2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(四)数学(解析版)

2021年高考数学模拟训练卷 (48)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若i 是虚数单位，则3ii−3=( )A. 310+910iB. 310−910iC. 910+310iD. 910−310i2. 设集合A ={x|x 2−4x +3=0}，B ={y|y =−x 2+2x +2,x ∈R}，全集U =R ，则A ∩(∁U B)=( )A. ⌀B. [1,3]C. {3}D. {1,3}3. 如图是一个算法的程序框图，当输入值x 为10时，则其输出的结果是( )A. 12B. 2C. 14D. 44. 已知变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤1则z =3x +y 的最小值为( )A. 11B. 12C. 8D. 35. 将函数y =sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图像过点(π3,12)，则φ的最小值为( )A. π12B. π6C. π4D. π36. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A. 2B. 83 C. 6 D. 87. 从1，2，…，10这十个数中任取三个不同的数，则至少有一个奇数和一个偶数的概率为( )A. 56B. 512C. 518D. 5368. 若双曲线C ：x 2m2−y 2n 2=1的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是( )A. 2x ±y =0B. x ±2y =0C. √3x ±y =0D. x ±√3y =09. 函数f(x)=e ln|x|−2sinx 的图象大致是( )A.B.C.D.10. 已知函数y =sinx x在(0,π)上是( )A. 增函数B. 减函数C. 既是增函数又是偶函数D. 既是减函数又是偶函数11. 已知抛物线y 2=2px 的焦点F 到其准线的距离是6，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，A 在抛物线上，且|AK|=√2|AF|，则△AFK 的面积为( )A. 18B. 16C. 9D. 612. 设长方体的对角线长是4，过每一个顶点有两条棱与对角线的夹角都是60∘，则此长方体的体积是( )A. √39B. 8√2C. 8√3D. 16√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若k 为任意实数，直线(k +1)x −ky −1=0被圆(x −1)2+(y −1)2=4截得的弦长为________． 14. 若n =∫(213x 2−2)dx ，则(x −√x )n 展开式中含x 2项的系数为______ ．15. 在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =1，∠BAD =60°，若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．16.如图，△ABC中，∠ACB为钝角，AC=10，BC=6，过点B向∠ACB的角平分线引垂线交于点P，岩AP=6√2，则△ABP的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列a n的前n项和S n=3n2−n，n∈N+．2(1)求数列{a n}的通项公式；(a n+2)⋅2n，n∈N+，试求{b n}的前n项和公式T n．(2)若数列b n满足：b n=1318.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE和ΔBCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC⊥平面ABC;(2)若M是PC的中点，点N在线段PA上，且满足PN=2NA，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．19.已知A点坐标为(−2√3,0)，B点坐标为(2√3,0)，且动点M到A点的距离是8，线段MB的垂直平分线l交线段MA于点P．(Ⅰ)求动点P的轨迹C方程．(Ⅱ)已知A(2,−1)，过原点且斜率为k(k>0)的直线l与曲线C交于P，Q两点，求△APQ面积的最大值．20.过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成．到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和．2020年是我国打贏脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：(1)设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；(2)2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元．假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫？并说明理由．21.已知函数f(x)=ax2−1−2lnx(a∈R)．(1)当a=1时，求证：f(x)≥0；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−2+12ty =√32t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=√10． (1)若l 与C 相交于A ，B 两点P(−2,0)，求|PA|⋅|PB|；(2)圆M 的圆心在极轴上，且圆M 经过极点，若l 被圆M 截得的弦长为1，求圆M 的半径．23. (Ⅰ)若不等式|x −m|<1成立的充分不必要条件为13<x <12求实数m 的取值范围；(Ⅱ)关于x 的不等式|x −3|+|x −5|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查复数的四则运算，是基础题．分子分母同时乘以i+3化简即可求解．解：3ii−3=3i(i+3)(i−3)(i+3)=−3+9i−10=310−910i.故选：B．2.答案：A解析：化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．解：集合A={x|x2−4x+3=0}={1,3}，B={y|y=−x2+2x+2,x∈R}={y|y=−(x−1)2+3}={y|y≤3}，全集U=R，∴∁U B={y|y>3}，∴A∩(∁U B)=⌀．故选：A．3.答案：D解析：本题考查了程序的运行与应用问题，是基础题．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的y值．解：模拟程序的运行过程，如下；输入x=10，x>0，x=10−3=7，x>0，x=7−3=4，x>0，x=4−3=1，x >0，x =1−3=−2， x ≤0，y =(12)−2=4， 输出y =4． 故选：D ．4.答案：C解析：解：由约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤1作出可行域如图，联立{y =2x +y =4，解得A(2,2)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为z =3×2+2=8． 故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用绵竹市的几何意义，通过数形结合即可的得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．5.答案：C解析：本题主要考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．根据三角函数平移变换的性质求解右平移φ(φ>0)个单位长度的解析式，将点(π3,12)带入求解即可． 解：将函数y =sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度， 可得y =sin2(x − φ)=sin(2x −2φ)， 图象过点(π3,12)，∴sin (2π3−2φ)=12，即2π3−2φ=π6+2kπ或5π6+2kπ，k ∈Z ∵φ>0， ∴φ的最小值为π4． 故选C ．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积、几何体的三视图，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键.直观图如图所示，底面为梯形，面积为(1+2)×22=3，四棱锥的高为2，即可求出几何体的体积．解：直观图为四棱锥F−ABHI，如图所示：底面为梯形，面积为(1+2)×22=3，四棱锥的高为2，∴几何体的体积为13×3×2=2．故选A．7.答案：A解析：本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C103=120，至少有一个奇数和一个偶数包含的基本事件个数m=C103−C53−C53= 100，由此能求出至少有一个奇数和一个偶数的概率．解：从1，2，3，…，10这十个数中任取3个不同的数，基本事件总数n=C103=120，至少有一个奇数和一个偶数包含的基本事件个数m=C103−C53−C53=100，∴至少有一个奇数和一个偶数的概率为P=mn =100120=56．故选A．8.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题.求出双曲线的c，由离心率公式，解方程求得a，再由双曲线的渐近线方程即可得到．解：∵双曲线x2m2−y2n2=1，∴c=√m2+n2，∴离心率为2，∴m2+n2m2=4，解得n2m2=3，即ba=√3，∴双曲线的渐近线方程为y=±√3x，即√3x±y=0．故选C．9.答案：B解析：解：当x>0时，f(x)=e ln|x|−2sinx=x−2sinx，f′(x)=1−2cosx，当x∈(0,π3)时，f′(x)<0，函数为减函数，故排除AC；当x<0时，f(x)=e ln|x|−2sinx=−x−2sinx，f′(x)=−1−2cosx，当x∈(−2π3,0)时，f′(x)<0，函数为减函数，当x∈(−4π3,−2π3)时，f′(x)>0，函数为增函数，故当x=−2π3时，函数取极大值此时f(x)=2π3+√3故当x=−4π3时，函数取极小值此时f(x)=4π3−√3，故排除D，故选：B．由已知中函数f(x)=e ln|x|−2sinx，分类讨论函数的单调性及极值，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，利用导数法研究函数的图象和性质，难度中档．。

6.若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子进行齐次化处理，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（）
【答案】(1).5(2).
【解析】
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）对折 次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共 种；
（2）由题意可得 ， ， ， ， ， ，
设 ，
则 ，
两式作差得
，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：数列求和 常用方法：
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.

2021年山东省德州市高考数学模拟试卷（一模）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|lg（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（）A．（2，3]B．[﹣4，4]C．[2，4）D．（2，4]2．复数z＝的共轭复数的虚部为（）A．﹣B．C．D．3．已知a，b∈R，则a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（）A．B．C．D．5．已知sinα＝sin（α+）+，则cos（α+）的值为（）A．B．C．D．6．已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．7．设函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a 的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣，）C．[，）D．[，1）8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n}满足x n+1＝x n﹣，则称数列{x n}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{x n}为牛顿数列，设a n＝ln且a1＝1，x n＞2，数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．22021﹣1B．22021﹣2C．（）2021﹣D．（）2021﹣2二、多选题（共4小题）.9．2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（）A．过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差B．过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C．过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数D．过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A、B分别为双曲线的左，右顶点，F1、F2为左、右焦点，|F1F2|＝2c，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30°B．双曲线的离心率e＝C．k1k2为定值D．若I为△PF1F2的内心，满足S＝S+xS（x∈R），则x＝12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A1，则下列结论正确的有（）A．A1D⊥EFB．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的外接球体积为πC．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的体积为D．当BE＝BF＝BC时，点A1到平面DEF的距离为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若二项式（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为．14．已知抛物线C：y2＝4x，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若•＝5，则直线AB过定点．15．已知三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为．16．设定义在D上的函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称P点为函数y＝f（x）的“类对称中心点”，则函数h（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①a sin C＝c sin（A+），②b＝a cos C+c sin A，③a cos B+b cos A＝2c cos A．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆面积为π，sin B ＝2sin C，且_____，求△ABC的面积．18．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．19．2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表所示：（表一）了解情况Y N人数14060（表二）男女合计Y80N40合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2，试求出P1与P2，并比较P1与P2的大小．附：临界值参考表的参考公式P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（K2＝，其中n＝a+b+c+d）20．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．（1）求证：EF⊥DA；（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB ⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．22．已知函数f（x）＝xe3x﹣（a+1）lnx+﹣1，g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+．定义新函数d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|min．（1）当a≤﹣2时，讨论函数g（x）的单调性；（2）若新函数d（f，g）的值域为[0，+∞），求a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|lg（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（）A．（2，3]B．[﹣4，4]C．[2，4）D．（2，4]解：∵A＝{x|16﹣x2≥0}＝{x|﹣4≤x≤4}，B＝{x|0＜x﹣2≤10}＝{x|2＜x≤12}，∴A∩B＝（2，4]．故选：D．2．复数z＝的共轭复数的虚部为（）A．﹣B．C．D．解：z＝＝＝＝，∴＝，∴复数z＝的共轭复数的虚部为，故选：D．3．已知a，b∈R，则a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a＜b，当a＝0时，不能够推出a2（e a﹣e b）＜0，故a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的不充分条件，由a2（e a﹣e b）＜0⇒e a﹣e b＜0⇒e a＜e b⇒a＜b，故a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的必要条件，综上所述：a＜b是a2（e a﹣e b）＜0的必要不充分条件．故选：B．4．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（）A．B．C．D．解：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．设田忌的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，齐王的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，所有的基本事件有6种，分别为：（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cb），（Ab，Bc，Cb），（Ac，Bb，ca），（Ac，Ba，Cb），比赛结束时，田忌得2分的基本事件为：（Ab，Bc，Ca），只有1种，∴比赛结束时，田忌得2分的概率P＝．故选：C．5．已知sinα＝sin（α+）+，则cos（α+）的值为（）A．B．C．D．解：∵sinα＝sin（α+）+，∴sinα＝sinα+cosα+，∴sinα﹣cosα＝，即﹣cos（α+）＝，∴cos（α+）＝﹣．故选：B．6．已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．解：向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，可得＝＝＝7，＝＝16+4＝20，cos＜，＞＝＝＝．故选：A．7．设函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a 的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣，）C．[，）D．[，1）解：函数f（x）＝xe x﹣a（x﹣1），其中a＜1，设g（x）＝xe x，y＝ax，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜a，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax的下方，∵g′（x）＝（x+1）e x，∴当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，∴当x＝﹣1时，[g（x）]min＝g（﹣1）＝﹣．当x＝0时，g（0）＝0，当x＝﹣2时，g（﹣2）＝﹣，直线y＝ax恒过（0，0），斜率为a，故﹣a＞g（﹣1）＝﹣，且g（﹣2）＝﹣≥﹣2a，解得≤a＜，∴a的取值范围是[，）．故选：C．8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n}满足x n+1＝x n﹣，则称数列{x n}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{x n}为牛顿数列，设a n＝ln且a1＝1，x n＞2，数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．22021﹣1B．22021﹣2C．（）2021﹣D．（）2021﹣2解：∵f（x）＝x2﹣x﹣2，∴f′（x）＝2x﹣1，又∵x n+1＝x n﹣＝x n﹣，∴x n+1+1＝x n﹣+1＝，x n+1﹣2＝x n﹣2﹣＝，∴＝＝（）2，∵a n＝ln且a1＝1，x n＞2，∴a n+1＝ln＝ln（）2＝2ln＝2a n，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴S2021＝＝22021﹣1，故选：A．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（）A．过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差B．过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C．过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数D．过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率解：对于A，甲的极差为42﹣36＝6，乙的极差为41﹣34＝7，所以“甲”的极差小于“乙”的极差，A正确；对于B，甲的平均数是×（36+37+37+38+40+42）＝，乙的平均数为×（34+36+38+39+40+41）＝，所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，B错误；对于C，甲的中位数是×（37+38）＝37.5，乙的中位数是×（38+39）＝38.5，所以，“甲”的中位数小于“乙”的中位数，C正确；对于D，过去6年甲的平均增长率为：﹣1；乙的平均增长率为：﹣1，且＜，所以“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率，D正确．故选：ACD．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称解：根据函数的图象：周期，解得T＝π，故ω＝2．进一步求得A＝2．当x＝时，f（）＝2sin（+φ）＝﹣1，由于|φ|＜π，所以φ＝．所以f（x）＝2sin（2x+），函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（3x+）的图象，故对于A：函数的最小正周期为T＝，故A正确；对于B：由于x∈[，]，所以，故函数g（x）在区间[，]上单调递减，故B错误；对于C：当x＝时，g（）＝2sin（）＝﹣2，故函数g（x）的图象关于直线x＝对称，故C正确；对于D：当x＝时，g（）＝2，故D错误．故选：AC．