四种典范平差模型的分析与设计

3。

四中经典平差模型的分析与设计在生产实践中观测的数据可以通过以最小二乘原理为基本原理进行平差提高测量精度，但由于所设参数个数与观测个数和非必要观测个数的关系不同，可以分为条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差四种.通过对它们的分析,可以很好地解决生产实践中的实际问题，亦可为以后的某些理论推导作必要的准备.3.1条件平差模型条件平差的函数模型:A V+W=0其中A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n r r r b b b a a a 212121，W=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r b a w w w ，V=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n v v v 21 随机模型:D=Q 20δ法方程：0=+W K N aa其中：T aa AQA N =解之得 K=W N aa 1-- 误差方程 ： V=K QA T观测量平差值： V L L +=平差值函数：)(21n L L L f+++=ϕ 其权函数式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+++=i i n n Lff L d f L d f L d f d ,***2211ϕ 单位权方差的估值：rPVV r PV V T T ==020,δδ平差值函数ϕ的协因数阵：AQf N AQf Qf f Q aaT T 1)(--=ϕϕ 条件平差的基本向量的协因数和互协因数3。

2附有限制参数的条件平差模型在一个平差问题中，如果观测值个数为n,必要观测数为t ，则多余观测数r=n —t 。

若不增选参数，只需列出r 个条件方程，这就是条件平差方法。

如果又选了u 个独立量为参数(0<u<t ）参加平差计算,这就可建立含有参数的条件平差作为平差的函数模型，这就是附有参数的条件平差方法。

0**1,1,,1,,=++c u uc n nc W x B V A②式中，V 为观测值L 的改正数，1,u x为参数近似值0X 的改正值，即x X X V L L +=+=0,随机模型:D=12020-=P Q δδ为了求出能使min =PV V T的一组解，按求函数条件极值的方法,组成函数)(2W x B AV K PV V T T ++-=Φ式中，K 是对应于条件方程②的联系数向量，为求Φ的极小值，将其分别对V 和x求一阶导数并令其等于零，则有02022=-=∂Φ∂=-=∂Φ∂B K xA K P V VT T T由两式转置之后第一式左乘1-P ，再加②式得其基础方程解算此基础方程，通常是将其中的改正数方程代入条件方程,得到一组包含K 和1,,u x的对称线性方程组,即⎪⎭⎪⎬⎫==++00K B w x B K AQA T T令Ta a AQA N =,，上式也可写成:⎪⎭⎪⎬⎫==++00,K B W x B K N T a a③ 上式称为附有参数的的条件平差的法方程。

本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；（2）测量平差的随机模型。

本节教学思路：首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。

教学内容：一、平差模型的定义与分类1．从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；2．函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；二、各类函数模型的建立（一）概述1．函数模型定义：在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。

2．函数模型的意义与特点函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。

对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。

函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。

（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。

1. 条件平差法及其函数模型首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。

在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：令=[1 1 1]=[ ]=[-180]则上式为（2-2-1）再如图2-2水准网， D 为已知高程水准点，A 、B 、C 均为待定点，观测值向量的真值为]其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性 无关的条件方程，它们可以是：令0180~~~321=-++L L L 31⨯A13~⨯L1~L 2~L 3~L T 0A 0~0=+A L A 116~[~h L =⨯2~h 3~h 4~h 5~h 6~h 0~~~)~(4211=--=h h h L F 0~~~)~(5322=+-=h h h L F 0~~~)~(6313=--=h h h L F 图2-2ABC则上面条件方程组可写为（2-2-2） 一般而言，如果有n 个观测值，必要观测个数为t ，则应列出r=n-t 个条件方程，即（2-2-3）如果条件方程为线性形式，则可以直接写为（2-2-4）将代入（2-2-4）式，并令（2-2-5）则（2-2-4）式为（2-2-6）（2-2-4）或（2-2-6）式即为条件平差的函数模型。

第八章 概括平差函数模型§8.1概述在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。

若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下：（1）、条件平差：0)ˆ(=L F ，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=t n r -= （2）、间接平差：)ˆ(ˆX F L=，选函数独立未知数t u =，方程数n t r u r c =+=+= （3）、附有参数的条件平差：0)ˆ,ˆ(=X LF ，选择t u <个函数独立参数，除应列出r 个条件方程外，还要附加u 个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出u r c +=个条件方程。

