一元二次方程根与系数的关系复习课

课题根与系数关系专题课后作业四、课后作业1.关于x的一元二次方程02=++mnxx两根中只有一个根等于0，则下列条件正确的是（）BA、0,0==nm B、0,0≠=nm C、0,0=≠nm D、0,0≠≠nm2.关于x的一元二次方程（m-2）x2+（2m-1）x+m2-4=0 的一个根是0，则 m的值是-23.已知a、b实数且满足（a2+b2）2-(a2+b2)-6=0,则a2+b2的值为 34.若方程2310x x--=的两根为1x、2x，则1211x x+的值为 -35. 若x1=是一元二次方程的一个根，则a= ，该方程的另一个根x2= ．-4，．6.已知α，β是方程0522=-+xx的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_________107.若方程02=++cbxax)0(≠a中，cba,,满足0=++cba和0=+-cba，则方程的根是（C ）（A）1，0 （B）-1，0 （C）1，-1 （D）无法确定8、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。

A小于等于9/4，a=19、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7，求m和n的值。

M=7.n=1210、已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115，（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值.K=-116623-210x ax++=23+。

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）复习讲义【知识点睛】如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：①若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根．⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程； ④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．【重、难点】1、对根与系数关系的推导；2、根与系数关系的灵活应用理解 【例题精讲】【例1】 已知关于x 的方程260x x c -+=的一个根是另一个根的平方，求c 的值．【例2】 ⑴若方程240x x c -+=的一个根为2，则方程的另一个根为 ，c = ．⑵已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x += ．⑶已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为 ．⑷已知α、β是方程2520x x ++=的值．【例3】 已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同． ⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．【例4】 设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是＿＿＿＿．【例5】 已知方程2980x x -+=，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方.【巩固】设20x px q -+=的两实数根为αβ、，那么33αβ、为两根的一元二次方程是____________。

一元二次方程 解法复习一、回顾知识点1．解一元二次方程的一般解法有（1）_________________ （2） （3）公式法，求根公式是 ___________________ （4） 2、①直接开平方法适用于 类型的方程。

②配方法适用于 类型的方程。

③公式法适用于 类型的方程。

④因式分解法适用于 类型的方程。

3、你认为下列方程你用什么方法来解更简便。

（1）12y 2－25＝0；（你用___________法） （2）x 2－2x ＝0；（你用_________法） （3）()150x x x +-=（你用_____法） （4）x 2－6x ＋1＝0；（你用________法）（5）3x 2＝4x －1；（你用_________法） （6） 3x 2＝4x. （你用_________法） 二、解法训练1、用直接开平方法解下列方程(1)9x 2-169=0 (2) (x-3)2=49 (3) (x-1)2-241=0 (4) (2x-1)2=(x+1)22、用配方法解下列方程(1) x 2-4x+2=0 (2) 3x 2+2x-1=0 (3) 2x 2-3x+3=03、 用公式法解下列方程（1）x 2-21x+3=0 （2）x 2+4x+4=0 （3）6x 2+5x=1（4）9x 2-12x=-4 （5）7x-x 2=3x-3 （6）x 2-3x-5=-3x4、用因式分解法解下列方程（1）x2-7x=0 （2）16x2-144=0 （3）x2=4x（4）2x(x+2)=3x+6 （5）3(x-2)2=4-x2（6）3x2-2x=55、选用适当的方法解下列方程（1）196x2-1=0 (2) 4x2+12x+9=81 (3)x2-7x-1=0(4) x2-2x+1=25 (5) x(2x-5)=4x-10 (6) 1-8x+16x2=2-8x(7) x(x-1)=3x+7 (8) 2x2+3x=3 (9)(x-4)2=(5-2x)221.2.4一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明，使学生理解其理论依据； 2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题；3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。

