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牛顿运动定律：牛顿运动定律及其在力学中的应用牛顿运动定律是描述物体运动规律的重要定律之一，由英国科学家艾萨克·牛顿在17世纪提出。
牛顿运动定律是力学的基础，对于解释物体的运动行为起着至关重要的作用。
本文将详细介绍牛顿运动定律的三个基本定律及其在力学中的应用。
牛顿第一运动定律，也被称为“惯性定律”，其表述为：物体在没有外力作用下，保持匀速直线运动或保持静止的状态。
换句话说，物体会继续保持其原来的状态，除非有外力或力的合力作用在其上。
这意味着若物体处于静止状态，则会保持静止；若物体处于匀速直线运动状态，则会保持匀速直线运动。
这个定律对解释许多日常生活中的现象非常重要。
例如，当我们在汽车突然停下时，身体会有向前的惯性，导致人感到不舒服。
这是因为汽车突然减速，但身体所受的惯性仍然保持在之前的匀速状态。
又如，当我们在火车上行驶时，如果火车突然停下，物体会继续保持它的原有状态，从而发生向前倾的现象。
这些现象都可以通过牛顿第一运动定律来解释。
牛顿第二运动定律是牛顿运动定律中最为重要的定律之一。
它表述为：物体受到的力等于质量与加速度的乘积。
换句话说，当一个物体受到作用力时，它会发生加速度。
而其加速度的大小与所受力的大小成正比，与物体的质量成反比。
这个定律可以以数学公式的形式表示为F=ma，其中F为物体所受到的力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
牛顿第二运动定律的应用非常广泛，涵盖了力学中的许多问题。
例如，当我们举起一个重物时，我们需要施加更大的力来克服物体的重力，并使其发生上升的加速度。
根据牛顿第二运动定律，物体的重力与上升的加速度成正比，我们需要施加的力越大。
此外，在运动过程中，物体受到的阻力也是一个重要的因素。
阻力会减缓物体的运动速度，根据牛顿第二运动定律，阻力与物体的质量和减速度成正比。
因此，在设计飞机、汽车等工程项目时，我们需要考虑阻力对物体运动的影响。
牛顿第三运动定律是牛顿运动定律中最简洁却又非常有意义的定律。
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
牛顿第二定律详解实验：用控制变量法研究：a与F的关系，a与m的关系知识简析一、牛顿第二定律1.内容：物体的加速度跟物体所受合外力成正比，跟物体的质量成反比；a的方向与F合的方向总是相同。
2.表达式：F=ma揭示了：①力与a的因果关系，力是产生a的原因和改变物体运动状态的原因；②力与a的定量关系3、对牛顿第二定律理解：（1）F=ma中的F为物体所受到的合外力．（2）F＝ma中的m，当对哪个物体受力分析，就是哪个物体的质量，当对一个系统（几个物体组成一个系统）做受力分析时，如果F是系统受到的合外力，则m是系统的合质量．（3）F＝ma中的F与a有瞬时对应关系，F变a则变，F大小变，a则大小变，F方向变a也方向变．（4）F＝ma中的F与a有矢量对应关系，a的方向一定与F的方向相同。
（5）F＝ma中，可根据力的独立性原理求某个力产生的加速度，也可以求某一个方向合外力的加速度．（6）F＝ma中，F的单位是牛顿，m的单位是kg，a的单位是米／秒2．（7）F＝ma的适用范围：宏观、低速4. 理解时应应掌握以下几个特性。
(1) 矢量性F=ma是一个矢量方程，公式不但表示了大小关系，还表示了方向关系。
(2) 瞬时性a与F同时产生、同时变化、同时消失。
作用力突变，a的大小方向随着改变，是瞬时的对应关系。
(3) 独立性(力的独立作用原理) F合产生a合；Fx合产生ax合；Fy合产生ay合当物体受到几个力作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就象其它力不存在一样，这个性质叫力的独立作用原理。
因此物体受到几个力作用，就产生几个加速度，物体实际的加速度就是这几个加速度的矢量和。
(4) 同体性F=ma中F、m、a各量必须对应同一个物体(5)局限性适用于惯性参考系(即所选参照物必须是静止或匀速直线运动的,一般取地面为参考系)；只适用于宏观、低速运动情况，不适用于微观、高速情况。
牛顿运动定律的应用1．应用牛顿运动定律解题的一般步骤：(1) 选取研究对象(2) 分析所选对象在某状态(或某过程中)的受力情况、运动情况(3) 建立直角坐标：其中之一坐标轴沿的方向然后各力沿两轴方向正交分解(4) 列出运动学方程或第二定律方程F合=a合；Fx合=ax合；Fy合=ay合用a这个物理量把运动特点和受力特点联系起来(5) 在求解的过程中,注意解题过程和最后结果的检验,必要时对结果进行讨论.2．物理解题的一般步骤：(1) 审题：解题的关键，明确己知和侍求，特别是语言文字中隐着的条件(如：光滑、匀速、恰好追上、距离最大、共同速度等)，看懂文句、及题述的物理现象、状态、过程。
