苏教版数学高二- 选修2-2教案 《合情推理—归纳推理》(1)

高中数学合情推理归纳推理导学案苏教版选修2-2教学目标1、理解归纳推理的含义和步骤.2、能够认识归纳推理的基本模式，并把它们用于对问题的发现解决中去。

3、能够通过观察一些等式、不等式、数列等其它形式的问题，猜想、归纳出它们的变化规律。

重点与难点：（1）重点：利用归纳推理发现问题、提出猜想.。

（2）难点：如何去观察个别事实，发现规律，进行猜想教学过程（一）创设情景，章节引入1、通过袋中摸球的过程，总结探索活动是一个不断的提出猜想—验证猜想—再提出猜想—再验证猜想的过程，2、在一般的数学活动中，我们怎样进行推理？我们怎样验证（证明）结论？3、什么是推理？___________________________________________________（二）案例分析，引入概念案例一蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。

猜想：_______________________________案例二三角形的内角和是π，凸四边形的内角和是2π，凸五边形的内角和是3πL，猜想：_______________________________________归纳推理的定义:从________事实中推演出________的结论的推理方式称为归纳推理。

提炼归纳推理的思维过程:___________________→_________________→_____________________（三）案例赏析，文化熏陶哥德巴赫猜想：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（简称“1+1”）（四）例题教学、巩固概念例1：已知数列{}n a 的第一项11=a ，且nn n a a a +=+11...)3,2,1(=n ，试归纳出这个数列的通项公式。

例2：观察下列不等式：22+133+1< ，22+233+2< ，22+333+3< L L 请你猜想一个一般性的结论.例3：根据图中5个为图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有_______个点（五）课堂练习 1 观察下列等式，从中归纳出一般结论.猜想________________ _____2.已知数列 则数列的第K 项是________ __________________((1) (2) (3) (4) (5)22221=11+3=21+3+5=31+3+5+7=4L 223434561,,,,a a a a a a a a a ++++++L课后作业1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于2. 由321312>++，512521>++，5.075.03++73>，运用归纳推理，可猜测出的一般结论是 3. 从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是___________ 4.322+, 833+,1544+,2455+,……,由此你猜出第n 个数是 5.已知数列,.......14,......,19,15,11,7,3-n 则113是这个数列的第 项。

合情推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学重点，难点归纳推理和类比推理的特点及其创新性和不严谨性．教学过程我们生活中有很多谚语，特别是关于农耕的，例如“瑞雪兆丰年〞“邋遢冬至干净年〞，以及一些看云识天气的方法，这些都是我们的祖先根据多年的观察总结归纳出来的经验．这些经验就是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果农民观察天气，生物学家会去观察鸟类，心理学家会去观察行为和表情，比方说你们也会观察，总结出我上课写在黑板右侧的总是错的，或者我微微一笑，说明接下来就是一个具有挑战性的问题．当然一个对数学感兴趣的数学家就会去观察一些数字．一．问题情境数学教育家G．波利亚在其名著?数学与猜测?中对哥德巴赫猜测的推理过程进行了模拟演示：首先，波利亚说明：归纳法常常从观察开始．一个生物学家会观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论有兴趣的数学家会观察整数1,2,3,4,5,…的性质．这一段表达说明：归纳从观察开始，而观察要有归纳的动因，即要有感兴趣、需研究的问题，归纳推理研究问题、发现规律的手段．接着，波利亚说：假设你想要观察鸟的生活并有可能获得有益的结论的话，那么你就应当对鸟稍有熟悉，对鸟感兴趣，甚至你应当喜欢鸟．同样，假设你要考察数，你就应当对它们感兴趣，并且对它们颇为熟悉，你应当会区别偶数和奇数，你应当知道平方数1,4,9,14,25,…以及素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…．这里，波利亚想要传达的意思是：对你感兴趣的问题你还需要对相关的知识有一定的了解，也即应该从你对这一课题中已经熟悉的、掌握的内容开始你的探究．波利亚又说：即使只有这一点朴素的知识，你也可能观察到一些东西．比方说你可能会碰到这样几个关系：3＋7＝103＋17＝20213＋17＝30并注意到它们之间的类似之处．它会使你想到：3,7,13,和17都是奇素数，10,20210都是偶数…．这三个偶数都能够表示为两个奇素数之和，那么其他偶数又怎么样呢？上述过程说明了归纳推理的非常重要的特征：从特殊情形开始，并且所有的特殊情形都要具有类似之处，这个类似之处正是归纳发现的根底．波利亚接着说：那么其他偶数又怎么样呢？它们也有类似的性质吗？当然头一个等于两个奇素数之和偶数是6＝3＋3．看看超过6的数，我们发现8＝3＋510＝3＋7＝5＋512＝5＋714＝3＋11＝7＋716＝3＋13＝5＋11．这样下去总是对的吗？波利亚想告诉我们的是，对从几个特殊情形经过归纳推理得到的结果不能轻信，需要进一步验证．只有在较多的归纳检验证实的根底上得到的结论才能使我们更有信心．最后，波利亚说：无论如何，所看到的这些个别情况，至少可以启发我们提出一个一般性的命题：任何一个大于4的偶数都是两个奇素数的和．至此，实现了归纳推理的目标：一个一般性的结论〔猜测〕．当然，波利亚还进一步说明了证明的必要性．从波利亚的这个案例我们可以发现，对归纳推理的教学应该突出说明以下几点：1、要使学生认识到归纳推理不是盲目的、毫无目的的尝试，科学发现更不是纯属偶然的巧合，必须有一定的内因的驱动和信念的支撑．2、归纳推理的三个特点：从特殊开始的推理；由归纳推理得到的结论仅仅“似真〞；归纳推理是一种创造性的推理．3、归纳推理的思维规程大致为：【活动一】1．观察以下等式，从中可以得出怎样的一般规律？猜测：任何一个正整数都能表示为四个数的平方和．2．在数列中，，通过计算，试猜测这个数列的通项公式．猜测3．前个正整数的和为，前个正整数的平方和从表中发现，于是猜测．归纳推理要具备下述几个要素：1．多个特例综合分析；特例共性的发现：要存在某种相似性；共性的概括：猜测．归纳推理需要大量的原始数据，这是一个漫长的过程，在大数据时代，电脑已局部取代了这个过程，例如分析你的上网数据，分析你的喜好进行广告推送．但我们还有另外一种常用的推理方法．在高中数学学习中，指数函数与对数函数的类比，等差数列和等比数列的类比，平面几何和立体几何的类比，圆和椭圆和双曲线抛物线的类比，实数与虚数的类比等．〔G波利亚的类比〕类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加〔＋〕乘〔×〕加数、被加数乘数、被乘数和积等等，它们具有以下类似的性质：试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合． 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合． 圆 球 弦截面圆 直径 大圆 周长 外表积 圆面积球体积例如三角形的性质可以往几个方向类比：一般化为四边形，特殊化为正三角形，升维度为三棱锥，改平面为曲面等【活动二】1．选两个相关知识进行类比2．圆的方程是，那么过圆上一点的切线方程为．猜测新命题：1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：〔1〕找出两类事物之间的相似性或者一致性．〔2〕用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜测〕．【活动三】1．设,为实数，满足，，求的最大值．解：设，那么，即，，将，两式相加得．根据以上解答过程进行类比，尝试解决下题：设,为实数，满足，，求的最大值．〔2021年江苏高考第13题〕设，由此可以求出，，而2021江苏高考数学卷中的题目就表达出多种形式的类比思想。