一元二次方程的根与系数的关系复习讲义（一个半小时）【课前预习】要点感知若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根，则x 1+x 2=_____,x 1·x 2=______ 预习练习 设一元二次方程x 2-7x+3=0的两个实数根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2=______,x 1·x 2=______【经典例题】知识点1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1.(钦州中考)若x 1、x 2是一元二次方程x 2+10x+16的两个根，则x 1+x 2的值是( )A.-10B.10C.-16D.162.(昆明中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-4x+1=0的两个实数根，则x 1x 2等于( )A.-4B.-1C.1D.43.已知方程x 2-5x+2=0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1+x 2-x 1·x 2的值为( )A.-7B.-3C.7D.34.已知x 1、x 2是方程x 2-3x-2=0的两个实根，则(x 1-2)(x 2-2)=______.5.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x 2+2x+1=0； (2)3x 2-2x-1=0； (3)2x 2+3=7x2+x ； (4)5x-5=6x 2-4.6.已知x 1,x 2是一元二次方程x 2-3x-1=0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 1+x 2； (2)x 1x 2； (3)2221x x +； (4)2111x x +. 知识点2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根互为相反数，则( )A.b>0B.b=0C.b<0D.c=08.(鄂州中考)已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2-3x+a=0的两个解，若(m-1)(n-1)=-6，则a 的值为( )A.-10B.4C.-4D.109.已知关于x 的一元二次方程x 2-(m-1)x-(2m-2)=0的两根之和等于两根之积，则m 的值为( )A.1B.-1C.2D.-210.孔明同学在解一元二次方程x 2-3x+c=0时，正确解得x 1=1，x 2=2，则c 的值为______.11.若关于x 的一元二次方程x 2-4x+k-3=0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1=3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值.【课堂巩固】12.已知一元二次方程x 2-x+2=0，则下列说法正确的是( )A.两根之和为1B.两根之积为2C.两根的平方和为-3D.没有实数根13.(来宾中考)已知一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程是( )A.x 2-6x+8=0B.x 2+2x-3=0C.x 2-x-6=0D.x 2+x-6=014.(包头中考)关于x 的一元二次方程x 2+2(m-1)x+m 2=0的两个实数根分别为x 1,x 2且x 1+x 2>0,x 1x 2>0，则m 的取值范围是( )A.m ≤21B.m ≤21且m ≠0C.m<1D.m<1且m ≠015.(威海中考)方程x 2-(m+6)x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是( )A.-2或3B.3C.-2D.-3或216.(玉林中考)x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-mx+m-2=0的两个实数根，是否存在实数m 使2111x x +=0成立？则正确的结论是( )A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在17.(烟台中考)关于x 的方程x 2-ax+2a=0的两根的平方和是5，则a 的值是( )A.-1或5B.1C.5D.-118.在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为-9，-1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为______.19.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.(1)求m的取值范围；(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0，求m的值.20.(鄂州中考)一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.(1)若方程有两实数根，求m的范围.(2)设方程两实根为x1,x2，且|x1-x2|=1，求m.【课后练习】一、选择题1.(2018湖北武汉武昌月考)方程x2-6x+10=0的根的情况是()A.两个实根之和为6B.两个实根之积为10C.没有实数根D.有两个相等的实数根2.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个不相等的实数根α,β,且α,β满足+=1,则m的值为()A.-3B.1C.-3或1D.23.(2018江苏徐州丰县月考)下列方程中,两根之和是正数的是()A.3x2+x-1=0B.x2-x+2=0C.3x2-5x+1=0D.2x2-5=04.(2018河南南阳淅川月考)已知m,n是方程x2+2x-1=0的两根,则代数式的值为()A.9B.C.3D.±二、填空题5.(2018四川宜宾模拟)已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则ba的值是.6.(2018湖北武汉黄陂月考)若一元二次方程x2-(m2-7)x+m=0的两根之和为2,则m=.三、解答题7.已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根,求下列代数式的值.(1)+;(2)+;(3)(x1-1)(x2-1).8.(2017江苏无锡宜兴期中)已知关于x 的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围;(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线的长.参考答案课前预习要点感知 -a b ，a c预习练习 7,3经典例题1.A2.C3.D4.-4.5.(1)x 1+x 2=-2, x 1·x 2=1.(2)x 1+x 2=32,x 1·x 2=-31.(3)x 1+x 2=-51, x 1·x 2=-53.(4)x 1+x 2=65, x 1·x 2=61.6.(1)x 1+x 2=3.