牛顿三大定律牛顿三大定律是力学中重要的定律，它是研究经典力学的基础。
1．牛顿第一定律内容：任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到其它物体的作用力迫使它改变这种状态为止。
说明：物体都有维持静止和作匀速直线运动的趋势，因此物体的运动状态是由它的运动速度决定的，没有外力，它的运动状态是不会改变的。
物体的这种性质称为惯性。
所以牛顿第一定律也称为惯性定律。
第一定律也阐明了力的概念。
明确了力是物体间的相互作用，指出了是力改变了物体的运动状态。
因为加速度是描写物体运动状态的变化，所以力是和加速度相联系的，而不是和速度相联系的。
在日常生活中不注意这点，往往容易产生错觉。
注意：牛顿第一定律并不是在所有的参照系里都成立，实际上它只在惯性参照系里才成立。
因此常常把牛顿第一定律是否成立，作为一个参照系是否惯性参照系的判据。
2．牛顿第二定律内容：物体在受到合外力的作用会产生加速度，加速度的方向和合外力的方向相同，加速度的大小正比于合外力的大小与物体的惯性质量成反比。
第二定律定量描述了力作用的效果，定量地量度了物体的惯性大小。
它是矢量式，并且是瞬时关系。
要强调的是：物体受到的合外力，会产生加速度，可能使物体的运动状态或速度发生改变，但是这种改变是和物体本身的运动状态有关的。
真空中，由于没有空气阻力，各种物体因为只受到重力，则无论它们的质量如何，都具有的相同的加速度。
因此在作自由落体时，在相同的时间间隔中，它们的速度改变是相同的。
3．牛顿第三定律内容：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一条直线上，大小相等，方向相反。
说明：要改变一个物体的运动状态，必须有其它物体和它相互作用。
物体之间的相互作用是通过力体现的。
并且指出力的作用是相互的，有作用必有反作用力。
它们是作用在同一条直线上，大小相等，方向相反。
另需要注意：（1）作用力和反作用力是没有主次、先后之分。
同时产生、同时消失。
（2）这一对力是作用在不同物体上，不可能抵消。
物理学中的牛顿运动定律和能量守恒物理学作为自然科学的重要分支，涉及到许多基本的物理规律和原理。
其中，牛顿运动定律和能量守恒定律是理解物体运动和相互作用的基础。
本文将对牛顿运动定律和能量守恒定律进行详细介绍和分析。
一、牛顿运动定律牛顿运动定律是描述物体运动状态和相互作用的重要定律。
它由英国科学家艾萨克·牛顿在17世纪提出，被广泛应用于各个物理学领域。
1. 第一定律（惯性定律）：一个物体如果没有外力作用，将保持静止或匀速直线运动。
第一定律是揭示物体惯性特征的定律。
它告诉我们，任何物体都具有惯性，即物体将保持原来的静止状态或匀速直线运动状态，除非有外力作用于它。
2. 第二定律（运动定律）：物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比。
加速度的方向与作用力方向相同。
第二定律是关于物体运动的基本定律。
它表明物体的加速度与作用于物体上的力成正比，与物体的质量成反比。
即，物体的加速度等于作用在其上的力除以物体的质量。
3. 第三定律（作用-反作用定律）：对于任何两个物体之间的相互作用力，作用力和反作用力大小相等、方向相反，且作用于不同的物体上。
第三定律是关于相互作用力的定律。
它描述了物体间相互作用时力的性质。
根据这个定律，任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反，并且作用在不同的物体上。
二、能量守恒定律能量守恒定律是热力学和动力学中的基本原理之一。
它表明在没有能量损耗的封闭系统中，能量总量保持不变。
能量守恒定律包含以下几个方面：1. 机械能守恒：在没有外力做功或通过外界做功的封闭系统中，机械能守恒。
机械能是由物体的动能和势能组成的，可以相互转化，但总能量保持不变。
2. 热能守恒：在没有热量进出的封闭系统中，热能守恒。
热能是由分子热运动产生的能量，系统内热能的增加等于热量和做功之和，总热能保持不变。
3. 能量转化：能量可以在不同形式之间进行转化，如机械能可以转化为热能，热能可以转化为电能等。
这是能量守恒定律所允许的。