合情推理－归纳推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学重点，难点了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学过程一．问题情境1．情境：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何一个推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推导得的命题．它告诉我们推理的知识是什么．下面是三个推理案例．（1）前提：当0n =时，21111n n -+=；当1n =时，21111n n -+=；当2n =时，21113n n -+=；当3n =时，21117n n -+=；当4n =时，21123n n -+=；当5n =时，21131n n -+=；11,11,13,17,23,31都是质数．结论：对于所有的自然数n ，211n n -+的值都是质数．2．问题：上述案例中的推理各有什么特点？二．学生活动从个别事实推演出一般性结论．三．建构数学1．归纳推理：从个别事实中推演出一般性结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

2．归纳推理的思维规程大致为：3．归纳推理的特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围.（2）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.（3）归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,“瑞雪兆丰年”等谚语一样，是 人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.四．数学运用1．例题：例1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇鳄鱼海龟蜥蜴都是爬行动物，所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的．例2．三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是360，凸五边形的内角和是540，……由此我们猜想：凸n 边形的内角和是(2)180n -⨯．例3．221222223,,331332333+++<<<+++，…… 由此我们猜想：(,,b b m a b m a a m+<+均是正实数)． 五．回顾小结：1．归纳推理的概念和特点；2．归纳推理的思维过程．。

2.1. 合情推理-苏教版选修2-2教案教学目标通过本课的学习，学生能够：1.了解合情推理的概念和作用；2.学习合情推理的步骤和方法；3.运用所学知识，对实际问题进行合情推理。

教学重点1.合情推理的概念和作用；2.合情推理的步骤和方法。

教学难点如何运用所学知识进行实际问题的合情推理。

教学过程1.导入•引言：人们在日常生活中常常需要根据有限的信息进行推理，但由于信息不全或不完全可靠，我们往往会做出错误的结论。

那么，怎样才能用有限的信息做出正确的推理呢？今天我们要学习的就是如何进行“合情推理”。

2.学习•合情推理的概念：通过对信息进行分析，找到其中的共性和规律，从而得出正确的结论，这种推理方式被称为“合情推理”。

•合情推理的作用：合情推理能够帮助我们快速和准确地得出结论，尤其在信息量大、信息不完全时，其作用更为显著。

•合情推理的步骤和方法：1.分析问题，确定推理的目的；2.收集信息，筛选有用的信息；3.评价信息的可靠性，确定信息是否存在偏差；4.将信息进行分类，并找出其中的共性和规律；5.根据共性和规律，进行准确的推理，得出正确的结论。

•对于信息偏差和不完全的情况，我们可以采用以下方法：1.收集更多的信息，以丰富推理的依据；2.采用多种途径获取信息，减少信息偏差的可能性；3.与他人讨论，借鉴他人的意见和想法；4.对可能存在问题的信息进行分析和评价，减少其对推理结论的影响。

3.实践•将所学知识运用到实际问题的解决中，引导学生进行合情推理。

总结反思1.本节课学习了什么内容？2.合情推理的作用是什么？3.合情推理的步骤和方法是什么？4.我们在进行合情推理时需要注意哪些问题？5.我们如何将所学知识运用到实际问题的解决中？常见问题解答1.什么情况下需要进行合情推理？合情推理适用于对信息有限或不完全可靠的情况下的推理，尤其在信息量大、信息不完全时，其作用更为显著。

2.如何评价信息的可靠性？评价信息的可靠性需要考虑信息来源的可靠性、信息的真实性、信息的全面性等因素，一般可以通过多种途径获取信息，并进行比较和分析，减少信息偏差的可能性。

推理案例赏析教学目标（1）了解推理方式中合情推理和演绎推理的区别和联系； （2）通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系．教学重点，难点合情推理和演绎推理的区别和联系． 教学过程 一．问题情境在前两节中，我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察．那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的？ 三．数学运用 1．例题：例1．正整数平方和公式的推导． 提出问题我们知道，前n 个正整数的和为11()123(1)2S n n n n =++++=+， …①那么，前n 个正整数的平方和22222()123?S n n =++++= …② 数学活动思路1（归纳的方案）如下表1-1所示，列举出2()S n 的前几项，希望从中归纳出一般的结论．(表1-1)头：1()S n 与2()S n 会不会有某种联系？如下表1-2所示，进一步列举出1()S n 的值，比较1()S n 与2()S n ，希望能有所发现．(表1-2)观察1()S n 与2()S n 的相应数据，并没有发现明显的联系．怎么办呢？尝试计算．终于在计算1()S n 和2()S n 的比时，发现“规律”了（表1-3）．从表1-3中发现21()21()3S n n S n +=，于是猜想2(1)(21)()6n n n S n ++=． …③公式（3）的正确性还需要证明．思考：上面的数学活动是由那些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？ 思路2（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和． （1）把正整数的平方表示出来，有222211,2(11)1211,==+=+⨯+2223(21)2=+=+22⨯1,+2224(31)3231,=+=+⨯+22(1)2(1)1n n n =-+-+，左右两边相加，得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n =-+-+，等号两边的2()S n 被削去了，所以无法从中求出2()S n 的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出2()S n ，却求出了1()S n 的表达式，即2121()(1)22n n n S n n n +-==+，它启示我们：既然能用上面方法求出1()S n ，那么我们也应该可以用类似的方法求出2()S n ．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下：33311,2(11)==+323332131311,3(21)232321,=+⨯+⨯+=+=+⨯+⨯+332(3)3(1)3(1)1n n n n =-+-+-+．左右两边分别相加，得323321()[()]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n =-+-+-+．由此知323212323()23(1)(21)()366n n n S n n n n n n n S n ++-++++===．思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？ 上面的案例说明：（1）数学发现活动时一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，互相为用，共同推动着发现活动的进程．（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判断”和证明，从而为调控探索活动提供依据．对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学家G 波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其它知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的 内容；在完成详细的证明之前，先得推测证明的思路．创造过程式一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明．但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的，” 五．回顾小结：1．合情推理和演绎推理的区别和联系； 2．体会这两种推理在数学活动中的作用．。

