专题10 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题-2019年高考数学培优系列(学生版)
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第10讲恒成立能成立3种常见题型【考点分析】考点一:恒成立问题若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ,则不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>;不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥;不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<;不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤;考点二:存在性问题若函数()f x 在区间D上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ,即()[],f x m n ∈,则对不等式有解问题有以下结论:不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<;不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤;不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>;不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥;考点三:双变量问题①对于任意的[]1,x a b ∈[]2m,x n ∈,使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤;②对于任意的[]1,x a b ∈,总存在[]2m,x n ∈,使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥;③若存在[]1,x a b ∈,对于任意的[]2m,x n ∈,使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤;④若存在[]1,x a b ∈,对于任意的[]2m,x n ∈,使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥;⑤对于任意的[]1,x a b ∈,[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤;⑥对于任意的[]1,x a b ∈,[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥;⑦若存在[]1,x a b ∈,总存在[]2m,x n ∈,使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤⑧若存在[]1,x a b ∈,总存在[]2m,x n ∈,使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥.【题型目录】题型一:利用导数研究恒成立问题题型二:利用导数研究存在性问题题型三:利用导数处理恒成立与有解问题【典型例题】题型一:利用导数研究恒成立问题【例1】(2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习)对任意正实数x ,不等式ln 1x x a -+>恒成立,则a 的取值范围是()A .1a <B .2a <C .1a >D .2a >【答案】B【详解】令()ln 1f x x x =-+,其中0x >,则()min a f x <,()111x f x x x-'=-=,当01x <<时,()0f x '<,此时函数()f x 单调递减,当1x >时,()0f x '>,此时函数()f x 单调递增,所以,()()min 12f x f ==,2a ∴<.故选:B.【例2】【2022年全国甲卷】已知函数()a x x xe xf x-+-=ln .(1)若≥0,求a 的取值范围;【答案】(1)(−∞,+1]【解析】(1)op 的定义域为(0,+∞),'(p =(1−12)e −1+1=1(11)e +(1−1)=K1(e+1)令op =0,得=1当∈(0,1),'(p <0,op 单调递减,当∈(1,+∞),'(p >0,op 单调递增o )≥o1)=e +1−,若op ≥0,则e +1−≥0,即≤e +1,所以的取值范围为(−∞,+1]【例3】已知函数211()(1)ln (,0)22f x x a x a a =-+-∈≠R .(1)讨论函数的单调性;(2)若对任意的[1,)x ∈+∞,都有()0f x ≥成立,求a 的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2)0a ≤.【解析】【分析】(1)求()'f x ,分别讨论a 不同范围下()'f x 的正负,分别求单调性;(2)由(1)所求的单调性,结合()10f =,分别求出a 的范围再求并集即可.【详解】解:(1)由已知定义域为()0,∞+,()211'()x a a f x x x x-++=-=当10a +≤,即1a ≤-时,()'0f x >恒成立,则()f x 在()0,∞+上单调递增;当10a +>,即1a >-时,x =或x =所以()f x在(上单调递减,在)+∞上单调递增.所以1a ≤-时,()f x 在()0,∞+上单调递增;1a >-时,()f x在(上单调递减,在)+∞上单调递增.(2)由(1)可知,当1a ≤-时,()f x 在()1,+∞上单调递增,若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立,只需(1)0f ≥,而(1)0f =恒成立,所以1a ≤-成立;当1a >-1≤,即10a -<≤,则()f x 在()1,+∞上单调递增,又(1)0f =,所以10a -<≤成立;若0a >,则()f x在(上单调递减,在)+∞上单调递增,又(1)0f =,所以(0x ∃∈,()0()10f x f <=,不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以综上所述:0a ≤.【例4】已知函数()ln f x x ax =-(a 是正常数).(1)当2a =时,求()f x 的单调区间与极值;(2)若0x ∀>,()0f x <,求a 的取值范围;【答案】(1)()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,()f x 的极大值是ln 21--,无极小值;(2)1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】(1)求出函数的导函数,解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间;(2)依题意可得maxln x a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,设()ln xg x x =,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最大值,即可得解;【详解】解:(1)当2a =时,()ln 2f x x x =-,定义域为()0,∞+,()1122x f x x x-'=-=,令()0f x '>,解得102x <<,令()0f x '<,解得12x >,所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()f x 的极大值是1ln 212f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,无极小值.(2)因为0x ∀>,()0f x <,即ln 0x ax -<恒成立,即maxln x a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.设()ln x g x x =,可得()21ln xg x x -'=,当0x e <<时()0g x '>,当x e >时()0g x '<,所以()g x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减,所以()()max 1e e g x g ==,所以1a e >,即1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.【例5】已知函数()xf x xe=(1)求()f x 的极值点;(2)若()2f x ax ≥对任意0x >恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)1x =-是()f x 的极小值点,无极大值点;(2)a e ≤.【解析】【分析】(1)利用导数研究函数的极值点.(2)由题设知:xe a x≤在0x >上恒成立,构造()x e g x x =并应用导数研究单调性求最小值,即可求a 的范围.【详解】(1)由题设,()(1)xf x e x '=+,∴1x <-时,()0<'x f ,()f x 单调递减;1x >-时,()0>'x f ,()f x 单调递增减;∴1x =-是()f x 的极小值点,无极大值点.(2)由题设,()2xx f x xe a =≥对0x ∀>恒成立,即x ea x≤在0x >上恒成立,令()x e g x x =,则2(1)()x e x g x x '-=,∴01x <<时,()0g x '<,()g x 递减;1x >时,()0g x '>,()g x 递增;∴()(1)e g x g ≥=,故a e ≤.【题型专练】1.(2022·四川广安·模拟预测(文))不等式ln 0x kx -≤恒成立,则实数k 的取值范围是()A .[)0,e B .(],e -∞C .10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】由题可得ln xk x ≥在区间(0,)+∞上恒成立,然后求函数()()ln 0x f x x x=>的最大值即得.【详解】由题可得ln xk x≥在区间(0,)+∞上恒成立,令()()ln 0x f x x x =>,则()()21ln 0xf x x x-'=>,当()0,e x ∈时,()0f x '>,当()e,x ∈+∞时,()0f x '<,所以()f x 的单调增区间为()0,e ,单调减区间为()e,+∞;所以()()max 1e ef x f ==,所以1ek ≥.故选:D.2.(2022·北京·景山学校模拟预测)已知函数()ln 2f x x x ax =++.(1)当0a =时,求()f x 的极值;(2)若对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦,()0f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)极小值是11+2e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,无极大值.(2)222,e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】(1)由题设可得()ln 1f x x '=+,根据()f x '的符号研究()f x 的单调性,进而确定极值.(2)()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立,转化为:2ln 2ln x x a x x x+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立,令()2ln g x x x=+,通过求导求()g x 的单调性进而求得()g x 的最大值,即可求出实数a 的取值范围.(1)当0a =时,()ln 2f x x x =+,()f x 的定义域为()0+∞,,()ln 1=0f x x '=+,则1ex =.令()0f x '>,则1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,令()0f x '<,则10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ,所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1e x =时,()f x 取得极小值且为1111ln 2+2e e ee f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭,无极大值.(2)()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立,则2ln 2ln x x a x x x+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立,令()2ln g x x x=+,()222120x g x x x x -+'=-+==,所以2x =,则()g x 在[)1,2上单调递减,在(22,e ⎤⎦上单调递增,所以()12g =,()222e2e g =+,所以()()22max2e 2e g x g ==+,则222e a -≥+,则222e a ≤--.实数a 的取值范围为:222,e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭.3.(2022·新疆克拉玛依·三模(文))已知函数()ln f x x x =,()()23g x x ax a R =-+-∈.(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若对任意()0,x ∞∈+,不等式()()12f xg x ≥恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,(2)(],4-∞【解析】【分析】(1)求函数()f x 的单调递增区间,即解不等式()0f x '>;(2)参变分离得32ln a x x x≤++,即求()()()32ln 0,h x x x x x =++∈+∞的最小值.(1)()ln f x x x =定义域为(0,)+∞,(ln +1f x '=()0f x '>即ln +10x >解得1e x >,所以()f x 在1,)e∞+(单调递增(2)对任意()0,x ∞∈+,不等式()()12f xg x ≥恒成立,即()21ln 32x x x ax ≥-+-恒成立,分离参数得32ln a x x x≤++.令()()()32ln 0,h x x x x x =++∈+∞,则()()()231x x h x x +-'=.当()0,1∈x 时,()0h x '<,()h x 在()0,1上单调递减;当()1,x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 在()1,+∞上单调递增.所以()()min 14h x h ==,即4a ≤,故a 的取值范围是(],4-∞.4.(2022·内蒙古赤峰·三模(文))已知函数()()ln 1f x x x =+.(1)求()f x 的最小值;(2)若()()212-++-≥x m x x f 恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】(1)min 21()e f x =-(2)(],3-∞【解析】【分析】(1)求出函数的导数,利用导数求函数在定义域上的最值即可;(2)由原不等式恒成立分离参数后得2ln m x x x ++,构造函数()2ln h x x x x=++,利用导数求最小值即可.(1)由已知得()ln 2f x x '=+,令()0f x '=,得21ex =.当210,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()()0,f x f x '<在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减;当21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时,()()0,f x f x '在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.故min 2211()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.(2)()()212-++-≥x m x x f ,即2ln 2++≤x x x mx ,因为0x >,所以xx x m 2ln ++≤在()+∞,0上恒成立.令()2ln h x x x x =++,则()()()min 222112(),1x x m h x h x x x x +-=+-'=,令()0h x '=,得1x =或2x =-(舍去).当()0,1x ∈时,()()0,h x h x '<在()0,1上单调递减;当[)1,x ∞∈+时,()0>'x h ,()x h 在[)1,+∞上单调递增.故()min ()13h x h ==,所以3≤m ,即实数m 的取值范围为(],3-∞.5.【2020年新高考1卷(山东卷)】已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+.(1)当a e =时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若不等式()1f x ≥恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)21e -(2)[1,)+∞【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求出在点()()1,1f 切线方程,即可得到坐标轴交点坐标,最后根据三角形面积公式得结果;(2)方法一:利用导数研究函数()f x 的单调性,当a =1时,由()10f '=得()()11min f x f ==,符合题意;当a >1时,可证1()(1)0f f a''<,从而()f x '存在零点00x >,使得01001()0x f x ae x -'=-=,得到m in ()f x ,利用零点的条件,结合指数对数的运算化简后,利用基本不等式可以证得()1f x ≥恒成立;当01a <<时,研究()1f .即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围.【详解】(1)()ln 1x f x e x =-+Q ,1()xf x e x'∴=-,(1)1k f e '∴==-.(1)1f e =+Q ,∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数()f x 在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--.(2)[方法一]:通性通法1()ln ln x f x ae x a -=-+Q ,11()x f x ae x-'∴=-,且0a >.设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x -'=+>∴g(x )在(0,)+∞上单调递增,即()f x '在(0,)+∞上单调递增,当1a =时,()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时,11a <,111a e <∴,111()(1)(1)(1)0a f f a e a a -''∴=--<,∴存在唯一00x >,使得01001()0x f x ae x -'=-=,且当0(0,)x x ∈时()0f x '<,当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>,0101x ae x -∴=,00ln 1ln a x x ∴+-=-,因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a-==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1,∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立;当01a <<时,(1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立.综上所述,实数a 的取值范围是[1,+∞).[方法二]【最优解】:同构由()1f x ≥得1e ln ln 1x a x a --+≥,即ln 1ln 1ln a x e a x x x +-++-≥+,而ln ln ln x x x e x +=+,所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+.令()m h m e m =+,则()10m h m e +'=>,所以()h m 在R 上单调递增.由ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+,可知(ln 1)(ln )h a x h x +-≥,所以ln 1ln a x x +-≥,所以max ln (ln 1)a x x ≥-+.令()ln 1F x x x =-+,则11()1xF x x x-'=-=.所以当(0,1)x ∈时,()0,()F x F x '>单调递增;当(1,)x ∈+∞时,()0,()F x F x '<单调递减.所以max [()](1)0F x F ==,则ln 0a ≥,即1a ≥.所以a 的取值范围为1a ≥.[方法三]:换元同构由题意知0,0a x >>,令1x ae t -=,所以ln 1ln a x t +-=,所以ln ln 1a t x =-+.于是1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x -=-+=-+-+.由于()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥-+-+≥⇔+≥+,而ln y x x =+在,()0x ∈+∞时为增函数,故t x ≥,即1x ae x -≥,分离参数后有1x x a e -≥.令1()x x g x e -=,所以1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e -------=='.当01x <<时,()0,()'>g x g x 单调递增;当1x >时,()0,()g x g x '<单调递减.所以当1x =时,1()x x g x e -=取得最大值为(1)1g =.所以1a ≥.[方法四]:因为定义域为(0,)+∞,且()1f x ≥,所以(1)1f ≥,即ln 1a a +≥.令()ln S a a a =+,则1()10S a a='+>,所以()S a 在区间(0,)+∞内单调递增.因为(1)1S =,所以1a ≥时,有()(1)S a S ≥,即ln 1a a +≥.下面证明当1a ≥时,()1f x ≥恒成立.令1()ln ln x T a ae x a -=-+,只需证当1a ≥时,()1T a ≥恒成立.因为11()0x T a ea-=+>',所以()T a 在区间[1,)+∞内单调递增,则1min [()](1)ln x T a T e x -==-.因此要证明1a ≥时,()1T a ≥恒成立,只需证明1min [()]ln 1x T a e x -=-≥即可.由1,ln 1x e x x x ≥+≤-,得1,ln 1x e x x x -≥-≥-.上面两个不等式两边相加可得1ln 1x e x --≥,故1a ≥时,()1f x ≥恒成立.当01a <<时,因为(1)ln 1f a a =+<,显然不满足()1f x ≥恒成立.所以a 的取值范围为1a ≥.【整体点评】(2)方法一:利用导数判断函数()f x 的单调性,求出其最小值,由min 0f ≥即可求出,解法虽稍麻烦,但是此类题,也是本题的通性通法;方法二:利用同构思想将原不等式化成ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+,再根据函数()m h m e m =+的单调性以方法三:通过先换元,令1x ae t -=,再同构,可将原不等式化成ln ln t t x x +≥+,再根据函数ln y x x =+的单调性以及分离参数法求出;方法四:由特殊到一般,利用(1)1f ≥可得a 的取值范围,再进行充分性证明即可.题型二:利用导数处理存在性问题【例1】(2022·河北秦皇岛·三模)函数()3233f x x x a =-+-,若存在[]01,1x ∈-,使得()00f x >,则实数a的取值范围为()A .(),1-∞-B .(),1-∞C .()1,3-D .(),3-∞【答案】D【分析】根据题意,将问题转化为求解函数()f x 的最大值问题,先通过导数方法求出函数()f x 的最大值,进而求出答案.【详解】因为()3233f x x x a =-+-,所以()()[]23632,1,1f x x x x x x =-∈-'-=.由题意,只需max ()0f x >.当x ∈[1,0)-时,()0f x '>,当(0,1]x ∈时,()0f x '<,所以()f x 在[1,0)-上单调递增,在(0,1]上单调递减,所以()max 0()30f f x a ==->,故实数a 的取值范围为(),3-∞.故选:D.【例2】已知函数()326f x ax bx x c =+++,当1x =-时,()f x 的极小值为5-,当2x =时,()f x 有极大值.(1)求函数()f x ;(2)存在[]013x ∈,,使得()202f x t t ≤-成立,求实数t 的取值范围.【答案】(1)()3233622f x x x x =-++-;(2)(,1][3,)-∞-+∞ .【解析】【分析】(1)求导后,根据()()120f f ''-==和()15f -=-,解得,,a b c 即可得解;(2)转化为()2min 2f x t t ≤-,再利用导数求出函数()f x 在[]13,上的最小值,然后解不等式223t t -≥可得结果.(1)∵()2326f x ax bx '=++,由()()120f f ''-==,得3260a b -+=且12460a b ++=,解得1a =-,32b =,又()15f -=-,∴32c =-,经检验1a =-,32b =时,()3233622f x x x x =-++-满足题意,∴()3233622f x x x x =-++-;(2)存在[]013x ∈,,使得()202f x t t ≤-,等价于()2min 2f x t t ≤-,∵()()()2336321f x x x x x '=-++=--+,当[1,2)x ∈时,()0f x '>,当(2,3]x ∈时,()0f x '<,∴()f x 在(2,3]上递减,在[1,2)上递增,又()15f =,()33f =,∴()f x 在[]13,上的最小值为()33f =,∴223t t -≥,解得1t ≤-或3t ≤,所以t 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞ .【例3】(2022·辽宁·高二阶段练习)已知0a >,若在(1,)+∞上存在x 使得不等式e ln x a x x a x -≤-成立,则a 的最小值为______.【题型专练】1.已知函数()()222ln f x x a x =++.(1)当5a =-时,求()f x 的单调区间;(2)若存在[]2,e x ∈,使得()2242a f x x x x+->+成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)单调递减区间为()0,2,单调递增区间为()2,+∞;(2)2e e 2,e 1∞⎛⎫-++⎪-⎝⎭.【解析】【分析】(1)当5a =-时,()28ln f x x x =-,得出()f x 的定义域并对()f x 进行求导,利用导数研究函数的单调性,即可得出()f x 的单调区间;(2)将题意等价于()24222ln 0a x a x x ++-+<在[]2,e 内有解,设()()24222ln a h x x a x x+=+-+,即在[]2,e 上,函数()min 0h x <,对()h x 进行求导,令()0h x '=,得出2x a =+,分类讨论2a +与区间[]2,e 的关系,并利用导数研究函数()h x 的单调和最小值,结合()min 0h x <,从而得出实数a 的取值范围.(1)解:当5a =-时,()28ln f x x x =-,可知()f x 的定义域为()0,+∞,则()28282,0x f x x x x x-'=-=>,可知当()0,2x ∈时,()0f x ¢<;当()2,x ∈+∞时,()0f x ¢>;所以()f x 的单调递减区间为()0,2,单调递增区间为()2,+∞.