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第9章 两因素及多因素方差分析(生物统计学)

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生物统计-方差分析

生物统计-方差分析
• F检验 FA=
FB=
s /s
A
2
2 e
s /s
B
2
2 e
无重复观测值的二因素方差分析—多重比较
• 多重比较 对达到显著差异的因素的平均数进行多重比较 以SSR检验为例，
设因素A、B的水平数分别a、b，
LSR0.05=SSR0.05* s x 当检验因素A各水平平均数之间的差异显著性时，
s
x
= s
（Excel 文件）
二因素方差分析
无重复观测值的二因素方差分析—方差
• 平方和与自由度的分解 SST=SSA+SSB+SSe dfT=dfA+dfB+dfe
• 各项的方差
s SS / df
2 A A
A
s SS / df
2 B B
BБайду номын сангаас
s SS / df
2 e e
e
无重复观测值的二因素方差分析—F检验
x
= s
an
具有重复观测值的二因素方差分析—多重比较
当检验AxB各水平平均数之间的差异显著性时，
s
x
=
s
2 e
n
例6.5
• 为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的温 度和光照条件下进行实验室培养，每一处理记录4只昆虫的 滞育天数（数据见Excel文件）。试作方差分析，并进行多 重比较。 本例是一个固定模型的方差分析 （Excel 文件）
• F检验 （2）随机模型：A和B均为随机因素
s /s F = s /s
FA=
B
2
2 AB
A
2
2 AB 2 e
B 2

第九章双因素和多因素方差分析

第九章双因素和多因素方差分析

第九章双因素和多因素方差分析引言方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异。

双因素和多因素方差分析是方差分析的扩展，允许考虑两个或多个自变量对因变量的影响。

本文将介绍双因素和多因素方差分析的概念、假设检验、模型构建等内容。

双因素方差分析双因素方差分析主要用于对两个自变量对因变量的影响进行分析。

其中一个自变量称为因子A，另一个自变量称为因子B。

通过双因素方差分析，我们可以了解到两个自变量对因变量的主效应以及交互效应。

假设检验进行双因素方差分析时，我们需要对两个自变量的主效应和交互效应进行假设检验。

主效应是指每个因子对因变量的影响，交互效应是指两个因子之间是否存在相互影响。

在进行双因素方差分析时，我们需要提出以下假设：•零假设H0: 两个因子对因变量没有主效应和交互效应•备择假设H1: 至少一个因子对因变量有主效应或交互效应然后，我们可以通过方差分析结果的显著性检验来判断是否拒绝零假设。

模型构建双因素方差分析可以通过构建线性模型来进行。

通常，我们使用以下模型进行双因素方差分析：Y = μ + α + β + (αβ) + ε其中，Y表示因变量，μ表示总体均值，α表示因子A的主效应，β表示因子B的主效应，(αβ)表示交互效应，ε表示误差。

通过对数据进行拟合并计算模型中的各个参数，我们可以得到双因素方差分析的结果。

多因素方差分析多因素方差分析是对多个自变量对因变量的影响进行分析。

多因素方差分析可以包含两个以上的自变量，并且可以考虑每个自变量的主效应和交互效应。

假设检验进行多因素方差分析时，我们同样需要对每个自变量的主效应和交互效应进行假设检验。

假设检验的步骤与双因素方差分析类似。

模型构建多因素方差分析的模型构建与双因素方差分析类似，但是需要考虑多个自变量的影响。

Y = μ + α1 + α2 + … + αn + β + (αβ) + ε其中，Y表示因变量，μ表示总体均值，α1, α2, …, αn表示各个自变量的主效应，β表示交互效应，(αβ)表示两个或多个自变量之间的交互效应，ε表示误差。