互动课堂疏导引导推理是由一个或几个已知判断作出一个新的判断的思维形式.由于数学中通常把判断称为命题,因而数学推理是由已知命题推出新的命题的思维形式.推理一般分为合情推理和演绎推理,合情推理包括归纳推理和类比推理.(1)归纳推理所谓归纳推理就是根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.是从特殊到一般的推理.归纳推理：根据一类事物的几个特殊对象具有某种属性F,而作出该类事物都具有属性F 的结论的推理.其推理形式是：∵A 1具有性质F,A 2具有性质F,…A n 具有性质F,.)(1F A A A A n 类事物都具有性质∴⊂⋃⋃ 归纳推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察,而缺乏对全体对象的考察,因而所得的结论具有偶然性,只能称之为归纳猜想,其正确与错误是需要严格论证的.案例1 观察下图，可以发现：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52由上述事实，你能得出怎样的结论？【探究】 将上述事实分别叙述如下：前2个奇数的和等于2的平方；前3个奇数的和等于3的平方；前4个奇数的和等于4的平方；前5个奇数的和等于5的平方；……由此猜想：前n(n ∈N +)个连续奇数的和等于n 的平方，即1+3+5+…+(2n-1)=n 2【规律总结】归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还有待于证明，归纳往往从观察开始，观察，实验，对有限地资料进行归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.(2)类比推理①类比推理是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似,而推出它们的某种其他属性也相同或相似的思维形式,也称为类比法,类比推理是以比较为基础的,在对两个或两类对象的属性进行比较时,若发现它们有较多的相同点或相似点,则可以把其中一个或一类对象的另外一种属性推移到另一个或另一类对象中去.由于类比法是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较,而作出有关另一个特殊属性的结论的,因此类比推理是从特殊到特殊的推理.②类比法的类型(ⅰ)简单类比 仅仅依据两个研究对象在形式或现象方面的某些相同或相似,而推出它们在其他某方面相同或相似的方法,称为简单类比.简单类比的结构模式为对象A ：具有属性a 1、a 2、…、a n 、m对象B ：具有属性a 1′、a 2′、…、a n ′.)'(':)',,','(2211相同或相似与具有属性对象相同或似与与与m m m B a a a a a a n n 由于简单类比侧重于外在形式和表面现象的比较,较少涉及事物的本质方面,因而其类比猜想的可靠性较差.(ⅱ)科学类比 为了提高类比猜想的可靠程度,一般来说需要增加作为推理基础的相同方面的属性,因为相同属性越多,推出属性相同的可能性就越大;同时要提高类比属性与推出属性的相关程度,二者联系愈密切,结论就愈可靠.于是,便出现了科学类比的方法.如果所研究的两个对象有较多相同或相似的属性,而且这些属性之间具有因果关系R,由此推出它们有其他相同或相似的属性及关系R′,这种方法就是科学类比.科学类比的结构模式为对象A ：具有属性a 1、a 2、…、a n ,m 和关系R对象B ：具有属性a 1′、a 2′、…、a n ′.'':)',,','(2211R m B a a a a a a n n 和关系具有对象相同或似与与与 与简单类比不同的是,科学类比重视因果关系.由于因果关系往往反映了事物的本质与内在联系,因而通过科学类比形成的猜想具有较大的可靠性.案例2 在等差数列{a n }中，若a 10=0，则有等式a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n (n ＜19,n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9=1，则有等式__________________成立.【探究】本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m ，n ，p,q ∈N *且m+n=p+q ，则a m +a n =a p +a q )；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m ，n ，p,q ∈N *且m+n=p+q ，则a m ·a n =a p ·a q ). 由此，猜测本题的答案为：b 1b 2…b n =b 1b 2…b 17-n (n ＜17,n ∈N *).事实上，对等差数列{a n }，如果a k =0，则a n+1+a 2k-1-n =a n+2+a 2k-2-n =…=a k +a k =0.所以有：a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a n +(a n+1+a n+2+…+a 2k-2-n +a 2k-1-n )(n ＜2k-1,n ∈N *).从而对等比数列{b n }，如果b k =1，则有等式b 1b 2…b n =b 1b 2…b 2k-1-n(n ＜2k-1,n ∈N *)成立.【规律总结】本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列{a n }而得到等比数列{b n }的新的一般性的结论. 活学巧用1.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线…… 由此猜想凸n 边形有几条对角线？解析：凸四边形有2条对角线;凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条……于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线.由此凸n 边形对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2)=21n(n-3)(n≥4,n ∈N *). 2.意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子.如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….这就是斐波那契数列，此数列中a 1=a 2=1，你能归纳出，当n≥3时a n 的递推关系式吗？ 解析：从第3项开始，逐项观察分析每项与其前面几项的关系易得：从第3项起，它的每一项等于它的前面两项之和,即a n =a n-1+a n-2(n≥3,n ∈N *).3.已知15441544,833833,322322=+=+=+，……，若b a b a 66=+(a 、b 均为实数)，请推测a=___________________，b=______________________.解析：由三个等式知：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测ba +6中： a=6,b=62-1=35,即a=6,b=35答案：6；354.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A.a n =3n-1B.a n =3nC.a n =3n -2nD.a n =3n-1+2n-3解析：a 1=1=30，a 2=3=31,a 3=9=32,a 4=27=33,……由此猜想a n =3n-1答案：A5.类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.解析：(1)两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律.即a+b=b+a; a +b =b +a .(a+b)+c=a+(b+c); (a+b)+c=a+(b+c).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算.a+x=0与a+x=0都有唯一解,x=-a与x=-a.(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即a+0=a.6.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求;(4)在平面直角坐标系中，以点(x0,y0)为圆心、r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2.解析：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球有面积与体积;(4)在空间直角坐标系中，以点(x0，y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.7.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面.这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是__________________________________________.解析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象.如图所示，与Rt△ABC相对应的，是四面体P DEF；与Rt△ABC的两条边交成1个直角相对应的，是四面体P DEF的3个面在一个顶点处构成3个直二面角；与Rt△ABC 的直角边边长a、b相对应的，是四面体P DEF的面△DEF，△PDF和△DPE的面积S1，S2和S3；与Rt△ABC的斜边边长c相对应的，是四面体P DEF的面△PEF的面积S.由此，我们可以类比Rt△ABC中的勾股定理，猜想出四面体P DEF四个面的面积之间的关系.如下图(1)(2)所示，我们知道，在Rt△ABC中，由勾股定理，得c2=a2+b2.(1) (2)于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体P DEF中，我们猜想S2=S21+S22+S23成立.。

江苏省泰兴中学高二数学讲义（）
归纳推理
【学习目标】
.了解合情推理的含义，体会合情推理基本的分析问题的方法，认识归纳推理的方法，并把它用于对问题的发现中去；
.归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多越具有代表性，推广的一般命题越可靠，它是发现问题的重要方法.
【预习导引】
.由数列，，，，…猜想该数列的第项可能是
.观察下列等式，并从中归纳出一般结论
（）²()
²
²
²…
…
结论结论
仿照上面的过程，观察²，²²，²²²，…得结论
³，³³，³³³，…得结论
.楼梯共有级，每步只能跨一级或两级，走完这级楼梯共有（）种不同的走法，则（），（），（）的关系是
【典例剖析】
例.（）在平面内观察：凸四边形有两条对角线，凸五边形有条对角线，凸六边形有条对角线，…，由此猜想凸边形有条对角线
（）
你能作出什么猜想？证明你的猜想
（）已知数列{}的前项和为，，
计算，并猜想表达式
例.计算()的值：
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
而都是质数，请作出归纳推理，并验证猜想是否正确.
例.设平面内有条直线，其中有且仅有条直线互相平行，任意条直线不过同一点，若用表示这条直线的交点个数，
（）求；
（）猜想的表达式，并尝试解释你的发现.。