11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A、B分别为双曲线的左，右顶点，F1、F2为左、右焦点，|F1F2|＝2c，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30°B．双曲线的离心率e＝C．k1k2为定值D．若I为△PF1F2的内心，满足S＝S+xS（x∈R），则x＝解：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，A中，PF2⊥x轴时，P的坐标为：（c，）即P（c，c），所以tan∠PF1F2＝＝＝，所以∠PF1F2≠30°，所以A不正确；B中，因为b2＝ac，所以可得c2﹣a2＝ac，可得e2﹣e﹣1＝0，又e＞1，解得：e＝，所以B正确；C，设P（x0，y0），则﹣＝1，所以y02＝b2•，由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），所以k1k2＝＝＝，由b2＝ac，可得k1k2＝＝，所以C正确；D中因为S＝S+xS，所以|PF1|•r＝|PF2|•r+x•|F1F2|•r，可得x＝＝＝＝，所以D正确；故选：BCD．12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A1，则下列结论正确的有（）A．A1D⊥EFB．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的外接球体积为πC．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的体积为D．当BE＝BF＝BC时，点A1到平面DEF的距离为解：取EF的中点O，连接OA1，OD，由题意可得DE＝DF，A1E＝A1F，所以OD⊥EF，A1O⊥EF，DO∩A1O＝O，所以EF⊥平面A1OD，所以EF⊥A1D，故A正确；当BE＝BE＝BC＝2时，A1E＝A1F＝2，EF＝2，可得A1E⊥A1F，又A1E⊥A1D，A1F⊥A1D，可把三棱锥A1﹣EDF放到以A1D，A1E，A1F为相邻棱的长方体中，可得长方体的对角线长为＝2，故外接球的半径为，体积为π×（）3＝8π，故B错误；当BE＝BF＝BC＝1时，EF＝，cos∠EA1F＝＝，所以sin∠EA1F＝＝，S＝A1E•A1F•sin∠EA1F＝×3×3×＝，V＝V＝S•A1D＝××4＝，故C正确；当BE＝BF＝1时，设A1到面DEF的距离为h，则V＝S△DEF h＝×（4×4﹣2××4×3﹣×1×1）h＝×h＝，解得h＝，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若二项式（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为80．解：∵（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，∴2n＝32，解得n＝5，∴该二项式展开式中含有x3项的系数为•23＝80，故答案为：80．14．已知抛物线C：y2＝4x，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若•＝5，则直线AB过定点（5，0）．解：设直线AB的方程为x＝my+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：y2﹣4my﹣4b＝0，所以y1y2＝﹣4b，x1x2＝＝b2，因为•＝5⇒x1x2+y1y2＝6，所以b2﹣4b＝5，可得b＝5或b＝0，因为点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，直线AB不过原点，所以b＝5，所以直线恒过点（5，0），故答案为：（5，0）．15．已知三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为2，以顶点P 为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为3π．解：如图，AP＝，PN＝4，则AN＝2，∠APN＝，∴∠NPM＝，∴，同理，，，故球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于，故答案为：3π．16．设定义在D上的函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称P点为函数y＝f（x）的“类对称中心点”，则函数h（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标为（，1）．解：h′（x）＝+，h（x0）＝+lnx0，（x0＞0），即函数h（x）的定义域为D＝（0，+∞），所以函数h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为：y﹣（+lnx0）＝（+）（x﹣x0），则g（x）＝（+）（x﹣x0）++lnx0，设F（x）＝h（x）﹣g（x）＝+lnx﹣[（+）（x﹣x0）++lnx0]，则F（x0）＝0，所以F′（x）＝h′（x）﹣g′（x）＝+﹣（+）＝+﹣＝+＝（﹣），当x0＜，即0＜x0＜时，F（x）在（x0，）上单调递减，所以F（x）＜F（x0）＝0，所以＜0，＞0，当x0＞，即x0＞时，F（x）在（，x0）上单调递增，所以F（x）＞F（x0）＝0，所以＜0，＞0，所以y＝F（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”，若x0＝，即x＝时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，所以＞0，＜0，综上，可得y＝h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标，又h（）＝+ln＝1，故答案为：（，1）．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①a sin C＝c sin（A+），②b＝a cos C+c sin A，③a cos B+b cos A＝2c cos A．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆面积为π，sin B ＝2sin C，且_____，求△ABC的面积．解：若选①a sin C＝c sin（A+），由正弦定理得sin AinC＝sin C sin（A+），因为sin C＞0，所以sin A＝sin（A+）＝sin A+cos A，故tan A＝，由A为三角形内角得A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝；若选②b＝a cos C+c sin A，由正弦定理sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C sin A，整理得cos A sin C＝sin C sin A，因为sin C＞0，故tan A＝，由A为三角形内角得A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝；若选③a cos B+b cos A＝2c cos A，由正弦定理得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，即sin（A+B）＝2sin C cos A＝sin C，因为siinC＞0，所以cos A＝，故A＝，由题意得△ABC外接圆半径r＝，由正弦定理得2r＝＝，所以a＝2，又sin B＝2sin C，所以b＝2c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A得4＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝，b＝，所以S△ABC＝＝＝．18．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．【解答】（1）解：由a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）2n+1+2可得：a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣2）2n+2（n≥2），两式相减得：na n＝（n﹣1）2n+1﹣（n﹣2）2n＝n×2n，即a n＝2n，n≥2，又当n＝1时，有a1＝2也适合上式，∴a n＝2n；（2）证明：由（1）可得：＝＝（﹣），∴T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＜（1+）＝．19．2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表所示：（表一）了解情况Y N人数14060（表二）男女合计Y80N40合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2，试求出P1与P2，并比较P1与P2的大小．附：临界值参考表的参考公式P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（K2＝，其中n＝a+b+c+d）解：（1）根据题意填写列联表，如下：男女合计Y8060140N204060合计100100200根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524＞6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，根据列联表得出男性了解“云课堂”倡议的概率为＝，女性了解“云课堂”倡议的概率为＝，所以计算概率P1＝••＝，概率P2＝••＝，所以P1＞P2．20．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．（1）求证：EF⊥DA；（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，在四棱锥D﹣ABCN中，CN⊂平面CDN，BM⊄平面CDN，∴BM∥平面CDN，又平面BMEF∩平面CDN＝EF，∴BM∥EF，∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，又DA⊂平面ADN，∴EF⊥DA；（2）解：存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．∵DA＝DN，AM＝MN＝1，连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，∴DM⊥平面ABCN．如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，），B（0，1，0），M（0，0，0），N（﹣1，0，0），，，，设，（0＜λ＜1），则E（λ﹣1，0，），＝（λ﹣1，0，），设平面BMEF的一个法向量为，则，不妨令x＝，则z＝1﹣λ，，设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有sinα＝|cos＜＞|＝＝，解得或（舍）．∴，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，E为棱DN上靠近N点的四等分点．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB ⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．解：（1）由题意可知，b＝2，a﹣c＝﹣1，又a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1，所以椭圆的标准方程为：；（2）设四边形ACBD的面积为S，则S＝，①当AB⊥x轴时，|AB|＝，|CD|＝2a，所以S＝，②当CD⊥x轴时，|CD|＝，|AB|＝2a，所以S＝，③当AB与CD都不与x轴垂直时，直线AB的斜率存在且不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为﹣，则设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程，消去y整理可得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20＝0，所以x，所以|AB|＝＝（*），过F2做直线CD的平行线和椭圆E交于点C1，D1，由对称性知|C1D1|＝|CD|，在（*）中的k换成﹣，得|C1D1|＝＝，所以|CD|＝，所以S＝|B||CD|＝••＝，令t＝1+k2，则t＞1，所以S＝＝＝，令u＝，则u∈（0，1），所以S＝＝，因为﹣（u﹣）2+∈（20，]，所以S∈[，8）所以四边形ACBD面积的取值范围[，8）．22．已知函数f（x）＝xe3x﹣（a+1）lnx+﹣1，g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+．定义新函数d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|min．（1）当a≤﹣2时，讨论函数g（x）的单调性；（2）若新函数d（f，g）的值域为[0，+∞），求a的取值范围．解：（1）函数g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+，则g′（x）＝﹣+（a+2）x﹣＝（x＞0），①当a+2＝0，即a＝﹣2时，，令g'（x）＞0，解得x＞1，令g'（x）＜0，解得0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；②当a＜﹣2时，，（i）当，即﹣4＜a＜﹣2时，令g'（x）＞0，解得，令g'（x）＜0，解得0＜x＜1或x＞，故g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；（ii）当＝1，即a＝﹣4时，，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减；（iii）当a＜﹣4时，令g'（x）＞0，解得＜x＜1，令g'（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，所以g（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增．综上所述，当a＝﹣2时，g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；当a＝﹣4时，以g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增．（2）因为|f（x）﹣g（x）|min∈[0，+∞），所以f（x）﹣g（x）＝0有解，即a+2＝在（0，+∞）上有解，令h（x）＝，则，令μ（x）＝3x2e3x+lnx，则，故μ（x）在（0，+∞）上单调递增，又，故存在x0，使，当x∈（0，x0）时，μ（x）＜0，即h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，μ（x）＞0，即h'（x）＞0，则h（x）单调递增，故h（x）的最小值为h（x0）＝且x→+∞，h（x）→+∞，由，可得，即，令V（x）＝xlnx（x＞1），V'（x）＝2+lnx＞0，所以V（x）在（1，+∞）上单调递增，又，即3x0＝﹣lnx0，所以，故h（x）的最小值为，故a+2≥3，所以a≥1．。

2021新高考新题型——数学多选题专项练习（4）一、多选题1． 我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则直线:(l y kx b =+ ) A ．存在k ，b R ∈使得直线l 上无整点B ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有一个整点C ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有两个整点D ．存在k ，b R ∈使得直线l 上有无数个整点2． 已知实数a ，b 满足0a >，0b >，1a ≠，1b ≠，且lgb x a =，lga y b =，lga z a =，lgb w b =，则( )A ．存在实数a ，b ，使得x y z w >>>B ．存在a b ≠，使得x y z w ===C ．任意符合条件的实数a ，b 都有x y =D ．x ，y ，z ，w 中至少有两个大于13． 已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，下列关于函数()f x 的性质，描述正确的是( ) A ．()f x 是增函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()f x 的值域为[0，1)D ．()f x 是偶函数 4． 正方体截面的形状有可能为( ) A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形5． 已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．AB =∅6． 设全集{0U =，1，2，3，4}，集合{0A =，1，4}，{0B =，1，3}，则( ) A ．{0A B =，1} B ．{4}UB =C ．{0AB =，1，3，4}D ．集合A 的真子集个数为87． 定义“正对数”： 0011x ln x lnx x +<<⎧=⎨⎩若0a >，0b >，则下列结论中正确的是( )A ．()b ln a bln a ++=B ．()ln ab ln a ln b +++=+C ．()aln ln a ln b b+++-D ．()ln a b ln a ln b +++++E ．()2ln a b ln a ln b ln ++++++8． 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆周上异于A ，B 的任一点，则下列结论中正确的是( )A ．PB AC ⊥ B ．PC BC ⊥C ．AC ⊥平面PBCD ．平面PAB ⊥平面PBCE ．平面PAC ⊥平面PBC 9． 下面说法中错误的是( )A ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()x x m y y -=-表示C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 E ．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示10． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>23，右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则有( ) A ．渐近线方程为3y x = B ．渐近线方程为3y x = C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒11． 设有一组圆224:(1)()(*)C x y k k k N -+-=∈，下列四个命题正确的是( )A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点12． 一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有( )A ．直线AE 与直线BF 异面B ．直线AE 与直线DF 异面C ．直线//EF 平面PADD ．直线DF ⊥平面PBC13． 已知函数()2sin(2)13f x x π=-+，则下列说法正确的是( )A ．()2()6f x f x π-=-B ．()6f x π-的图象关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,[,]32x x x ππ∈，则123()()()f x f x f x +>14． 已知函数()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则()f x 、()g x 满足( )A ．()()f x f x -=-，()()g x g x -=B ．(2)f f -<（3），(2)g g -<（3）C ．(2)2()()f x f x g x =D ．22[()][()]1f x g x -=15． 现有一段长度为n 的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对n 符合条件时的最多小段数为()f n ，则( ) A ．f （7）3=B ．f （7）4=C ．(30)6f =D ．(30)7f =16． 已知O ，A ，B ，C 为平面上两两不重合的四点，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，则( )A ．当且仅当0xyz <时，O 在ABC ∆的外部B ．当且仅当::3:4:5x y z =时，4ABC OBC S S ∆∆= C ．当且仅当x y z ==时，O 为ABC ∆的重心D ．当且仅当0x y z ++=时，A ，B ，C 三点共线 17． 下列说法，正确的有( )A ．函数()36f x lnx x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)B ．若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则(0,1)a ∈C ．函数y x =的图象与函数sin y x =的图象有3个不同的交点D ．函数sin cos sin cos ,[0,]4y x x x x x π=++∈的最小值是118． 已知x ，y ，z R ∈，且x y z π++=，则cos cos cos f x y z =++的最值情况为( ) A ．最大值为3B ．最小值为3-C ．最大值为32D ．最小值为32-19． 在数列{}n a 中，*n N ∈，若211(n n n na a k k a a +++-=-为常数），则称{}n a 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为02021新高考新题型——数学多选题专项练习（4）答案解析一、多选题1． 我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则直线:(l y kx b =+ ) A ．存在k ，b R ∈使得直线l 上无整点B ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有一个整点C ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有两个整点D ．存在k ，b R ∈使得直线l 上有无数个整点 【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，当1k =，13b =时，直线l 的方程为13y x =+，直线l 上无整点，A 正确；对于B ，当k 0b =时，直线l 的方程为y =，直线l 上恰有一个整点(0,0)，B 正确；对于C ，假设直线l 上恰有两个整点为1(m ，1)n 和2(m ，2)n ，则有0k ≠， 此时直线l 存在第三个整点：21(2m m -，212)n n -，C 错误；对于D ，当0k =，1b =时，直线l 的方程为1y =，直线l 上有无数个整点； 则ABD 正确； 故选：ABD ．2． 已知实数a ，b 满足0a >，0b >，1a ≠，1b ≠，且lgb x a =，lga y b =，lga z a =，lgb w b =，则( )A ．存在实数a ，b ，使得x y z w >>>B ．存在a b ≠，使得x y z w ===C ．任意符合条件的实数a ，b 都有x y =D ．x ，y ，z ，w 中至少有两个大于1【解析】解：设lga p =，lgb q =．则有10p a =，10q b =，则(10)10lgb p q pq x a ===，(10)10q p pq y ==，2(10)10p p p z ==，2(10)10q q q w ==． 所以任意符合条件的a ，b 都有x y =．C 正解，A 错误． 若a b ≠，则p q ≠，则x z ≠，B 错误．因为1a ≠，1b ≠，所以0p ≠，0q ≠，所以20p >，20q >，故1z >，且1w >，D 正确． 故选：CD ．3． 已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，下列关于函数()f x 的性质，描述正确的是( ) A ．()f x 是增函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()f x 的值域为[0，1)D ．()f x 是偶函数【解析】解：当21x -<-时，[]2x =-，此时()[]2f x x x x =-=+． 