(2)x 1x 2=-1.(3)2221x x +=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=32-2×(-1)=11. (4)2111x x +=2121x x x x +=-3.7.B 8.C 9.A 10.2.11.由根与系数的关系，得{，①4=x +x ②3.-k =x x 2121又∵x 1=3x 2，③，联立①、③，解方程组，得{，3=x 1=x 12∴k=x 1x 2+3=3×1+3=6.答：方程两根为x 1=3,x 2=1;k=6.课堂巩固12.D 13.D 14.B 15.C 16.A 17.D18.x 2-10x+9=0.19.(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x 1，x 2.∴Δ≥0.即32-4(m-1)≥0，解得m ≤413； (2)由根与系数的关系得x 1+x 2=-3，x 1x 2=m-1.∵2(x 1+x 2)+x 1x 2+10=0，∴2×(-3)+m-1+10=0.∴m=-3.20.(1)根据题意得Δ=(-2m)2-4m(m-2)≥0,且m ≠0,解得m ＞0.∴m 的范围为m ＞0.(2)∵方程两实根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=2，x 1·x 2=mm 2-， ∵|x 1-x 2|=1，∴（x 1-x 2）2=1，∴（x 1+x 2）2-4x 1x 2=1，∴22-4×mm 2-=1， 解得m=8.经检验m=8是原方程的解.∴m 的值是8.课后练习一、选择题1.答案 C 假设方程有两实根x1,x2,则x1+x2=6,x1·x2=10,此时选项A 、B 都正确,与一个正确答案矛盾;又知Δ=(-6)2-4×10=-4<0,∴该方程无实数根,故选C.2.答案 A 由根与系数的关系得α+β=3-2m,αβ=m2,∵+=1,∴=1,∴=1,∴m2+2m-3=0,(m+3)(m-1)=0,∴m=-3或m=1.把m=-3代入方程得x2-9x+9=0,Δ=(-9)2-4×1×9>0,此时方程有两个不相等的实数根;把m=1代入方程得x2-x+1=0,Δ=(-1)2-4×1×1<0,此时方程无解,∴m=1舍去.故选A.3.答案 C 选项A,∵Δ=12-4×3×(-1)=13>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为-,选项A 不符合题意;选项B,∵Δ=(-1)2-4×1×2=-7<0,∴该方程没有实数根,选项B 不符合题意;选项C,∵Δ=(-5)2-4×3×1=13>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为,选项C 符合题意;选项D,∵Δ=02-4×2×(-5)=40>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为0,选项D 不符合题意.故选C.4.答案 C ∵m,n 是方程x2+2x-1=0的两根,∴m+n=-2,mn=-1,∴===3.故选C.二、填空题5.答案解析∵x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,x1+x2=-2,x1·x2=1,∴x1+x2=-a=-2,x1·x2=-2b=1,解得a=2,b=-,∴ba==.6.答案-3解析∵一元二次方程x2-(m2-7)x+m=0的两根之和为2,∴m2-7=2,解得m=3或m=-3.当m=3时,方程为x2-2x+3=0,此时Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0,则方程无实数根,不合题意;当m=-3时,方程为x2-2x-3=0,此时Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,则方程有两个不相等的实数根.综上,m=-3.三、解答题7.解析∵x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根,∴x1+x2=-4,x1x2=2.(1)+===-2.(2)+=(x1+x2)2-2x1x2=16-4=12.(3)(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-(-4)+1=7.8.解析(1)∵方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2k+1)]2-4×1×(k2+1)=4k-3>0,∴k>.(2)当k=2时,原方程为x2-5x+5=0,设方程的两根为m、n,∴m+n=5,mn=5,∴==,即该矩形的对角线的长为.。

一元二次方程专题复习【基础知识精讲】一.1．一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)根的判别式: ac b 42-=∆⑴ 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当0=∆时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当0<∆时,方程没有实数根。

以上三点反之亦成立。

2．一元二次方程有实数根0≥∆⇔注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a ≠0(3)证明ac b 42-=∆恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方 式+正数”的形式。

1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a+=-，a c x x =∙21 2．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根， 则：方程有两正根时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙>-=+002121a c x x ab x x ac b 42-=∆≥0方程有两负根时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙<-=+002121a c x x ab x xac b 42-=∆≥0方程有一正一负根时，有021<=∙acx x ac b 42-=∆＜0 方程一根＞1，另一根＜1时，有ac b 42-=∆＞0，（x 1-1）（x 2-1）＜03．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x (x x )x x x -++=【例题巧解点拨】例1：如果关于x 的方程mx 2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x 的方程（m-5）x 2-2（m-1）x+m=0的根的情况．例2：已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x 。

（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC 的周长。