苏教版选修1-2（2-2）新课程教学案合情推理—归纳推理●江苏省睢宁县菁华学校（221200） 卢清莲一、学习要求：1、通过生活中的实例和已学过的数学实例，了解推理、归纳推理的含义；2、能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的应用；3、通过已学知识感受和体会归纳推理的思维方法，进一步培养创新意识.二、互动课堂：（一）自学评价：1、识记：___________________________的思维过程称为推理.解：从一个或几个已知命题得出另一个新的命题.巧记方法：“推出道理”即“推理”.2、识记：根据一类事物的_________具有某种性质，推出这一类事物的_______都具有这种性质的推理叫归纳推理，简称归纳法.解：部分对象，所有对象；巧记方法：由“特殊”到“一般”的推理.3、已知一数列：2，4，8，16，gg g g g g ，则它的通项公式是____________. 解：2()n a n n N =∈.4、已知一数列：3g g g g g g ，则它的通项公式是____________.解：)n a n N =∈.5、归纳推理的一般步骤是：①___________;②___________;③_____________.解：观察、实验；概括、推广；猜想.6、思考：归纳推理的特点是什么？解：简要地说是：①特殊—一般;②猜测的或然性;③创造性.（二）新课引入：意大利数学家斐波那契（L g Fibonacci ）在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对成年兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就长成了成年兔子，如果不发生死亡，那么由一对成年兔子开始，一年后能有多少对成年兔子呢？在学生无法解决的情况下，提出怎样解决这个问题呢？先深入学习本节知识吧！（三）互动探究：1、见本节开头的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？ 解答：共同点：都是由前提与结论两部分组成.不同点：（1）是由特殊到一般的推理；（2）是由特殊到特殊的推理；（3）是由一般到特殊的推理.2、列举几个归纳推理的的例子，并检查当n =6，7，8，9，10，11时本节开头的推理案例中结论的正确性.由此你能得出什么结论？解答：（1）在一次数学测验中，甲、乙同学都考得及格，由此得出其他同学也考得及格；（2）凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，由此我们猜想：凸n 有1(3)2n n -条对角线；等等 其中（1）的结论不正确，（2）正确.当n =6时，211n n -+=41；当n =7时，211n n -+=53；当n =8时，211n n -+=67；当n =9时，211n n -+=83；当n =10时，211n n -+=101；当n =11时，211n n -+=121；121不是质数，从而得出结论：对于小于11的自然数n ，211n n -+的值都是质数.（四）经典范例：例1、已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）（1）113(1)1144f a =-=-= 1213824(2)(1)(1)(1)(1)94936f a a f =--=⋅-=⋅== 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168f a a a f =---=⋅-=⋅= 由此猜想，2()2(1)n f n n +=+ 解题回顾：虽然由归纳推理所得的结论未必正确，但它所具有的特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于数学发现，科学家的发明是十分有用的.（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性的命题（猜想）；是解决上述问题的根据.例2、解答新课引入问题：解：从具体问题出发，经过观察、分析再进行归纳.本题提出的问题就需要我们去观察和分析，我们依次给出各个月的成年兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，g g g ，这就是斐波那契数列，此数列中，11a =，你能归纳出，当3n ≥时，n a 的递推关系吗？从第3项开始，逐项观察分析每项与其前面几项的关系易得，从第3项起，它的每一项等于它前面两项之和，即*12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈.（五）追踪训练：1、设1111122334(1)n s n n =++++⨯⨯⨯+g g g ，写出1s =_____,2s =_____,3s =_____,4s =_____,归纳推理出n s =______________. 解：12；23；34；45；1n n +. 2、已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则33a =（A ）A. 3B. -3C. 6D. -6解：3213a a a =-=，4323a a a =-=-，5436a a a =-=-，6543a a a =-=-，7653a a a =-=，8766a a a =-=，故{}n a 是以6项为一个周期的数列，所以333a a =.3、观察：1(1201)12⨯-⨯=，1(2312)22⨯-⨯=，1(3423)32⨯-⨯=，1(4534)42⨯-⨯=，g g g g g g .你能做出什么猜想？ 解： []1(1)(2)(1)12n n n n n ++-+=+. 三、拓展延伸：通过计算215，225，235，245，g g g ，你能很快算出21995吗？分析：2152251001(11)25==⨯⨯++；2256251002(21)25==⨯⨯++；24520251004(41)25==⨯⨯++；由此，归纳出21995100199(1991)25=⨯⨯++.解题回顾：首先考察得出个位上的数字为5的自然数的平方数的末两们是25，只需要探索其百们以上的数的规律，并归纳，猜想出结论.四、总结回顾：1.归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理.通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.2.归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质.2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.五、课外练习与检测1、下面的几个推理是归纳推理的是（C ）①教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；②由直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和是180o ，归纳出所有三角形的内角和都是180o ；③由圆的性质得出球的有关性质.A. ①②③B. ②③C. ①②D. ①③2、平面上有(3)k k ≥条直线，其中1k -条直线互相平行，剩下一条与它们不平行，则这k 条直线将平面分成区域的个数为（C ）.A. kB. k +2C. 2kD. 2k +23、设2222121234(1)n n s n -=-+-++-gg g ，通过计算1s ，2s ，3s ，4s ，g g g 可以猜测n s 等于（D ） A. (1)2n n + B. (1)2n n +- C. (1)(1)2n n n +- D.1(1)(1)2n n n -+- 4、设等差数列{}n a 的公差是d ，那么21a a d =+；3212a a d a d =+=+；4313a a d a d =+=+；g g g g g g由此猜想等差数列的通项公式是n a =________.解：观察d 的系数与序号的关系可得： 1(1)n a a n d =+-.5、设0()sin f x x =，/10()()f x f x =，/21()()f x f x =，g g g ，/1()()n n f x f x +=.n N ∈，则2005()f x =__________________________.解：//10()()sin cos f x f x x x ===；//21()()cos sin f x f x x x ===-；//32()()(sin )cos f x f x x x ==-=-；//43()()(cos )sin f x f x x x==-=；//541()()sin cos ()f x f x x x f x ====；62()()f x f x =，g g g ，44()()n f x f x +=，故可知()n f x 是以4为周期的函数.所在20051()()cos f x f x x ==.6、设2()41f n n n =++，*n N ∈，计算(1)f ，(2)f ，(3)f ，(4)f ，g g g ，(10)f 的值，同时作出归纳推理，并验证猜想是否正确.解：2(1)114143f =++=，2(2)224147f =++=，2(3)334153f =++=，2(4)444161f =++=，2(5)554171f =++=，2(6)664183f =++=，2(7)774197f =++=，2(8)8841113f =++=，2(9)9941131f =++=，2(10)101041151f =++=.因为43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数.所以归纳为：当n 取任何非负整数时，2()41f n n n =++都是质数.因为2(40)4040414141f =++=⨯，所以(40)f 是合数.因此上面的归纳是错误的.。

第二章 合情推理与演绎推理§2.1.1.1合情推理(第一课时)一、教学目标：1、知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

2、过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

3、情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

二、教学重点：归纳推理及方法的总结。

三、教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

四、教学过程：（一）探入与展示：1、推理 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理. 推理一般由两部分组成：前提和结论2、（二）探读与思考引入1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.引入 2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.引入3：1．由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．2．由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°，猜想：凸n 边形内角和为(n －2)·180°.1、归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。

2.1.3 推理案例赏析 教案教学目标1、了解合情推理和演绎推理 的含义。

2、能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。

3、了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重难点重点 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别难点 了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。

教学过程 一、问题情境案例1、我们知道，前n 个正整数的和为S (n)=1+2+3+…….+n=12n(n+i)，那么，前n 个正整数的平方和、立方和呢？1S （n ）＝2222........321n ++++?案例2、棱台体积公式的推导。

二、学生活动思路1（归纳的方案）参照课本 第36页 －37页 三表 猜想1S （n ）＝(1)(21)6n n n ++思路2 （演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。

把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页 。

左右两边分别相加，等号两边的2S （n ）被消去了，所以无法从中求出 2S （n ）的值，尝试失败了。

1()()s n s n使用了那些推理？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？三、建构数学棱台体积公式的推导。

一、问题的计算与证明 退到平面, 进到空间； 二、空间性质的探索 退到平面 , 进到空间 .1、确定类比对象----- 梯形；2、对类比对象的进一步分析；梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形而得到的，棱台可以认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥而得到的。