当10x -<时，[]1x =-，此时()[]1f x x x x =-=+． 当01x <时，[]0x =，此时()[]f x x x x =-=． 当12x <时，[]1x =，此时()[]1f x x x x =-=-． 当23x <时，[]2x =，此时()[]2f x x x x =-=-． 当34x <时，[]3x =，此时()[]3f x x x x =-=-．⋯由此可得函数[][0y x x =-∈，1)，故C 正确； 函数[]y x x =-为非奇非偶函数，故A ，D 错误； 函数[]y x x =-是周期为1的周期函数，故B 正确；函数[]y x x =-在区间[0，1)上为增函数，但整个定义域为不具备单调性，故A 错； 故选：BC ．4． 正方体截面的形状有可能为( ) A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【解析】解：画出截面图形如图：可以画出正三角形但不是直角三角形（如图1)； 可以画出正方形（如图2)经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形（如图3)；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形（如图4)； 故选：ABD ．5． 已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．AB =∅【解析】解：已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈， 若x 属于B ，则：233*(2)2*(2)x a b a b a =-=-+-； 2a b -、2a -均为整数，x 也属于A ，所以B 是A 的子集；若x 属于A ，则：322*(3)3*x a b a b =+=+-（a ）； 3a b +、a 均为整数，x 也属于B ，所以A 是B 的子集；所以：A B =， 故选：ABC ．6． 设全集{0U =，1，2，3，4}，集合{0A =，1，4}，{0B =，1，3}，则( ) A ．{0A B =，1} B ．{4}UB =C ．{0AB =，1，3，4}D ．集合A 的真子集个数为8【解析】解：全集{0U =，1，2，3，4}，集合{0A =，1，4}，{0B =，1，3}， {0AB ∴=，1}，故A 正确，{2UB =，4}，故B 错误， {0AB =，1，3，4}，故C 正确，集合A 的真子集个数为3217-=，故D 错误 故选：AC ．7． 定义“正对数”： 0011x ln x lnx x +<<⎧=⎨⎩若0a >，0b >，则下列结论中正确的是( )A ．()b ln a bln a ++=B ．()ln ab ln a ln b +++=+C ．()aln ln a ln b b+++-D ．()ln a b ln a ln b +++++E ．()2ln a b ln a ln b ln ++++++【解析】解：对于A ，由定义，当1a 时，1b a ，故()()b b ln a ln a blna +==，又bln a blna +=， 故有()b ln a bln a ++=；当01a <<时，1b a <，故()0b ln a +=，又1a <时0bln a +=，所以此时亦有()b ln a bln a ++=． 由上判断知A 正确；对于B ，此命题不成立，可令2a =，13b =，则23ab =，由定义()0ln ab +=，2ln a ln b ln +++=， 所以()ln ab ln a ln b +++≠+；由此知B 错误； 对于C ，当0a b >时，1a b ，此时()aln ln b+= ()0a b ，当1a b 时，()aln a ln b lna lnb ln b++-=-=，此时命题成立；当1a b >>时，ln a ln b lna ++-=，此时aa b>，故命题成立； 同理可验证当10a b >>时，()aln ln a ln b b++-+成立；当1ab<时，同理可验证是正确的，故C 正确； 对于D ，若01a b <+<，0b >时，左0=，右端0，显然成立； 若1a b +>，则()22a bln a b ln a ln b ln ln ln a ln b ++++++++++⇔+，成立，故D 错误，E 正确．故选：ACE ．8． 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆周上异于A ，B 的任一点，则下列结论中正确的是( )A ．PB AC ⊥ B ．PC BC ⊥C ．AC ⊥平面PBCD ．平面PAB ⊥平面PBCE ．平面PAC ⊥平面PBC【解析】解：由题意，BC AC ⊥，若PB AC ⊥，则AC ⊥平面PBC ，可得AC PC ⊥，与AC PA ⊥矛盾，故A 、C 错误；BC AC ⊥，又PA ⊥底面ABC ，PA BC ∴⊥，则BC ⊥平面PAC ，则BC PC ⊥，故B 、E 正确；平面PAC ⊥平面PBC ，若平面PAB ⊥平面PBC ，而平面PAB ⋂平面PAC PA =，则PA ⊥平面PBC ，可得PA PC ⊥，与AC PA ⊥矛盾，故D 错误． 故选：BE ．9． 下面说法中错误的是( )A ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()x x m y y -=-表示C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 E ．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示【解析】解：当直线的斜率不存在时，经过定点0(P x ，0)y 的直线方程为0x x =，不能写成00()y y k x x -=-的形式，故A 错误．当直线的斜率等于零时，经过定点0(P x ，0)y 的直线方程为0y y =，不能写成00()x x m y y -=- 的形式，故B 错误．当直线的斜率不存在时，经过定点(0,)A b 的直线都方程为0x =，不能用方程y kx b =+表示，故C 错误．不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为(0)x a a =≠的形式，故D 错误．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线，当斜率等于零时，12y y =，12x x ≠，方程为1y y =，能用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示；当直线的斜率不存在时，12y y ≠，12x x =，方程为1x x =，能用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示，故E 正确，故选：ABCD ．10． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则有( ) A．渐近线方程为y = B．渐近线方程为y x = C ．60MAN ∠=︒ D ．120MAN ∠=︒【解析】解：由题意可得c e a =2c t =，a ，0t >，则b t =，A ，0)， 圆A的圆心为，0)，半径r 为t ，双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y =，圆心A到渐近线的距离为3|3t d ==， 弦长||MN t b ===，可得三角形MNA 为等边三角形， 即有60MAN ∠=︒． 故选：BC ．11． 设有一组圆224:(1)()(*)C x y k k k N -+-=∈，下列四个命题正确的是( ) A ．存在k ，使圆与x 轴相切 B ．存在一条直线与所有的圆均相交 C ．存在一条直线与所有的圆均不相交 D ．所有的圆均不经过原点【解析】解：对于A ：存在k ，使圆与x 轴相切2*()k k k N ⇔=∈有正整数解0k ⇔=或1k =，故A 正确；对于B ：因为圆心(1,)k 恒在直线1x =上，故B 正确；对于C ：当k 取无穷大的正数时，半径2k 也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C 不正确；对于D ：将(0,0)代入得241k k +=，即221(1)k k =-，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D 正确． 故选：ABD ．12． 一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有( )A ．直线AE 与直线BF 异面B ．直线AE 与直线DF 异面C ．直线//EF 平面PADD ．直线DF ⊥平面PBC【解析】解：如图，把几何体恢复原状，显然AE ，BF 异面，可知A 正确； //EF BC ，//BC AD ， //EF AD ∴，//EF ∴平面PAD ，可知C 正确；易知AEFD 为等腰梯形，可知B ，D 错误． 故选：AC ．13． 已知函数()2sin(2)13f x x π=-+，则下列说法正确的是( )A ．()2()6f x f x π-=-B ．()6f x π-的图象关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,[,]32x x x ππ∈，则123()()()f x f x f x +>【解析】解：()2sin(2)13f x x π=-+，对:()2sin[2()]12sin 212()663A f x x x f x πππ∴-=--+=-+≠-，故A 错误；对B ：当4x π=时，()2sin 1162f x ππ-=-+=-，故()6f x π-关于4x π=对称，故B 正确； 对:()C f x 在(0,)2π上不单调，∴1202x x π<<<，不一定12()()f x f x <，故C 错误；对:()D f x 在5(,)312ππ上单调递增，在5(,)122ππ上单调递减，∴当123,,[,]32x x x ππ∈，由()f x 的图象知123()()()f x f x f x +>，故D 正确． 故选：BD ．14． 已知函数()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则()f x 、()g x 满足( )A ．()()f x f x -=-，()()g x g x -=B ．(2)f f -<（3），(2)g g -<（3）C ．(2)2()()f x f x g x =D ．22[()][()]1f x g x -=【解析】解：()()22x x x x e e e e f x f x -----==-=-，()()2x xe e g x g x -+-==．故A 正确，()f x 为增函数，则(2)f f -<（3），成立，22(2)2e e g -+-=，g （3）33(2)2e e g -+=>-，故B 正确，222()()222(2)222x x x x x xe e e e e ef xg x f x ----+-=⨯=⨯=，故C 正确，22[()][()][()()]f x g x f x g x -=+．[()()]()1x x f x g x e e --=-=-，故D 错误， 故选：ABC ．15． 现有一段长度为n 的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对n 符合条件时的最多小段数为()f n ，则( ) A ．f （7）3=B ．f （7）4=C ．(30)6f =D ．(30)7f =【解析】解：当7n =时，最多可锯成3段：734322=+=++，f ∴（7）3=，故A 正确，B 不正确；当30n =时，最多能锯6段，具体如下：301218121086610866558665544=+=++=+++=++++=+++++．下证大于6段是不可能成立的：若可锯成7段，设为1x ，2x ，⋯，7x （其中127)x x x ⋯，显然14x >，若14x ，则74x ，而4673130⨯+=>，矛盾，因此15x =或16x =， 当16x =时，只能是6444444++++++，退一步必出现6410+=，或448+=， 8与4共同出现在等式中，由题意知这是不可能的，矛盾同理，当15x =时，∴情况为5544444++++++，或5554443++++++，或5555433++++++，针对以上情形采取还原的方法都可得出矛盾，综上，30n =时最多能锯成6段，即(30)6f =，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．16． 已知O ，A ，B ，C 为平面上两两不重合的四点，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，则( )A ．当且仅当0xyz <时，O 在ABC ∆的外部B ．当且仅当::3:4:5x y z =时，4ABC OBC S S ∆∆= C ．当且仅当x y z ==时，O 为ABC ∆的重心D ．当且仅当0x y z ++=时，A ，B ，C 三点共线【解析】解：对于A ，如图1，若x ，y ，z 只有一个为负时，不妨设0y <，0x >，0z >， 则有xOA yOC +与OB 同向．则O 在ABC ∆的外部， 若x ，y ，z 均为负时，不妨取1x y z ===-，可得0OA OB OC ++=，显然O 为ABC ∆的重心，则O 在ABC ∆的内部， 综上，A 错．对于B ．::3:4:5x y z =时，不妨取3x =，4y =，5z =．分别作3OD OA =，4OE OB =，5OF OC =．则点O 为DEF ∆的重心．11112020360OBC OEF DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 111545OAC ODF DEF S S S ∆∆∆==， 111236OAB ODE DEF S S S ∆∆∆==， 1111()60453615ABC DEF DEF S S S ∆∆∆∴=++= 113204155OEF OBC OBC S S S ∆∆∆=⨯=⨯=，正确． 对于C ．当且仅当x y z ==时，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，⇔0OA OB OC ++=O ⇔为ABC ∆的重心，正确．对于D ．0x y z ++=时，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，()0xOA yOB x y OC ⇔+-+=，化为：xCA yBC =，可得A ，B ，C 三点共线． 综上可得：BCD 都正确． 故选：BCD ．17． 下列说法，正确的有( )A ．函数()36f x lnx x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)B ．若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则(0,1)a ∈C ．函数y x =的图象与函数sin y x =的图象有3个不同的交点D ．函数sin cos sin cos ,[0,]4y x x x x x π=++∈的最小值是1【解析】解：①对于选项A ，由函数()36f x lnx x =+-在(0,)+∞为增函数，又f （1）f （2）0<，即函数()36f x lnx x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)，即A 正确，②对于选项B ，关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则10a ︒=时，满足题意，202440a a a >⎧︒⎨-<⎩，解得：01a <<，综上可得：[0a ∈，1)，即B 错误，③对于选项C ，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-，即()y g x =在R 上为增函数，又(0)0g =，即()g x 只有一个零点，即函数y x =的图象与函数sin y x =的图象有1个不同的交点，即C 错误，④对于选项D ，设sin cos )4t x x x π=+=+，因为[0x ∈，]4π，所以[1t ∈，所以211()22h t t t =+-，[1t ∈，，所以()min h t h =（1）1=，即D 正确，综合①②③④得： 正确的有A ，D ， 故选：AD ．18． 已知x ，y ，z R ∈，且x y z π++=，则cos cos cos f x y z =++的最值情况为( ) A ．最大值为3B ．最小值为3-C ．最大值为32D ．最小值为32-【解析】解：x ，y ，z R ∈，且x y z π++=，可得x y π==，z π=-时，oosx ，cos y ，cos z 取得最小值1-，即f 取得最小值3-； 当cos x ，cos y ，cos 0z >，可得f 取得最大值， 由cos y x =，02x π<，sin y x '=-，cos 0y x ''=-<，即有函数cos y x =在[0，)2π为凸函数，由()y f x =为区间I 上的凸函数，可得 1212()()()()n nf x f x f x x x x f n n++⋯+++⋯+，可得3cos cos cos 3cos 3cos 332x y z f x y z π++=++==， 即有f 的最大值为32． 故选：BC ．19． 在数列{}n a 中，*n N ∈，若211(n n n na a k k a a +++-=-为常数），则称{}n a 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 【解析】解：对于A ，k 不可能为0正确；对于B ，1n a =时，{}n a 为等差数列，但不是等差比数列； 对于C ，若等比数列11n n a a q -=，则2110n n n na a k q a a +++-==≠-，所以{}n a 为等差比数列；对于D ，数列0，1，0，1，0，1，⋯，0，1．是等差比数列，且有无数项为0， 故选：ACD ．。

押新高考卷2题
复
数
考点3年考题
考情分析
复数
2022年新高考Ⅰ卷第2题2022年新高考Ⅱ卷第2题
2021年新高考Ⅰ卷第2题2021年新高考Ⅱ卷第1题2020年新高考Ⅰ卷第2题2020年新高考Ⅱ卷第2题
高考对复数知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练复数基础知识点，包括复数的代数形式，复数的实部与虚部，共轭复数，复数模长，复数的几何意义及四则运算．纵观近几年的新高考试题，均以复数的四则运算为切入点，考查复数的四则运算、共轭复数及几何意义．可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕复数的四则运算为背景展开命题．
1.虚数单位：i ，规定12-=i
2.虚数单位的周期4
=T 3.复数的代数形式：Z=(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部4.复数的分类
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧⎩⎨⎧=≠≠⎩⎨⎧===+=000
00
00
a b b b a b bi a z 纯虚数：虚数：：实数：5.复数相等：,,21di c Z bi a Z +=+=若则,21Z Z =d
b c a ==,6.共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；
(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，
()()()2
22
22
2b a z z b a bi a bi a bi a z z +=⋅+=-=-+=⋅结论：推广：7.复数的几何意义：复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应
复平面内的点(,)
Z a b
8.复数的模：()R b a bi a Z ∈+=,，
则||z a bi =+=；。

2021年山东省新高考质量测评联盟高考数学联考试卷（4月份）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{y|y＝x2﹣2}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]∪[3，+∞）C．[﹣2，1）∪（3，+∞）D．[﹣2，1]∪（3，+∞）2．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则z＝（）A．0B．i C．1+i D．1﹣i3．如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为（）A．B．C．D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．抛物线y＝2x2的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|＝（）A．4B．1C．D．7．五声音阶，古代文献酒常称为“五声”、“五音”等，是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫、商、角、徵（zhi）、羽．如按音高顺序排列，即为：12356宫商角徵羽．中国传统乐学理论对“音阶”这个现代概念，常分别从“音”、“律”、“声”等不同角度揭示其内涵，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，可排成不同音序的种数为（）A．20B．28C．32D．408．已知数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），S n为数列{b n}的前n项和，则S100＝（）A．472B．480C．580D．769二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若a＞b＞0，且ab＝1，则（）A．a＞b+1B．C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞110．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（）A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关11．已知f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程f（x）＝（）n（n∈N*）有2n+2个不相等的实数根B．y＝f（x）与g（x）＝3x的图象上存在2对关于直线y＝x的对称点C．∀x∈[1，8]，有xf（x）≤3恒成立D．当x∈[2n﹣1，2n]，n∈N*，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积S＝112．已知双曲线方程为＝1，A为双曲线右支上任意一点，F1，F2为左、右焦点，△AF1F2的内切圆圆心为I，⊙I与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点M（x0，0）．则以下结论正确的有（）A．|F1N|﹣|F2N|为定值B．I的横坐标为定值C．x0的范围是（0，3）D．⊙I半径的最大值为4三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，则f（）＝．14．平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为．15．若对于任意实数m，函数f（x）＝ωx+cosωx．在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，则ω的最小正整数值为．16．在三棱锥V﹣ABC中．△ABC是边长为6的正三角形．VA＝VB＝VC＝2，其内有n个小球，球O1与三梭锥V﹣ABC的四个面都相切，则球O1的半径为，球O2与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O1都相切，以此类推，……，球O n与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O n﹣1（n≥2，n∈N*）都相切，则球O n 的表面积等于．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，b＝c＝4且满足______．①a sin B＝b cos（A+），②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），③，在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题．（1）求角A；（2）点P为△ABC内一点，当∠BPC＝时，求△BPC面积的最大值．18．