解】当//m n 时,,m n 可确定平面γ,当//γα时,因为n β⊥,所以γβ⊥,所以αβ⊥； 当平面γ交平面α于直线l 时, 因为//m α,所以//m l ,则//l n , 因为n β⊥,所以l β⊥,因为l α⊂,所以αβ⊥,故A 错误,D 正确；当//αβ时,需使得n α⊥,选项B 、C 中均缺少判断条件,故B 、C 错误； 故选:D 【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系与垂直关系的判定,考查空间想象能力4．已知1a =v ，8b =v ，()5a b a ⋅-=-v v v，则向量a v 与b v 向量的夹角是( )A ．23π B ．3π C ．56π D ．6π 【答案】A【解析】由()5a b a ⋅-=-r r r 可知4a b ⋅=-r r，再根据cos ,a b a b a b⋅=⋅r rr r r r ，求解即可. 【详解】()()2215a b a a b aa b a a b ⋅-=⋅-=⋅-=⋅-=-r r r r r r r r r r rQ4a b ∴⋅=-r r41cos ,182a b a b a b ⋅-∴===-⨯⋅r rr r r r[],0,a b π∈r rQ∴2,3a b π=r r故选：A 【点睛】本题考查平面向量的夹角问题，属于较易题.5．如图，在复平面内点P 对应的复数12z i =+，将点P 绕坐标原点O 逆时针旋转6π到点Q ，则点Q 对应的复数2z 的虚部为( )A 132B 31C ．132i ⎫⎪⎭D ．31i ⎫+⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意求得点Q 对应的复数2z ，则其虚部可求． 【详解】设P 点对应的向量为OP uuu r，向量OP uuu r 绕坐标原点O 逆时针旋转6π得到OQ uuu r 对应的复数为(2)(cos sin )66i i ππ++3113(2)()(3)(1)22i i i =+=+， ∴点Q 对应的复数2z 的虚部为312+．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224b c a +-，则A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【解析】根据余弦定理可得2221cos 42b c a bc A +-=，再根据面积公式可得sin cos A A =，从而可求出角A ．【详解】解：由余弦定理得2222cos 1cos 442b c a bc A bc A +-==，又根据三角形面积公式得2221sin 42b c a bc A +-=，∴sin cos A A =， 又角A 为ABC V 的内角， ∴45A ︒=， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题．7．在ABC V 中，3CD BD =u u u v u u u v，O 为AD 的中点，若AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ，则λμ⋅=（ ） A ．34-B ．316-C ．34D ．316【答案】B【解析】由已知得12AO AD =u u u r u u u r ，3CD BD =u u u r u u u r转化为以A 为起点的向量关系，将AD u u u r 用向量,AB AC u u u r u u u r 表示，进而AO u u u r 用,AB AC u u u r u u u r表示，求出,λμ，即可求出结论. 【详解】133,33,22AC CD BD AD A AC D AB AD AB =-=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，O 为AD 的中点，11344=2A B AD AC A O -+=u u u u r u u u r u ur u u u r ，133,,4416λμλμ∴=-=⋅=-.故选:B.本题考查向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题.8．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是（）A．若为的外心，则B．若为等边三角形，则C．当时，与平面所成角的范围为D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为【答案】B【解析】利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.【详解】若为的外心，则，由射线相等即可知，故A正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B错误；当时，，，过作，连结，易知为与平面所成角，，故的范围为，故C正确；取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D正确【点睛】本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.二、多选题9．等边三角形ABC 中，BD DC =u u u v u u u v ，2EC AE =u u u v u u u v，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2AD AB AC =+u u u v u u u v u u u vB．2133BE BC BA =+u u u v u u u v u u u vC ．12AF AD =u u u v u u u vD ．1123BF BA BC =+u u u v u u u v u u u v【答案】AC【解析】根据向量线性运算，求得,,,AD BE AF BF u u u r u u u r u u u r u u u r的表达式，由此判断出正确选项.【详解】由于BD DC =u u u r u u u r ，2EC AE =u u u r u u u r，所以：1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，A 选项正确.()22123333BE BC CE BC CA BC BA BC BC BA =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，B 选项错误.