3、通过类比推理,建立猜想.1(),(1)2S h a b =+梯形 猜想：1(),(2)2V h S S =+下棱台上 4、验证猜想. 当 S 上 = S 下 时, 当 S 上 = 0 时, 5、调整猜想.01(),(3)3V h S S S =++下棱台上四、数学运用例1、一条直线与△ABC 的边AB , AC 分别相交于E , F , 则AEFABCS AE AFS AB AC∆∆⋅⋅=。

2019-2020年高中数学归纳推理教案苏教版选修2-2一、教学目标知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。

（2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。

过程与方法：（1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极性；（2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性；（3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。

情感态度与价值观：正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。

三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。

四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。

五、教学过程：情景一：歌德巴赫猜想问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？____________________________________________问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗？____________________________________________问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？1742年，歌德巴赫在教学中发现：4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，18=5+13=7+11，20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，……由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。

于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。

欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

2019-2020学年苏教版选修2-2 合情推理与演绎推理（一）教案【教学重点】：（1）体会并实践归纳推理的探索过程（2）归纳推理的局限【教学难点】：引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论【练习与测试】： （基础题）1）数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．272）从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

3)定义,,,A B B C C D D A ****的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是（ ）.4 A.,B D A D ** B.,B D A C ** C.,B C A D ** D.,C D A D ** 4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________． 5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第n 件首饰所用珠宝总数为_________________颗.6)已知n n a n na 11+=+（n=1.2. …）11=a 试归纳这个数列的通项公式答案：1）B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -==2）2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 注意左边共有21n -项 3）B4）（n-2）3605） 91,1+5+9+…4n+1=2n 2+3n+1 6） a 1=1,a 2=21 a 3=31… a n =n1（中等题）1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ） A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3)设平面内有n 条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n 条直线交点的个数，则 f （4 ）=( ) A.3 B.4 C.5 D.64)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测123...)1()1(...321++++-++-++++=n n n a n 的结果. 答案：1）1+2+3+4+…+(n+1)=)2)(1(21++n n 2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63 3）C4）依次为，1，22，32，42，所以a n =n 2（难题）1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

2.1.1 合情推理（第1课时）归纳推理学案（苏教版高中数学选修2-2）21合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理211合情推理合情推理第第1课时课时归纳推理归纳推理学习目标1.了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发现中的作用知识点一推理1推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理2推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么知识点二归纳推理思考1铜.铁.铝.金.银等金属都能导电，猜想一切金属都能导电2统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体以上属于什么推理答案属于归纳推理符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理梳理1归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理2归纳推理的思维过程大致如图实验.观察概括.推广猜测一般性结论3归纳推理的特点归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑推理和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题1由个别到一般的推理为归纳推理2归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察或实验的基础上的，结论一定正确类型一数列中的归纳推理例1已知fxx1x，设f1xfx，fnxfn1fn1xn1，且nN*，则f3x的表达式为________，猜想fnxnN*的表达式为________答案f3xx14xfnxx12n1x解析fxx1x，f1xx1x.又fnxfn1fn1x，f2xf1f1xx1x1x1xx12x，f3xf2f2xx12x12x12xx14x，f4xf3f3xx14x14x14xx18x，f5xf4f4xx18x18x18xx116x，根据前几项可以猜想fnxx12n1x.引申探究在本例中，若把“fnxfn1fn1x”改为“fnxffn1x”，其他条件不变，试猜想fnxnN*的表达式解fxx1x，f1xx1x.又fnxffn1x，f2xff1xx1x1x1xx12x，f3xff2xx12x1x12xx13x，f4xff3xx13x1x13xx14x.因此，可以猜想fnxx1nx.反思与感悟在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和1通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和2根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解3运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式跟踪训练1已知数列an的前n项和为Sn，a123，且Sn1Sn2ann2，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解当n1时，S1a123；当n2时，1S22S143，所以S234；当n3时，1S32S254，所以S345；当n4时，1S42S365，所以S456.猜想Snn1n2，nN*.类型二等式与不等式中的归纳推理例21观察下列等式11212，11213141314，11213141516141516，，据此规律，第n个等式可为_______________________________________________答案112131412n112n1n11n212n解析等式左边的特征第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为112131412n112n；等式右边的特征第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个等式右边有n 项，且由前几个等式的规律不难发现，第n个等式右边应为1n11n212n.2观察下列式子112232，112213253，112213214274，，猜想第n个不等式为_________________________________________________________ _______________答案11221321n122n1n1解析第1个不等式1111221111，第2个不等式1122121222121，第3个不等式1122132131223131，，故猜想第n个不等式11221321421n121，等式x1x2；x22x3；x33x4；，可以推广为________________答案xnnxn1解析不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，，右边的数是2,3,4，，利用此规律观察所给不等式，都是写成xnnxn1的形式，从而归纳出一般性结论xnnxn1.2观察下列等式，并从中归纳出一般结论112，23432，3456752，4567891072，567891011121392，解等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n1，等号的右端是项数的平方所以猜想结论nn13n22n12nN*类型三图形中的归纳推理例3如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来n1,2,3，，则第n个图形中顶点的个数为________答案n2n3解析由已知中的图形我们可以得到当n1时，顶点共有1234个，当n2时，顶点共有2045个，当n3时，顶点共有3056个，当n4时，顶点共有4267个，，则第n个图形共有顶点n2n3个反思与感悟图形中归纳推理的特点及思路1从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系2从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化跟踪训练3黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________答案5n1解析观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6n155n1.1观察下列各式ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，，则a10b10________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对组中的应用答案123解析利用归纳法ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和2按照图1.图2.图3的规律，第10个图中圆点的个数为________答案40解析图1中的点数为414，图2中的点数为824，图3中的点数为1234，，所以图10中的点数为10440.3已知a11，a213，a316，a4110，则数列an的一个通项公式an________.答案2nn1nN*解析a1212，a2223，a3234，a4245，则an2nn1nN*4观察x22x，x44x3，cosxsinx，由归纳推理可得若定义在R上的函数fx满足fxfx，记gx为fx的导函数，则gx________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对组中的应用答案gx解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当fx是偶函数时，其导函数应为奇函数，故gxgx5将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律，求第n行n3从左向右数第3个数解前n1行共有正整数12n1个，即n2n2个，因此第n行第3个数是全体正整数中第n2n23个，即为n2n62nN*1归纳推理的一般步骤1通过观察某类事物的个别情况，发现某些相同性质2对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论3猜想这个结论对该类事物都成立2归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明。

合情推理1．教学目标：(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

(3)情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

2．教学重点：归纳推理及方法的总结。

3．教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

6．教学过程：学生探究过程：①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。

链接:简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

●归纳推理的一般步骤：师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。

例3 ,333232,232232,131232++<++<++< 探究：上述结论都成立吗？ 强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”巩固练习①探索：先让学生独立进行思考。

