高考数学一轮复习必备：第25课时：第三章 数列数列的实际应用 doc

第25讲-等比数列及其前n 项和一、 考情分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.二、 知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，则G 叫做x 和y 的等比中项，其中G 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n . [微点提醒]1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.三、 经典例题考点一 等比数列基本量的运算【例1-1】 （2020·湖南省高三三模（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足236n n S a =-，则6a =（ ） A ．623⨯ B ．723⨯ C ．662⨯ D ．762⨯【答案】A【解析】由已知236n n S a =-，可得11236n n S a ++=-. 两式相减得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a +=. ∵11236S a =-，∴16a =∴{}n a 是首项为6，公比为3的等比数列 从而5666323a =⨯=⨯.【例1-2】（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三三模（文））等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 的前8项的和8S 为（ ）A ．64B ．22C ．-48D ．-6【答案】C【解析】等差数列{}n a 的首项为1，设公差d （0d ≠）． 若2a ，3a ，6a 成等比数列，所以2326a a a =，即()()()212115d d d +=++， 解得2d =-，所以{}n a 的前8项和为()887812482S =⨯⨯+⨯-=-． 【例1-3】（2020·陕西省高三二模（文））等比数列{}n a ，0n a >且563854a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．15C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质得563856254a a a a a a +==，所以5627a a =， 所以11029384927a a a a a a a a ====，则()531323103563log log log log 5log 2715a a a a a +++===，故选：B.规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .考点二 等比数列的判定与证明【例2-1】 （2020·上海高三专题练习）已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+. (1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)证明：121113 (2)n a a a +++<. 【解析】（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -. （2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n na =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<， 所以11a +21a +1n a 32<. 【例2-2】（2020·安徽省六安一中高三月考（文））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围. 【解析】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n naa +=-，所以13n n aa +=； 所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+， 所以()1112329a a a +=+， 解得11a =；数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ； （2）由（1）可知1113n n a -=， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列， 1123111111133n n n T a a a a -=+++⋯+=++⋯+ 1131331123213nn⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-， 因为n T M <恒成立， 所以32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证.考点三 等比数列的性质及应用【例3-1】（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模（理））在等比数列{}n a 中，若5422,2a a a ==，则6a =（ ） A ．64 B ．16C ．8D ．32【答案】D【解析】设公比为q ，因为542a a =，故2q，所以46232a a q =⨯=，故选：D.【例3-2】（2020·定远县育才学校高三其他（理））已知正项等比数列{a n }，若向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ，则212229log log log a a a +++＝（ ）A ．12B ．28log 5+C ．5D ．18【答案】D【解析】由题意，向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ， 则28820a a ⨯-=，即2816a a =，根据等比中项的知识，可得228516a a a ==，∵50a >，故54a =， ∴212229log log log a a a +++()2129log a a a =()()()()2192837465log a a a a a a a a a =⋅⎡⎤⎣⎦ 925log a =29log 4=18=【例3-3】（2020·陕西省高三三模（理））若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：2020127a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-且()x f x e =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（ ）A ．eB ．2eC ．1e -D ．9e【答案】A【解析】因为数列{}n a 为等差数列，且2020127a a +=，所以1010101127a a +=； 又{}n b 为等比数列，且120202b b ⋅=，所以101010112b b =，所以101010111010101127913a ab b +==+；又()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的最小正周期为4， 又()xf x e =，[]0,2x ∈所以 ()()()92411f f f e =⨯+==，即10101011101010111a a f e b b ⎛⎫+=⎪+⎝⎭.【例3-1】（2020·东北育才学校高三其他（文））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为（ ） A ．2 BCD【答案】D【解析】4123()S a a =+，1q ≠． ∴411(1)3(1)1a q a q q -=+-，10a ≠213q ∴+=化为：22q =，解得q =规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用. [方法技巧]1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，判断单调性时对a 1与q 分类讨论. 3.特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况.4.S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1时且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立.四、 课时作业1．（2020·黑龙江省哈师大附中高三其他（文））数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项12a =，若()*12n n S a n N +=-∈，则2020a =( )A ．20192B ．20202C ．20212D ．202222．（2020·海东市教育研究室高三其他（文））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若252, 16a a ==，则10=S （ ） A ．1023B ．511C ．1023-D ．511-3．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高三月考（文））等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．1-B ．32-C ．1D ．324．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ）A ．()71887-人 B ．()91887-人 C ．()718887+-人D ．()9418887+-人5．（2020·全国高三（文））在等比数列{}n a 中，4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a 等于（ ） A ．1B ．-1C ．±1D ．不能确定6．（2020·全国高三（文））已知等比数列{}n a 满足126a a +=，4548a a +=，则数列{}n a 前8项的和8S =( )A ．510B ．126C ．256D ．5127．（2020·海南省海南中学高三月考）已知正项等比数列{}n a ，满足227202016a a a ⋅⋅=，则121017a a a ⋅⋅=（ ）A ．10174B ．10172C ．10184D ．101828．（2020·广西壮族自治区高三二模（文））若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b 为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-9．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ，2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-10．（2020·黑龙江省铁人中学高三其他（理））元代数学家朱世杰在“算学启蒙”中提及如下问题：今有银一秤一斤十两,1秤=10斤，1斤=10两，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最少的3个人一共得银（ ） A ．266127两 B ．889127两 C ．84031两 D ．111131两 11．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列{}n a 满足12a =，234a a +=，则456a a a ++=（ ） A ．-48B ．48C ．48或-6D ．-48或612．（2020·黑龙江省哈师大附中高三月考（理））已知数列{}n a 是等比数列，312a =，56116a a a =，则9a =（ ） A．B ．48C ．192D ．76813．（2020·江西省新余一中高一月考）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789(a a a ++= )A ．144B ．81C ．45D ．6314．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））在等比数列{}n a 中，0n a >，且7a 、6a 、53a -成等差数列，则公比q =（ ） A ．1B ．1或3-C ．3D ．3或1-15．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ）A ．31B ．32C ．63D ．6416．（2020·全国高三其他（文））等比数列{}n a 的前n 项和为11,2n S a =-，若6378S S =，则24a a ⋅=（ ） A ．164B ．132C ．116D ．1817．（2020·江苏省淮阴中学高一期中）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．218．（2020·全国高三其他（文））在等比数列{}n a 中，481,3S S ==，则17181920a a a a +++的值是（ ） A ．8B ．16C ．32D ．6419．（2020·全国高三其他（文））已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a ，使得2164m n a a a =，则19m n+的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．220．（2020·全国高三其他（理））已知公比不为1的等比数列{}n a 满足15514620a a a a +=，若210m a =，则m =（ ） A ．9B ．10C ．11D ．1221．（2020·全国高三其他（文））已知数列{}n a 满足()121,4n n n a na a ++==，等比数列{}n b 满足1122,b a b a ==，则{}n b 的前6项和为A ．63-B ．126-C ．63D ．12622．（2020·广东省湛江二十一中高三月考（文））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若418a =，3134-=S a ，则4S =（ ） A ．116 B ．18C ．3116D ．15823．（2020·天津一中高三月考）已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 是它的前n 项和，若234a a a ⋅=，且1a 与5a 的等差中项为1732，则5S =（ ） A ．3116B ．3132C ．1716D ．173224．（2020·黑龙江省高三其他（理））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若10533S S =，663S =，则满足10()n n n n a S a S >+的最小的n 值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．