北大经济学院高宏张延课件 (8)
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宏观经济学课件 北大张延
宏观
讲义
张延著 版权所有
15
价格机制
看不见的手 *
宏观
讲义
张延著 版权所有
16
弗里德曼认为价格除起着传递信 息的作用外 还具有刺激效应与收入 效应 "这三个作用是密切关联的"
宏观
讲义
张延著 版权所有
17
传递信息的价格会刺激生产者按需求 变动的信息行动 刺激消费者按供给变动 的信息行动 从而协调整个社会的经济活 动 不仅如此 价格的变动所传递的信息 还刺激人们按最有效的生产方法进行生产 即按成本 收益原则 采用最节省成本的 生产方法 把可得到的资源用于能带来最 大收益的地方
宏观 讲义 张延著 版权所有 26
因此 如果第一个基本前提假设可视为 一个拉格朗日函数中的目标函数 则第二个 基本前提假设则构成限制条件 条件极值中 的客观限制条件 其客观性是不容忽视的
新古典经济学在研究个人决策时 认为 个人的决策 就是在给定一个价格参数和收 入的限制条件下 最大化他的效用
宏观 讲义 张延著 版权所有 27
宏观 讲义 张延著 版权所有 29
3
市场出清假设
市场出清假设是建立在最大化原则
与自由价格假设之上的假设 与前两个 基本假设有明确的因果关系
宏观
讲义
张延著 版权所有
30
对于在最大化原则与自由价格假设的共 同作用下 会产生怎样的结果 亚当斯密描 绘了理想的图景 他认为追求最大化的个人 "在这样做时 有一只看不见的手引导他去 促进一种目标 而这种目标决不是他所追求 的东西 由于追逐他自己的利益 他经常促 进了社会利益 其效果要比他真正想促进社 会利益时所得到的效果为大 "
宏观 讲义 张延著 版权所有 31
张延老师宏观课件2008
•第二次习题课•本周五下午1：30 —3：30•2教301室2008-3-24 中宏（11）《中宏》讲义，张延著。
版权所有2•2、四个第一象限法，至少要四个坐标系•(1) I投资函数•(2) S总•(3) 均衡条件：I = S总•(4) 将前三个图形中蕴涵的关系分离出来，形成IS曲线。
2008-3-24 中宏（11）《中宏》讲义，张延著。
版权所有3•3、真正的四象限法：2008-3-24 中宏（11）《中宏》讲义，张延著。
版权所有6•八、IS曲线中蕴涵的因果关系：-αb R •从IS曲线的表达式看：Y= αAo•Y、R互为因果关系。
•从几何图形看：IS 曲线单调下降，存在反函数，Y、R 一一对应，不存在明显的因果关系。
2008-3-24 中宏（11）《中宏》讲义，张延著。
版权所有8•但是，如果按照宏观经济学流程图推导：•R↓(r1下降至r2) ─→│-bR│↓•─→I↑─→AD↑─→Y↑•以R为起因，推导Y的变化，很顺利。
•以Y为起因，推导R的变化，很困难。
2008-3-24 中宏（11）《中宏》讲义，张延著。
版权所有9•思考题：•IS曲线中是否蕴涵R →Y 的因果关系？•如何在不扩展模型的条件下，解释从Y →R 的变化。
2008-3-24 中宏（11）《中宏》讲义，张延著。
版权所有10•作业：•Dornbusch书，•第100页：6、82008-3-24 中宏（11）《中宏》讲义，张延著。
版权所有11•§4.2 货币市场均衡：LM曲线•分析思路：•逐步放松假设的过程•简化模型───────────→普遍模型•外生变量变为内生变量的过程2008-3-24 中宏（11）《中宏》讲义，张延著。
版权所有12•一、资产的种类和选择：•资产按照流动性从大到小进行划分：•1、货币•(1) 功能：交换媒介；•价值尺度；•贮藏手段2008-3-24 中宏（11）《中宏》讲义，张延著。
版权所有14•(2) 在宏观经济学中，货币主要作为一种交易媒介•定义：M = C + D•Currency ：通货(银行储蓄之外流通)，•包括：纸币、辅币•Deposit：在商业银行的活期存款，•(我国：随时支取；美国：可开支票) 2008-3-24 中宏（11）《中宏》讲义，张延著。
张延老师宏观课件2008
宏观经济学教师：张延北京大学经济学院课程2008年2月20日2008-2-20 中宏（2）《中宏》讲义，张延著。
版权所有1•附录：•西方经济学中闪闪发光的真金•——边际效用理论2008-2-20 中宏（2）《中宏》讲义，张延著。
版权所有2附录内容（略）2008-2-20 中宏（2）《中宏》讲义，张延著。
版权所有3•边际主义者强调产品和生产要素在市场上的定价与主观的边际效用相关，由于存在着边际效用递减，因此对各种产品效用的主观心理评价就会存在递减。
主观、心理的评价决定商品的价格。
