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期末复习 相似三角形

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期末复习之 相似三角形
【知识要点】
1.比例性质：
性质（1）：
d
c
b a =⇒ （比例的基本性质）； 性质（2）：等比性质:
2.黄金分割：点C 是AB 的黄金分割点，则应满足： （或 ）。

3.相似三角形的性质与判定
4.常见相似基本图形
【典型例题】
考点一：比例及其性质 例1．已知
k a
c
b b
c a c b a =+=+=+，则k kx 2y +=一定经过（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、三象限 C ．第三、四象限 D ．第一、四象限
考点二：黄金分割定义及应用
例 2.已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），且AB ＝10cm ，则点C 到A 的距离是 。

考点三：位似图形的定义及画法
例3．请在如图的正方形网格纸中，以O 为位似中心， 将△ABC 放大为原来的2倍．（画一个即可）
考点四：相似三角形的判定
例4． 如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC ．
考点五：相似三角形的性质应用
例5．如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m ．
考点六：相似三角形的性质判定综合应用
例6．如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？
【课堂练习】
1. 如图所示，ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、AB 的中点，EF 交AC 于点G ，那么GC AG :的值是（ ）
A. 2:1
B. 3:1
C. 4:1
D. 3:2
2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ． (1)求证：△EDM ∽△FBM ；
(2)若DB=9，求BM ．
3．如图，P 为等边△ABC 中BC 边上一点，AP 的垂直平分线交AB ，AC 于M 、N ，求证：CN BM PC BP ⋅=⋅。

4．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲， 乙同学相距1米．甲身高1．8米，乙身高1．5米，则甲的影长是 米．
5．如图，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝6m ，点P 到CD 的距离是2．7m ，则AB 与CD 间的距离是 m ．
【课后作业】
学生姓名： ；成绩：
1．已知线段AB =10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为（ ） A ．cm )1055(- B ．cm )5515(- C ．cm )555(- D ．cm )5210(-
E B
A
第4题图
第5题图 C
P B
2、如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=
1
4
CD ，下列结论： （1）∠BAE=30°，（2）△ABE ～△AEF ，（3）AE ⊥EF ，（4） △ADF ～△ECF ，其中正确结论的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3．已知:3:2a b =，且10a b +=，则b = ．
4．若
5
8
=+b b a ，则b a = ．
5．如图，小正方形的边长均为1, 则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
6．如图6，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，DB ＝6，AE ＝2，则EC ＝_______．
7．如图7，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、 △2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．
图6 图7。

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完整版)相似三角形题型归纳

完整版)相似三角形题型归纳

完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。

证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。

点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。

证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。

证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。

4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。

写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。

5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。

证明DE=BE·CE。

6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。

证明AE∶ED=2AF∶FB。

7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。

证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。

8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。

证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。

9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。

过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。

证明：AG∶GB=CP∶PD。

1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。

相似三角形判定复习

相似三角形判定复习

• 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的 两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比 例.那么这条直线平行于三角形的第三边
• 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两 边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
• 4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两 边相交的直线,所截的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例.

• 1、相似三角形的判定 • ①两角对应相等的两个三角形相似(此定理 用的最多); • ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似; • ③三边对应成比例的两个三角形相似; ④直角边和斜边对应成比例的两个直角三 角形相似.
• 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则 △ABC中相似三角形共有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
• 直角三角形中的相似问题： 斜边的高分直角三角形所成的两个直角三 角形与原直角三角形相似. • 射影定理： CD²=AD· BD， AC²=AD· AB， BC²=BD· BA
相似三角形的专题复习课

相似三角形的专题复习课


αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与
CB边上的点E重合，若A善D于=1在0复, A杂B图=形8,
则EF=___5___
中寻找基本型
D
A
F
C
EE
B
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,
长线于点E.
求证：OC2＝OA·OE.
旋转型
例3. D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠1＝
∠2，∠3＝∠4.
求证：(1)△ABD∽△CBE；
(2)△ABC∽△DBE.
证明：(1)∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)， ∴△ABD∽△CBE.
双垂直型 例4：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于 点D.
A
D E
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
B
C
∴ AD DE
AC BC
∴ AD·BC=AC·DE
练1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判 定△ADC∽△ACB．
①
∠ACD=∠B
，
②
∠ACB=∠ADC
，
D
③
AD AC
AC 或AC2 AB
AD• AB。
学习目标
1、进一步熟练相似三角形的性质与判定。 2、归纳总结相似三角形的几种基本图形， 能利用这些基本图形进行相关的计算与证明。
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
相似三角形复习

相似三角形复习

相似三角形复习关键信息项：1、相似三角形的定义及性质定义：＿___________________________性质：＿___________________________2、相似三角形的判定方法方法：＿___________________________示例：＿___________________________3、相似三角形的应用应用场景：＿___________________________解题思路：＿___________________________11 相似三角形的定义相似三角形是指三角分别相等，三边成比例的两个三角形。

两个三角形相似用符号“∽”表示。

111 相似比相似三角形对应边的比称为相似比。

相似比为 1 时，两个三角形全等。

112 相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

3、相似三角形周长的比等于相似比。

4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。

12 相似三角形的判定方法1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

121 直角三角形相似的判定1、一个锐角相等的两个直角三角形相似。

2、两条直角边成比例的两个直角三角形相似。

3、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

122 判定方法示例例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC ∽三角形 A'B'C'。

又比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB ／ A'B' ＝ AC ／ A'C' 且∠A ＝∠A'，那么这两个三角形相似。

13 相似三角形的应用131 应用场景1、测量物体的高度，如测量旗杆、大树等的高度。