由于,,E F B 三点共线，所以()()1113AF AE AB AC AB λλλλ=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r且()111222AF xAD x AB AC x AB x AC ==+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以1121123x x λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得31,42x λ==.所以C 选项正确. ()11112222BF BA AF BA AD BA BD BA BA BC BA ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1124BA BC =+u uu r u u u r ，所以D 选项不正确. 故选：AC【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）.A ．EP ⊥ACB ．EP BD ∥C ．EP ∥面SBD D ．EP ⊥面SAC【答案】AC【解析】如图所示，连接AC ､BD 相交于点O ，连接EM ，EN ，由正四棱锥性质可得SO ⊥底面，AC BD ⊥，进而得到SO AC ⊥，可得AC ⊥平面SBD ，利用三角形的中位线结合面面平行判定定理得平面//EMN 平面SBD ，进而得到AC ⊥平面EMN ，随即可判断A ；由异面直线的定义可知不可能//EP BD ；由A 易得C 正确；由A 同理可得：EM ⊥平面SAC ，可用反证法可说明D . 【详解】如图所示，连接AC ､BD 相交于点O ，连接EM ，EN .由正四棱锥S ABCD -，可得SO ⊥底面ABCD ，AC BD ⊥，所以SO AC ⊥. 因为SO BD O ⋂=，所以AC ⊥平面SBD ， 因为E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点， 所以//EM D ，//MN SD ，而EM MN N ⋂=，所以平面//EMN 平面SBD ，所以AC ⊥平面EMN ，所以AC EP ⊥，故A 正确； 由异面直线的定义可知:EP 与BD 是异面直线，不可能//EP BD ，因此B 不正确； 平面//EMN 平面SBD ，所以//EP 平面SBD ，因此C 正确；EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则//EP EM ，与EP EM E =I 相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直，即D 不正确. 故选:AC .【点睛】本题主要考查了线线平行与垂直，线面平行与垂直的判定熟练掌握线面、面面的位置关系判定定理是解题的关键，属于中档题.三、填空题11．已知复数z 满足1z =，则2z i -的取值范围为______. 【答案】[]1,3【解析】根据复数模的几何意义，求得2z i -的取值范围. 【详解】1z =表示z 对应的点是单位圆上的点.2z i -的几何意义表示单位圆上的点和()0,2之间的距离，所以最小距离为211-=，最大距离为213+=.所以2z i -的取值范围为[]1,3.故答案为：[]1,3 【点睛】本小题主要考查复数模、复数减法的模的几何意义的运用，属于基础题.12．已知(sin ,cos )a αα=r ，b =r ，且a b ⊥r r ，那么sin 2α=________.【答案】【解析】可根据a b ⊥rr得出0a b ⋅=rr ，进行数量积的坐标运算即可得出tan 3α=-，根据齐次式的特征即可求得结果. 【详解】因为a b ⊥rr，所以cos 0a b αα⋅=+=rr ；所以cos αα=，所以tan α=所以2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα====++.故答案为:.本题考查了数量积运算性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13．在ABC V 中，若2a =，cos B =ABC V 的面积为1，则b =_____.【解析】先求出sin B 的值，然后根据ABC V 的面积求出c ，再利用余弦定理，得到b 的值. 【详解】因为cos B =B 为ABC V 内角，所以sin 2B ==，因为11sin 21222ABC S ac B c ==⨯⨯=V ， 所以c =由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，得22-=解得b =.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，余弦定理解三角形，属于简单题.14．在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =四面体体积的最大值为________，该四面体外接球的表面积为________.【答案】68π 【解析】先由题中数据，得到AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，从而得到OA OB OC OS ====O ，进而可求出其外接球的表面积；再由SO AB ⊥，底面三角形ABC 的面积为定值，SO 的长也为确定的值，结合几何体直观图，可得当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，即可求出结果.因为2SA SB ==，且SA SB ⊥，5BC =，3AC =，所以222AB SA ==，因此222BC AC AB +=，则AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，则2OA OB OC OS ====，所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为2OC =，所以该四面体外接球的表面积为24(2)8S ππ=⋅=； 又因为SA SB =，所以SO AB ⊥； 因为底面三角形ABC 的面积为定值11522AC BC ⋅=，SO 的长也为确定的值2， 因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为1303ABC V S SO =⋅=V . 