这是在世界观上对古典经济学劳动价值论的革命。
2008-2-20 中宏（2）《中宏》讲义，张延著。
版权所有4•在边际效用价值论的论述中产生了一种新的分析方法－－边际分析法。
边际分析是增量分析，即分析自变量的变动所引起因变量的变动情况。
从数学上讲，边际量即是总量函数的一阶导，这与当时数学中微积分理论的发展成熟密切相关。
2008-2-20 中宏（2）《中宏》讲义，张延著。
版权所有5•这种用数学分析方法进行经济研究的方法论上的革命，使经济学进入了一个新的时期。
“边际效用概念不仅被看作经济‘工具箱’的一种补充，并且还被看作是经济科学研究方法上的一项极重要的革新。
”2008-2-20 中宏（2）《中宏》讲义，张延著。
版权所有66、对经济学中的革命的反思•如果革命的含义是革故换新，是破旧立新，是与“进化”相对的，从旧质向新质的飞跃，就像自然科学的发展，在哥白尼的“日心说”取代“地心说”之后，我们今天就不再信奉“地心说”了，而只承认最后一次革命的成果，那么我们今天经济学家该轻松多了，而事实是“目前经济理论学者的学习任务很为艰巨，因为这个学科变化之快，使人们跟不上对它的学习！”2008-2-20 中宏（2）《中宏》讲义，张延著。
版权所有7•从表象看：•革命失灵死亡↑↑↑↓↓↓反革命显灵复活2008-2-20 中宏（2）《中宏》讲义，张延著。
北京大学经济学院张延教授高宏课件 (5)
高级宏观经济学教师：张延北大经济学院硕、博课程2009年11月7日2009-11-7 高宏（7）《高宏》讲义，张延著。
版权所有1•通知•高级宏观期中考试大约在：•11月下旬的周末（28日晚上）2009-11-7 高宏（7）《高宏》讲义，张延著。
版权所有2•2.6 干中学模型中的内生储蓄•上几节的分析沿用索洛模型的作法，仍将储蓄率看作是给定的。
但是，我们有时仍然希望从最优化的个人或家庭的选择中理解储蓄行为，尤其是当我们对福利问题感兴趣的时候。
2009-11-7 高宏（7）《高宏》讲义，张延著。
版权所有3•要在我们正在考虑的模型中使储蓄内生化通常是困难的。
这里，我们仅考虑最简单的情形：单一的制成投入品，该投入品的规模报酬不变，且无人口增长。
也就是说，我们考虑的是有知识但无实物资本的模型中θ= 1且n = 0的情形，或干中学模型中φ= 1且n = 0的情形。
为了具体一点，该讨论以干中学模型的术语进行。
2009-11-7 高宏（7）《高宏》讲义，张延著。
版权所有4•不管在多种制成投入品的情形中，还是在规模报酬非不变(nonconstant returns)的情形中，将储蓄内生化都要复杂得多。
马利根和萨拉—I—马丁(1993年)Mulligan, Casey B., and Sala-i-Martin, Xavier.(1993). “Transitional Dynamics in Two-Sector Models of Endogenous Growth.”Q. J. E. 108(August): 739-773.分析了有两种制成投入品、无人口增长，且这两种投入品的规模报酬均不变的情形。
保罗·罗默(1986年)是具有单一制成投入品、规模报酬非不变和内生储蓄的模型的一个例子。
2009-11-7 高宏（7）《高宏》讲义，张延著。
版权所有5•一、生产函数•1、总生产函数(3.24)（当φ=1时）为：•Y(t) = K(t)a B1-a K(t)φ(1-a)L(t)1-a•= K(t)a B1-a K(t)(1-a)L(t)1-a•前面已经讲过：K a 项是资本对产量的直接贡献，而K(1-a)项是资本通过思想积累对产量作出的间接贡献。
北京大学经济学院张延教授高宏课件 (6)
•三、家庭的约束条件•1、家庭的收入和支出2009-11-10 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有2•家庭的收入来自：•（1）它从所供给的劳动，劳动的收入。
•（2）资本上取得的收入。
•（3）以及它从厂商那里可能得到的利润。
用于消费和储蓄，以最大化一生效用。
2009-11-10 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有3•厂商的行为相对比较简单。
在每一时点上，厂商雇佣资本和劳动存量，对其按边际产品付酬，并销售所生产的产品。
厂商为家庭所拥有，因此厂商所得的所有利润均归家庭。
由于该生产函数为规模报酬不变的且经济是竞争性的，因而厂商获得零利润。
