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课题根与系数关系专题课后作业四、课后作业1.关于x的一元二次方程02=++mnxx两根中只有一个根等于0，则下列条件正确的是（）BA、0,0==nm B、0,0≠=nm C、0,0=≠nm D、0,0≠≠nm2.关于x的一元二次方程（m-2）x2+（2m-1）x+m2-4=0 的一个根是0，则 m的值是-23.已知a、b实数且满足（a2+b2）2-(a2+b2)-6=0,则a2+b2的值为 34.若方程2310x x--=的两根为1x、2x，则1211x x+的值为 -35. 若x1=是一元二次方程的一个根，则a= ，该方程的另一个根x2= ．-4，．6.已知α，β是方程0522=-+xx的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_________107.若方程02=++cbxax)0(≠a中，cba,,满足0=++cba和0=+-cba，则方程的根是（C ）（A）1，0 （B）-1，0 （C）1，-1 （D）无法确定8、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。
A小于等于9/4，a=19、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7，求m和n的值。
M=7.n=1210、已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115，（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值.K=-116623-210x ax++=23+。
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）复习讲义【知识点睛】如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：①若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根．⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程； ④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．【重、难点】1、对根与系数关系的推导；2、根与系数关系的灵活应用理解 【例题精讲】【例1】 已知关于x 的方程260x x c -+=的一个根是另一个根的平方，求c 的值．【例2】 ⑴若方程240x x c -+=的一个根为2，则方程的另一个根为 ，c = ．⑵已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x += ．⑶已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为 ．⑷已知α、β是方程2520x x ++=的值．【例3】 已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同． ⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．【例4】 设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是＿＿＿＿．【例5】 已知方程2980x x -+=，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方.【巩固】设20x px q -+=的两实数根为αβ、，那么33αβ、为两根的一元二次方程是____________。
一元二次方程 解法复习一、回顾知识点1．解一元二次方程的一般解法有（1）_________________ （2） （3）公式法，求根公式是 ___________________ （4） 2、①直接开平方法适用于 类型的方程。
②配方法适用于 类型的方程。
③公式法适用于 类型的方程。
④因式分解法适用于 类型的方程。
3、你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
（1）12y 2－25＝0；（你用___________法） （2）x 2－2x ＝0；（你用_________法） （3）()150x x x +-=（你用_____法） （4）x 2－6x ＋1＝0；（你用________法）（5）3x 2＝4x －1；（你用_________法） （6） 3x 2＝4x. （你用_________法） 二、解法训练1、用直接开平方法解下列方程(1)9x 2-169=0 (2) (x-3)2=49 (3) (x-1)2-241=0 (4) (2x-1)2=(x+1)22、用配方法解下列方程(1) x 2-4x+2=0 (2) 3x 2+2x-1=0 (3) 2x 2-3x+3=03、 用公式法解下列方程（1）x 2-21x+3=0 （2）x 2+4x+4=0 （3）6x 2+5x=1（4）9x 2-12x=-4 （5）7x-x 2=3x-3 （6）x 2-3x-5=-3x4、用因式分解法解下列方程（1）x2-7x=0 （2）16x2-144=0 （3）x2=4x（4）2x(x+2)=3x+6 （5）3(x-2)2=4-x2（6）3x2-2x=55、选用适当的方法解下列方程（1）196x2-1=0 (2) 4x2+12x+9=81 (3)x2-7x-1=0(4) x2-2x+1=25 (5) x(2x-5)=4x-10 (6) 1-8x+16x2=2-8x(7) x(x-1)=3x+7 (8) 2x2+3x=3 (9)(x-4)2=(5-2x)221.2.4一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明，使学生理解其理论依据； 2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题；3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。
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一元二次方程的根与系数的关系复习讲义（一个半小时）【课前预习】要点感知若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根，则x 1+x 2=_____,x 1·x 2=______ 预习练习 设一元二次方程x 2-7x+3=0的两个实数根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2=______,x 1·x 2=______【经典例题】知识点1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1.(钦州中考)若x 1、x 2是一元二次方程x 2+10x+16的两个根，则x 1+x 2的值是( )A.-10B.10C.-16D.162.(昆明中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-4x+1=0的两个实数根，则x 1x 2等于( )A.-4B.-1C.1D.43.