随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建﹣一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进人全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如图：月份x234567101125.23342393658.87278满意度y（%）参考数据：x i＝6，＝＝48，＝72，＝2598.48，＝414．（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度y（%）关于月份x的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程y ＝中，＝＝，．19．已知数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n（n∈N*）．（1）求a1的值和{b n}的通项公式；（2）令c n＝2n+1﹣a n ，求．20．已知四边形ABCD，∠BAC＝∠ADC＝90°，DC＝DA ＝AB，将△ADC沿AC翻折至△PAC．（1）若PA＝PB，求证PA⊥BC；（2）若二面角P﹣AC﹣B为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．21．在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）点P为直线x＝3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q，线段PQ的中点为N，问是否存在定点T，满足|PQ|＝2|NT|？若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝+ax+a2lnx（a∈R）f'（x）是f（x）的导函数．（1）若a＞0，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝x+b，求a，b的值；（2）设g（x）＝xf'（x）﹣e x，若g（x）≤0，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{y|y＝x2﹣2}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]∪[3，+∞）C．[﹣2，1）∪（3，+∞）D．[﹣2，1]∪（3，+∞）解：∵|x﹣2|≤1，∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}，∴∁R A＝{x|x＜1或x＞3}，∵y＝x2﹣2≥﹣2，∴B＝{y|y≥﹣2}，∴（∁R A）∩B＝[﹣2，1）∪（3，+∞），故选：C．2．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则z＝（）A．0B．i C．1+i D．1﹣i解：z＝1+i+i2+i3+…+i2021＝．故选：C．3．如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为（）A．B．C．D．解：因为大轮有64齿，小轮有24齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度为2π×＝，故选：D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n解：若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，故A错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n∥β，可得α∥β或α与β相交，相交也不一定垂直，故C错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故D正确．故选：D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：令f（x）＝0，解得，故函数f（x）的零点为，故选项B，D错误；因为，当x＜0时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，故选项C错误，选项A正确．故选：A．6．抛物线y＝2x2的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|＝（）A．4B．1C．D．解：抛物线y＝2x2的焦点F（0，），准线方程为y＝﹣，∴直线AB的方程为y＝x﹣，代入y＝2x2可得2x2﹣x+＝0∴x A+x B＝，y A＝x A﹣，y B＝x B﹣，所以y A+y B＝x A+x B﹣﹣＝﹣＝，由抛物线的定义可知，|AB|＝|AF|+|BF|＝y A+y B+p＝＝．故选：D．7．五声音阶，古代文献酒常称为“五声”、“五音”等，是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫、商、角、徵（zhi）、羽．如按音高顺序排列，即为：12356宫商角徵羽．中国传统乐学理论对“音阶”这个现代概念，常分别从“音”、“律”、“声”等不同角度揭示其内涵，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，可排成不同音序的种数为（）A．20B．28C．32D．40解：根据题意，分3步进行分析：①排好宫、羽、角三种音阶，要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，有2种情况，②排好后，有4个空位，将商安排到4个空位中，有4种情况，③排好后，有5个空位，将徵安排到5个空位中，有5种情况，则有2×4×5＝40种不同的顺序，故选：D．8．已知数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），S n为数列{b n}的前n项和，则S100＝（）A．472B．480C．580D．769解：数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，令m＝1，则a n+1＝a n+a1＝a n+2，故a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}为等差数列，故a n＝2+2（n﹣1）＝2n，由于b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），所以b1＝1，b2＝b3＝2，b4＝b5＝…＝b7＝3，b8＝b9＝…＝b15＝4，b16＝b17＝…＝b31＝5，b32＝b33＝…＝b63＝6，b64＝b65＝…＝b100＝7，故S100＝1+2×2+3×4+4×8+16×5+32×6+37×7＝580．故选：C．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若a＞b＞0，且ab＝1，则（）A．a＞b+1B．C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞1解：由于a＞b＞0，且ab＝1，则a＞1＞b＞0，对于A：，故确定不了与0的关系，故A错误；对于B：a2+1＞b2+1，故，故B正确；对于C：由于f（x）＝为减函数，故f（b）＞f（a），所以，故C错误；对于D：log2（a+b），故D正确；故选：BD．10．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（）A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关解：由条形图可知，五年基础研究经费随年份的增长而增长，呈线性相关，故选项A正确；由折线图可知，从2018～2019，2019～2020的折线的斜率反生变化，故年增长率发生变化，故选项B错误；由条形图对应的斜率以及折线图对应的斜率可知，基础研究经费支出的增长率大于发明专专利授权数的增长率，故选项C正确；由统计图可知，发明专利授权数与基础研究经费支出呈正相关，故选项D错误．故选：AC．11．已知f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程f（x）＝（）n（n∈N*）有2n+2个不相等的实数根B．y＝f（x）与g（x）＝3x的图象上存在2对关于直线y＝x的对称点C．∀x∈[1，8]，有xf（x）≤3恒成立D．当x∈[2n﹣1，2n]，n∈N*，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积S＝1解：当1时，f（x）＝2﹣（6﹣4x）＝4x﹣4，当时，f（x）＝2﹣（4x﹣6）＝8﹣4x，当2＜x＜3时，，f（）＝x﹣2，当3≤x≤4时，，f（）＝4﹣x，由此可知，当2n﹣1≤x≤3•2n﹣1时，f（x）＝24﹣2n（x﹣2n﹣1）；当3•2n﹣1＜x＜2n时，f（x）＝24﹣2n（2n﹣x）．对于A：f（x）与有2n+1个交点，A错误；对于B：作出g（x）关于直线y＝x对称的图像，即g（x）的反函数h（x）＝log3x，由图像可知，f（x）与h（x）有3个交点，即f（x）与g（x）有3对对称点，B错误；对于C：当1≤x≤8时，，C正确；对于D：当2n﹣1≤x≤2n时，函数f（x）与x轴围成的图形为三角形，底为2n﹣2n﹣1，高为，则S＝＝1，D正确．故选：CD．12．已知双曲线方程为＝1，A为双曲线右支上任意一点，F1，F2为左、右焦点，△AF1F2的内切圆圆心为I，⊙I与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点M（x0，0）．则以下结论正确的有（）A．|F1N|﹣|F2N|为定值B．I的横坐标为定值C．x0的范围是（0，3）D．⊙I半径的最大值为4解：双曲线方程为＝1的a＝3，b＝4，c＝5，⊙I与x轴切于点N，与AF1切于点P，与AF2切于点T，因为I的横坐标与N的横坐标相等，设I（x N，r），由切线长相等，可得|PF1|＝|NF1|，|PA|＝|TA|，|TF2|＝|NF2|，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，即有|NF1|﹣|NF2|＝2a，又|NF1|+|NF2|＝2c，解得|NF2|＝c﹣a，可得|ON|＝a，则A，B都正确；由内角平分线的性质定理可得＝＝，即有|AF2|＝3（﹣1）＞c﹣a＝2，解得0＜x＜X0＜3，故C正确；可设A（m，n），m，n＞0，△AF1F2的内切圆的半径为r，则﹣＝1，①又S＝•2c•n＝r（2c+|AF1|+|AF2|），即为5n＝r（5+3+|AF2|）＝r（8+em﹣a）＝r（5+m），化为n＝r（1+m），若r＝4，则n＝4（1+m），②联立①②，可得方程组无解．故D错误．故选：ABC．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，则f（）＝．解：已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，函数f（x）的定义域为R，f′（x）＝cos x﹣2f'（）sin x，所以f′（）＝cos﹣2f'（）sin，解得f′（）＝，所以f（）＝sin+2f'（）cos＝，故答案为：．14．平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为7．解：∵平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．故可建立如图所示的坐标系，则A（3，0），B（0，4），设C（x，y），因为|﹣﹣|＝2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，即表示以D（3，4）为圆心，2为半径的圆上的点，因为OD＝＝5，故||的最大值为：5+2＝7，故答案为：7．15．若对于任意实数m，函数f（x）＝ωx+cosωx．在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，则ω的最小正整数值为10．解：f（x）＝ωx+cos x＝2sin（ωx+），因为f（x1）f（x2）＝4，则f（x1），f（x2）同时为函数的最小或同时为函数的最大值，因为f（x）在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，所以|x1﹣x2|≥T＝＝，故m+1﹣m×，所以ω≥3π，则ω的最小正整整数为10．故答案为：10．16．在三棱锥V﹣ABC中．△ABC是边长为6的正三角形．VA＝VB＝VC＝2，其内有n个小球，球O1与三梭锥V﹣ABC的四个面都相切，则球O1的半径为，球O2与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O1都相切，以此类推，……，球O n与三棱锥V﹣ABC 的三个面和球O n﹣1（n≥2，n∈N*）都相切，则球O n的表面积等于．解：如图，取O为三角形ABC的中心，M为AB的中点，连接OM，VM，则BM＝，OM＝，VM＝，∴VO＝，由对称性可知，球心O1在VO上，且O1O＝r1（r1为球O1的半径），作O1H⊥VM，则O1H＝r1，VO1＝4﹣r1，由Rt△VOM∽Rt△VHO1，可得，即，解得，则球O1的半径为；作球O1与底面ABC平行的切面A1B1C1，则球O2即为三棱锥V﹣A1B1C1的内切球，三棱锥V﹣A1B1C1的高，由V﹣A1B1C1与V﹣ABC相似，且长度相似比为，得，可得，则{r n}构成以为首项，以为公比的等比数列，∴，可得球O n的表面积为．故答案为：；．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，b＝c＝4且满足______．①a sin B＝b cos（A+），②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），③，在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题．（1）求角A；（2）点P为△ABC内一点，当∠BPC＝时，求△BPC面积的最大值．解：选①a sin B＝b cos（A+），由正弦定理得sin A sin B＝sin B cos（A+），因为sin B≠0，所以sin A＝cos（A+）＝，即tan A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；选②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），所以sin（A+B）﹣sin B＝sin（A﹣B），所以sin A cos B+sin B cos A﹣sin B＝sin A cos B﹣sin B cos A，即2sin B cos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；选③，由正弦定理得，整理得，2sin C cos A＝sin B cos A+sin A cos B＝sin（A+B）＝sin C，因为sin C≠0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A ＝；（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝16+16﹣2×＝32﹣16，△BPC中，由余弦定理得a2＝BP2+PC2﹣2BP•PC•cos＝BP2+PC2+BP•PC≥3BP•PC，当且仅当BP＝CP时取等号，所以BP•PC，S△BPC ＝＝，△BPC 面积的最大值．18．随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建﹣一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进人全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如图：月份x234567101125.23342393658.87278满意度y（%）参考数据：x i＝6，＝＝48，＝72，＝2598.48，＝414．（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度y（%）关于月份x的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程y ＝中，＝＝，．解：（1）由题意可知，满意度小于35%的有2个月，不小于35%的由6个月，所以ξ的可能取值为1，2，3，故P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列为：ξ123P故ξ的数学期望为E（ξ）＝1×+2×+3×＝；（2）去掉6月份的数据后可得新数据表如下；月份x234571011满意度y（%）25.233423958.87278则，，，，所以＝＝，所以＝49.714﹣5.75×6＝15.21，故剩下的数据所求出的线性回归方程为y＝5.75x+15.21；19．已知数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n（n∈N*）．（1）求a1的值和{b n}的通项公式；（2）令c n＝2n+1﹣a n，求．解：（1）数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n①．当n＝1时，整理得，解得a1＝1．当n≥2时，4T n﹣1＝a n﹣12+（2n﹣1+2）a n﹣1+4n﹣2+2n﹣1②，①﹣②得：2（b n+b n﹣1）＝（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1），由于a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，所以b n+b n﹣1＞0，整理得b n﹣b n﹣1＝2（常数），由于b1＝1+1＝2，故b n＝2+2（n﹣1）＝2n，所以．（2）由（1）得：c n＝2n+1﹣a n＝2n﹣1+1，所以＝，故＝．20．已知四边形ABCD，∠BAC＝∠ADC＝90°，DC＝DA＝AB，将△ADC沿AC翻折至△PAC．（1）若PA＝PB，求证PA⊥BC；（2）若二面角P﹣AC﹣B为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为DC＝DA＝AB，PA＝PB，所以PB＝PA＝DA＝AB，在△PAB中，有，所以PA⊥PB，又∠ADC＝90°，即∠APC＝90°，所以PA⊥PC，因为PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC；（2）解：取AC的中点E，BC的中点F，连结EF，PE，则EF∥AB，因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，所以EF⊥AC，因为DC＝DA，即PC＝PA，所以PE⊥AC，所以∠PEF为二面角P﹣AC﹣B的平面角，∠PEF＝，设DC＝DA＝AB＝，则，PE＝，以点E为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面PBC的一个法向量为，则，即，令x＝1，则y＝0，，故，所以＝，故直线BC与平面PAB所成角的正弦值为．21．在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）点P为直线x＝3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q，线段PQ的中点为N，问是否存在定点T，满足|PQ|＝2|NT|？若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设M（x，y），因为动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍，所以，化简整理可得，，故动点M的轨迹E的方程为；（2）由题意可知，直线PQ的斜率一定存在，设其方程为y＝kx+m，则点P（3，3k+m），联立直线PQ与椭圆E可得，则（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0，所以，求解可得，所以，椭圆右焦点F2（2，0），所以，，所以，所以QF2⊥PF2，因为N是PQ的中点，所以|QP|＝2|NF2|，所以存在定点T（2，0），满足|PQ|＝2|NT|．22．已知函数f（x）＝+ax+a2lnx（a∈R）f'（x）是f（x）的导函数．（1）若a＞0，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝x+b，求a，b的值；（2）设g（x）＝xf'（x）﹣e x，若g（x）≤0，求实数a的取值范围．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x+a+，所以f′（1）＝+a+＝，解得a＝2或a＝﹣4（舍），所以f（1）＝，所以切点坐标为（1，），代入切线方程得b＝﹣，所以a＝2，b＝﹣．（2）g（x）＝x2+ax+﹣e x，x∈（0，+∞），所以g′（x）＝x+a﹣e x，设h（x）＝x+a﹣e x，x∈（0，+∞），所以h′（x）＝1﹣e x＜0，所以g′（x）在（0，+∞）上是减函数，且g′（x）＜g′（0）＝a﹣1，①当a﹣1≤0时，即a≤1时，g′（x）＜g′（0）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，所以g（x）＜g（0）＝﹣1≤0，解得﹣≤a≤，所以﹣≤a≤1．②当a﹣1＞0时，即a＞1时，g′（0）＝a﹣1＞0，g′（ln2a）＝ln2a﹣a，设m（a）＝ln2a﹣a，所以m′（a）＝﹣1＝＜0，所以m（a）在（1，+∞）上是减函数，所以g′（ln2a）＝ln2a﹣a＜m（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在唯一x0∈（0，ln2a）满足g′（x0）＝0，即x0+a﹣＝0，所以当x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x0，ln2a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（x0）＝x02+ax0+﹣＝（x0+a）2﹣＝﹣≤0，解得0＜≤2，所以0＜x0≤ln2，因为a＝﹣x0且0＜x0≤ln2，设φ（x）＝e x﹣x，x∈（0，ln2]，所以φ′（x）＝e x﹣1＞0，所以φ（x）在（0，ln2]上是增函数，因为φ（0）＝0，φ（ln2）＝2﹣ln2，所以1＜a≤2﹣ln2，综上所述，实数a的取值范围是[﹣，2﹣ln2]．。