625．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三一模（理））设n S 为正项递增等比数列{}n a 的前n 项和，且3241522,16a a a a a +=+=，则6S 的值为（ ）A ．63B ．64C ．127D ．12826．（2020·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第70中高一期末）已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．5-D ．7-27．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A ．152B ．314C ．334D ．17228．（多选题）（2020·海南省高三其他）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ） A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<29．（多选题）（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路30．（多选题）（2020·山东省高二期末）若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21,(*)n n S a n N =+∈，则下列说法正确的是（ ） A ．516a =-B ．563S =-C ．数列{}n a 是等比数列D ．数列{}1n S +是等比数列31．（2020·眉山市东坡区永寿高级中学高一期中）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．32．（2020·山东省嘉祥县萌山高级中学高三其他）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13,a a 的等差中项为10，28a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n nnb a =， 求数列{}n b 的前n 项和n S . 33．（2020·全国高三其他（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12S =，12n n a S +=+. （1）证明：{}n a 为等比数列； （2）记2log n n b a =，数列1n n b b λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .若10n T ≥，求λ的取值范围. 34．（2020·海南省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.35．（2020·全国高三其他（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足432n n a S -=，其中n *∈N . （Ⅰ）证明：数列{}n a 为等比数列；（Ⅱ）设142n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .第25讲-等比数列及其前n 项和五、 考情分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.六、 知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，则G 叫做x 和y 的等比中项，其中G 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n . [微点提醒]1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.七、 经典例题考点一 等比数列基本量的运算【例1-1】 （2020·湖南省高三三模（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足236n n S a =-，则6a =（ ） A ．623⨯ B ．723⨯ C ．662⨯ D ．762⨯【答案】A【解析】由已知236n n S a =-，可得11236n n S a ++=-. 两式相减得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a +=. ∵11236S a =-，∴16a =∴{}n a 是首项为6，公比为3的等比数列 从而5666323a =⨯=⨯.【例1-2】（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三三模（文））等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 的前8项的和8S 为（ ）A ．64B ．22C ．-48D ．-6【答案】C【解析】等差数列{}n a 的首项为1，设公差d （0d ≠）． 若2a ，3a ，6a 成等比数列，所以2326a a a =，即()()()212115d d d +=++， 解得2d =-，所以{}n a 的前8项和为()887812482S =⨯⨯+⨯-=-． 【例1-3】（2020·陕西省高三二模（文））等比数列{}n a ，0n a >且563854a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．15C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质得563856254a a a a a a +==，所以5627a a =， 所以11029384927a a a a a a a a ====，则()531323103563log log log log 5log 2715a a a a a +++===，故选：B.规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .考点二 等比数列的判定与证明【例2-1】 （2020·上海高三专题练习）已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+. (1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)证明：121113 (2)n a a a +++<. 【解析】（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -. （2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n na =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<， 所以11a +21a +1n a 32<. 【例2-2】（2020·安徽省六安一中高三月考（文））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围. 【解析】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n naa +=-，所以13n n aa +=； 所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+， 所以()1112329a a a +=+， 解得11a =；数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ； （2）由（1）可知1113n n a -=， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列， 1123111111133n n n T a a a a -=+++⋯+=++⋯+ 1131331123213nn⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-， 因为n T M <恒成立， 所以32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证.考点三 等比数列的性质及应用【例3-1】（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模（理））在等比数列{}n a 中，若5422,2a a a ==，则6a =（ ） A ．64 B ．16C ．8D ．32【答案】D【解析】设公比为q ，因为542a a =，故2q，所以46232a a q =⨯=，故选：D.【例3-2】（2020·定远县育才学校高三其他（理））已知正项等比数列{a n }，若向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ，则212229log log log a a a +++＝（ ）A ．12B ．28log 5+C ．5D ．18【答案】D【解析】由题意，向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ， 则28820a a ⨯-=，即2816a a =，根据等比中项的知识，可得228516a a a ==，∵50a >，故54a =， ∴212229log log log a a a +++()2129log a a a =()()()()2192837465log a a a a a a a a a =⋅⎡⎤⎣⎦ 925log a =29log 4=18=【例3-3】（2020·陕西省高三三模（理））若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：2020127a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-且()x f x e =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（ ）A ．eB ．2eC ．1e -D ．9e【答案】A【解析】因为数列{}n a 为等差数列，且2020127a a +=，所以1010101127a a +=； 又{}n b 为等比数列，且120202b b ⋅=，所以101010112b b =，所以101010111010101127913a ab b +==+；又()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的最小正周期为4， 又()xf x e =，[]0,2x ∈所以 ()()()92411f f f e =⨯+==，即10101011101010111a a f e b b ⎛⎫+=⎪+⎝⎭.【例3-1】（2020·东北育才学校高三其他（文））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为（ ） A ．2 BCD【答案】D【解析】4123()S a a =+，1q ≠． ∴411(1)3(1)1a q a q q -=+-，10a ≠213q ∴+=化为：22q =，解得q =规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用. [方法技巧]1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，判断单调性时对a 1与q 分类讨论. 3.特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况.4.S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1时且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立.八、 课时作业1．（2020·黑龙江省哈师大附中高三其他（文））数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项12a =，若()*12n n S a n N +=-∈，则2020a =( )A ．20192B ．20202C ．20212D ．20222【答案】B【解析】当1n =时，122S a =-，得211242a a a =+== 当2n ≥时，由()*12n n S a n N+=-∈得12n n Sa -=-，所以11n n n n S S a a -+-=-，即1n n n a a a +=-，12n n a a += 所以数列{}n a 是以2为公比，2为首项的等比数列，所以2nn a =，所以202020202a =，故选：B2．（2020·海东市教育研究室高三其他（文））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若252, 16a a ==，则10=S （ ） A ．1023 B ．511 C ．1023- D ．511-【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题意可得3528a q a ==，所以2q ，由题得1122,1a a ⨯=∴=. 故()()101011011121023112a q S q-⨯-===--.3．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高三月考（文））等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ）A ．1-B ．32-C ．1D ．32【答案】A【解析】等比数列{}n a 不具有单调性，1q =或0q <，5a 是4a 和33a 的等差中项，所以54323a a a =+， 2230,1q q q --=∴=-或32q =（舍去）.4．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ）A ．()71887-人 B ．()91887-人 C ．()718887+-人D ．()9418887+-人【答案】D【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：()()45456789481818888888888187-+++++=+=+--,故选D.5．（2020·全国高三（文））在等比数列{}n a 中，4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a 等于（ ） A ．1 B ．-1C ．±1D ．不能确定【答案】B【解析】∵4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根，∴4123a a +=-，4121a a =，∴4120,0a a <<，又{}n a 是等比数列，∴284121a a a ==，而等比数列{}n a 中所有偶数项同号，∴81a =-。