生物统计附试验设计第九章协方差分析ppt课件

生物统计附试验设计第九章协方差分析ppt课件
生物试验目的是验证处理效应是否真 实存在，所以应对试验误差进行控制，并 对变异来源进行刨析。其中试验条件的影 响是最大因素。
协方差分析有二个意义 ， 一是对试 验进行统计控制，二是对协方差组分进行 估计。
一、对试验进行统计控制
为了提高试验的精确性和准确性 ，对 处理以外的一切条件都需要采取有效措施严 加控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫 试验控制。但在有些情况下，即使作出很大 努力也难以使试验控制达到预期目的。例如： 研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试 验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不 同，将影响到猪的增重。
统计学已证明：两个变量的总乘积和与自 由度也可按变异来源进行剖分而获得相应的 均积。这种把两个变量的总乘积和与自由度 按变异来源进行剖分并获得获得相应均积的 方法亦称为协方差分析。
在随机模型的方差分析中，根据均方MS 和期望均方 EMS的关系， 可以得到不同变 异来源的方差组分的估计值。同样，在随机 模型的协方差分析中，根据均积 MP 和期望 均积 EMP 的关系，可 得 到 不同变异来源 的协方差组分的估计值。有了这些估计值， 就可进行相应的总体相关分析。这些分析在 遗传、育种和生态、环保的研究上是很有用 处的。
12
4 12
=1.64
dft(x,y) =k-1=4-1=3
3、处理内乘积和与自由度
SPe SPT SPt 8.25 1.64 6.61
dfe(x,y) dfT (xv) dft(xv) 47 3 44
平方和、乘积和与自由度的计算结果列 于表10-3。
表10-3 x与y的平方和与乘积和表
732.50 63.15 550.50 8.25 412
dfT ( x, y) =kn-1=4×12-1=47

两因素及多因素方差分析

两因素及多因素方差分析

第4页/共50页
③ 交互作用(互作，interaction)
在多因素试验中， 一个因素的作用要受到另一个因素的影 响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应 不同，或者说，某一因素的简单效应随着另一因素水平的变
化而变化时，则称该两因素存在交互作用。
A1
B1
470
B2
480
B2-B1
10
平均
第23页/共50页
二 两因素单独观察值试验的方差分析
A、B两个试验因素的全部ab个水平组合
中，每个水平组合只有一个观察值，全部试 验共有ab 个观察值。其数据模式如表11—2 所示。
第24页/共50页
交 叉 分 组
A 因素 B1
B 因素
合计 平均
B2 … Bj … Bb
xi.
xi .
两
A1 x11 x12 … x1j … x1b x1 . x1.
SST=SSA+SSB+SSe dfT=dfA+dfB+dfe 各项平方和与自由度的计算公式为：
矫正数 C=x2../ab
总平方和
ab
ab
SST
(xij x..)2
xi2j C
i1 j 1
i1 j 1
A因素平方和
a
SS A b
i 1
(xi . x..)2
1 b
a i 1
xi2. C
表11-1日粮中加与不加赖、蛋氨酸雏鸡增重(g)
A1
B1
470
B2
480
B2-B1
10
平均
475
A2
A2-A1
平均
472
2

生物统计学 方差分析 新

生物统计学 方差分析 新

资料，说明多重比较是做什么的？常用 多重比较有哪些？各种方法有何特点？
§8.4 多重比较（multiple comparison）
目的：
哪些处理之间存在显著差异，平均数之间进 行一对一比较。 LSD（最灵敏） Duncan（SSR） S-N-K Tukey Bonferroni Scheffe
A1 B1 A1B1
A2 A2B1
A3 A3B1
B2 B3
A1B2 A1B3
A2B2 A2B3
A3B2 A3B3
试验中所研究的影响试验指标的原因或原因组合称 为试验因素（experimental factor）或处理因素 （treatment factor），简称因素或因子（factor）。 在试验中人为地加以调控的因素称为固定因素或可 控因素。该因素水平可准确控制，且水平固定后， 其效应也固定，同时在实验进行重复时可以得到相 同的结果。 试验中不能人为调控的因素称为非控因素或随机因 素。该因素不能严格控制（随机抽取不同水平）， 或虽水平能控制，但其效应仍为随机变量，同时在 实验进行重复时不易得到相同的结果。 因素通常用大写拉丁字母A、B、C…表示
In this table, the upper half is results of S-N-K multiple comparison, and the lower half is results of Duncan. Deferent groups are defined as deferent rows. There is no significant difference between the groups in the same column; conversely, there is significant difference in deferent columns. Question: which groups are significant different with group 5? (There is significant difference between the groups marked with different Latin letters on the right.)