2.1.合情推理-苏教版选修2-2教案一、教学目标1.了解合情推理的基本概念和特点。

2.学习合情推理的方法和步骤。

3.通过实例分析，了解合情推理的应用情景。

4.提高学生的综合思维能力和应用能力。

二、教学重点1.合情推理的基本概念和特点。

2.合情推理的方法和步骤。

三、教学难点1.分析合情推理的应用情景。

2.综合运用合情推理方法解决实际问题。

四、教学过程A.引入1.引导学生回忆前几节课所学的逻辑推理方法，以及其缺点和应用情景。

2.引出苏教版选修2-2中的“合情推理”，并让学生思考其含义和在实际生活中的应用。

B.讲解1.给出合情推理的基本概念和特点，并进行逐一解释，如以下内容：•合情推理是根据人类经验和潜在思维隐含假设，推理出一个可能的结论。

•合情推理依赖于人类经验和潜在思维隐含假设，具有一定的不确定性。

•合情推理需要建立在准确获取信息的基础上，否则可能出现错误。

2.讲解合情推理的方法和步骤，并给出示例来进行解释，如以下内容：•识别问题：首先需要识别问题，明确要对什么进行推理。

•获取信息：其次需要从多个来源获取相关信息，并分析信息的可靠性和完整性。

•分析信息：对信息进行分类、归纳和比较，从中寻找共性和规律。

•提出假设：在分析信息的基础上，提出一个可能的假设或结论。

•归纳验证：将提出的假设或结论与实际情况进行比较，验证其准确性。

C.案例分析1.运用合情推理方法，分析下面的案例，并让学生参与讨论：小明家的猫叫“喵喵”，有一天猫不见了。

小明家旁边有一家屠宰场，于是小明就怀疑猫是被屠宰场的人偷走了。

请问，这个推断正确吗？2.提醒学生注意信息的可靠性和完整性，并让学生按照合情推理的步骤进行分析。

D.巩固练习1.让学生自行找到一个实际问题，运用合情推理方法进行分析，并给出结论和相关依据。

2.分享并讨论各自的实际问题，进一步巩固掌握合情推理的方法和步骤。

五、教学反思1.本节课通过引入实际案例，让学生更深入理解合情推理的概念和应用情景。

合情推理－演绎推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．教学重点，难点掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．教学过程一．问题情境1．问题：在数学学习中，除了合情推理，我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法，例如，“铜能导电”的结论就是怎样得到的？二．学生活动“铜能导电”的结论就是这样得到的：所有的金属都能导电铜是金属所以，铜能导电三．建构数学再例如，在学习整数时，有下面的推理：个位数字是0或5的正整数必是5的倍数，2375的个位数是5所以，2375是5的倍数．像这样的推理通常称为演绎推理，三段论式推理是演绎推理的主要形式，常用的格式为：-是)PM P M(M-是)S M S(S P S-是)P(说明：在演绎推理过程中，M起着联系S和P的中介作用，因而M也称为中项．三段论中包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，这两个判断结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题――结论．为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．如前面的两个推理，可以分别写成“因为铜是金属，所以铜能导电”，“因为2375的个位数字是5，所以2375是5的倍数”．对于复杂的论证，常常采用一连串的三段论，并把三段论的结论作为下一个三段论的前提．四．数学运用1．例题：例1．已知lg 2m =，计算lg 0.8．解：（１）lg lg n a n a =(0)a >， （大前提）3lg8lg 2= （小前提） 所以lg83lg 2=． （结 论）（2）lglg lg a a b b=-(0,0)a b >>， （大前提）8lg 0.8lg 10=， （小前提） 所以lg0.8lg81=-3lg 21=-31m =-. （结 论）例2．已知,,a b m 均为正实数，b a <，求证：b b m a a m+<+． 证明：（１）不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，（大前提）b a <，0m >， （小前提）所以mb ma <． （结 论）（2）不等式两边加上同一个数，不等式仍成立， （大前提）mb ma <，ab ab =， （小前提）所以ab mb ab ma +<+，即()()b a m a b m +<+． （结 论）（3）不等式两边除以同一个数，不等式仍成立， （大前提）()()b a m a b m +<+，()0a a m +>， （小前提） 所以()()()()b a m a b m a a m a a m ++<++， 即b b m a a m +<+． （结 论） 例2的证明通常简略地表述为：()() ()0b a m a b m a a m ⇒+<+⎫⎬+>⎭()()()()b a m a b m a a m a a m ++⇒<++b b m a a m +⇒<+． 说明：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义，公理，定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程．演绎推理具有如下特点：（1）演绎的前提是一般性原理，演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别，特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．只要前提是事实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的，因而演绎推理是数学中严格证明的工具．（3）演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰，令人信服的的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．五．回顾小结：1．演绎推理的概念；2．演绎推理基本模式和特点．。