已知方程x 2-5x+2=0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1+x 2-x 1·x 2的值为( )A.-7B.-3C.7D.34.已知x 1、x 2是方程x 2-3x-2=0的两个实根，则(x 1-2)(x 2-2)=______.5.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x 2+2x+1=0； (2)3x 2-2x-1=0； (3)2x 2+3=7x2+x ； (4)5x-5=6x 2-4.6.已知x 1,x 2是一元二次方程x 2-3x-1=0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 1+x 2； (2)x 1x 2； (3)2221x x +； (4)2111x x +. 知识点2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根互为相反数，则( )A.b>0B.b=0C.b<0D.c=08.(鄂州中考)已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2-3x+a=0的两个解，若(m-1)(n-1)=-6，则a 的值为( )A.-10B.4C.-4D.109.已知关于x 的一元二次方程x 2-(m-1)x-(2m-2)=0的两根之和等于两根之积，则m 的值为( )A.1B.-1C.2D.-210.孔明同学在解一元二次方程x 2-3x+c=0时，正确解得x 1=1，x 2=2，则c 的值为______.11.若关于x 的一元二次方程x 2-4x+k-3=0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1=3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值.【课堂巩固】12.已知一元二次方程x 2-x+2=0，则下列说法正确的是( )A.两根之和为1B.两根之积为2C.两根的平方和为-3D.没有实数根13.(来宾中考)已知一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程是( )A.x 2-6x+8=0B.x 2+2x-3=0C.x 2-x-6=0D.x 2+x-6=014.(包头中考)关于x 的一元二次方程x 2+2(m-1)x+m 2=0的两个实数根分别为x 1,x 2且x 1+x 2>0,x 1x 2>0，则m 的取值范围是( )A.m ≤21B.m ≤21且m ≠0C.m<1D.m<1且m ≠015.(威海中考)方程x 2-(m+6)x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是( )A.-2或3B.3C.-2D.-3或216.(玉林中考)x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-mx+m-2=0的两个实数根，是否存在实数m 使2111x x +=0成立？则正确的结论是( )A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在17.(烟台中考)关于x 的方程x 2-ax+2a=0的两根的平方和是5，则a 的值是( )A.-1或5B.1C.5D.-118.在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为-9，-1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为______.19.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.(1)求m的取值范围；(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0，求m的值.20.(鄂州中考)一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.(1)若方程有两实数根，求m的范围.(2)设方程两实根为x1,x2，且|x1-x2|=1，求m.【课后练习】一、选择题1.(2018湖北武汉武昌月考)方程x2-6x+10=0的根的情况是()A.两个实根之和为6B.两个实根之积为10C.没有实数根D.有两个相等的实数根2.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个不相等的实数根α,β,且α,β满足+=1,则m的值为()A.-3B.1C.-3或1D.23.(2018江苏徐州丰县月考)下列方程中,两根之和是正数的是()A.3x2+x-1=0B.x2-x+2=0C.3x2-5x+1=0D.2x2-5=04.(2018河南南阳淅川月考)已知m,n是方程x2+2x-1=0的两根,则代数式的值为()A.9B.C.3D.±二、填空题5.(2018四川宜宾模拟)已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则ba的值是.6.(2018湖北武汉黄陂月考)若一元二次方程x2-(m2-7)x+m=0的两根之和为2,则m=.三、解答题7.已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根,求下列代数式的值.(1)+;(2)+;(3)(x1-1)(x2-1).8.(2017江苏无锡宜兴期中)已知关于x 的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围;(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线的长.参考答案课前预习要点感知 -a b ，a c预习练习 7,3经典例题1.A2.C3.D4.-4.5.(1)x 1+x 2=-2, x 1·x 2=1.(2)x 1+x 2=32,x 1·x 2=-31.(3)x 1+x 2=-51, x 1·x 2=-53.(4)x 1+x 2=65, x 1·x 2=61.6.(1)x 1+x 2=3.(2)x 1x 2=-1.(3)2221x x +=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=32-2×(-1)=11. (4)2111x x +=2121x x x x +=-3.7.B 8.C 9.A 10.2.11.由根与系数的关系，得{，①4=x +x ②3.-k =x x 2121又∵x 1=3x 2，③，联立①、③，解方程组，得{，3=x 1=x 12∴k=x 1x 2+3=3×1+3=6.答：方程两根为x 1=3,x 2=1;k=6.课堂巩固12.D 13.D 14.B 15.C 16.A 17.D18.x 2-10x+9=0.19.(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x 1，x 2.∴Δ≥0.即32-4(m-1)≥0，解得m ≤413； (2)由根与系数的关系得x 1+x 2=-3，x 1x 2=m-1.∵2(x 1+x 2)+x 1x 2+10=0，∴2×(-3)+m-1+10=0.∴m=-3.20.(1)根据题意得Δ=(-2m)2-4m(m-2)≥0,且m ≠0,解得m ＞0.