高二数学检测卷(含答案) (2)

数新高二开学摸底考试卷学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种【答案】B【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得.【详解】相同的那一本有5种可能选法，不同的一本有4312⨯=种可能选法，故共有51260⨯=种选法.故选：B.2．设随机变量()21,,(02)0.6X N P X σ~<<=，则(2)P X >=（）A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.6导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（）A ．102种B ．105种C ．210种D ．288种【答案】C【分析】先算从8名志愿者中任意选出3名的方法数，再减去甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作的方法数，即可得解.【详解】先从8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，有38A 种，其中甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作，有1237C A 种，故符合条件的选法共有312837A C A 210-=种.故选：C4．下列求导运算中错误的是（）A ．()33ln 3xx '=B ．2ln 1ln x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．1(sin ln )cos x a x a'+=+D ．()e e x x--'=-献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（）A ．25B ．12C ．15D ．3106．若的二项式展开式中2x 的系数为10，则=a （）A ．1B ．-1C ．±1D ．±2【答案】A【分析】由多项式的二项展开式的通项公式列出方程，求解即得.【详解】由5()x a +的通项公式可知二项式展开式中2x 的系数为335C a ，则得335C 10a =，解得1a =.故选：A.7．已知函数()y f x =，其导函数()y f x ='的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0∞-上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,∞+上单调递减D ．当1x =时取得最小值【答案】C【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案.【详解】由图可知，0x <时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；01x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当0x =时，()f x 有极大值，不一定为最大值；13x <<时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；当1x =时，()f x 有极小值，不一定为最小值；3x >时，()0f x '<，()f x 为减函数；综上可得只有C 正确.故选：C8．下列说法正确的序号是（）①在回归直线方程 0.812y x =-中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量 y 平均增加0.8个单位；②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得()21ni i i y bx a =--∑最小的原理；③已知X ，Y 是两个分类变量，若它们的随机变量2K 的观测值k 越大，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小；④已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()020.3P ξ<<=.A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①②④【答案】D【分析】根据回归方程的定义和性质即可判断①②；随机变量2K 的观测值越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小，即可判断③；根据正态曲线的对称性即可判断④【详解】对于①，在回归直线方程ˆ0.812yx =-中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.8个单位，故①正确；对于②，用随机误差的平方和，即()()2211ˆnni i i i i i Q y yy a bx ===-=--∑∑，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条，由于平方又叫二乘，所以这种使“随机误差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得()21ni i i y bx a =--∑最小的原理，故②正确；对于③，对分类变量X 与Y ，对它们的随机变量2K 的观测值越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③错误；对于④，随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()()()022440.50.3P P P ξξξ<<=<<=<-=，故④正确.故选：D.9．已知偶函数()2e 1ln ex ax f x +=，则下列结论中正确的个数为（）①1a =；②()f x 在()0,∞+上是单调函数；③()f x 的最小值为ln2；④方程()12f x =有两个不相等的实数根A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．10．若函数()2()e xf x x ax a =-+在区间(1,0)-内单调递减，则实数a 的取值范围是．【答案】(,1]-∞【分析】求出导数()f x '，由题意得()0f x '≤在(1,0)-上恒成立，由分离参数思想可得结果.【详解】由()2()e xf x x ax a =-+得()()()2e 2e 2x x f x x a x x x a ⎡⎤=+-'=+-⎣⎦，由于函数()2()e xf x x ax a =-+在区间(1,0)-内单调递减，即()0f x '≤在(1,0)-上恒成立，即20x a +-≥，即得2a x ≤+在(1,0)-恒成立，所以1a ≤.故答案为：(,1]-∞11．已知1021001210(32)x a a x a x a x +=++++L ，则0a =，012310a a a a a -+-++=L .【答案】10241【分析】利用赋值法分别令0x =和=1x -代入计算即可求得结果.【详解】令0x =，可得()0100121024302a =⨯+==，令=1x -，可得()()()()102100121032111a a a a -⨯+=+⨯+-+⨯-+-L ，即()1001231011a a a a a -=-+-++=L .故答案为：1024,112．从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有个.【答案】30【分析】根据题意，分0在个位与0不在个位2种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2种情况讨论：①0在个位，在剩下的4个数字中任选2个，安排在百位、个位，有24A 12=种选法，②0不在个位，需要在2、4中选1个，个位有2种选法，0不能在首位，则首位有3种选法，则十位有3种选法，此时有23318⨯⨯=种选法，则一共可以组成121830+=个无重复数字的三位偶数.故答案为：3013．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是.x0134ya4.34.86.7若x ，y 具有线性相关关系，且回归方程为ˆ0.95 2.6yx =+，则=a ．，若0，0，则实数k 的最大值是．三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：不喜爱喜爱合计男性90120女性25合计200附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828(1)完成22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？(2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是34，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；②设随机变量X 表示戏迷乙正确完成题的个数，求X 的分布列及数学期望．【详解】（1）补全的22⨯列联表如下：(1)求函数()f x 在2x =处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间和极值.【详解】（1）函数()32692f x x x x =-+-的定义域为R .导函数()23129f x x x =-+'.所以()2122493f =-+=-'，()3222629220f =-⨯+⨯-=，所以函数()f x 在点2x =处的切线方程为()32y x =--，即36y x =-+.（2）令()0f x '=，解得：1x =或3x =.列表得：比赛，比赛共两轮．第一轮甲、乙两人各自先从“健康安全”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加1分，没答对不加分，也不扣分．第二轮甲、乙两人各自再从“应急救援”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加2分，没答对不加分，也不扣分．已知甲答对“健康安全”题库中题目的概率为3 4，答对“应急救援”题库中题目的概率为23．乙答对“健康安全”题库中题目的概率为23，答对“应急救援”题库中题目的概率为12，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率；(2)求“冲锋队”最终得分不超过4分的概率．间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为14，14；两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列、均值()E X 、方差()D X 20．已知函数()22ln f x a x x=--，()()21ln g x ax a x x =-+-，其中a ∈R ．(1)若()20f '=，求实数a 的值(2)当0a >时，求函数()g x 的单调区间；(3)若存在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得不等式()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．。

高二周末检测卷一、选择题1.设数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +3，则数列{a n }的通项公式为（ ）.A. a n =3nB. a n =3n +1C. B. a n =3n −1D. a n =3n 2+12.数列7,9,11，···中，2n-1是数列的第（ ）项.A. n −3B. n −2C. n −1D. n3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 3，则a 6+a 7+a 8+a 9等于（ ）.A.729B.387C. 604D.854 4.已知在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1+a 4=18，a 2+a 3=12，则此数列的前8项和为（ ）.A. 514B.513C. 512D.5105. 等比数列x ，3x+3,6x+6，···的第四项等于（ ）. A. −24 B.0 C.12 D.246. 在等差数列{a n }中，a 9+a 11=10，则数列{a n }的前19项和为（ ）.A. 98B.95C.93D. 907. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2=3，则S6S 4=（ ）. A.2 B.73 C.310 D.1或28.已知a 1，a 2，b 1，b 2，b 3为实数，且-1，a 1，a 2，-4成等差数列，-4，b 1，b 2，b 3，-1成等比数列，则a 2−a 1b 2的值为（ ）.9.已知 {a n }是等比数列，a 2=2，a 5=14，则a 1a 2+a 2a 3+···+a n a n+1 =（ ）.A. 16（1−4−n ）B.16（1−2−n ）C.323（1−4−n ）D.323（1−2−n ）10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m−1=−2，S m =0，S m,+1=3，则m 等于（ ）.A. 3B.4C.5D. 611.数列11+2，11+2+3，···，11+2+3+···+n 的前n 项和为（ ）.A. 2n2n+1 B. 2nn+1 C.n+2n+1 D. n2n+112.设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2a1a n}为递减数列，则（）.A. d＜0B.d＞0C.a1d＜0D. a1d＞013.如果一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）项.A. 13B.12C.11D. 1014.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：S11＞0；●使S n＞0的最大n值为12；❍数列{S n}中的最大项为S11；⏹|a6|＞|a7|其中正确命题的个数是（）.A. 5B.4C.3D. 115.两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n和T n，且S nT n =7n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于（）.C.7914 D. 1492416.对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23{35，33{7911，43{13151719，···，已知m3的“分裂”数中有一个是333，则m为（）.A. 16B.17C.18D. 19二、填空题17.已知数列{a n}满足条件a1=1，a n−1−a n=a n a n−1，则a10= .18.对于数列{a n}，满足a1=1，a n+1=a n+1√n+1+√n，则a n= .19.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为升.20. 已知数列{a n}对任意p，q∈N∗满足a p+q=a p+a q，且a2=−6，则a10= .21.设f(x)=12x+√2，则f(−5)+f(−4)+···+f(0)+···+f(5)+f(6)= .三、解答题22.等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n−2+n，求b1+b2+b3+···+b10的值.23.已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26. （1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2a n−1，求数列{b n}的前n项和S n.24.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=1−14a n ，b n=22a n−1,其中n∈N∗.（1）求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=n·2n+1·a n，求数列{c n}的前n项和.25.已知数列{a n}的前n项和S n满足a n=1−2S n.（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）设函数f(x)=log13x，b n=f(a1)+f(a2)+···+f(a n)，求T n=1b1+1b2+···+1b n.。

2023—2024学年高二下学期教学质量检测数学试题（答案在最后）2024.07注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.一质点A 沿直线运动，位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系为221s t =+，当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为（）A.2B.4C.6D.82.若X 服从两点分布，()()100.32P X P X =-==，则()0P X =为（）A.0.32B.0.34C.0.66D.0.683.下列说法正确的是（）A.线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越大D.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于14.已知函数()23f x ax x=+的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为（）A.6B.3C.32D.345.若()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，则正整数a 的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足,a b c d >>，则满足条件的排法种数为（）abcdA.45B.60C.90D.1807.在()21*(2n n +∈N 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（）A .2131n +- B.2131n ++ C.21312n +- D.21312n ++8.已知函数()3213f x x x =-，若()e n f m n =-，则m 与n 的大小关系为（）A.m n >B.m n=C.m n< D.不能确定二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()4,2X N ~，若(6),(46)P X a P X b >=<<=，则（）A .12a b +=B.(2)P X a <=C.()218E X += D.()218D X +=10.已知曲线()y f x =在原点处的切线与曲线()y xf x =在()2,8处的切线重合，则（）A.()24f =B.()23f '=C.()04f '= D.曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a=11.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,.Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为w （万辆），其中年份对应的代码t 为15~，如表，年份代码t12345销量w （万辆）49141825根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述令变量x t t Y w w =-=-，且变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩则下列结论正确的有（）A .51521ˆiii ii x ybx===∑∑ B.51521ˆiii ii x yby===∑∑C.