第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理第1课时归纳推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解合情推理的含义，认识归纳推理的基本方法与步骤，能利用归纳推理进行简单的推理应用．2．过程与方法通过学生的积极参与，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义．让学生通过欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会如何利用归纳去猜测和发现一些新的结论，培养学生归纳推理的思维方式．3．情感、态度与价值观正确认识合情推理在数学中的重要作用，并体会归纳推理在日常活动和科学发现中的作用．学生通过主动探究、合作学习，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，养成认真观察事物、发现探索新知识的良好思维品质．●重点难点重点：归纳推理的含义与特点，能进行简单的归纳推理．难点：运用归纳推理得到一般性的结论，做出猜想．归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养，突出体现数学的人文价值和实际应用价值，因此，在高中数学的模块中，归纳推理就显得格外的举足轻重了．为了突破难点，引导学生合作交流，发现特殊实例的共性，抓住本质特征，作出合理猜想．(教师用书独具)●教学建议关于归纳推理的教学，建议以学生熟悉的实例为载体，创设问题情境．例如“猜职业”、“哥德巴赫猜想”等引导学生进行观察、分析、归纳推理，并借助例题具体说明在数学发现的过程中归纳猜想的作用、采取合作交流，培养学生合作学习的意识与数学思维能力．在课堂上渗透数学文化教育，让学生通过数学文化的学习，了解数学发展中起重大作用的历史事件和人物，激发学习数学的兴趣．●教学流程创设问题情境，引导学生得出归纳推理的意义和特点.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握数、式中归纳推理的一般规律.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握图形中归纳推理的特点与思路.⇒学习例3及其变式训练，求解简单实际问题的归纳推理并体会应用的广泛性.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.课标解读1.了解归纳推理的含义，能用归纳推理进行简单的推理(重点、难点)．2．体会归纳推理在数学发现中的作用，归纳推理结论的真假(易错点).归纳推理【问题导思】1．(1)若a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝2，…你能猜想出数列{a n}的通项公式吗？(2)直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】(1)a n＝n(n∈N*)；(2)三角形的内角和都是180°.2．在解决上述问题时，经历了怎样的思维过程？【提示】列出部分→归纳现象→得出结论．1．推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．2．归纳推理(1)归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论.3．归纳推理的特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．代数中有关数、式的归纳推理已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列通项公式a n，并证明结论的正确性．【思路探究】由a1＝1求a2的值，进而求a3，a4→分析a1，a2，a3，a4的特征→猜想a n→数学证明【自主解答】(1)由a1＝1，且a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)，令n＝1，得a2＝3，令n＝2，n＝3，进而得a3＝7，a4＝15，(2)由a1＝21－1，a2＝22－1，a3＝23－1，a4＝24－1.可归纳猜想，得a n＝2n－1(n∈N*)．证明如下：由a n＋1＝2a n＋1，得a n＋1＋1＝2(a n＋1)．∴{a n＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴a n＋1＝2·2n－1＝2n，因此a n＝2n－1.1．在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n 项和公式；要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数(序号n)之间的关系，这是解题的关键．2．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些共同的特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．已知：1＞12；1＋12＋13＞1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32；1＋12＋13＋…＋115＞2；…根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论． 【解】 1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…猜想不等式的左边共有2n －1项，最后一项的分母为2n－1，右边为n 2，由此可得一般性结论．1＋12＋13＋…＋12n －1＞ n 2(n∈N *)．几何图形、图表中的归纳推理数一数图2－1－1中的凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E ，然后用归纳推理得出它们之间的关系．图2－1－1【思路探究】 先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数，观察它们之间有什么关系，再归纳出一般性的结论．【自主解答】正方体：F＝6 V＝8 E＝12；三棱柱：F＝5 V＝6 E＝9；五棱柱：F＝7 V＝10 E＝15；四棱锥：F＝5 V＝5 E＝8；两个同底面的四棱锥组成的组合体：F＝8 V＝6 E＝12；通过以上观察发现F，V，E满足F＋V－E＝2.所以归纳得：在凸多面体中，面数F、顶点数V和棱数E满足以下关系：F＋V－E＝2.1．在几何中随点、线、面等元素的增加，探究点数、线数、面数等满足的关系及相应的线段、交点、区域部分图形等的增加情况常用归纳推理解决，通过比较，寻找规律是解决该类问题的关键．2．应用归纳推理，注意两点：(1)从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．有两种花色的正六边形地面砖，按如图2－1－2所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有条纹的正六边形的个数是多少？图2－1－2【解】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 …个数 6 11 16 …由上表可以看出有条纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有条纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)．故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.实际问题中的归纳推理蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形．如图2－1－3所示，为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．图2－1－3试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式．(不要求证明) 【思路探究】 根据前三个图形，找出正六边形增加的规律．【自主解答】 由图形可知：每个图形最外面有6×(n－1)个正六边形：f(4)＝f(3)＋18＝19＋18＝37，f(5)＝f(4)＋24＝37＋24＝61， 因为f(2)－f(1)＝7－1＝6， f(3)－f(2)＝19－7＝2×6， f(4)－f(3)＝37－19＝3×6， f(5)－f(4)＝61－37＝4×6， … …所以当n≥2时，有f(n)－f(n －1)＝6(n －1)． 以上各式相加，当n≥2时，f(n)－f(1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n －1)]， ∴f(n)＝f(1)＋6×（n －1）n 2＝3n 2－3n ＋1.1．在本例中，应注意两点：(1)图形的特点，每个图形从宏观上看均为一大正六边形，每一边上均有n 个小正六边形，(2)式的变化，通过式子，寻求f(n)与f(n －1)的关系，转化成数列问题．2．利用归纳推理，可以使我们对许多实际问题总结出一般性的结论，掌握事物的本质规律．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…这就是斐波那契数列．此数列中，a1＝a2＝1，当n≥3时，请归纳出a n与a n－1间的递推关系式．【解】因为2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3，8＝3＋5，…逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n ∈N*)．归纳不完整致误对任意的正整数n，猜想2n与n2的大小关系．【错解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32.归纳猜想：当n＝1时，2n＞n2；当n≥2时，2n≤n2.【错因分析】对于2n与n2，n仅取1，2，3来判断它们的大小关系，这不具有代表性，忽略了对n＞3时情形的归纳．【防范措施】进行归纳推理时，防止归纳的局限性，可多考查一些特殊情形，从中寻找规律，发现一般性的结论．【正解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52；当n＝6时，26＞62.归纳猜想：当n＝1或n≥5时，2n＞n2；当n＝2或4时，2n＝n2；当n＝3时，2n＜n2.1．归纳推理是从个别事实中推演出一般性结论的推理方法，应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，为学习研究提供方向．2．我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．1．由数列1，10，100，1 000，…，猜测该数列的第n项可能是________．【解析】该数列可整理为100，101，102，103….【答案】10n－12．如图2－1－4所示的是由火柴杆拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成． 通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．图2－1－4【解析】 设a n 表示第n 个图形中的火柴杆数，易知a 1＝4，a 2＝4＋3＝7，a 3＝7＋3＝10，a 4＝10＋3＝13….∴a n ＝3n ＋1. 【答案】 13 3n ＋13．(2013·陕西高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，照此规律，第n 个等式可为________ 【解析】 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2.【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）24．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1，2，3，…)，试用归纳法归纳出这个数列的通项公式．【解】 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；a 3＝a 21＋a 2＝13；a 4＝a 31＋a 3＝14.归纳可得，数列{a n }的前四项都等于相应序号的倒数，由此可以猜测，这个数列的通项公式为a n ＝1n(n ＝1，2，3，…)．一、填空题图2－1－51．如图2－1－5所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是________色．【解析】通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，所以36＝35＋1＝5×7＋1.得第36颗珠子一定为白色的．【答案】白2．(2013·无锡高二检测)如图2－1－6所示，第n个图形中，小正六边形的个数为________．图2－1－6【解析】a1＝7，a2＝7＋5＝12，a3＝12＋5＝17，∴a n＝7＋5(n－1)＝5n＋2.【答案】5n＋23．正整数按下表的规律排列，则上起第2 005行，左起第2 006列的数应为________．【解析】第2 006行的第一个数为2 0062，第2 005行的第2 006列的数是以2 0062为首项，－1为公差的等差数列的第2 007项，∴该数为2 0062＋(－1)×2 006＝2 005×2 006.【答案】 2 005×2 0064．(2012·江西高考改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________．【解析】从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】1235．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于________．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111【解析】等号右边应为n＋1个“1”．【答案】 1 111 1116．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形图2－1－7那么下列图形中，图2－1－8可以表示A*D，A*C的分别是________．【解析】由已知图形，抓共性不难总结出：A“|”，B“□”(大)，C“—”，D“□”(小)．故A*D为(2)，A*C为(4)．【答案】(2)，(4)7．经计算发现下列不等式：2＋18＜210， 4.5＋15.5＜210，3＋2＋17－2＜210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________．【解析】 ∵2＋182＝10，4.5＋15.52＝10，3＋2＋17－22＝10， ∴不难得出，若a ＋b ＝20，a ＋b ＜210. 【答案】 若a ＋b ＝20，则a ＋b ＜2108．(2013·镇江高二检测)设函数f(x)＝x x ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝xx ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________．【解析】 函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.分母中常数项依次为2，4，8，16，…，其通项为2n. 又函数中，分子都是x .∴当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x（2n－1）x ＋2n.【答案】x（2n－1）x ＋2n二、解答题9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中的不等式，为什么？【解】 不等式左边和式个数分别为3，4，5，…时，不等式右边的数依次为9π，162π，253π，…，其分子依次为32，42，52，…，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，…. 故当不等式左边和式个数为n 个时，归纳猜想右边应为n 2（n －2）π(n≥3，n ∈N *)，故所求为1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2（n －2）π(n ≥3，n ∈N *)．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n∈N *)．11．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 求m －n ＋p 的值．【解】 观察等式可知，cos α的最高次项的系数：2，8，32，128构成了公式比为4的等式数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得 1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350.(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得－12＝m(12)10－1 280×(12)8＋1 120×(12)6＋n ×(12)4＋p×(12)2－1，即n ＋4p ＝－200.