故答案为：(1).30(2). 8π【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，以及三棱锥体积的有关计算，熟记三棱锥结构特征，以及球的表面积公式与三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.四、解答题15．已知复数2()z m mi m R =-∈，若|2|z =且z 在复平面内对应的点位于第四象限． （1）求复数z ；（2）若21z az b i ++=+，求实数a ，b 的值． 【答案】（1）z ＝1﹣i ； （2）a ＝﹣3，b ＝4．【解析】（1）由已知求得1m =±，结合z 在复平面内对应的点位于第四象限可得1m =-，则复数z 可求；（2）把z 代入21z az b i ++=+，整理后由两个复数相等对应实部虚部分别相等即可求解．【详解】解：（1）2z m mi =-Q ，||z =422m m ∴+=，得21m =． 又z Q 在复平面内对应的点位于第四象限，1m ∴=-，即1z i =-；（2）由（1）得1z i =-，21z az b i ∴++=+，2(1)(1)1i a i b i ∴-+-+=-，()(2)1a b a i i ∴+-+=+，∴121a b a +=⎧⎨+-⎩解得3a =-，4b =．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．16．在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r .（Ⅰ）若()()3//a b a kb -+r r r r ，求实数k 的值； （Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r ，求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）13-；（Ⅱ）15-. 【解析】（Ⅰ）求出向量3a b -r r 和a kb +r r 的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k 的方程，解出即可； （Ⅱ）由()a tb b -⊥r r r 得出()0a tb b -⋅=r r r ，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数t 的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ）()1,2a =-r Q ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ，()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r ，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-； （Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r ， ()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r ，解得15t =-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，点D 是AB 的中点，BC AC =，22AB DC ==，13AA =.（1）求证：平面1A DC ⊥平面11ABB A ；（2）求点A 到平面1A DC 的距离.【答案】（1）证明见解析（23【解析】（1）通过证明1,CD AA CD AB ⊥⊥证得CD ⊥平面11ABB A ，由此证得平面1A DC ⊥平面11ABB A .（2）解法一：利用等体积法计算出点A 到平面1A DC 的距离；解法二：在平面1A AD 内，过A 作1AE A D ⊥，证得AE 就是点A 到平面1A DC 的距离，利用等面积法求得点A 到平面1A DC 的距离.【详解】（1）证明：∵1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴1AA CD ⊥，∵BC AC =，D 是的AB 的中点，∴CD AB ⊥，又1AA AB A =I ，∴CD ⊥平面11ABB A ，∵CD ⊂平面1A DC ，∴平面1A DC ⊥平面11ABB A ；（2）解法一∵1AA ⊥平面ABC ，∴1AA 是三棱锥1A ADC -的高，且1AA AD ⊥，由（1）及已知得ADC ∆是腰长为1的等腰直角三角形， 111122ADC S ∆=⨯⨯=，∴1111133332A ADC ADC V S AA -∆=⨯=⨯⨯=， 又13AA =，所以22112A D A A AD =+=，由（1）得CD ⊥平面11ABB A ，1A D ⊂平面11ABB A ，∴1CD A D ⊥， ∴111121122A DC S A D CD ∆=⨯=⨯⨯=，设点A 到平面1A DC 的距离为h ， 由11A A DC A ADC V V --=，得113S 3A DC h ∆⨯=， ∴3h =因此，点A 到平面1A DC 的距离为3.解法二：由（1）平面1A DC ⊥平面11ABB A ，平面1A DC I 平面111ABB A A D =， 在平面1A AD 内，过A 作1AE A D ⊥，则AE ⊥平面1A DC ，故AE 就是点A 到平面1A DC 的距离，∵1AA ⊥平面ABC ，∴在1Rt A AD ∆中，22112A D A A AD =+=. 利用等面积得1131322A A AD AE A D ⋅===， 因此，点A 到平面1A DC 3【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18．已知O 为坐标原点，(2cos 3)OA x =u u u v ，(sin 3,1)OB x x =-u u u v，()2f x OA OB =⋅+u u u v u u u v .