2021年中考数学统一命题的省自治区压轴模拟试卷2021年中考数学压轴模拟试卷04（青海省专用）(满分120分，答题时间120分钟)一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）1. 的相反数是_______；9的平方根等于．【答案】；±3．【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案．的相反数是：．直接根据平方根的定义进行解答即可．∵（±3）2＝9，∴9的平方根是±3．2. 把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是；若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是．【答案】n（m+3）2；6＜a≤8．【解析】直接提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．原式＝n（m2+6m+9）＝n（m+3）2．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，解不等式2x﹣a＜0，得：x，则不等式组的解集为1＜x，∵不等式组有2个整数解，∴不等式组的整数解为2、3，则34，解得6＜a ≤83. 无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约20000000人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为 人次． 【答案】2×107．【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 将20000000用科学记数法表示为：2×107．4. 如图，将周长为8的ABC 沿BC 边向右平移2个单位，得到DEF ，则四边形ABFD 的周长为________．【答案】12【解析】先根据平移的性质可得,2AC DF CF AD ===，再根据三角形的周长公式可得8AB BC AC ++=，然后根据等量代换即可得．【详解】由平移的性质得：,2AC DF CF AD ===ABC 的周长为88AB BC AC ∴++=则四边形ABFD 的周长为()AB BF DF AD AB BC CF AC AD +++=++++ 22AB BC AC =++++ 822=++12=【点睛】本题考查了平移的性质等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键．5. 已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为________． 【答案】【解析】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解．如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×=，S△A B C=B C•AH=AB•PD+BC•PE+AC•PF，∴×3•AH=×3•PD+×3•PE+×3•PF，∴PD+PE+PF=AH=，即点P到三角形三边距离之和为．6. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为．【答案】3．【解析】根据矩形的性质可得BD＝13，再根据BP＝BA可得DQ＝DP＝8，所以得CQ＝3，在Rt △BCQ中，根据勾股定理即可得BQ的长．∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD13，∵BP＝BA＝5，∴PD＝BD﹣BP＝8，∵BA ＝BP ，∴∠BAP ＝∠BP A ＝∠DPQ ， ∵AB ∥CD ， ∴∠BAP ＝∠DQP ， ∴∠DPQ ＝∠DQP ， ∴DQ ＝DP ＝8，∴CQ ＝DQ ﹣CD ＝DQ ﹣AB ＝8﹣5＝3， ∴在Rt △BCQ 中，根据勾股定理，得 BQ3．7. 等腰△ABC 中，过A 作BC 的垂线，垂足为D ，且AD=12BC ，则△ABC 底角的度数为（ ）A ．45°B ．45°或75°C ．45°或15°或75°D ．45°或60°【答案】C【解析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC 时，根据已知条件得出AD=BD=CD ，从而得出△ABC 底角的度数；当AB=BC 时，先求出∠ABD 的度数，再根据AB=BC ，求出底角的度数；当AB=BC 时，根据AD=BC ，AB=BC ，得出∠DBA=30°，从而得出底角的度数． 8. 方程（x +1）2＝9的根是 ． 【答案】x 1＝2，x 2＝﹣4．【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可． 【解析】（x +1）2＝9， x +1＝±3， x 1＝2，x 2＝﹣4．9. 已知⊙O 的直径为10cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，//AB CD ，8cm AB =，6cm CD =，则AB 与CD 之间的距离为________cm ．【答案】7或1．【解析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 同一侧时，当两条弦位于圆心O 两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE 和OF 的长度，即可得到答案． 解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1所示，过O 作OE ⊥CD ，交CD 于点E ，交AB 于点F ，连接OC ，OA ， ∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ， ∴E 、F 分别为CD 、AB 的中点， ∴CE=DE=12CD=3cm ，AF=BF=12AB=4cm ， 在Rt △AOF 中，OA=5cm ，AF=4cm ， 根据勾股定理得：OF=3cm ，在Rt △COE 中，OC=5cm ，CE=3cm ， 根据勾股定理得：OE ═4cm ， 则EF=OE -OF=4cm -3cm=1cm ；当两条弦位于圆心O 两侧时，如图2所示， 同理可得EF=4cm+3cm=7cm ，综上，弦AB 与CD 的距离为7cm 或1cm ． 故答案为：7或1．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．10. 已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 ． 【答案】3π．【解析】根据圆锥的侧面积公式：S 侧2πr •l ＝πrl ．即可得圆锥的侧面展开图的面积．∵圆锥的侧面展开图是扇形， ∴S 侧＝πrl ＝3×1π＝3π，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．11.对于实数a 、b ，定义运算“◎”如下：()()22a b a b a b =+--◎．若()()2224m m +-=◎，则m 的值为______． 【答案】10【分析】根据定义的运算计算()()22m m +-◎，令得到的式子等于24，再去解方程得到结果． 【详解】解：根据定义的运算，()()()()222222222416m m m m m m m +-=++--+-+=-◎， 则241624m -=，2440m =，210m =，解得10m =±． 故答案是：10．【点睛】本题考查整式的运算和解一元二次方程，解题的关键是根据题目中定义的运算对给出的式子进行计算，得到方程再解方程．12. 在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形2333C A B C ，正方形3444C A B C ，……，点1A ，2A ，3A ，4A ，……在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ，……在x 轴正半轴上．则（1）n A 的坐标是_______；（2）前n 个正方形对角线长的和是_______． 【答案】（1）()1121,2n n ---；（2)1221n --【分析】（1）根据题意和函数图像可以求得1A 、2A 、3A 、4A 的坐标，从而可以发现其中的变化规律进而求得n A 的坐标；（2）在（1）结论的基础之上，可求得1OA 、12C A 、23C A 、34C A 的长度，再由正方形的性质、勾股定理以及错位相减法求和技巧即可求得前n 个正方形对角线长的和． 【详解】解：（1）∵根据题意可得，点1A 的坐标为()0,1； 点2A 的坐标为()1,2；点3A 的坐标为()3,4；点4A 的坐标为()7,8；∴点n A 的坐标为()1121,2n n ---．（2）∵由（1）可知，11OA =；122C A =；234C A =；348C A =；∴前n 个正方形对角线长的和是：)11223341n n OA C A C A C A C A -++++)112482n -=+++++∵设112482n S -=+++++，∴122481622n n S -=++++++∴221n S S -=-，∴21n S =-，∴11248221n n -+++++=-∴前n 个正方形对角线长的和是：)11223341n n OA C A C A C A C A -++++)112482n -=+++++)121n -=-．故答案是：（1）()1121,2n n ---；（2)121n --【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、找规律题型（点的坐标）、正方形的性质、勾股定理以及错位相减法求和技巧，解答本题的关键是明确题意，并利用数形结合的思想解答．二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内） 13. 下列运算正确的是（ ） A ．（x +y ）2＝x 2+y 2 B ．x 3+x 4＝x 7C ．x 3•x 2＝x 6D ．（﹣3x ）2＝9x 2【答案】D【解析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得出答案．A.（x +y ）2＝x 2+2xy +y 2，故此选项错误；B.x 3+x 4，不是同类项，无法合并，故此选项错误；C.x 3•x 2＝x 5，故此选项错误；D.（﹣3x ）2＝9x 2，正确．14. 如图，a ∥b ，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A．25°B．35°C．55°D．65°【答案】A【解析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．如图：∵∠1＝65°，∠1+45°+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣45°﹣65°＝70°，∵a∥b，∴∠4+∠2＝∠3＝70°，∵∠4＝45°，∴∠2＝70°﹣∠4＝70°﹣45°＝25°．15. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【答案】C【分析】若设小道的宽为x 米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x ）米，宽为（20﹣x ）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解． 【解析】依题意，得：（35﹣2x ）（20﹣x ）＝600． 16. 下列不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．【解析】A 、C 、D 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C 不能围成三棱柱． 17. 围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ）A ．长方体B ．圆柱体 C ．球体D ．圆锥体【答案】A【分析】根据平面与曲面的概念判断即可． 【解析】A 、六个面都是平面，故本选项正确； B 、侧面不是平面，故本选项错误； C 、球面不是平面，故本选项错误； D 、侧面不是平面，故本选项错误.18. 若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由0ab <，得,a b 异号，若图象中得到的,a b 异号则成立，否则不成立． A. 由图象可知：0,0a b >>，故A 错误； B. 由图象可知：0,0a b <>，故B 正确；C. 由图象可知：0,0a b ><，但正比例函数图象未过原点，故C 错误；D. 由图象可知：0,0a b <<，故D 错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键．19. 如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（ ）A ．πB ．πC ．πD ．π【答案】B【分析】作O 点关于AB 的对称点O ′，连接O ′A 、O ′B ，如图，利用对称的性质得到OA ＝OB ＝O ′A ＝O ′B ，则可判断四边形OAO ′B 为菱形，再根据切线的性质得到O ′A ⊥OA ，O ′B ⊥OB ，则可判断四边形OAO ′B 为正方形，然后根据弧长公式求解． 【解析】如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，连接O ′A 、O ′B ， ∵OA ＝OB ＝O ′A ＝O ′B ， ∴四边形OAO ′B 为菱形， ∵折叠后的与OA 、OB 相切，∴O ′A ⊥OA ，O ′B ⊥OB， ∴四边形OAO ′B 为正方形， ∴∠AOB ＝90°，∴劣弧AB的长π．20. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断．【解析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，在右侧上升时，情形与左侧相反。

押题16空间几何体【押题方向】空间几何体是高考全国卷每年必考知识点,作为客观题考查的空间几何体试题主要涉及三视图、几何体的表面积与体积、截面等内容,难度有容易题也有难度较大的题，求解本类问题的关键是空间想象能力及运算能力，预测2021年依然会有2道立体几何客观题.依然会遵循前几年的命题风格.【模拟专练】1．（2021·山东德州市·高三一模）已知三棱锥P ABC -中，AP 、AB 、AC 三条棱两两垂直，且长度均为，以顶点P 为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为______．【答案】3π【详解】由题可知：AP 、AB 、AC 三条棱两两垂直，且长度均为如图：所以PC PB BC ====2AM AF ==，所以3tan tan3APF APM ∠=∠=，则6APF APM π∠=∠=所以12EPF CPM π∠=∠=，则 4123EF MN ππ==⨯= 44,2332NE MF ππππ=⨯===所以球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为42333ππππ⨯++=2．（2021·山东烟台市·高三一模）已知正三棱锥 P ABC -的底面边长为2,面,PAB PBC 分别切于点,M N ，则MN 的长度为___________.【答案】56【详解】如图，设正三棱锥内切球的半径为R ，M 为内切球与侧面PAB 的切点，Q 为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r ，ABC为等边三角形，CD ∴==,233CH CD ==,133DH CD ==,3PH ===,POM PDH △△,OM PO DH PD ∴=,.33PH R PD -=PD ==333R -=，解得10521R =，sin sin 6PH OMQ PDH PD ∠=∠== ,35cos sin sin 6r MQ R OMQ R PMQ R PDH R ∴==∠=∠=∠=由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故120QMN ∠=︒,由余弦定理可得22222355252cos12033362136MN r r r r =+-︒==⨯=，所以56MN =3．（2021·山东济宁市·高三一模）在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，14A D A A ==，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，当三角形1BB P 的面积最小时，三棱锥1A BB P -的外接球的体积是______．【答案】125π6【详解】补全截面EFG 为截面1EFGHQR 如图，设BR AC ⊥， 直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，1//D P ∴平面1EFGHQR ，易知平面1//ACD 平面1EFGHQR ，P AC ∴∈，且当P 与R 重合时，BP BR =最短，此时1PBB 的面积最小，由等面积法得1122BR AC AB BC ⨯=⨯，即113422BR ⨯⨯，125BP ∴=，1B B AP ⊥ ，BP AP ⊥，AP ∴⊥平面1B BP ，则1AP B P ⊥，又1AB B B ⊥，1AB ∴为三棱锥1A BB P -5=．∴三棱锥1A BB P -的外接球的半径为52，体积为35125π2643V π⎛⎫= ⎪⎝⎭=⨯．故答案为：125π6．4．（2020·山东高三其他模拟）将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.【答案】(882)π+【详解】因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以直角边长为22，由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径22r =4l =，则其表面积为(282r rl πππ+=+.5．（2020·山东高三专题练习）已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以22则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为______________.【答案】3π【详解】如图所示，球面被正方体表面所截得3段相等的弧长，与上底面截得的弧长，是以1D 为圆心，以2为半径的四分之一的圆周，所以11111224A C AB BC ππ===⨯⨯=，则所有弧长和为3π【押题专练】1．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，22AB BC ==．将A ，C 分别沿BE ，DF 向上翻折至A '，C '，则A C ''取最小值时，二面角A EF C ''--的正切值是________．【答案】5【详解】分别取BE ，DF 中点为M 、N ，连接A M '，MF ，C N '，NE ．四边形ABCD 为矩形，22AB BC ==，1AE CF ==，∴翻折前，四边形ABFE 和四边形CDEF 都是正方形，则1EF =，CE DF ∴⊥，AF BE ⊥，即NE DF ⊥，CN DF ⊥，AM BE ⊥，MF BE ⊥，∴翻折后仍有A M BE '⊥，C N DF '⊥，NE DF ⊥，MF BE ⊥，又A M MF M '⋂=，且A M '，MF ⊂平面A MF '，BE ∴⊥平面A MF '；同理可得：DF ⊥平面C NE '，又//DE BF ，且1DE BF ==，∴四边形BFDE 是平行四边形，则//BE DF ，BE ∴、DF 都是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，,BE DF ⊂平面BFDE ，∴平面A MF '⊥平面BFDE ，平面C NE '⊥平面BFDE ．分别记1A ，1C 为点A '，C '在底面的投影，则点A '在底面的投影1A 落在直线MF 上，且沿MF 方向运动；点C '在底面的投影1C 落在直线NE 上，且沿NE 方向运动．当且仅当A C ''为平面A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，此时//A C ME ''，故//A C ''平面MFNE ，则11A A C C ''=．又11//A A C C ''，A '∴，1A ，1C ，C '共面，平面11A A C C ''⋂平面11MFNE A C =，11A C 也是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，此时11Rt A A M Rt C C N '' ≌，11MA NC ∴=，又11//A C ME ，11//MA EC ，∴四边形11MA C E 为平行四边形，∴11MA EC =，∴1C 为NE 的中点，1A 为MF 的中点，1124MA NC ∴==，则11A A C C ''==64=，22A F C E ''∴==，将二面角A EF C ''--单独画出如图．过点A '作AP EF '⊥于点P ，过点C '作E C Q F '⊥于点Q ，又1A E AE '==，1CF CF '==，222122cos 242A F EF A E A FE A F EF ''+-'∴∠=='⋅，则1cos 4FP A F A FE ''=∠=，4A P '∴==；同理14EQ =，4C Q '=，则1141314FP FQ ==-，过点P 作//PG C Q '交FC '于点G ，连接A G '，则GP EF ⊥，∴A PG '∠即为二面角A EF C ''--的平面角，则13FG PG FC QC ==''，∴12PG =，13FG =，又2A F A C '''==，1C F '=，则A FC '' 为等腰直角三角形，∴cos 2A FC ''∠=，6A G ='∴，在A PG ' 中，22277103051614436144cos 7277724412A P PG A G A PG A P PG +-''+-'∠==='⋅，26tan 5A PG '∴∠=．2．如图，二面角A BD C --的平面角的大小为120︒，120BDA ∠=︒，150BDC =∠︒，2AD BD ==，CD =，则四面体ABCD 的外接球表面积为________．【答案】116π【详解】在BDA V 中，120BDA ∠=︒，2AD BD ==，所以AB ==，设BDA V 的外接圆的半径为1r ，则124sin AB r BDA==∠，所以12r =，在BDC 中，150BDC =∠︒，2BD =，CD =，所以BC ==，设BDC 的外接圆的半径为2r ，则22sin BC r BDC==∠，所以1r =又作12,O G BD O G BD ⊥⊥，所以12O GO ∠为二面角A BD C --的平面角，即12120O GO ∠= ，所以1O G ==2O G ==，所以12O O =设四面体ABCD 的外接球的球心为O ，球半径为R ，则1212sin O O OG O MO ==∠，所以R ==ABCD 的外接球表面积为24429116R πππ=⨯=，故答案为：116π.3．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，如图所示.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球．现已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足10cm AB BC CD DA DB =====，15cm AC =，则该“鞠”的表面积为___________2cm .【答案】7003π【详解】由已知得ABD △，CBD 均为等边三角形.如图所示，设球心为O ，BCD △的中心为O '，取BD 的中点F ，连接,,,,AF CF OO OB O B ''，则AF BD ⊥，CF BD ⊥，得BD ⊥平面AFC ，且可求得53cm AF CF ==，而15cm AC =，所以120AFC ∠=︒.在平面AFC 中过点A 作CF 的垂线，与CF 的延长线交于点E ，由BD ⊥平面AFC ，得BD AE ⊥，故AE ⊥平面BCD ，过点O 作OG AE ⊥于点G ，则四边形O EGO '是矩形，则()2103sin 60cm 33O B BC ︒'=⨯=，()153cm 23O F O B ''==，()15sin 60cm 2AE AF =︒=，53sin 302EF AF =︒=．设球的半径为R ，OO x '=，则由222OO O B OB ''+=，222OA AG GO =+，得221003x R +=，222535315232x R ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5cm x =，2175cm 3R =故三棱锥A BCD -外接球的表面积()227004cm 3S R ππ==4．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点C 在平面α上，若A 1B 和A 1D 与平面α都成60°角，则A 1C 与平面α所成角的余弦值为______.【答案】13【详解】设直线l 过点A 1且垂直于α，则A 1B 与A 1D 都与直线l 夹角为30°，连结BD ，由题意得△A 1BD 是等边三角形，取BD 中点E ，由题意得A 1E 可以承担直线l 的角色，但同时与直线A 1B 、A 1D 夹角为相等的直线，最小也要30°，∴此时直线l 是唯一的，由题意知A 1C 与直线l （直线A 1E ）的余弦值恰为A 1C 与平面α所成角的正弦，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1C 222222++＝3，CE 221222+2，A 1E 22(22)(2)-＝6，∴设A 1C 与平面α所成角为θ，则sin θ＝22211112A C A E CE A C A E +-⨯⨯2236⨯⨯223，∴A 1C 与平面α所成角的余弦值为：cos θ2221()3-＝13.故答案为：13.5．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若B 1P //平面A 1BM ，则C 1P 长度的取值范围是____．【答案】30[2)5【详解】取BC 中点N ，连结B 1D ，B 1N ，DN ，作CO ⊥DN ，连结C 1O ，因为平面B 1DN ∥平面A 1BM ，所以点P 在底面ABCD 内的轨迹是线段DN （动点P 在底面正方形ABCD 内，不包括边界，故不含点N 和点D ），在1C DN △中，2211152,1()22C D DN C N ===+=，所以12215262()()2224C DN S =-= ，过C 1O ⊥DN ，则当P 与O 重合时，C 1P 长度取最小值，所以C 1P 长度的最小值为1630421522C O ==⨯，当P 与D 重合时，C 1P 长度取最大值，∴C 1P 长度的最大值为C 1D ，∵P 与D 不重合，∴C 1P 长度的取值范围是[5．故答案为：305.6．