物理必修三资料## 物理必修三资料一、力学基础1. 牛顿运动定律：包括牛顿第一定律（惯性定律）、第二定律（力和加速度的关系）、第三定律（作用与反作用）。
2. 动量守恒定律：在没有外力作用的系统中，总动量保持不变。
3. 能量守恒定律：能量既不能被创造也不能被消灭，只能从一种形式转化为另一种形式，总量不变。
二、电磁学1. 库仑定律：描述点电荷之间的作用力。
2. 高斯定律：电场强度与电荷的关系。
3. 安培环路定理：电流与磁场的关系。
4. 法拉第电磁感应定律：描述变化磁场产生电动势的现象。
5. 麦克斯韦方程组：电磁场的基本方程。
三、光学1. 光的反射：包括镜面反射和漫反射。
2. 光的折射：光在不同介质中传播速度不同，导致光线方向改变。
3. 全反射：光从高折射率介质射向低折射率介质，当入射角大于临界角时，光完全反射回高折射率介质。
4. 光的干涉：两束或多束相干光波相遇时，光强分布出现增强或减弱的现象。
5. 光的偏振：光波振动方向的选择性。
四、热学1. 热力学第一定律：能量守恒在热力学过程中的体现。
2. 热力学第二定律：自然过程不可逆性，熵增原理。
3. 理想气体状态方程：描述理想气体状态的数学关系。
4. 热传导、对流和辐射：热量传递的三种基本方式。
五、原子物理1. 原子结构：原子由核和电子云组成。
2. 玻尔模型：描述氢原子光谱的量子理论。
3. 量子力学基础：包括波函数、薛定谔方程等。
六、相对论1. 狭义相对论：在所有惯性参考系中，物理规律具有相同的形式，光速不变原理。
2. 广义相对论：引力是由物质能量分布引起的时空弯曲。
七、物理实验1. 实验设计：明确实验目的，设计合理实验方案。
2. 数据记录与处理：准确记录实验数据，运用科学方法进行数据分析。
3. 误差分析：理解实验误差的来源，掌握误差分析方法。
八、物理思维训练1. 模型思维：通过建立物理模型简化问题。
2. 系统思维：考虑系统中各部分的相互作用。
3. 创新思维：鼓励提出新的观点和解决方案。
牛顿运动定律与动量守恒知识点总结在物理学的殿堂中，牛顿运动定律和动量守恒定律无疑是两颗璀璨的明珠。
它们不仅是理解物体运动和相互作用的基石，也是解决众多物理问题的有力工具。
接下来，让我们一同深入探索这两个重要的知识点。
一、牛顿运动定律1、牛顿第一定律牛顿第一定律，也被称为惯性定律。
它指出：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到外力迫使它改变这种状态为止。
这意味着物体具有保持其运动状态不变的特性，即惯性。
惯性的大小只与物体的质量有关，质量越大，惯性越大。
例如，在一辆行驶的公交车上，如果突然刹车，乘客会向前倾。
这是因为乘客原本具有向前的运动惯性，而刹车的外力改变了车的运动状态，但乘客的身体由于惯性仍要保持原来的运动状态。
2、牛顿第二定律牛顿第二定律揭示了力与物体运动状态变化之间的定量关系。
其表达式为 F ＝ ma，其中 F 表示作用在物体上的合力，m 是物体的质量，a 是物体的加速度。
这一定律表明，当物体受到外力作用时，它会产生加速度，且加速度的大小与合力成正比，与物体的质量成反比。
以举重运动员举起杠铃为例，运动员施加的力越大，杠铃的加速度就越大；而相同的力作用在更重的杠铃上，产生的加速度就会较小。
3、牛顿第三定律牛顿第三定律阐述了物体之间相互作用的规律：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上。
这一定律强调了力的相互性，即任何一个力都有其对应的反作用力。
比如，当你用力推墙时，墙也会以同样大小的力推你。
你推墙的力是作用力，墙对你的反作用力会让你感受到无法推动墙。
二、动量守恒定律1、动量的定义动量（p）被定义为物体的质量（m）与速度（v）的乘积，即 p ＝mv。
动量是一个矢量，其方向与速度的方向相同。
2、动量守恒定律的内容如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变。
例如，在光滑水平面上做相向运动的两个小球，它们的质量分别为m1 和 m2，速度分别为 v1 和 v2。
力学三大原理力学是物理学的一个分支，研究物体的运动和受力情况。
在力学的研究中，有三大原理是非常重要的，它们为我们理解物体的运动和受力提供了基础。
这三大原理分别是牛顿运动定律、动量守恒定律和能量守恒定律。
首先，我们来谈谈牛顿运动定律。
牛顿运动定律是力学的基础，它由英国科学家牛顿在17世纪提出。
牛顿运动定律包括三条，分别是惯性定律、动力定律和作用-反作用定律。
惯性定律指出，物体如果没有外力作用，将保持静止或匀速直线运动。