ˆ 5.1 1.3wt =- D.2025年的年销售量约为34.4万辆三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.A 、B 、C 、D 共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A 和B 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你和B 都没有得到冠军.”对B 说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）.13.函数()()e 211x x f x x -=-的极小值为__________.14.定义：设,X Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()11,()()n ni i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑∣∣，其中{}12,,,n x x x 为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为(01)p p <<，击中目标两次时停止射击.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数.则()2,5P ξη===__________，()E n ξη==∣__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的22⨯列联表.性别就餐人数合计南餐厅北餐厅男252550女203050合计4555100（1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？（2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.63516.由0,1,2,3这四个数组成无重复数字的四位数中.（1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）；（2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为X ，求X 的分布列与期望.17.已知函数()()1ln f x x x ax =--.（1）若2a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 的图象恒在x 轴的上方，求a 的取值范围.18.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p .（1）求证：11C C ,(kk n n k n n k --=≥，且n 为大于1的正整数)；（2）求证：()E X np =；（3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是20%，设同时发生故障的车床数为X ，记X k =时的概率为()P X k =.试比较()P X k =最大时k 的值与()E X 的大小.19.已知函数()()()2()e ,xf x x a x b a b =--∈R .（1）当1,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）若x a =是()f x 的一个极大值点，求b 的取值范围；（3）令()()exg x f x -=且12(),,a b x x <是()g x 的两个极值点，3x 是()g x 的一个零点，且123,,x x x 互不相等.问是否存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出4x ，若不存在说明理由.2023—2024学年高二下学期教学质量检测数学试题2024.07注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.一质点A 沿直线运动，位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系为221s t =+，当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令9s =求出t ，再求出函数的导函数，代入计算可得.【详解】因为221s t =+，令2219s t +==，解得2t =（负值已舍去），又4s t '=，所以2|428t s ='=⨯=，所以当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为8m /s .故选：D2.若X 服从两点分布，()()100.32P X P X =-==，则()0P X =为（）A.0.32 B.0.34C.0.66D.0.68【答案】B 【解析】【分析】利用两点分布的性质可得答案.【详解】依题意可得()()101P X P X =+==，()()100.32P X P X =-==，所以()10.3210.34.2P X -===故选：B.3.下列说法正确的是（）A.线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越大D.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1【答案】B 【解析】【分析】2R 值越大，模型的拟合效果越好可判断A ；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断B ；正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越小可判断C ；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，可判断D .【详解】对于A ：2R 值越大，模型的拟合效果越好，故A 错误；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B 正确．对于C ，正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越小，故C 错误；对于D ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故D 错误.故选：B ．4.已知函数()23f x ax x=+的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为（）A.6B.3C.32D.34【答案】C 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，分0a ≤、0a >两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可.【详解】函数()23f x ax x=+的定义域为{}|0x x ≠，又()3223232ax f x ax x x -'=-=，当0a ≤时()0f x '<恒成立，所以()f x 没有单调递增区间，不符合题意；当0a >时，323y ax =-单调递增，令()0f x ¢>，解得1332x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为133,2a ⎡⎫⎛⎫⎪⎢+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭（或133,2a ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），依题意可得13312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得32a =.故选：C5.若()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，则正整数a 的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理展开，并对n 讨论即可得到答案【详解】因为()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，所以当1n =时，46529a a ⨯+-=-，此时2925(Z)a k k =-∈，0a >，当1k =时，4a =；当2n ≥时，11224(51)54(5C 5C 5n n n n n n n a --⨯++-=⨯+⨯++⨯ 1C 51)5n n n a -+⨯++-112214(5C 5C 54()C 51)5n n n n n n n n a---=⨯+⨯++⨯+⨯⨯++- 2132425(5C 5C 25)4n n n n n n a ---=⨯+⨯++++- 213225(454C 54C )4n n n n na n ---=⨯+⨯++++- ，因此只需4a -能够被25整除即可，可知最小正整数a 的值为4，综上所述，正整数a 的最小值为4，故选：C6.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足,a b c d >>，则满足条件的排法种数为（）abcdA.45B.60C.90D.180【答案】C 【解析】【分析】分两步完成，第一步从6张卡片中任取2张卡片放入a 、b ，第二步从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入c 、d ，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】首先从6张卡片中任取2张卡片放入a 、b （较大的数放入a ）有26C 种方法；再从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入c 、d （较大的数放入c ）有24C 种方法；综上可得一共有2264C C 90=种不同的排法.故选：C7.在()21*(2n n +∈N 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（）A.2131n +- B.2131n ++ C.21312n +- D.21312n ++【答案】D 【解析】【分析】设((21212,2n n A B ++==，由二项式定理知A 与B 中的x 的整数次幂项之和相同，再利用赋值法求解.【详解】设((21212,2n n A B ++==，由二项式定理知A 与B 中的x 的整数次幂项之和相同，记作()f x ，非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消.故有())()2121222n n f x ++=++.令1x =，则所求的系数之和为()()2111312n f +=+.故选：D.8.已知函数()3213f x x x =-，若()e n f m n =-，则m 与n 的大小关系为（）A.m n >B.m n=C.m n< D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】设()e x g x x =-，利用导数先研究函数()f x 和()g x 图象性质，并得到在R 上()()g x f x >恒成立，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >，若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >.【详解】由()3213f x x x =-，()2()22f x x x x x =-=-'，当0x <或2x >时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增，当02x <<时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，4()(0)0,()(2)3f x f f x f ====-极大值极小值，且(3)0f =，设()e x g x x =-，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，则函数()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，()(0)1g x g ==极小值，设()321()()()e 33xF x g x f x x x x x ⎛⎫=-=---> ⎪⎝⎭，则2()e 12x F x x x'=--+设()2()e 123xm x x x x =--+>，则()e 22x m x x '=-+，设()()e 223xv x x x =-+>，则()e 20x v x '=->恒成立，所以()v x 在()3,∞+单调递增，3()e 2320v x >-⨯+>，即()0m x '>恒成立，所以()m x 在()3,∞+单调递增，则33()(3)e 196e 40m x m >=--+=->，即()0F x '>恒成立，所以()F x 在()3,∞+单调递增，则3()(3)e 30F x F >=->，所以在()3,∞+上()()g x f x >恒成立，在(],3-∞显然也成立，如图，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >，若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >故选：A【点睛】关键点点睛：设()e x g x x =-，利用导数得到在R 上()()g x f x >恒成立，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >；若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()4,2X N ~，若(6),(46)P X a P X b >=<<=，则（）A.12a b +=B.(2)P X a <=C.()218E X +=D.()218D X +=【答案】ABD 【解析】【分析】根据正态分布的对称性可判断A 、B ，根据正态分布定义及期望与方差的性质可判断C 、D.【详解】对于A ，因为4μ=，()()6,46>=<<=P X a P X b ，所以()()()44660.5>=<<+>=+=P X P X P X a b ，故A 正确；对于B ，因为4μ=，()()26P X P X a <=>=，故B 正确；对于C ，因为()4E X =，所以()()21219+=+=E X E X ，故C 错误；对于D ，因为()2D X =，所以()()2148D X D X +==，故D 正确.故选：ABD.10.已知曲线()y f x =在原点处的切线与曲线()y xf x =在()2,8处的切线重合，则（）A.()24f =B.()23f '=C.()04f '= D.曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a=【答案】ACD 【解析】【分析】令()()g x xf x =，求出()g x 的导函数，依题意()28=g ，即可判断A ，又曲线()y f x =在原点处的切线过点()2,8，即可得到()0f '，即可判断C ，再由()()02g f '='求出()2f '，即可判断B 、D.【详解】令()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+，依题意()()2228g f ==，解得()24f =，故A 正确；依题意可得曲线()y f x =在原点处的切线过点()2,8，所以()480200f '--==，故C 正确；又()()()()222204f fg f '='=+='，所以()20f '=，则曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a =，故B 错误，D 正确.故选：ACD11.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,.Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为w （万辆），其中年份对应的代码t 为15~，如表，年份代码t12345销量w （万辆）49141825根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述令变量x t t Y w w =-=-，且变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩则下列结论正确的有（）A.51521ˆi ii i i x ybx ===∑∑ B.51521ˆi ii i i x yby ===∑∑C.ˆ 5.1 1.3wt =- D.2025年的年销售量约为34.4万辆【答案】AC 【解析】【分析】利用线性回归方程待定系数公式()()()51521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，再由变量的线性代换关系进行计算，最后恒过样本点(),x y ，就可得到线性回归方程.【详解】由i i x t t =-可得：()551111055i i i i x t t t t ===-=-=∑∑，同理由i i y ωω=-，可得()551111055i i i i y ωωωω===-=-=∑∑，根据公式()()()55511155522221115ˆ5iii ii ii i i iii i i i x x y y x y x y x ybx x xxx======---===--∑∑∑∑∑∑，故A 正确；B 错误；由表格中数据可得：3,14t ω==，()()5551115i iii i i i i i x y tt t t ωωωω====--=-⋅∑∑∑1429314418525531451=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=，()5552222111514916255910ii ii i i xt ttt ====-=-=++++-⨯=∑∑∑，所以5152151ˆ 5.110iii ii x ybx=====∑∑，由于0,0x y ==，所以y 与x 的回归方程必过原点，ˆ 5.1yx =，又由于3x t t t =-=-，14y ωωω=-=-代入得：()ˆ14 5.13t ω-=-，整理得：ˆ 5.1 1.3t ω=-，故C 正确；当6t =，即表示2025年，此时ˆ 5.16 1.329.3ω=⨯-=，所以2025年的年销售量约为29.3万辆，故D 错误；故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.A 、B 、C 、D 共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A 和B 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你和B 都没有得到冠军.”对B 说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）.【答案】8【解析】【分析】依题意A 、B 不在第一名且B 不在第四名，分A 在第四名与不在第四名两种情况讨论.【详解】依题意A 、B 不在第一名且B 不在第四名，若A 在第四名，先排B 到第二、三名中的一个位置，另外两个人全排列，所以有1222A A 4=种排列；若A 不在第四名，则先排A 、B 到第二、三名两个位置，另外两个人全排列，所以有2222A A 4=种排列；综上可得这4人的名次排列有448+=种.故答案为：813.函数()()e 211x x f x x -=-的极小值为__________.【答案】324e【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值.