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90 榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为_____．【答案】41π【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，即为14122=，∴该球形容器体积的最小值为：42412ππ⨯=.7．在三棱锥D ABC -中，ABC 是以A ∠为直角的等腰直角三角形，DBC △是边长为2的等边三角形，二面角A BC D --的余弦值为63-，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为______.【答案】8π【详解】如图，设BC 的中点为E ，过点E 作平面ABC 的法线EO ，过BCD △的重心F 作平面DBC 的法线FO ，EO 与FO 交于点O ，则O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心.又1333EF DE ==，6cos 3DEA ∠=-，所以3cos 3FEO ∠=.又3cos 3EF FEO OE ∠==，所以1OE =，，所以球的表面积为8π.8．已知球O 的半径为102，以球心O 为中心的正四面体Γ的各条棱均在球O 的外部，若球O 的球面被Γ的四个面截得的曲线的长度之和为8π，则正四面体Γ的体积为_________．【答案】【详解】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为2π，半径为1，故球心O 到正四=a ，如图所示，则斜高32AE EF a ==，体高3=AF a ，在Rt AEF 和R t AGO 中，13OG EF AO AE ==，61236632a =-，∴6a =，∴231362618234312V a a =⋅⋅=⋅=．9．已知菱形ABCD 的边长为4，对角线4BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为___________.【答案】1123π【详解】如图所示：将ABD △沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；ABD △与BCD △是边长为4的等边三角形.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则12333EG EA ==，1333EF EC ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为4的等边三角形，所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以433OE =；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB ，则外接球半径2213OB ==，所以外接球表面积为1123π.10．三棱锥A BCD -的一条棱长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为___________.【答案】53π【详解】解：由题意画出三棱锥的图形，其中1AB BC CD BD AC =====，AD a =.取BC ，AD 的中点分别为E ，F ，可知AE BC ⊥，DE BC ⊥，且AE DE E = ，∴BC ⊥平面AED ，∴平面ABC ⊥平面BCD 时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时2AD a ====.设三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，由球体的对称性知，球心O 在线段EF 上，∴OA OC R ==，又64EF ==，设OF x OE x 4==-，，在三角形AOF 中：2222216R ()x 24AD OF ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭,在三角形OEC 中：2222211R ()x 242OE BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴222221442R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得612x =.∴球的半径R 满足222665R 41212⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴三棱锥外接球的表面积为25544123R πππ=⨯=.11．四面体ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，2AB BC CD ===，AD =表面积为__________．【答案】12π【详解】由题意90ABC BCD ∠=∠=︒，2AB BC CD ===，AD =AC BD ==，所以222AB BD AD +=，AB BD ⊥，同理AC CD ⊥，取AD 中点O ，则O 到,,,A B C D 四点的距离相等，O 即为ABCD 外接球的球心，所以球半径为2AD r ==，球表面积为2412ππ==S r ．故答案为：12π．12．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 为1,AA AB 的中点，M 点是正方形11ABB A 内的动点，若1//C M 平面1CD E ，则M 点的轨迹长度为______．2【详解】如图所示，11A B 的中点H ，1BB 的中点G ，连接11,,,,GH C H C G EG HF .可得四边形11EGC D 是平行四边形，∴11//C G D E ，又1C G ⊄平面1CD E ，1D E ⊂平面1CD E ，可得1//C G 平面1CDE .同理可得1//C H CF ，1//C H 平面1CD E ，又111C H CG C = ，∴平面1//C GH 平面1CD E .∵M 点是正方形11ABB A 内的动点，1//C M 平面1CD E ，∴点M 在线段GH 上．∴M 点的轨迹长度为22112GH =+=.2.132的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ､F ､G 分别是棱A B ''､B C '､CD 的中点，则由点E ､F ､G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于___________.【答案】332【详解】分别取AD 中点P ，1CC 中点M ，1AA 中点N ，可得出过E ，F ，G 三点的平面截正方体所得截而为正六边形EFMGPN ，则正六边形的边长2211122MG CG CM =+=+，故截面多边形的面积等于23336142S =⨯⨯=.故答案为：332.14．球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的截面面积为π，则球的表面积为________．【答案】6π【详解】设内切球半径为R ，则正方体棱长为2R ，如图，平面11A C B 截球O 所得圆为正11A C B △的内切圆，而截面圆半径为1，在正11A C B △中122A B =，∴3216⋅=，62R =故内切球的表面积为264)6π2π⋅⋅=．故答案为：6π15．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.【答案】11π【详解】由题意该圆台的表面积为2221(21)211S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯=．。

专题05 不等式之恒成立问题2021年新高考填空题考点预测新高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.若不等式|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为 ．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x ﹣2|﹣|x +2|≤4，然后由不等式恒成立可得a 的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x ﹣2|﹣|x +2|≤|（x ﹣2）﹣（x +2）|＝4，当且仅当（x ﹣2）（x +2）≤0，即﹣2≤x ≤2时取等号，∵|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题2.已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为．【分析】设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，讨论4a ﹣2≥0，不符题意；4a﹣2＜0，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），将B的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值．【解答】解：设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，由△＝a2+＞0，可得y＝x2+ax﹣的图象与x轴有两个交点，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，可得4a﹣2≥0，不满足题意；则4a﹣2＜0，即a＜，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），即有（4a﹣2）x2+＝0，即x2＝，代入x2+ax﹣＝0，化为48a2﹣40a+7＝0，解得a＝或a＝＞（舍去），故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题3.若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为．【答案】[25，57]【分析】由题意不等式恒成立化为﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]，求出f（x）的值域，根据一次函数的性质转化为，即；设，求出a、b的表达式，把目标函数z＝|a|+|a+b+25|化为关于y、x的解析式，利用线性规划的知识求出z的取值范围，即可得出结论．【解答】解：对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]；可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，可得f（2）时取得最小值4，f（1）＝f（4）时取得最大值5，所以f（x）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于，（y＝af（x）为f（x）的一次函数，最大值与最小值都在端点处）即，设，则，所以，所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，画出不等式组表示的平面区域，如图所示；当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，所以x＝0，y＝0时z min＝25，x＝4，y＝5时z max＝57；当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，所以x＝0，y＝0时为临界值z min＝25，x＝4，y＝4时z max＝53；综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．故答案为：[25，57]．【知识点】不等式恒成立的问题专项突破一、填空题（共14小题）1.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．【分析】分类讨论，（1）a＝1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．【解答】解：（1）a＝1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝（a﹣1）x﹣1：令y＝0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2＝x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2＝x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a＝，或a＝0（舍去）．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题2.若存在实数b使得关于x的不等式|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4恒成立，则实数a的取值范围是﹣．【答案】[-1，1]【分析】运用正弦函数的值域可得2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，讨论a＝0，a ＞0，a＜0，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．【解答】解：|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4，即为|a（sin2x+4sin x+4）+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），即有|a（2+sin x）2+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），由2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，当a＝0时，显然成立；当a＞0，可得a（2+sin x）+∈[6a，10a]，﹣2﹣b≤a（2+sin x）+≤2﹣b，可得﹣2﹣b≤6a且2﹣b≥10a，可得﹣2﹣6a≤b≤2﹣10a，即﹣2﹣6a≤2﹣10a，可得0＜a≤1；当a＜0，可得a（2+sin x）+∈[10a，6a]，可得﹣2﹣b≤10a且2﹣b≥6a，可得﹣2﹣10a≤b≤2﹣6a，即﹣2﹣10a≤2﹣6a，可得﹣1≤a＜0；综上可得a的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【知识点】不等式恒成立的问题3.若不等式≥a对x＜2恒成立，则a的最大值是﹣【分析】设t＝2﹣x，得出x＝2﹣t，其中t＞0，把化为f（t），利用基本不等式求出f（t）的最小值，由此求出a的最大值．【解答】解：不等式≥a对x＜2恒成立，设t＝2﹣x，则x＝2﹣t，其中t＞0，所以化为f（t）＝＝+t﹣3≥2﹣3＝2﹣3，当且仅当＝t，即t＝时取“＝”，∴f（t）的最小值为2﹣3；∴不等式≥a对x＜2恒成立时，a的最大值是2﹣3．故答案为：2﹣3．【知识点】不等式恒成立的问题4.若不等式|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，则实数a的最大值为．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x﹣2|﹣|x+2|≤4，然后由不等式恒成立可得a的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x﹣2|﹣|x+2|≤|（x﹣2）﹣（x+2）|＝4，当且仅当（x﹣2）（x+2）≤0，即﹣2≤x≤2时取等号，∵|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题5.已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a（x﹣2）+b对一切正实数x恒成立，则当a+b取最小值时，b的值为﹣．【分析】由题意可得只要考虑直线y＝a（x﹣2）+b与y＝lnx相切，设出切点（m，lnm），运用导数的几何意义，可得a，b，m的方程，再由x＝3时，a+b取得最小值，结合构造函数法，运用导数求得最小值，即可得到所求b的值．【解答】解：设y＝lnx的图象与直线y＝a（x﹣2）+b相切的切点为（m，lnm），由y＝lnx的导数为y′＝，可得a＝，lnm＝a（m﹣2）+b，可得b＝2a﹣lna﹣1，由x＝3时，可得a+b≥ln3，可得a+b的最小值为ln3，即有2a﹣lna﹣1＝ln3﹣a，即3a﹣lna＝1+ln3，由y＝3x﹣lnx的导数为y′＝3﹣，可得0＜x＜时，函数y＝3x﹣lnx递减，在x＞时，函数y＝3x﹣lnx递增，可得x＝处函数y取得最小值1+ln3，则3a﹣lna＝1+ln3的解为a＝，即有b＝ln3﹣．故答案为：ln3﹣．【知识点】不等式恒成立的问题6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，若对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则实数λ的取值范围是．【分析】根据等比数列前n项和公式，求得a n，即可求得t的值，代入根据函数的单调性即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：由题意可知：2S n＝3n+1+t，当n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝3n+1+t﹣3n﹣t＝2×3n，∴a n＝3n，由数列{a n}为等比数列，则a1＝3，当n＝1，则a1＝S1＝＝3，则t＝﹣3，∴S n＝（3n﹣1），对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5），即3n+1λ≥27（n﹣5），∴λ≥＝，n∈N*，由对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则λ≥（）max，由函数f（x）＝在[1，+∞），f′（x）＝＝，令f′（x）＝0，则x＝+5，则f（x）在[1，+5）单调递增，在（+5，+∞）单调递减，由n∈N*，f（5）＝0，f（6）＝，∴当n＝6时，取最大值，最大值为，∴实数λ的取值范围[，+∞），故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题、利用导数研究函数的单调性7.已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是﹣【分析】根据题意，分段讨论x≤1和x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，去掉绝对值，利用函数的最大、最小值求得a的取值范围，再求它们的公共部分．【解答】解：函数f（x）＝，当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y＝﹣x2+x﹣3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最大值为﹣；由y＝x2﹣x+3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最小值为，则﹣≤a≤；…①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y＝﹣（x+）≤﹣2＝﹣2（当且仅当x＝＞1）取得最大值﹣2；由y＝x+≥2＝2（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2；…②由①②可得，﹣≤a≤2；综上，a的取值范围是﹣≤a≤2．故答案为：﹣≤a≤2．【知识点】不等式恒成立的问题8.若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．【分析】当x＞0时a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，g（x）﹣=，求得y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数和符号，即可得到所求a的范围．【解答】解：不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，即有a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，由y=lnx﹣x+1的导数为y′=﹣1=，x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得y=lnx﹣x+1的最大值为0，即lnx≤x﹣1，则g（x）﹣=，由y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数为y′=2（1+ln（x+1））﹣2（x+1）=2[ln（x+1）﹣x]，由ln（x+1）＜x，即ln（x+1）﹣x＜0，（x＞0），可得g（x）﹣＜0，即g（x）＜，可得a≥，则a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题9.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．【解答】解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题10.设a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，则a的取值范围为．【答案】3【分析】利用基本不等式，确定x的最小值，即可求得a的最小值．【解答】解：∵a＞0，x＞1，∴x＝（x﹣3）+3≥2+1∵a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，∴2+3≥9．∴a≥3∴a的最小值为3．故答案为：3．【知识点】不等式恒成立的问题11.不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】[2，6）【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2＝0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a＝2时，原不等式即为1＞0，原不等式恒成立，即a＝2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，必须解得，2＜a＜6．综上所述，a的取值范围是2≤a＜6，故答案为：[2，6）．【知识点】不等式恒成立的问题12.若对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，则实数x的取值范围是﹣∞﹣【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【分析】通过变换主元，利用函数恒成立转化为不等式组求解即可．【解答】解：由题意对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，即为a（x2+x）﹣x﹣1＞0对任意a∈[1，2]恒成立，所以，解得x＜﹣1或x＞1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题13.若不等式2kx2+kx+＜0对于一切实数x都成立，则k的取值范围是﹣∞﹣．【答案】（-∞，-2）【分析】根据不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，讨论k＝0和k≠0时，即可求出k的取值范围．【解答】解：不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，k＝0时，不等式化为＜0不成立，k≠0时，应满足，解得k＜﹣2．综上，不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【知识点】二次函数的性质与图象、不等式恒成立的问题14.若关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b的最小值为．【答案】0【分析】设f（x）＝（x2﹣a）（2x+b），x∈（a，b），讨论a＞0和a≤0时，利用f（x）≥0在x∈（a，b）恒成立，即可求出2a+b的最小值．【解答】解：关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，当a＞0时，b＞a＞0，f（x）＝（x2﹣a）（2x+b）的三个零点分别为±，﹣；显然有＞﹣，＞﹣；则f（x）在（a，b）上是单调增函数，f（x）≥0在（a，b）上恒成立，则f（a）＝（a2﹣a）（2a+b）＝a（a﹣1）（2a+b）≥0，即或；则2a+b≥0或无最小值；当a≤0时，x2﹣a≥0恒成立，f（x）≥0时只需2x+b≥0恒成立，又x∈（a，b），∴2a+b≥0；综上所述，2a+b的最小值为0．故答案为：0．【知识点】不等式恒成立的问题。