（4）、附有限制条件的间接平差：)ˆ(ˆX F L =，0)ˆ(=ΦX 。

选择t u >个参数，参数间存在t u s -=个函数关系。

所以除列出n 个误差方程)ˆ(ˆX F L=（也可视为特殊形式的条件方程－参数方程形式的条件方程），还要列出s 个限制条件方程0)ˆ(=ΦX。

方程数c=n ＋s 。

由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差方法的纽带。

另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。

为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。

在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围之内： t u ≤≤0。

也就是说，在任一平差问题中，最多只能列出t u =个函数独立的参数。

在不选择参数时，一般条件方程数c 等于多余观测数t n r -=，若又选用了u 个函数独立参数，则总共应当列出u r c +=个一般条件方程。

由于t u ≤，因此一般条件方程的个数总是介于n c r ≤≤范围，即一般条件方程总数不超过n 个。

测量平差讲义第三章：平差数学模型与最小二乘原理本章阐述平差的基本概念，指出：平差数学模型不同，平差方法就不同，但其解是相同的。

平差问题是由多余观测产生的，各类数学模型共同特点是方程数少于未知数个数，所以没有唯一解，只能求特定条件下的特解。

这实际上是参数估计问题。

平差采用的特定条件是最小二乘准则，以后可证明其解符合最优估值的条件。

§3-1 测量平差概述基本概念：1、几何模型：为求某些点的坐标、高程而建立的由角度、边长、高差等观测值和坐标、高程等已知值构成的水准网、导线网、三角网。

2、必要元素是能够唯一确定一个几何模型所必要的元素。

必要元素的个数用t 来表示，通常称为必要观测数。

对于一个确定的几何模型，必要观测数t 是确定的。

t 只与几何模型有关，与实际观测值无关。

例如三角形前方交会确定一个待定点坐标，必要观测数为2，可测两个角、一边一角或两边，都可唯一确定这个几何模型。

但要注意，t 个元素之间必须不存在函数关系，否则实际个数少于t 。

3、多余观测数：设对一个几何模型观测了n 个几何元素，该模型的必要观测数为t ，则：n<t 时,几何模型不能确定，即某些几何元素不能求出。

n=t 时，虽几何模型可唯一确定，但没有检核条件。

即使有错也不能发现，可靠性为零。

测量工作中一般要求必n>t ,此时称r=n-t 为多余观测数，又称自由度。

4、条件方程：一个几何模型若有多余观测值，则观测值的正确值与几何模型中的已知值之间必然产生相应的函数关系，这样的约束函数关系式在测量平差中称为条件方程。

5、闭合差：以观测值代入条件方程，由于存在观测误差，条件式将不能满足。

测量平差中将代入后所得值称为闭合差。

测量平差任务之一，所谓消除不符值，就是合理的调整观测值，对观测值加改正数，达到消除闭合差的目的。

可见消除不符值就是消除闭合差。

§3-2 测量平差的数学模型用数学关系描述几何模型的几何关系和内在联系，称为数学模型。

经典平差函数模型的概括形式分析刘志平;张书毕;卞和方【摘要】Two generalized forms of classical adjustment models are reviewed and analyzed ,and then the third generalized form of classical adjustment models is presented based on null‐space operator .At the meantime ,it is pointed out the proposed form plays an important role in helping students understand classical adjustment models .Finally ,it is suggested that different generalized form of classical adjustment model can be introduced and discussed in the teaching practice for undergraduate because it is helpful to inspire students to investigate actively the inner‐link of different classical adjustment modes by themselves .%对经典平差函数模型的两种概括形式进行回顾和总结，基于零空间投影算子导出经典平差函数模型的第三种概括形式－等价条件平差模型，教授学生理解该概括形式平差模型的作用及特点。

提出在本科教学实践中以不同的平差模型概括形式开展课堂讨论，有利于启发学生对平差模型内在联系的自觉发现。

【期刊名称】《测绘工程》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】3页(P78-80)【关键词】经典平差模型;概括平差模型;零空间投影算子;等价条件平差模型【作者】刘志平;张书毕;卞和方【作者单位】中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室，江苏徐州 221116;中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室，江苏徐州 221116;中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室，江苏徐州 221116【正文语种】中文【中图分类】P207.2《误差理论与测量平差基础》是测绘专业的八大公共专业基础课之一，该课程教学内容受到高度重视［1－2］。