（1）求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间；（2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程()0f x m +=有根，求m 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）[2)m ∈- 【解析】（1）通过向量的坐标运算求出()2f x OA OB =⋅+u u u r u u u r ，通过三角公式整理化简，然后可求得其单调区间；（2）将方程()0f x m +=有根转化为()f x m =-在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，求出()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的值域即可. 【详解】（1）()2f x OA OB =⋅+u u u r u u u r22cos sin 2x x x =+-sin 222x x =++2sin 223x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 则此函数单调增区间：222()232k x k k πππ-+π++π∈Z ≤≤， ()1212k x k k 5ππ-+π+π∈Z ≤≤， 设5,()1212A k k k Z ππππ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦，[0,]B π=， 则70,,1212A B πππ⎡⎤⎡⎤⋂=⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以函数()f x 在[0,]π上的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程()0f x m +=有根， 所以()f x m =-在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得42,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以3sin 213x π⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，则23()4f x -<≤， 所以[4,32)m ∈--.【点睛】本题考查三角函数恒等变形，三角函数的性质，是基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点,（1）求证：//AP 平面EBD ；（2）若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？【答案】（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时；(Ⅱ) 当14PN PB =时. 【解析】（1）连接AC ,BD ,AC I BD=O ，连接OE ，由O 为AC 中点，E 为PC 中点，得OE //PA ，推出AP //平面EBD ；（2）(Ⅰ) 当点M 在线段PA 中点时，由线面垂直的判定定理得DM ⊥平面PAB ；(Ⅱ)当1PN PB 4=时由(Ⅰ)得PB ⊥平面DMN ，推出平面DMN ⊥平面PBC .【详解】（1）证明：连接AC ,BD ,AC BD ⋂=O ，因为ABCD 是平行四边形，则O 为AC 中点，连接OE ，又E Q 为PC 中点，OE //PA,OE ∴⊂面EBD ，PA ⊄面EBD ∴ AP //平面EBD . （2）解(Ⅰ)当点M 在线段PA 中点时，有DM ⊥平面PAB取PA 中点M ，连接DM CD PD ⊥Q ，又AB//CDAB PD ∴⊥，又AB PA ⊥，PA PD P ⋂=，AB ∴⊥平面PADAB DM ∴⊥，又ΔPAD 是正三角形，DM PA,PA AB A,∴⊥⋂=∴ DM ⊥平面PAB(Ⅱ)当1PN PB 4=时，有平面DMN ⊥平面PBC 过M 作MN PB ⊥于N ，由(Ⅰ)知DM PB,MN DM M ⊥⋂=，PB ∴⊥平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面PBC 易得1PN PB 4=【点睛】本题考查了线面平行和线面垂直，面面垂直的判定定理，数量掌握判定定理的内容是关键，属于中档题.。
山东省枣庄市第三中学2019-2020学年高二3月阶段检测数学试题一、单项选择题：本题共16小题，每小题6分，共96分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 是虚数单位，则复数5i 2−i 的虚部为（ ） A ．2i B ．﹣2C ．2D ．﹣2i 2．已知函数f （x ）＝ln （2x +1），则f ′（0）＝（ ）A ．0B ．1C ．2D ．12 3．曲线f （x ）＝x 2+x +1在点（0，1）处的切线方程为（ ）A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝04．设（1+i ）x ＝1+yi ，其中x ，y 是实数，则|x +yi |＝（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．25．已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）A ．310B ．35C ．12D ．14 6．已知某品种的幼苗每株成活率为p ，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为（ ）A ．p 2B ．p 2（1﹣p ）C ．C 32p 2D ．C 32p 2（1﹣p ）7．C 32+C 42+C 52+C 62=（ ） A ．31 B ．32 C ．33 D ．348．在复平面内复数8+3i 、﹣4+5i 对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z ⋅z 的值为（ ）A ．61B ．13C ．20D ．10 9．（x 2+2x ）5的展开式中x 4的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．8010．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920．假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．14 11．