生物统计课件第9章 协方差分析

生物统计课件第9章 协方差分析

P195 习题3
三种日投饵量，测定初始体长（x，cm）与试验结束 时体长（Y，cm），作协方差分析。
请同学们思考，如何输入数据：
（1）输入数据与选择数据： （2）菜单： （3）结果分析：
• 初始体重x与最终体重y之间的回归显著性分析 • 不同日投饵量的差异显著性分析 • 平均值校正 • 平均值多重比较
回归协方差分析
（1）三个回归系数b差异显著性检验：p=0.5870，没有显著差 异，可以用共同的回归系数0.0127 （2）三个回归截距差异显著性检验：p=0.0000，差异非常显 著，需要用三个不同的截距：
y1=0.3446+0.0127x y2=1.4413+0.0127x y3=1.1707+0.0127x
平均值校正后，消除初始体长x的影响，三种投 饵水平下，投饵量1的最终体长为6.9371，投饵量2 为7.9377，投饵量3为7.3451。投饵量2最好。
多重比较结果为：三种投饵水平导致最终体长的 差异都是非常显著的（p<0.01).
回归协方差分析
（1）三个投饵水平下，建立三条直线回归方程，对三个回归 系数b差异显著性进行检验：p=0.1885>0.05，没有显著差异， 可以用共同一个回归系数（b=0.9227） （2）三个回归截距a的也有非常显著的差异：p=0.000<0.01， 需要用三个不同的a。
协变量x：1个，草鱼初始重
DPS法 （1）输入数据与选择数据：
DPS法 （2）菜单：
DPS法 （3）对话框：
配方有3个：因此处理A个数为3； 协变量x为初始重，1个。
DPS法
（4）结果：
• 初始重X与草鱼日增重Y的 存在回归关系，可以用方程 y=0.2222+0.0199x表示， R=0.55886，效果不好，这 是因为把所有数据当作一个 样本来处理，由于忽略了三 种饲料的差异。

生物统计学答案 第九章 两因素及多因素方差分析

生物统计学答案 第九章 两因素及多因素方差分析

第九章两因素及多因素方差分析9.1双菊饮具有很好的治疗上呼吸道感染的功效，为便于饮用，制成泡袋剂。

研究不同浸泡时间和不同的浸泡温度对浸泡效果的影响，设计了一个两因素交叉分组实验，实验结果(浸出率)见下表[52]：浸泡温度/℃浸泡时间/min10 15 2060 23.72 25.42 23.5880 24.84 28.32 29.5595 30.64 31.58 32.21对以上结果做方差分析及Duncan检验。

该设计已经能充分说明问题了吗？是否还有更能说明问题的设计方案？答：无重复二因素方差分析程序及结果如下：options linesize=76 nodate;data hermed;do temp=1 to 3;do time=1 to 3;input effect @@;output;end;end;cards;23.72 25.42 23.5824.84 28.32 29.5530.64 31.58 32.21;run;proc anova;class temp time;model effect=temp time;means temp time/duncan alpha=0.05;run;The SAS SystemAnalysis of Variance ProcedureClass Level InformationClass Levels ValuesTEMP 3 1 2 3TIME 3 1 2 3Number of observations in data set = 9The SAS SystemAnalysis of Variance ProcedureDependent Variable: EFFECTSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > FModel 4 87.0707778 21.7676944 12.56 0.0155Error 4 6.9321778 1.7330444Corrected Total 8 94.0029556R-Square C.V. Root MSE EFFECT Mean0.926256 4.741881 1.31645 27.7622Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > FTEMP 2 78.7202889 39.3601444 22.71 0.0066TIME 2 8.3504889 4.1752444 2.41 0.2058The SAS SystemAnalysis of Variance ProcedureDuncan's Multiple Range Test for variable: EFFECTNOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate, notthe experimentwise error rateAlpha= 0.05 df= 4 MSE= 1.733044Number of Means 2 3Critical Range 2.984 3.050Means with the same letter are not significantly different.Duncan Grouping Mean N TEMPA 31.477 3 3B 27.570 3 2C 24.240 3 1The SAS SystemAnalysis of Variance ProcedureDuncan's Multiple Range Test for variable: EFFECTNOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate, notthe experimentwise error rateAlpha= 0.05 df= 4 MSE= 1.733044Number of Means 2 3Critical Range 2.984 3.050Means with the same letter are not significantly different.Duncan Grouping Mean N TIMEA 28.447 3 3AA 28.440 3 2AA 26.400 3 1从方差分析结果可以得知，温度是极显著的影响因素，时间是不显著因素。