数列实际应用
数列是按照一定规律排列的数的集合，它在数学中有广泛的应用，同时也在现实生活中有许多实际应用。

以下是一些数列在实际中的应用：
1.金融和经济学：在金融和经济学中，数列可以用于建模和分析投资回报、股票价格的变化、经济增长等。

例如，等差数列可以用来描述定期投资的增长，而等比数列可以用来建模复利效应。

2.工程：在工程领域，数列可以用于描述周期性变化。

例如，振动和波动的频率可以通过正弦或余弦函数的数列来表示。

这在机械工程、电子工程和声学等领域都有应用。

3.计算机科学：在计算机科学中，数列被广泛用于算法和数据结构。

例如，斐波那契数列常用于递归算法和动态规划，而等差数列和等比数列可以用于表示计算机内存中的数据结构。

4.统计学：在统计学中，数列可以用于建模和分析随机过程。

例如，随机游走模型中的数列描述了随机变量的变化。

这在风险管理、市场分析等方面有应用。

5.物理学：在物理学中，数列可以用于描述时间和空间中的变化。

例如，牛顿的运动定律中的等差数列描述了运动物体的位移随时间的变化。

6.生物学：在生物学中，数列可以用于描述生物体的生长、衰老和其他变化。

例如，菲波那契数列可以用于描述植物的分枝结构。

7.电信和通信：在通信领域，数列可以用于描述信号的变化。

例如，正弦数列可用于表示模拟信号，而二进制数列可用于表示数字信号。

8.交通规划：数列可以用于模拟交通流量的变化。

例如，等差数列可以用于描述车辆在道路上的运动，有助于交通规划和优化。

这些都只是数列在实际中的一些例子，数列的应用领域非常广泛，涵盖了几乎所有科学和工程领域。

高考数学复习数列的实际应用【教学目标及教学建议】复习目标：熟悉实际问题联想与转化等差（比）数列问题，即培养数列知识应用能力.教学建议：本节题型主要有：(1)转化等差数列型.(2)转化等比数列型.(3)创新型数列问题. 可以分为两类：在熟悉的实际情境应用熟悉的数学知识问题；新情境下运用已告知的新的数学模型，考察运用模型解决问题的能力问题. 【基础训练】1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌1个可繁殖成（ B ）A．511个 B．512个C．1023个 D．1024个【解析】设第n次分裂繁殖所得的细菌数为a n，则{a n}是一个首项a1 = 2，公比q = 2的等比数列，每20分钟分裂一次，3小时共分裂9次，得：a9 = 29 = 512. 故选B.【点评】应用等比数列模型.2．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成. 2005年某地区农民人均收入为3150元 (其中工资性收入1800元，其他收入1350元)，预计该地区自2006年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增大，其他收入每年增加160元. 根据以上数据，2010年该地区农民人均收入介于（ D ）A．4800元～5000元 B．4600元～4800元C．4200元～4400元 D．4400元～4600元【解析】2010年该地区农民人均收入为. 故选D.【点评】应用等差（比）模型.3．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累计的需求量S(万件)近似地满足S n =(21n–n2–5) (n= 1, 2, …,12). 按此预测，在n本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ）A．5月、6月 B．6月、7月C．7月、8月 D．8月、9月【解析】设第n个月份的需求量超过1.5万件，则S n–S n–1 =(21n–n2–5) –[21(n– 1) – (n– 1)2– 5]＞1.5.整理得：n2– 15n + 54＜0，解得6＜n＜9，故选C.【点评】求和S n与通项a n实际应用举例.4．设数列{a n}是首项为50，公差为2的等差数列，{b n}是首项为10，公差为4的等差数列，以a k、b k为相邻两边的矩形内最大圆的面积记为S k，若k≤21，那么S k = （ B ）A．(2k + 1)2 B．(2k +3)2C．(2k + 12)2 D．(2k + 24)2【解析】欲求矩内圆的最大面积S k，需知a k与b k的大小.∵a k = 50 +2( k –1) = 2k + 48，b= 10 + 4 ( k –1 ) = 4k + 6 (k≤21)，k∴b k –a k = 2k – 42 = 2 (k–21)≤0.b…a k，矩形内最大圆半径r k =b k ，kS=(2k + 3)2.k【点评】几何问题与数列综合.5．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n}是等和数列，且a1 = 2，公和为5，那么a18的值为 3 这个数列的前n项和S n的计算公式为.【解析】该数列为2，3，2，3，2，…，故a12=2.当n=2k时，S n=S2k=5k.当n=2k-1时，S n=S2k-1=5k.-3.所以【点评】创新型数列,也称新定义题.【知识要点】1．复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x期，则本利和y = a(1 + r)x.2．产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y= N(1 + p) 3．单利公式利用按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y =a+a·r·x .4、由一次函数可构造等差数列问题，由二次函数可构造等差数列求和问题，由指数函数可构造等比数列问题5．数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等.【双基固化】1．等差数列问题例 1 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，调查后提供了两个不同的信息图，甲调查表明：从第一年平均每个养鸡场生产1万只鸡上升到第六年平均每个养鸡场生产2万只鸡，如图甲；乙调查表明：由第一年养鸡场有30个减少到第六年有10个，如图乙.请你根据提供的信息回答下列问题：（1）第六年这个县的生产鸡数比第一年增多了还是减少了？说明理由：（2）设第n年平均每个养鸡场生产只数为a n，第n年的养鸡场个数为b n，写出a，b n的解析式(用n表示，1≤n≤6，n∈N*)；n（3）在这6年内，哪一年该县生产鸡数最多？说明理由.【解析】（1）第一年这个县的生产鸡数为1×30 =30(万只)，第六年这个县的生产鸡数为2×10=20(万只).∴第六年这个县的生产鸡比第一年减少.（2）由图知{ a n }、{ b n }都是等差数列，所以a= 1 + 0.2 (n– 1) = 0.2n + 0.8，(1≤n≤6，n∈N*).nb= 30 – 4(n– 1) = –4n + 34 ，( 1≤n≤6，n∈N*).n（3）该县的年生产鸡数为a·b n = (0.2n + 0.8) (– 4n + 34)n= –( 1≤n≤6，n∈N*).∴当n = 2时，a n·b n的最大值是31.2(万只).即第二年该县生产鸡数量最多.【点评】本题是有关等差数列的实际问题，要求能通过看图表读取有关数据，其中(n，a n)满足一次函数，其离散点在一条直线上.2．等比数列问题例 2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.（1）设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元.写出a n，b n；（2）只需经过几年旅游的总收入就能超过总投入？【解析】（1）第一年投入为800万元，第2年投入为800×(1 –)万元，…，第n年投入为800 × (1–)n－1万元.所以，n年内的总投入为a= 800 + 800 ×(1 –) + …+800 × (1 –)n－1n== 4000×[1–()n].第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1 +)万元，……，第n年旅游业收入为400×(1 +)n－1万元.所以，n年内旅游业总收入为b= 400 + 400×(1 +)+……+400×(1 +)n－1n==1600×[()n– 1]（2）设只需经过n年旅游业的总收入就能超过总投入，由此b n–a n＞0，即1600×[()n–1] –4000×[1–()n]＞0.化简得5×()n + 2()n– 7＞0，设x = ()n，代入上式得5x2– 7x + 2＞0，解此不等式得x＜或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.【点评】本题主要考查建立函数关系式、等比数列求和、不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力. 本题立意自然，具有较强的实践性，又能和考生所熟悉的数学情境统一，背景公平，又深入浅出.3．创新型数列例3 对任意函数f(x)，x∈D，可按如图所示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入依据x0∈D，经数列发生器输出x1 = f (x0)；②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2 = f (x1)，并依此规律继续下去. 现定义.（1）若输入，则由数列发生器发生数列{x n}，请写出数列{x n}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入始数据x0的值；（3）若输入x0时产生的无穷数列{x n}满足：对任意正整数n，均有x n＜x n+1，求x的取值范围.【解析】（1）f (x)的定义域D = (–∞, –1)∪(–1, +∞).∴数列{x n}只有三项：，x3= –1.（2），即x2– 3x + 2 = 0，∴x = 1或x = 2，故当x0 = 1或2时，，即当x0 = 1时，x n = 1；当x0 = 2时，x n = 2 (n∈N*).（3）解不等式x＜，得x＜–1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x1＜–1或1＜x1＜2，对于函数，当x1＜–1时，x2 = f (x1)＞4，x3 = f (x2)＜x2，当1＜x1＜2时，x2 = f (x1)＞x1，且1＜x2＜2，依次类推，可得数列{x n}的所有项均满足x n+1＞x n (n∈N*).综上所述x1∈(1, 2)，由x1 = f (x0)，得x0∈(1, 2).【点评】本题是创新型题，以新课标中的算法为依托考查数列、函数、不等式等知识，有综合性，有新意.【能力提升】例4 如图为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（1）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过r. 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率=）（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm. 若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为L k. 为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表. (轧钢过【解析】（1）厚度为(1 –r0)n.为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足(1 –r0)n≤，即 (1 –r0)n≤. ①由于(1 –r0)n＞0，＞0，对①式两边取对数，得n lg (1 –r0)≤lg.∵lg (1 –r0)＜0，∴n≥.因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊.（2）方法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为1600·(1 –r)k·宽度（其中r = 20%），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为L·(1 –r)4·宽度.k因宽度相等，且无损耗，由体积相等，得1600·(1 –r)k = L k·(1 –r)4，即L k= 1600·0.8k–4.由此，得L3 = 2000 (mm)，L= 2500(mm)，2L= 3125(mm).1填表如下：方法二：第3与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有1600 = L3·(1 – 0.2).所以= 200(mm).同理= 2500(mm)，= 3125(mm).长率模型A = a (1 + x)n；(2)利用体积不变可解决问题，要求较强有分析问题能力.【规律总结】数列应用题的解法一般是根据题设条件，列出目标函数(或等差或等比数列模型)，然后利用相关的数列知识定型解模.1．解应用题题首先要分析实际问题的结构特点，找出所含元素间的数量关系，从而识别或确认为何种数学模型.2．定模的过程就是把文字语言表述的实际问题翻译成数学符号语言表述的数学问题,有关系数在读题中找出,或用待定系数解出.3．解模的过程就是运算的过程，首先判断是等差数列还是等比数列，确定首项、公差（比）、项数是什么，能分清a n，S n，然后选用适当方法求解.4．最后的程序是还原，即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解.5．注意：在中学应用题中一般不需建模,因为在题中一般模型已经给出.【课时作业】A组题一、选择题1．某单位某年12月份产量是同年1月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是（ C ）A． B．C． D．【解析】设1月份产量为1，月平均增长率为x，则m·1 = 1·(1 + x)11，∴x =–1.2．从2006年到2009年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄.若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2010年6月1日，甲去银行不再存款，而是将每年所有的存款的本息全部取回，则取回的金额是（ D ）A．m(1 +q)4 B．m(1 +q)5C． D．【解析】2006年到2009年各年存款在2010年取时本息各为m(1 + q)4，m(1 + q)3，m(1 + q)2，m(1 + q)，故共有m(1 + q)4 + m(1 + q)3 + m(1 +q)2 + m(1 + q) =.3．夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100m降低0.7℃. 已知山顶的温度是14.8℃，山脚处的温度是26℃，则这山顶相对于山脚的高度是（ C ）A．2000m B．1800mC．1600m D．1400m【解析】h =×100 = 1600.二、填空题4．制造某种产品，预计经过两年使成本降低36%，则平均每年应降低成本的百分比为 20% .【解析】令平均每年应降低成本百分比为x，则64%= (1 –x)2，∴x = 20%.三、解答题5．某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给开了些消炎药，并叮嘱每天早晚八时各服用一片药片.现知该药片220毫克，他的肾脏每十二小时从体内滤出这种药的60%；并且如果这种药在体内残留量超过386毫克，就将产生副作用.请问：（1）该同学上午八时第一次服药，问第二天早间服完时，药在他体内还残留多少？（2）该同学若长期服用该药肯定会产生副作用吗?【解析】（1）设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为a n毫克，a= 220，a2 = 220 + a1 × (1–60%) = 220 ×0.4，1a= 220 + a2 × (1– 60%)3=220 + 220 × 0.4 ×0.4 = 343.2，第二天早间是他第三次服药，故服药后，药在他体内的残留量为343.2毫克. （2）解法一：a n = 220 +a n－1 (1 – 60%) (n≥2)=220 + 0.4a n－1= 220 + 0.4 (220 + 0.4a n－2)=220 + 0.4 × 220 + 0.42× 220 +…+0.4n－1× 220== ＜386，∴长期服用该药不能肯定会产生副作用.解法二：由a n = 220 + 0.4a n－1可化得a n–=0.4(a n–1–)(n≥2)，∴{a n–}是一个以a1–为首项，0.4为公比的等比数列，∴a n–=(a1–)·0.4n－1＜0，∴a n＜＜386，这就是说该同学长期服用该药，不能肯定会产生副作用(注：医学专用名词,更符合逻辑性).6．某村镇1996年底的人口为1万人，人均住房面积为5m2，若该村每年人口平均增长率为1%，欲使2006年年底人均住房面积达10m2，那么每年平均需新建住房多少m2?【解析】依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列，a1= 1(万)，公比为q= 1 +1% = 1.01，n = 11，则a11 = 1× (1.01)11－1 = (1.01)10= 1 + × 0.01+ ×(1.01)2+…≈1 + 0.1 + 0.0045 = 1.1045(万).又每年年底的住房面积数组成一个等差数列，公差为d，到2006年底的住房面积为5 + 10d(万m2)，则人均住房面积为=10，解得d = 6045(m2).故：每年平均需新建住房6045m2.7．据有关资料，2005年我国工业废垃圾达7.4×108吨，占地562.4平方公里. 若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨.设环保部门2006年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问（1）2011年回收废旧物资多少吨？（2）从2006年至2011年可节约开采矿石多少吨？(精确到万吨)（3）从2006年至2011年可节约多少平方公里土地？【解析】设a n表示第n年的废旧物资回收量，S n表示前n年废旧物资回收总量，则数列{a n}是以10为首项，1 + 20%为公比的等比数列.（1）a6 = 10 (1 +20%)5= 10 × 1.25= 24.8832≈25 (万吨).（2）S6 == 99.2992≈99.3 (万吨).∴从2006年到2011年共节约开采矿石20 × 99.3≈1986 (万吨).（3）则从2006年到2011年共减少工业废弃垃圾4×99.3 = 397.2（万吨），∴从2006年到2011年共约≈3平方公里.8．甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m .（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分种多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？【解析】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n + +5n = 70，整理得n2 + 13n–140 = 0，解得n = 7，n = –20 (舍去).第1次相遇是在开始运动后7分钟.（2）设n分钟后第2次相遇，依题意.有2n + + 5n= 3 × 70.整理得n2 + 13n –6× 70 = 0，解得n = 15，n = – 28(舍去).第2次相遇是在开始运动后15分钟.9．某企业2006年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年(2007年)起每年比上一年纯利润减少20万元. 今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1 +)万元(n为正整数).（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n万元(须扣除技术改造资金)，求A n，B n的表达式；（2）依上述预测，从今年起企业只需经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润就超过不进行技术改造的累计纯利润？【解析】（1）依题意+…+(500 – 20n)= 490n– 10n2，B= 500[(1+) + (1 +) +…+ (1+)]–600n= 500[n +]–600=500n–，∴A n= 490n–10n2，B n = 500n–.（2）∵B n–A n= (500n––100) – (490n–10n2)=10.∵函数f (x) = x2 + x––10在(0, +∞)上是增函数，当1≤n≤3时，n(n+1) –≤12–10＜0，当n≥4时，n(n+1) –10≥20––10＞0,∴仅当n≥4时，B n＞A n.即只需经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润就超过不进行技术改造的累计纯利润.B组题10．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，执行某种运算程序：（1）当从A口输入自然数1时，从B口得到实数，记为；（2）当从A口输入自然数n(n≥2)时，在B口得到的结果f(n)是前一结果f(n – 1)的倍.当从A口输入3时，从B口得到；要想从B口得到，则应从A口输入自然数 .【解析】∵，∴，==，∴，11．已知整数对排列如下：(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(1, 3)，(2, 2)，(3, 1)，(1, 4)，(2,3)，(3, 2)，(4, 1)，(1, 5)，(2, 4)…则第60个整数对是 .【解析】①(1, 1)②(1, 2)， (2, 1)③(1, 3)，(2, 2)，(3, 1)④(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)， (4, 1)┇┇⑩(1, 10)， (2, 9)，…，(10, 1)前10组共有 1 + 2 + 3 +…+10 = 55个整数对故第60个整数对在第11组而11(1, 11)，(2, 10) ，(3, 9)， (4, 8)， (5, 7)，…故第60个整数对为(5, 7).12．假设A型进口汽车关税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A 型进口汽车每辆价格为64万元( 其中含32万元关税税款).（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2001年每辆价格为46万元.若A型车的价格只受关税降低影响，为了保证在2006年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车的价格要逐年降低，问平均每年至少降低多少万元？（2）某人在2001年年初将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算 (第一年的利息计入第二年的本金)，那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（1）中所述降价后的B型车？【解析】（1）因为2006年关税税款为2001年关税税款的，故所减少的关税税款为：32×= 24(万元).所以2006年A型车价格为64 – 24 = 40（万元）.因为5年后B型车价格应不高于A型车价格的90%，所以B型车价格≤40×90%= 36(万元).因为2001年B型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元.所以平均每年至少降价2万元；（2）根据题意，2001年存入的33万元5年后到期时连本带息可得：33×(1 + 1.8%)5 (万元).因为33× (1 + 1.8%)5＞33 (1 + 5 × 0.018 + 100×0.000324) = 36.07692(万元).所以够买一辆依（1）中所述5年后降价为36万元以下的B型车.。