已知随机变量X ～B （n ，0.8），D （X ）＝1.6，则n 的值是（ ）A ．8B ．10C ．12D ．1412．设（3x +√x ）n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M ﹣17N ＝480，则展开式中含x 3项的系数为（ ）A ．40B ．30C ．20D ．1513．7个人排成一队参观某项目，其中ABC 三人进入展厅的次序必须是先B 再A 后C ，则不同的列队方式有多少种（ ）A ．120B ．240C ．420D ．84014．直线y ＝﹣x +2与曲线y ＝﹣e x +a 相切，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．0 15．在(1+x +1x 2020)10的展开式中，x 2项的系数为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9016．某市选派6名主任医生，3名护士，组成三个医疗小组分配到甲、乙、丙三地进行医疗支援，每个小组包括两名主任医生和1名护士，则不同的分配方案有（ ）A ．60种B ．300种C ．150种D ．540种二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得4分，有选错的得0分.17．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（ ）A ．（1x ）′=1x 2B ．（cos2x ）'＝﹣2sin2xC ．(3x ln3)′=3xD ．（lgx ）′=−1xln1018．若随机变量X 服从两点分布，其中P(X =0)=13，E （X ）、D （X ）分别为随机变量X 均值与方差，则下列结论正确的是（ ）A ．P （X ＝1）＝E （X ）B ．E （3X +2）＝4C ．D （3X +2）＝4 D ．D(X)=49 19．设f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，f ′（x ），g '（x ）为其导函数，当x ＜0时，f ′（x ）•g （x ）+f （x ）•g '（x ）＜0且g （﹣3）＝0，则使得不等式f （x ）•g （x ）＜0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣3）B ．（﹣3，0）C ．（0，3）D ．（3，+∞）20．对任意实数x ，有(2x −3)9═a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+a 3(x −1)3+⋯+a 9(x −1)9．则下列结论成立的是（ ）A ．a 2＝﹣144C ．a 0+a 1+a 2+…+a 9＝1D ．a 0−a 1+a 2−a 3+⋯−a 9=−39三、解答题：本题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．（9分）若复数z 满足：（2+i ）z 为纯虚数，且|z ﹣1|＝1，求复数z ．22．（9分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率23， （Ⅰ）记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布及数学期望；（Ⅰ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．23．已知函数f （x ）＝ax 2e x ﹣1（a ≠0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅰ）已知a ＞0且x ∈[1，+∞），若函数f （x ）没有零点，求a 的取值范围．一、单项选择题：本题共16小题，每小题6分，共96分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．∵5i 2−i =5i(2+i)(2−i)(2+i)=5i(2+i)5=−1+2i ， ∴复数5i 2−i 的虚部为2，故选：C ．2．∵f （x ）＝ln （2x +1），∴f ′（x ）=22x+1，∴f ′（0）＝2，故选：C ．3．∵f （x ）＝x 2+x +1，∴f ′（x ）＝2x +1∴根据导数的几何意义可得曲线f （x ）＝x 2+x +1在（0，1）处的切线的斜率为f ′（0）＝1∴曲线f （x ）＝x 2+x +1在（0，1）处的切线方程为y ﹣1＝f ′（0）（x ﹣0）即x ﹣y +1＝0．故选：C ．4．∵（1+i ）x ＝1+yi ，∴x +xi ＝1+yi ，即{x =1y =x ，解得{x =1y =1，即|x +yi |＝|1+i |=√2，5．3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回， 设事件A 表示“第一次取出次品”，事件B 表示“第二次取出次品”，P （A ）=35，P （AB ）=35×24=310，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是：P （B |A ）=P(AB)P(A)=31035=12． 故选：C ．6．栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为C 32•p 2•（1﹣p ）， 故选：D ．7．C 32+C 42+C 52+C 62=3×22×1+4×32×1+5×42×1+6×52×1=3+6+10+15＝34．故选：D ．8．解：z =8−42+3+52i ＝2+4i ．∴z ⋅z =22+42＝20．故选：C ．9．由二项式定理得（x 2+2x ）5的展开式的通项为：T r +1=C 5r （x 2）5﹣r （2x）r =2r C 5r x 10−3r ， 由10﹣3r ＝4，解得r ＝2，∴（x 2+2x ）5的展开式中x 4的系数为22C 52=40． 故选：C ．10．设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P （A ）=35，P （1−35=25，P （B ）＝P ，P （1﹣P ， 依题意得：35×（1﹣p ）+25×p =920，解可得，p =34，故选：C ．11．