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Lorenz混沌系统的一种广义同步方法

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统 的稳 定性 问题 ， 并 可 以 通过 配 置 混 沌 同步 误 差 系 统 的 极 点 位 置 来 改 善 广 义 同 步性 能 和 同步 时 间． 仿 真 结 果 表 明 ，该
方 法 实现 了 Ｌｏ ｅ ｚ混 沌 系 统 的 广 义 同步 ． ｒｎ
关 键 词 ：Ｌ ｒｎ 混 沌 系统 ；广 义 同 步 ；极 点 配 置 ｏｅ ｚ
Ｌ ｒｎ 混沌 系统 的一 种 广 义 同 步 方 法 ｏｅ ｚ
王 小娟 ， 志 杨 民
（ 北 师 范 大 学 物 理 与 电子 工 程 学 院 ，甘 肃 兰 州 ７ ０ ７ ） 西 ３ ０ ０
摘 要 ：提 出 了一 种 适 合 于 Ｉ ｒ ｎ 混 沌 系统 的 非 线 性 关 系的 广 义 同 步 方 法． 通 过 将 Ｌ ｒｎ 混 沌 系统 拆 分 为 线 性 和 非 ｅｚ ｏ ｏｅ ｚ 线 性 两部 分 ， 并 对 响 应 系统 添 加 适 当 的反 馈 控 制 ，将 Ｌ ｒｎ ｏ ｅ ｚ混 沌 系 统 的 广 义 同 步 问 题 转 化 为 线 性 的 混 沌 同 步 误 差 系
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈｅ ｎ ｌｎｅ ｒ ｇｅ ｅ ａ ｉｅ ｙ ｈ ｏｎ ｚ ｔｏ ｓ ｐｒ ｓ ｎｔ ｄ ｔ ｅ ｌｚ ｎｅ ａ ｉｅ ｙ ｈｒ ｎｉａ ｉ ｆ ｓｒ ｃ ： ｏｎ ｉ ａ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｓ ｎｃ ｒ ｉａ ｉ ｎ ｉ ｅ ｅ ｅ ｏ ｒ ａ ｉ ｅ ｇｅ ｒ ｌｚ ｄ ｓ ｎｃ ｏ ｚ ｔｏｎ ｏ Ｌｏｒ ｎ ｈ ｏ ｉ ｙｓ ｅ ． Ｗ ｈｅ ｈ ｅ ｚ ｃ ａ ｔｃ ｓ ｔ ｍｓ ｎ ｔ ｅ Ｌｏｒ ｎｚ ｃ ｏ ｉ ｙ ｔ ｍ ｓａ ｅ ｄ ｖ ｄ ｄ ｉ ｔ ｉ ｅ ｒａ ｏｎ ｉ ａ ａ ｔ ｅ ｈａ ｔｃｓ ｓ ｅ ｒ ｉ ｉ ｅ ｎ ｏ ｌｎ ａ ｎｄ ｎ ｌｎｅ ｒ ｐ ｒ ｓ， ｔ ｅ ｈ