个性化辅导授课教案学员姓名 ： 辅导类型（1对1、小班）： 年 级： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段年 月 日 时间段教 学 内 容数列一、数列的概念及其表示【重点知识梳理】 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类分类原则类型 满足条件 按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限 按项与项间 的大小关系分类 递增数列 a n ＋1＞a n其中n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.法四 同法二得d ＝－18a 1＜0，又S 5＝S 12，得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝0， ∴7a 9＝0，∴a 9＝0，∴当n ＝8或9时，S n 有最大值．（2）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则______10=a规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法： (1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； (2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值． 【变式探究】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．11 3.等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a d a a n n n n =-=-+-11或（常数+∈N n ）⇔{}n a 是等差数列 （2）等差中项法：数列{}n a 是等差数列⇔)2(211>+=+-n a a a n n n ⇔212+++=n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中k,b 是常数） （4）数列{}n a 是等差数列⇔Bn An S n +=2（其中A,B 是常数） 4.等差数列的证明方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项法：),2(211++-∈≥+=N n n a a a n n n例题：【例2】若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．规律方法 证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．5.等比数列及其前n 项和性质（1）当1≠q 时，①等比数列通项公式n nn n B A q qa q a a ⋅===-111（0≠⋅B A ）是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q .②前n 项和()''1111111A B A B A A q qaq a q q a S n n n n n -=⋅-=---=--=，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，公比为q .（2）对任何+∈N n m ,，在等比数列中有m n m n q a a -=.注：当q=1时就得到了等比数列的通项公式，因此这个公式更具有一般性.（3）若q p n m +=+()+∈N q p n m ,,,,则q p n m a a a a ⋅=⋅.特别地，当p n m 2=+时，得2q n m a a a =⋅.注：1121a a a a a a n n n ⋅==⋅=⋅- （4）数列{}{}n n b a ,为等比数列，则数列{}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n n b a b a k a a k a k ,,,,2（k 为非零常数）均为等比数列. （5）数列{}n a 为等比数列，每个k （+∈N k ）项取出一项（ k m k m k m m a a a a 32,,,+++）仍为等比数列. （6）如果{}n a 是各项均为正的等比数列，则数列{}n a a log 是等差数列.【例题】 (1)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．【解析】(1)法一 由等比中项的性质得a 3a 11＝a 27＝16，又数列{a n }各项为正，所以a 7＝4.所以a 10＝a 7×q 3＝32.所以log 2a 10＝5.规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【变式探究】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( ) A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2（7）若{}n a 为等比数列，则数列 ,,,232m m m m m S S S S S --成等比数列.（8）若{}n a 为等比数列，则数列n a a a ⋅⋅⋅ 21，n n n a a a 221⋅⋅⋅++ ，n n n a a a 32212⋅⋅⋅++ 成等比数列. （9）①当q>1时，{}{}为递减数列则为递增数列则n n a a a a ,0;,011<>. ② 当0<q<1时，{}{}为递增数列则为递减数列则n n a a a a ,0;,011<>. ③当q=1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列） ④当q<0时，该数列为摆动数列.（10）在等比数列{}n a 中，当项数为2n （+∈N n ）时，qS S 1=偶奇，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

