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密码学的数学基础密码学是研究加密和解密技术的学科，涉及保护通信、数据传输和信息安全的领域。
它建立在数学和计算机科学的基础之上，其中数学起到了至关重要的作用，为密码学提供了理论基础和加密算法的设计原理。
1.数论数论是密码学中的核心数学学科之一，尤其是在公钥密码学领域。
数论的重要概念和原理包括：•素数理论：素数是密码学中的关键概念，例如，RSA算法就是基于大素数分解的难解性。
•模运算：模运算（ 取模运算）在加密算法中有广泛的应用，例如在对称密码学和公钥密码学中都有用到。
2离散数学离散数学提供了密码学中许多重要概念和工具，例如：•布尔代数：对称密码学中的代换和置换操作可以用布尔代数进行描述。
•图论：在密码学中，图论用于描述和分析各种密码算法的结构。
3.线性代数线性代数在密码学中的应用主要涉及到向量、矩阵和线性空间：•矩阵运算：许多密码算法（ 比如AES）使用了矩阵运算来进行加密和解密。
•向量空间：在错误检测和纠正、密码系统设计中有广泛应用。
4.复杂性理论和算法复杂性•复杂性理论：对称密码学和公钥密码学中的许多算法都基于某些数学难题的困难性，如大素数分解、离散对数等。
•算法复杂性：设计有效的加密算法需要考虑到算法的复杂性，使其具有足够的安全性和效率。
5.概率论与信息论•概率论：在密码学中，概率论用于分析密码算法的安全性，并评估密码系统受到攻击的概率。
•信息论：信息论涉及信息的量度和传输，为密码学提供了一些加密和解密的基本原理。
这些数学学科为密码学提供了理论基础和设计加密算法的数学原理。
通过利用数学难题的困难性，结合算法设计和信息理论，密码学可以实现信息的安全传输和储存，保障信息的机密性和完整性。
第三章习题（个人答案，可能有错误）1.判断题（1）现在使用大多数密码系统的安全性都是从理论上证明它是不可攻破的。
（×）（2）根据香农的理论，在加密明文之前，利用压缩技术压缩明文，将增加攻击者破译的难度。
（√）（3）从理论上讲，穷举攻击可以破解任何密码系统，包括一次一密密码系统。
（×）解析：一次一密系统具有完全保密性。
（4）设计密码系统的目标就是使其达到理论保密性。
（×）解析：不能单纯追求理论保密性，应考虑实际情况。
如一次一密系统要传送大量密钥到接收方，致使密钥管理非常脆弱而易受攻击。
（5）任何一个密码体制都可以通过迭代来提高其安全强度。
（×）解析：分组密码通过迭代可提高安全性。
（6）在问题的复杂度中，P类不大于NP类。
（√）解析：NP类包括P类，但目前没有“P类严格小于NP类”的证明。
2.选择题（1）16模20的逆元是（D）。
A．3 B. 4 C. 5 D.不存在解析：gcd(16,20)!=1，不存在逆元。
（2）下面（D）不是代数系统（R，+，）构成一个环的必要条件。
A. (a+b)+c=a+(b+c), a,b,c∈RB. a+b=b+a, a,b∈RC. (ab)c=a(bc),a,b,c∈RD. 对于R中的任何非零元a，存在逆元a-1 ∈R，使aa-1=1（3）下列整数中属于Blum数的是（A）。
A．21 B. 28 C. 35 D. 42解析：21=3*7，且3，7都模4余3，21为Blum数。
（4）雅可比符号J(384,443)=（A）A. 1B. -1C. 0D. 以上结果都不对解析：J(384,443)=J(59,443)=-J(443,59)=-J(30,59)=-J(2,59)*J(15,59)=J(15,59)=-J(59,15)=-J(13,15)=-J(15,13)=-J(2,13)=1（5）下面的描述中（B）是错误的。
A．互信息量等于先验的不确定性减去尚存的不确定性。