动力定律则说明了物体的加速度与作用力成正比，质量成反比的关系。
作用-反作用定律则表明，两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
这三条定律为我们理解物体的运动提供了基本原理，是力学研究的重要基础。
其次，我们来讨论动量守恒定律。
动量是描述物体运动状态的物理量，它等于物体的质量乘以速度。
动量守恒定律指出，在一个封闭系统中，如果没有外力作用，系统的总动量将保持不变。
这意味着，即使在碰撞或其他相互作用过程中，系统内部的物体之间可以相互转移动量，但系统的总动量仍然保持不变。
动量守恒定律在研究碰撞、爆炸等过程中有着重要的应用，它帮助我们理解物体之间相互作用的规律。
最后，让我们来谈谈能量守恒定律。
能量是物体的属性，它包括动能、势能等形式。
能量守恒定律指出，在一个封闭系统中，能量的总量保持不变。
这意味着能量可以在不同形式之间相互转化，但系统的总能量始终保持不变。
能量守恒定律在研究机械能转化、能量损失等问题时有着重要的应用，它帮助我们理解能量转化的规律和特点。
综上所述，力学三大原理包括牛顿运动定律、动量守恒定律和能量守恒定律。
这三大原理为我们理解物体的运动和受力提供了基础，它们在物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
通过对这些原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解物体的运动规律，解决实际问题，推动科学技术的发展。
力学三大原理的研究将继续推动人类对自然规律的认识和探索。
习题22-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为6N x f =，7N y f =，当0t =时，0x y ==，2m /s x v =-，0y v =。
当2st =时，求：(1) 质点的位矢； (2) 质点的速度。
解：由 x x f a m =，有：x a 263m /168s ==，27m /16y y f a s m -== （1）2003522m /84x x xv v a dt s =+=-+⨯=-⎰， 200772m /168y y y v v a dt s -=+=⨯=-⎰。
于是质点在2s 时的速度：57m /s 48v i j =--（2）22011()22x y r v t a t i a t j =++1317(224)()428216i j -=-⨯+⨯⨯+⨯137m 48i j =--2-2 质量为2kg 的质点在xy 平面上运动，受到外力2424=-F i t j 的作用，t =0时，它的初速度为034=+v i j ，求t =1s 时质点的速度及受到的法向力n F 。
解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。
由：d v F md t =，有：24242d v i t j dt-=⋅，两边积分有： 0201(424)2v t v d v i t j dt =-⎰⎰，∴3024v v t i t j =+-， 考虑到034v i j =+，s t 1=，有15v i=由于在自然坐标系中，t v v e =，而15v i =（s t 1=时），表明在s t 1=时，切向速度方向就是i 方向，所以，此时法向的力是j 方向的，则利用2424F i t j =-，将s t 1=代入有424424t n F i j e e =-=-，∴24n F N =-。
2-3．如图，物体A 、B 质量相同，B 在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A 下落的加速度是多少？解：分别对A ，B 进行受力分析，可知：A A A m g T m a -=2B B T m a =12B A a a =则可计算得到：45A a g =。
2-4．如图，用质量为1m 的板车运载一质量为2m 的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为μ，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力F 为多少才能保证木箱不致滑动？解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。