【详解】函数()()e 211x x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠，又()()()2e 231x x xf x x -'=-，所以当0x <或32x >时()0f x ¢>，当01x <<或312x <<时()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-，3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1，31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在32x =处取得极小值，即极小值为32323e 21324e 3212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭-.故答案为：324e14.定义：设,X Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()11,()()n ni i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑∣∣，其中{}12,,,n x x x 为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为(01)p p <<，击中目标两次时停止射击.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数.则()2,5P ξη===__________，()E n ξη==∣__________.【答案】①.32(1)p p -②.2n ##12n 【解析】【分析】根据相互独立事件的乘法公式求()2,5P ξη==，求出()P n η=、(),P i n ξη==，即可求(|)E n ξη=.【详解】由题意，事件“2,5ξη==”表示该射击手进行5次射击且在第二次、第五次击中目标，所以()322,5(1)(1)(1)(1)P p p p p p p p ξη===-⋅⋅-⋅-⋅=-，又122221()C (1)(1)(1)n n n P n p p n p p η---==-=--，()()221n P i n p p ξη-===-，()1,2,,1i n =- ，所以()()()()()222211121(1)(11,)|n n i n n p p P i n E p n i P n p n ξηξηη-=--⎡⎤+++--⎡⎤==⎣⎦==⨯=⎢⎥=⎢⎥⎣--⎦∑ 122 (1111)n n n n -=++++---1(1)1122n n n ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭==.故答案为：32(1)p p -；2n【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给公式理解并准确的应用.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的22⨯列联表.性别就餐人数合计南餐厅北餐厅男252550女203050合计4555100（1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？（2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.635【答案】（1）答案见解析（2）15【解析】【分析】（1）求出2χ值，与2.706比较大小，得出结论即可；（2）运用古典概型和条件概率公式求解即可.【小问1详解】零假设为0H ：分类变量X 与Y 相互独立，即不同区域就餐与学生性别没有关联.222()100(25302025)1002.706()()()()4555505099n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯===<++++⨯⨯⨯．依据0.100α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．【小问2详解】设事件A 为“从这100名参赛学生中抽出2人，其性别为一男一女”，事件B 为“这2名学生均在南餐厅就餐”，则()11252021110025201111505050502100C C C C C ()25201C C ()C C 50505C P AB P B A P A ⨯=====⨯．故在抽出2名学生性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均在“南餐厅”就餐概率为15．16.由0,1,2,3这四个数组成无重复数字的四位数中.（1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）；（2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为X ，求X 的分布列与期望.【答案】（1）8（2）分布列见解析；7()9E X =【解析】【分析】（1）分0在个位、0在十位和0在百位三类求解；（2）由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X 可能的取值分别为0，1，2，求出其分布列，并利用期望公式求解.【小问1详解】两个奇数相邻的无重复数字的四位数有如下三种情况：①0在个位上时有2222A A 4=个四位数，②0在十位上时有22A 2=个四位数，③0在百位上时有22A 2=个四位数，所以满足条件的四位数的个数共有4228++=个．【小问2详解】由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X 可能的取值分别为0，1，2，则1333884(0)C A 189P X ====，133361(1)C A 3P X ===，333142(2)C A 9P X ===，X ∴的分布列为X 012P491329期望为4127()0129399E X =⨯+⨯+⨯=．17.已知函数()()1ln f x x x ax =--.（1）若2a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 的图象恒在x 轴的上方，求a 的取值范围.【答案】（1）20x y +=（2）a<0【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）将问题转化为()(1)ln 0f x x x ax =-->恒成立，则(1)ln x xa x-<在,()0x ∈+∞上恒成立，构造函数(1)ln ()x xF x x-=，利用导数求出其最小值即可.【小问1详解】由2a =，则()(1)ln 2f x x x x =--，,()0x ∈+∞，(1)2f =-，()1ln 1f x x x'=--，代入1x =得(1)2f '=-，所以()f x 在(1,1)处的切线方程为20x y +=．【小问2详解】由()f x 图象恒在x 轴上方，则()(1)ln 0f x x x ax =-->恒成立，即(1)ln x xa x-<在,()0x ∈+∞上恒成立，令(1)ln ()x xF x x-=，即min ()a F x <，21ln ()x xF x x -+'=，令()1ln g x x x =-+，则1()10(0)g x x x'=+>>，所以()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数且(1)0g =．所以当(0,1)x ∈时，()0F x '<，()F x 在(0,1)单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增；所以(1)0F =为函数()F x 的最小值，即()(1)F x F ≥．所以综上可知a<0．18.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p .（1）求证：11C C ,(kk n n k n n k --=≥，且n 为大于1的正整数)；（2）求证：()E X np =；（3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是20%，设同时发生故障的车床数为X ，记X k =时的概率为()P X k =.试比较()P X k =最大时k 的值与()E X 的大小.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()P X k =最大时k 的值小于()E X 的大小【解析】【分析】（1）根据组合数公式分析证明；（2）根据二项分布结合二项式定理分析证明；（3）分析可知随机变量~(12,0.2)X B ，结合二项分布概率公式可得2k =概率最大，进而与期望对比分析.【小问1详解】左边!!C !()!(1)!()!kn n n k k k n k k n k ==⋅=---，右边11(1)!!C (1)!()!(1)!()!k n n n n n k n k k n k ---==⋅=----，所以左边=右边，即11C C k k n n k n --=；【小问2详解】由~(,)X B n p 知()C (1)k k n k n P X k p p -==-，令1q p =-由（1）知11C C k k n n k n --=可得，1111(1)11011()CC nnnk kn kk k n kk k n k nn n k k k E X kC p qn p qnp pq ----------======∑∑∑，令1k m -=，则1111()C()n mm n m n n m E X npp q np p q -----===+∑，()E X np ∴=；【小问3详解】由题意知~(12,0.2)X B ，所以()120.2 2.4E X =⨯=，要使()P X k =最大，则必有()(1)P X k P X k =≥=+，()(1)P X k P X k =≥=-，即12111312121211111212C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)k k k k k k kk k k k k -----++-⎧-≥-⎨-≥-⎩即141341121k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得81355k ≤≤，又因为*N k ∈，所以2 2.4()k E X =<=．()P X k ∴=最大时k 的值小于()E X ．19.已知函数()()()2()e ,xf x x a x b a b =--∈R .（1）当1,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）若x a =是()f x 的一个极大值点，求b 的取值范围；（3）令()()exg x f x -=且12(),,a b x x <是()g x 的两个极值点，3x 是()g x 的一个零点，且123,,x x x 互不相等.问是否存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出4x ，若不存在说明理由.【答案】（1）单调递减区间为(,-∞，，单调递增区间为(，)+∞（2）(,)a +∞（3）存在，423a bx +=【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）令2()(3)2h x x a b x ab b a =+--+--，即可判断()h x 有两个不等实根1x ，2x ，不妨设12x x <，再对1x 、2x 、a 的大小关系分类讨论，即可得到()0h a <，从而求出b 的范围；（3）求出函数的导函数，即可得到1x a =，223a b x +=，再确定3x b =，根据等差数列的定义求出4x 即可.【小问1详解】由2()()()e x f x x a x b =--得()()2(3)2e x f x x a x a b x ab b a '⎡⎤=-+--+--⎣⎦，当1a =，2b =时，()(1)(xx x f x x =--+'，令()0f x '=，解得1x =21x =，3x =所以当(,x ∈-∞或x ∈时()0f x '<，当(x ∈或)x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(,-∞，，单调递增区间为(，)+∞.【小问2详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()2(3)2e xf x x a x a b x ab b a '⎡⎤=-+--+--⎣⎦，令2()(3)2h x x a b x ab b a =+--+--，则22 (3)4(2)(1)80a b ab b a a b ∆=-----=-++>．所以()h x 有两个不等实根1x ，2x ，不妨设12x x <．①当1x a =或2x a =时，x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意；②当1x a >时，则x a <或12x x x <<时()0f x '<，当1a x x <<或2x x >时()0f x ¢>，所以()f x 在(),a -∞，()12,x x 上单调递减，在()1,a x ，()2,x +∞上单调递增，所以x a =不是()f x 的极大值点，③当2x a <时，则x a >或12x x x <<时()0f x ¢>，当2x x a <<或1x x <时()0f x '<，所以()f x 在(),a +∞，()12,x x 上单调递增，在()2,x a ，()1,x -∞上单调递减，所以x a =不是()f x 的极大值点，④当12x a x <<时，则2x x >或1x x a <<时()0f x ¢>，当2a x x <<或1x x <时()0f x '<，所以()f x 在()2,x +∞，()1,x a 上单调递增，在()2,a x ，()1,x -∞上单调递减，所以x a =是()f x 的极大值点．所以()0h a <，即2(3)20a a b a ab b a +--+--<，所以b a >，所以b 的取值范围(,)a +∞．【小问3详解】由2()e ()()()x g x f x x a x b -==--，知()23()3a b g x x a x +⎛⎫'=--⎪⎝⎭，由a b <，故23a b a +<，所以当x a <或23a b x +>时()0g x '>，当23a b a x +<<时()0g x '<，所以()g x 在(),a -∞，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，不妨设()g x 的两个极值点分别为1x a =，223a b x +=．因为123,,x x x 互不相等，3x 是()g x 的一个零点，所以3x b =，所以2222223333a b b a b a a b a b +--+⎛⎫-==⨯=- ⎪⎝⎭，所以存在124242232263a b a x x a b a b x +++++====，使1423,,,x x x x 成等差数列，即存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，且423a b x +=．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

河南省洛阳多校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．在空间四边形PABC 中,( )A. B. C. D.2．在空间直角坐标系Oxyz 中,点关于x 轴对称点的坐标为( )A. B. C. D.3．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作,其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图,在“阳马”中,E 为的重心,若,,,则( )A. B. C. D.4．设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则t 等于( )A.1B. C.或1D.25．已知为平面内一点,若平面的法向量为,则点到平面的距离为( )6．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )PB AB AC -+=AP PC ABAC()1,1,2A ()1,1,2-()1,1,2-()1,1,2--()1,1,2-A OBCD -ACD △AB a =AC b = AD c = BE =1122a b c-++1133a b c-++2233a b c++1133a b c-+-()1,1,0a =(),0,1b t =60︒1-1-()1,2,1A -αα()1,1,1n =-()1,1,3P -α()0,0,0A ()1,1,2B -()1,2,1C --AB AC7．已知向量,,则向量在向量上的投影向量的坐标为( ) A. B. C. D.8．在正三棱柱中,,,M为棱上的动点,N为二、多项选择题9．若是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间的一个基底的是( ) A.,, B.,,C.,,D.,,10．如图,四边形ABCD,ABEF都是边长为2的正方形,平面平面ABEF,P,Q分别是线段AE,BD的中点,则( )A.D.11．在平行六面体中,,,若,其中m,n,,则下列结论正确的为( )(2,3,0)a=-(0,3,4)b=ab1827,,01313⎛⎫- ⎪⎝⎭1827,,01313⎛⎫-⎪⎝⎭27360,,2525⎛⎫⎪⎝⎭27360,,2525⎛⎫--⎪⎝⎭111ABC A B C-2AB=1AA=2BO=11B C={},,a b ca b+a b-c a b+b c+c a+34a b-23b c-36a c-a b+a b c++2cABCD⊥//PQ DFDFQ△1111ABCD A B C D-12AB AD AA===1160DAB A AB A AD∠=∠=∠=︒1AQ mAB nAD p AA=++[0,1]p∈A.若点Q 在平面内,则B.若,则C.当D.当三、填空题12．设向量,,若,则________.13．在空间直角坐标系中,点A,B,C,M 的坐标分别是,,,,若A,B,C,M 四点共面,则________.14．如图,在三棱锥中,点G为底面的重心,点M 是线段OG 上靠近点G 的三等分点,过点M 的平面分别交棱,,于点D ,E ,F ,若,,________.四、解答题15．已知空间向量,,,.（1）求;（2）判断与以及与的位置关系.16．已知正四面体OABC 的棱长为2,点G 是的重心,点M 是线段AG 的中点.1111A B C D 1p =CQ DB ⊥m n =p =-m n +=()1,,3a m = ()4,1,0b =- a b ⊥m =O xyz -()2,0,2()2,1,0()0,4,1-()0,,5m -m =O ABC -ABC △OA OB OC OD kOA = OE mOB =OF nOC= 11m n+=11,2,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 11,,122b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 12,3,2c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 311,,24d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()a cb +⋅a b c dOBC △（1）用,,表示（2）求.17．如图,在长方体中,,,,,,分别为棱,,,的中点.（1）证明:,,,四点共面;（2）若点在棱,且平面,求CP 的长度.18．如图,四棱柱的底面ABCD 为矩形,,M 为BC 中点,平面平面ABCD ,.（1）证明:平面;（2）求二面角的平面角的余弦值.19．在三棱台中,平面ABC ,,D ,E 分别为CA ,CB 的中点.OA OB OC OMOM AB ⋅1111ABCD A B C D -2AB BC ==14AA =2A 2B 2C 2D 1BB 11B C 11C D 1DD 2A 2B 2C 2D P 1CC 1A P ⊥2222A B C D 1111ABCD A B C D -2AD AB =11AA D D ⊥11AA A D AD ==1A D ⊥11ABB A 1B A A M --111ABC A B C -1CC ⊥1122AB BC AC A B ====（1）证明:平面;（2）已知,F 为线段AB 上的动点（包括端点）.