∴m 的范围为m ＞0.(2)∵方程两实根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=2，x 1·x 2=mm 2-， ∵|x 1-x 2|=1，∴（x 1-x 2）2=1，∴（x 1+x 2）2-4x 1x 2=1，∴22-4×mm 2-=1， 解得m=8.经检验m=8是原方程的解.∴m 的值是8.课后练习一、选择题1.答案 C 假设方程有两实根x1,x2,则x1+x2=6,x1·x2=10,此时选项A 、B 都正确,与一个正确答案矛盾;又知Δ=(-6)2-4×10=-4<0,∴该方程无实数根,故选C.2.答案 A 由根与系数的关系得α+β=3-2m,αβ=m2,∵+=1,∴=1,∴=1,∴m2+2m-3=0,(m+3)(m-1)=0,∴m=-3或m=1.把m=-3代入方程得x2-9x+9=0,Δ=(-9)2-4×1×9>0,此时方程有两个不相等的实数根;把m=1代入方程得x2-x+1=0,Δ=(-1)2-4×1×1<0,此时方程无解,∴m=1舍去.故选A.3.答案 C 选项A,∵Δ=12-4×3×(-1)=13>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为-,选项A 不符合题意;选项B,∵Δ=(-1)2-4×1×2=-7<0,∴该方程没有实数根,选项B 不符合题意;选项C,∵Δ=(-5)2-4×3×1=13>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为,选项C 符合题意;选项D,∵Δ=02-4×2×(-5)=40>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为0,选项D 不符合题意.故选C.4.答案 C ∵m,n 是方程x2+2x-1=0的两根,∴m+n=-2,mn=-1,∴===3.故选C.二、填空题5.答案解析∵x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,x1+x2=-2,x1·x2=1,∴x1+x2=-a=-2,x1·x2=-2b=1,解得a=2,b=-,∴ba==.6.答案-3解析∵一元二次方程x2-(m2-7)x+m=0的两根之和为2,∴m2-7=2,解得m=3或m=-3.当m=3时,方程为x2-2x+3=0,此时Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0,则方程无实数根,不合题意;当m=-3时,方程为x2-2x-3=0,此时Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,则方程有两个不相等的实数根.综上,m=-3.三、解答题7.解析∵x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根,∴x1+x2=-4,x1x2=2.(1)+===-2.(2)+=(x1+x2)2-2x1x2=16-4=12.(3)(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-(-4)+1=7.8.解析(1)∵方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2k+1)]2-4×1×(k2+1)=4k-3>0,∴k>.(2)当k=2时,原方程为x2-5x+5=0,设方程的两根为m、n,∴m+n=5,mn=5,∴==,即该矩形的对角线的长为.。
一元二次方程专题复习【基础知识精讲】一.1．一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)根的判别式: ac b 42-=∆⑴ 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当0=∆时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当0<∆时,方程没有实数根。
以上三点反之亦成立。
2．一元二次方程有实数根0≥∆⇔注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a ≠0(3)证明ac b 42-=∆恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方 式+正数”的形式。
1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a+=-，a c x x =∙21 2．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根， 则：方程有两正根时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙>-=+002121a c x x ab x x ac b 42-=∆≥0方程有两负根时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙<-=+002121a c x x ab x xac b 42-=∆≥0方程有一正一负根时，有021<=∙acx x ac b 42-=∆＜0 方程一根＞1，另一根＜1时，有ac b 42-=∆＞0，（x 1-1）（x 2-1）＜03．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x (x x )x x x -++=【例题巧解点拨】例1：如果关于x 的方程mx 2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x 的方程（m-5）x 2-2（m-1）x+m=0的根的情况．例2：已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x 。
（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC 的周长。
第10课一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系（教学案）启东市长江中学九年级数学组执教者:黄美娟复习目标:1•掌握用判别式判断一元二次方程的根的情况和用判别式确定方程中字母 系数的取值范围，会灵活运用判别式解决有关问题。
2•理解一元二次方程的根与系数的关系式，会用它解决有关简单问题。
复习重点：掌握根的判别式及根与系数关系.灵活运用配方法、因式分解法等数 学方法和降次、化归、方程、分类讨论的数学思想解决问题。
复习难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问 题应具备的条件，特别是不忽略隐含条件并注意对待定系数的检验。