A. 20°B. 40°
C. 50°D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点 处的纬度，计算出晷针与点 处的水平面所成角.
【详解】画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线； 是点 处的水平面的截线，依题意可知 ； 是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
2. （）
A. 1B. −1
C. iD. −i
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）
A. 120种B. 90种
C. 60种D. 30种
【答案】C
【解析】
【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；

2021年山东省临沂市沂水一中高考数学二轮模拟检测试卷（4月份）一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|1＜x＜m}，若A∩B＝{x|1＜x＜2}，则实数m的取值范围为（）A．{2}B．[2，+∞）C．（1，+∞）D．[1，2]2．若复数z满足（z﹣1）（1+i）＝2﹣2i，则|z|＝（）A．B．C．5D．3．函数y＝a3﹣x（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在椭圆上，则m+n的最小值为（）A．12B．14C．16D．184．阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（）A．B．C．D．5．若向量，满足||＝2，||＝1，且＜，＞＝，则＜﹣，＞＝（）A．B．C．D．6．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A．8B．10C．12D．147．已知y＝f（x）为奇函数，y＝f（x+1）为偶函数，若当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+a），则f（2021）＝（）A．﹣1B．0C．1D．28．已知F1、F2是双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点，若|ON|＝，则双曲线E的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±C．y＝±x D．y＝±x二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

百校联盟最新高考最后一卷（押题卷）理科数学(第四模拟)一、选择题：共8题1．已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A ={1,2,3,4,5},B ={3,5,7,9},则图中阴影部分所表示的集合为A.{1,2,4,7,9}B.{1,2,4,6,7,8,9}C.{6,8}D.{3,5}【答案】A【解析】这是一道集合的运算与表示的试题,主要考查集合运算与韦恩图等基础知识. 由题中图可知,阴影部分表示的集合为(∁U A ∩B )∪(A ∩∁U B )={1,2,4,7,9},故选A.2．命题“∀x ∈R ,1<f (x )<2”的否定是A.∃x 0∈R ,f (x 0)≤1或f (x 0)≥2B.∀x ∈R ,f (x )≤1或f (x )≥2C.∃x 0∈R ,1<f (x 0)<2D.∀x ∈R ,f (x )<1或f (x )>2【答案】A【解析】本题主要考查全称命题的否定等基础知识,考查考生对基础知识的掌握情况. 根据全称命题的否定是特称命题可知,“∀x ∈R ,1<f (x )<2”的否定是“∃x 0∈R ,f (x 0)≤1或f (x 0)≥2”,故选A.3．已知2sin αtan α=3,且0<α<π,则α的值为A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系式,考查考生的基本运算能力.解题时,将已知等式化简为一个角的三角函数的形式,解方程即可,注意角的范围限制. 通解 因为2sin αtan α=3,所以2sin α·sin αcos α=3,即2(1−cos 2α)cos α=3,化简得2cos 2α+3cos α-2=0,解得cos α=12或cos α=-2(舍去).又0<α<π,所以α=π3,故选C. 优解 分别将四个选项中的值代入验证,即可得C 正确,故选C4．已知函数f (x )=|2x-3|,g (x )=lg(2-x 2),则下列函数是奇函数的是A.h (x )=f (x )-g (x )B.h (x )=f (x )g (x )C.h (x )=α(α)3−α(α)D.h (x )=α(α)3−α(α)【答案】C【解析】本题主要考查函数的定义域、奇偶性等基础知识,考查考生对基础知识的掌握情况.由于函数g (x )=lg(2-x2)的定义域是(-√2,√2),∴f (x )=|2x-3|=3-2x ,∴h (x )=α(α)3−α(α)=lg (2−α2)2α,因此h (x )=α(α)3−α(α)是奇函数,故选C.5．若对任意的正实数x ,y ,不等式x 2+xy+y 2-kx-ky+1≥0恒成立,则实数k 的最大值为A.1B.√2C.√3D.√6【答案】C【解析】本题主要考查基本不等式的应用、不等式恒成立等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.分离参数是求解不等式恒成立问题的常用方法,解决本题的关键是将不等式转化为k ≤α2+α2+αα+1α+α,然后利用基本不等式求最值即可.∵x ,y 均为正实数,∴原不等式转化为k ≤α2+α2+αα+1α+α,又xy ≤(α+α2)2,∴α2+α2+αα+1α+α=(α+α) 2−αα+1α+α≥(α+α)2−(α+α2)2+1α+α=34(x+y )+1α+α≥√3,当且仅当x =y =√33时,等号成立.∴k ≤√3,即实数k 的最大值为√3.6．已知数列{a n }是一个等差数列,首项与公差均为正数,且a 2,a 5,a 9依次成等比数列,则使得a 1+a 2+…+a k >100a 1的最小正整数k 的值是(√265≈16.278 8)A.32B.33C.34D.35【答案】C【解析】本题主要考查等差数列、等比数列及一元二次不等式的解法等基础知识,考查考生灵活运用有关知识解决问题的能力.设数列{a n }的公差为d ,则a 2=a 1+d ,a 5=a 1+4d ,a 9=a 1+8d ,因为a 2,a 5,a 9依次成等比数列,所以a 2a 9=α52,即(a 1+d )·(a 1+8d )=(a 1+4d )2,化简得a 1d =8d 2,又d >0,所以a 1=8d .由α1+α2+⋯+ααα1=αα1+α(α−1)α2α1=k+α(α−1)16>100,得k 2+15k-1 600>0,解得k <−15−5√2652(舍去)或k >−15+5√2652,所以最小正整数k 的值为347．已知双曲线C 1:α2α2−α2α2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,抛物线C 2:y 2=2px (p >0)的焦点与双曲线C 1的一个焦点重合,C 1、C 2与圆(x+c )2+y 2=p 2在第一象限内相交于同一点P ,则双曲线的离心率为A.2√3B.2+√3C.√3D.4【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的定义、离心率,抛物线的定义及圆的相关知识,考查数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.设P (x 0,y 0),∵F 2是C 1、C 2的公共焦点,∴p =2c ,而C 1、C 2与圆(x+c )2+y 2=p 2在第一象限内相交于同一点P ,∴|F 1F 2|=|PF 1|=2c ,∴|PF 2|=2c-2a .通解 根据抛物线的定义,x 0=|PF 2|-α2=c-2a ,∴α02=2px 0=4c (c-2a ),∴由α02α2−α02α2=1,得(α−2α)2α2−4α(α−2α)α2=1,∴(e-2)2-4α(α−2)α2−1=1,整理得(e 2-3)(e 2-4e+1)=0,∵e >1,∴e =√3或e =2+√3,又P 在第一象限,∴x 0=c-2a >0,e >2,∴e =2+√3,故选B.优解 如图所示,过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ,过点F 1作F 1H ⊥PF 2于点H ,则△PQF 2∽△F 1HF 2,而|F 1F 2|=|PF 1|,∴|HF 2|=12|PF 2|=c-a ,|QF 2|=c-|OQ|=2a ,∴|αα2||αα2|=|αα2||α1α2|,即2α2α−2α=α−α2α,∴e 2-4e+1=0,∵e >1,∴e =2+√3,故选B8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,俗称阴阳鱼.太极图案展现了一种互相转化,相对统一的形式美、和谐美.现在定义:能够将圆O 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“太极函数”.给出下列命题:p 1:对于任意的一个圆O ,其对应的“太极函数”不唯一; p 2:f (x )=e x +e -x可能是某个圆的一个“太极函数”; p 3:圆O :(x-1)2+y 2=36的一个“太极函数”为f (x )=-ln 5+α7−α; p 4:“太极函数”的图象一定是中心对称图形.其中正确的命题是 A.p 1,p 2 B.p 1,p 3C.p 2,p 3D.p 3,p 4【答案】B【解析】本题主要考查函数的图象与性质,考查考生对新定义的理解.图1对于p 1,取过圆心的直线,均可将圆的周长和面积平分,而这样的直线有无数条,故p 1正确;对于p 2,f (x )=f (-x )恒成立,故f (x )为偶函数,又f (0)=2,图象如图1所示,则其不可能为某个圆的“太极函数”,故p 2不正确;对于p 3,圆O 的圆心为(1,0),x ∈[-5,7],而函数f (x )满足f (x )+f (2-x )=0,故函数f (x )的图象关于点(1,0)成中心对称,函数的定义域为(-5,7),如图2所示,函数f (x )将圆的周长和面积平分,故p 3正确;对于p 4,如图3,若取圆的方程为x 2+y 2=9,该函数(粗线)将圆的周长和面积平分,但不是中心对称图形,故p 4不正确,故选B.图2 图3二、填空题：共7题9．已知函数f (x )={√α−1,α≥2log 2(2α+1),0≤α<2,则f (f (1))= ,f (x )的最小值为 . 【答案】2 1【解析】本题考查分段函数求值等知识,考查考生对基础知识的掌握情况. ∵f (1)=log 23<2,∴f (f (1))=f (log 23)=log 2(2log 23+1)=log 24=2.由于函数y =√α−1(x ≥2)与y =log 2(2x+1)(x ∈[0,2))都是增函数,∴f (x )min =1.10．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ,体积为 .【答案】7+√52π+243π【解析】本题主要考查简单几何体的三视图,解题的突破口是由三视图还原直观图.在解题过程中要注意题目所求的几何体是组合体,求表面积时要注意重叠部分不可重复计算. 根据题意,所求的几何体由半个圆柱和半个圆锥构成,因此,该几何体的表面积为π×12+12π×12+12×π×1×√5+π×1×2+12×1×2×2=π+12π+√52π+2π+2=7+√52π+2,体积为13×12π×2+12π×2=43π.11．已知函数f (x )=2cos x (cos x-sin x )-1,则f (x )的振幅为 ,最小正周期为 ,f (x )在[0,π6]上的最小值为 .【答案】√2 π1−√32【解析】本题主要考查了三角恒等变换等基础知识,考查考生的基本运算能力. 根据题意知,f (x )=1+cos 2x-sin 2x-1=√2cos(2x+π4),∴f (x )的振幅为√2,最小正周期T =2π2=π.又当x ∈[0,π6]时,2x+π4∈[π4,7π12],∴f (x )min =√2cos7π12,而cos 7π12=cos(π3+π4)=cos π3cos π4-sin π3sin π4=√2−√64,∴f (x )min =1−√3212．设直线l 1:(a+1)x-(a-3)y-8=0(a ∈R ),过原点O 的直线l 2⊥l 1,垂足为M ,则|OM|的最大值为 . 【答案】2√2【解析】本题主要考查两条直线的垂直关系、直线交点的求法等基础知识,考查考生的数形结合思想.通解 由于过原点的直线l 2⊥l 1,∴l 2的方程为(a-3)x+(a+1)y =0,由方程组{(α+1)α−(α−3)α−8=0(α−3)α+(α+1)α=0得,M (4(α+1)α2−2α+5,4(3−α)α2−2α+5),∴|OM|=√[4(α+1)α2−2α+5]2+[4(3−α)α2−2α+5]2=√2√α−2α+5=√2√(α−1)2+4∴当a =1时,|OM|的最大值为2√2.优解 由(a+1)x-(a-3)y-8=0得,(x+3y-8)+a (x-y )=0,∴l 1是过两直线x+3y-8=0和x-y =0的交点N (2,2)的直线,又过原点的直线l 2⊥l 1,垂足为M ,∴点M 在以ON 为直径的圆上,因此|OM|的最大值为|ON|=2√2.13．若实数x ,y 满足{α−α+1≥03α−α−3≤0α+2α−2≥0,则√(α+2)2+α的取值范围是 ;若z =a |α−2|+y 的最小值为1,则实数a 的值为 .【答案】[45,22√493493]23【解析】本题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域、表达式的取值范围的求解等,考查考生的数形结合思想、化归与转化思想及运算求解能力.作出不等式组{α−α+1≥03α−α−3≤0α+2α−2≥0所表示的可行域如图中阴影部分所示,易知x ≥0,∴α+2√(α+2)2+α2=1√1+α2(α+2)2,∴k =αα+2可以看成直线AP 的斜率,其中点A (-2,0),点P (x ,y )为可行域内的点,由图可知,322≤k ≤34,因此α+2√(α+2)2+α2∈[45,22√493493].由于x ≤2,∴z =a (2-x )+y ,根据线性规划的最优解的求法,当(x ,y )分别取顶点(0,1),(2,3),(87,37)时,z 取最小值1,可得a =0或a =23,经检验,a =0不满足题意,a =23满足题意,故a =23.14．已知长方形ABCD 中,AB =3,E ,F 分别是AB ,CD 上的点,且AE =DF =1,现沿EF 将长方形折成一个直二面角,如图所示,已知二面角A-BF-E 的大小为π6,则直线BD 与平面ABF 所成角的正弦值为 .【答案】√5134【解析】本题主要考查二面角、直线与平面所成角的求法等知识,考查了空间想象能力与基本运算能力.在解题中要注意将空间角转化为平面角的过程,还有一个重要结论:若三点A (a ,0,0),B (0,b ,0),C (0,0,c ),则平面ABC 的一个法向量为n =(bc ,ac ,ab ).通解 过E 作EG ⊥BF ,垂足为G ,连接AG ,由于AE ⊥平面BCFE ,∴AE ⊥BF ,∴BF ⊥平面AEG ,即∠AGE 就是二面角A-BF-E 的平面角,∴∠AGE =π6,而AE =1,∴EG =√3.利用直角三角形的性质得,EF =2√3.建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,1),B (2,0,0),F (0,2√3,0),D (0,2√3,1),∴αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2√3,1),平面ABF 的一个法向量为n =(√3,1,2√3),设直线BD 与平面ABF 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n ,αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√3√17×4=√5134.优解 求EF 同通解.在三棱锥D-ABF 中,αα−ααα=αα−ααα,且αα−ααα=13α△ααα·BE =2√33,记点D 到平面ABF 的距离为d ,则αα−ααα=13S △ABF ·d ,由通解知AG =2,BF =4,∴α△ααα=12BF ·AG =4,∴d =√32,又BD =√17,∴直线BD 与平面ABF 所成角的正弦值为ααα=√32√17=√5134.15．已知A 、B 、C 是同一条直线上的三点,且αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若M i (i =1,2)是平面内不与点A 、B 、C 共线的任意两点,且满足ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(i =1,2),当r ≥2时,|α1α2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤m|αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立,则m 的最小值为 . 【答案】43【解析】本题主要考查平面向量的运算以及不等式恒成立求参数的取值范围等知识,考查考生的基本运算能力及分析问题、解决问题的能力.不妨设|αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ,并以线段AB 的中点为坐标原点O ,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,如图所示.根据ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |得ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,即cos ∠AM i C =cos ∠BM i C ,∴∠AM i C =∠BM i C ,即M i C 是∠AM i B的平分线,根据角平分线的性质,得|ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ,设M i (x ,y ),∴√(α+α)2+α2√(α−α)2+α=r ,整理得x 2+y 2-2α(α2+1)α2−1x+a 2=0,即[x-α(α2+1)α2−1]2+y 2=(2ααα2−1)2,∴点M i 在一个圆上,当M 1M 2为圆的直径时,|α1α2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最大,即|α1α2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤2αα2−1(r ≥2),而2αα2−1=2α−1α≤43,∴|α1α2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为43,∴当|α1α2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤m|αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立时,m 的最小值为43.三、解答题：共5题16．已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,其面积为S ,且2√3S =a 2-(b-c )2.(1)求tan A ;(2)若a =1,求△ABC 周长的最大值.【答案】(1)∵2√3S =a 2-(b-c )2,∴√3bc sin A =a 2-b 2+2bc-c 2,又cos A =α2+α2−α22αα=2αα−√3ααsin α2αα,∴cos A =1-√32sin A ,即√32sin A =1-cos A ,∴√3sin α2cos α2=2sin 2α2,∴tan α2=√32,tan A =2tanα21−tan2α2=4√3.(2)由(1)知tan A =4√3,∴sin A =4√37,cos A =17.根据正弦定理知,αsin α=αsin α=αsin α=14√37=7√312,∴a+b+c =1+7√312sin B+7√312sin C =1+7√312sin B+7√312sin(A+B )=1+7√312sin B+7√312(4√37cos B+17sin B )=1+2√33sin B+cos B =1+√213sin(B+α),其中tan α=√32,α∈(0,π2),∴当B =π2-α时,△ABC 的周长取得最大值1+√213.【解析】本题考查解三角形中的正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,以及基本的运算能力.(1)先利用三角形的面积公式与余弦定理化简已知等式,再利用二倍角的正切公式求解即可;(2)利用正弦定理将所求转化为角的函数,利用三角恒等变换化简得出一角一函数的形式,再求解最大值即可. 【备注】将解三角形和三角恒等变换结合起来是当前高考考查三角部分的主要命题方向之一,问题的核心仍然是三角恒等变换,在解决这类试题时只要抓住问题的本质,把解三角形的问题归结到三角恒等变换上,灵活选用三角恒等变换的方法是不难解决的.17．如图,△CDE 所在的平面与正方形ABCD 所在的平面相交于CD ,且AE ⊥平面ABCD ,AB =2AE =2.(1)求证:平面ABCD ⊥平面ADE ;(2)设点F 是棱BC 上一点,若二面角A-DE-F 的余弦值为√66,试确定点F 在BC 上的位置.【答案】(1)∵AE ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , ∴AE ⊥CD ,又AD ⊥CD ,AE ∩AD =A , ∴CD ⊥平面ADE , 又CD ⊂平面ABCD , ∴平面ABCD ⊥平面ADE .(2)解法一 如图,过点F 作FG ∥AB 交AD 于G ,过F 作FH ⊥DE ,垂足为H ,连接GH ,则FG ⊥AD ,由(1)知,平面ABCD ⊥平面ADE ,∴FG ⊥平面ADE ,∴FG ⊥DE ,又FH ⊥DE ,∴DE ⊥平面FGH ,∴GH ⊥DE , ∴∠FHG 就是二面角A-DE-F 的平面角. 又二面角A-DE-F 的余弦值为√66,∴cos ∠FHG =√66,∴tan ∠FHG =√5,在Rt △FGH 中,FG =2,∴GH =2√55,根据相似三角形的性质得,αααα=αααα,∴DH =4√55,∴DG =2,即CF =2,因此F 与点B 重合.解法二 ∵AE ⊥平面ABCD , ∴如图,建立空间直角坐标系A-xyz , 则D (2,0,0),C (2,2,0),E (0,0,1),B (0,2,0), 设F (λ,2,0),λ∈[0,2],∴αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-1),αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ-2,2,0), 设平面FDE 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{α·αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2α−α=0α·αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(α−2)α+2α=0,∴取n =(2,2-λ,4)为平面FDE 的一个法向量,又平面ADE 的一个法向量为m =(0,1,0),∴cos<m ,n >=α·α|α||α|=√(2−α)2+20=√66,∴λ=0,故当点F 与B 重合时,二面角A-DE-F 的余弦值为√66.【解析】本题主要考查面面垂直的证明、与二面角有关的探究性问题等,考查考生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力.(1)由面面垂直的判定定理即可证明;(2)可用“作、证、求”三步计算求解,也可建立空间直角坐标系,用向量法求解.【备注】用几何法求二面角,一般先作出二面角的平面角,其解题过程必须有:作图→证二面角的平面角→利用解三角形知识计算平面角,简记为“作、证、算”;用向量法求二面角,一般在空间直角坐标系下求解,建立恰当的坐标系是关键.18．在平面直角坐标系xOy 中,已知M ,N ,P 是椭圆α218+α22=1上的三点,且αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若点D 是线段MN 的中点.