第九章-两因素及多因素方差分析

第九章-两因素及多因素方差分析

B2
2
AA2 B、A2BB间＝A存（1 B在A11交B21互＋A2作AB2用B1 2。） 交－38互（2作A414用B2的＋1大A82小B212为）4：
20
【例】假设学生分两类：在校和在职。把两类学生随 机分成两组，分别采用课堂讲授和交互式教学方法， 考试结果如下表。
课堂讲授 交互式教学
要说明两个因素的交互作用是否显著：
H0 : ( )11 12 ( )ab 0 HA : ( )11，( )12， ，( )ab不全为0
第三步：计算统计量
平方和的简易计算法：
SST

a i 1
bn
SST
j1 k 1
a
xi2jk i 1
ii11 jj11 kk 11
aa

bb
nn [[((xxii.... xx...... )) ((xx.. jj.. xx...... )) ((xxiijj.. xxii.... xx.. jj.. xx...... )) ((xxiijjkk xxiijj.. ))]]22
xb 2 n
ajb1 nk1
x2 ijk

x2
abn
a b
SiS1Aj1
kbn1n1 xiai2jS1k SxiA2axb2nabx1bn2n ia,1
x2 i
SaSxbB2n ,
1 an
b
SSxB2j
jj 11
ii
abn
x...)2
(xijk xij. )2
i1 j1 k 1
离差平方和的分解
a
SSA bn xi x 2 i 1

生物统计学 方差分析

生物统计学 方差分析

缺点：加大犯I型错误的概率
Duncan多范围检验
P341
§8.5 方差分析应具备的条件
多个方差齐性检验
了解
Bartlett 检验（Bartlett test）
Levene 检验（ Levene test）
作业
P157
8.2（用C=80来编码） 8.8 （用C=4来编码）
请翻译以下术语/Try
§8.4 多重比较（multiple comparison）
目的：
哪些处理之间存在显著差异，平均数之 间进行一对一比较。
LSD法
Duncan法（SSR）
S-N-K法
/s/blog_54b63 97501014fz3.html
最小显著差数检验（LSD）检验
附：生物统计学
第九章 两因素及多因素 方差分析
2012.5
§9.2 固定效应模型
线性统计模型（linear
statistical model）
同一处理的处理效应是相同的
简易计算方法
statistical model）
如何做到？
§8.2 固定效应模型
线性统计模型
平方和与自由度的分解
艾塔
重要
组间 组内
简易计算方法
学习小组任务
自学并讲解表8-3及其计算式。
自学并讲解公式8.1的组成及含义
（p144-148）。 自学并讲解p149例题 。 课后阅读p152-154内容，或自行上网查 资料，说明多重比较是做什么的？常用 多重比较有哪些？
to translate these terms
please： One-factor ANOVA，固定因素，significant， 多重比较

生物统计学学习心得

生物统计学学习心得

生物统计学学习心得一、?生物统计学?这一门课。

你学到什么？谈谈你学习这一门课的心得体会。

〔一〕、?生物统计学?这门课，首先，我不仅学到了很多生物统计方面的根底知识、根本概念和相关的应用，还学习了如何设计试验。

在第一章，我学了统计数据的搜集与整理。

首先学习的是总体与样本的概念，统计学研究的核心问题是如何通过样本推断总体，因此，总体与样本是生物统计学中的两个最根本概念。

总体是我们研究的全部对象。

构成总体的一个研究单位称为个体。

样本是总体的一部分，样本内包含的个体数目称为样本含量。

接着学习了数据类型及频数分布。

生物统计学中经常遇到的数据有两种类型，一种是连续型数据，指与某种标准做比拟所得到的数据，采用变量的方法进展分析。

另一种是离散型数据，指由记录不同类别的个体的数目所得到的数据，采用属性的方法进展分析。

最后学习了样本的几个特征数,平均数、标准差、方差。

在第二章，我学了概率和概率分布。

概率是事件所固有的，且不随人的主观意识而改变。

总体分布是建立在概率这一概念根底之上的，因此在研究总体分布之前首先应对概率的根本知识有所理解。

试验的每一最根本的结果称为根本领件，指不能再分的事件。

复合事件指由假设干个根本领件组合而成的事件。

概率的根本运算法那么包括概率加法法那么、条件概率、概率乘法法那么、独立事件。

概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。

在第三章，我学了几种常见的概率分布律。

首先学了二项分布，二项分布的根本情况是：设有一随机试验，每次试验都有两种不同的结果，如成功的〔事件A〕和失败的〔事件A’〕；生男孩〔事件A〕和生女孩〔事件A’〕。