—、预习交流复习书本P34-37, P40-41内容，完成【知识整理】和【基础扫描】 （一）、【知识整理】（二）、【基础扫描】1. （2011*福州）一元二次方程x （x-2） =0根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C •只有一个实数根 D.没有实数根 2. （2011・威海）关于x 的一元二次方程x?+ （m-2） x+m+l=0有两个相等的实数根，则m 的值是（）A.OB.8 CA±y{2 D.0 或 8 3・（2010-荆门市）若关于x 的方程a X 2+2X +1= 0有两个不等实数根，则实数a的取值范围 ________—元二次方程 ax - +bx+c=0(aH0)J4.（2010-眉山）已知方程x2 -5x+2=O的两个解分别为x |、x 2，Wljx1 + x2-x1・x2的值为（）A.-7B.-3C.7D.35.（2011-常州）已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2,则m= _________ ,另一个根是—6•已知£ , x?是一元二次方程X2-2X-1=0的两根，则x「+X2：= ________ , Xj +2 X2= __7.（2011-南充市）已知关于x的一元二次方程x:+2x+k+1= 0的实数解是X］和 X?.（1）求k的取值范围；（2）如果X1+X2-X1X2 且k为整数，求k的值.8.（2010*中山）已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0.（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为xi, X2,且xi+3X2=3,求m的值.二、展示交流 1例1. （1） m为任意实数时，关于x的方程-x2-（m + \）x+m2 + 2m + 2 = 0 的根的情况是___________ 2（2） a,b,c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx + （a + b） = 0的根的情况是___________例2：已知关于x的一元二次方程（m-l）x2+x+l=0有实数根，则m的取值范围_______ °变式1：已知关于x的方程（m・l）x2+x+l=0有两个不相等实数根，则m的取值范围________变式2：已知关于x的方程（m-1） x2+x+l=0有两个实数根，则m的取值范围例3 (2010＞芜湖)已知A), x2是方程X2+3X +\= 0的两个实数根，求下列式子的值(l)(x ] - 2)(x 2 - 2) (2)x「+ Sx2 + 20例4已知关于x的一元二次方程x?+ (2m-1) x+m2 =0有两个实数根X】和x?・(1)求实数m的取值范围；(2)当(Xi + x?) • (Xj- x2) =0 时，求 m 的值.三、课堂小结1 •本课我们复习了哪些知识点？2 •解题时注意哪些问题？四、当堂检测1.（2011-潍坊）关于x的方程x2+2kx+k-l=O的根的情况描述正确的是（）A、k为任何实数，方程都没有实数根B、k为任何实数，方程都有两个不相等的实数抿C、k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D、根据k的取值不同，方程根的悄况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种2.（2010*自贡）关于x的一元二次方程-X，+ （2m+l） x+l-m2=0无实数根,则m的取值范围是_________3.（2011-德州）若” X，是方程x2+x-l=0的两个根，贝9立+生二____________ ,Xi X.4•已知方程X2-2X+C=0的一个根是3,则方程的另一个根__________ c的值5•已知x,, X2是关于X的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根，且 x「x22- x r x2=115.求 k 的值。
第一轮复习教案：《一元二次方程根的判别式及根与系数的关系》（第11课时）【课标要求】1、根的判别式及应用(△=b 2-4ac)： (1)判定一元二次方程根的情况。
(2)确定字母的值或取值范围。
2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=—b a，x 1·x 2=c a。
(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(x 1，x 2是方程两根)。
3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以x 1、x 2为根的一元二次方程为x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0;求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足△≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x 1+x 2，•两根之积x 1x 2的代数式的形式，整体代入。
【知识要点】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)a x b x c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 【典型例题】【例1】当k 为何值时，方程2610x x k -+-=， （1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.【例2】（08武汉）下列命题：① 若0a b c ++=，则240b a c -≥；② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④ 若240b a c ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．例3 （06泉州）菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .【课堂检测】1．（07巴中）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ .4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数；当m ＝ 时，两根互为相反数.5．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = . 【课后作业】1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_____，1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______.2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且12x =是方程的根，则a b +的值为 ．4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1- Ｂ．3Ｃ．1 Ｄ．3-或16．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13-7．（07泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m<lB ．m>－1C ．m>lD ．m<－1 8．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.9．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。