2019-2020年高三数学 第25课时 第三章 数列 数列的实际应用专题复习教案一．课题：数列的实际应用二．教学目标：1．理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法；2．能够把实际问题转化成数列问题．三．教学重点：建立数列模型解决数列实际应用问题．四．教学过程：（一）主要知识：1．解应用问题的核心是建立数学模型；2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型；3．注意问题是求什么（）．（二）主要方法：1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答；2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数计算准确；3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求．（三）例题分析：例1．某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量，（1）求的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：）解：（1）设第一年的森林的木材存量为，第年后的森林的木材存量为，则，221555()(1)444a ab a b =-=-+， 32325555()[()1]4444a a b a b =-=-++， ………12*55555()[()()1]()4[()1]()44444n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈． （2）当时，有得55197()4[()1]44729n n a a a --⨯<即，所以，lg 51lg 27.2lg 52lg 213lg 2n ->=≈--． 答：经过8年后该地区就开始水土流失．例2．轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？解：第一个月月底余1(120%)10000(120%)1000010%30010500a =+⨯-+⨯⨯-=元，设第个月月底余，第个月月底余，则1(120%)(120%)10%300 1.08300(1)n n n n a a a a n +=+-+⨯-=-≥，从而有13750 1.08(3750)n n a a +-=-，设，∴是等比数列，∴16750 1.083750n n a -=⨯+，11126750 1.0837*******.6a =⨯+≈，还贷后纯收入为1210000(15%)8988.60a -+=元．例3．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：10101.1 2.594,1.313.796==）解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：10291.311(130%)(130%)(130%)42.621.31-+++++++==-（万元） 到期时银行的本息和为1010(110%)10 2.59425.94⨯+=⨯=（万元）∴甲方案扣除本息后的净获利为：（万元）乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502+++++⨯+++⨯==（万元）贷款的本利和为：1091.111.1[1(110%)(110%)] 1.117.531.11-+++++=⨯=-（万元） ∴乙方案扣除本息后的净获利为：（万元）所以，甲方案的获利较多．例4．某工厂在xx 年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年元，分流后进入新经济实体，第年的收入为元，（1）求的通项公式；（2）当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？（3）当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？ 解：（1）由题意得，当时，，当时，， ∴12(1)23()()(2)32n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩． （2）由已知， 当时，1121222832838()()2[()()]327232729n n n n n a a a a a a ----=+≥⨯=要使得上式等号成立，当且仅当，即，解得，因此这个人第三年收入最少为元．（3）当时，121223233()()()()32382n n n n n a a a b a a ----=+≥+≥=，上述等号成立，须且2233121log 1log 223n =+>+=因此等号不能取到， 当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．（四）巩固练习：某工厂生产总值月平均增长率为，则年平均增长率为（ ）。