∵随机变量X ～B （n ，0.8），∴DX ＝np （1﹣p ）＝n ×0.8×（1﹣0.8）＝1.6，故选：B ．12．（3x +√x ）n 的展开式的各项系数之和为M ，令x ＝1，可得M ＝4n ．二项式系数之和为N ＝2n ，∵M ﹣17N ＝480，∴4n ﹣17•2n ＝480，解得n ＝5．∴(3x +√x)5的通项公式：T r +1=∁5r （3x ）5﹣r (√x)r =35﹣r ∁5r x 5−12r ， 令5−12r ＝3，解得r ＝4展开式中含x 3项的系数为C 54×3＝15 故选：D ．13．根据题意，先将7人排成一列，有A 77种排法，其中ABC 三人进入展厅的次序必须是先B 再A 后C ，即ABC 三人顺序一定，则不同的列队方式有A 77A 33=840种； 故选：D ．14．设切点为（m ，n ），y ＝﹣e x +a 的导数为y ′＝﹣e x +a ，可得切线的斜率为﹣e m +a ＝﹣1，则m +a ＝0，且n ＝﹣m +2＝﹣e m +a ，解得m ＝3，a ＝﹣3．故选：A ．15．在(1+x +1x 2020)10的展开式中，通项公式为T r +1=C 10r •(x +1x 2020)r ． 对于(x +1x 2020)r ，通项公式为 T k +1=C r k •x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10．令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为 C 102•C 20=45，故选：B ．16．根据题意，分2步进行分析：①，将6名主任医生分成3组，每组2人，有C 62C 42C 22A 33种分组方法，将3名护士分成3组，每组1人，有1种方法；②，将分好的三组医生、护士全排列，对应甲、乙、丙，有A 33种情况，则有C 62C 42C 22A 33×A 33×A 33＝540种，故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得4分，有选错的得0分.17．(1x )′=−1x 2，（cos2x ）′＝﹣2sin2x ，(3x ln3)′=3x ，(lgx)′=1xln10．故选：BC ．18．随机变量X 服从两点分布，其中P(X =0)=13， ∴P （X ＝1）=23， E （X ）=0×13+1×23=23， D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误；在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．19．∵f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ），令h （x ）＝f （x ）•g （x ），则h （﹣x ）＝﹣h （x ），故h （x ）＝f （x ）•g （x ）为R 上的奇函数，∵当x ＜0时，f ′（x ）•g （x ）+f （x ）•g '（x ）＜0，即x ＜0时，h ′（x ）＝f ′（x ）•g （x ）+f （x ）•g '（x ）＜0，∴h （x ）＝f （x ）•g （x ）在区间（﹣∞，0）上单调递减，∴奇函数h （x ）在区间（0，+∞）上也单调递减，又g （﹣3）＝0，∴h （﹣3）＝h （3）＝0，∴当x ∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，h （x ）＝f （x ）•g （x ）＜0，故选：BD ．20．对任意实数x ，有(2x −3)9═a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+a 3(x −1)3+⋯+a 9(x −1)9=[﹣1+2（x ﹣1）]9，∴a 2=−C 92×22＝﹣144，故A 正确；故令x ＝1，可得a 0＝﹣1，故B 不正确；令x ＝2，可得a 0+a 1+a 2+…+a 9＝1，故C 正确；令x ＝0，可得 a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 9＝﹣39，故D 正确；故选：ACD ．三、解答题：本题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．设z ＝a +bi ，则（2+i ）z ＝（2+i ）（a +bi ）＝2a ﹣b +（a +2b ）i ，∵（2+i ）z 为纯虚数，∴{2a −b =0a +2b ≠0①， 又|z ﹣1|＝1＝|a +bi ﹣1|=√(a −1)2+b 2=1，∴（a ﹣1）2+b 2＝1②，由①②，得{a =25b =45，∴z =25+45i ． 22．（Ⅰ）由题意知X 的可能取值是0，1，2，3P （X ＝0）=C 30(12)3=18，P （X ＝1）=C 31(12)3=38，P （X ＝2）=C 32(12)3=38，P （X ＝3）=C 33(12)3=18，X的概率分布如下表：X0123P18383818EX=0⋅18+1⋅38+2⋅38+3⋅18=1.5，（或EX＝3•12=1.5）；（Ⅰ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1+B2，B1，B2为互斥事件．P(A)=P(B1)+P(B2)=38⋅127+18⋅29=124∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为12423．（Ⅰ）f'（x）＝2axe x+ax2e x＝axe x（2+x），令f'（x）＝0，则x＝0或x＝﹣2，①若a＞0，当x＜﹣2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当﹣2＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；②若a＜0，当x＜﹣2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣2＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）．（Ⅰ）当a＞0时，由（1）可知，f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，若函数没有零点，则f（1）＝ae﹣1＞0，解得a＞1e，故a的取值范围为(1e，+∞)．。