显然这两种可能的结果是互不相容的，独立地将此试验重复做n次，求在n次试验中，一种结果出现y次的概率。

接着学了泊松分布、超几何分布、负二项分布、正态分布、指数分布等。

在第四章，我学了抽样分布。

首先学了从一个正态总体中抽取的样本统计量的分布，学了一些根本概念，如标准误差、样本标准误差、自由度、查表。

生物统计学课件两因素和多因素方差分析

生物统计学课件两因素和多因素方差分析

x 21n
x a11 x a12
x 22n
x a21 x a22
x 2bn x ijn
x ab1 x ab2
---
---
---
x a1n
x a2n
和
x .1.
x .2.
x abn x .b.
x 1.. x 2 ..
x a.. x ...
bn
xi..
xi jk
j1 k 1
an
x.j.
xi jk
两因素交叉分组实验的一般格式
因素A A1 i=1----a
因素B j=1----b
和
B1
B2
…… Bb
x 111
x 121
x 1b1
x 112
x 122
x 1b2
---
---
---
x 11n
x 12n
A2
x 211
x 221
x 212
x 222
x 1bn x 2b1 x 2b2
---
---
---
…… Aa
❖ 两因素交叉分组设计的实验：
实验中A因素有a 水平，B因素有b水平，则 每一次重复都包括ab次实验，并设实验重复 n次，则实验总次数为abn次。
❖ 重复实验：每一次实验都从头开始完整的做 一遍，得到ab个结果，这样的实验作n次， 则得到abn个数据。
两因素交叉分组方差分析
1. 固定效应模型。首先考虑有重复的情况。线 性统计模型为：
第九章 两因素和多因素方差分析
上一节我们讨论了最简单的方差分析——单因素 方差分析的原理与方法。在实际工作中，问题常 常比较复杂，要求我们同时考虑两种甚至更多因 素，以及这些因素共同作用的影响。