(2)解:由题可知,存在[]2,e x ∈,使得()2242a f x x x x+->+成立,等价于()24222ln 0a x a x x++-+<在[]2,e 内有解,可设()()24222ln a h x x a x x+=+-+,即在[]2,e 上,函数()min 0h x <,()()()()()()()22222122422222242x x a a a x a x a h x x xx x ⎡⎤+-+++-+-+⎣⎦∴=--==',令()0h x '=,即()()120x x a ⎡⎤+-+=⎣⎦,解得:2x a =+或1x =-(舍去),当2e a +≥,即e 2a ≥-时,()0h x '<,()h x 在[]2,e 上单调递减,()()min24e 2e+220e a h x h a +∴==--<,得2e e 2e 1a -+>-,又2e e 2e 2e 1-+>-- ,所以2e e 2e 1a -+>-;当22a +≤时,即0a ≤时,()0h x '>,()h x 在[]2,e 上单调递增,()()()min 2622ln 20h x h a a ∴==+-+<,得6ln 40ln 41a ->>-,不合题意;当22e a <+<,即0e 2a <<-时,则()h x 在[]2,2a +上单调递减,在[]2,e a +上单调递增,()()()()min 22622ln 2h x h a a a a ∴=+=+-++,()ln 2ln 2ln e 1a <+<= ,()()()22ln 222ln 2222a a a a ∴+<++<+,()()()22622ln 226224h a a a a a a ∴+=+-++>+--=,即()min 4h x >,不符合题意;综上得,实数a 的取值范围为2e e 2,e 1∞⎛⎫-++⎪-⎝⎭.【点睛】思路点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性,以及利用导数解决不等式成立的综合问题:(1)利用导数解决单调区间问题,应先确定函数的定义域,否则,写出的单调区间易出错;利用导数解决含有参数的单调性问题,要注意分类讨论和化归思想的应用;(2)利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是:构造新函数,利用导数研究的单调区间和最值,再进行相应证明.2.(2022·河北深州市中学高三阶段练习)已知函数()ln 21f x x ax =-+.(1)若1x =是()f x 的极值点,确定a 的值;(2)若存在0x >,使得()0f x ≥,求实数a 的取值范围.所以,函数()f x 在1x =处取得极大值,合乎题意,故2a =.(2)解:存在0x >,使得()ln 210f x x ax =-+≥可得ln 12x a x+≤,构造函数()ln 1x g x x+=,其中0x >,则()2ln x g x x '=-,当01x <<时,()0g x '>,此时函数()g x 单调递增,当1x >时,()0g x '<,此时函数()g x 单调递减,则()()max 11g x g ==,所以,21a ≤,解得12a ≤,因此,实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.3.已知函数()ln xf x x=,设()f x 在点()1,0处的切线为m (1)求直线m 的方程;(2)求证:除切点()1,0之外,函数()f x 的图像在直线m 的下方;(3)若存在()1,x ∈+∞,使得不等式()()1f x a x >-成立,求实数a 的取值范围【答案】(1)y =x ﹣1;(2)见详解;(3)(﹣∞,1).【解析】【分析】(1)求导得21ln ()xf x x -'=,由导数的几何意义k 切=f ′(1),进而可得答案.(2)设函数h (x )=f (x )﹣(x ﹣1)=ln xx﹣x +1,求导得h ′(x ),分析h (x )的单调性,最值,进而可得f (x )﹣(x ﹣1)≤0,则除切点(1,0)之外,函数f (x )的图象在直线的下方.(3)若存在x ∈(1,+∞),使得不等式a <ln (1)x x x -成立,令g (x )=ln (1)xx x -,x >1,只需a <g (x )max .【详解】(1)221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==,由导数的几何意义k 切=f ′(1)=1,所以直线m 的方程为y =x ﹣1.(2)证明:设函数h (x )=f (x )﹣(x ﹣1)=ln xx﹣x +1,2221ln 1ln ()1x x x h x x x ---'=-=,函数定义域为(0,+∞),令p (x )=1﹣lnx ﹣x 2,x >0,p ′(x )=﹣1x﹣2x <0,所以p (x )在(0,+∞)上单调递减,又p (1)=0,所以在(0,1)上,p (x )>0,h ′(x )>0,h (x )单调递增,在(1,+∞)上,p (x )<0,h ′(x )<0,h (x )单调递减,所以h (x )max =h (1)=0,所以h (x )≤h (1)=0,所以f (x )﹣(x ﹣1)≤0,若除切点(1,0)之外,f (x )﹣(x ﹣1)<0,所以除切点(1,0)之外,函数f (x )的图象在直线的下方.(3)若存在x ∈(1,+∞),使得不等式f (x )>a (x ﹣1)成立,则若存在x ∈(1,+∞),使得不等式()1f x x ->a 成立,即若存在x ∈(1,+∞),使得不等式a <ln (1)xx x -成立,令g (x )=ln (1)xx x -,x >1,g ′(x )=221(1)(21)ln (1)x x x xxx x ⋅----=221(21)ln (1)x x xx x ----,令s (x )=x ﹣1﹣(2x ﹣1)lnx ,x >1s ′(x )=1﹣2lnx ﹣(2x ﹣1)•1x 2ln 212ln 1x x x x x x x x x--+--+==,令q (x )=﹣x ﹣2xlnx +1,x >1q ′(x )=﹣1﹣2lnx ﹣2=﹣3﹣2lnx <0,所以在(1,+∞)上,q (x )单调递减,又q (1)=0,所以在(1,+∞)上,q (x )<0,s ′(x )<0,s (x )单调递减,所以s (x )≤s (1)=0,即g ′(x )≤0,g (x )单调递减,又111ln lim lim 1(1)21x x x x x x x →→==--,所以a <1,所以a 的取值范围为(﹣∞,1).4.已知函数()ln 1f x x x ax =-+.(1)若()f x 在点(1,(1))A f 处的切线斜率为2-.①求实数a 的值;②求()f x 的单调区间和极值.(2)若存在0(0,)x ∈+∞,使得()00f x <成立,求a 的取值范围.【答案】(1)①3a =;②减区间为2(0,)e ,增区间为2(,)e +∞,极小值为21e -,无极大值;(2)(1,)+∞.【解析】【分析】(1)求得函数的导数()ln 1f x x a '=+-,①根据题意得到()2f x '=-,即可求得a 的值;②由①知()ln 2,0f x x x '=->,结合导数的符号,以及极值的概念与计算,即可求解;(2)设()1ln g x x x=+,根据存在0(0,)x ∈+∞,使得()00f x <成立,得到()min a g x >成立,结合导数求得函数()g x 的单调性与最小值,即可求解.【详解】(1)由题意,函数()ln 1f x x x ax =-+的定义域为(0,)+∞,且()ln 1f x x a '=+-,①因为()f x 在点(1,(1))A f 处的切线斜率为2-,可得()12f x a '=-=-,解得3a =.②由①得()ln 2,0f x x x '=->,令()0f x '>,即ln 20x ->,解得2x e >;令()0f x '<,即ln 20x -<,解得20x e <<,所以函数()f x 在2(0,)e 上单调递减,在2(,)e +∞上单调递增,当2x e =时,函数()f x 取得极小值,极小值为()221f e e =-,无极大值,综上可得,函数()f x 的减区间为2(0,)e ,增区间为2(,)e +∞,极小值为21e -,无极大值.(2)因为()ln 1f x x x ax =-+,由()00f x <,即000ln 10x x ax -+<,即00000ln 11ln x x a x x x +>=+,设()1ln ,0g x x x x=+>根据题意知存在0(0,)x ∈+∞,使得()00f x <成立,即()min a g x >成立,由()1ln ,0g x x x x =+>,可得()22111x g x x x x-'=-=,当01x <<时,()0g x '<,()g x 单调递减;当1x >时,()0g x '>,()g x 单调递增,所以当1x =时,函数()g x 取得最小值,最小值为()11g =,所以1a >,即实数a 的取值范围是(1,)+∞.5.已知函数()ln (R)f x x ax a =+∈.(1)当a =1时,求曲线()y f x =在x =1处的切线方程;(2)求函数()f x 的单调区间;(3)若存在0x ,使得()00f x >,求a 的取值范围.【答案】(1)210x y --=;(2)0a ≥时,()f x 在()0,∞+单增;0a <,()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单增,在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单减;(3)1a e>-.【解析】【分析】(1)求出函数导数,将切线横坐标代入得到斜率,再求出切点纵坐标,最后写出切线方程;(2)求导后,通分,分0,0a a ≥<两种情况讨论得到单调区间;(3)当0a ≥时,代特值验证即可,当0a <时,函数最大值大于0,解出即可.【详解】由题意,()1(1)1,1,f f x x'==+所以()12,f '=所以切线方程为:()121210y x x y -=-⇒--=.(2)110,()ax x f x a x x+'>=+=,若0a ≥,则()0f x '>,()f x 在()0,∞+单增;若0a <,则10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 单增;1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单减.(3)由(2),若0a ≥,则(2)ln 220f a =+>,满足题意;若0a <,()max 111(ln 10f x f a a a e ⎛⎫=-=-->⇒>- ⎪⎝⎭,则10a e -<<,综上:1a e>-.题型三:利用导数处理恒成立与有解问题【例1】(2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习)设函数()()()()1e e ,e 1x xf x xg x ax =--=--,其中R a ∈.若对[)20,x ∀∈+∞,都1R x ∃∈,使得不等式()()12f x g x ≤成立,则a 的最大值为()A .0B .1eC .1D .e【例2】已知函数2()ln (R),()22f x ax x a g x x x =+∈=-+.(1)当12a =-时,求函数()f x 在区间[1,e]上的最大值和最小值;(2)若对任意的1[1,2]x ∈-,均存在2(0,)x ∈+∞,使得()()12g x f x <,求a 的取值范围.【答案】(1)最大值为ln 21-,最小值为12-;(2)61(,)e -+∞.【解析】【分析】(1)利用导数研究()f x 的区间单调性,进而确定端点值和极值,比较它们的大小,即可得最值;(2)将问题转化为1[1,2]x ∈-、2(0,)x ∈+∞上1max 2max ()()g x f x <,利用二次函数性质及导数求函数最值,即可得结果.(1)由题设()ln 2x f x x =-,则2()2x f x x-'=,所以在[1,2)上()0f x '>,()f x 递增,在(2,e]上()0f x '<,()f x 递减,则1(1)2f =-<e (e)12f =-,极大值(2)ln 21f =-,综上,()f x 最大值为ln 21-,最小值为12-.(2)由22()22(1)1g x x x x =-+=-+在[1,2]x ∈-上max ()(1)5g x g =-=,根据题意,只需max max ()()g x f x <即可,由1()f x a x'=+且,()0x ∈+∞,当0a ≥时,()0f x '>,此时()f x 递增且值域为R ,所以满足题设;当0a <时,1(0,)a-上()0f x '>,()f x 递增;1(,)a -+∞上()0f x '<,()f x 递减;所以max 1()()1ln()f x f a a =-=---,此时1ln()5a --->,可得61ea >-,综上,a 的取值范围61(,)e -+∞.【点睛】关键点点睛:第二问,将问题转化为1[1,2]x ∈-、2(0,)x ∈+∞上1max 2max ()()g x f x <求参数范围.【例3】已知函数()sin cos f x x x x =+.(1)当()0,πx ∈时,求函数()f x 的单调区间;(2)设函数2()2=-+g x x ax .若对任意[]1π,πx ∈-,存在2[0,1]x ∈,使得()()1212πf xg x ≤成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)当x ()0,π∈时,函数()f x 的单调递增区间为π0,2⎛⎫⎪⎝⎭,函数()f x 的单调递减区间为π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2)1[,)2+∞.【解析】【分析】(1)首先对函数求导,根据x 的取值情况判断()f x '的正负情况,进而得到()f x 的增减情况;(2)对任意[]1π,πx ∈-,存在2[0,1]x ∈,使得12()()h x g x ≤成立,等价于max max ()()h x g x ≤,然后对a 进行讨论,分别求函数的最值,进而得到结论.(1)因为()sin cos f x x x x =+,所以()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=.当x ()0,π∈时,()'f x 与()f x 的变化情况如表所示:xπ0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π2π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭()'f x +0-()f x 单调递增π2单调递减所以当x ()0,π∈时,函数()f x 的单调递增区间为π0,2⎛⎫⎪⎝⎭,函数()f x 的单调递减区间为π,π2⎛⎫⎪⎝⎭.(2)当[]π,πx ∈-时,()()f x f x -=,所以函数()f x 为偶函数.所以当[]π,πx ∈-时,函数()f x 的单调递增区间为ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭,π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,函数()f x 的单调递减区间为π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭,π,π2⎛⎫⎪⎝⎭,所以函数()f x 的最大值为πππ222f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设()()12πh x f x =,则当[]π,πx ∈-时,()max 1π12π24h x =⋅=.对任意[]1π,πx ∈-,存在2[0,1]x ∈,使得12()()h x g x ≤成立,等价于max max ()()h x g x ≤.当0a ≤时,函数()g x 在区间[0,1]上的最大值为(0)0g =,不合题意.当01a <<时,函数()g x 在区间[0,1]上的最大值为2()g a a =,则214a ≥,解得12a ≥或12a ≤-,所以112a ≤<.当1a ≥时,函数()g x 在区间[0,1]上的最大值为(1)21g a =-,则1214a -≥,解得58a ≥,所以1a ≥.综上所述,a 的取值范围是1[,)2+∞.【例4】(2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末)已知函数()ln xf x x=,2()ln(1)2g x x ax =++,若211,e x ∀⎡⎤∈⎣⎦,()20,1x ∃∈使得12()()f x g x >成立,则实数a 的取值范围是()A .ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪B .ln 2,2⎛⎤-∞-⎥C .1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D .ln 2,e 2⎛⎤-∞- ⎥故选:A【例5】(2023·全国·高三专题练习)已知函数()3331,0422112,122x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩,()e xg x ax =-()R a ∈,若存在[]12,0,1x x ∈,使得()()12f x g x =成立,则实数a 的取值范围是()A .(],1-∞B .(],e 2-∞-C .5,e4⎛⎤-∞- ⎥D .(],e -∞≤【题型专练】1.(2022·河南·南阳中学高三阶段练习(理))已知函数()33f x x x a =-+,()211x g x x +=-.若对任意[]12,2x ∈-,总存在[]22,3x ∈,使得()()12f x g x ≤成立,则实数a 的最大值为()A .7B .5C .72D .32.(2022·福建宁德·高二期末)已知()()11e x f x x -=-,()()21g x x a =++,若存在1x ,2R x ∈,使得()()21f x g x ≥成立,则实数a 的取值范围为()A .1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B .1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C .()0,e D .1,0e ⎡⎫-⎪⎢3.(2022·河南安阳·高二阶段练习(理))已知函数ln ()x f x x=,2()ln(1)2g x x ax =++,若211,e x ∀⎡⎤∈⎣⎦,2(0,1]x ∃∈使得()()12f x g x >成立,则实数a 的取值范围是()A .ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪B .ln 2,2⎛⎤-∞-⎥C .1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D .ln 2,e 2⎛⎤-∞- ⎥4.已知函数2()21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈((1)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行,求a 的值与函数()f x 的单调区间;(2)设2()(2)e =-x g x x x ,若对任意(]10,2x ∈,均存在(]20,2x ∈,使得12()()f x g x <,求a 的取值范围.【答案】(1)2=3a ,单调递增区间为3(0,),(2,)2+∞,单调递减区间为3(,2)2(2)ln 21a >-【解析】【分析】(1)求出()'f x ,由(1)(3)f f ''=得a ,再利用由()0f x '>、()0f x '<可得答案;(2)转化为(]0,2x ∈时,max max ()()f x g x <,容易求出max ()(0)(2)0g x g g ===,所以只须max ()0f x <,()()12()ax x f x x='--,讨论12a ≤、12a >可得答案.(1)21()(21),(1)1,(3)3f x ax a f a f a x '''=-++=-+=-,由(1)(3)f f ''=得23a =,()()232272()333x x f x x x x--=-+=',由()0f x '>得()30,2,2x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭,由()0f x '<得3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的单调递增区间为()30,,2,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭,单调递减区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭.(2)若要命题成立,只须当(]0,2x ∈时,max max ()()f x g x <,由()()22e xg x x '=-可知当(]0,2x ∈时max ()(0)(2)0g x g g ===,所以只须max ()0f x <对()f x 来说,()()122()(21)ax x f x ax a x x--=-++'=,(1)当12a ≤时,在(]0,2上有10-≤ax ,∴()0f x '≥这时max ()(2)222ln 2f x f a ==--+,由max ()0f x <得1ln 212a -<≤;(2)当12a >时,max 11()2ln 22f x f a a a ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭,设1()2ln 22h a a a =---,则2221214()022a h a a a a -'=-=<,∴()h a 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减,1()2ln 2302h a h <=-<⎝⎭,∴当12a >时,max ()0f x <,综上所述,满足题意的ln 21a >-.【点睛】本题考查了对任意1x D ∈,均存在2x E ∈,使得12()()f x g x <,转化为max max ()()f x g x <求参数的取值范围的问题,考查了学生的思维能力、运算能力.5.已知函数()()ln xf x ax a x=-+∈R ,'为()f x 的导函数.(1)求()f x 的定义域和导函数;(2)当2a =时,求函数()f x 的单调区间;(3)若对21e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦,都有()11f x ≥成立,且存在32e,e x ⎡⎤∈⎣⎦,使()2102f x a '+=成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)()()0,11,+∞ ,()()2ln 1ln x f x a x -'=-+(2)()f x 在()0,1单减,()1,+∞也单减,无增区间(3)2110,2e a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)根据分母不等于0,对数的真数大于零即可求得函数的定义域,根据基本初等函数的求导公式及商的导数公式即可求出函数的导函数;(2)求出函数的导函数,再根据导函数的符号即可得出答案;(3)若对21e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦,都有()11f x ≥成立,即1111ln x ax x -+≥,即1111ln a x x ≤-+,令()11ln h x x x=-+,2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦,只要()min a h x ≤即可,利用导数求出函数()11ln h x x x=-+的最小值即可求出a 的范围,()()2222ln 11122ln x f x a a x -'+=-,()()2ln 112ln x g x a x -=-,求出函数()g x 的值域,根据存在32e,e x ⎡⎤∈⎣⎦,使()2102f x a '+=成立,则0在函数()g x 的值域中,从而可得出a 的范围,即可得解.(1)解:()f x 的定义域为()()0,11,+∞ ,()()2ln 1ln x f x a x -'=-+;(2)解:当2a =时,()()()()()22222172ln 2ln ln 1ln 1482ln ln ln x x x x f x x x x ⎛⎫-+⎪-+-⎝⎭'=-+=-=-,()0f x ¢<恒成立,所以()f x 在()0,1和()1,+∞上递减;(3)解:若对21e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦,都有()11f x ≥成立,即1111ln x ax x -+≥,即1111ln a x x ≤-+,令()11ln h x x x =-+,2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦,则()()()()22222ln 11ln ln x x h x x x x x x -'=-=,对于函数())ln 0x x x ϕ=>,()122x x xϕ'==,当04x <<时,()0ϕ'>x ,当4x >时,()0ϕ'<x ,所以函数()ln x x ϕ=()0,4上递增,在()4,+∞上递减,所以()()ln 4204x ϕϕ≤=-<,当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时,ln 0x >,所以ln x <()2ln x x <,故()0h x '<恒成立,()h x 在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦为减函数,所以()()2min e h x h ==211e 2-+,所以211e 2a ≤-+,由(1)知,()()2ln 1ln x f x a x -'=-+,所以()()2222ln 11122ln x f x a a x -'+=-,记()()2ln 112ln x g x x -=-,令1ln t x =,1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则原式()211,123g x t t a t ⎛⎫⎡⎤=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为1,242a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,因为存在32e,e x ⎡⎤∈⎣⎦,使()2102f x a '+=成立,所以02a -≤,1042a -≥,所以102a ≤≤,综上,2110,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数的定义域及导数的四则运算,考查了利用导数求函数的单调区间,考查了不等式恒成立问题,考查了计算能力及数据分析能力,对不等式恒成立合理变形转化为求最值是解题关键.。