(1)求动点D 的轨迹E 的方程;(2)若点A 是轨迹E 与y 轴正半轴的交点,过A 的两条互相垂直的直线AB ,AC 与轨迹E 交于B ,C 两点,求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),∵αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴P (35x 1+45x 2,35y 1+45y 2),而M 、N 、P 是椭圆α218+α22=1上的三点,∴α1218+α122=1,α2218+α222=1,(35α1+45α2) 218+(35α1+45α2) 22=1,即925(α1218+α122)+1625(α2218+α222)+1225(α1α29+y 1y 2)=1,∴α1α29+y 1y 2=0.设动点D (x ,y ),则α1+α22=x ,α1+α22=y , ∴{α12+α22+2α1α2=4α2α12+α22+2α1α2=4α2⇒{α1α2=2α2−12α12−12α22α1α2=2α2−12α12−12α22,∴19(2x 2-12α12−12α22)+(2y 2-12α12−12α22)=0, 即29x 2+2y 2-12(α129+α12)-12(α229+α22)=0, ∴α29+y 2=1.于是动点D 的轨迹E 的方程为α29+y 2=1.(2)根据(1)知A (0,1),由题意知,直线AB 的斜率存在且不为0,不妨设直线AB :y =kx+1(k >0),则AC 的方程为y =-1αx+1. 由{α=αα+1α29+α2=1得,(1+9k 2)x 2+18kx =0,∴B (−18α1+9α2,1−9α21+9α2),同理用-1代替k 得,C (18αα2+9,α2−9α2+9),从而|AB|=√1+α2|x A -x B |=√1+α218α1+9α2,|AC|=√1+1α218α9+α2,于是S △ABC =12|AB||AC|=162×α(1+α2)(1+9α2)(9+α2)=162×α+1α9(α2+1α2)+82.令t =k+1α≥2(当且仅当k =1时等号成立), 则S △ABC =162α9α2+64=1629α+64α≤278,当且仅当t =83>2时等号成立,故(S △ABC )max =278.【解析】本题主要考查轨迹方程的求解、直线与椭圆的位置关系、向量的基本运算等知识,同时考查解析几何的基本思想方法和考生综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力.(1)由已知及向量的基本运算进行求解;(2)设出直线方程,联立直线与椭圆方程,利用根与系数的关系和三角形的面积公式求解.【备注】解析几何大题,高考一般倾向于考椭圆的综合问题,主要考查椭圆的几何性质以及考生的基本运算能力和分析问题、解决问题的能力.高考对本题型的考查主要是根据椭圆的几何性质求解其标准方程;直线与椭圆的位置关系,通过解方程组研究直线与圆锥曲线的位置关系,求解弦长、面积、参数的取值(或取值范围),研究定点、定值、最值等问题.19．已知函数f(x)=ax2+bx+c,x∈R.(1)当a=1时,|f(x)|≤1对|x|≤1恒成立,求证:|1+c|≤1;(2)当c=1时,f(1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.①求实数a,b的值;②若g(x)与f(x)在(1,+∞)上具有相同的单调性,x1,x2,x3,x4∈(1,+∞),且x1<x2,x3=mx1+(1-m)x2,x4=(1-m)x1+mx2,其中m∈R,试比较|g(x4)-g(x3)|与|g(x2)-g(x1)|的大小. 【答案】(1)当a=1时,f(x)=x2+bx+c.∵|f(-1)|=|1-b+c|≤1,|f(1)|=|1+b+c|≤1,∴-1≤1-b+c≤1,-1≤1+b+c≤1,∴-2≤2+2c≤2,∴|2+2c|≤2,∴|1+c|≤1.(2)①∵f(1)=a+b+1=0,方程ax2+bx+1=0的判别式Δ=b2-4a≤0,∴(b+2)2≤0,∴b=-2,a=1.②∵f(x)=x2-2x+1,∴f(x)在(1,+∞)上是增函数,∴g(x)在(1,+∞)上是增函数,又x2>x1,∴g(x2)-g(x1)>0,∴|g(x2)-g(x1)|=g(x2)-g(x1).又x4-x3=(2m-1)(x2-x1),且x2-x1>0,时,x3=x4,∴g(x3)=g(x4),(i)当2m-1=0,即m=12∴|g(x2)-g(x1)|>|g(x4)-g(x3)|.时,x4>x3,∴g(x4)>g(x3),(ii)当2m-1>0,即m>12∴|g(x4)-g(x3)|-|g(x2)-g(x1)|=g(x4)-g(x3)-g(x2)+g(x1)=[g(x4)-g(x2)]+[g(x1)-g(x3)],又x4-x2=(m-1)(x2-x1),x3-x1=(1-m)(x2-x1),当m=1时,x4=x2,x3=x1,∴|g(x4)-g(x3)|=|g(x2)-g(x1)|.当m>1时,x4>x2,x3<x1,g(x4)-g(x2)>0,g(x1)-g(x3)>0,∴|g(x4)-g(x3)|>|g(x2)-g(x1)|.<m<1时,x4<x2,x3>x1,g(x4)-g(x2)<0,g(x1)-g(x3)<0,∴|g(x4)-g(x3)|<|g(x2)-g(x1)|.当12时,x4<x3,∴g(x4)-g(x3)<0,(iii)当2m-1<0,即m<12∴|g(x4)-g(x3)|-|g(x2)-g(x1)|=g(x3)-g(x4)-g(x2)+g(x1)=[g(x3)-g(x2)]+[g(x1)-g(x4)],又x3-x2=m(x1-x2),x1-x4=m(x1-x2),x1-x2<0,当m=0时,x3=x2,x4=x1,∴|g(x4)-g(x3)|=|g(x2)-g(x1)|.当m<0时,x3>x2,x4<x1,g(x3)-g(x2)>0,g(x1)-g(x4)>0,∴|g(x4)-g(x3)|>|g(x2)-g(x1)|.当0<m<1时,x3<x2,x4>x1,g(x3)-g(x2)<0,g(x1)-g(x4)<0,∴|g(x4)-g(x3)|<|g(x2)-g(x1)成立.2综上所述,当m=0或m=1时,|g(x4)-g(x3)|=|g(x2)-g(x1)|;当m<0或m>1时,|g(x4)-g(x3)|>|g(x2)-g(x1)|;当0<m <1时,|g (x 4)-g (x 3)|<|g (x 2)-g (x 1)|.【解析】本题主要考查二次函数的性质、不等式的性质等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力以及分类讨论思想.(1)利用二次函数与不等式的性质求解;(2)①利用方程ax 2+bx+1=0的判别式Δ≤0即可求解,②对m 分类讨论,再作差比较大小.【备注】2016年浙江省<考试说明>的例卷与前一年的不同就是将函数题与数列题对调了一下,因此本试卷将二次函数题放置于此.高考中,函数的零点,函数与不等式,利用函数的图象解决最值、不等式恒成立问题是函数题的考试热点,而绝对值函数以及由此变化出来的绝对值不等式等问题将肩负着考查分类讨论这一重要思想方法的重任,解决这类试题的关键是根据绝对值的定义去掉绝对值,在分类讨论过程中按照分类标准合理分类,做到不重不漏,20．已知函数f (x )=log 2√2αα−α,过点A (12,12)的直线与函数f (x )的图象交于B 、C 两点,且αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (1)求a 的值;(2)若S n =f (1α)+f (2α)+…+f (α−1α),n ≥2,n ∈N *,求S n ; (3)已知数列{a n }满足:1αα=(S n +1)(αα+1+1),其中n ∈N *,T n 为数列{a n }的前n 项和,若T n <λ(S n+1+1)对一切n ∈N *都成立,试求λ的取值范围.【答案】(1)∵αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴A 是BC 的中点.设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),由12(x 1+x 2)=12,得x 1+x 2=1,则x 1=1-x 2,x 2=1-x 1.而12=12(y 1+y 2)=12[f (x 1)+f (x 2)]=12(log 2√2α1α−α1+log 2√2α2α−α2)=12(1+log 2α1α−α1+log 2α2α−α2),∴log 2(α1α−α1·α2α−α2)=0,∴α1α−α1·α2α−α2=1,a 2-a (x 1+x 2)=0,∴a =1或a =0(不合题意,舍去).(2)因为当x 1+x 2=1时,f (x 1)+f (x 2)=y 1+y 2=1,又S n =f (1α)+f (2α)+…+f (α−1α), ∴S n =f (α−1α)+f (α−2α)+…+f (1α), 两式相加,得2S n =[f (1α)+f (α−1α)]+[f (2α)+f (α−2α)]+…+[f (α−1α)+f (1α)]==n-1, ∴S n =α−12(n ≥2,n ∈N *).(3)a n =1(αα+1)(αα+1+1)=4(α+1)(α+2)=4(1α+1−1α+2). T n =a 1+a 2+a 3+…+a n =4[(12−13)+(13−14)+…+(1+1−1+2)]=4(12−1+2)=2αα+2.由T n <λ(αα+1+1),得2αα+2<λ×α+22,∴λ>4αα2+4α+4=4α+4α+4, ∵n+4α≥4,当且仅当n =2时等号成立,∴4α+4α+4≤44+4=12. 因此λ>12,即λ的取值范围是(12,+∞).【解析】本题综合考查了函数与数列的综合问题以及数列求和等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)结合已知条件及对数运算求出a 的值;(2)由倒序相加法求和;(3)将不等式转化求解.【备注】高考中数列大题一般是围绕着等差数列、等比数列的基础知识及基本思想方法而命制的,因此首先要熟悉等差数列、等比数列的基础知识,如裂项相消法、叠加法、累乘法、错位相减法、倒序相加法等.同时数列题目更加重视函数、方程、不等式与数列的结合,因为数列就是一种特殊的函数,因此要利用好函数的单调性、最值、周期等性质以及函数的图象解题.在数列与不等式综合的题目中,特别重要的一个方法是“放缩法”,放缩过程中在兼顾函数单调性的基础上,要熟悉将数列放缩成几个特殊数列,如{n 2+1}、{n 2-1}、{1α(α+1)}、{1α(α−1)}等.。

新高考 离散型随机变量的期望与方差 专题训练一、单选题1．（2021·四川雅安·模拟预测（文））按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆前后继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作.该区设置有A ，B ，C 三个接种点位，每个市民需间隔28天左右完成两针的疫苗接种，每一针都可以随机选择去任何一个点位接种.则该区有接种意愿的人，在同一接种点位完成两针疫苗接种的概率是（ ）A ．15B ．13C ．12D ．23【答案】B 【分析】结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设事件A 为两针疫苗都在A 点位接种，则()111339P A =⨯=，同理在B ，C 点位接种的概率也为19，所以在同一接种点位完成两针疫苗接种的概率是11393P =⨯=.故选：B2．（2021·广东·石门中学模拟预测）在一个抛硬币的游戏里，抛出的前2个硬币都是正面朝上，则在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．38【答案】C 【分析】由于抛第3个硬币出现的结果与前2个硬币出现的结果没有关系，进而可得结果. 【详解】因为抛每一个硬币正面朝上的概率均为12，且抛第3个硬币出现的结果与前2个硬币出现的结果没有关系，所以在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为12. 故选：C.3．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 【答案】D 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误. 故选：D.4．（2019·浙江·高考真题）设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时 A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.5．（2018·全国·高考真题（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B 【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．6．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立【答案】B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙， 故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．（2017·浙江·高考真题）已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A 【详解】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确．8．（2021·全国·模拟预测）世界读书日全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日”，最初的创意来自于国际出版商协会.1995年正式确定每年4月23日为“世界图书与版权日”，设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界100多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2021年4月23日这一天，某高校中文系为了解本校学生每天的课外阅读情况，随机选取了200名学生进行调查，其中女生有120人．根据调查结果绘制了如下学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频数分布表．将日均课外阅读时间在[]30,60内的学生评价为“课外阅读时间合格”，已知样本中“课外阅读时间合格”的学生中有20男生．那么下列说法正确的是（）A．该校学生“课外阅读时间”的平均值约为26分钟B．按分层抽样的方法，从样本中“课外阅读时间不合格”的学生抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，则这2人恰好是一男一女的概率为5 9C．样本学生“课外阅读时间”的中位数为24分钟D．若该校有10000名学生，估计“课外阅读时间合格”的女生有3500人【答案】B【分析】利用组中值乘以频率最后作和，求得平均值，可以判断A 项是错误的；根据题中所给的条件，可以判断出合格的同学有80人，根据男生20人，得到女生60人，从而求得不合格男女生人数，利用分层抽样方法，结合概率公式求得B 项是正确的；利用中位数满足的条件，可以确定其为26，可得C 项错误；利用所占比例可求得其人数为3000，得到D 项错误，最终选出正确结果. 【详解】50.25150.1250.25350.3450.06550.0426x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≠，A 错；合格的同学有80人，其中男生20人，女生60人 不合格的同学有120人，其中男生60人，女生60人 在不合格的同学中分层抽样抽10人，则男生5人，女生5人10人中任取两人为一男一女的概率为1155210C C 5C 9P ==，B 对；设中位数为x ，则200.250.10.250.510x -++⨯= ∴2624x =≠，C 错课外阅读合格女生所占全体学生的概率60320010P == 30100003000100⨯=人，D 错． 故选：B ．二、多选题9．（2022·湖南株洲·一模）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A ．1A 、2A 为对立事件 B ．()1411P B A =C ．()310P B =D ．()()121P B A P B A +=【答案】AB 【分析】只需注意到事件B 是在事件1A 或2A 发生之后可解.【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A 正确；当1A 发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B 发生的概率为411，故B 正确；当2A 发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B 发生的概率为311，故D 不正确；14137()21121122P B =⨯+⨯=，故 C 不正确.故选：AB10．（2021·湖南·衡阳市八中模拟预测）下列说法正确的有（ ） A ．1~,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，且()2D X =，则6n =B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，则(1)0.5P ξ≤= 【答案】BD 【分析】A 利用二项分布的方差公式求参数即可；B 根据回归方程直接可判断x 、y 的增量间的影响；C 线性相关性强弱与|r |有关；D 根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】A ：由1~,3XB n ⎛⎫⎪⎝⎭，()12233D X n ==⨯⨯，则，所以9n =，故不正确；B ：若有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，()351355y x x =-+=--，故y 平均减少5个单位，正确；C ：线性相关系数|r |越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；D ：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，由于正态曲线关于1x =对称，则(1)0.5P ξ≤=，正确． 故选：BD ．11．（2021·湖南长沙·模拟预测）人民日报智慧媒体硏究院在2020智慧媒体髙峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI 算法的驱动下，无论是图文编辑､视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a 个､图片b 张()*,,1a b a b ∈>>N ，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，则下列判断中正确的是（ ） A ．()()()P A P B P C =+ B ．()()()P A P B P C =⋅ C ．()()()P A P BC P BC >+D ．()()P BC P BC < 【答案】BC 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由相互独立事件的概率的乘法计算公式，可得A 错误，B 正确；事件A 包含“视频甲未入选，图片乙入选”、“视频甲入选，图片乙未入选”、“视频甲､图片乙都未入选”三种情况，所以()()()()P A P BC P BC P BC =++，则()()()P A P BC P BC >+，所以C 正确；由题可知，111()1a P BC a b ab -⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭，111()1b P BC a b ab -⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭，因为a ，*b N ∈，1a b >>，所以11a b ab ab-->，即()()P BC P BC >，故D 错误. 故选:BC .12．（2021·全国·模拟预测）假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ，则（ ） A ．目标被击中的概率为3132B ．()314P X == C ．()2316E X =D ．()87256D X =【答案】BD 【分析】求随机变量X 的分布列，由期望，方差公式求其期望，方差，由此判断各选项对错. 【详解】由题意可得，目标没有被击中的概率为30311464C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以目标被击中的概率为16316464-=，A 错误.易知该射手每次射击命中失败的概率为14，X 的取值范围为{1，2，3}，所以()314P X ==，()13324416P X ==⨯=，()11134416P X ==⨯=，所以X 的分布列为：()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=，()2222132132118712316416161616256D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， B ，D 正确，C 错误， 故选：BD.三、填空题13．（2011·广东·一模（理））在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>.若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为_______________. 【答案】0.8 【分析】利用正态分布的对称性求解即可 【详解】因为正态分布的平均数为1， 所以(12)(01)0.4P P ξξ<<=<<=所以(02)(01)(12)0.8P P P ξξξ<<=<<+<<= 故答案为： 0.814．（2019·全国·高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．15．（2022·全国·模拟预测）2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.【答案】35【分析】利用条件概率公式即可得到结果. 【详解】设“甲同学被选出”记为事件A ，“乙同学被选出”记为事件B ，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率()2435C ()3()|C 5n AB P B A n A ===. 故答案为：3516．（2022·重庆·模拟预测）已知随机变量X 的概率分布为()()()1,2,3,,101aP X n n n n ===⋅⋅⋅+，则实数=a ______．【答案】1110【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意，()11()1P X n a n n ==-+， 由分布列的性质得1011111110()[(1)()()]1223101111n a P X n a ===-+-++-==∑，解得1110a =， 所以实数1110a =. 故答案为：1110。

【详解】由题意，数列 的通项公式为 ，且函数 的周期为 ，
所以
，
又因为 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】方法点拨：由函数 的周期为 ，根据三角函数的周期性和数列的表达式，求出 的值，结合周期性求解.
（2021湖北省鄂东南省级示范高中高三联考）
3.已知数列 满足 ，则 的最小值是（）
A. B. C.1D.2
（2）利用 求数列通项；
（3）对于 ，利用累加法求通项；
（4）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和.
（2021江苏省盐城市高三联考）
4.已知数列 满足 ， ， ， 是等比数列，则数列 的前8项和 （）
A.376B.382C.749D.766
【答案】C
【解析】
【分析】
利用累加法求出通项 ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解 即可
第16题客观题中的数列求和
一､原题呈现
【原题】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法､错位相减法､倒序相加法等来求和.
三､以例及类
（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）
一､单选题
（2021广东省东莞市高三5月质量检测）
1.在数列 中， 且 ，则它的前 项和 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】