2009-11-10 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有4•一生的消费支出和劳动收入面临贴现问题，其利率如何计算？•如第一章所述，资本的边际产品∂F(K，AL)／∂K = f′(k)，其中f(k)为生产函数的密集形式。
由于市场是竞争性的，所以资本得到其边际产品。
且由于没有折旧，因此资本的真实报酬率等于其每单位时间的收益。
2009-11-10 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有5•因此t 时的真实利率为：r(t) = f′(k(t)) (2.3)•Y = A L f(k)，k = K／AL•∵f(k)是K 的隐函数，k = K／AL•∴∂Y／∂K = A L f′( k )( 1 ／AL ) •AL不变，f(k)对K求导——隐函数求导法•= f′(k) ———资本的边际产量2009-11-10 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有6•∵L是L的显函数，f(k)是L的隐函数。
•∴∂Y／∂L = A f(k) + A L f′(k)(K／A)(-1／L2)•f(k)不变，L对L求导L不变，f(k)对L求导•= A f(k) -f′(k)( K／L )•= A [ f(k) -f′(k)(K／AL) ]•= A [ f(k) -k f′(k) ] ——劳动的边际产量2009-11-10 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
张延老师宏观课件2008
宏观经济学教师：张延北京大学经济学院本科生课程2008年4月23日2008-4-23 中宏（20）《中宏》讲义，张延著。
版权所有1•§7.1 凯恩斯主义总供给曲线的基础•——菲利普斯曲线•一、菲利普斯曲线(Phillips Curve) 2008-4-23 中宏（20）《中宏》讲义，张延著。
版权所有2•二、W—N线•——名义工资和就业量的关系•gw= -ε( u-u*)•( W -W-1)／W-1= -ε( u-u*)•∵u* = (LF -N*)／LF•u = (LF -N)／LF2008-4-23 中宏（20）《中宏》讲义，张延著。
版权所有3•∴( W -W-1)／W-1•= -ε[(LF–N)／LF –(LF-N*)／LF ]•= -ε(N* -N)／LF2008-4-23 中宏（20）《中宏》讲义，张延著。
版权所有4•令：λ= ε／LF ＞0•ε: 货币工资增长率对失业率变动的敏感程度•λ: 人均(平均到每个劳动力头上)的货币工资增长率对失业率变动的敏感程度。
2008-4-23 中宏（20）《中宏》讲义，张延著。
版权所有5•∴( W -W-1)／W-1= λ(N-N*)•W = W-1[ 1 +λ(N-N*)]•——W—N 线2008-4-23 中宏（20）《中宏》讲义，张延著。
版权所有6•对W—N线变动的技术细节的讨论，分成两个时期——短期和长期。
•对W—N线变动的经济含义的讨论，见§7.2 新凯恩斯主义对工资、价格粘性的解释。
2008-4-23 中宏（20）《中宏》讲义，张延著。
版权所有7•(一)在短期内，W具有粘性(不易变动)的情况。
•∵W具有粘性(或者称为刚性)，变动起来较慢。
•∴W可以分期：•W1、W2……Wt-1、Wt、Wt+1…2008-4-23 中宏（20）《中宏》讲义，张延著。
版权所有8•在每一期内，上期的名义工资为已知。
是已知的。
•在t期，Wt-1[ 1+λ(N-N*)]•W = W-1•W—N线中存在的因果关系是：•自变量：N；因变量：W2008-4-23 中宏（20）《中宏》讲义，张延著。
张延老师高级宏观经济学讲义
模型意味着，投人到实物资本和人力资本积累的资
源，其不大的变化、却可能导致每工人平均产量的
大的变化。其结果，本节模型就有可能解释收入在
国家间大的差别。
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5
• 1、索洛模型中的a • (1)、a 对人均产出 y 的影响。
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6
比如，考虑每工人平均产量相差10倍的情形。 例如：美国现在的每工人平均产量是100年前的10 倍，也是现在的印度的10倍。假定生产函数为柯布— 道格拉斯函数(Cobb-Douglas )(见方程(1.5))，且其密
Economics, Vol.22, 1988:3-42；阿札里亚帝斯和德
雷曾(1990年) Azariadis, Costas, and Drazen, Allan.