专题二 压轴填空题第三关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题,是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性,解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论. 类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例1.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学(理)试题】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时,()3f x x =,若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(,-∞ B .()C. ()),0-∞⋃+∞ D .(),-∞⋃+∞【答案】A【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号f 去掉,转化为二次不等式恒成立问题,若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理;若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题,可利用参变分离法或图象处理.【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测(二模)数学(理)试题】对任意x R ∈不等式222x x a a +-≥恒成立, 则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,1-【解析】设t a x =-||,则t a x ±=,2222t at a x +±=,故原不等式转化为)0(0222≥≥±+t at t t ,即022≥±+a t ,所以022≤-≥±t a ,即11≤≤-a .故应填答案[]1,1-.类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例1 [改编题] 已知函数2()ln(1)f x ax x =++,当[0,)x ∈+∞时,不等式()f x x ≤恒成立,则实数a 的取值范围_________. 【答案】(,0]-∞【解析】因当[0,)x ∈+∞时,不等式()f x x ≤恒成立,即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立,设2()ln(1)g x ax x x =++- (0x ≥),只需max ()0g x ≤即可.由1()211g x ax x '=+-+[2(21)]1x ax a x +-=+, (ⅰ)当0a =时,()1xg x x -'=+,当0x >时,()0g x '<,函数()g x 在(0,)+∞上单调递减,故()(0)0g x g ≤= 成立;(ⅱ)当0a >时,由[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+,因[0,)x ∈+∞,所以112x a =-,①若1102a -<,即12a >时,在区间(0,)+∞上,()0g x '>,则函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,()g x 在[0,)+∞ 上无最大值(或:当x →+∞时,()g x →+∞),此时不满足条件;②若1102a -≥,即102a <≤时,函数()g x 在1(0,1)2a-上单调递减,在区间1(1,)2a-+∞上单调递增,同样()g x 在[0,)+∞上无最大值,不满足条件 ; (ⅲ)当0a <时,由[2(21)]()1x ax a g x x +-'=+,∵[0,)x ∈+∞,∴2(21)0ax a +-<,∴()0g x '<,故函数()g x 在[0,)+∞上单调递减,故()(0)0g x g ≤=成立. 综上所述,实数a 的取值范围是(,0]-∞.【名师指点】()()f x g x ≤恒成立等价与()()0f x g x -≤恒成立,记()()()G x f x g x =-,则m a x()0G x≤,本题中由于()G x 有参数,需要分类讨论,利用导数求最值.【举一反三】已知函数32)1()(ax e x x f x +-=若当0≥x 时,)(x f 0≥恒成立,则a 的取值范围______. 【答案】),1[+∞-【解析】32)1()(ax e x x f x+-=)1(2ax e x x+-=,令),0[1)(+∞∈+-=x axe x g xa e x g x +=)('当1-≥a 时,)(,0)('x g a e x g x>+=在),0[∞+上为增函数,而,0)0(=g 从而当0≥x 时,0)(≥x g ,即)(x f 0≥恒成立,若当1-<a 时,令0)('=+=a e x g x,得)ln(a x -=当))ln(,0(a x -∈时,)(,0)('x g x g <在))ln(,0(a -上是减函数,而,0)0(=g 从而当))ln(,0(a x -∈时,0)(<x g ,即0)(<x f ,综上得a 的取值范围为),1[+∞-.类型三 利用参变分离求恒成立问题典例2 当[]2,1x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]6,2--【解析】①显然0x =时,对任意实数a ,已知不等式恒成立;令1t x=, ②若01x <≤,则原不等式等价于[)323234134,1,a t t t t x x x≥--+=--+∈+∞,令()3234g t t t t =--+,则()()()/2981911g t t t t t =--+=--+,由于1t ≥,故()/0g t ≤,即函数()g t 在[)1,+∞上单调递减,最大值为()16g =-,故只要6a ≥- ; ③若20x -≤<,则32323411341,,2a t t t x x x ⎛⎤≤--+=--+∈-∞- ⎥⎝⎦,令()32341g t t t =--+,则()()()/2981911g t t t t t =--+=--+,在区间1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上的极值点为1t =-,且为极小值点,故函数()g x 在1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上有唯一的极小值点,也是最小值点,故只要()12a g ≤-=- .综上可知:若在[]2,1-上已知不等式恒成立,则a 为上述三个部分的交集,即62a -≤≤-.【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数范围取交集.若按照参数讨论则取并集,是中档题.不等式恒成立时求参数的取值范围,常常采用分离参数法把不等式变形为如“()()g a h x >”形式,则只要求出()h x 的最大值M ,然后解()g a M >即可.【举一反三】【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学(理)试题】设函数xx e x f 1)(22+=,x e x e x g 2)(=,对),0(,21+∞∈∀x x ,不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立,则正数k 的取值范围为 .【答案】[)1,+∞类型四 利用图像法求恒成立问题典例3 若不等式2log 0m x x -<在区间1(0,)2上恒成立,则实数m 的取值范围是 .【答案】)1,161[【解析】不等式2log 0m x x -<即为2log m x x <,作出函数2y x =和log m y x =的图象,如图,当log m y x=的图象过点11(,)24时,116m =,因此不等式2log m x x <在区间1(0,)2上恒成立时,有1116m ≤<.【名师指点】()()f x g x ≤等价于在公共定义域区间内,函数()y f x =的图像落在()y g x =的下方,这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像,根据图像上下关系,确定参数取值范围.【举一反三】已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是__________.【答案】[2,0]-. 【解析】【精选名校模拟】1.【宁夏育才中学2017届高三上学期第二次月考数学(理)试题】设函数3()f x x x =+,x R ∈. 若当02πθ<<时,不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立,则实数m 的取值范围是( )A. 1(,1]2B.1(,1)2C. [1,)+∞D.(,1]-∞【答案】D【解析】易得()f x 是奇函数,2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数,又11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--,故选D.2.【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测,6】若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A .1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B . 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D .16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】因1)('2+-=ax x x f ,故由题设012≤+-ax x 在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立,故⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-031002145a a ,即310≥a .故应选C.3.【2017广东珠海市高三期末】已知函数2()ln f x x x =,若关于x 的不等式()10f x kx -+≥恒成立,则实数k 的取值范围是__________. 【答案】(,1]-∞【解析】 ∵函数的定义域为,恒成立,即等价于,令,则,令,则在上恒成立,∴在上单调递增,故当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,则,故,故答案为.4.【2017黑龙江虎林一中高三月考】若函数 ()22ln f x x x a x =++在()0,1 上单调递减, 则实数a 的取值范围是_________. 【答案】 4a ≤- 【解析】试题分析:由已知可得()222'220a x x af x x x x++=++=≤在()0,1上恒成立2220x x a ⇒++≤在()0,1 上恒成立404a a ⇒+≤⇒≤-.5.【2017重庆巴蜀中学高三月考】定义域为R 的函数(x)f 满足(x 2)3(x)f f +=,当[0,2]x ∈时,2(x)x 2f x =-,若[4,2]x ∈--时,13(x)(t)18f t≥-恒成立,则实数t 的取值范围是 . 【答案】10t -≤<或3t ≥【解析】由题意可得)(9)2(3)4(x f x f x f =+=+,所以当]2,4[--∈x 时, ]2,0[4∈+x ,所以)86(91)]4(2)4[(91)4(91)(22++=+-+=+=x x x x x f x f ,由于对称轴]2,4[3--∈-=x ,故91)8189(91)3()(min -=+-=-=f x f .故91)3(181-≤-t t ,即23-≤-t t,解之得10t -≤<或3t ≥,故应填答案10t -≤<或3t ≥.6.【2017安徽蚌埠怀远摸底考试】当()0,x ∈+∞时,不等式()221ln 0c x cx x cx -++≥恒成立,则实数c的取值范围是_____________. 【答案】1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】7.【2017黑吉两省八校联考】已知函数2()ln f x x m x =-在[2,)+∞上单调递增,则实数m 的取值范围为 . 【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析:22()2m x m f x x x x-'=-=,令()0f x '≥,故22m x ≤在区间[2,)+∞上恒成立,故8m ≤,所以实数m 的取值范围为(,8]-∞.8.函数()331f x x x =--,若对于区间[]3,2-上的任意12,x x ,都有()()12||f x f x t -≤,则实数t 的最小值是 . 【答案】20【解析】对于区间[]3,2-上的任意12,x x 都有()()12||f x f x t -≤,等价于对于区间[]3,2-上的任意x ,都有()()max min f x f x t -≤,∵()331f x x x =--,∴()()()2'33311f x x x x =-=-+,∵3[]2x ∈-,,∴函数在[][]3112--,、,上单调递增,在[11]-,上单调递减,∴()()()()()211319max min f x f f f x f ==-==-=-,∴()()20max min f x f x -=,∴20t ≥.9.【2017江西鹰潭一中高三期中】若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立,则实数m 的取值范围是____________.【答案】2,3e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析:根据3ln 1mx x -≥,有33ln 1,ln 1mx x mx x ≤-≥+或,由于(]0,1x ∈,所以33ln 1ln 1,x x m m x x -+≤≥或,3ln 1x x -没有最小值,所以不符合;令()3ln 1x f x x +=,()'43ln 2x f x x +=-,故当23x e -=时()f x 取得最大值为23e ,故2,3e m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.10.若关于x 的不等式(1)(ln )0ax x ax -+≥在(0,+∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是 . 【答案】1|a a a e e⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或【解析】令()()()()()1,ln ,f x ax g x x ax M x f x g x =-=+=⋅, 令()'1110,ax g x a x x x a+=+===-. (1)当0a =时,()ln M x x =-,不符合题意; (2)当0a >时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒为负,在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭,上恒为正;()g x 在()0,+∞上单调递增,则需1ln 10g a a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭,此时a e =,符合题意; (3)当0a <时,()f x 在()0,+∞恒为负;()g x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,故()g x 在1x a =-处取得极大值也即是最大值,()11ln 10g x g a a ⎛⎫⎛⎫≤-=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得1a e ≤-.11.【2017四川绵阳一诊】)(x f 是定义在R 上的偶函数,且0≥x 时,3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ,不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立,则实数t 的取值范围是 .【答案】3-≤t 或1≥t 或0t = 【解析】12.已知:函数,若对使得,则实数的取值范围__________. 【答案】【解析】试题分析:由题意只要在上的最小值大于在上的最小值即可,显然当时,的最小值为0,当时,的最小值为,所以,所以.13.设0απ≤≤错误!未找到引用源。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值:(1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >,⇔()f x 的下界大于A (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围。
例2、已知(),22xax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例3、R 上的函数()x f 既是奇函数,又是减函数,且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时,有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立,求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a 、b 为常数.(1)试确定a 、b 的值; (2)讨论函数)(x f 的单调区间;(3)若对任意0>x ,不等式22)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。
2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立,求实数a 的取值范围例6、若对于任意1a ≤,不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立,求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++,其中a 为实数.若不等式2()1f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞,都成立,求实数x 的取值范围.3、分离参数法(1) 将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥(或()()g f x λ≤)恒成立的形式; (2) 求()f x 在x D ∈上的最大(或最小)值;(3) 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围。
专题10 不等式恒成立与有解问题考点预测江苏高考近几年不等式常以压轴题的题型出现,常见的考试题型有恒成立,有解问题,此类题型丰富多变,综合性强,有一定的难度,但只要我们理解问题的本质,就能解决这类问题,常用的知识点如下:1.若)(x f 在区间D 上存在最小值,A x f >)(在区间D 上恒成立,则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值,B x f <)(在区间D 上恒成立,则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值,A x f >)(在区间D 上有解,则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值,B x f <)(在区间D 上有解,则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤,则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃,)()(21x g x f ≤,则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃,)()(21x g x f ≤,则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.若关于x 的不等式ax ﹣2a >2x ﹣lnx ﹣4有且只有两个整数解,则实数a 的取值范围是( )A .(2﹣ln 3,2﹣ln 2]B .(﹣∞,2﹣ln 2)C .(﹣∞,2﹣ln 3]D .(﹣∞,2﹣ln 3)【答案】C【分析】设g (x )=2x ﹣lnx ﹣4,h (x )=ax ﹣2a ,画出图象,讨论当a ≤0时,当a >0时,数形结合即可得答案.【解答】解:由题意可知,ax﹣2a>2x﹣lnx﹣4,设g(x)=2x﹣lnx﹣4,h(x)=ax﹣2a由g′(x)=2﹣=.可知g(x)=2x﹣lnx﹣4在(0,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数,h(x)=ax﹣2a的图象恒过点(2,0),在同一坐标系中作出g(x),h(x)的图象如图,当a≤0时,原不等式有且只有两个整数解;当a>0时,若原不等式有且只有两个整数x1,x2,使得f(x1)>0,且f(x2)>0,则,即,解得0<a≤2﹣ln3,综上可得a≤2﹣ln3,故选:C.【知识点】不等式恒成立的问题2.已知函数f(x)=2﹣|x|,若关于x的不等式f(x)≥x2﹣x﹣m的解集中仅有1个整数,则实数m的取值范围为()A.[﹣3,﹣1)B.(﹣3,﹣1)C.[﹣2,﹣1)D.(﹣2,﹣1)【答案】C【分析】构造函数g(x)=x2﹣x﹣m﹣f(x),将问题转化为g(x)≤0解集中仅有1个整数,然后结合函数g(x)的单调性,找出限制条件即可求解.【解答】解:令g(x)=x2﹣x﹣m﹣f(x),则g(x)=x2﹣x+|x|﹣2﹣m,∴g(x)=,则g(x)在(﹣∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,关于x的不等式f(x)≥x2﹣x﹣m的解集中仅有1个整数,即g(x)≤0解集中仅有1个整数,∴只需g(x)满足,,即,∴﹣2≤m<﹣1,∴实数m的取值范围为:[﹣2,﹣1).故选:C.【知识点】不等式恒成立的问题3.设a∈R,若不等式|x2+|+|x2﹣|+ax≥4x﹣8恒成立,则实数a的取值范围是()A.[﹣2,12]B.[﹣2,10]C.[﹣4,4]D.[﹣4,12]【答案】D【分析】由题意可得|x2+|+|x2﹣|+8≥(4﹣a)x恒成立,讨论x>0,x<0,运用基本不等式,可得最值,进而得到所求范围.【解答】解:|x2+|+|x2﹣|+ax≥4x﹣8恒成立,即为|x2+|+|x2﹣|+8≥(4﹣a)x恒成立,当x>0时,可得4﹣a≤|x+|+|x﹣|+的最小值,由|x+|+|x﹣|+≥|x++x﹣|+=2x+≥2=8,当且仅当x=2取得最小值8,即有4﹣a≤8,则a≥﹣4;当x<0时,可得4﹣a≥﹣[|x+|+|x﹣|﹣]的最大值,由|﹣x+|+|﹣x﹣|﹣≥﹣2x﹣≥2=8,当且仅当x=﹣2取得最大值﹣8,即有4﹣a≥﹣8,则a≤12,综上可得﹣4≤a≤12.故选:D.【知识点】不等式恒成立的问题专项突破一、单选题(共12小题)1.若关于x的不等式ln(x+1)+e x≥ax+b对任意的x≥0恒成立,则a,b可以是()A.a=0,b=2B.a=1,b=2C.a=3,b=1D.a=2,b=1【答案】D【分析】分别考虑选项A,B,C,D,代入,由特殊值和构造函数法,以及导数判断单调性,可得最值,即可得到结论.【解答】解:ln(x+1)+e x≥ax+b对任意的x≥0恒成立,若a=0,b=2可得ln(x+1)+e x≥2,当x=0时,1≥2不成立;若a=1,b=2可得ln(x+1)+e x≥x+2,当x=0时,1≥2不成立;若a=3,b=1可得ln(x+1)+e x≥3x+1,当x=1时,ln2+e≥4不成立;若a=2,b=1可得ln(x+1)+e x≥2x+1,设f(x)=ln(x+1)+e x﹣2x﹣1,x≥0,可得f′(x)=+e x﹣2,f″(x)=e x﹣在x≥0递增,可得f″(x)≥0,即f′(x)递增,可得f′(x)≥0,f(x)递增,即f(x)≥f(0)=0,则a=2,b=1成立.故选:D.【知识点】不等式恒成立的问题2.对于任意实数x,不等式(a﹣1)x2﹣2(a﹣1)x﹣4<0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,3)B.(﹣∞,3]C.(﹣3,1)D.(﹣3,1]【答案】D【分析】按照a=1和a≠1分两种情况讨论.【解答】解:当a=1时,﹣4<0,所以不等式恒成立;当a≠1时,要使不等式恒成立,需a﹣1<0⇒a<1,且△<0⇒4(a﹣1)2+16(a﹣1)<0⇒﹣3<a<1,所以﹣3<a<1,综上实数a的取值范围是(﹣3,1].故选:D.【知识点】不等式恒成立的问题3.已知函数f(x)=a x+e x﹣(1+lna)x(a>0,a≠1),对任意(x1,x2)∈[0,1],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤alna+e﹣4恒成立,则a的取值范围为()A.[]B.[e,2]C.[e,+∞)D.[e x+x)【答案】C【分析】先利用导数得到f(x)在x∈[0,1]是单调递增函数,对对任意(x1,x2)∈[0,1],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤alna+e﹣4恒成立,转化为f(x1)max﹣f(x)min≤alna+e﹣4,再求出f(x)max=f(1)=a+e﹣1﹣lna,f(x)min=f(0)=1+1=2,所以a+e﹣1﹣lna﹣2≤alna+e﹣4,解不等式即得解.【解答】解:依题意,alna+e﹣4≥0①因为f'(x)=a x lna+e x﹣1﹣lna=(a x﹣1)lna+e x﹣1,当a>1时,对任意的x∈[0,1],a x﹣1≥0,lna>0,e x﹣1≥0,恒有f'(x)>0;当0<a<1时,a x﹣1≤0,lna<0,e x﹣1≥0,恒有f'(x)>0,所以f(x)在x∈[0,1]上是单调递增函数,那么对任意(x1,x2)∈[0,1],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤alna+e﹣4恒成立,只需f(x1)max﹣f(x)min≤alna+e﹣4,②因为f(x)max=f(1)=a+e﹣1﹣lna,f(x)min=f(0)=1+1=2,所以a+e﹣1﹣lna﹣2≤alna+e﹣4,即a﹣lna+1﹣alna≤0,即(1+a)(1﹣lna)≤0,所以lna≥1,从而有a≥e,而当a≥e时,①显然成立.故选:C.【知识点】不等式恒成立的问题4.已知函数y=f(x﹣1)的图象关于x=1对称,且对y=f(x),x∈R,当x1,x2∈(﹣∞,0]时,成立,若f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立,则a的范围()A.B.a<1C.D.【答案】A【分析】根据条件判断函数f(x)的奇偶性和单调性,结合函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化,利用参数分离法结合基本不等式的性质进行转化求解即可.【解答】解:∵y=f(x﹣1)的图象关于x=1对称,∴y=f(x)的图象关于x=0对称,即f(x)是偶函数,∵当x1,x2∈(﹣∞,0]时,成立,∴此时f(x)为减函数,则在[0,+∞)上f(x)为增函数,若f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立,等价为若f(|2ax|)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立,即|2ax|<2x2+1,当x=0时,不等式成立,当x≠0时,不等式等价为2|a|<=2|x|+,当x≠0时,2|x|+≥2=2,当且仅当2|x|=时取等号,则2|a|<2,即|a|<,得﹣<a<,故选:A.【知识点】不等式恒成立的问题5.若对任意的实数x,不等式xa≤e x﹣1+x2+1恒成立,则实数a的最大值是()A.4B.3C.2D.1【答案】B【分析】讨论当x≤0时,∀a>0,当x>0时,运用参数分离和构造函数,求导数和单调性、最值,即可得到所求最大值.【解答】解:当x≤0时,∀a>0,xa≤e x﹣1+x2+1恒成立;当x>0,a≤+x+,令f(x)=+x+,f′(x)=,则0<x<1时,f′(x)<0,f(x)递减;x>1时,f′(x)>0,f(x)递增,则f(x)的最小值为f(1)=3,即有a≤3,可得a的最大值为3.故选:B.【知识点】不等式恒成立的问题6.若∀x>0,(e x﹣ax)(lnx﹣ax)≤0恒成立,则a的取值范围是()A.[,e]B.[]C.[1,e]D.[e,+∞)【答案】A【分析】由题意可得<a<,x>0,分别构造函数设f(x)=,g(x)=,x>0,利用导数求出函数的最值即可求出a的范围.【解答】解:∀x>0,(e x﹣ax)(lnx﹣ax)≤0恒成立,∴(﹣a)(﹣a)≤0,∵e x﹣lnx>0,∴<∴<a<,x>0,设f(x)=,∴f′(x)=,令f′(x)==0,解得x=e,当x∈(0,e)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递增减,∴f(x)max=f(e)=,再令g(x)=,x>0,g′(x)=,令g′(x)=0,解得x=1,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递增减,∴f(x)min=f(1)=e,∴≤a≤e故选:A.【知识点】不等式恒成立的问题7.函数y=f(x)在R上为偶函数且在[0,+∞)单调递减,若x∈[1,3]时,不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(lnx+3﹣2mx)恒成立,则实数m的取值范围()A.B.C.D.【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化,利用参数分离法,结合函数的最值,利用导数求得相应的最大值和最小值,从而求得m的范围.【解答】解:∵函数f(x)为偶函数,若不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)对x∈[1,3]恒成立,等价为f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(2mx﹣lnx﹣3)即2f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)对x∈[1,3]恒成立.即f(2mx﹣lnx﹣3)≥f(3)对x∈[1,3]恒成立.