①求三棱台的体积;②求与平面所成角的正弦值的最大值.1//A B 1C DE 11BC A C ⊥111A B C ABC -1C F 11ABB A参考答案1．答案：B解析：.故选:B.2．答案：C解析：点关于x 轴对称点的坐标为.故选:C.3．答案：B解析：连接AE 并延长交CD 于点F ,因为E 为的重心,则F 为CD 的中点,且.故选:B.4．答案：C解析：因为法向量a ，b 所成的角与两平面所成的角相等或互补，所以.5．答案：B解析：,面的法向量为,则点到平面故选:B.PB AB AC PB BA AC PC -+=++=()1,1,2A ()1,1,2--ACD △23AE AF=()2211133233BE AE AB AF AB AC AD AB AC AD AB ∴=-=-=⨯+-=+- 1133a b c =-++ =1=±()2,1,4PA =- α()1,1,1n =-()1,1,3P -α6．答案：D解析：，夹角的余弦值为，夹角的正弦值为，为邻边的平行四边形的面积为.故选D.7．答案：D解析：因为,,所以,则向量在向量.故选:D.8．答案：D解析：因为正三棱柱中,有,所以O为的中点,取中点Q,连接,如图,以O为原点,,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,因为M是棱上一动点,设,且,因为所以ABACcos,AB ACAB ACAB AC⋅===⋅ABACsin,AB AC=AB ACsin,S AB AC AB AC=⋅⋅==(2,3,0)a=-(0,3,4)b=203304a b⋅=⨯-⨯+⨯=-5=ab99(0,3,4)27360,,22555525b⎛⎫---⨯=-⎪⎭=⎝111ABC A B C-2BC BO=BC11B COQ OC OA OQ(0,0,0)O A1(B-1C11B C(M a[1,1]a∈-(MA a=-=2MOMNMA===于是令,,,,又函数上为增函数,所以当,即线段故选:D.9．答案：AB解析：设,所以,无解,所以,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故A 正确;设,则,所以,无解,所以,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B 正确;因为,所以,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故C 错误;因为,所以,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D 错误.故选:AB.10．答案：AC解析：因为四边形ABCD ,ABEF 都是边长为2的正方形,平面平面ABEF ,所以,又平面平面,平面ABCD ,所以平面ABEF ,由题意知AB ,AD ,AF 两两互相垂直,以A 为坐标原点,AD ,AB ,AF 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴t =t ∈233t t t t -==-t ∈y t =-t =min 3t t ⎫-==⎪⎭MN ()=+a b a b c λμ+- =110λλμ⎧⎪=-⎨⎪=⎩a b + a b - c()()a b m b c n c a +=+++ ()a b na mb m n c +=+++ 110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩a b + b c + c a+ ()3634223a c a b b c -=-+-34a b - 23b c - 36a c - ()122a b a b c c +=++-34a b - 23b c - 36a c - ABCD ⊥AD AB ⊥ABCD ABEF AB =AD ⊂AD ⊥建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,又P ,Q 分别是线段AE ,BD 的中点,所以,,所以,,又PQ ,DF 不共线,所以,故A 正确;,,设异面直线AQ ,PF 所成角为,则,所以;由,因为所以的面积故选:AC.11．答案：ABD解析：对于选项A,若点Q 在平面内,易知有,(0,0,0)A ()0,2,0B ()2,0,0D ()0,2,2E ()0,0,2F ()0,1,1P ()1,1,0Q ()1,0,1PQ =- ()2,0,22DF PQ =-=- //PQ DF ()1,1,0AQ = ()0,1,1PF =-θcos AQ PF AQ PF θ⋅==⋅ π0,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦θ=()0,1,1PF =- ()2,0,2DF =- ====//PQ DF DFQ △12S ==⨯=1111A B C D 11111AQ A B A D AB AD λμλμ=+=+所以,又,则,故A 正确;对于选项B,由题意易得,,且,又,即,故,解得,故B 正确;对于选项C,由题易知四面体为正四面体,设在平面ABCD 内的射影为点H ,则H 为的中心,易得当所以,又,由基本不等式可知111AA AQ AB AD AA AQ λμ+==++ 1AQ mAB nAD p AA =++1p =1122cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=1()(1)(1)CQ AQ AC AQ AB AD m AB n AD p AA =-=-+=-+-+ DB AB AD =-CQ DB ⊥0CQ DB ⋅=2(1)2(1)0CQ DB m n ⋅=---=m n =1A ABD 1A ABD △AH =1A H =p =11132Q ABD ABD V S A H -=⋅⋅=△211)(1)AB n AD p AA -+-+ 222222111(1)(1)2(1)(1)2(1)2(1)m AB n AD p AA m n AB AD p m AB AA p n AD AA =-+-++--⋅+-⋅+-⋅ 24444mn p p =-+-2214444434342mn p p p mn mn ⎛⎫-+-=-+-≥- ⎪⎝⎭22m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭n p ===故选:ABD.12．答案：4解析：因为,所以,即,解得.故答案为:413．答案：6解析：由题意,得,,,又A,B,C,M 四点共面,则存在x ,,使得,即,即,解得,所以.故答案为:6./4.5解析：由题意可知,,因为D ,E ,F ,M 四点共面,所以存在实数,,使,所以,所以,所以a b ⊥0a b ⋅=1400m ⨯-+=4m =()0,1,2AB =- ()2,4,3AC =-- ()2,,7AM m =--y ∈R AM xAB y AC =+()()()2,,70,1,22,4,3m x y --=-+--224723y m x yx y -=-⎧⎪=+⎨⎪-=--⎩216x y m =⎧⎪=⎨⎪=⎩6m =22221()()33332OM OG OA AG OA AB AC ⎡⎤==+=+⨯+⎢⎥⎣⎦211222=()()333999OA OB OA OC OA OA OB OC ⎡⎤+-+-=++⎢⎥⎣⎦λμDM DE DF λμ=+()()OM OD OE OD OF OD λμ-=-+- (1)(1)OM OD OE OF kOA mOB mOC λμλμλμλμ=--++=--++(1)2929k m n λμλμ⎧--=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩11999(1)222m n λμλμ+=--++=15．答案：（1）（2）;.解析：（1）由题知,,所以.（2）因为,,所以,所以;因为,,所以,所以.16．答案：（1）（2）解析：（1）因为点M 是线段AG 的中点,点G 是的重心,所以,因为,,（2）3-a b ⊥ //c d ()1,5,0a c +=-()()111,5,0,,1322a c b ⎛⎫+⋅=-⋅-=- ⎪⎝⎭11,2,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 11,,122b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1111210222a b ⎛⎫⋅=⨯+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ a b ⊥ 12,3,2c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 311,,24d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 3121,,224c d ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ //c d 111266OM OA OB =++ OM =23-OBC △11112111112222322266OM OA OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫=+=+⨯+=++ ⎪⎝⎭ 22cos 602OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=22222111111436366618OM OM OA OB OC OA OB OA OC OB OC==+++⋅+⋅+⋅ 1111114442222436366618=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=OM =∴111()266OM AB OA OB OC OB OA ⎛⎫⋅=++⋅- ⎪⎝⎭.17．答案：（1）证明见解析（2）3解析：（1）证明:连接,,,因为,,,分别为棱,,,的中点,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,又,所以,所以,,,四点共面.（2）以C 为坐标原点,以CD,CB,所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,由,,,,,分别为棱,,,的中点,可得,,,,则,,设,即,则,221111132666OA OB OA OB OB OC OA OC =⋅-++⋅-⋅11111224422326663=⨯-⨯+⨯+⨯-⨯=-22B C 11B D 22A D 2A 2B 2C 2D 1BB 11B C 11C D 1DD 1122//D B D A 2112B A D D =2112A B D D 1122//B D A D 1122//B D B C 2222//B C A D 2A 2B 2C 2D 1CC 2AB BC ==14AA =2A 2B 2C 2D 1BB 11B C 11C D 1DD ()20,2,2A ()20,1,4B ()21,0,4C ()12,2,4A ()220,1,2B A =- ()221,1,0C B =-()04CP t t =≤≤()0,0,P t ()12,2,4A P t =---由平面,故,即,解得,所以.18．答案：（1）证明见解析解析：（1）证明:因为底面ABCD 是矩形,所以,又平面平面ABCD ,平面平面,平面ABCD ,所以平面,又平面,所以,因为,所以,所以,又,,平面,所以平面;（2）取AD 的中点O ,连接,因为,所以,又平面平面ABCD ,平面平面,平面,所以平面ABCD ,连接OM ,又底面ABCD 为矩形,所以,所以OM ,AD ,两两互相垂直,以O 为坐标原点,,,为x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,设,则,,,,所以,,.由（1）知平面,所以是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为,则1A P ⊥2222A B C D 12212200A P B A A P C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()2240t ---=3t =3CP =AB AD ⊥11AA D D ⊥11AA D D ABCD AD =AB ⊂AB ⊥11AA D D 1A D ⊂11AA D D 1AB A D ⊥11AA A D AD ==22211AA A D AD +=11AA A D ⊥1AA AB A = 1AA AB ⊂11ABB A 1A D ⊥11ABB A 1AO 11A A A D =1AO AD ⊥11AA D D ⊥11AA D D ABCD AD =1A O ⊂11AA D D 1A O ⊥OM AD ⊥1OA OM OD 1OA1AB =()0,1,0A -()0,1,0D ()10,0,1A ()1,0,0M ()10,1,1AA = ()10,1,1A D =- ()1,1,0AM =1A D ⊥11ABB A 1A D11ABB A 1A AM (),,n x y z =,令,则.设二面角的平面角为由图可知二面角的平面角为锐角,所以二面角19．答案：（1）证明见解析解析：（1）证明:设交于点G ,连接EG ,如图,在三棱台中,,,又D 为AC 的中点,所以,,四边形是平行四边形,G 为的中点.又E 为BC 的中点,所以,又平面,平面,10n AA y z n AM x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1x =()1,1,1n =- 1B A A M --θ11cos A D n A D n θ⋅===⋅1B A A M --1B A A M --1AC 1C D 111ABC A B C -11//A C AC 1112A C AC =11//A C DC 11A C DC =11A C CD 1AC 1//EG AB EG ⊂1C DE 1A B ⊄1C DE所以平面.（2）①连接BD ,因为平面ABC ,且平面,所以平面平面,因为,D 为CA 的中点,所以,又平面平面,平面,所以平面,由平面,所以,又,,,平面,所以平面,由平面,所以,故四边形为菱形,,所以三棱台②如图所示建立平面直角坐标系,则,,,,不妨设,则,,设平面的一个法向量为,则,得,令,可得,设与平面所成角为,则所以与平面1//A B 1C DE 1CC ⊥1CC ⊂11AA C C ABC ⊥11AA C C AB BC =BD AC ⊥ABC 11AA C C AC =BD ⊂ABC BD ⊥11AA C C 1A C ⊂11AA C C 1BD A C ⊥11BC A C ⊥1BC BD B = 1BC BD ⊂1BDC 1A C ⊥1BDC 1DC ⊂1BDC 11A C DC ⊥11A C CD 11CC =111A B C ABC -1⨯=()10,0,1C ()11,0,1A ()B FA BA λ=()2,0F λ-()12,1C F λ=-- 11ABB A (),,n x y z =100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩1y =n = 1C F 11ABB A θ1sin cos ,n C F θ==≤=1C F 1ABB A。

漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将答题卡交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.曲线在原点处的切线斜率为（ ）A. B.0C. D.12.某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）相关系数 相关系数 相关系数 相关系数A. B.C. D.3.已知事件，相互独立，且，，那么（ ）A.0.12B.0.3C.0.4D.0.754.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.45.在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ）A.0.56B.0.66C.0.76D.0.86sin y x =1-cos11r 2r 3r 4r 24310r r r r <<<<24130r r r r <<<<42130r r r r <<<<42310r r r r <<<<A B ()0.3P A =()0.4P B =(|)P A B =(1,0,2)a =r (2,1,2)b =--r (0,1,)c λ=r a r b r c rλ=AI AI A B C A B C A B C 0.40.40.26.设函数在附近有定义，且，，，为常数，则（ ）A.0B. C. D.7.若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。