生物统计学中的方差分析方法

生物统计学中的方差分析方法

生物统计学中的方差分析方法生物统计学在生物学研究中起着重要的作用。

方差分析是生物统计学中使用最广泛的一种数据分析方法。

在生物学中，我们通常需要对实验数据进行统计分析，以了解变量之间的差异，并在数据集中找到潜在的关联。

方差分析可以有效地达到这一目的，它使得我们可以同时比较几组数据，以确定它们之间是否存在显著差异。

什么是方差分析？方差分析是一种统计分析方法，用于比较两个或多个组之间的平均差异。

这种分析方法可以帮助我们确定这些组之间差异的来源，例如是否由于随机误差引起，还是由于实验操作的差异引起。

方差分析的中心思想是将数据集中的差异分解为两个部分：一部分是由于组间的差异引起的，另一部分是由于组内变异引起的。

方差分析的类型在生物统计学中，有多种类型的方差分析方法，它们旨在比较不同组之间的差异。

以下是其中一些常见的方差分析类型：一元方差分析：这种方法比较一个因子对一个变量的影响。

例如，你想了解若干种不同品牌的肥料对一个植物的生长是否有影响。

双因子方差分析：这种方法比较两种因素（如肥料类型和土壤类型）对一个变量的影响。

例如，你想了解在哪种类型的土壤上，哪种品牌的肥料能够促进植物生长最好。

方差分析步骤方差分析通常需要遵循一系列严格的步骤：1. 明确假设：方差分析的第一步是明确假设。

你需要确定要研究的因素和变量，并制定假设。

例如，在上述例子中，你的假设可以是一个品牌或肥料类型比其他品牌或肥料类型更容易促进植物生长。

2. 收集数据：随后你需要收集数据，并将其整理成表格或清单。

在数据收集过程中，你需要注意样本的大小和样本的分布。

你还需要确保数据的准确性和可靠性。

3. 计算方差：接下来，你需要计算总体方差、组内方差和组间方差。

4. 计算F值：你需要使用计算得到的方差值来计算F值。

F值是组间差异和组内差异之比。

5. 确定显著性：最后，你需要确定计算得到的F值是否达到统计显著性。

优点和限制方差分析是一种灵活的分析方法，能够比较多组数据，并确定两个或多个组之间的差异。

第九章双因素和多因素方差分析

第九章双因素和多因素方差分析

3 35 53 50 43 38 47 44 55 33 26 29 30
固定因素
本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因 素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可 控制、可重复的，因此都是固定因素。在同样温度、原 料下所做的几次实验应视为重复，它们之间的差异是由 随机误差所造成的 。
P ❖
171
二、随机模型
1、观察值的线性统计模型
2、提出假设
❖ 3、检验统计量的计算
在F检验时，A因素、B因素主效应的检验统计量是 以MSAB做分母；互作效应的检验统计量以MSe做分母 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MAB FAB=MSAB/MSe
用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα 注意：检验统计量的分母与统计量的第二自由度与固 定效应不同
添加剂 不同条件下大白鼠增量/g
B 添加剂
1
2
3
4
A
1 32，36 28，22 18，16 23，21
2 26，24 29，33 27，23 17，19
3 33，39 30，24 33，37 23，27
4 39，43 31，35 28， 36，34
❖ 该实验有可能属于哪几种模型？前提是什么？
❖ 如果认为是随机模型，设置重复与不设重复对分析结 果有无影响？
(b) 有交互效应
图中每条曲线代表B因素的一个水平。若各曲线平行或近似平 行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。以上只是一种直观 的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作用的有无也 可进行统计检验。
零假设
H01: i =0, i=1, 2, ……a H02:βj=0, j=1, 2, ……b H03:()ij=0, i=1, 2, ……a, j=1, 2, ……b
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综观全试验，以A2B3(钙0.8%，磷0.4%)效果最好，钙磷含
量均高或均低效果都差。
量0.4%的组合增重效果最好。
当A、B因素的交互作用显著时，一般不必进行
两个因素主效应的显著性检验(因为这时主效应的显著 性在实用意义上并不重要)，而直接进行各水平组合平 均数的多重比较，选出最优水平组合。
(4) 简单效应的检验

简单效应实际上是特定水平组合平均数间的差数。 ①A因素各水平上B因素各水平平均数间的比
2 ijk
a
b
n
交互作用平方和与自由度 SS AB SST SS A SS B SS E , df E ab(n 1), MS AB SS AB / df AB
【例9.1】 为了研究饲料中钙磷含量对幼猪生长发 育的影响，将钙(A)、磷(B)在饲料中的含量各分 4个 水平进行交叉分组试验。选用品种、性别、日龄相同， 初始体重基本一致的幼猪 48 头，随机分成16组，每 组3头，用能量、蛋白质含量相同的饲料在不同钙磷 用量搭配下各喂一组猪，经两月试验，幼猪增重结果 (kg)列于下表，试分析钙磷对幼猪生长发育的影响。
SST SS A SS B SS AB SS E dfT df A df B df AB df E

各项平方和、自由度及均方的计算公式如下：
矫正数
2 C x... / abn
2 xijk C，dfT abn 1
总平方和与自由度 SST 观测值试验资料的数学模型为:
xijk i j ( )ij ijk (i 1,2,, a; j 1,2,, b; k 1, ,2,, n)

其中， x…为总平均数；


αi为Ai的效应； βj为Bj的效应； (αβ) ij为Ai与Bj的互作效应，
A因素─钙的含量分4个水平，即a=4；B因素─磷的含量分4个 水平，即b=4；共有ab=4×4=16个水平组合；每个水平组合重 复数n=3；全试验共有48个观测值。
1、计算各项平方和与自由度
2 C x... / abn
1326.9 2 /( 4 4 3) 36680.4919
1 1 2 SS B x. j. C (327.22 363.82 357.82 278.12 ) 36680.4919 an 43 37064.2275 36680.4919 383.7356
1 n b 2 SS E y yij. 147.4133 n i1 j 1 i 1 j 1 k 1
2、列出方差分析表，进行F检验
查临界F值： F0.05(3,32)=2.90， F0.01(3,32)=4.47； F0.01(9,32)=3.02。
因为， FA＞F0.05(3,32)； FB＞F0.01(3,32)；FA×B＞F0.01(9,32)，
表明钙、磷及其互作对幼猪的生长发育均有显著或极显 著影响。 因此，应进一步进行钙各水平平均数间 、 磷各水平平 均数间、钙与磷水平组合平均数间的多重比较和进行简
两因素有重复观测值试验结果方差分析平方和与自 由度的剖分式为：
SST SS A SS B SS AB SSe dfT df A df B df AB dfe