∵f(x)在[0,+∞)单调递减,∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1,3]恒成立,即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1,3]恒成立,即2m≥且2m≤对x∈[1,3]恒成立.令g(x)=,则g′(x)=,在[1,e]上递增,在[e,3]上递减,则g(x)的最大值为g(e)=,h(x)=,则h′(x)=<0,则函数h(x)在[1,3]上递减,则h(x)的最小值为h(3)=,则,得,即≤m≤,故选:B.【知识点】不等式恒成立的问题8.已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥||在R上恒成立,则a的最大值是()A.2B.C.D.【答案】D【分析】讨论x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得关于a的不等式,再由二次函数的最值求出a的范围;当x>1时,同样可得关于a的不等式,再由基本不等式求得a的范围,取交集可得所求a的范围.另解:作出f(x)的图象和折线y=|x+a|,利用导数求得函数f(x)切线的斜率与切点,结合题意求得a的取值范围.【解答】解:函数f(x)=,当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,即为﹣x2+x﹣3≤x+a≤x2﹣x+3,即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最大值﹣;由y=x2﹣x+3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最小值,则﹣≤a≤①当x>1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,即为﹣(x+)≤x+a≤x+,即有﹣(x+)≤a≤x+,由y=﹣(x+)≤﹣2=﹣(当且仅当x=>1)取得最大值﹣;由y=x+≥2=(当且仅当x=>1)取得最小值.则﹣≤a≤②;由①②可得,﹣≤a≤,∴a的最大值为.另解:作出f(x)的图象和折线y=|x+a|,如图所示;当x≤1时,y=x2﹣x+3的导数为y′=2x﹣1,由2x﹣1=﹣,可得x=,切点为(,)代入y=﹣x﹣a,解得a=﹣;当x>1时,y=x+的导数为y′=1﹣,由1﹣=,可得x=(﹣舍去),切点为(,),代入y=x+a,解得a=;由图象平移可得,﹣≤a≤,∴a的最大值是.故选:D.【知识点】不等式恒成立的问题、分段函数的应用9.不等式x﹣3e x﹣alnx≥x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围()A.(﹣∞,1﹣e]B.(﹣∞,2﹣e2]C.(﹣∞,﹣2]D.(﹣∞,﹣3]【答案】D【分析】不等式可化为a≤对∀x∈(1,+∞)恒成立,设f(x)=,其中x∈(1,+∞),求出f(x)min即可得出a的取值范围.【解答】解:不等式x﹣3e x﹣alnx≥x+1,∴alnx≤x﹣3e x﹣x﹣1;又x∈(1,+∞),lnx>0,∴a≤对∀x∈(1,+∞)恒成立;设f(x)=,其中x∈(1,+∞),则x﹣3•e x=•e x=e x﹣3lnx≥x﹣3lnx+1,∴x﹣3e x﹣x﹣1≥x﹣3lnx+1﹣x﹣1=﹣3lnx,∴f(x)=≥=﹣3,当x﹣3lnx=0时等号成立;又方程x﹣3lnx=0在(1,+∞)内有解,∴f(x)min=﹣3,即a的取值范围是(﹣∞,﹣3].故选:D.【知识点】不等式恒成立的问题10.若关于x的不等式﹣x>1在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上恒成立,则实数k的取值范围为()A.(﹣∞,﹣e)∪(,+∞)B.(﹣∞,﹣2e)∪(,+∞)C.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)D.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)【答案】A【分析】讨论x>0时,不等式化为k>,设f(x)=,x∈(0,+∞),求出f(x)的最大值;x<0时,不等式化为k<,设f(x)=,x∈(﹣∞,0),求出f(x)的最小值,从而求得k的取值范围.【解答】解:x>0时,不等式﹣x>1化为k>,设f(x)=,x∈(0,+∞);则f′(x)=,令f′(x)=0,解得x=2,∴x∈(0,2)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(2,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;∴f(x)在x=2时取得极大值,也是最大值,即f(x)≤f(2)=;∴k>;x<0时,不等式﹣x>1化为k<,设f(x)=,x∈(﹣∞,0);则f′(x)=,令f′(x)=0,解得x=﹣1,∴x∈(﹣1,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;∴f(x)在x=﹣1时取得极小值,也是最小值,即f(x)≥f(﹣1)=﹣e;∴k<﹣e;综上所述,实数k的取值范围是(﹣∞,﹣e)∪(,+∞).故选:A.【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立的问题11.已知函数f(x)=kx+2x,g(x)=x2,h(x)=(x+1)(lnx+1),若当x∈[1,e]时,不等式组恒成立,则实数k的取值范围为()A.[﹣1,2]B.[e﹣2,1]C.[e﹣2,2]D.[﹣1,e﹣2]【答案】C【分析】由题意知x∈[1,e]时不等式组可化为恒成立,分别求出k≥x﹣2和k≤在区间[1,e]上恒成立的取值范围即可.【解答】解:x∈[1,e]时,恒成立,即恒成立,即恒成立,若k≥x﹣2在区间[1,e]上恒成立,则k≥e﹣2;令s(x)=,若k≤在区间[1,e]上恒成立,则k≤s(x)min,s′(x)=,令t(x)=x﹣lnx,则t′(x)=1﹣,当x∈[1,e]时,t′(x)≥0恒成立,则t(x)=x﹣lnx在[1,e]上为增函数,∴t(x)≥t(1)=1恒成立,即s′(x)=≥0恒成立,∴s(x)=在[1,e]上为增函数,即s(x)≥s(1)=2恒成立,∴k≤2,综上可得:k∈[e﹣2,2],故选:C.【知识点】不等式恒成立的问题12.已知实数x,y满足ln(4x+3y﹣6)﹣e x+y﹣2≥3x+2y﹣6,则x+y的值为()A.2B.1C.0D.﹣1【答案】A【分析】根据题意把不等式化为ln(4x+3y﹣6)﹣(4x+3y﹣6)≥e x+y﹣2﹣(x+y﹣2)﹣2;设f(x)=lnx ﹣x,g(x)=e x﹣x﹣2;利用导数求出f(x)有最大值为﹣1,g(x)有最小值为﹣1,此时满足f(x)≥g(x),即原不等式成立,由此求得x+y的值.【解答】解:不等式ln(4x+3y﹣6)﹣e x+y﹣2≥3x+2y﹣6,化为ln(4x+3y﹣6)≥e x+y﹣2+3x+2y﹣6,即ln(4x+3y﹣6)﹣(4x+3y﹣6)≥e x+y﹣2﹣x﹣y,所以ln(4x+3y﹣6)﹣(4x+3y﹣6)≥e x+y﹣2﹣(x+y﹣2)﹣2;设f(x)=lnx﹣x,x>0,g(x)=e x﹣x﹣2;则f′(x)=﹣1=,所以x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f′(x)单调递减,所以f(x)的最大值为f(1)=0﹣1=﹣1;又g′(x)=e x﹣1,所以x∈(﹣∞,0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,x∈(0,+∞)时,g′(x)单调递增,所以g(x)的最小值为g(0)=1﹣0﹣2=﹣1;此时满足f(x)≥g(x),即ln(4x+3y﹣6)﹣e x+y﹣2≥3x+2y﹣6;令,解得x+y=2.故选:A.【知识点】不等式恒成立的问题二、多选题(共2小题)13.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2﹣8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的值可以是()A.12B.13C.14D.15【答案】BCD【分析】逐个选项代入计算验证正误即可.【解答】解:当a=12时,原不等式为x2﹣8x+12≤0,易得其解集为[2,6],不满足题意,故选项A错误;当a=13时,原不等式为x2﹣8x+13≤0,易得其解集为[4﹣,4+],满足题意,故选项B正确;当a=14时,原不等式为x2﹣8x+14≤0,易得其解集为[4﹣,4+],满足题意,故选项C正确;当a=15时,原不等式为x2﹣8x+15≤0,易得其解集为[3,5],满足题意,故选项D正确,故选:BCD.【知识点】一元二次不等式及其应用14.对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x﹣a)(x+1)>0的解集可能为()A.∅B.(﹣1,a)C.(a,﹣1)D.(﹣∞,﹣1)(a,+∞)【答案】ABCD【分析】根据函数y=a(x﹣a)(x+1)的图象和性质,对a进行讨论,解不等式即可.【解答】解:对于a(x﹣a)(x+1)>0,当a>0时,y=a(x﹣a)(x+1)开口向上,与x轴的交点为a,﹣1,故不等式的解集为x∈(﹣∞,﹣1,)∪(a,+∞);当a<0时,y=a(x﹣a)(x+1)开口向下,若a=﹣1,不等式解集为∅;若﹣1<a<0,不等式的解集为(﹣1,a),若a<﹣1,不等式的解集为(a,﹣1),综上,ABCD都成立,故选:ABCD.【知识点】一元二次不等式及其应用。
2017-2019年高考真题“不等式”全集(含详细解析)一.选择题(共14小题)1.(2019•天津)设变量x ,y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A .2B .3C .5D .62.(2019•浙江)若实数x ,y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………则32z x y =+的最大值是( )A .1-B .1C .10D .123.(2019•北京)若x ,y 满足||1x y -…,且1y -…,则3x y +的最大值为( ) A .7-B .1C .5D .74.(2018•天津)设变量x ,y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………,则目标函数35z x y =+的最大值为( ) A .6B .19C .21D .455.(2018•北京)设集合{(,)|1A x y x y =-…,4ax y +>,2}x ay -…,则( ) A .对任意实数a ,(2,1)A ∈ B .对任意实数a ,(2,1)A ∉ C .当且仅当0a <时,(2,1)A ∉D .当且仅当32a …时,(2,1)A ∉ 6.(2017•天津)设变量x ,y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………,则目标函数z x y =+的最大值为( ) A .23B .1C .32D .37.(2017•山东)已知x ,y 满足约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………,则2z x y =+的最大值是( )A .0B .2C .5D .68.(2017•山东)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是( ) A .21log ())2a ba ab b +<<+ B .21log ()2ab a b a b<+<+C .21log ()2a b a a b b +<+< D .21log ())2aba b a b +<+< 9.(2017•山东)已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z x y =+的最大值是( )A .3-B .1-C .1D .310.(2017•浙江)若x 、y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………,则2z x y =+的取值范围是( )A .[0,6]B .[0,4]C .[6,)+∞D .[4,)+∞11.(2017•北京)若x ,y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………,则2x y +的最大值为( )A .1B .3C .5D .912.(2017•新课标Ⅱ)设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………,则2z x y =+的最小值是() A .15-B .9-C .1D .913.(2017•新课标Ⅲ)设x ,y 满足约束条件326000x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………则z x y =-的取值范围是( )A .[3-,0]B .[3-,2]C .[0,2]D .[0,3]14.(2017•新课标Ⅰ)设x ,y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩………,则z x y =+的最大值为( )A .0B .1C .2D .3二.填空题(共23小题) 15.(2020•上海)不等式13x>的解集为 . 16.(2019•全国)若12log (41)2x ->-,则x 的取值范围是 .17.(2019•上海)已知x ,y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………,则23z x y =-的最小值为 . 18.(2019•上海)若x ,y R +∈,且123y x +=,则yx的最大值为 . 19.(2019•天津)设x R ∈,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 . 20.(2019•天津)设0x >,0y >,24x y +=,则(1)(21)x y xy++的最小值为 .21.(2019•天津)设0x >,0y >,25x y +=的最小值为 .22.(2019•新课标Ⅱ)若变量x ,y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3z x y =-的最大值是 .23.(2019•北京)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当10x =时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 .24.(2019•北京)若x ,y 满足2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………则y x -的最小值为 ,最大值为 .25.(2018•上海)已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足:22111x y +=,22221x y +=,121212x x y y +=,的最大值为 . 26.(2018•浙江)若x ,y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………,则3z x y =+的最小值是 ,最大值是 .27.(2018•新课标Ⅲ)若变量x ,y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………,则13z x y =+的最大值是 .28.(2018•北京)若x ,y 满足12x y x +剟,则2y x -的最小值是 .29.(2018•新课标Ⅱ)若x ,y 满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………,则z x y =+的最大值为 .30.(2018•新课标Ⅰ)若x ,y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩………,则32z x y =+的最大值为 . 31.(2017•上海)不等式11x x->的解集为 . 32.(2017•天津)若a ,b R ∈,0ab >,则4441a b ab++的最小值为 .33.(2017•新课标Ⅰ)设x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………,则32z x y =-的最小值为 .34.(2017•江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 35.(2017•山东)若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2),则2a b +的最小值为 . 36.(2017•北京)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: ()i 男学生人数多于女学生人数; ()ii 女学生人数多于教师人数; ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 . ②该小组人数的最小值为 .37.(2017•新课标Ⅲ)若x ,y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………,则34z x y =-的最小值为 .三.解答题(共3小题)38.(2018•江苏)若x ,y ,z 为实数,且226x y z ++=,求222x y z ++的最小值. 39.(2017•天津)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.()I 用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; ()II 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?40.(2017•江苏)已知a ,b ,c ,d 为实数,且224a b +=,2216c d +=,证明8ac bd +….2017-2019年高考真题“不等式”全集(含详细解析)参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1.(2019•天津)设变量x ,y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A .2B .3C .5D .6【解答】解:由约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………作出可行域如图:联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩,解得(1,1)A -,化目标函数4z x y =-+为4y x z =+,由图可知,当直线4y x z =+过A 时,z 有最大值为5. 故选:C .2.(2019•浙江)若实数x ,y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………则32z x y =+的最大值是( )A .1-B .1C .10D .12【解答】解:由实数x ,y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………作出可行域如图,联立340340x yx y-+=⎧⎨--=⎩,解得(2,2)A,化目标函数32z x y=+为3122y x z=-+,由图可知,当直线3122y x z=-+过(2,2)A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值:10.故选:C.3.(2019•北京)若x,y满足||1x y-…,且1y-…,则3x y+的最大值为() A.7-B.1C.5D.7【解答】解:由||11x yy-⎧⎨-⎩……作出可行域如图,联立110yx y=-⎧⎨+-=⎩,解得(2,1)A-,令3z x y=+,化为3y x z=-+,由图可知,当直线3y x z=-+过点A时,z有最大值为3215⨯-=.故选:C.4.(2018•天津)设变量x ,y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………,则目标函数35z x y =+的最大值为( ) A .6B .19C .21D .45【解答】解:由变量x ,y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………,得如图所示的可行域,由51x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A .当目标函数35z x y =+经过A 时,直线的截距最大, z 取得最大值.将其代入得z 的值为21, 故选:C .5.(2018•北京)设集合{(,)|1A x y x y =-…,4ax y +>,2}x ay -…,则( ) A .对任意实数a ,(2,1)A ∈ B .对任意实数a ,(2,1)A ∉ C .当且仅当0a <时,(2,1)A ∉D .当且仅当32a …时,(2,1)A ∉ 【解答】解:当1a =-时,集合{(,)|1A x y x y =-…,4ax y +>,2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠,4x y -+>,2}x y +…,显然(2,1)不满足,4x y -+>,2x y +…,所以A 不正确;当4a =,集合{(,)|1A x y x y =-…,4ax y +>,2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠,44x y +>,42}x y -…,显然(2,1)在可行域内,满足不等式,所以B 不正确;当1a =,集合{(,)|1A x y x y =-…,4ax y +>,2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠,4x y +>,2}x y -…,显然(2,1)A ∉,所以当且仅当0a <错误,所以C 不正确;故选:D .6.(2017•天津)设变量x ,y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………,则目标函数z x y =+的最大值为( ) A .23B .1C .32D .3【解答】解:变量x ,y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图:目标函数z x y =+结果可行域的A 点时,目标函数取得最大值, 由30y x =⎧⎨=⎩可得(0,3)A ,目标函数z x y =+的最大值为:3.故选:D .7.(2017•山东)已知x ,y 满足约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………,则2z x y =+的最大值是( )A .0B .2C .5D .6【解答】解:画出约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………表示的平面区域,如图所示;由30350x x y +=⎧⎨++=⎩解得(3,4)A -,此时直线1122y x z =-+在y 轴上的截距最大,所以目标函数2z x y =+的最大值为 3245max z =-+⨯=.故选:C .8.(2017•山东)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是( ) A .21log ())2ab a a b b +<<+ B .21log ()2a b a b a b<+<+C .21log ()2a b a a b b +<+< D .21log ())2aba b a b +<+< 【解答】解:0a b >>,且1ab =,∴可取2a =,12b =. 则14a b +=,2112228a b ==,22215log ()(2)(1,2)22a b log log +=+=∈,∴21log ()2a b a b a b<+<+. 故选:B .9.(2017•山东)已知x,y满足约束条件250302x yxy-+⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z x y=+的最大值是()A.3-B.1-C.1D.3【解答】解:x,y满足约束条件250302x yxy-+⎧⎪+⎨⎪⎩………的可行域如图:目标函数2z x y=+经过可行域的A时,目标函数取得最大值,由:2250yx y=⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A-,目标函数的最大值为:1223-+⨯=.故选:D.10.(2017•浙江)若x、y满足约束条件3020xx yx y⎧⎪+-⎨⎪-⎩………,则2z x y=+的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,)+∞D.[4,)+∞【解答】解:x、y满足约束条件3020xx yx y⎧⎪+-⎨⎪-⎩………,表示的可行域如图:目标函数2z x y=+经过C点时,函数取得最小值,由3020x yx y+-=⎧⎨-=⎩解得(2,1)C,目标函数的最小值为:4目标函数的范围是[4,)+∞.故选:D.11.(2017•北京)若x,y满足32xx yy x⎧⎪+⎨⎪⎩………,则2x y+的最大值为()A.1B.3C.5D.9【解答】解:x,y满足32xx yy x⎧⎪+⎨⎪⎩………的可行域如图:由可行域可知目标函数2z x y=+经过可行域的A时,取得最大值,由3xx y=⎧⎨=⎩,可得(3,3)A,目标函数的最大值为:3239+⨯=.故选:D.12.(2017•新课标Ⅱ)设x,y满足约束条件2330233030x yx yy+-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………,则2z x y=+的最小值是()A .15-B .9-C .1D .9【解答】解:x 、y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………的可行域如图:2z x y =+ 经过可行域的A 时,目标函数取得最小值, 由32330y x y =-⎧⎨-+=⎩解得(6,3)A --,则2z x y =+ 的最小值是:15-. 故选:A .13.(2017•新课标Ⅲ)设x ,y 满足约束条件3260x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………则z x y =-的取值范围是( )A .[3-,0]B .[3-,2]C .[0,2]D .[0,3]【解答】解:x ,y 满足约束条件32600x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………的可行域如图: 目标函数z x y =-,经过可行域的A ,B 时,目标函数取得最值, 由03260x x y =⎧⎨+-=⎩解得(0,3)A ,由03260y x y =⎧⎨+-=⎩解得(2,0)B ,目标函数的最大值为:2,最小值为:3-, 目标函数的取值范围:[3-,2]. 故选:B .14.(2017•新课标Ⅰ)设x,y满足约束条件331x yx yy+⎧⎪-⎨⎪⎩………,则z x y=+的最大值为()A.0B.1C.2D.3【解答】解:x,y满足约束条件331x yx yy+⎧⎪-⎨⎪⎩………的可行域如图:,则z x y=+经过可行域的A时,目标函数取得最大值,由33yx y=⎧⎨+=⎩解得(3,0)A,所以z x y=+的最大值为:3.故选:D.二.填空题(共23小题)15.(2020•上海)不等式13x>的解集为1(0,)3.【解答】解:由13x>得13xx->,则(13)0x x->,即(31)0x x-<,解得13x<<,所以不等式的解集是1(0,)3,故答案为:1(0,)3.16.(2019•全国)若12log (41)2x ->-,则x 的取值范围是 15(,)44 .【解答】解:1122log (41)2log 4x ->-=,∴410414x x ->⎧⎨-<⎩,∴1544x <<,x ∴的取值范围为15(,)44.故答案为:15(,)44.17.(2019•上海)已知x ,y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………,则23z x y =-的最小值为 6- . 【解答】解:作出不等式组002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………表示的平面区域, 由23z x y =-即23x zy -=,表示直线在y 轴上的截距的相反数的13倍,平移直线230x y -=,当经过点(0,2)时,23z x y =-取得最小值6-, 故答案为:6-.18.(2019•上海)若x ,y R +∈,且123y x +=,则yx的最大值为 98 .