(1990), “Threshold Externalities in Economic
Development.” Q. J. E. 105(May): 501-526.；
• 与100倍相差甚远，更不用说1000倍了。
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12
•
同样，尽管资本—产量比在国家间有所不同，
但差别不十分大。美国的资本—产量比大约为印度
的2～3倍；因此，美国的每工人平均资本大约“仅”
为印度的20～30倍。总之，每工人平均资本的差别
远远不足以解释每工人平均产量的差别。
高级宏观经济学
教师：张 延
北大经济学院硕博课程2005年9月28日
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1
为资本正名:如何扩大aK
(3章下篇: 人力资本)
索洛模型 (1章基础)
A的内生化 (3章上篇: 研发模型)
高宏(08)2014年11月17日§2.1§2.2(纯白)
•第三次作业：第117页：•2.8 —2.11•11月24日交第3次作业2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有2•四、家庭的最大化问题•1、家庭最大化问题的一阶条件•家庭的问题是，在预算约束条件下选择c(t)的路径以最大化一生效用。
尽管这涉及选择每一时点上的c(而非像标准的最大化问题那样，仅选择有限的一组变量)，传统的最大化方法仍可使用。
2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有3•由于消费的边际效用总为正，所以家庭满足其预算约束的等号形式。
因此，我们可用目标函数(2.14)和预算约束(2.7)来构造拉格朗日函数：•目标函数：∞[ e -βt c(t)1-θ／(1-θ) ] dt (2.14)•U ≡ B∫t=02014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有4•约束条件：•∫t=0∞e -R(t) c(t) e(n+g)t dt•≤ k(0) + ∫t=0∞e -R(t) w(t) e(n+g)t dt (2.7)•L= B∫t=0∞[e -βt c(t) 1-θ／(1-θ)]dt +λ[ k(0) +•∫t=0∞e -R(t) e(n+g)t w(t)dt -∫t=0∞e -R(t) e(n+g)t c(t)dt ]•(2.15)2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有5•c(t)：选择变量，政策可控制。
如何选择，以最大化一生的效用。
•k(t)：状态变量。
•t ：时间变量。
2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有6•即以某一时期t为例，写出某一时期t的拉格朗日函数：•L = B e -βt c(t)1-θ／(1-θ) +•λ [ k(0) +e -R(t)e(n+g)t w(t) -e -R(t)e(n+g)t c(t) ]•存在极值的一阶条件为：•∂L ／∂c=B e-βt c(t)-θ-λe -R(t)e(n + g)t= 0 2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
张延老师宏观课件2008
宏观经济学教师：张延北京大学经济学院本科生课程2008年3月31日2008-3-31 中宏（13）《中宏》讲义，张延著。
版权所有1•§4.3 产品和货币市场的同时均衡•——IS-LM模型•一、对IS-LM模型的分歧：2008-3-31 中宏（13）《中宏》讲义，张延著。
版权所有2•1、在凯恩斯的《通论》没有IS-LM模型，而是其他经济学家根据他在《通论》中的思想，表述成为IS-LM模型。
•凯恩斯的《通论》存在表述上的缺陷。
萨缪尔森曾经说：“《通论》是一部天才的著作，但是写得很坏，组织得很糟。
”2008-3-31 中宏（13）《中宏》讲义，张延著。
版权所有3英国经济学家希克斯（John Richard Hicks 1904 —1989）•英国经济学家希克斯于1937年在《凯恩斯先生与古典学派》一文中提出IS-LM模型。
•希克斯根据凯恩斯的如下思想，总结成IS-LM 模型：.2008-3-31 中宏（13）《中宏》讲义，张延著。
版权所有4•货币市场利率的变化会影响投资，投资的变化又会影响产品市场的总需求，进而改变收入，收入的变化又会影响到货币需求……。
因此，在产品市场和货币市场中，只要有一个市场没有实现均衡，国民收入就不会稳定。
只有产品市场和货币市场同时实现均衡时的国民收入才是均衡的国民收入。
2008-3-31 中宏（13）《中宏》讲义，张延著。
版权所有5•IS-LM模型提出之后受到了许多批评，希克斯自己也承认：“这是一个匆忙作出的、相当粗糙的图式。