2024年下学期10月阶段检测高二年级数学试卷（答案在最后）时量：120分钟满分150命题：高二数学备课组审定：高二数学备课组一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）1.命题“对x ∀∈R ，都有sin 1x ≤”的否定为（）A.对x ∀∈R ，都有sin 1x >B.对x ∀∉R ，都有sin 1x >C.x ∃∈R ，使得sin 1x >D.x ∃∉R ，使得sin 1x >【答案】C 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再直接写出否定即可.【详解】命题“对x ∀∈R ，都有sin 1x ≤”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求否定是：x ∃∈R ，使得sin 1x >.故选：C.2.已知4cos 5θ=-，(0,π)θ∈，则πcos()2-=θ（）A.35B.45C.35-D.34-【答案】A 【解析】【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案；【详解】由诱导公式得πcos()sin 2-=θθ，又由(0,π)θ∈，可得3sin 5θ==．故选：A .3.设复数z 满足|1|2z -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（）A.22(1)2x y -+=B.22(1)2x y +-= C.22(1)4x y -+= D.22(1)4x y +-=【答案】C 【解析】【分析】i z x y =+2=，两边平方得到答案.【详解】i z x y =+，则()|1|2|1i |2z x y -=⇒-+=，2=，故22(1)4x y -+=.故选：C4.若函数()()f x x ∈R 是奇函数，函数()()g x x ∈R 是偶函数，则（）A.函数()()f g x 是奇函数B.函数()()g f x 是奇函数C.函数()()⋅f x g x 是奇函数D.函数()()f x g x +是奇函数【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，函数()()f x x ∈R 是奇函数，函数()()g x x ∈R 是偶函数，A 选项，()()()()f g x f g x -=，所以()()f g x 是偶函数，A 选项错误.B 选项，()()()()()()g f x g f x g f x -=-=，所以函数()()g f x 是偶函数，B 选项错误.C 选项，()()()()f x g x f x g x -⋅-=-⋅，所以函数()()f x g x ⋅是奇函数，C 选项正确.D 选项，()()()()f x g x f x g x -+-=-+，所以函数()()f x g x +是非奇非偶函数，D 选项错误.故选：C5.正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是（）A.(0,)+∞B.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.)+∞ D.,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题意设出底面边长，列出关于,k a 的不等式求解即可.【详解】设正四棱锥的底面边长为a ，正四棱锥的高为h ，侧棱长度为l ，则2l ka a ==>，解得2k >，所以k的取值范围是,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.6.已知(),2,0A P 为圆22:1O x y +=上的动点，且动点Q 满足：OP OA OQ =+，记Q 点的轨迹为E ，则（）A.E 为一条直线B.E 为椭圆C.E 为与圆O 相交的圆D.E 为与圆O 相切的圆【答案】D 【解析】【分析】设Q 点坐标为(),x y ，设0,0，由OP OA OQ =+，可得002x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆O 方程，可得到Q 点的轨迹E 的方程，即可判断轨迹E 是圆，圆E 为与圆O 相切.【详解】设Q 点坐标为(),x y ，设0,0，由OP OA OQ =+ ，可得OQ OP OA =-，则()()()()0000,,2,02,x y x y x y =-=-，所以002x x y y =-⎧⎨=⎩，即002x x y y =+⎧⎨=⎩，把()2,P x y +代入圆22:1O x y +=，则Q 点的轨迹E 的方程为：22(2)1x y ++=，即E 是圆心为()2,0-，半径为1的圆，则2OE =，由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即E 为与圆O 相切的圆.故选：D.7.集合{}6,2,3A =-，集合{}7,1,2B =-，从A ，B 中各任意取一个数相加为a ，则直线1:430l x ay +-=与直线2:440l ax y ++=平行的概率为（）A.19B.49 C.13D.29【答案】B【解析】【分析】首先根据直线平行，求a 的值，再利用古典概型概率公式，即可求解.【详解】从A ，B 中各任意取一个数相加，有339⨯=种情况，当直线12l l //，则4344a a -=≠，则4a =±，当4a =时，从,A B 中取一个数相加为4a =的有22,31++，2种情况，当4a =-时，从,A B 中取一个数相加为4a =-的有62,37-+-，2种情况，所以满足条件的有4种情况，所以满足条件的概率49P =.故选：B8.已知()()2,0,,(0,0)P a Q b ab a b ->>，动圆222()()(0)x a y b r r -+-=>经过原点，且圆心在直线22x y +=上．当直线PQ 的斜率取最大值时，r =（）A.3B.3C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解.【详解】由题意可得，222,22a b r a b +=+=，直线PQ 的斜率为2PQ abk a b=+．因为()212112122192552222a b b a a b ab a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即23a b ==时，等号成立，所以229ab a b ≤+，即当直线PQ 的斜率取最大值时，23a b ==，所以22289r a b =+=，故223r =．故选：B ．二，多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分．选错得0分，部分选对得部分分）9.下列说法正确的是（）A.310x y ++=的倾斜角为120B.方程21y k x -=+与方程()21y k x -=+可表示同一直线C.经过点()2,1P ，且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=D.过两点()()111222P x y P x y ，，，的直线都可用方程()()()()211211x x y y y y x x --=--表示【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：先求斜率，进而可得倾斜角；对于B ，注意区分方程21y k x -=+与方程()21y k x -=+的不同之处，对于C ：设直线l ：()12y k x -=-，进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D ：根据两点式方程的变形进行判断即可.【详解】对于选项A 310x y ++=的斜率3k =-120 ，故A 正确；对于B ，21y k x -=+表示过点()1,2-斜率为k 的直线，但不含点()1,2-，而()21y k x -=+表示过点()1,2-斜率为k 的直线，且含点()1,2-，故B 错误；对于C ：经过点()2,1P ，斜率存在，设直线为()12y k x -=-，若在x ，y 轴上截距互为相反数，则11220k k -+-=，解得12k =或1k =，所以直线方程为20x y -=或10x y --=，故C 错误；对于D ，方程()()()()211211x x y y y y x x --=--为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点1,1、2,2的直线，故D 正确；故选：AD.10.已知函数()22(),0,,0,x a x f x x x ⎧-<=⎨-≥⎩下列命题正确的是（）A.()f x 的值域为RB.若0a =，则()f x 为奇函数C.若()f x 只有一个零点，则a 的取值范围为[)0,+∞D.若()f x 在R 上单调递减，则a 的取值范围为[)0,+∞【答案】BCD 【解析】【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可.【详解】当0a >时，0x <时，()2f x a >，0x ≥时，()0f x ≤，所以()f x 的值域不为，A 错误.若0a =时，()22,0,,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩图象如图，由图可知()f x 为奇函数，B 正确.当0a <时，x a =时，()0f x =，0x =时，()0f x =，()f x 有两个零点，当0a =时，0x a ==时，()0f x =，()f x 只有一个零点，当0a >时，0x <时，()2f x a >，0x =时，()0f x =，0x >时，()0f x <，()f x 只有一个零点，所以，若()f x 只有一个零点，则a 的取值范围为[)0,∞+，C 正确.若()f x 在上单调递减，则0x <时，()2()f x x a =-在(,0)-∞上单调递减，则有0a ≥，即a 的取值范围为[)0,∞+，D 正确.故选：BCD11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1DD 的中点，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥111B A D P -的体积为定值B.直线1//B E 平面1A BDC.当11A P AC ⊥时，1A P AC ⊥D.直线1B E 与平面11CDD C 所成角的正弦值为23【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，将三棱锥111B A D P -转换成111P A B D -后易得其体积为定值；对于B ，建系后，证明1B E与平面1A BD 的法向量不垂直即可排除B 项；对于C ，设出(,,0)P m n ，利用110AC A P ⋅=证得m n =，再计算1AC A P ⋅，结果不为0，排除C 项；对于D ，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】对于A ，如图1，因111111111111113326B A D P P A B D A B D V V S --==⨯=⨯= ,故A 正确；对于B ，如图2建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,0,)2D B A BE ,于是，111(1,1,0),(1,0,1),(1,1,2DB DA B E ===--- ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z = ，则10n DB x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可取(1,1,1)n =--r ，由1111(1,1,1)(1,1,)110222n B E ⋅=--⋅---=-++=≠ 知n 与1B E 不垂直，故直线1B E 与平面1A BD 不平行，即B 错误；对于C ，由上图建系，则1(0,1,1)(1,0,0)(1,1,1)AC =-=- ,(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)AC =-=-,因P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点,不妨设(,,0)P m n ，则,[0,1]m n ∈，1(1,,1)A P m n =--，由题意，11(1,1,1)(1,,1)110AC A P m n m n n m ⋅=-⋅--=-+-=-=，即m n =，于是(,,0)P m m ，此时1(1,1,0)(1,,1)110AC A P m m m m ⋅=-⋅--=-+=≠ ，故1A P 与AC不垂直，即C 错误；对于D ，由图知平面11CDD C 的法向量可取为(1,0,0)m = ，因11(1,1,)2B E =---，设直线1B E 与平面11CDD C 所成角为θ，则111||12sin |cos ,|33||||12B E m B E m B E m θ⋅=<>===⋅⨯ ，故D 正确.故选：AD.三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）12.函数()()ln 31e x f x x =+-的定义域为______.【答案】(]3,0-【解析】【分析】求使式子有意义的实数x 的集合即可.【详解】要使函数解析式有意义，则有301e 0xx +>⎧⎨-≥⎩，即30x x >-⎧⎨≤⎩，解得30x -<≤，故函数()f x 的定义域为(]3,0-.故答案为：(]3,0-.13.已知梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，22AB CD ==，4=AD ，点P 在线段BC 上，则PA PB⋅ 的最小值为______.【答案】117-【解析】【分析】建立平面直角坐标系，先求直线BC 方程，设点P 后利用坐标运算可得.【详解】如图，由题意以AB ，AD 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,4D ，()1,4C ，设BC 构成的一次函数为y kx b =+，代入()2,0B ，()1,4C ，得204k b k b +=⎧⎨+=⎩，得48k b =-⎧⎨=⎩，即84y x =-，因点P 在线段BC 上，可设(),84P x x -，其中12x ≤≤，则(),48PA x x =-- ，()2,48PB x x =--，()()22248176664PA PB x x x x x ⋅=--+-=-+ ，因12x ≤≤，故当3317x =时取最小值为117-.故答案为：117-14.已知点()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，直线()0y ax b a =+>将ABC V 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是______.【答案】()2【解析】【分析】先求得直线y ax b =+（0a >）与x 轴的交点为,0b M a ⎛⎫-⎪⎝⎭，由0b a -<可得点M 在射线OA 上.求出直线和BC 的交点N 的坐标，①若点M 和点A 重合，求得23b =；②若点M 在点O 和点A 之间，求得213b <<；③若点M 在点A 的左侧，求得223b <<.再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得结果.【详解】由题意可得，三角形ABC 的面积为1142422AB OC ⋅⋅=⨯⨯=，由于直线()0y ax b a =+>()0a >与x 轴的交点为,0b M a ⎛⎫-⎪⎝⎭，由直线()0y ax b a =+>将ABC V 分割为面积相等的两部分，可得0b >，故0ba-<，故点M 在射线OA 上，设直线y ax b =+和BC 的交点为N ，则由2y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为22,11b a b a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故()1,1N ，把A 、N 两点的坐标代入直线y ax b =+，求得12,33a b ==.②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时23b >，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于2，即122N MB y ⋅⋅=，即122221b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得2401b a b=>-，求得1b <，故有213b <<.③若点M 在点A 的左侧，则23b <，由点M 的横坐标2b a -<-，求得2b a >.设直线y ax b =+和AC 的交点为P ，则由2y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为22,11b a b a a --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于2，即()1222N P b x x -⋅-=，即()122b -⋅2211b b a a ---+-2=，化简可得()22221b a -=-，由于此时01a b <<<，所以()22222122b a a -=-=-，两边开方可得2b -=<，所以2b >，故有223b -<<.综上可得b 的取值范围应是()2.故答案为：()2-.【点睛】关键点点睛：根据直线与三角形的交点位置分类讨论，利用三角形的面积求得等式，根据不等式性质求解即可，要注意讨论的完整性.四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）15.在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，BC 边上的高AD 所在直线的方程为220x y -+=，A ∠的平分线所在直线的方程为0y =，点B 的坐标为()1,3.（1）求直线BC 的方程；（2）求直线AC 的方程及点C 的坐标.【答案】（1）250x y +-=（2）直线AC 的方程为：2y x =--，(7,9)C -【解析】【分析】（1）根据垂直的位置关系，算出直线BC 的斜率为2-，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线BC 的方程；（2）由BC 边的高所在直线方程和0y =，解出(2,0)A -，从而得出直线AB 的方程．由直线AC 、AB 关于直线0y =对称，算出AC 方程，最后将AC 方程与BC 方程联解，即可得出点C 的坐标．【小问1详解】由于AD 所在直线的方程为220x y -+=，故AD 的斜率为12，BC 与AD 互相垂直，∴直线BC 的斜率为2k =-，结合()1,3B ，可得BC 的点斜式方程：32(1)y x -=--，化简整理，得250x y +-=，即为所求的直线BC 方程．【小问2详解】由220x y -+=和0y =联解，得(2,0)A -由此可得直线AB 方程为：023012y x -+=-+，即2y x =+，AB ，AC 关于角A 平分线x 轴对称，∴直线AC 的方程为：2y x =--，直线BC 方程为25y x =-+，∴将AC 、BC 方程联解，得7x =，9y =-，因此，可得C 点的坐标为(7,9)-．16.在三角形ABC 中，内角A B C ､､所对边分别为a b c ､､，已知πsin cos 6a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角A 的大小；（2）若2c b =，三角形ABC 的面积为3，求三角形ABC 的周长.【答案】（1）π3（2）2【解析】【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得πsin cos 6a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出tan A =，即可求出A .(2)由三角形的面积公式可得4bc =，结合2c b =及余弦定理即可求出a ，即可得出结果.【小问1详解】由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin a B b A =，所以πsin cos 6b A b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以π1cos sin 6sin c 22os A A A A ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭=，整理得sin A A =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A >，因此cos 0A >，所以sin tan cos A A A ==所以π3A =.【小问2详解】由ABC V 的面积为233，得123sin 23bc A =，解得83bc =，又2c b =,则b =c =.由余弦定理得22216482cos 4333a cb bc A =+-=+-=，解得2a =，b c +=，所以ABC V 的周长为2+.17.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“2X ≥”的事件概率．【答案】（1）415；（2）1725.【解析】【分析】（1）根据古典概型分别求出甲、乙选中3号歌手的概率；利用()()()P AB P A P B =⋅求得结果；（2）根据()()()223P X P X P X ≥==+=，分别求解出两人选择3号歌手和三人选择3号歌手的概率，加和得到结果.【详解】（1）设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”则()122323C P A C ==，()243535C P B C == 事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立则AB 表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”()()()()()22413515P AB P A P B P A P B ∴=⋅=⋅-=⨯=⎡⎤⎣⎦即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是415（2）设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则()243535C P C C ==依题意，A ，B ，C 相互独立，A ，B ，C 相互独立，且ABC ，ABC ，ABC ，ABC 彼此互斥()()()()23222313333235535535575P X P ABC P ABC P ABC ∴==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()23318335575P X P ABC ===⨯⨯=()()()331817223757525P X P X P X ∴≥==+==+=故“2X ≥”的事件的概率为1725【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，关键是能够利用古典概型分别求解出符合题意情况的概率，属于基础题.18.