即：max 212222f mg f Fa m m m m m μ==<=+可得：12()F m m g μ<+解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为max F ，列式有：max 2122F m g m am g m aμμ-==联立得：max 12()F m m g μ=+，有：12()F m m g μ<+。
2-5．如图所示一倾角为θ的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为)(θμtg <。
为使木块相对斜面静止，求斜面加速度a 的范围。
解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a ），列式为：sin cos N N mg μθθ+= 1sin cos N N ma θμθ-= 可计算得到：此时的θμμθtan 1tan 1+-=a g（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b ），列式为：sin cos N mg N μθθ+=2sin cos N N ma θμθ+=可计算得到：此时的θμμθtan 1tan 2-+=a g ，所以：tan tan 1tan 1tan g a g θμθμμθμθ-+≤≤+-。
解法二：考虑物体m 放在与斜面固连的非惯性系中， 将物体m 受力沿'x 和'y 方向分解，如图示，同时考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式： 'x 方向：sin cos 0mg ma f θθ-±='y 方向：cos sin 0N mg ma θθ--=考虑到f N μ=，有：sin cos (cos sin )0mg ma mg ma θθμθθ-±+=，解得：sin cos tan cos sin 1tan a g g θμθθμθμθμθ±±==。
∴a 的取值范围：tan tan 1tan 1tan g a g θμθμμθμθ-+≤≤+-。
2-6．质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。
解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：f kv=-θx 'y Nmamg又由牛顿第二定律可得：dv f m dt =，则dv kv m dt-= 分离变量，可得：dv k dt v m =-，两边同时积分，有：000t v dv kdt v m=-⎰⎰，所以：t mk e v v -=0（2）子弹进入沙土的最大深度也就是0v =的时候子弹的位移，则：考虑到dv dv dx dt dx dt =，dx v dt =，可推出：mdx dv k=-，而这个式子两边积分就可以得到位移：00max 0v m mx dv v k k=-=⎰ 。
2-7．质量为2m 的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动， 劈形物质量为1m ，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为θ， 求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。
解：利用隔离体方法，设方形物2m 相对于劈形物1m 沿斜面下滑的加速度为2'a ，劈形物1m 水平向左的加 速度为1a ，分析受力有：方形物2m 受力：2m g ，1N ，21m a （惯性力）； 劈形物1m 受力：1m g ，1N ，2N ，如图； 对于2m ，有沿斜面平行和垂直的方程为：21222cos sin 'm a m g m a θθ+= ① 1212sin cos N m a m g θθ+= ②对于1m ，有：111sin N m a θ= ③将③代入有②：11212sin cos sin m a m a m g θθθ+=， ∴21212sin cos sin m a g m m θθθ=+，代入①，有：122212()sin 'sin m m a g m m θθ+=+ 再将2'a 在水平和竖直两方向上分解，有：2m 1m θ1122212()sin cos 'sin x m m a g m m θθθ+=+ 21222212()sin 'sin y y m m a g a m m θθ+==+ ∴122212sin cos 'sin x x m a a a g m m θθθ=-=-+ 而相互作用力：111sin m aN θ==g m m m m θθ22121sin cos +2-8．在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R ，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为μ，在0=t 时，球的速率为0v ，求任一时刻球的速率和运动路程。