ｑ ｅ ｔ ｎ ｏ ｅ ｅ ａ ｉｅ ｙ ｃ ｒ ｎ ｚ ｔ ｎ ｃ ｎ ｂ ｒ ｎ ｆ ｒ ｅ ｎ ｏ ｔ ｅ ｓ ａ ｉ ｔ ｕ ｓ ｉ ｎ ｏ ｙ ｃ ｒ ｎ ｕ ｕ ｓ ｉ ｆ ｇ ｎ ｒ ｌ ｄ ｓ ｎ ｈ ｏ ｉａ ｉ ａ ｅ ｔ ａ ｓ ｏ ｍ ｄ ｉ ｔ ｈ ｔ ｂ ｌ ｙ ｑ ｅ ｔｏ ｆ ａ ｓ ｎ ｈ ｏ ｏ ｓ ｏ ｚ ｏ ｉ ｅ ｒ ｒ ｓ ｓ ｅ ｂ ｄ ｉ ｇ ｐ ｏ ｅ ｅ ｄ ａ ｋ ｃ ｎ ｒ １ Ｆ ｒ ｈ ｒ ｔ ｅ ｐ ｒ ｏ ｍａ ｃ ｆ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｙ ｃ ｒ ｎ ｚ ｔｏ ｒ ｏ ｙ ｔ ｍ ｙ ａ ｄ ｎ ｒ ｐ ｒ ｆ ｅ ｂ ｃ ｏ ｔ ｏ ． ｕ ｔ ｅ ｈ ｅ ｆ ｒ ｎ ｅ ｏ ｅ ｅ ａ ｉ ｄ ｓ ｎ ｈ ｏ ｉａ ｉ ｎ ｚ
中 图 分 类 号 ：Ｔ ０ Ｎ ７１
文 献 标 识 码 ：Ａ
文章 编 号 ：１ ０—８ Ｘ （０ ７ ０ －０ ７０ ０ １９８ ２ ０ ） ５０ ４ －３
Ａｎ ａ ｐ ｏ ｃ ｆｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｙ ｃ ｒ ｎ ｚ ｔｏ ｐ ｒ ａ ｈ ｏ ｅ ｅ ａ ｉ ｄ ｓ ｎ ｈ ｏ ｉａ ｉ ｎ ｚ
由于混 沌 系统 具 有 对 初 始条 件 的敏 感 依 赖 性 ，
善 广义 同步 性能 和 同步 时 间．理 论分 析 和仿真 结果 证 明 了该方 法 的有效 性．
长 期 以来人 们认 为混 沌 系统 的 同步是 不可 能 的．直
到 ２ ０世 纪 ９ ０年 代 初 ，美 国学 者 Ｐ ｃｒ ｅｏａ和 Ｃ ｒｏｌ ａｒ ｌ
ｏ ｒ ｎｚ ｃ ａ ｉ ｙｓ ｅ ｆＬｏ ｅ ｈ ｏｔｃ ｓ ｔ ｍ
Ｗ ＡＮＧ ａ —ｕ ｎ，ＹＡＮＧ ｈ — ｎ Ｘｉｏｊ ａ Ｚ ｉ ｍｉｇ
（ Ｃｏｌｅ ｅ ｏｆＰｈｙ ｉ ｎｄ ｌｇ ｓｃｓａ Ｅｌ ｃ ｒ ｉ ｅ ｔｏｎｃ Ｅｎｇｉｅ ｒｎｇ，Ｎ ｏ ｔ ｎｅｉ ｒ ｈｗｅｓ ｏｒ ａ ｎｖｅ ｓｔ ｔＮ ｍ ｌＵ ｉ ｒ ｉｙ， Ｌａ ｈｏｕ ７３ ７０， Ｇ ａ ｓ ｎｚ ００ ｎ ｕ， Ｃｈｉ ｎａ）
维普资讯
第４ ３卷 ２ ０ 第 ５期 ０ ７年
Ｖ ｏ ． ２０ Ｎ Ｏ １ ４３ ０７ ．５
西
北
师
范
大
学
学
报 （ 自然 科学 版 ）
４ ７
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮｏ ｔ ｗｅ ｔＮｏ ｍ ａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ
在专 门设 计 的 电子线路 实 验 中实现 了混 沌 同步［］ １， 才 打破 了这种 观 点 ，并 激 发 了人们 在这 个新 方 向上
的研 究兴 趣． 混沌 同步 主要 分 为两 大类 型 ，即精 确 同步 （Ｓ 和广 义 同步 （ ）２］ 混 沌 系 统 的广 义 同 Ｉ） ＧＳ 【 ．

