随机切换系统的仿真目录摘要 (3)1 引言 (4)1.1 切换系统概述 (4)1.1.1 切换系统工程背景 (4)1.1.2 切换系统研究现状 (4)1.1.3 切换系统的特点 (4)1.2 问题描述与准备 (5)2 一般随机线性切换系统 (5)2.1 切换系统模型 (5)2.1.1 模型形式 (5)2.1.2 反馈控制律 (6)2.2 仿真实例 (7)3 对随机切换系统性能的研究 (8)3.1 线性切换系统的能控性和能观性 (8)3.2 线性切换系统的稳定性 (9)4 随机切换系统的有趣现象探索 (10)4.1 切换函数的选取 (10)4.1.1 切换函数依赖状态变量 (10)4.1.2 切换函数为随机数 (11)4.2 系统结构的选取 (12)4.3 时延函数的选取 (12)4.4 多个子系统切换探究 (13)4.2.1 改变初值 (14)4.2.2 改变切换函数 (15)5 总结和展望 (16)参考文献 (17)摘要本文研究了随机切换控制系统的分析和仿真问题。
首先介绍切换系统的发展背景、特点、研究内容、研究现状以及本文要讨论的问题；第二部分介绍随机切换系统的一般模型，用实例分析了切换系统的运动特性；第三部分简析了切换系统性能，并结合实例说明切换函数的存在对于稳定性的影响；第四部分通过改变系统参数、不同切换函数等情况，利用MATLAB/Simulink软件对系统进行仿真，给出了仿真程序、系统状态曲线，试图从各个系统状态曲线的不同现象的特点和系统性能中发现一些有趣的现象并进行分析；第五部分对全文作了总结并对随机切换系统进行展望。
关键词：随机切换系统simulink仿真状态响应曲线分析有趣现象探索1 引言切换系统是混杂动态系统中的重要一类，切换的思想很早就应用在控制理论及工程实践中[9]。
随着系统结构的日益复杂化，切换系统的分析与综合吸引了国内外学者的极大兴趣，研究内容包括切换系统的建模、稳定性分析和控制综合等，大量优秀的研究成果不断涌现，其不仅在理论研究上有突破，而且在工程中拥有着广阔的应用前景。
1.1 切换系统概述切换系统是由一组微分方程（差分方程）和一个决定当前状态的切换信号组成，它是混杂系统中一类有影响的重要类型，系统的动态可以由有限个子系统或动态模型描述，同时有一个切换规律，使之在子系统之间进行切换。
1.1.1 切换系统工程背景切换系统在现实工程中有着广泛的应用背景，如化工系统、电力系统、交通控制系统、汽车工业等[1]。
1.1.2 切换系统研究现状目前对切换系统的研究集中在以下几个方面[15]：（1）系统运动的直观分析。
由于切换的引人，即使是线性系统，其运动情况也极为复杂[3],[12]。
有些子系统稳定但整个切换系统不稳定，有些子系统不稳定而整个切换系统稳定。
（2）系统的能控性和能观性。
系统能控性和能观性分析是基础，然而难度较大。
早期的切换系统能控性的一般分析用状态反馈方法给出了不稳定切换系统的镇定。
文[3]和文[12]分析了一些较特殊的线性切换系统的能控性和能观性。
（3）系统的稳定性分析[1]。
对切换系统稳定性分析的常用工具是Lyapunov函数的推广，如公共Lyapunov函数等，随机切换系统鲁棒稳定性是研究较多的重要内容。
（4）系统的控制和综合问题。
因为切换对系统性能有重要影响，从而对切换系统的控制策略包括输出调节、状态反馈镇定、线性切换观测器的设计、非线性不确定系统切换观测器的设计等，切换规则的确定方法多数是构造或判断满足系统稳定的切换序列，即切换控制函数。
（5）自适应切换系统。
1.1.3 切换系统的特点切换系统包含一般混合系统的三个特点。
其一，系统的连续状态演化用微分方程（或差分方程）描述；其二，离散事件状态演化用逻辑变量模型描述，离散事件对连续变量的作用体现在微分方程或差分方程中引人离散输入，及方程中有反映逻辑状态的参数，逻辑状态的演化为离散事件所驱动，连续变量对离散事件的作用体现在离散事件的发生及其逻辑变量的演化由连续变量的取值或由其定义的实事件函数取值变化来触发。
其三，系统的状态演化轨迹连续，系统的离散状态只取有限个值，离散状态的演化由切换控制函数确定。
总之，切换系统有模型明确，研究方法多样，背景理论（如线性系统理论，Lyapunov 稳定性理论，自适应控制理论等）成熟，时间应用广泛等特点，使切换系统成为混合系统中研究较多的热点问题，也是现代控制理论的一个重要分支。
1.2 问题描述与准备考虑如下随机切换系统，并用MATLAB/Simulink 软件仿真。
()()(())()x t A x t B x t t D u t σσσστ=+-+ （1）其中x 为状态，u 为控制。
要求：（1）给出仿真程序、系统的状态曲线；（2）改变参数, 探索控制算法的设计及其性能。
2 一般随机线性切换系统2.1 切换系统模型2.1.1 模型形式一般来说，切换系统模型具有如下形式)()()()()(00t x C y x t x t u D t x A t xσσσ==+=， （2）对于上节问题描述中的（1）式，仅仅是加入一个延时模块))((t t x B τσ-。
其中，n R t x ∈)(为系统的状态变量，k )(R t u ∈为系统的输入变量，j R t y ∈)(为输出变量，},21{m M R ，，：=→+σ是一个依赖时间t 或状态x 的切换函数，文[13]给出了切换控制函数的具体形式。