【解答】解:132y x =+…∴298y x =…;故答案为:9819.(2019•天津)设x R ∈,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 2(1,)3- .【解答】解:2320x x +-<,将232x x +-分解因式即有: (1)(32)0x x +-<;2(1)()03x x +-<;由一元二次不等式的解法“小于取中间,大于取两边” 可得:213x -<<; 即:2{|1}3x x -<<;或2(1,)3-;故答案为:2(1,)3-;20.(2019•天津)设0x >,0y >,24x y +=,则(1)(21)x y xy ++的最小值为 92.【解答】解:0x >,0y >,24x y +=, 则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+; 0x >,0y >,24x y +=,由基本不等式有:42x y =+…, 02xy ∴<…, 552xy …, 故:5592222xy ++=…; (当且仅当22x y ==时,即:2x =,1y =时,等号成立), 故(1)(21)x y xy ++的最小值为92;故答案为:92.21.(2019•天津)设0x >,0y >,25x y +=的最小值为【解答】解:0x >,0y >,25x y +=,===;由基本不等式有:64xyxy=当且仅当时,即:3xy=,25x y+=时,即:31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时;等号成立,的最小值为故答案为:22.(2019•新课标Ⅱ)若变量x,y满足约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3z x y=-的最大值是9.【解答】解:由约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图:化目标函数3z x y=-为3y x z=-,由图可知,当直线3y x z=-过(3,0)A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为9.故答案为:9.23.(2019•北京)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当10x =时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 130 元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 .【解答】解:①当10x =时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,可得6080140+=(元), 即有顾客需要支付14010130-=(元); ②在促销活动中,设订单总金额为m 元, 可得()80%70%m x m -⨯⨯…, 即有8mx …恒成立, 由题意可得120m …, 可得120158x =…, 则x 的最大值为15元. 故答案为:130,1524.(2019•北京)若x ,y 满足2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………则y x -的最小值为 3- ,最大值为 .【解答】解:由约束条件2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………作出可行域如图,(2,1)A -,(2,3)B ,令z y x =-,作出直线y x =,由图可知,平移直线y x =,当直线z y x =-过A 时,z 有最小值为3-,过B 时,z 有最大值1. 故答案为:3-,1.25.(2018•上海)已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足:22111x y +=,22221x y +=,121212x x y y +=,【解答】解:设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y , 1(OA x =,1)y ,2(OB x =,2)y ,由22111x y +=,22221x y +=,121212x x y y +=, 可得A ,B 两点在圆221x y +=上, 且111cos 2OA OB AOB =⨯⨯∠=, 即有60AOB ∠=︒,即三角形OAB 为等边三角形,1AB=,的几何意义为点A ,B 两点 到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和,显然A ,B 在第三象限,AB 所在直线与直线1x y +=平行, 可设:0AB x y t ++=,(0)t >, 由圆心O到直线AB 的距离d =,可得1,解得t1=,+26.(2018•浙江)若x ,y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………,则3z x y =+的最小值是 2- ,最大值是 .【解答】解:作出x ,y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………表示的平面区域,如图:其中(4,2)B -,(2,2)A . 设(,)3z F x y x y ==+,将直线:3l z x y =+进行平移,观察直线在y 轴上的截距变化, 可得当l 经过点B 时,目标函数z 达到最小值.()4,22z F ∴=-=-最小值.可得当l 经过点A 时,目标函数z 达到最最大值:()2,28z F ==最大值. 故答案为:2-;8.27.(2018•新课标Ⅲ)若变量x ,y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………,则13z x y =+的最大值是 3 .【解答】解:画出变量x ,y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图:由2240x x y =⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A .13z x y =+变形为33y x z =-+,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,3)A 时,直线的纵截距最小,z 最大, 最大值为12333+⨯=,故答案为:3.28.(2018•北京)若x ,y 满足12x y x +剟,则2y x -的最小值是 3 . 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 设2z y x =-,则1122y x z =+, 平移1122y x z =+, 由图象知当直线1122y x z =+经过点A 时, 直线的截距最小,此时z 最小, 由12x y y x +=⎧⎨=⎩得12x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)A ,此时2213z =⨯-=, 故答案为:329.(2018•新课标Ⅱ)若x,y满足约束条件25023050x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………,则z x y=+的最大值为9.【解答】解:由x,y满足约束条件25023050x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………作出可行域如图,化目标函数z x y=+为y x z=-+,由图可知,当直线y x z=-+过A时,z取得最大值,由5230xx y=⎧⎨-+=⎩,解得(5,4)A,目标函数有最大值,为9z=.故答案为:9.30.(2018•新课标Ⅰ)若x ,y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩………,则32z x y =+的最大值为 6 . 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由32z x y =+得3122y x z =-+,平移直线3122y x z =-+,由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时,直线的截距最大,此时z 最大,最大值为326z =⨯=, 故答案为:631.(2017•上海)不等式11x x->的解集为 (,0)-∞ . 【解答】解:由11x x->得: 111100x x x->⇒<⇒<, 故不等式的解集为:(,0)-∞, 故答案为:(,0)-∞.32.(2017•天津)若a ,b R ∈,0ab >,则4441a b ab++的最小值为 4 .【解答】解:【解法一】a ,b R ∈,0ab >,∴4441a b ab ++2241a b ab +=144ab ab ab ab=+=…,当且仅当44414a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2222214a b a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即a =,b 或a =,b =时取“=”; ∴上式的最小值为4.【解法二】a ,b R ∈,0ab >,∴44334141142222a b a b ab b a ab ab a ab ab++=+++=…, 当且仅当44414ab ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2222214a b ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即a =,b 或a =,b =时取“=”; ∴上式的最小值为4.故答案为:4.33.(2017•新课标Ⅰ)设x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………,则32z x y =-的最小值为 5- . 【解答】解:由x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A , 联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩,解得(1,1)A -.32z x y ∴=-的最小值为31215-⨯-⨯=-.故答案为:5-.34.(2017•江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 30 .【解答】解:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和6000644240x x =⨯+⨯=…(万元).当且仅当30x =时取等号. 故答案为:30. 35.(2017•山东)若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2),则2a b +的最小值为 8 . 【解答】解:直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2),则121a b +=,由12442(2)()2244448a b a b a b a b a b b a b a +=+⨯+=+++=++++=…,当且仅当4a bb a=,即12a =,1b =时,取等号,2a b ∴+的最小值为8,故答案为:8.36.(2017•北京)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: ()i 男学生人数多于女学生人数;()ii 女学生人数多于教师人数; ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 6 . ②该小组人数的最小值为 .【解答】解:①设男学生女学生分别为x ,y 人, 若教师人数为4,则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩,即48y x <<<, 即x 的最大值为7,y 的最大值为6, 即女学生人数的最大值为6.②设男学生女学生分别为x ,y 人,教师人数为z , 则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩,即2z y x z <<< 即z 最小为3才能满足条件, 此时x 最小为5,y 最小为4, 即该小组人数的最小值为12, 故答案为:6,1237.(2017•新课标Ⅲ)若x ,y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………,则34z x y =-的最小值为 1- . 【解答】解:由34z x y =-,得344zy x =-,作出不等式对应的可行域(阴影部分), 平移直线344z y x =-,由平移可知当直线344zy x =-, 经过点(1,1)B 时,直线344zy x =-的截距最大,此时z 取得最小值, 将B 的坐标代入34341z x y =-=-=-, 即目标函数34z x y =-的最小值为1-. 故答案为:1-.三.解答题(共3小题)38.(2018•江苏)若x ,y ,z 为实数,且226x y z ++=,求222x y z ++的最小值.【解答】解:由柯西不等式得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++…, 226x y z ++=,2224x y z ∴++… 是当且仅当122x y z ==时,不等式取等号,此时23x =,43y =,43z =,222x y z ∴++的最小值为439.(2017•天津)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.()I 用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; ()II 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?【解答】(Ⅰ)解:由已知,x ,y 满足的数学关系式为70606005530200x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩……………,即766062000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩…………….该二元一次不等式组所表示的平面区域如图:(Ⅱ)解:设总收视人次为z 万,则目标函数为6025z x y =+. 考虑6025z x y =+,将它变形为12525z y x =-+,这是斜率为125-,随z 变化的一族平行直线.25z 为直线在y 轴上的截距,当25z取得最大值时,z 的值最大. 又x ,y 满足约束条件,∴由图可知,当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时,截距25z最大,即z 最大. 解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩,得点M 的坐标为(6,3).∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.40.(2017•江苏)已知a ,b ,c ,d 为实数,且224a b +=,2216c d +=,证明8ac bd +…. 【解答】证明:224a b +=,2216c d +=, 令2cos a α=,2sin b α=,4cos c β=,4sin d β=.8(cos cos sin sin )8cos()8ac bd αβαβαβ∴+=+=-….当且仅当cos()1αβ-=时取等号.因此8ac bd +….另解:由柯西不等式可得:22222()()()41664ac bd a b c d +++=⨯=…,当且仅当a bc d=时取等号.88ac bd ∴-+剟.。
专题二 压轴填空题第三关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题,是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性,解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例1.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学(理)试题】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时,()3f x x =,若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(,-∞B .()C. ()),0-∞⋃+∞ D .(),-∞⋃+∞ 【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测(二模)数学(理)试题】对任意x R ∈不等式222x x a a +-≥恒成立, 则实数a 的取值范围是 .类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例1 [改编题] 已知函数2()ln(1)f x ax x =++,当[0,)x ∈+∞时,不等式()f x x ≤恒成立,则实数a 的取值范围_________.【举一反三】已知函数32)1()(ax e x x f x +-=若当0≥x 时,)(x f 0≥恒成立,则a 的取值范围______.类型三 利用参变分离求恒成立问题典例2 当[]2,1x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是 .【举一反三】【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学(理)试题】设函数xx e x f 1)(22+=,x ex e x g 2)(=,对),0(,21+∞∈∀x x ,不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立,则正数k 的取值范围为 . 类型四 利用图像法求恒成立问题典例3 若不等式2log 0m x x -<在区间1(0,)2上恒成立,则实数m 的取值范围是 .【举一反三】已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是__________.【精选名校模拟】1.【宁夏育才中学2017届高三上学期第二次月考数学(理)试题】设函数3()f x x x =+,x R ∈. 若当02πθ<<时,不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A. 1(,1]2 B.1(,1)2 C. [1,)+∞ D.(,1]-∞2.【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测,6】若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A .1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B . 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D .16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.【2017广东珠海市高三期末】已知函数2()ln f x x x =,若关于x 的不等式()10f x kx -+≥恒成立,则实数k 的取值范围是__________.4.【2017黑龙江虎林一中高三月考】若函数 ()22ln f x x x a x =++在()0,1 上单调递减, 则实数a 的取值范围是_________.5.【2017重庆巴蜀中学高三月考】定义域为R 的函数(x)f 满足(x 2)3(x)f f +=,当[0,2]x ∈时,2(x)x 2f x =-,若[4,2]x ∈--时,13(x)(t)18f t≥-恒成立,则实数t 的取值范围是 . 6.【2017安徽蚌埠怀远摸底考试】当()0,x ∈+∞时,不等式()221ln 0c x cx x cx -++≥恒成立,则实数c的取值范围是_____________.7.【2017黑吉两省八校联考】已知函数2()ln f x x m x =-在[2,)+∞上单调递增,则实数m 的取值范围为 .8.函数()331f x x x =--,若对于区间[]3,2-上的任意12,x x ,都有()()12||f x f x t -≤,则实数t 的最小值是 .9.【2017江西鹰潭一中高三期中】若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立,则实数m 的取值范围是____________.10.若关于x 的不等式(1)(ln )0ax x ax -+≥在(0,+∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是 .11.【2017四川绵阳一诊】)(x f 是定义在R 上的偶函数,且0≥x 时,3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ,不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立,则实数t 的取值范围是 .12.已知:函数,若对使得,则实数的取值范围__________.14.【2017黑龙江宝清县高级中学期中】已知函数()f x 3213x x ax =++,若1()x g x e =,对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使12'()()f x g x ≤成立,则实数a 的取值范围是 . 15.设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2)(,0x x f x =≥时,若对任意的]2,[+∈t t x ,不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立,则实数t 的取值范围是 .。
不等式恒成立、能成立问题【七大题型】【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 (2)【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 (3)【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 (5)【题型4 基本不等式求解恒成立问题】 (7)【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】 (10)【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】 (11)【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】 (13)1、不等式恒成立、能成立问题一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看,“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容,这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来,其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面,在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维能力都起到很好的作用.【知识点1 不等式恒成立、能成立问题】1.一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式ax2+bx+c>0,它的解集为R的条件为{a>0,Δ=b2-4ac<0;一元二次不等式ax2+bx+c≥0,它的解集为R的条件为{a>0,Δ=b2-4ac≤0;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为{a<0,Δ≤0.2.一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种,一是在全集R上恒成立,二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.①若ax2+bx+c>0恒成立,则有a>0,且△<0;若ax2+bx+c<0恒成立,则有a<0,且△<0.②对第二种情况,要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3.给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数;一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数;即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.4.常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理,具体如下:(1)对任意的x∈[m,n],a>f(x)恒成立a>f(x)max;若存在x∈[m,n],a>f(x)有解a>f(x)min;若对任意x∈[m,n],a>f(x)无解a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n],a<f(x)恒成立a<f(x)min;若存在x∈[m,n],a<f(x)有解a<f(x)max;若对任意x∈[m,n],a<f(x)无解a≥f(x)max.【例1】(2023·福建厦门·二模)“b∈(0,4)”是“∀x∈R,bx2―bx+1>0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】由∀x∈R,bx2―bx+1>0成立求出b的范围,再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解答过程】由∀x∈R,bx2―bx+1>0成立,则当b=0时,1>0恒成立,即b=0,当b≠0时,b>0b2―4b<0,解得0<b<4,因此∀x∈R,bx2―bx+1>0成立时,0≤b<4,因为(0,4)[0,4),所以“b∈(0,4)”是“∀x∈R,bx2―bx+1>0成立”的充分不必要条件.故选:A.【变式1-1】(2023·江西九江·模拟预测)无论x取何值时,不等式x2―2kx+4>0恒成立,则k的取值范围是()A.(―∞,―2)B.(―∞,―4)C.(―4,4)D.(―2,2)【解题思路】由题知4k2―16<0,再解不等式即可得答案.【解答过程】解:因为无论x取何值时,不等式x2―2kx+4>0恒成立,所以,4k2―16<0,解得―2<k<2,所以,k的取值范围是(―2,2)故选:D.【变式1-2】(2023·福建厦门·二模)不等式ax2―2x+1>0(a∈R)恒成立的一个充分不必要条件是()A.a>2B.a≥1C.a>1D.0<a<12【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论求出a的范围,再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a=0时,―2x+1>0,得x<12,与题意矛盾,当a≠0时,则a>0Δ=4―4a<0,解得a>1,综上所述,a>1,所以不等式ax2―2x+1>0(a∈R)恒成立的一个充分不必要条件是A选项.故选:A.【变式1-3】(2023·四川德阳·模拟预测)已知p:0≤a≤2,q:任意x∈R,ax2―ax+1≥0,则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式恒成立解得q:0≤a≤4,结合充分、必要条件的概念即可求解.【解答过程】命题q:一元二次不等式ax2―ax+1≥0对一切实数x都成立,当a=0时,1>0,符合题意;当a≠0时,有a>0Δ≤0,即a>0a2―4a≤0,解为a∈(0,4],∴q:0≤a≤4.又p:0≤a≤2,设A=[0,2],B=[0,4],则A是B的真子集,所以p是q成立的充分非必要条件,故选:A.【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】(2023·辽宁鞍山·二模)已知当x >0时,不等式:x 2―mx +16>0恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(―8,8)B .(―∞,8]C .(―∞,8)D .(8,+∞)【解题思路】先由x 2―mx +16>0得m <x +16x,由基本不等式得x +16x≥8,故m <8.【解答过程】当x >0时,由x 2―mx +16>0得m <x +16x,因x >0,故x +16x≥=8,当且仅当x =16x即x =4时等号成立,因当x >0时,m <x +16x恒成立,得m <8,故选:C.