”•凯恩斯对这个模型写信给希克斯表示：“我感到这很有趣，而且几乎无可挑剔。
”2008-3-31 中宏（13）《中宏》讲义，张延著。
版权所有6•由此奠定了IS-LM模型在西方宏观经济理论中的地位，IS-LM模型成为西方宏观经济学教科书中的经典范式，现代宏观经济分析的核心工具之一。
流行半个世纪之久。
2008-3-31 中宏（13）《中宏》讲义，张延著。
张延老师宏观课件2008
•通知：•3月10日（周一）交第一次作业。
•3月14日（周五）上第一次习题课•2教301室下午1：30 ——3：30•以后双周在上述时间和地点上习题课。
2008-3-10 中宏（7）《中宏》讲义，张延著。
版权所有2§3.2 两部门产品市场均衡国民收入的决定•两部门：•消费者：C•厂商：I计( I计是外生变量，由谁决定•不研究) I计= Io2008-3-10 中宏（7）《中宏》讲义，张延著。
版权所有3•由于不存在政府，无政府的收入TA与支出G、TR•∴Y = Yd = C + S2008-3-10 中宏（7）《中宏》讲义，张延著。
版权所有5•两部门的均衡条件：•AD = AS ①•AD = C + I计= C + Io②•AS = Y = Yd = C + S ③2008-3-10 中宏（7）《中宏》讲义，张延著。
版权所有7∴两部门的均衡条件：•AD•╭╯╰╮• C + I o=Y = Yd = C + S •╰───╮╭───╯•AS2008-3-10 中宏（7）《中宏》讲义，张延著。
版权所有8•均衡分析找对立的、变动着的力量才有意义。
•均衡条件之一：C + I= Yo•─→待说明的变量C •均衡条件之二：C + I= C + So•─→待说明的变量S2008-3-10 中宏（7）《中宏》讲义，张延著。
版权所有9•一、消费函数和储蓄函数：•1、消费函数•在微观经济学中，消费数量是价格的函数，受到收入水平的制约。
在宏观经济学中，价格水平不变，所以消费数量只是收入水平的函数，并且是Yd (税后的收入)的函数，不是Y (税前的收入)的函数。
2008-3-10 中宏（7）《中宏》讲义，张延著。
版权所有10• C = C o + cYd•(1) 自发消费C，当个人可支配收o入为0的时候，存在的消费。
即：•Yd = 0时，C = Co•C又分为两种情况：o2008-3-10 中宏（7）《中宏》讲义，张延著。
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•第三次作业：第117页：•2.2、2.5、2.6、2.8 —2.11•11月12日交第3次作业2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有2•四、家庭的最大化问题•1、家庭最大化问题的一阶条件•家庭的问题是，在预算约束条件下选择c(t)的路径以最大化一生效用。
尽管这涉及选择每一时点上的c(而非像标准的最大化问题那样，仅选择有限的一组变量)，传统的最大化方法仍可使用。
2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有3•由于消费的边际效用总为正，所以家庭满足其预算约束的等号形式。
因此，我们可用目标函数(2.14)和预算约束(2.7)来构造拉格朗日函数：•目标函数：∞[ e -βt c(t)1-θ／(1-θ) ] dt (2.14)•U ≡ B∫t=02013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有4•约束条件：•∫t=0∞e -R(t) c(t) e(n+g)t dt•≤ k(0) + ∫t=0∞e -R(t) w(t) e(n+g)t dt (2.7)•L= B∫t=0∞[e -βt c(t) 1-θ／(1-θ)]dt +λ[ k(0) +•∫t=0∞e -R(t) e(n+g)t w(t)dt -∫t=0∞e -R(t) e(n+g)t c(t)dt ]•(2.15)2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有5•c(t)：选择变量，政策可控制。
如何选择，以最大化一生的效用。
•k(t)：状态变量。
•t ：时间变量。
2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有6•即以某一时期t为例，写出某一时期t的拉格朗日函数：•L = B e -βt c(t)1-θ／(1-θ) +•λ [ k(0) +e -R(t)e(n+g)t w(t) -e -R(t)e(n+g)t c(t) ]•存在极值的一阶条件为：•∂L ／∂c=B e-βt c(t)-θ-λe -R(t)e(n + g)t= 0 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有7•传统的最大化问题是求一个确定的点值•现在的最大化问题是求一条道路，无数点的集合。