年 级 高三 学科数学内容标题 数列综合应用 编稿老师张鸿菊【本讲主要内容】数列的综合应用.等差数列与等比数列的综合问题，数列与其他数学知识的综合问题，数列在实际问题中的应用.【知识掌握】 【知识点精析】1. 等差数列与等比数列的综合问题，主要是运用它们的性质、通项公式、前n 项和公式将已知条件转化为数学式子（方程或不等式等）.2. 在解决数列与其他数学知识的综合问题中，应该注意思维的角度和解题途径的选择，从“数列是特殊的函数”的角度出发，运用运动变化的观点，将问题变形转换，要分清所给问题中的数列是哪种类型，与其他数学知识的关系如何，以达到解决问题的目的.3. 用数列解决实际应用性问题，主要有增长率问题，存贷款的利息问题，几何模型中的问题等等.要把实际应用题转化为某种数列的模型，要分清是等差数列还是等比数列，还是有递推关系的数列，分清所涉及的量是数列中的项n a ，还是各项和n S ，有时还要注意数清项数，以使问题准确解决.【解题方法指导】例1.在等差数列}{n a 中，公差d ≠0，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列，，，，，，n k k k a a a a a 2131成等比数列，求数列}{n k 的通项n k .解题思路分析：这是一道等差数列与等比数列的综合问题，只需依题设条件，按已知的公式列式即可.解：依题意得41221)1(a a a d n a a n ⋅=-+=，，)3()(1121d a a d a +=+∴，整理得d a d 12=， 10a d d =∴≠， ，得nd a n =，所以，由已知得 ，，，，，，d k d k d k d d n 213是等比数列， 由d ≠0，所以数列1，3，21k k ，，…，n k ，…也是等比数列， 首项为1，公比为q=3，由此得91=k ，等比数列{n k }的首项91=k ，公比q=3，所以)21(33911 ，，==⨯=+-n k n n n ， 即得到数列{n k }的通项*)(31N n k n n ∈=+.例2.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 解题思路分析：这是一道实际应用题，依题意，先分析出中低价房面积逐年增长后，每年的面积数成等差数列，首项为250（万平方米），公差为50（万平方米）；而每年新建住房面积逐年增长后，每年的面积数成等比数列，首项是400（万平方米），公比为（1+8%），然后再依据题中条件列式，而第（1）问中，指的是中低价房的累计面积，所以应为数列的前n 项和；而第（2）问中，指的是该年建造的住房面积，应为数列的第n 项.解：（1）设中低价房面积形成数列}{n a ，由题意可知}{n a 是等差数列，其中502501==d a ，，则n n n n n S n 22525502)1(2502+=⨯-+=， 令4750225252≥+n n ，即019092≥-+n n ，而n 是正整数， ∴n ≥10，∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不小于4750万平方米. （2）设新建住房面积形成数列}{n b ，由题意可知}{n b 是等比数列，其中08.14001==q b ，，则1)08.1(400-⋅=n n b ， 由题意可知n n b a 85.0>，有85.0)08.1(40050)1(2501⋅⋅>⨯-+-n n ，即1)08.1(8.64-⋅>+n n ，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.例3. 设函数*)(122N n x x nx x y ∈+++-=的最大值为n a ，最小值为n b ，又记)31(4n n n b a nc +=， （1）求数列}{n c 的通项公式； （2）求证：)2(12111112321≥-<+++<+-n nc c c n n . 解：（1）将函数解析式变形为0)1()1(2=-+++-n y x y x y①当y=1时，=x 21-n ； 当y ≠1，由方程①有实根，得0))(1(4)1(2≥---+=∆n y y y 即014)64(32≤-++-n y n y②而y=1也是此不等式的解.，由题意知，不等式②的解集为［n n b a ，］，则n n b a ，是方程 014)4(32=-++-n y b n y 的两个实数根（此方程判别式大于零）， 据根与系数关系，得314-=n b a n n ， 2)31(4n b a nc n n n =+=∴. （2）对于n ≥2，有)1(1321211113121111122221-++⨯+⨯+<++++=+++n n n c c c n nn n 12)111()3121()211(1-=--++-+-+= .而111111111121++++>+++=+++n 1123)111()4131()3121(1+-=+-++-+-+=n n n .所以结论成立.评述：因为数列是特殊的函数，所以求}{n c 的通项公式，就是确定n c 与n 的关系，由题设可知要求n c ，应先求出n n b a ，，这又涉及到求一个分式函数的最值问题，这里是将函数式转化成关于x 的二次方程，然后由判别式求解的.本题第二问又涉及到不等式的证明，运用放缩法将nc c c 11121+++ 转化为可求和的两个数列，从而得证.【考点突破】【考点指要】数列的综合问题在高考题中常常出现在解答题中，而且多数在最后的大题，占12～14分.以05年、06年各省市的高考题来看，有一半以上的试卷都是最后一道大题，占14分.从知识内容上看，有等差数列、等比数列各公式和性质；有不等式的解和证明；有函数的性质；有实际应用题；有解析几何中曲线的性质等等.从方法上看，有用数学归纳法；数列求和的一些方法；不等式证明中的一些方法，还有的是新定义的一些数列，考查分析、归纳能力的问题.【典型例题分析】例4.已知数列}{n a 中，211=a ，点（n ，n n a a -+12）在直线y=x 上，其中n=1，2，3，… （I ）令11--=+n n n a ab ，求证数列}{n b 是等比数列； （II ）求数列}{n a 的通项； 解：（I ）由已知得n a a a n n +==+11221， 4312143143122-=--=--=a a a ，又111211--=∴--=++++n n n n n n a a b a a b ，=----=∴+++11121n n n a a a a b b 211211122)1(11=----=---+-++++n n n n a a a a a a n a n a }{n b ∴是以43-为首项，以21为公比的等比数列.（II ）由（I ）知n n n b 2123)21(431⨯-=⨯-=-， n n n a a 212311⨯-=--∴+，2123112⨯-=--∴a a ，22321231⨯-=--a a …⨯-=---2311n n a a )2(211≥-n n将以上各式相加得：)212121(23121-n n ， )321(22321212321223211)211(21231111 ，，，，=-+=∴=-+=-+=--⋅--+=∴-n n a a n n a a n n n n n评述：证明数列是等比数列，就是证明nn b b 1+=常数，本例第（II ）问，用的是将各式累加的方法而求得n a 的..例5.在数列}{n a 中，若21a a ，是正整数，且||21---=n n n a a a ，n=3，4，5，…，则称}{n a 为“绝对差数列”.（I ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（II ）若“绝对差数列”}{n a 中，032120==a a ，，数列}{n b 满足21++++=n n n n a a a b ，n=1，2，3，…，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；解：（I ），，，，，，，，，011011213987654321=========a a a a a a a a a 110=a .（答案不唯一）（II ）因为在“绝对差数列”}{n a 中，032120==a a ，，所以自第20项开始，该数列是032120==a a ，，033033272625242322======a a a a a a ，，，，，，…即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n →∞时，n a 的极限不存在，当n ≥20时，621=++=++n n n n a a a b ，所以6lim =∞→n n b评述：这是一道自定义的一个数列，考查分析、推理能力.【综合测试】一、选择题1. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（ ）A . 511个B . 512个C . 1023个D . 1024个2. 若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（ ）A . 4B . 2C . －2D . －43. 如果数列}{n a 的前n 项和)49(41nn n n S -=，那么这个数列（ ） A . 是等差数列不是等比数列B . 是等比数列不是等差数列C . 既是等差数列又是等比数列D . 既不是等差数列又不是等比数列4. 数列}{}{n n b a ，分别为由正数组成的等差数列与等比数列，且11b a =，1212++=n n b a ，则（ ）A . 11++>n n b aB . 11++=n n b aC . 11++<n n b aD . 11++≥n n b a5. 设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++11n n 的前n 项和9=n S ，则n 等于（ ）A . 88B . 99C . 100D . 1106. 数列1， ，，，，，，，，，414141413131312121的前100项和等于（ ） A . 14913 B . 141113 C . 14114D . 143147. 设A （11y x ，）B （4，9），C （22y x ，）是右焦点为F 的椭圆122=+y x 上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是821=+x x 的（ ）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件8. 农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元）预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）A . 