如图，已知圆22:430C x y y +-+=，动点()(),1R P m m -∈，过点P 引圆的两条切线，切点分别为,A B ．（1）求证：直线AB 过定点；（2）若两条切线,PA PB 与x 轴分别交于,E F 两点，求PEF !的面积的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）先求出A ，B 在以PC 为直径的圆上，再求出以PC 为直径的圆M 的方程，最后由两个圆求出公共弦即可；（2）先考虑一条切线斜率不存在的情况，求出面积，再考虑斜率都存在的情况下求出面积，最后得到面积的最小值即可.【小问1详解】由题知，圆的标准方程为()2221x y +-=，所以圆心()0,2C ，半径1r =，因为,PA PB 是圆C 的两条切线，所以PA CA ⊥，PB CB ⊥，所以A ，B 在以PC 为直径的圆上，又因为29PC m =+PC 的中点为1,22m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以以PC 为直径的圆M 的方程为22219224m m x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得2220x y mx y +---=，所以AB 为圆C 与圆M 的公共弦，所以直线AB 的方程为350mx y -+=，令0350x y =⎧⎨-+=⎩，解得053x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线AB 过定点50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】当PA ，PB 有一条斜率不存在，即1m =±时，不妨设PA 的斜率不存在，则直线PA 的方程为=1x -，此时()1,0E-，()1,1P --，设直线PB 的方程为()311y k x +=+，由圆心()0,2到PB的距离1d ==，解得343k =，所以直线PB 的方程为4310x y -+=，所以1,04F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时34||EF =，1331248PEF S =⨯⨯= ；同理PB 斜率不存在时38PEF S =△；当PA ，PB 斜率均存在，即1m ≠±时，设过点()(),11P m m -≠±的切线方程为()1y k x m +=-，即10kx y km ---=，因为PA ，PB 与圆C 相切，所以圆心C到直线的距离1d ==，即()221680m k mk -++=，()222363214320m m m ∆=--=+>，设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12261m k k m -+=-，12281k k m =-，又点E 在直线()11y k x m +=-上，点F 在直线()21y k x m +=-上，11E x m k =+，21F x m k =+，所以121212121111E F k k EF x x m m k k k k k k -=-=+--=-=而1221k k m -=-，所以221841m EF m -==-．又因为R m ∈且1m ≠±，所以当0m =时，min 2EF =，此时11224PEF S =⨯= ．综上，PEF !面积的最小值为24．【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将面积问题转化为EF 最小的问题，进而转化为斜率的问题，进而应用韦达定理解决.19.在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(),,u a b c =，点()0000,,P x y z .若直线l 以u 为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为()0000x x y y z z abc a b c---==≠；若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.（1）已知直线l 的标准式方程为1111x x -+==，平面1α50y z +-+=，求直线l 与平面1α所成角的余弦值；（2）已知平面2α的点法式方程可表示为2310x y z ++-=，平面外一点()1,2,1P ，求点P 到平面2α的距离；（3）（i ）若集合{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积：（ii ）若集合{(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.记集合N 中所有点构成的几何体为T ，求几何体T相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小【答案】（1）5（2）7（3）（i ）16，（ii ）2π3【解析】【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可；（2）先计算平面法向量，找到平面上一点A ，然后利用向量的投影计算即可；（3）（i ）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii ）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内的图象，得到其二面角为钝角.【小问1详解】由题可知，直线l的一个方向向量坐标为()1,m = ，平面1α的一个法向量为)1n =- ，设直线l 与平面1α所成角为β，则有1sin 5m n m n β⋅=== ，所以126cos ,sin 55ββ==，直线l 与平面1α所成角的正弦值为265.【小问2详解】由题可知平面2α的法向量为()22,3,1n = ，且过点()0,0,1A ，因为()1,2,1P ，所以()1,2,0AP = ，所以点P 到平面2α的距离为227n AP n ⋅== .【小问3详解】（i ）建立空间直角坐标系，先分别画平面2,0,02,0,02,0,02,0,011x y x y x y x y x y x y x y x y z z +=>>⎧⎪-=><⎪⎪-+=⎨--=<<⎪⎪=⎪=-⎩，然后得到几何体S 为几何体S是底面边长为的正方形，高为2的长方体，故几何体S的体积为216=，（ii ）由（i ）可知，{(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤的图象是一个完全对称的图象，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，此时0,0,0x y z >>>，得(){},,2,2,2,0,0,0N x y z x y y z z x x y z =+≤+≤+≤>>>∣，画出第一卦限图象，显然其二面角为钝角，计算平面2,2x y y z +=+=得二面角，所以两个平面的法向量分别为()()231,1,0,0,1,1n n == ，所以其二面角的余弦值为232312n n n n ⋅-=- ∣，所以二面角为2π3.【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可.。

天津市第四十七中学2023—2024第二学期高二年级第二次阶段性检测 数学试卷一、选择题（每题5分，共45分）1．设集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知a 、b 、，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A ．B ．C ．D ． 4．下列说法中正确的个数为（）个①对立事件一定是互斥事件；②在经验回归直线方程中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量减少0．1个单位；③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1；④在回归分析棋型中，若相关指数越小，则残差平方和越大，棋型的拟合效果越好．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．若，则（ ）A ．B ．1 CD ．{}2{2},340A xx B x x x =>-=+-≤∣∣A B = (,1]-∞[4,2)--(2,1]-[1,)+∞c ∈R a b =22ac bc =()y f x =()f x e 1()e 1x x f x +=-e 1()e 1x x f x -=+()f x =()f x =ˆ0.110y x =+ˆy2R 1()f x x x=-0.550.5log 2,log 0.2,0.5a b c -===()()()f b f a f c <<()()()f c f b f a <<()()()f b f c f a <<()()()f a f b f c <<23,35,54a b c ===4log ()abc =2-127．已知随机变量X 服从正态分布，且，则等于（）A ．0．14B ．0．36C ．0．72D ．0．868．8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设定义在上的函数与，若，且为奇函数，设的导函数为，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．是奇函数B ．函数的图象关于点对称C ．D ．点（其中）是函数的对称中心二、填空题（每题5分，共30分）10．在的展开式中，项的系数为__________．（用数字作答）11．分别从0，2，4和1，3，5中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数有_____个．12．公差大于零的等差数列中，成等比数列，若，则________．13．已知，则的最小值为__________．14．某学校有A ，B 两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A 餐厅和选择B 餐的概率均为．如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为，则某同学第2天去A 餐厅用餐的概率为假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X 为该班3名同学中第2天选择B 餐厅的人数，则随机变量X 的均值_________．15．设，函数，若函数恰有4个学点，则数a 的取值范围为__________．三、解答题（共75分，需写出必要的文字说明、推理过程或计算步臻，只有结果的不给分）16．（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，，F 为线段PA 上一()22,N σ(1.52)0.36P x ≤<=( 2.5)P x >()||f x x x =[0,)x ∈+∞()214()f x x f x α-+≥(0,2](,2]-∞[0,)+∞(,0]-∞R ()f x ()g x (2)(1)2,()(1)2f x g x f x g x +--==++(1)g x +()g x ()g x '()f x ()g x '(1,0)20231()0k g k ==∑(2,2)k k ∈Z ()f x 322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x {}n a 5311,a a 25a =37a a +=2,0a b >>42a ab b+-123545()E X =a R ∈22||,0()54,0x a x f x x x x +<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩()||y f x ax =-90ADC BAD ∠=∠=︒点，，四边形PDCE 为矩形．（I ）若F 是PA 的中点，求证：平面DEF ；（Ⅱ）求直线AE 与平面BCP 所成角的正弦值；（Ⅲ）若点F 到平面BCP的距离为，求PF 的长．17．（本小题满分15分）2024年世界羽联赛已经开始，同时，也是奥运年，4年一度最精彩赛事即将来临！为了激发同学们的奥运精神，某校组织同学们参加羽毛球比赛，若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（I ）求甲以的比分获胜的概率；（Ⅱ）设X 表示比赛结束时进行的总局数，求X 的分布列及数学期望．18．今年是中国共产党建党103周年，为庆祝中国共产党成立103周年，某高中决定开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了选修历史和不选修历史各50人作为样本，设事件“获奖”，“选修历史”，据统计．统计100名学生的获奖情况后得到如下列联表：获奖没有获奖合计选修历史没有选修历史合计0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：（I ）完成上面列联表，并依据的独立性检验，能否有把握推断认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科有关”；（结果保留三位小数）112PD AB AD CD ====AC ∥1623133:1A =B =12(,()53P AB P B A ==∣∣αx α22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++22⨯0.05α=95%（Ⅱ）从选历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望．19．（本小题满分15分）已知等差数列，满足，正项数列的前n 项和为，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求（Ⅲ）在之间插入1个数，使成等差数列，在之间插入2个数，使成等差数列，……；在之间插入n 个数，使成等差数列①求；②求20．（本小题满分16分）已知函数．（I ）讨论的单调区间；（Ⅱ）当时，令．①证明：当时，；②若数列满足，证明：．天津市第四十七中学2023-2024（二）高二年级第二次月考数学试卷答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D9 ．D二、填空题（本大题共6小题．每题5分共30分）10．6 11．180 12．28 13．6 14．， 15．三、解答题16．（本小题满分14分）ξ{}n a 14591,a a a a =+={}n b n S 31n n S =-{}n a {}n b ()2*121(1)(1)nkk k k a n k k =⎡⎤++-∈⎢⎥⋅+⎣⎦∑N 12,b b 11c 1112,,b c b 23,b b 2122,c c 221223,,,b c c b 1,n n b b +12,,..,n n nn c c c ⋯121,,,..,,n n n nn n b c c c b +⋯nk c 11212231323312n n nn c c c c c c c c c ++++++++++…………()e ,x f x ax a a =--∈R ()f x 1a =22()()f x g x x =0x >()1g x >{}()*n x n ∈N()111,e 3n x n x g x +==()2e 11n x n -<710910(1,0)(1,2)-（I ）以D 为坐标原点，正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面DEF 的法向量为，令平面DEF ，平面DEF ．（III ）设平面BCP 的法向量，令，解得：；设直线AE 与平面BCP 所成角为，．则直线AE 与平面BCP（III ），设由平面BCP 的法向量，点F 到平面BCP 的距离．解得，所以．17．（本小题满分15分）（I ）以的比分获胜，则甲在前3局胜2局输1局，第4局胜利，概率为：（Ⅱ）X 可能的取值为3，4，5，；；X345,,DA DC DP1(1,0,0)(1,1,0),(0,2,0),(0,2A B C P E F ⎛ ⎝(,,)m x y z = 00DE m z DF m x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1,2,(2,1,y z x m ===∴= 0,AC m AC mAC ∴⋅=⊥⊂/AC ∴∥(,,),(1,1,0),(0,(1,n x y z BC CP AE ==-=-=-020BC n x y CP n y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =1,x z n ==∴= θ||sin |cos ,|||||AE n AE n AE n θ⋅∴=<>==⋅(1,0,PA = (,0,),[0,1]PF PA λλλ==∈n = ||||1||26PF n d n λ⋅===13λ=1||||3PF PA == 3:12232128C 33327P ⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭33211(3)333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223812110(4)2733327P X C ⎛⎫==+⋅⋅⋅=⎪⎝⎭11081108107(5)1()345327273272727P X E X ==--==⨯+⨯+⨯=P18．（本小题满分15分）（I ）设获奖且没选修历史为x 人（人）又（人）获奖没有获奖合计选修历史203050没有选修历史104050合计3070100（I ）由题意可得列联表：零假设为：党史知识竞赛获奖与选修历史学科无关则故依据的独立性检验，推断不成立，即有把握认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科”有关．（Ⅱ）由题意的取值可能为0，1，2，则，故的分布列为：012P则．19．（本小题满分15分）（I ）设数列的公差为d ，由题意知，，解得，所以；因为数列的前n 项和为，且满足．所以当时，，1310278271(,10505x p A B x ===∣1030213=-0H 22100(20401030) 4.762 3.84130705050χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯0.05α=0H 95%ξ3122142424333666C C C C C 131(0),(1),(2)C 5C 5C 5P P P ξξξ=========ξξ153515131()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯={}n a 111348a d a d a d +++=+1d =n a n ={}n b n S 31nn S =-1n =11312b =-=当时，．验证，当时，，满足上式，故．（Ⅱ）．（Ⅲ）成等差数列，，①②设，则，设，所以，，两式相减得，，所以．20．