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一种类Lorenz系统与Lorenz系统的异结构混沌同步

一种类Lorenz系统与Lorenz系统的异结构混沌同步

Ｄ Ｏｈ１．９９ ．ｓ ． ７ —０ ３ ０ １ ２ １ ０ ６ ０ｉ ｎ１ ４５ ４． １． ． ９ ３ ｓ ６ ２ ００ 中 图 分 类 号 ： １ ． Ｏ４ ５５ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号： １７ －０ ３２ １ ）２０ ７ －５ ６４５４ （０ １ —０ １ ０ ０
１ ６ 年 ，Ｌ ｒｎ 在 一个 三 维 自治 系统 中首 次发现 了混沌 吸 引子 。 因此 ，多 种类 型 的三 维混沌系 统 受 ９３ ｏｅｚ 到 国 内外 学者 的广 泛关 注 ，对类 Ｌ ｒｎ 系 统 的研 究 工作 具有广 阔的工 程应 用 背景 和深 远 的学术 意义 。 由 ｏｅｚ
和式（ 的状态向量。 ｕｘＹ ３ ） （， ）∈Ｒ 是系统同步控制变量。对于系统（） ” ２和系统（） ３，其中 Ｆ≠Ｇ 。
如 有 ｌ一 ｏｊｌ３．， 中 Ｊ称）３ 结 同 。 果 ， ｌ ＝， ＝２，， 其 ≠， （ （ 构 步 ，． ， ，． ２ ） 和异
如果 ｉ ，上 面分 析即 是完全 同步 问题 。 如果 Ｆ ＝Ｇ ， 即是 错位 同步 问题 。 设类Ｌ ｒｎ 系统 的状态 方程（） ｏｅｚ １为响应系 统 ，Ｌ ｒ ｎ系 统的状 态方程 为驱 动系 统 ， ｏｅｚ
类Ｌ ｒｎ 系统可 以用如 下 的三维 自治系统 来描述 ｏｅ ｚ
＝ａ ｙ 、 （—
＝
ｂ ｘ—ｋ ｚ一 ｘ
（） １
ｚ：一ｃ ｚ＋ｈ 一ｄ ｙ ｘ ｘ
其 中 ａｂＣｄ ｈ尼 ｇ 为常系数 。 ，，， ，，和
这 种 系统具 有极 其丰 富 的 动力 学行 为 ，它 的奇怪 吸 引子 与Ｌ ｒ ｎ 系统 的吸 引子就 有 明显 的不 同。这 ｏｅｚ 种 吸引 子不 仅 在 电路 中可 以实现 ，而 且 它在 保 密 通信 系 统 中 也有 广 阔 的 应用 前 景 。如 果 想 了解 这种 类 Ｌ ｒ ｎ 系统 的混 沌行 为和形 成机制 可参考 文献 Ｉｌ ｏｅｚ １。取 ＝１ ， ０ ｂ＝４ ， ０ ｃ＝２５ ｈ＝４ ｋ＝１ ．， ， ； ｄ和 ｇ 的取值 可 以变 化，初值 为（．，２４ ８其类 Ｌ ｒｎ 系统 的混沌 吸 引子如 图１ 示 。 ２２ ．，３ ） ｏ ｅｚ 所
电路实现lorenz混沌系统同步

电路实现lorenz混沌系统同步

同步是自然界中的一种基本现象,它通常指:至少在两个振动系统相位间的协调一致现象。

关于同步现象最早的研究可以追溯到1673年惠更斯(C.Huygens)关于耦合单摆的同步现象的观察。

实际上,若干个耦合单元之间通过相互作用达到同步的现象在许多领域中屡见不鲜。

尤其是进入20世纪90年代以来,佩卡拉(L.M. Pecora)和卡罗尔(P.L.Carroll)提出相同混沌子系统间,在不同的初始条件下,通过某种驱动(或耦合),仍然可以实现混沌轨道的同步化。

他们提出了一种混沌同步的方法(简称P——C方法),并在电子线路上首次观察到混沌同步现象。

他们的工作和OGY控制混沌的工作,极大地推动了混沌同步和混沌控制的理论研究,拉开了利用混沌的序幕。

该文仅就混沌同步的几种主要方法及这些方法的基本原理作简要的介绍。

1 Lorenz吸引子一个系统的同步是以其条件李雅普诺夫指数来衡量的,当一个系统的条件李雅普诺夫指数为负时,称系统是同步的。

Lorenz 吸引子是一种典型的混沌系统,利用它可以证实以上的结论。

Lorenz系统是气象学家lorenz在研究流体是提出的动力学模型,随后人们给出了它的电路实现。

其电路图如图1所示。

在电路中,由R1、R2、R3、R4以及运算放大器1构成了一个减法器。

R5、C2以及运算放大器2构成一个积分器。

R6、R7以及运算放大器3构成了一个倍乘器。

乘法器9实现了U和W的相乘。

乘法器10实现了U和V的相乘。

R8、R9、R10、R11、R12以及运算放大器4构成了一个加法器。

R13、R14以及运算放大器5构成了一个反向器。

R15、C2以及运算放大器6构成积分器。

R16、R17、R18、R19以及运算放大器7构成了一个减法器。

R20、C3以及运算放大器8构成了一个积分器。

其输出V(T)—T,关系如图2所示。

2 线性状态反馈同步下面讨论利用线性反馈的控制方法实现两个全同系统混沌运动的同步化。

所谓两个全同系统,这里是指一个n维动力系统),(.uxFx=(7)对它的复制品)','('.uxFx=(8)两式中的函数F有完全相同的形式,只是用带撇的变量代替了不带撇的变量(参数u可以有微小的差别)。