【变式2-1】(23-24高一上·贵州铜仁·期末)当x ∈(―1,1)时,不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立,则k 的取值范围是( )A .(―3,0)B .[―3,0)C .―D .―【解题思路】对二项式系数进行分类,结合二次函数定义的性质,列出关系式求解.【解答过程】当x ∈(―1,1)时,不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立,当k =0时,满足不等式恒成立;当k ≠0时,令f (x )=2kx 2―kx ―38,则f (x )<0在(―1,1)上恒成立,函数f (x )的图像抛物线对称轴为x =14,k >0时,f (x )在―,1上单调递增,则有f (―1)=2k +k ―38≤0f (1)=2k ―k ―38≤0,解得0<k ≤18;k <0时,f (x )在―,1上单调递减,则有=2k 16―k 4―38<0,解得―3<k <0.综上可知,k的取值范围是―故选:D.【变式2-2】(23-24高一上·江苏徐州·阶段练习)若对于任意x ∈[m,m +1],都有x 2+mx ―1<0成立,则实数m 的取值范围是( )A .―23,0B .―,0C .―23,0D .,0【解题思路】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【解答过程】由题意,对于∀x ∈[m,m +1]都有f(x)=x 2+mx ―1<0成立,∴f (m )=m 2+m 2―1<0f (m +1)=(m +1)2+m (m +1)―1<0,解得:―<m <0,即实数m 的取值范围是―,0.故选:B.【变式2-3】(22-23高一上·安徽马鞍山·期末)已知对一切x ∈[2,3],y ∈[3,6],不等式mx 2―xy +y 2≥0恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .m ≤6B .―6≤m ≤0C .m ≥0D .0≤m ≤6【解题思路】令t =yx ,分析可得原题意等价于对一切t ∈[1,3],m ≥t ―t 2恒成立,根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【解答过程】∵x ∈[2,3],y ∈[3,6],则1x ∈[13,12],∴yx ∈[1,3],又∵mx 2―xy +y 2≥0,且x ∈[2,3],x 2>0,可得m ≥y x―,令t =yx ∈[1,3],则原题意等价于对一切t ∈[1,3],m ≥t ―t 2恒成立,∵y =t ―t 2的开口向下,对称轴t =12,则当t =1时,y =t ―t 2取到最大值y max =1―12=0,故实数m 的取值范围是m ≥0.故选:C.【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】(23-24高一上·山东淄博·阶段练习)若命题“∃―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a <0”为假命题,则实数x 的取值范围为( )A .{x |―1≤x ≤4 }B .x |0≤xC .x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4D .x |―1≤x <0或53<x ≤4【解题思路】由题意可得:命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题,根据恒成立问题结合一次函数运算求解.【解答过程】由题意可得:命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题,即ax 2―(2a ―1)x +3―a =(x 2―2x ―1)a +x +3≥0对a ∈[―1,3]恒成立,则―(x 2―2x ―1)+x +3≥03(x 2―2x ―1)+x +3≥0,解得―1≤x ≤0或53≤x ≤4,即实数x 的取值范围为x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4.故选:C.【变式3-1】(23-24高一上·广东深圳·阶段练习)当1≤m ≤2时,mx 2―mx ―1<0恒成立,则实数x 的取值范围是( )A<x <B<x <C <x<D <x <【解题思路】将不等式整理成关于m 的一次函数,利用一次函数性质解不等式即可求得结果.【解答过程】根据题意可将不等式整理成关于m 的一次函数(x 2―x )m ―1<0,由一次函数性质可知(x 2―x )×1―1<0(x 2―x )×2―1<0 ,即x 2―x ―1<02x 2―2x ―1<0;<x <<x <<x <故选:B.【变式3-2】(23-24高一下·河南濮阳·期中)已知当―1≤a ≤1时,x 2+(a ―4)x +4―2a >0恒成立,则实数x 的取值范围是( )A .(―∞,3)B .(―∞,1]∪[3,+∞)C .(―∞,1)D .(―∞,1)∪(3,+∞)【解题思路】将x2+(a―4)x+4―2a>0化为(x―2)a+x2―4x+4>0,将a看成主元,令f(a)=(x―2) a+x2―4x+4,分x=2,x>2和x<2三种情况讨论,从而可得出答案.【解答过程】解:x2+(a―4)x+4―2a>0恒成立,即(x―2)a+x2―4x+4>0,对任意得a∈[―1,1]恒成立,令f(a)=(x―2)a+x2―4x+4,a∈[―1,1],当x=2时,f(a)=0,不符题意,故x≠2,当x>2时,函数f(a)在a∈[―1,1]上递增,则f(a)min=f(―1)=―x+2+x2―4x+4>0,解得x>3或x<2(舍去),当x<2时,函数f(a)在a∈[―1,1]上递减,则f(a)min=f(1)=x―2+x2―4x+4>0,解得x<1或x>2(舍去),综上所述,实数x的取值范围是(―∞,1)∪(3,+∞).故选:D.【变式3-3】(2008·宁夏·高考真题)已知a1>a2>a3>0,则使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是( )A.B.0,C.D.(a i>0),【解题思路】由(1―a i x)2<1可求得0<x<2a i【解答过程】由(1―a i x)2<1,得:1―2a i x+a2i x2<1,(a i>0),即x(a2i x―2a i)<0,解之得0<x<2a i因为a1>a2>a3>0,使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立,;所以0<x<2a1故选:B.【题型4 基本不等式求解恒成立问题】【例4】(23-24高一下·贵州贵阳·期中)对任意的x∈(0,+∞),x2―2mx+1>0恒成立,则m的取值范围为()A.[1,+∞)B.(―1,1)C.(―∞,1]D.(―∞,1)【解题思路】参变分离可得2m <x +1x 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立,利用基本不等式求出x +1x 的最小值,即可求出参数的取值范围.【解答过程】因为对任意的x ∈(0,+∞),x 2―2mx +1>0恒成立,所以对任意的x ∈(0,+∞),2m <x 2+1x=x +1x 恒成立,又x +1x ≥=2,当且仅当x =1x ,即x =1时取等号,所以2m <2,解得m <1,即m 的取值范围为(―∞,1).故选:D.【变式4-1】(22-23高三上·河南·期末)已知a >0,b ∈R ,若x >0时,关于x 的不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立,则b +4a 的最小值为( )A .2B .C .D .【解题思路】根据题意设y =ax ―2,y =x 2+bx ―5,由一次函数以及不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0分析得x =2a 时,y =x 2+bx ―5=0,变形后代入b +4a ,然后利用基本不等式求解.【解答过程】设y =ax ―2(x >0),y =x 2+bx ―5(x >0),因为a >0,所以当0<x <2a 时,y =ax ―2<0;当x =2a 时,y =ax ―2=0;当x >2a 时,y =ax ―2>0;由不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立,得:ax ―2≤0x 2+bx ―5≤0 或ax ―2≥0x 2+bx ―5≥0 ,即当0<x ≤2a 时,x 2+bx ―5≤0恒成立,当x ≥2a 时,x 2+bx ―5≥0恒成立,所以当x =2a 时,y =x 2+bx ―5=0,则4a 2+2b a―5=0,即b =5a 2―2a ,则当a >0时,b +4a =5a 2―2a +4a =5a 2+2a ≥=当且仅当5a2=2a ,即a =所以b +4a 的最小值为故选:B.【变式4-2】(23-24高三上·山东威海·期中)关于x 的不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞),则实数a 的取值范围为( )A +∞B .―∞C .―D .―∞,∪+∞【解题思路】不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞),即对于∀x ∈R ,ax 2―|x|+2a ≥0恒成立,即a ≥|x |x 2+2,分x =0和a ≠0两种情况讨论,结合基本不等式即可得出答案.【解答过程】解:不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞),即对于∀x ∈R ,ax 2―|x|+2a ≥0恒成立,即a ≥|x |x 2+2,当x =0时,a ≥0,当a ≠0时,a ≥|x |x 2+2=1|x |+2|x |,因为1|x |+2|x |≤=所以a ≥综上所述a ∈+∞.故选:A.【变式4-3】(23-24高一上·湖北·阶段练习)已知x >0,y >0,且1x+2+1y =27,若x +2+y >m 2+5m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(―4,7)B .(―2,7)C .(―4,2)D .(―7,2)【解题思路】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧最小值,结合x +2+y >m 2+5m 恒成立得到不等式,解一元二次不等式求参数范围【解答过程】因为x >0,y >0,且1x+2+1y =27,所以x +2+y =72×(x +2+y =72×1+1+y x+2+≥72×2+=14,当且仅当y =x +2=7时取等号,又因为x +2+y >m 2+5m 恒成立,所以14>m 2+5m ,解得―7<m <2.所以实数m的取值范围是(―7,2).故选:D.【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】【例5】(2024·陕西宝鸡·模拟预测)若存在实数x,使得mx2―(m―2)x+m<0成立,则实数m的取值范围为()A.(―∞,2)B.(―∞,0]∪C.―∞D.(―∞,1)【解题思路】分别在m=0、m>0和m<0的情况下,结合二次函数的性质讨论得到结果.【解答过程】①当m=0时,不等式化为2x<0,解得:x<0,符合题意;②当m>0时,y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向上的二次函数,;只需Δ=(m―2)2―4m2=―3m2―4m+4>0,即0<m<23③当m<0时,y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向下的二次函数,则必存在实数x,使得mx2―(m―2)x+m<0成立;综上所述:实数m的取值范围为―∞故选:C.【变式5-1】(22-23高一上··阶段练习)若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解,则实数a 的取值范围是()A.{a|a≥―2 }B.{a|a≤―2 }C.{a|a≥―6 }D.{a|a≤―6 }【解题思路】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【解答过程】若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解,则Δ=16+4(2+a)≥0,解得a≥―6.故选:C.【变式5-2】(23-24高一上·山东临沂·阶段练习)若不等式―x2+ax―1>0有解,则实数a的取值范围为()A.a<―2或a>2B.―2<a<2C.a≠±2D.1<a<3【解题思路】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.【解答过程】不等式―x2+ax―1>0有解,即不等式x2―ax+1<0有解,因此Δ=a2―4>0,解得a<―2或a>2,所以实数a的取值范围为a<―2或a>2.故选:A.【变式5-3】(23-24高一上·江苏徐州·期中)已知关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解,则实数a 的取值范围是()A.{a|―1≤a≤4 }B.{a|―1<a<4 }C.{a|a≥4 或a≤―1}D.{a|―4≤a≤1 }【解题思路】由题意知x2―4x+a2―3a≤0在R上有解,等价于Δ≥0,解不等式即可求实数a的取值范围.【解答过程】因为关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解,即x2―4x+a2―3a≤0在R上有解,只需y=x2―4x+a2―3a的图象与x轴有公共点,所以Δ=(―4)2―4×(a2―3a)≥0,即a2―3a―4≤0,所以(a―4)(a+1)≤0,解得:―1≤a≤4,所以实数a的取值范围是{a|―1≤a≤4 },故选:A.【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】【例6】(2023·福建宁德·模拟预测)命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥1B.a≥4C.a≥―2D.a≤4【解题思路】根据能成立问题求a的取值范围,结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x∈[1,2],x2≤a,则(x2)min≤a,即a≥1,∴a的取值范围[1,+∞)由题意可得:选项中的取值范围对应的集合应为[1,+∞)的真子集,结合选项可知B对应的集合为[4,+∞)为[1,+∞)的真子集,其它都不符合,∴符合的只有B,故选:B.【变式6-1】(22-23高二上·河南·开学考试)设a为实数,若关于x的不等式x2―ax+7≥0在区间(2,7)上有实数解,则a的取值范围是()A.(―∞,8)B.(―∞,8]C.(―∞D.―∞【解题思路】参变分离,再根据对勾函数的性质,结合能成立问题求最值即可.【解答过程】由题意,因为x ∈(2,7),故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解,则a <x +,又g (x )=x +7x在上单调递减,在上单调递增,且g (2)=2+72=112,g (7)=7+77=8>g (2),故x +<8.故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解则a <8.故选:A.【变式6-2】(23-24高一上·福建·期中)若至少存在一个x <0,使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立,则实数a 的取值范围是( )A .―374,3B .―C .―374D .(―3,3)【解题思路】化简不等式3―|3x ―a |>x 2+2x ,根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析,从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意,至少存在一个x <0,使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立,即至少存在一个x <0,使得关于x 的不等式―x 2―2x +3>|3x ―a |成立,画出y =―x 2―2x +3(x <0)以及y =|3x ―a |的图象如下图所示,其中―x 2―2x +3>0.当y =3x ―a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时,由y =3x ―ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2+5x ―a ―3=0,Δ=25+4a +12=0,a =―374.当y =―3x +a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时,由y =―3x +ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2―x +a ―3=0①,由Δ=1―4a +12=0解得a =134,代入①得x 2―x +14=x=0,解得x =12,不符合题意.当y =―3x +a 过(0,3)时,a =3.结合图象可知a 的取值范围是―374,3.故选:A.【变式6-3】(22-23高一上·江苏宿迁·期末)若命题“∀x 0∈(0,+∞),使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题,则实数a 的取值范围是( )A .(―∞,―2),(6,+∞)B .(―∞,―2)C .[―2,6]D .[2+【解题思路】根据题意可知“∃x 0∈(0,+∞),使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题,然后参变分离,将问题转化为最值问题,利用基本不等式可解.【解答过程】因为“∀x 0∈(0,+∞),使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题,所以“∃x 0∈(0,+∞),使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题,即a <―x 20+3x 0+1在(0,+∞)内有解,即a <―.因为―x 20+3x 0+1=―(x 0+1)2―2(x 0+1)+4x 0+1=―x 0+1―2≤―2,当且仅当x 0=1时等号成立,所以=―2,所以实数a 的取值范围为(―∞,―2).故选:B.【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】【例7】(23-24高一上·山东潍坊·阶段练习)已知关于x 的不等式2x ―1>m(x 2―1).(1)是否存在实数m ,使不等式对任意x ∈R 恒成立,并说明理由;(2)若不等式对于m ∈[―2,2]恒成立,求实数x 的取值范围;(3)若不等式对x ∈[2,+∞)有解,求m 的取值范围.【解题思路】将2x ―1>m(x 2―1)转化为mx 2―2x +(1―m)<0,(1)讨论m =0和m ≠0时的情况;(2)f(m)=(x 2―1)m ―(2x ―1),显然该函数单调,所以只需f(2)<0f(―2)<0即可.(3)讨论当m =0时,当m <0时,当m >0时,如何对x ∈[2,+∞)有解,其中m <0,m >0,均为一元二次不等式,结合一元二次函数图象求解即可.【解答过程】(1)原不等式等价于mx2―2x+(1―m)<0,当m=0时,―2x+1<0,即x>12,不恒成立;当m≠0时,若不等式对于任意实数x恒成立,则m<0且Δ=4―4m(1―m)<0,无解;综上,不存在实数m,使不等式恒成立.(2)设f(m)=(x2―1)m―(2x―1),当m∈[―2,2]时,f(m)<0恒成立,当且仅当f(2)<0f(―2)<0,即2x2―2x―1<0―2x2―2x+3<0,解得<x<x<x><x<所以x的取值范围是.(3)若不等式对x∈[2,+∞)有解,等价于x∈[2,+∞)时,mx2―2x―m)<0有解.令g(x)=mx2―2x+(1―m),当m=0时,―2x+1<0即x>12,此时显然在x∈[2,+∞)有解;当m<0时,x∈[2,+∞)时,结合一元二次函数图象,mx2―2x+(1―m)<0显然有解;当m>0时,y=g(x)对称轴为x=1m,Δ=4―4m(1―m)=4m2―4m+4=(2m―1)2+3>0,∵x∈[2,+∞)时,mx2―2x+(1―m)<0有解,∴结合一元二次函数图象,易得:g(2)<0或g(2)≥01m>2,解得m<1或m≥1m<12(无解),又∵m>0,∴0<m<1;综上所述,m的取值范围为(―∞,1).【变式7-1】(23-24高一上·江苏扬州·阶段练习)设函数y=ax2―(2a+3)x+6,a∈R.(1)若y+2>0恒成立,求实数a的取值范围:(2)当a=1时,∀t>―2,关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解,求实数m的取值范围.【解题思路】(1)利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解;(2)根据已知条件及二次函数的性质即可求解.【解答过程】(1)y+2>0恒成立,即ax2―(2a+3)x+8>0恒成立,当a=0时,―3x+8>0,解得x<83,舍去;当a≠0时,a>04a2―20a+9<0,解得12<a<92所以实数a(2)当a=1时,∀t>―2,关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解,则―2是x2―2x+3―m≤0的解,因为抛物线y=x2―2x+3开口向上,对称轴x=1,所以11―m≤0,解得m≥11,所以m的取值范围为[11,+∞).【变式7-2】(23-24高一上·浙江台州·期中)已知函数f(x)=2x2―ax+a2―4,g(x)=x2―x+a2―314,(a∈R)(1)当a=1时,解不等式f(x)>g(x);(2)若任意x>0,都有f(x)>g(x)成立,求实数a的取值范围;(3)若∀x1∈[0,1],∃x2∈[0,1],使得不等式f(x1)>g(x2)成立,求实数a的取值范围.【解题思路】(1)作差后解一元二次不等式即可.(2)解法一:构造函数,分类讨论求解二次函数最小值,然后列不等式求解即可;解法二:分离参数,构造函数k=x+154x,利用基本不等式求解最值即可求解;(3)把问题转化为f(x)min>g(x)min,利用动轴定区间分类讨论即可求解.【解答过程】(1)当a=1时,f(x)=2x2―x―3,g(x)=x2―x―274所以f(x)―g(x)=x2+154>0,所以f(x)>g(x),所以f(x)>g(x)的解集为R.(2)若对任意x>0,都有f(x)>g(x)成立,即x2+(1―a)x+154>0在x>0恒成立,解法一:设ℎ(x )=x 2+(1―a )x +154,x >0,对称轴x =a―12,由题意,只须ℎ(x )min >0,①当a―12≤0,即a ≤1时,ℎ(x )在0,+∞上单调递增,所以ℎ(x )>ℎ(0)=154,符合题意,所以a ≤1;②当a―12>0,即a >1时,ℎ(x )在+∞单调递增,所以ℎ(x )>=―(a―1)24+154>0,解得1<a <1+a >1,所以1<a <1+综上,a <1+解法二:不等式可化为(a ―1)x <x 2+154,即a ―1<x +154x ,设k =x +154x ,x >0,由题意,只须a ―1<k (x )min ,k =x +154x ≥=当且仅当x =154x 即x =k min =所以a ―1<a <1+(3)若对任意x 1∈[0,1],存在x 2∈[0,1],使得不等式f (x 1)>g (x 2)成立,即只需满足f (x )min >g (x )min ,x ∈[0,1],g (x )=x 2―x +a 2―314,对称轴x =12,g (x )在0,递增,g (x )min ==a 2―8,f (x )=2x 2―ax +a 2―4,x ∈[0,1],对称轴x =a4,①a4≤0即a ≤0时,f (x )在[0,1]递增,f (x )min =f (0)=a 2―4>g (x )min =a 2―8恒成立;②0<a4<1即0<a <4时,f (x )在0,,1递增,f (x )min ==78a 2―4,g (x )min =a 2―8,所以78a 2―4>a 2―8,故0<a <4;③a4≥1即a ≥4时,f (x )在[0,1]递减,f (x )min =f (1)=a 2―a ―2,g (x )min =a 2―8,所以a 2―a ―2>a 2―8,解得4≤a <6,综上:a ∈(―∞,6).【变式7-3】(23-24高一上·山东威海·期中)已知函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R)(1)解关于x 的不等式f(x)≤6―3a ;(2)若对任意的x ∈[1,4],f(x)+a +5≥0恒成立,求实数a 的取值范围(3)已知g(x)=mx +7―3m ,当a =1时,若对任意的x 1∈[1,4],总存在x 2∈[1,4],使f (x 1)=g (x 2)成立,求实数m 的取值范围.【解题思路】(1)由不等式f(x)≤6―3a 转化为(x ―3)(x ―a)≤0,分a <3,a =3,a >3讨论求解;(2)将对任意的x ∈[1,4],f(x)+a +5≥0恒成立,转化为对任意的x ∈[1,4],a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立,当x =1,恒成立,当x ∈(1,4]时,a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立,利用基本不等式求解;(3)分析可知函数f (x )在区间[1,4]上的值域是函数g (x )在区间[1,4]上的值域的子集,分m =0、m <0、m >0三种情况讨论,求出两个函数的值域,可得出关于实数m 的不等式组,综合可得出实数m 的取值范围.【解答过程】(1)因为函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R),所以f(x)≤6―3a ,即为x 2―(a +3)x +3a ≤0,所以(x ―3)(x ―a)≤0,当a <3时,解得a ≤x ≤3,当a =3时,解得x =3,当a >3时,解得3≤x ≤a , 综上,当a <3时,不等式的解集为{x |a ≤x ≤3},当a ≥3时,不等式的解集为{x |3≤x ≤a }(2)因为对任意的x ∈[1,4],f(x)+a +5≥0恒成立,所以对任意的x ∈[1,4],a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立,当x =1时,0≤9恒成立,所以对任意的x ∈(1,4]时,a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立, 令(x ―1)+9x―1―1≥1=5,当且仅当x ―1=9x―1,即x =4时取等号,所以a ≤5,所以实数a 的取值范围是(―∞,5](3)当a =1时,f(x)=x 2―4x +6,因为x ∈[1,4],所以函数f(x)的值域是[2,6],因为对任意的x 1∈[1,4],总存在x 2[1,4],使f (x 1)=g (x 2)成立,所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集,当m >0时,g(x)∈[7―2m,m +7],则m >07―2m ≤2m +7≥6,解得m ≥52当m <0时,g(x)∈[m +7,7―2m],则m <07―2m ≥6m +7≤2,解得m ≤―5,当m =0时,g(x)∈{7},不成立;综上,实数m 的取值范围(―∞,―5]∪+∞.一、单选题1.(2023·河南·模拟预测)已知命题“∃x 0∈[―1,1],―x 20+3x0+a >0”为真命题,则实数a 的取值范围是( )A .(―∞,―2)B .(―∞,4)C .(―2,+∞)D .(4,+∞)【解题思路】由题知x 0∈[―1,1]时,a >x 20―3x 0min ,再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解:因为命题“∃x 0∈[―1,1],―x 20+3x 0+a >0”为真命题,所以,命题“∃x 0∈[―1,1],a >x 20―3x 0”为真命题,所以,x 0∈[―1,1]时,a >x 20―3x 0min ,因为,y =x 2―3x =x―94,所以,当x ∈[―1,1]时,y min =―2,当且仅当x =1时取得等号.所以,x 0∈[―1,1]时,a >x 20―3x 0min=―2,即实数a 的取值范围是(―2,+∞)故选:C.2.(2024·浙江·模拟预测)若不等式kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数,则实数k 的取值范围是( )A .2≤k ≤18B .