（本小题满分16分）（I ）函数定义域为R ，求导得，当时，恒成立，即在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，即在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，2n ≥111313123n n n n n n b S S ---=-=--+=⨯1n =11b =123n n b -=⨯221(12)221112;(1)(1)2(1)1nk k k k n n k a n n k k k k =++⎛⎫==+-=-+ ⎪++⎝⎭∑21111111112(1)1112232212121nk k n k k n n n n =-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-++++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 2212122(1)21nk k k n a n n k k n =⎡⎤++=+-⎢⎥++⎣⎦∑121,,,,,n n n nn n b c c c b +⋯111232343111n n n n n n b b d n n n --+-⨯-⨯⨯===+++1114321232311n n n nk n n k nc b kd k n n ---⨯++=+=⨯+=⨯⨯++111121(1)3(1)4323432121n n n n n n mnn n n n n n n M c c c nc d n n n n ----+-⨯=+++=+⋅=⨯⨯⨯+⨯=⨯++ ()()1121212112121212n n m n n mn n c c c c c c c c c c c c M M M +++++++=+++++++=+++ 12n n T M M M =+++ 012214383123(44)343n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-+⨯ 123134383123(44)343n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ (121012312443434343433333n n n n T n ---=+⨯+⨯++⨯-⨯=+++++ 1343443(24)3213nnn n n n n --⨯=⨯-⨯=-⨯--1(21)3n n T n =+-⨯()f x ()e x f x a '=-0a ≤()0f x '>()f x (,)-∞+∞0a >()e 0x f x a '=->ln x a >()e 0x f x a '=-<ln x a <()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞0a ≤()f x (,)-∞+∞当时，在上单调递减，在上单调递增．（II ）当时，，①当时，，令恒成立，则在上单调递减，，因此，成立，所以当时，．②由①可知，当时，，由得，即，由，可得，而，又，即，则，由于，只需证，又当时，，令恒成立，则在上单调递增，，则当时，恒有，而，即成立，不等式成立，因此成立，即成立．0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞1a =()22e 1()x x g x x --=0x >()222112e 121e 112e xx xx x x x x x ++-->⇔>++⇔<2211122(),1,0,()0xx x x x F x x F x e e++-'=>=<()F x 0,)+∞01()(0)10e F x F <=-=21121exx x ++<0x >()1g x >(0,)x ∈+∞()1g x >113x =()21e 1xg x =>20x >()1e n x n g x +=0n x >113e 1e 1x -=-3327e e 028⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭133e 2<1131e 1e 12x -=-<()12e 11e 12nnnx x n⎛⎫-<⇔-< ⎪⎝⎭()()1111e 1e 11e 222n n n x x x n g x +-<-⇔-<-0x >()22211()1e 4e 44(2)(2)e (2)022x x x g x x x x x x x -<-⇔-+++=-+++>(2)e 102x x x -⇔+>+22(2)e e ()1,0,()02(2)x xx x h x x h x x x -'=+>=>++()h x (0,)+∞()(0)0h x h >=0x >2e 102x x x -⋅+>+0n x >()111e 22n x n g x -<-()11e1e 12n n x x +-<-()()()111211111e 1e 1e 1e 12222n n n x x x x n n +-+-<-<-<<-< 1e 12nnx ⎛⎫-< ⎪⎝⎭。

安徽省滁州市定远县育才学校2022年普通高中高二学业水平测试卷数学试题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知幂函数()()22244mmf x m m x-=-+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（）A ．1或3-B ．3C ．1-D ．1-或32．已知幂函数()f x x α=的图象过点2⎫⎪⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 为偶函数D ．()f x 为减函数3．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()3,21,2x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则()()1f f =（）A ．2B ．5C ．7D ．96化简的结果正确的是（）A ．23a B ．34a C ．45a D ．56a 7．函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（）A ．(1,)+∞B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．已知函数()31xf x =-，a b c <<，且()()()f a f b f c >>，则（）A ．a<0，0b <，0c <B ．a<0，0b ≥，0c >C ．33a c-<D ．332a c +<9．英国物理学家和数学家牛顿提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，设物体的初始温度为1θ℃，环境温度为0θ℃，其中01θθ<，经过min t 后物体温度θ℃满足()010e kt θθθθ-=+-（其中k 为正常数，与物体和空气的接触状况有关）.现有一个62℃的物体，放在12℃的空气中冷却，1min 后物体的温度是52℃，则k ≈（）（参考数据：ln 20.69,ln 5 1.61≈≈）A ．1.17B ．0.85C ．0.65D ．0.2310．设35log 5,log 7a b ==，则1549log 45=（）．A ．2121b aa --+B ．221b a a --+C ．2121ab a a --+D ．221ab a a--+11．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至64000，则C 大约增加了（参考数据lg 20.3010≈）（）A ．10%B ．30%C ．60%D ．90%12．已知202212021a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120212022b =，12021log2022c =，则a ､b ､c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．c b a<<13．为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为()10V V >的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，然后第三次倒出10升后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则第三次稀释后桶中的药液所占百分比的最大值为（）A ．55%B ．50%C ．45%D ．40%14．定义在R 的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且()0,2x ∈时，()()21f x x =-，则()f x 在区间[]0,2021上的零点个数为（）A ．1011B ．1010C ．2021D ．202215．函数f (x )＝(x2－的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．416．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为130尺，则在第几天墙才能被打穿（）A ．6B ．7C ．8D ．917．已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞18．给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x =⑤()1f x x=．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（）二、填空题19．已知点()4,8P 在幂函数()f x 的图象上，则()5f 等于_______________.20．计算223(8)--⨯⨯_______.21．已知函数2,0()2,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，则91(log 3f =___________.22．设函数f (x )＝log 32x x+－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题23．已知函数()1x f x a -=的图像经过点()2,4，其中0a >且1a ≠．（1）求a 的值；（2）求函数()()0y f x x =≥的值域；（3）解不等式()()223f x f x <+．24．已知幂函数()f x 的图像过点(16,4).(1)求1((2)2f f +的值；(2)证明：函数1()()()g x f x f x =-是增函数.25．已知2a >，函数()y f x =的表达式为44()log (2)log ()f x x a x =---．(1)求()f x 的定义域；(2)当4a =时，求不等式(25)(3)f x f -≤的解集．参考答案：1．B【分析】由函数是幂函数，解得3m =或1m =，再代入原函数，由函数在()0,∞+上是增函数确定最后的m 值.【详解】∵函数是幂函数，则2441m m -+=，∴3m =或1m =.当3m =时()3f x x =在()0,∞+上是增函数，符合题意；当1m =时()1f x x -=在()0,∞+上是减函数，不合题意.故选：B.2．C【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可.【详解】解：因为幂函数()f x x α=的图象过点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2α⎝=⎭，所以2α=-，所以()221f x x x-==，定义域为{}|0x x ≠，且()()()22f x x x f x ---=-==，即()2f x x -=为偶函数，因为20x >，所以210x >，所以()()0,f x ∞∈+，故A 错误，B 错误，C 正确，又2y x -=在()0,∞+上单调递减，根据偶函数的对称性可得()f x 在(),0∞-上单调递增，故D错误；故选：C 3．B【解析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项.【详解】()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.4．C【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A ；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x 轴平行，由此排除D ，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C 正确，B 不正确．故选C ．【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题.5．D【分析】先求出(1)f ，再求()(1)f f 即可，【详解】由题意得(1)112f =+=，所以()()21(2)39f f f ===，故选：D 6．B【分析】应用有理指数幂的运算性质，化根式为指数式.313224()a a ===.故选：B.7．D【分析】根据复合函数单调性法则“同增异减”求解即可.【详解】解：因为函数2231y x x =-+在区间3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内是单调递减函数，所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D 8．D【分析】先作出函数()31xf x =-的图象，再逐一分析每一个选项即得解.【详解】解：由题得()31,03113,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩.所以函数()31xf x =-的图象如下图所示：由图可知若a b c <<，且()()()f a f b f c >>，则0a b c <<-≤，31a <，31b <，31c <，故A 中，a<0，0b <，0c <不正确；B 中，a<0，0b ≥，0c >不正确；C 中，a c ->，33a c ->，故C 不正确；D 中，332a c +<，故D 正确.故选：D 9．D【分析】根据所给公式，将所给条件中的温度相应代入，利用对数的运算求解即可.【详解】根据题意：62℃的物体，放在12℃的空气中冷却，1min 后物体的温度是52℃，有：5212(6212)e k -=+-，所以4e5k-=，故4ln 5k -=，即ln 52ln 20.23k =-≈，故选：D.10．D【分析】根据35log 5,log 7a b ==，利用换底公式求解.【详解】因为35log 5,log 7a b ==，所以1lg 3lg 5,lg 7lg 5b a==，所以1549lg 49lg 452lg 7lg 52lg 322log 45lg15lg 5lg 31ab a a-----==++，故选：D 11．C【分析】依题意当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，()122log 11000log 1000C W W =+=；()222log 164000log 00640C W W =+=，利用换底公式可得211.6C C ≈，可得C 大约增加了60%.【详解】1000SN=时，()122log 11000log 1000C W W =+=；64000SN=时，()222log 164000log 00640C W W =+=，2212log 000lg 6400036lg 2= 1.6log 1000lg 6100034C W C W +=≈，则C 大约增加了60%.故选：C 12．C【分析】根据指数函数、对数函数的性质，结合中间值比较可得．【详解】由指数函数、对数函数性质知：20221012021⎛⎫<< ⎪⎝⎭，1202120221>，12021log20220<，所以c<a<b ．故选：C ．13．C【分析】根据题意表达出第二次稀释后桶中药液含量，列出不等式，求出体积的范围，再表达出第三次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过1060%V V-⨯，根据体积的取值范围，求出最值.【详解】第二次倒出后桶中剩余农药()10108V V V -⎡⎤--⨯⎢⎥⎣⎦升，则()1010860%V V V V---⨯≤⨯，即2452000V V -+≤，解得：540V ≤≤，又10V >，∴1040V <≤.第三次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过1060%V V-⨯，∵1040V <≤，∴10101060%60%160%145%40V V V -⎛⎫⎛⎫⨯=⨯-≤⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C.14．D【分析】首先可得()f x 是以4为周期的周期函数，又()f x 为定义在R 的奇函数，所以()00f =，从而得到()0f n =，Z n ∈，即可得解；【详解】解：因为定义在R 的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，所以()00f =，()f x 是以4为周期的周期函数，当()0,2x ∈时，()()21f x x =-，所以()10f =，因为()()()2422f f f -+=-=-，所以()20f =，()()()14110f f f -+=-=-=，即()30f =，又()()0400f f +==，所以()00f =，()10f =，()20f =，()30f =，()40f =，……，()0f n =，Z n ∈，所以()f x 在区间[]0,2021上由2022个零点；故选：D 15．B【分析】先确定出函数的定义域，然后解f (x )＝0即可得到答案.【详解】要使函数有意义，则x 2－4≥0，解得x ≥2或x ≤－2.由f (x )＝0，得x 2－4＝0或x 2－1＝0(不成立舍去)，即x ＝2或x ＝－2，所以函数的零点个数为2.故选:B.【点睛】本题考查函数零点个数问题，属于简单题.16．C【分析】由题意结合等比数列的前n 项和列不等式，然后构造函数2()21292xxf x =--，(1)x ．结合函数零点的判定得答案．【详解】解：设需要n 天时间才能打穿，则11()21213012112nn--+--，化为：2212902nn-- ，令2()21292nn f n =--，则()7727212902f =--<．()8828212902f =-->．令2()21292xxf x =--，(1)x ．()f x ∴在(7,8)内存在一个零点．又函数()f x 在1x时单调递增，因此()f x 在(7,8)内存在唯一一个零点．∴需要8天时间才能打穿．故选：C ．【点睛】本题考查了等比数列的求和公式、函数零点存在判定定理、不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．C【解析】先根据题意得幂函数解析式为3()f x x =，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.【详解】解：因为幂函数()(1)n f x a x =-的图像过点(2,8)，所以1128n a -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =，由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <．故b 的取值范围是(,1)-∞.故选：C.【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.18．A【分析】条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征判断即可【详解】由题，满足条件()()()121221022f x f x x xf x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A19．【分析】根据幂函数，可设()n f x x =，由()4,8P 在()f x 上求n ，进而可求(5)f .【详解】由题意，可设()n f x x =，又()4,8P 在()f x 上，∴48n =，即32n =，∴32(5)5f ==故答案为：.20．83【解析】利用指数的运算法则求解即可.【详解】原式211842333=⨯=⨯⨯=.故答案为：83.【点睛】本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题.21．1-.【分析】根据函数的解析式，结合对数的运算法则，代入即可求解.