(2) 联立(1)(2)， 得n ＝－400，p ＝50.故m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962.(教师用书独具)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图1 图2他们研究过图1中所示的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中所示的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．则289，1 024，1 225，1 378中既是三角形数又是正方形数的是________．【自主解答】 记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.同理可得正方形数构成的数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2. 将289，1 024，1 225，1 378分别代入上述两个通项公 式，可得使n 都为正整数的只有1 225. 【答案】 1 225设n≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________．【解析】 由T 2＝0，T 4＝0，…猜想T n ＝0(n 为偶数)．T 3＝123－133，T 5＝125－135，…猜想T n ＝12n －13n (n 为奇数)，因此可得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数【答案】 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数第2课时 类比推理(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去．2．过程与方法正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识．3．情感、态度与价值观认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识．●重点难点重点：了解合情推理的含义，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理．难点：类比时寻求合适的类比对象；培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力．(教师用书独具)●教学建议本节教材内容要求学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理——类比推理进行了概括和总结，让学生在学习过程中体会类比推理在数学结论的发现、证明与数学体系构建中的作用．(1)创设恰当的教学问题情境，如鲁班锯的发现、物理学家惠更斯提出了光波这一科学概念，从而提炼出类比推理的一般过程，概括出类比推理的含义．(2)分组交流，合作学习，讲练结合，将班上同学分成六个小组，分组讨论．从具体问题出发——观察、分析比较、联想——归纳，类比——提出猜想，让学生充分感受和体验类比推理的过程．●教学流程创设问题情境，引导学生提炼类比推理的一般过程和含义.⇒借助例1及其变式训练，使学生掌握数列中定义、性质公式的类比.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面图形和空间图形的类比规律.⇒通过例3及其变式训练，理解合情推理的应用广泛性并体会其作用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识与思想方法.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行学后反馈、矫正.课标解读 1.结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理(重点、难点)． 2．区别归纳推理与类比推理，了解合情推理的合理性(易混点).类比推理【问题导思】已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质． 【提示】 (1)四面体任意三个面的面积大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.2．上述两个推理是从特殊到一般的推理吗？【提示】不是．是从三角形的特征推出四面体的特征，两个推理是从特殊到特殊的推理．1．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．类比推理的特征(1)类比推理是两类事物之间的特殊到特殊的推理；(2)类比推理的结果是猜测性的，不一定可靠．合情推理【问题导思】类比推理与归纳推理有何本质的不同？【提示】类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．1．合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用．数列中的类比推理设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．【思路探究】 等差数列的性质结论多与和、差有关，等比数列的性质结论多与积、商有关，注意到类比结论中出现T 16T 12这一形式与S 16－S 12对应，易得答案．【自主解答】 等比数列类比等差数列，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．【答案】 T 8T 4 T 12T 81．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n 项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系．2．类比推理的一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．(3)检验这个猜想．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b(m≠n，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，且b m ＝a ，b n ＝b (m ，n ∈N *且m ≠n )．类比上述结论，求b m ＋n ，并说明理由．【解】 类比得b m ＋n ＝n －m b na m.理由如下：设等比数列{b n }的公比为q ， 则b m ＋n ＝b m q n.又b m b n ＝b 1q m －1b 1q n －1＝q m －n ＝a b . ∴q ＝(ab)1m －n .因此b m ＋n ＝b m q n＝a (a b )n m －n ＝(b na m )1n －m ＝n －mb na m.几何中的类比推理在平面几何里，有勾股定理：设△ABC的两条边BC ，AC 互相垂直，则BC 2＋AC 2＝AB 2.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系，可以得出的正确结论是________．【思路探究】三角形是由直线段围成的封闭图形，三棱锥(四面体)是由三角形围成的封闭图形，因此三角形的边长之间的关系类比到空间为三棱锥的面的面积之间的关系．【自主解答】考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个侧面两两垂直的三棱锥，作为直角三角形的类比对象．直角三角形3个侧面两两垂直的三棱锥∠C＝90°∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°3条边的长度分别为a，b，c 4个面的面积分别为S1，S2，S3和S2条直角边a，b和1条斜边c 3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S 类比勾股定理的结构，猜想在三棱锥中，S2＝S21＋S22＋S23.1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中．2．类比与归纳推理虽然不一定正确，但都是经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出合理猜想的推理，为研究学习提供了一盏明灯．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程为xx 0＋yy 0＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为________．【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M(x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.【答案】 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1合情推理的创新应用我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n}的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明．(3)在第(2)问中，若a1＝2，公和为5，求a18和S21.【思路探究】先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再根据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项的和．【自主解答】(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列.(2)由(1)知a n＋a n＋1＝a n＋1＋a n＋2，所以a n＋2＝a n.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(3)由“等和数列”的定义，知a1＝a3＝a5＝…＝a19＝a21＝2.a2＝a4＝a6＝…＝a18＝a20＝3.因此a18＝3.S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝5×10＋2＝52.1．本题通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，考查学生的类比应用能力．2．从类比出新数列的定义出发，由特殊到一般，归纳出数列规律，类比是一个伟大的引路人，在探求知识的过程中，我们要充分运用类比的方法，由已知探究未知．设f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________．【解析】等差数列运用“倒序相加”求和．令t＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)①则t＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)．②∵f(x)＝12x＋2，∴f(1－x)＝121－x＋2＝2x2＋2·2x＝2x2（2x＋2），因此f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋2x2（2x＋2）＝12＝22，故①＋②，得2t＝12×22＝62，∴t＝3 2.【答案】3 2误将类比所得结论作为推理依据致误已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＜0，a 2x 2＋b 2x ＋c 2＜0的解集分别为M ，N ，则“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的________条件．【错解】 在方程a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0中，若“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”，则两个方程同解．由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2知两个不等式同解，故“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的充要条件．【答案】 充要【错因分析】 错解将方程的同解原理类比到不等式中，忽略了不等式与等式的本质区别．【防范措施】 类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误，因此要理解好类比对象的本质，忌盲目类比．【正解】 当a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝b 2＝c 2＝－1，则M ＝∅，N ＝R ，即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2D /⇒M ＝N ；当M ＝N ＝∅时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，则a 1a 2≠b 1b 2≠c 1c 2， 即M ＝ND /⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.综上知“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的既不充分也不必要条件． 【答案】 既不充分也不必要1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．3．要熟练掌握一些常见的类比推理，如等式与不等式、椭圆与双曲线的类比，特别是等差数列与等比数列的类比和平面几何与立体几何(包括三角形与四面体、矩形与长方体、圆与球)的类比，需掌握它们的类比特点与一些常用结论．1．若数列{a n }是等差数列，则通项为b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 的数列{b n }(n∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)，则有通项为d n ＝________的数列{d n }(n ∈N *)也是等比数列．【解析】 “和”变“积”，“商”变“开方”． 【答案】nc 1·c 1·…c n2．下面使用类比推理恰当的序号是________．①“若a·3＝b·3，则a ＝b”类推出“a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ”； ②“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”类推出“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ③“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”；④“(ab)n＝a n b n”类推出“(a＋b)n＝a n＋b n”．【解析】①②④均错．【答案】③3．在平面直角坐标系O—xy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O—xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C 不同时为0)表示________．【解析】平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O—xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C 不同时为0)表示过原点的平面．【答案】过原点的平面4．类比圆的下列特征，找出球的相关特征．(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长和面积可求．【解】(1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球面；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球的表面积与体积可求．一、填空题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【解析】“边的中点”类比为“各面的中心”．【答案】中心2．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为________．【解析】乘积类比和，幂类比积．∴a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×93．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.事实上，由平面几何和立体几何的知识，可知很多比值在平面上成平方关系，在空间内成立方关系．【答案】1∶84．在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为________．【解析】平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，对应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．【答案】在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：(1)“mn＝nm”类比得“a·b＝b·a”；。