其中，SSAB,dfAB为A因素与B因素交互作用平方 和与自由度。
若用SSAB,dfAB表示A、B水平组合间的平方和与自 由度，即处理间平方和与自由度，则因处理变异可 剖分为A因素、B因素及A、B交互作用变异三部分， 于是SST、dfT可剖分为：
2 SS T xijl C (22.0 2 26.5 2 20.0 2 19.0 2 ) 36680.4919
37662.8100 36680.4919 982.3181 1 1 2 SS A xi.. C (324.92 350.12 332.42 319.52 ) 36680.4919 bn 43 36725.0025 36680.4919 44.5106
SS A
1 df xi2.. C， A a 1 MS A SS A / df A bn
1 B因素平方和与自由度 SS B x.2j. C，df B b 1, MS B SS B / df B an
误差平方和与自由度
1 n b 2 SS E y yij. , df E ab(n 1), MS E SS E / df E n i1 j 1 i 1 j 1 k 1



当磷含量0.8%时，钙以0.4%为好，但除显著高于 钙为 1.0% 的水平外 ，与 钙 为0.6%、0.8%的差异不 显著；当磷的水平为0.6%时，钙的水平也以0.6%为好， 但除显著高于钙为1.0%的水平外，与钙为0.4%、 0.8%的差异不显著；磷含量0.4%时，钙含量以0.8% 为好；磷含量为0.2%时，钙水平达到1.0%效果较好， 但与钙为0.8%的差异不显著。 同样也呈现一种随着磷 含量降低，钙水平应提高的趋势。
则可从主效应检验 中分别选出A、B因素的最优水平相组合， 得到最 优水平组合；
若A、B因素交互作用显著
，则应进行水平组合平 均数间的多重比较， 以 选出最优水平组合，同时 可进行简单效应的检验。
各水平组合平均数比较表(T法)
由于钙磷交互作用的存在，最优组合(即增重好的
组合) 并不是A2B2，而是A2B3，即钙含量0.8%和磷含




磷含量0.8%时，钙以0.4%为好，但除显著高于钙为 1.0% 的水平外，与钙为0.6%、0.8%的差异不显著； 磷含量为0.6%时，钙也以0.6%为好，但除显著高于 1.0%的水平外，与钙为0.4%、0.8%的差异不显著； 磷含量0.4%时，钙含量以0.8%为好；磷含量为0.2% 时，钙水平达到1.0%效果较好，但与钙为0.8%的差 异不显著。 也呈现一种随着磷含量降低，钙水平应提高的趋势。 综观全试验，以A2B3(钙0.8%，磷0.4%)效果最好， 钙磷含量均高或均低效果都差。
2 ijk
a
b
n
SS AB SST SS A SS BSS E 406.6586
dfT abn 1 4 4 3 1 47
df A a 1 4 1 3 df B b 1 4 1 3 df A B (a 1)(b 1) (4 1)( 4 1) 9 df e ab(n 1) 4 4(3 1) 32
单效应的检验。
3、多重比较
(1)钙含量(A)各水平平均数间的比较 不同钙含量平均数比较表
(2) 磷含量(B)各水平平均数间的比较 不同磷含量平均数比较表(q法)
结论：

钙的含量以占饲料量的0.8%(A2)增重效果最好； 磷的含量以占饲料量的0.6%(B2)增重效果最好。
若A、B因素交互作用不显著，
第九章 两因素及多因素方差分析
设A与B两因素分别具有a与b个水平，共有ab个水平组合，每 个水平组合有n次重复，则全试验共有abn个观测值。如下表：
不同符号代表的意义：
xij. xijl
l 1 b
n
xij. xijl / n
l 1 b
n
x i .. xijl
j 1 l 1 a n
n
xi .. xijl / bn
j 1 l 1 a n
n
x. j . xijl
i 1 l 1 a b
x. j. xijl / an
i 1 l 1 a b
x... xijl
i 1 j 1 l 1
n
x... xijl / abn
i 1 j 1 l 1
A1水平(1.0)
A2水平(0.8)
A3水平(0.6)
A4水平(0.4)
②B因素各水平上A因素各水平平均数间的比较
简单效应检验结果表明：

当饲料中钙含量达1.0%时，磷含量各水平平均数间 差异不显著；当饲料中钙含量为 0.8% 时，磷含量以 0.4%为宜 ( 但与磷含量为 0.6% 的差异不显著) ； 当钙为0.6%时，磷以0.6%为好，且有小猪的生长发 育对磷含量的变化反应比较敏感的迹象； 当钙含量为 0.4% 时，磷以0.8%为好 (但与磷含量为 0.6%、0.4%的差异不显著)； 就试验中所选择的钙磷含量水平来看，有一种随着饲 料中钙含量的减少，要求磷含量增加的趋势。