―18<k <―2C .2<k <18D .0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况,结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时,不等式kx 2+(k ―6)x +2>0可化为―6x +2>0,显然不合题意;当k ≠0时,因为kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数,所以k >0Δ=(k ―6)2―4k ×2<0,解得2<k <18;综上:2<k <18.故选:C.3.(2023·辽宁鞍山·二模)若对任意的x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0恒成立,则m 的取值范围是( )A .(―2,2)B .(2,+∞)C .(―∞,2)D .(―∞,2]【解题思路】变形给定不等式,分离参数,利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0⇔m <x +1x ,而当x >0时,x +1x ≥=2,当且仅当x =1x ,即x =1时取等号,则m <2,所以m 的取值范围是(―∞,2).故选:C.4.(2023·宁夏中卫·二模)已知点A(1,4)在直线x +y=1(a >0,b >0)上,若关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立,则实数t 的取值范围为( )A .[―6,1]B .[―1,6]C .(―∞,―1]∪[6,+∞)D .(―∞,―6]∪[1,+∞)【解题思路】将点代入直线方程,再利用基本不等式求得a +b 的最小值,从而将问题转化9≥t 2+5t +3,解之即可.【解答过程】因为点A(1,4)在直线xa +yb =1(a >0,b >0)上,所以1a +4b =1,故a +b =(a +b +=ba +4a b+5≥=9,当且仅当ba =4a b且1a +4b =1,即a =3,b =6时等号成立,因为关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立,所以9≥t 2+5t +3,解得―6≤t ≤1,所以t ∈[―6,1].故选:A.5.(23-24高二上·山东潍坊·阶段练习)若两个正实数x ,y 满足1x +4y =2,且不等式x +y4<m 2―m 有解,则实数m 的取值范围是( )A .(―1,2)B .(―∞,―2)∪(1,+∞)C .(―2,1)D .(―∞,―1)∪(2,+∞)【解题思路】利用均值不等式求出最小值,根据题意列不等式求解即可.【解答过程】x +y4=+=+1+y 4x≥12(1+1+2)=2,要使得不等式x +y4<m 2―m 有解,只需m 2―m >2有解即可,解得m >2或者m <―1,故选:D.6.(23-24高一上·全国·单元测试)不等式2x 2―axy +y 2≥0,对于任意1≤x ≤2及1≤y ≤3恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .a|a ≤B .a|a ≥C .a|a ≤D .a|a【解题思路】由于在不等式2x 2―axy +y 2≥0中出现两个变量,对其进行变形令t =xy 则转化为含参数t 的不等式2t 2―at +1≥0,在t ∈,2上恒成立的问题,然后进行分离参数求最值即可.【解答过程】由y ∈[1,3],则不等式2x 2―axy +y 2≥0两边同时乘以1y 2不等式可化为:+1≥0,令t =xy ,则不等式转化为:2t 2―at +1≥0,在t ∈,2上恒成立,由2t 2―at +1≥0可得a ≤2t 2+1t即a ≤2t +,又2t +1t ≥=t =t =2t +1t 取得最小值故可得a ≤故选:A .7.(2023·江西九江·二模)已知命题p :∃x ∈R ,x 2+2x +2―a <0,若p 为假命题,则实数a 的取值范围为( )A .(1,+∞)B .[1,+∞)C .(―∞,1)D .(―∞,1]【解题思路】首先由p 为假命题,得出¬p 为真命题,即∀x ∈R ,x 2+2x +2―a ≥0恒成立,由Δ≤0,即可求出实数a 的取值范围.【解答过程】因为命题p :∃x ∈R ,x 2+2x +2―a <0,所以¬p :∀x ∈R ,x 2+2x +2―a ≥0,又因为p 为假命题,所以¬p 即∀x ∈R ,x 2+2x +2―a ≥0恒成立,所以Δ≤0,即22―4(2―a)≤0,解得a ≤1,故选:D .8.(2024·上海黄浦·模拟预测)已知不等式ρ:ax 2+bx +c <0(a ≠0)有实数解.结论(1):设x 1,x 2是ρ的两个解,则对于任意的x 1,x 2,不等式x 1+x 2<―ba 和x 1⋅x 2<ca 恒成立;结论(2):设x 0是ρ的一个解,若总存在x 0,使得ax 02―bx 0+c <0,则c <0,下列说法正确的是( )A .结论①、②都成立B .结论①、②都不成立C .结论①成立,结论②不成立D .结论①不成立,结论②成立【解题思路】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系,以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.【解答过程】当a<0且Δ=b2―4ac<0时,ρ:ax2+bx+c<0(a≠0)的解为全体实数,故对任意的x1,x2,x1+x2与―ba的关系不确定,例如:ρ:―x2+2x―2<0,取x1=1,x2=4,而―ba =2,所以x1⋅x2=4>ca=2,故结论①不成立.当a<0且Δ=b2―4ac>0时,ρ:ax2+bx+c<0的解为x|x<p或x>q,其中p,q是ax2+bx+c=0的两个根.当x0<p,―x0>q此时ax02―bx0+c<0,但c值不确定,比如:ρ:―x2+x+2<0,取x0 =―3,则―x02―x0+2<0,但c>0,故结论②不成立.故选:B.二、多选题9.(2023·江苏连云港·模拟预测)若对于任意实数x,不等式(a―1)x2―2(a―1)x―4<0恒成立,则实数a可能是()A.―2B.0C.―4D.1【解题思路】首先当a=1,不等式为―4<0恒成立,故满足题意;其次a≠1,问题变为了一元二次不等式恒成立问题,则当且仅当a―1<0Δ<0,解不等式组即可.【解答过程】当a=1时,不等式为―4<0恒成立,故满足题意;当a≠1时,要满足a―1<0Δ<0,而Δ=4(a―1)2+16(a―1)=4(―1)(a+3),所以解得―3<a<1;综上,实数a的取值范围是(―3,1];所以对比选项得,实数a可能是―2,0,1.故选:ABD.10.(2024·广东深圳·模拟预测)下列说法正确的是()A.不等式4x2―5x+1>0的解集是x|x>14或x<1B.不等式2x2―x―6≤0的解集是x|x≤―32或x≥2C.若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,则a的取值范围是∅D.若关于x的不等式2x2+px―3<0的解集是(q,1),则p+q的值为―12【解题思路】对于AB ,直接解一元二次不等式即可判断;对于C ,对a 分类讨论即可判断;对于D ,由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系,先求得p,q ,然后即可判断.【解答过程】对于A ,4x 2―5x +1>0⇔(x ―1)(4x ―1)>0⇔x <14或x >1,故A 错误;对于B ,2x 2―x ―6≤0⇔(x ―2)(2x +3)≤0⇔―32≤x ≤2,故B 错误;若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立,当a =0时,21<0是不可能成立的,所以只能a <0Δ=64a 2―84a <0 ,而该不等式组无解,综上,故C 正确;对于D ,由题意得q,1是一元二次方程2x 2+px ―3=0的两根,从而q ×1=―322+p ―3=0,解得p =1,q =―32,而当p =1,q =―32时,一元二次不等式2x 2+x ―3<0⇔(x ―1)(2x +3)<0⇔―32<x <1满足题意,所以p +q 的值为―12,故D 正确.故选:CD.11.(22-23高三上·河北唐山·阶段练习)若(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立,其中a ,b 是整数,则a +b 的可能取值为( )A .-7B .-5C .-6D .-17【解题思路】对b 分类讨论,当b≥0由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0,由一次函数的图象知不存在;当b <0时,由(ax -4)(x 2+b )≥0,利用数形结合的思想可得出a ,b 的整数解.【解答过程】当b≥0时,由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立,即a≤4x 对任意x∈(-∞,0]恒成立,此时a 不存在;当b <0时,由(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立,可设f (x )=ax -4,g (x )=x 2+b ,作出f (x ),g (x )的图象如下,aa,b是整数可得a=-1b=-16或a=-4b=-1或a=-2b=-4所以a+b的可能取值为-17或-5或-6故选:BCD.三、填空题12.(2024·陕西渭南·模拟预测)若∀x∈R,a<x2+1,则实数a的取值范围是(―∞,1).(用区间表示)【解题思路】利用二次函数的性质计算即可.【解答过程】由题得a<(x2+1)min=1,即实数a的取值范围为(―∞,1).故答案为:(―∞,1).13.(2024·辽宁·三模)若“∃x∈(0,+∞),使x2―ax+4<0”是假命题,则实数a的取值范围为(―∞,4].【解题思路】将问题转化为“a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立”,再利用对勾函数的单调性求得最值,从而得解.【解答过程】因为“∃x∈(0,+∞),使x2―ax+4<0”是假命题,所以“∀x∈(0,+∞),x2―ax+4≥0”为真命题,其等价于a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立,又因为对勾函数f(x)=x+4x在(0,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(2)=4,所以a≤4,即实数a∞,4].故答案为:(―∞,4].14.(2023·河北·模拟预测)若∃x∈R,ax2+ax+a―3<0,则a的一个可取的正整数值为1(或2,3).【解题思路】由判别式大于0求解.【解答过程】由题意Δ=a2―4a(a―3)>0,解得0<a<4,a的正整数值为1或2或3,故答案为:1(也可取2,3).四、解答题15.(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=|2x―a|,且f(x)≤b的解集为[―1,3].(1)求a和b的值;(2)若f(x)≤|x―t|在[―1,0]上恒成立,求实数t的取值范围.【解题思路】(1)根据绝对值不等式的性质即可求解,(2)将问题转化为3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立,即可利用二次函数零点分布求解.【解答过程】(1)由f(x)≤b得|2x―a|≤b,易知b≥0,则―b≤2x―a≤b,解得a―b2≤x≤b+a2,由于f(x)≤b的解集为[―1,3],则b+a2=3,a―b2=―1,解得a=2,b=4.(2)由(1)知f(x)=|2x―2|,由f(x)≤|x―t|得|2x―2|≤|x―t|,得3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立,Δ=(2t―8)2―4×3×(4―t2)=16(t―1)2>0,故t≠1.令g(x)=3x2+(2t―8)x+4―t2,若g(x)≤0在[―1,0]上恒成立,则g(―1)≤0g(0)≤0,即―t2―2t+15≤04―t2≤0,解得t≤―5或t≥3,故实数t的取值范围为(―∞,―5]∪[3,+∞).16.(2024·新疆乌鲁木齐·一模)已知函数f(x)=|x―1|+|x+2|.(1)求不等式f(x)≤5的解集;(2)若不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1],求实数a的取值范围.【解题思路】(1)分类讨论,求解不等式即可;(2)将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题,列出不等式组即可求得.【解答过程】(1)当x≤―2时,f(x)≤5等价于―2x―1≤5,解得x∈[―3,―2];当―2<x<1时,f(x)≤5≤5,恒成立,解得x∈(―2,1);当x≥1时,f(x)≤5等价于2x+1≤5,解得x∈[1,2];综上所述,不等式的解集为[―3,2].(2)不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1],等价于f(x)≥x2―ax+1在区间[―1,1]上恒成立,也等价于x2―ax―2≤0在区间[―1,1]恒成立.则只需g(x)=x2―ax―2满足:g(―1)≤0且g(1)≤0即可.即1+a―2≤0,1―a―2≤0,解得a∈[―1,1].。
问题24 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题一、考情分析纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题:恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.二、经验分享(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.(3)根据不等式恒成立求参数问题,常用的方法是分类参数,转化为函数求最值.三、知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D);若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D).(2)能成立问题:若f(x)在区间D上存在最大值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D);若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D).(3)恰成立问题:不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D;不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.(4)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围.四、题型分析一、不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分. 【小试牛刀】【云南大理州2017届第一次统测】设函数.(1)求()G x 的最小值;(2)记()G x 的最小值为e ,已知函数,若对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0f x ≥成立,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)ln 2-;(2)11a e ≥-. 【解析】(1)由已知得.令()0G x '<,得102x <<;令()0G x '>,得112x <<, 所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 从而.(三)主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果. 【例5】已知当11a -≤≤时,恒成立,则实数x 的取值范围是____________. 【分析】把不等式左边看作关于a 的函数 【解析】设,则()0f a >对[1,1]a ∀∈-成立等价于(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩,即,解之得1x <或3x >,即实数x 的取值范围是.【小试牛刀】已知函数,,且对任意的实数 t均有,.(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-,恒有,求x 的取值范围.(四)数形结合——直观求解法 若所给不等式进行合理的变形化为(或)后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷. 【例6】若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ) (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < (D )1a ≥【解析】对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则由一次函数性质及图像知11a -≤≤,即||1a ≤.【小试牛刀】若不等式在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,求实数a 的取值范围.综上得:1127a >≥. 【小试牛刀】已知函数存在单调递减区间,求a 的取值范围3 不等式恰好成立问题的处理方法 【例9】已知当的值域是[)0,+∞,试求实数a 的值.【解析】是一个恰成立问题,这相当于的解集是[)1,x ∈+∞.当0a ≥时,由于1x ≥时,,,与其值域是[)0,+∞矛盾,当0a <时,是[)1,+∞上的增函数,∴, ()f x 的最小值为, ()1f ,令【例10】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(, ⑴若存在]2,0[∈x ,使得,求实数a 的取值范围; ⑵若存在]2,0[∈x ,使得,求实数a 的取值范围; ⑶若对任意]2,0[∈x ,恒有,求实数a 的取值范围;⑷若对任意,恒有,求实数a 的取值范围;⑸若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得,求实数a 的取值范围; ⑹若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得,求实数a 的取值范围;⑺若存在,使得,求实数a 的取值范围; ⑻若存在,使得,求实数a 的取值范围.⑵解析:据题意:若存在]2,0[∈x ,使得,即)(x h a >有解,故h max (x)>a ,由⑴知h max (x )=3ln 4-,于是得a <3ln 4-.点评:在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数(或关于参数的式子)能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.⑶解析:对任意]2,0[∈x ,恒有,即]2,0[∈x 时)(x h a >恒成立,即min )(x h a >,由⑵可知a <0.点评:比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异:①若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤;不等式)(x f a >有解⇔a n ≤; ②若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m <;若)(x f 值域为],(n m 则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤.⑷解析:由题中条件可得)(x f 的值域,,]40[=A )(x g 的值域,若对任意,恒有,即,即a ->3ln 0,所以3ln >a .点评:⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同,而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同,21,x x 的取值在[0,2]上具有任意性.⑸解析:对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得,即,由⑷可知即a ->3ln 4,所以.点评:设)(x g 的最大值为M ,对任意]2,0[2∈x ,的条件M x f >)(1,于是问题转化为存在]2,0[1∈x ,使得M x f >)(1,因此只需)(x f 的最小值大于M 即.点评:因为对)(x f 值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得的充要条件是)(2x g 在)(x f 的值域内,因此,)(x g 的值域是)(x f 的值域的子集. ⑺解析:若存在,使得,则,即4>a -,所以4->a .点评:请将 ⑷、⑸、⑺仔细对比,体味任意与存在的区别.⑻解析:若存在21,x x 使得,则AB ≠∅,∴33≤+a ,∴实数a 的取值围是].0,(-∞五、迁移运用1.【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】若关于x 的不等式在上恒成立,则实数a 的取值范围是 A . B .C .D .【答案】A2.【山西省太原市2019届高三上学期期末】已知实数x ,y 满足,若不等式ax y 0恒成立,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,)B .(4,+∞)C .(,4)D .(,4) 【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示: 若ax ﹣y >0恒成立即y <ax 恒成立, 根据二次函数的性质可知,解得,故选B 。
第 1 页 共 19 页单元训练金卷▪高三▪数学卷(A )不等式注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若实数a b >,则下列不等式中一定成立的是( ) A .22a b > B .a b a b +<+ C.a b +>D .()20a b c -≥【答案】D【解析】对于A 中,当1a =,2b =-时不成立,所以是错误的; 对于B 中,取2a =,1b =时,不成立,所以是错误的; 对于C 中,取1a =-,2b =-时,不成立,所以是错误的,对于D 中,由0a b ->,20c ≥,所以()20a b c -≥是正确的,故选D . 2.下列命题中正确的是( ) A .a b >,c d a c b d >⇒->- B .a b a b c c>⇒> C .ac bc a b <⇒< D .22ac bc a b >⇒>【答案】D【解析】对于选项A ,由于不等式没有减法法则,所以选项A 是错误的. 对于选项B ,如果c 是一个负数,则不等式要改变方向,所以选项B 是错误的. 对于选项C ,如果c 是一个负数,不等式则要改变方向,所以选项C 是错误的.对于选项D ,由于此处的20c >,所以不等式两边同时除以2c ,不等式的方向不改变,所以选项D 是正确的,故选D .此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号3.设x ,y 满足020 2x y x y y ⎧-≥+-≤-⎪⎨⎪⎩≥,则2z x y =+的最大值为( )A .6-B .3C .6D .9【答案】C【解析】画出020 2x y x y y ⎧-≥+-≤-⎪⎨⎪⎩≥表示的可行域,由20 2x y y -≤≥-⎧⎨⎩+可得4 2x y ==-⎧⎨⎩,平移直线2y x z =-+,由图知当直线2y x z =-+经过点()4,2-时,该直线在纵轴上的截距最大,既在()4,2-点z 取大值,2426max z =⨯-=,故选C .4.不等式22150x x -++>的解集是( ) A .{|5,3}x x x ><-或 B .{|35}x x -<< C .R D .∅【答案】B【解析】22150x x -++>,则22150x x --<,即()()530x x -+<,∴()3,5x ∈-,故选B . 5.已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则a b +的值为( )A .14-B .10-C .14D .10【答案】A【解析】220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,220ax bx ++=的两根为12-,13,由伟达定理得11=32b a --,1112326a ⎛⎫⋅-=-= ⎪⎝⎭解方程得到12a =-,2b =-;故选A .6.设正实数a ,b 满足1a b +=,则( ) A .11a b+有最大值4 B12第 3 页 共 19 页CD .22a b +【答案】C【解析】对于A ,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当b a a b =且1a b +=,即12a b ==时等号成立,所以11a b+的最小值为4.故A 不正确. 对于B122a b +=,当且仅当12a b ==12. 故B 不正确.对于C ,≤=当且仅当12ab ==时等号成立,C 正确.对于D ,由不等式可得2221222a b a b +⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭,当且仅当12a b ==时等号成立,所以22a b +有最小值12.故D 不正确.故选C . 7.若不等式组50 02y a x y x ⎧⎪⎨-+≥≤≤⎪⎩≥表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是( )A .5a <B .7a ≥C .57a ≤<D .5a <或7a ≥【答案】C【解析】画出不等式组50 02x y x -+≥≤⎧⎨⎩≤表示的平面区域,由502x y x +==⎧⎨⎩- 解得2 7x y =⎧⎨⎩=,∴点A 的坐标为2,7().结合图形可得,若不等式组50 02y ax y x ⎧⎪⎨-+≥≤≤⎪⎩≥表示的平面区域是一个三角形,则实数a 需满足57a ≤<,故选C . 8.若方程1x ya b+=,(0,0)a b >>对应图形过点()1,2,则a b+的最小值等于( ) A .3 B.3+C .4D .4+【答案】B【解析】∵直线1x y a b +=,(00)a b >>,过点1,2(),∴121a b+=,(00)a b >>,,所以12233b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭() 当且仅当2=b aa b 即a=1a =,b 2=∴a b +最小值是3+B .9.关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为()1,2-,则关于x 的不等式220bx ax -->的 解集为( ) A .()2,1-B .()(),21,-∞-+∞C .()(),12,-∞-+∞D .()1,2-【答案】B【解析】设()22f x ax bx =++,()0f x >解集为1,2-()所以二次函数图像开口向下,且与x 交点为()1,0-,()2,0 所以220x x +->的解集为{|21}x x x <->或,故选B .10.若不等式()()21120m x m x -+-+>的解集是R ,则m 的范围是( ) A .[)1,9B .()1,9C .(](),19,-∞+∞D .()(),19,-∞+∞【答案】A【解析】由题意得不等式()()21120m x m x -+-+>在R 上恒成立. ①当1m =时,不等式为20>,不等式恒成立.符合题意.②当1m ≠时,由不等式恒成立得()()2101810m m m ⎧⎪⎨>---<⎪⎩-,解得19m <<. 综上19m ≤<,所以实数m 的范围是[)1,9,故选A .第 5 页 共 19 页11.变量x ,y 满足条件1011x y y x ⎧⎪⎨+≤≤>-⎪⎩-,则()222x y -+的最小值为( ) ABC .5D .92【答案】C【解析】由约束条件画出可行域,如下图,可知当过1(0)A ,点时,目标函数取最小值5,故选C .12.在R 上定义运算⊙:2a b ab a b =++,则满足()20xx -<的实数x 的取值范围为( )A .0,2()B .1,2-()C .()(),21,-∞-+∞D .2,1-()【答案】D 【解析】∵2a b ab a b =++,∴()()()222222xx x x x x x x -=-++-=+-由()20xx -<得220x x +-<,∴21x -<<,∴满足()20xx -<的实数x 的取值范围为2,1-(),故选D . 二、填空题(本大题有4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中横线上) 13.不等式220x x +<的解集是__________. 