家庭选择每一时点上的c ；也就是说，它选择无限多个c(t)。
对单个c(t)的一阶条件是：•B e -βt c(t)-θ= λe -R(t)e(n+g)t(2.16) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有8•家庭的行为特征由(2.16)和预算约束(2.7)描述。
•要考虑(2.16)在消费行为方面的含义，首先对两边取对数：•ln B -βt –θln c(t) = lnλ -R(t) + (n + g)t •(2.17) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有9•现在注意，由于对于每一t(2.17)两边都相等，因此两边对t的导数也应相等。
两边对t 求导后，有•-β–θc˙(t)／c(t)•=-dR(t)／dt+(n+g)•=-r(t)+(n+g)(2.18)2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有10•其中我们用了R(t)的定义，以求得dR(t)／dtt r(τ) dτ•R(t) = ∫τ=0•定式：如果g(x) =∫f(x)dx ，•则g′(x) = f(x)2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有11•从(2.18)中求c˙(t)／c(t)，得到：•c˙(t)／c(t)•=[r(t)–n–g–β]／θ(2.19)•= { r(t) -n –g –[ρ-n -( 1 -θ)g ] }／θ•= [ r(t) -ρ–θg ] ／θ2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有12•其中第二行用到了β的定义：•β≡ρ-n-(1-θ)g•这一步不大正规；问题在于(2.16)中各项在(2.15)中的阶为dt ；也就是说，它们对该拉格朗日函数的影响为无穷小。
除了简单地“去掉”dt 这种方法(我们在(2.16)中用的就是这种方法)之外，比较正规地探讨这一问题的方法有多种。
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版权所有13•比如，我们可以认为家庭在[ 0，∆t ]、[ ∆t，2∆t ]、[ 2∆t，3∆t ]……这一系列有限区间内选择消费，且要求在每一区间内消费不变，然后求∆t趋于0时的极限，这也可得(2.16)。
另一种方法是应用变分法(见70页注)。
•方程(2.19) c˙(t)／c(t) = [ r(t) -n –g –β]／θ称为该最大化问题的欧拉方程。
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版权所有14•2、欧拉方程(2.19)的推导•可在无需家庭一生预算约束的条件下，从家庭偏好中推导出来。
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版权所有15•方程(2.19)称为该最大化问题的欧拉方程。
推导(2.19)的一个较为直观的方法是，考虑家庭在连续两个时点的消费。
具体而言，设想家庭在某时点t 将C降低一小量∆c ( 正规地应为一无穷小量)，并将由此增加的储蓄投资于一个短期∆t (正规地应为无穷短期)，然后在时点t +∆t 消费掉投资所得收益；2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有16•───┴──────────────┴───→•t t+∆t•-∆c(t) + ∆c(t+∆t)•-∆U (c(t)) + ∆U( c(t+∆t)) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有17•假定在这样做时，家庭不改变t 和t+∆t 以外所有时点上的消费和资本持有量。
如果家庭是最优化的，则该变化对一生效用的边际影响必须为0。
•-∆U( c(t) ) = ∆U( c( t +∆t) )2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有18•现在( t ) 未来( t +∆t )•∆U(c(t)) ∆U( c( t +∆t ) )• e -βt e -β(t +∆t)•c(t)c( t +∆t )•∆c(t) ∆c( t +∆t )• e -[r(t)-n-g]∆t1• 1 e [r(t)-n-g]∆t2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有19•(1)∆U (c(t))和∆U( c(t +∆t))的表达式：•由(2.14)可知c(t)的边际效用为：• d U( c(t))／d c(t) = B e -βt c(t)-θ＞0•∆U (c(t))／∆c(t) = B e -βt c(t)-θ＞0 •——→ U 与c 同向变动2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有20•家庭在某时点t 将C 降低一小量∆c (正规地应为一无穷小量)，(U′＞0 )因此，该变化导致t 期的边际效用的增加量下降∆U( c(t))，•有一效用成本：•∆U(c(t)) = B e -βt c(t)-θ∆c(t)2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有21•并将由此增加的储蓄投资于一个短期∆t (正规地应为无穷短期)，然后在时点t+∆t 消费掉投资所得收益；假定在这样做时，家庭不改变t 和t+∆t 以外所有时点上的消费和资本持有量。
2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有22•如果家庭是最优化的，则该变化对一生效用的边际影响必须为0。
•-∆U(c(t)) = ∆U( c(t+∆t))•∆U(c(t)) = B e -βt c(t)-θ∆c(t)•∆U(c(t+∆t)) = B e -β(t+∆t) c(t+∆t)-θ∆c(t+∆t)2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有23•(2)c(t +∆t) 的计算：•∵c(t)趋向于c(t+∆t) 的过程，按照c˙(t)／c(t)的增长率增长。
•∴c( t +∆t ) = c(t)e [c˙(t)／c(t)]∆t——t 期即为0期•L˙(t)／L(t) = n , L(t) = L(0)e nt，2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有24•(3)∆c(t +∆t) 的计算•从约束条件中，看消费贴现率的大小：∞e -R(t) c(t) e( n+g )t dt ≤•∫t=0∞e -R(t) w(t) e( n+g )t dt (2.7)•k(0) + ∫t=02013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有25•定式：R(t) = r(t)t后面经常在此变化。
•R(t)是隐型函数，表明利率R是时间t 的函数•r(t)t是显型函数，表明实际利率r 和时间t 的关系。
2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有26•一生消费的贴现计算为：• e -R(t)+ ( n+g )t = e -r(t)t +( n+g )t•= e -[r(t)-( n+g )]t2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有27•由于即期报酬率为r(t)，所以时点t+∆t 上的消费可以增加：•∆c( t +∆t ) = e [r(t)-(n+g)]∆t ∆c(t)。
•因此，要使消费路径为效用最大化的，它必须满足：•∆U(c(t)) = ∆U( c(t +∆t))2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有28•∆U(c(t)) = Be -βt c(t)-θ∆c(t)•∆U( c(t +∆t)) = B e -β(t +∆t) c(t +∆t)-θ∆c(t +∆t)•╭───╯╰──╮╭─╯╰──╮•= Be -β(t+∆t) [c(t)e [c˙(t)／c(t)]∆t] -θe[r(t)-n -g]∆t∆c(t)•Be -βt c(t)-θ∆c(t)(2.20)•= Be -β(t+∆t) [c(t)e[c˙(t)／c(t)]∆t] –θe [r(t)-n -g]∆t∆c(t) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有29•两边同除以Be –βt c(t) –θ∆c(t) ，得到：•1=e–β∆t e[c˙(t)／c(t)]∆t(–θ)e[r(t)–n–g]∆t•两边取对数，得到：•–β∆t –θ[c˙(t)／c(t)]∆t + [r(t) –n –g]∆t •= 0 (2.21) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有30•最后，除以∆t 并整理得欧拉方程(2.19)。
•–β–θ[c˙(t)／c(t)] + [r(t) –n –g] = 0•c˙(t)／c(t)=[r(t)–n–g–β]／θ•= { r(t) –n –g –[ρ–n –(1 –θ)g ]}／θ•= [ r(t) –ρ–θg ]／θ (2.19) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。