【详解】由题意，函数2,0()2,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，且129911log log 932-==-，所以9111(log ()2(1322f f =-=⨯-=-.故答案为：1-.22．()3log 2,1【解析】根据函数()f x 在区间(1,2)内是减函数，且在区间(1,2)内有零点，可得()()120f f <，解此不等式组求得实数a 的取值范围．【详解】解： 函数3322()log log (1)x f x a a x x +=-=+-在区间(1,2)内是减函数，函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，()()120f f ∴<，即3(1)(log 2)0a a --<，3log 21a ∴<<，即()3log 2,1a ∈故答案为：()3log 2,1【点睛】本题考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．23．（1）4a =；（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）{}13x x -<<.【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）利用指数函数的单调性进行求解即可；（3）利用指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法进行求解即可【详解】（1）∵函数()1x f x a -=的图象经过点()2,4，∴214a -=，∴4a =；（2）由（1）得()()140x f x x -=≥，在定义域[)0,∞+为增函数，且()104f =；∴()()140x f x x -=≥的值域为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）∵因为()14x f x -=是实数集上的增函数，∴223x x <+，解得13x -<<．即原不等式的解集为{}13x x -<<．24．(2)证明见解析【分析】（1）待定系数法求得幂函数()f x 的解析式后，即可求得1()(2)2f f +的值；（2）以增函数定义去证明即可解决.【详解】（1）设幂函数()a f x x =，将点(16,4)代入得164a =，解得12a =，所以()f x =则1()(2)22f f +=（2）函数()g x =(0,)+∞设12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则12()()f x f x ⎫-=(=+=+由210x x >>0<，10+>，则0+<，即12())0(f x f x -<，12()()f x f x <故函数1()()()g x f x f x =-是(0,)+∞上增函数.25．(1)()2,a (2)7,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据对数函数的定义域，解函数的定义域；（2）分别求()25f x -和()3f ，再结合对数函数的单调性，解不等式.【详解】（1）由题意得：200x a x ->⎧⎨->⎩，解得2x x a>⎧⎨<⎩．因为2a >，所以2x a <<，故()f x 的定义域为()2,a ．（2）因为4a =，所以44(25)log (27)log (92)f x x x -=---；()443log 1log 10f =-=因为(25)(3)f x f -≤，所以()()44log 27log 920x x ---≤，即44log (27)log (92)x x -≤-，从而2709202792x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≤-⎩，解得742x <≤．故不等式(25)(3)f x f -≤的解集为7,42⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

2023-2024学年浙江省温州市高二下学期6月期末联考数学质量检测试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共58分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，则（）{}{}{}U 0,1,2,3,4,5,1,2,3,1,4,5U A B ===ðA B ⋂=A.B.C.D.∅{}1{}0,1,2,3{}2,32.的展开式中的常数项为（）62x ⎫-⎪⎭A.-C.-C.-B.60C.-120D.1203.已知圆台的高为8，上､下底面圆的半径分别为2和8，则圆台的表面积为（ ）A. B. C.D.80π100π148π168π4.已知向量在上的投影向量记为，则（ ）()()()2,4,1,0,2,2,a P QPQ=-a bb =A. B. 353105.已知，则（ ）π3ππtan ,4444θθ⎛⎫+=-<<⎪⎝⎭sin2θ=A. B. C. D.725-7252425-24256.已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（）{}n a n 2n n S a k =+0k ≠{}n a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ）()121,02πsin ,0π6xx x f x x x ω⎧⎛⎫--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<< ⎪⎪⎝⎭⎩ωA. B. C. D.1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭1925,66⎛⎤⎥⎝⎦8.已知函数的定义域为，且满足()f x R ，()()()()()()22,11,31f x f y f x y f x y f f -=+-==-则下列结论错误的是（ ）A. B.()20f =()42f =C.是奇函数D.()f x ()()4f x f x +=二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（为虚数单位），下列结论正确的是（ ）21i z =-i A.2z =B.为纯虚数2z C.对应的点位于第四象限z D.22||z z =10.已知函数，下列结论正确的是（ ）()2ln f x ax x=+A.当时，在处的切线方程为1a =-()f x ()()1,1f y x=-B.当时，恒成立1a =-()0f x x +≤C.若恰有一个零点，则()f x [)0,a ∞∈+D.若恰有两个零点，则()f x 1,02e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭11.如图，是棱长为1的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，P 1111ABCD A B C D -E 11A B 为侧面的中心.下列结论正确的是（ ）O 11ADDA A.平面OE ⊥11A BC B.与平面AB 11A BC C.若点在各棱上，且到平面，则满足条件的点有9个P 11A BC P D.若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为P 11BCC B 1PE =P 1A P 1BC 60非选择题部分（共92分）三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12.连续抛掷一枚质地均匀的股子两次，事件“两次向上点数之和为7”的概率为__________.13.在中，为所在平面内的两点，，ABC 6,,AB BC P Q ==ABC 2133AP AB AC=+，则的值为__________.23AQ AB AC=+QC QP ⋅ 14.椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点22Γ:163x y +=1F l Γ(),M a b ，则的最小值为__________.()2,1E 1MF 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在中，角的对边分别是ABC ,,A B C .,,,2cos cos cos a b c a A b C c B -=（1）求角的大小；A（2）若，且周长为6，求.ABC a 16.（本小题满分15分）在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按[]50,100的分组作出频率分布直方图如图所示.[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]（1）求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中a 点值作代表）；（2）若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分μ，试估计得分在上的人数.(),100X N μ~[]65,95参考数据：若，则()2,(0)X N μσσ~>()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈17.（本小题满分15分）已知四棱锥为的中点，平面，,,P ABCD E F -,AC PB PA ⊥ABCD .BC PC ⊥（1）若，证明：平面；AD DC =DE ∥PBC（2）若，二面角的大小为，求.2AC BC ==A FC B --120PA 18.（本小题满分17分）已知双曲线，右顶点为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.)E,A B C A AB E （1）求的方程；C （2）证明：直线恒过定点；AB （3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.AB ,x y ,M P M PA PBEMBE S S 19.（本小题满分17分）已知奇函数，其中()(πln cos 2f x x a x ϕ⎛⎫=+++⎪⎝⎭.0,0πa ϕ≠≤≤（1）求值；ϕ（2）若对任意上恒成立，求的取值范围；())ln1f x a ≥-[)1,x ∞∈+a （3）记，证明：当时，.()()πsin2f x a x m x +=0x ≥()()2ee e 1x m x x m x x +--≤-高二年级数学学科答案一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DBDCACBB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案BCABDAC三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12. 13.12 16四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）因为，所以2cos cos cos a A b C c B -=2cos cos cos a A b C c B =+所以()2sin cos sin cos sin cos sin A A B C C B B C =+=+因为()()sin sin πsin B C A A+=-=所以2sin cos sin A A A=因为，所以，所以，故()0,πA ∈sin 0A ≠1cos 2A =π3A =（2）由题意得1sin 42S bc A bc ====因为，所以6a b c ++=6b c a+=-由余弦定理得，所以2222cos a b c bc A =+-2222()3a b c bc b c bc =+-=+-所以，解得22(6)12a a =--2a =16.（本小题满分15分）（1）由题意得，解得()0.0040.0320.0340.01101a ++++⨯=0.02a =因为上的频率分别为，[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,1000.04,0.32,0.04,0.2,0.1所以样本的平均值为，550.04650.32750.34850.2950.175⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分.（2）取，则，可得标准差75μ=()75,100X N ~10σ=()()65952P X P X μσμσ∴≤≤=-≤≤+()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈ ()()120.68270.95450.81862P X μσμσ∴-≤≤+≈⨯+=()65950.8186P X ∴≤≤≈估计得分在上的人数约为人.∴[]65,9550000.81864093⨯=17.（本小题满分15分）（1）证明：且为的中点AD DC = E AC DE AC∴⊥平面平面PA ⊥ ,ABCD BC ⊂ABCD PA BC∴⊥又且平面PC BC ⊥ PA PC P BC ⋂=∴⊥PAC平面AC ⊂ PAC BC AC∴⊥与共面又平面平面DE BC DE ∴∥BC BC ⊂ ,PBC DE ⊄PBC平面DE ∴∥PBC（2）法1：如图，作交于，连接.AK FC ⊥FC K BK 由得,AF BF AC BC ==ACF BCF≅ AFK BFK AKF BKF∠∠∴=∴≅ ，且BK FC ∴⊥AK BK=二面角的平面角AKB ∠∴A FC B --又120AKB ∠∴= 2AC BC AB ==∴=AK AB ∴==在中，，由，解得ACF AF CF =AC EF FC AK ⋅=⋅AF CF ==22BP AF PA ∴====法2：如图，以为原点，所在直线分别为轴C ,CA CB ,x y 建立空间直角坐标系.则，()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B 设，则()2,0,2(0)P t t >()1,1,F t ()()()2,0,0,0,2,0,1,1,CA CB CF t ∴===设面的法向量为，ACF ()111,,m x y z =由，解得00m CA m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()0,,1,m t =-设面的法向量为，由解得.BCF ()222,,n x y z = 00N CB n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(),0,1n t =-设二面角的大小为，则A FCB --θ211cos 112m n t m n t θ⋅===∴=⋅+ 22PA t ∴==18.（本小题满分17分）（1）右顶点),Ea ∴=，解得c e a ==1c b =∴==.22:12x C y ∴-=（2）设，可设直线.()()1122,,,A x y B x y :AB x my t =+联立，得，即2212x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()()222222202220,Δ820m m y mty t m t ⎧-≠⎪-++-=⎨=-+->⎪⎩.22222m m t ⎧≠⎨+<⎩.212122222,22mt t y y y y m m -∴+=-=--以为直径的圆经过点AB ,1AE BE E k k ∴⋅==-()(()22121211(0m y y m t y y t =-∴++++=，化简得()()222212(02m t t m +-∴++-=-()t t =当时，直线经过点，不符条件，舍去..t=:AB x my =E t ∴=直线.∴:AB xmy =+()M （3）由（2）知.12122162y y y y m +==-为中点，，代入得.0,,P M ⎛⎝ PA A ⎛∴⎝2212x y -=21835m =由得.1222162y y y m ==-2y =139,44PBE MBE PEMBEPMBE MBE BEMS S S SS SS +∴=∴=19.（本小题满分17分）（1）为奇函数，()f x ()()0f x f x ∴+-=即((ππln cos ln cos 022x a x x a x ϕϕ⎛⎫⎛⎫++++-++-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得且πcoscos 002a x a ϕ⋅=≠ cos 0x ϕ∈∴=R π0π2ϕϕ≤≤∴=（2）由（1）知.()(πln sin 2fx x a x =+-当时，，0a<πsin2a x a -≥又在上单调递增(ln y x=[)1,x ∞∈+())ln ln1ln 1x ∴+≥+=-()πln sin ln 12x a x a ∴+-≥--对任意上恒成立())ln 1f x a ∴≥--[)1,x ∞∈+当时，令，则0a >1x =())1ln 1f a =-此时，())))1ln 1ln 12ln 120f a a a ⎡⎤--=+-+-=-<⎣⎦与条件矛盾.())1ln 1f a ∴<-综上.0a <（3）由条件可知，待证不等式可作如下等价变形：()(ln m x x =+()()()()((ln ln 2e e e 1ee e e e e e e x x x m x x m x m x m x x x x x x-+-----≤-⇔-≤-⇔-≤-()()ln lne e e e e e 2e e x x x x x x x x x x x ---⇔-≤-⇔+-≤-⇔≤-故即证：当时，.0x ≥e e 2x x x --≥构造函数，则.()e e 2,0x x h x x x -=--≥()e e 220x x h x -=+-≥-='在上单调递增，，即.()h x ∴[)0,∞+()()00h x h ∴≥=e e 2x x x --≥当时，.∴0x ≥()()2e e e 1x m x x m x x +--≤-。

2024-2025学年福宁古五校教学联合体高二上学期期中质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线3x−4y+1=0的一个方向向量是( )A. (4,3)B. (−3,4)C. (4,−3)D. (3,4)2.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a11=8，则S21=( )A. 168B. 196C. 200D. 2103.已知数列{a n}各项都是正数的数列，下列说法正确的是( )A. 若{a n}是等差数列，则{2a n}是等差数列B. 若{a n}是等比数列，则{2a n}是等比数列C. 若{a n}是等差数列，则{2a n}是等比数列D. 若{a n}是等比数列，则{2a n}是等差数列4.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2−10n+10，下列说法正确的是( )A. 数列从第3项起各项数值逐渐增大B. 当n=5时，a n取最大值C. −14是该数列的项D. 数列{a n}的图象与f(x)=x2−10x+10(x∈R)的图象相同5.圆C1:x2+y2+2x−6y+1=0与圆C2:x2+y2−4x+2y=11的位置关系为( )A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切6.已知直线y=x cosθ+1，则这条直线的倾斜角α的取值范围是( )A. [0,π]B. [π4,π2]C. [π4,π2)∪(π2,3π4]D. [0,π4]∪[3π4,π)7.已知直线l:y−2=k(x−1)将圆x2+y2=9分成面积分别为S1，S2的两个部分，当|S1−S2|的值取最大时，k的值为( )A. 0B. 2C. −13D. −128.一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的45处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是( )A. 5B. 6C. 7D. 8二、多选题：本题共3小题，共18分。