系统的切换信号i A ，i B ，i C ，i D 均为相应维数的系数矩阵，一组实现（i A ，i B ，i C ，i D ）称为一个切换模式，m 为全部切换模式的总数。
当系数矩阵有几个或全部是时变的，称之为时变线性切换系统，若系统的系数矩阵是定常的，系统为定常切换系统。
前者的运动特性极为复杂，目前仅对时不变切换系统的研究较成熟，本文将重点研究系统（1）所对应的定常切换系统。
对于切换信号σ，有切换序列∑∈∈=},,),,(,),,(),,(;{11000N j M i t i t i t i x j j j其中0t 是初始时间，0x 是初始状态。
当1+<≤j j t t t 时，切换系统的第j i 个子系统被激活，因此当),[1+∈j j t t t 时，切换系统（1）的轨线由第j i 个子系统所产生。
我们假设切换系统（1）的状态在切换瞬间不跳跃，在任意切换信号下系统（1）的解释右可微的，并且假设在任何有限时间区间]0[T ，仅有有限次切换。
2.1.2 反馈控制律对切换系统进行分析和综合时，线性切换系统的连续部分描述基本相同，差别在于关于离散状态变量的切换控制函数的确定，因而对切换系统的控制一般包括两方面：反馈控制的选择和切换控制规则的确定。
对于（1）式的一般延时控制系统，设状态反馈控制律为：x K u i =则通过状态反馈形成的闭环系统如下：00)())(()()()(x t x t t x B t x K D A t xi i i i =-++=，τ 设输出反馈控制律为：y K u i =则通过输出反馈形成的闭环系统如下：00)())(()()()(x t x t t x B t x C K D A t xi i i i i =-++=，τ 其中i K 是适当维数的反馈增益阵。
本文只针对第一种情况，即状态反馈控制进行研究，线性切换系统状态反馈控制系统如图2.1所示。
图2.1 线性切换系统2.2 仿真实例本小节先给出一个具体例子，指出不同的切换函数作用于相同的系统，会有不同的状态响应，以此来说明simulink 仿真过程。
设系统（1）有2个切换模式，分别为[][].4.15.3,61,31210,21384.01,00,3128,612522221111--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=K D B A K D B A ， （3） 步骤1：判断矩阵的能控性和能观性以及稳定性，文献[12]详细介绍了混合动态系统的能控性和能观性研究，文献[1]利用共同Lyapunov 函数对不确定线性切换系统稳定性进行了详细的研究。
由于本文重点是分析切换状态响应现象，故只在下一小节对此作简单介绍，给出相应结论。
步骤2：使用simulink 软件建模，系统（3）的simulink 模型如下图2.2 系统（3）的simulink 模型步骤3：编写仿真程序，即在Embedded MATLAB Function 模块中编写系统的m 文件，在程序中列出各个切换模式下系统的系数矩阵、输入函数、切换函数。
以下为系统（3）的程序。
function y = fcn(x,xtau)A1=[-5 2;1 -6];B1=[-8 2;1 -3];D1=[0;0];K1=[-1 -0.4];A2=[-8 3;1 -2];B2=[-10 2;1 -3];D2=[1;6];K2=[-3.5 -1.4];%以上为系统各个切换模式下的系数矩阵m=x(1)*x(2);if (m>0)A=A1;B=B1;D=D1;K=K1;elseA=A2;B=B2;D=D2;K=K2;End%以上为切换系统的切换函数，此处为状态变量x(1)和x(2)的乘积u=K*x;y = A*x+B*xtau+D*u; 步骤4：运行simulink 仿真，观察系统状态输出波形和状态运动轨迹，分析系统性能，对步骤3中的系统切换函数运行得到以下状态响应。
图2.3 系统状态响应和状态演变此处系统初值为（-1,1），固定时延为1s 。
当切换函数m=x(1)*x(2)大于0时，系统切换到模式1（1A ，1B ，1C ，1D ）；当切换函数m=x(1)*x(2)小于0时，系统切换到模式1（2A ，2B ，2C ，2D ）。
由图2可以看出系统（3）在上述切换函数下，由初始状态（-1,1）缓慢趋向于（0，0），切换系统是稳定的，但是振荡较严重。
3 对随机切换系统性能的研究无论子系统是时变的还是定常的，整个切换系统都是一种变结构时变系统，它的运动轨迹分析、能控性和能观性分析以及稳定性分析都有一定的复杂性。
3.1 线性切换系统的能控性和能观性文献[12]给出了周期型切换系统能控的充分必要条件为，线性空间n R C R A )~(~根据对偶原理，又给出周期型切换系统能观性的充分必要条件为n T T R O R A )~(~ 同时得出以下结论：（1）周期型切换系统能控性的实现不仅局限于一个周期内；（2）周期型切换系统若能控，则至多在n 个周期内实现能控。
3.2 线性切换系统的稳定性切换系统的稳定性分析是研究最为集中的问题[5-8]，它有不同于连续时间系统或离散时间系统的特殊性质，切换规则的选择对切换系统的稳定性有重要作用。