4200～4400元B . 4400～4600元C . 4600～4800元D . 4800～5000元二、填空题9. 设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，n S 是前n 项和，若}{n S 是等差数列，则q=_________.10. 某渔场养鱼，第一年重量的增长率为200%，预计以后，每年的增长率都是前一年增长率的一半，当饲养4年后，鱼的预计重量是原来的_________倍.11.设常数a>0，42)1(xax +展开式中3x 的系数为23，则=+++∞→)(l i m 2n n a a a _________.12. 若n a n ++++= 321，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和n S =_________. 13. 一个热气球在第1min 时间里上升了25m 高度，在以后的每1min 里，它上升的高度都是它在前1min 里上升高度的80%，这个热气球最多能上升_________m .14.在等差数列}{n a 中，若10=a ，则有等式*)19(192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++-， 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列}{n b 中，若19=b ，则有等式_________成立.三、解答题15. 已知}{n a 是公比为q 的等比数列，且231a a a ，，成等差数列. （I ）求q 的值；（II ）设}{n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，当n ≥2时比较n S 与n b 的大小，并说明理由.16. 已知数列}{n a 满足*)(12111N n a a a n n ∈+==+， （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 满足*)()1(44411121N n a n n b n b b b ∈+=⋅--- ，证明}{n b 是等差数列. 17. 如图，对每个正整数n 、)(n n n y x A ，是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线n FA ，交抛物线于另一点)(n n n t S B ，.（I ）试证：)1(4≥-=⋅n S x n n .（II ）取n n x 2=，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点.试证：)1(122||||||121≥+-=++++-n FC FC FC n n n .yxFOA 1A 2A nB 1B 2B nC n【综合测试答案】一、选择题1. B 解析：3小时分裂9次，51229=.2. D 解析：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++⋅=+=10322c b a b c a c a b 得⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎩⎪⎨⎧===824)(222c b a c b a 或舍3. B 解析：由)49(41nn nn S -=求得数列通项n n a )49(45⋅=. 4. D 解析：1211212112112+++++⋅=⋅=+=n n n n n a a b b b a a a ， ， 12121212++⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n a a a a .11++≥∴n n b a5. B 解析：n n n n -+=++111，91112312=-+=-+++-+-=∴n n n S n ，∴n=99.6. A 解析：由数列的规律可以看出，141414141131313112121=+++=++=+，，， ∴91213)131(13321=+=++++ ， 前91项之和为13，第92项到第100项均为141， 14913100=∴S . 7. A 解析：三点A 、B 、C 在椭圆上，它们到右焦点的距离，分别等于其离心率e 乘以它们到右准线的距离，∵离心率=e 4，右准线为25=x ， 11545)425(54||x x AF -=-=∴，2545||4545||x CF BF -=⨯-=，.若||||||CF BF AF ，，成等差数列，则||||||2CF AF BF +=， 所以)(541059221x x +-=⨯，即821=+x x ，反之若821=+x x ，则||2||||BF CF AF =+，即|AF|，|BF|，|CF|成等差数列. 8. B 解析：工资性收入构成以1800为首项，1+6%为公比的等比数列，其他收入构成以1350为首项，160为公差的等差数列，则2008年该地区农民人均收入为44902150)06.051(180016051350%)61(18005=+⨯+≈⨯+++=T （元）.二、填空题9. 1 解析：只用第三项计算即可，设}{n a 的前三项分别为2aq aq a ，，，则)()(22aq aq a a aq a +++=+，∵a ，q 均不为零，∴q=1.10.445 解析：由已知鱼群的年增长率构成首项为2，公比为21的等比数列， ∴第n 年的增长率为)211()21()21(22121----+=∴=⋅n n n n n a a ，， 301⋅=∴a a （0a 为原重量）， ⋅==⋅=2301262a a a a a ，034044545923a a a a =⋅==，， 故4年后预计重量是原来的445倍.11. 1 解析：展开式r rr r x ax C T )()(214241--+⋅⋅=，令32128=--r r ，得r=2， 所以3x 项的项系数为2123224==⋅a a C ，， 121121)(lim 2=-=+++∴∞→n n a a a .12.12+n n 解析：)1(23222122)1(+++⨯+⨯=∴+=n n S n n a n n ，12111312121112+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-=n n n n13. 125 解析：热气球在每分钟上升的高度构成无穷递缩等比数列，则上升的高度之和为)(12554125m S =-=. 14. *)17(172121N n n b b b b b b n n ∈<=-，解析：)17(12917118162171<======-+-n b b b b b b b b b n n n n117121=∴+b b b b b n n ，1721211b b b b b b n n n ++=∴，而*)17(11172121117171N n n b b b b b b b b b b nn n n ∈<=∴==--+，，， .三、解答题15. 解：（I ）由题设2132a a a +=，即q a a q a 11212+=，∵211012021-==∴=--∴≠q q q q a 或，，， （II ）若q=1，则+=n S n 22312)1(2nn n n +=⨯-， 当n ≥2时，02)2)(1(1>+-==--n n S b S n n n ，故n n b S >，若21-=q ，则49)21(2)1(22nn n n n S n +-=--+=，当n ≥2时，4)10)(1(1---==--n n S b S n n n ，故对于*N n ∈；，当92≤≤n 时，n n b S >；当n=10时，n n b S =，当n ≥11时，n n b S <.16. （I ）解：121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a ，}1{+∴n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，n n a 21=+∴，即*)(12N n a n n ∈-=.（II ）证明：n n n n nb )b b (b b n b b b n a 24)1(4442121111=-∴+=⋅+++--- ，，n n nb n b b b =-+++∴])[(221 ①，1121)1()]1()[(2+++=+-++++n n n b n n b b b b ②，②－①，得n n n nb b n b -+=-++11)1()1(2， 即02)1(1=+--+n n nb b n③， 02)1(12=++-∴++n n b n nb④，④－③，得0212=+-++n n n nb nb nb ，即0212=+-++n n n b b b ，*)(112N n b b b b n n n n ∈-=-∴+++， }{n b ∴是等差数列.7. （I ）证明：对任意固定的n ≥1，因为焦点F （0，1），所以可设直线n n B A 的方程为x k y n =-1，将它与抛物线方程y x 42=联立得0442=--x k x n ，由一元二次方程根与系数的关系得4-=n n S x .（II ）证明：对任意固定的n ≥1，利用导数知识易得抛物线y x 42=在n A 处的切线的斜率2n A x k n =，故y x 42=在n A 处的切线方程为)(2n n n x x x y y -=-①，类似地，可求得y x 42=在n B 处的切线方程为)(2n nn S x S t y -=-②， 由②减去①得，2222nn n n n n S x x S x t y -+--=-， 从而-=-4422nn S x 2222n n n n S x x S x -+-， 24222n n n n n n S x x S x x S x +=∴-=-∴，③，将③代入①并注意4-=n n S x 得交点n C 的坐标为（2nn S x +，－1）， 由两点间的距离公式得，2222222222442444)2(||⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++=++=n n n n n n n n n x x x x S x S x FC ， 从而||22||||n n n x x FC +=， 取n n x 2=，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，122)22()12()212121(2)222(21)||1||1||1(2|)||||(|21||||||1122212121+-=-+-=+++++++=+++++++=++++-+-n n n n n n n n n x x x x x x FC FC FC。