【答案】{}|20x x -<<【解析】等式220x x +<等价于()20x x +<,可得20x -<<,所以解集为{}|20x x -<<, 故答案为{}|20x x -<<. 14.关于x 的不等式12x x-<的解集是________. 【答案】()(),10,-∞-+∞【解析】不等式12x x -<,可变形为:120x x --<,所以10xx--<,即()10x x +>,解得1x <-或0x >,故答案为()(),10,-∞-+∞.15.已知角α,β满足ππ22αβ-<-<,0παβ<+<,则3αβ-的取值范围是__________. 【答案】()π,2π-【解析】结合题意可知:()()32αβαβαβ-=-++, 且:()()2ππαβ-∈-,,()()0παβ+∈,,利用不等式的性质可知:3αβ-的取值范围是()π,2π-.16.在平面直角坐标系中,求不等式组2020 2x y x y x +-⎧⎪⎨-+≥≤⎪⎩≥表示的平面区域的面积为_______.【答案】4【解析】不等式组2020 2x y x y x +-⎧⎪⎨-+≥≤⎪⎩≥表示一个等腰直角三角形ABC 及其内部,其中()2,0A ,()2,4B ,()0,2C ,如图,所以平面区域的面积为124=42⨯⨯.三、解答题(本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)17.(10分)设集合{|12,}A x a x a a =-<<∈R ,不等式2760x x -+<的解集为B . (1)当0a =时,求集合A ,B ; (2)当A B ⊆,求实数a 的取值范围.【答案】(1){|10}A x x =-<<,{|16}B x x =<<;(2)(][],12,3-∞-.【解析】(1)当0a =时,{|10}A x x =-<<,2{|760}{|16}B x x x x x =-+<=<<. (2)①若12a a -≥,即1a ≤-时,可得A =∅,满足A B ⊆,故1a ≤-符合题意.第 7 页 共 19 页②当12a a -<,即1a >-时,由A B ⊆,可得1126a a ≥≤⎧⎨⎩-,且等号不能同时成立, 解得23a ≤≤,综上可得1a ≤-或23a ≤≤.∴实数a 的取值范围是(][],12,3-∞-.18.(12分)已知函数()2f x ax x a =+-,a ∈R . (1)若不等式()0f x >的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,求实数a 的值;(2)若不等式()22f x a >-对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围;【答案】(1)23-;(2)11,62⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】(1)20ax x a +->的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,则20ax x a +-=的解为12-和2,且0a <,∴1122a -+=-,解得23a =-.(2)由()22f x a >-,得2230ax x a ++->,若0a =,不等式20x +>不对一切实数x 恒成立,舍去,若0a ≠,由题意得()014230a a a ∆>=--⎧⎪⎨⎪⎩<,解得:1162a <<,故a 的范围是11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭.19.(12分)解关于x 的不等式()210x a x a -++≥,()a ∈R .【答案】(][](][]11,1,11,,a a a aa -∞+∞-∞+⎧>⎪=⎨⎪<⎩∞R,解集为,解集为,解集为.【解析】关于x 的不等式()210x a x a -++≥化为()()10x x a --≥, 不等式对应方程的实数根为a 和1; 当1a >时,不等式的解集为(][],1,a -∞+∞;当1a =时,不等式的解集为R , 当1a <时,不等式的解集为(][],1,a -∞+∞.20.(12分)(1)已知0x >,0y >,12=+y x ,求yx 11+的最小值. (2)已知a ,()0,b ∈+∞,求证:ab ba ab≤+2.【答案】(1(2)见解析. 【解析】(1)223232211+≥++=+++=+yxx y y y x x y x y x ,y =(2)证明:∵a , ()0,b ∈+∞,∴()()0222≥+-=+-+=+-ba ba ab b a ab b a ab b a ab ab ,∴ab ba ab≤+2. 21.(12分)已知不等式组6003x y x y x -+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩≤, (1)求此不等式组表示的平面区域的面积; (2)求123z x y =-的最大值; (3【答案】(1)36;(2)15;(3)(][),30,-∞+∞.【解析】作出平面区域如图.交点()A 3,3-,()B 3,9,()3,3C -, (11ABCS=(2)由123z x y =-,得过点()C 33-,时,截距最小,即123z x y =-最大,此时1233315z =⨯+⨯=; (3可以看作()13--,和(),x y 两点间的斜率,故其范围是(][),30,-∞+∞.22.(12分)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲乙两地间的长途客运业务,每车每天往返第 9 页 共 19 页一次,A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆,公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多余A 型车7辆,若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?最小营运成本是多少?【答案】应配备A 型车、B 型车分别是5辆和12辆,才能使公司从甲地去乙地的营运成本最小为36800元.【解析】设应配备A 型车、B 型车各x 辆,y 辆,营运成本为z 元; 则由题意得,16002400z x y =+,且2173660900x y y x x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎪+≥⎨⎪∈⎪∈⎪⎩N N;16002400z x y =+;故作平面区域如下,故联立7150.6y x y x =+=-⎧⎨⎩解得5x =,12y = 此时,16002400z x y =+有最小值1600524001236800⨯+⨯=元.答:应配备A 型车、B 型车分别是5辆和12辆,才能使公司从甲地去乙地的营运成本最小为36800元.单元训练金卷▪高三▪数学卷(B )第十三单元 不等式注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2020年高考数学专题二 压轴填空题第二关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题,是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性,解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例1.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学(理)试题】已知定义在上的奇函数满足:当时,,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )A .B .C. D .【答案】A【解析】当时,在上是增函数对任意实数恒成立对任意实数恒成立,故选A. 【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号f 去掉,转化为二次不等式恒成立问题,若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理;若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题,可利用参变分离法或图象处理.【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测(二模)数学(理)试题】对任意x R ∈不等式222x x a a +-≥恒成立, 则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,1-【解析】设t a x =-||,则t a x ±=,2222t at a x +±=,故原不等式转化为)0(0222≥≥±+t at t t ,即022≥±+a t ,所以022≤-≥±t a ,即11≤≤-a .故应填答R ()f x 0x ≥()3f x x =()()242f t f m mt ->+tm (,-∞()()),0-∞⋃+∞(),-∞⋃+∞0x <()33()()()()f x f x x f x x x R f x =--=⇒=∈⇒R 242t m mt ⇒->+t 2442t mt t m ⇒->++t 201680m m m <⎧⇒⇒∈⎨∆-<⎩(,-∞案[]1,1-.类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例1 【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】若不等式()()21112x n x ax ax++<+在()0+∞,上恒成立,则a 的取值范围是________. 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题可设()()()21112f x x n x ax ax =++--则问题转化为()0f x <在()0+∞,上恒成立,则'12211f x ln x ax a x =+--+>-()(),(ⅰ) 当0a ≤时'11210f x ln x a x =++-+,()()()>, 则()f x 在()0+∞,上单调递增,所以00f x f =()>() 在()0+∞,上恒成立,与已知不符, 故0a ≤不符合题意.(ⅱ)当0a >时,令()1''21x f x x a x ϕϕ=-+()(),=,且()1011x ∈+,, 21a ≥, 即12a ≥时, ()1'201x a x ϕ-<+=,于是x ϕ()在0x ∈+∞(,) 上单调递减, 所以0120x a ϕϕ=-≤()<(), 即'0f x ()< 在0x ∈+∞(,)上成立. 则()f x 在0x ∈+∞(,)上单调递减, 故00f x f =()<()在()0+∞,上成立,符合题意.021a <<,即102a << 时,()12121110'2211a x a x a a x x ϕ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--++>,==, 若1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,, 则'0x x ϕϕ()>,()在1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,上单调递增; 若在112x a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭,, 则'0x x ϕϕ()<,()在112x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭,上单调递减,又0120a ϕ=-()>, 则0x ϕ()>在1012x a⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,上成立,即'0f x ()> 在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,上恒成立,所以()f x 在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,上单调递增,则00f x f =()>()在1012x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,上恒成立.与已知不符,故102a <<不符合题意.综上所述, a 的取值范围1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.即答案为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【名师指点】()()f x g x ≤恒成立等价与()()0f x g x -≤恒成立,记()()()G x f x g x =-,则max ()0G x ≤,本题中由于()G x 有参数,需要分类讨论,利用导数求最值. 【举一反三】设函数,若对所有都有,则实数的取值范围为__________. 【答案】【解析】令,则(ⅰ)若,当时, 故在上为增函数,所以, 时, 即(ⅱ)若 方程的正根为此时,若则,故在该区间为减函数.所以, 时, 即与题设相矛盾. 综上,满足条件的 的取值范围是. 类型三 利用参变分离求恒成立问题典例 2 【河南省南阳市第一中学2018届高三第六次考试数学】已知函数()331f x ax x =-+对(]0,1x ∈总有()0f x ≥成立,则实数a 的取值范围是__________.()xxf x e e-=-0x ≥()f x ax ≥a (],2-∞g x f x ax =-()()''x x g x f x a e e a -=-=+-()(),2a ≤0x >'20x xg x e e a a -=+--≥()>,g x ()0+∞(,)0x ≥00g x g ≥=()(),f x ax ≥().2a >,'0g x =()12lna x +=10x x ∈(,),'0g x ()<g x ()10x x ∈(,)00g x g =()<(),f x ax ()<,f x ax ≥()a (],2-∞【答案】[4,+∞)【解析】当x ∈(0,1]时不等式ax 3-3x +1≥0可化为a≥331x x -,设g(x)=331x x-,x ∈(0,1],g′(x)=()32641633132x x x x x x⎛⎫- ⎪--⎝⎭=-,因此g(x)的最大值为4,则实数a 的取值范围是[4,+∞).故答案为[4,+∞)【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数范围取交集.若按照参数讨论则取并集,是中档题.不等式恒成立时求参数的取值范围,常常采用分离参数法把不等式变形为如“()()g a h x >”形式,则只要求出()h x 的最大值M ,然后解()g a M >即可. 【举一反三】【江西省新余市2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题】设函数x x e x f 1)(22+=,x e x e x g 2)(=,对),0(,21+∞∈∀x x ,不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立,则正数k 的取值范围为 . 【答案】[)1,+∞【解析】对于函数()f x ,当0x >时, 22211()2e x f x e x e x x +==+≥=,所以当2(0,)x ∈+∞,函数()f x 有最小值2e ;对于函数2()x e x g x e =,2(1)'()xe x g x e -=,当01,'()0x g x <<>;当1,'()0x g x ><,所以当1x =时,函数()g x 有最大值(1)g e =.又不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立,0k >,所以21e e k k ≤+,所以1k ≥. 类型四 利用图像法求恒成立问题典例 3 【2018江西南昌摸底】已知函数()21,0,()={3,0l n x x f x x x x +>-+≤,若不等式()20f x mx -+≥恒成立,则实数m 的取值范围为__________.【答案】3⎡⎤--⎣⎦【解析】不等式即: ()2mx f x ≤+恒成立,作出函数()2y f x =+的图象,则正比例函数y mx =恒在函数()2y f x =+的图象下方,考查函数: 232y x x =+﹣经过坐标原点的切线,易求得切线的斜率为3k =--,由此可得:实数m 的取值范围为3⎡⎤--⎣⎦,故答案为3⎡⎤--⎣⎦.【名师指点】()()f x g x ≤等价于在公共定义域区间内,函数()y f x =的图像落在()y g x =的下方,这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像,根据图像上下关系,确定参数取值范围.【举一反三】已知函数()f x =,若||≥,则的取值范围是__________. 【答案】[2,0]-. 【解析】试题分析:当0x >时,由|()|f x ax ≥,得|()|0f x ax -≥,即|ln(1)|0x ax +-≥,因为当0x >时,ln(1)0x +>,所以ln(1)0x ax +-≥,令ln(1)y x ax =+-,要使ln(1)0x ax +-≥,(0)x >成立,0a ≤;当0x =时,恒成立;当0x <时,由|()|f x ax ≥,得|()|f x a x≤,即2|2|x x a x -+≤,化简得|2|x a --≤,而|2|x --最大为2-,故2a ≥-,综上可得20a -≤≤. 【精选名校模拟】1.已知函数()()221f x ax a x =-+, ()1xg x e x =--,若对于任意的()10,x ∈+∞,2x R ∈,不等式()()12f x g x ≤恒成立,则实数a 的取值范围为__________.【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由1xg x e x =--(),则'1xg x e =-(),令'0g x ()>,解得0x >;令'0g x ()<,解得0x <. ()g x ∴在0-∞(,)是减函数,在0+∞(,) 是增函数,即min 00g x g==()(). 对于任意的()10,x ∈+∞, 2x R ∈,不等式()()12f x g x ≤恒成立,则有10f x g ≤()() 即可.即不等式0f x ≤()对于任意的0x ∈+∞(,)恒成立, ()'221f x ax a =-+(),当0a =时, '10f x =-<(), f x ∴()在0+∞(,)是减函数, 00max f x f ∴==()() , 0a ∴= 符合题意.当0a <时, ()'221f x ax a =-+(),, 令'0f x ()> ,解得212a x a +> ;令'0f x ()<,解得212a x a+<. 当2102a a +< 即12a <-时, f x ()在0+∞(,) 是减函数, 00max f x f ∴==()() , 0a ∴= (舍去). 当2102a a +≥ 即102a -≤<时, f x ()在2102a a +(,)是增函数,在21,2a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数,()()22121211212102222max a a a f x f a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-+=+-≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭() ,恒成立.得102a -≤< 102a ∴-≤<符合题意. 当0a > 时,当x →+∞时, f x →+∞(),这与对于任意的0x ∈+∞(,) 时0f x ≤() 矛盾.故不成立综上所述a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 即答案为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2.【华大新高考联盟2018届高三】设函数()222(3x f x x e mx m e =-+为自然对数的底数),当x R ∈时, ()0f x ≥恒成立,则实数m 的取值范围是__________. 【答案】[]0,6e【解析】由题意可得: 2223x x e mx m ≥-恒成立, 令21222,3x y x e y mx m ==-,则()'2214224x x x y xe x e e x x =+=+, 令()2240x e x x +=可得: 120,2x x ==-,绘制函数21222,3x y x e y mx m ==-的图像如图所示, 满足题意时, 212xy x e =的图像不在223y mx m =-的图像的下方,设切点坐标为()00,P x y ,切线方程为: ()00y y k x x -=-,即: ()()0022000224x x y x e e x x x x -=+-,切线过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭,则: ()0022000202243x x x e e x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭, 解方程可得: 00x =或01x =或043x =-, 结合函数图像可得: ()024m e ≤≤+,即06m e ≤≤. 表示为区间形式即[]0,6e .3.已知函数2()ln f x x x =,若关于x 的不等式()10f x kx -+≥恒成立,则实数k 的取值范围是__________. 【答案】(,1]-∞ 【解析】 ∵函数的定义域为,恒成立,即等价于,令,则,令,则在上恒成立,∴在上单调递增,故当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,则,故,故答案为.4.已知函数()2xf x e x =--,若任意的[]1,1a ∈-,总存在[]1,1x ∈-,使得()224f x t at ≤--恒成立,则t 的取值范围是__________.【答案】][(),33,-∞-⋃+∞ 【解析】∵()2xf x e x =--,∴()1xf x e '=-,∴当()1,0x ∈-时, ()()0,f x f x '<单调递减; 当()0,1x ∈时, ()()0,f x f x '>单调递增。
专题二 压轴填空题
第三关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题
【名师综述】
含参数不等式的恒成立的问题,是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性,解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.
类型一 可转化为二次函数的恒成立问题
典例1.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学(理)试题】已知定义在R 上的奇函数()
f x 满足:当0x ≥时,()3f x x =,若不等式()()
242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是( )
A .(,-∞
B .()
C. ()),0-∞⋃+∞ D .(),-∞⋃+∞ 【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测(二模)数学(理)试题】对任意x R ∈不等式222x x a a +-≥恒成立, 则实数a 的取值范围是 .
类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题
典例1 [改编题] 已知函数2()ln(1)f x ax x =++,当[0,)x ∈+∞时,不等式()f x x ≤恒成立,则实数a 的取值范围_________.
【举一反三】已知函数32)1()(ax e x x f x +-=若当0≥x 时,)(x f 0≥恒成立,则a 的取值范围______. 类型三 利用参变分离求恒成立问题
典例2 当[]2,1x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是 .
【举一反三】【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学(理)试题】设函数x
x e x f 1)(22+=,x e
x e x g 2)(=,对),0(,21+∞∈∀x x ,不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立,则正数k 的取值范围为 . 类型四 利用图像法求恒成立问题
典例3 若不等式2log 0m x x -<在区间1(0,)2
上恒成立,则实数m 的取值范围是 .
【举一反三】已知函数()f x =22,0ln(1),0
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是__________.
【精选名校模拟】
1.【宁夏育才中学2017届高三上学期第二次月考数学(理)试题】设函数3
()f x x x =+,x R ∈. 若当02π
θ<<时,不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立,
则实数m 的取值范围是( ) A. 1
(,1]2 B.1(,1)2 C. [1,)+∞ D.(,1]-∞
2.【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测,6】若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减,则实数a 的取值范围是( )
A .1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B . 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D .16,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
3.【2017广东珠海市高三期末】已知函数2()ln f x x x =,若关于x 的不等式()10f x kx -+≥恒成立,则实数k 的取值范围是__________.
4.【2017黑龙江虎林一中高三月考】若函数 ()2
2ln f x x x a x =++在()0,1 上单调递减, 则实数a 的取值范围是_________.
5.【2017重庆巴蜀中学高三月考】定义域为R 的函数(x)f 满足(x 2)3(x)f f +=,当[0,2]x ∈时,2(x)x 2f x =-,若[4,2]x ∈--时,13(x)(t)18f t
≥-恒成立,则实数t 的取值范围是 . 6.【2017安徽蚌埠怀远摸底考试】当()0,x ∈+∞时,不等式()221ln 0c x cx x cx -++≥恒成立,则实数c 的
取值范围是_____________.
7.【2017黑吉两省八校联考】已知函数2()ln f x x m x =-在[2,)+∞上单调递增,则实数m 的取值范围为 .
8.函数()331f x x x =--,若对于区间[]3,2-上的任意12,x x ,都有()()12||f x f x t -≤,则实数t 的最小值是 .
9.【2017江西鹰潭一中高三期中】若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立,则实数m 的取值范围是
____________.
10.若关于x 的不等式(1)(ln )0ax x ax -+≥在(0,+∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是 .
11.【2017四川绵阳一诊】)(x f 是定义在R 上的偶函数,且0≥x 时,3)(x x f =.若对任意的
]32,12[+-∈t t x ,不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立,则实数t 的取值范围是 .
12.已知:函数,若对使得,则实数的取值范围__________.
14.【2017黑龙江宝清县高级中学期中】已知函数()f x 3213x x ax =++,若1()x g x e =,对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在21,22
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使12'()()f x g x ≤成立,则实数a 的取值范围是 . 15.设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2)(,0x x f x =≥时,若对任意的]2,[+∈t t x ,不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立,则实数t 的取值范围是 .。