《2024年度两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》范文

《2024年度两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》范文

《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是一种复杂的非线性动态系统，其状态变化具有不可预测性、敏感依赖初始条件和长期行为的不规则性等特点。

近年来，随着非线性科学的发展，混沌系统的研究逐渐成为了一个重要的研究方向。

本文将针对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的方法。

二、两个混沌系统的动力学分析（一）Lorenz混沌系统Lorenz混沌系统是一种典型的流体动力学系统，具有三维非线性微分方程描述。

通过对该系统的动力学分析，我们可以发现其状态变化具有对初始条件的敏感性、具有分岔和混沌等现象。

具体地，我们可以通过分析该系统的相图、功率谱等特征，进一步了解其动力学特性。

（二）Chua's电路混沌系统Chua's电路混沌系统是一种电子电路系统，其电路元件包括电阻、电感和非线性电容等。

该系统的动力学行为表现为复杂的混沌振荡，具有一定的应用价值。

通过对该系统的动力学分析，我们可以了解到混沌系统在不同参数条件下的动态变化情况。

三、系统控制与同步研究（一）系统控制对于混沌系统的控制，主要是通过调整系统参数或者引入外部控制信号等方式，使得系统的状态达到预期的稳定状态。

针对Lorenz混沌系统和Chua's电路混沌系统，我们可以采用不同的控制策略，如参数微调法、反馈控制法等，以实现对系统状态的稳定控制。

（二）系统同步混沌系统的同步是指两个或多个混沌系统在一定的条件下，其状态变化达到某种程度的协调和一致性。

针对两个混沌系统的同步问题，我们可以采用不同的同步方法，如完全同步法、延迟同步法等。

这些方法可以通过调整系统参数或者引入适当的控制器来实现两个混沌系统的同步。

四、实验结果与分析（一）实验设计为了验证上述理论分析的正确性，我们设计了相应的实验方案。

具体地，我们采用了数值模拟和实际电路实验两种方式来验证Lorenz混沌系统和Chua's电路混沌系统的动力学特性和控制与同步效果。

超混沌Chen系统和超混沌Lorenz系统的反同步

超混沌Chen系统和超混沌Lorenz系统的反同步


x4 = x2 x3 + rx4 ,
将其作为驱动系统·其中 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 为状态 变量 , a , b , c , d , r 为系统参数·当 a = 35 , b = 3 , c = 12 , d = 7 , 01085 < r ≤01798 时 , 系统 ( 5) 处于 超混沌状态·
(7) 定义 2 对于超混沌系统 (5) 和 (6) ,若存在 一个控制器 u ,在任意初始状态 ( x (0) , y (0) ) 下 , 均有
lim
t →∞
ei ( t)
= lim t →∞
yi ( t)
+
xi ( t)
= 0,
i = 1 ,2 ,3 ,4
(8)
成立 ,称超混沌系统 (5) 和 (6) 反同步·
1 问题的描述与系统模型
混沌系统是非线性系统的一种特殊情况 ,可 用如下非线性微分方程表示 :
x = f ( x , t) ,
(1)
y = g ( y , t) + u ( t , x , y) ·
(2)
其中 :系统 (1) 称为驱动系统 ;系统 (2) 称为响应系 统 ; x = [ x 1 , x 2 , …, x n ] T 与 y = [ y1 , y2 , …, y n ] T 为系统的状态变量 ; f ( x , t) 与 g ( y , t ) 为非线性 函数 ; u ( t , x , y) 为控制输入·
混沌运动是一种貌似无规则的运动 ,是非线性 动力学系统所特有的一种运动形式 ,它广泛地存在 于自然界中·近年来 ,对混沌理论的研究已成为非 线性控制理论研究的热点之一·由于混沌系统对初 值极其敏感 ,所以长期以来人们认为混沌系统是不 能 控 制 的 , 混 沌 同 步 就 更 加 不 可 能 实 现 ·自 从 Pecora 和 Carroll[1 ]在 1990 年利用电路实现混沌 同步以来 ,混沌同步受到了各个领域学者的广泛