解：利用自然坐标系，法向：2v N m R =，而：f N μ=切向：dtdvm f =-，则：2dv v dt R μ=- 0201v t v dv dt v R μ-=⎰⎰，得：tμv R Rv v 00+=00000ln(1)t t v t dt RS vdt v R R v t R μμμ===++⎰⎰2-9．如图，一质点在几个力作用下沿半径为20R m =的圆周运动，其中有一恒力0.6F i =N ，求质点从A 开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B 的过程中，力F 所做的功。
解：本题为恒力做功，考虑到B 的坐标为（R -，R ）， ∴2020B A r r r i j ∆=-=-+，再利用：A F r =⋅∆， 有：0.6(2020)12A i i j =⋅-+=-（焦耳）2-10．质量为m =0.5kg 的质点，在x O y 坐标平面内运动，其运动方程为yxOBA FmAx =5t 2,y =0.5(SI),从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？ 解：由功的定义：A F r =⋅∆，题意：250.5r t i j =+24(4)(2)60r r r i →∆=-=，220.5105d rF m i i d t==⋅=∴560300A i i J =⋅=。
2-11．一质量为m 的物体，在力2()F at i bt j =+的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t 此力所做功的功率为多少。
解：由P F v =⋅，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：2231111()()23F v dt ati bt j dt at i bt j m m m ==+=+⎰⎰ 所以功率为：P F v =⋅2232325111111()()()2323ati bt j at i bt j a t b t m m =+⋅+=+。
2-12．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为2(52.838.4)F x x i =--，其中F 和x 单位分别为N 和m 。
（1）计算当将弹簧由m 522.01=x 拉伸至m 34.12=x 过程中，外力所做之功；（2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：211.3420.522(52.838.4)x x A F d x x x dx =⋅=--⎰⎰2233212126.4()12.6()69.2x x x x J =----=（2）∵()()F x F x i =，按保守力的定义：()()()B AABF x dl F x i d r F x i d r ⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰()()()()0BBAAF x i d xi d y j d zk F x i d xi d y j d zk =⋅++-++=⎰⎰∴该弹力为保守力。
2-13．如图，一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力数值为N ，求质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：f A 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。
解：求在B 点的速度：2v N G m R-=，可得：R G N mv )(21212-= 由动能定理： 2102f mgR A mv +=-∴11()(3)22f A N G R mgR N mg R =--=-2-14．在密度为1ρ的液面上方，悬挂一根长为l ，密度为2ρ的均匀棒AB ，棒的B 端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在1212ρρρ<<的条件下，求细棒下落过程中的最大速度max v ，以及细棒能进入液体的最大深度H 。
