高中数学必修一函数大题(含详细解答)-精选版

高中函数大题专练１、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。

⑴试求不等式的解集A ；⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。

试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。

２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。

① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。

已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。

（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。

3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像.（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。

（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。

函 数 练 习 题班级 姓名一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。

4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼y ⑽4y =⑾y x =-6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(，()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

高一经典函数练习题及完美解析函数练习1 函数（一）1．下列各组函数中，表示相同函数的是 （ ）A f(x)=x 与 g(x)=xx 2B f(x)=|x| 与 g(x)=2xC f(x)=12-x 与g(x)=1-x • 1+xD f(x)=x 0与g(x)=1 1． 函数y=x--113的定义域为 （ ）A （－∞，1]B (-∞，0) (0,1]C (-∞，0) (0,1)D [1,+ ∞)2． 下列函数中值域是R ＋的是 （ ）A y=2x+1 (x>0)B y=x 2C y=112-x D y=x2 3． 函数y=22++-x x 的定义域为__________,值域为_____________.4． 已知f(x)=x 2+1,则f[f(-1)]=______________________ 5． 求下列函数的定义域；（1）y=x111+； （2）y=xx x -+||)1(07．用可围成32m 墙的砖头，沿一面旧墙围猪舍四间（其平面图为連成一排大小相同的四个长方形，如图），应怎样围，才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？函数练习2 函数（二）1． 下面四个函数：（1）y=1-x (2) y=2x-1 (3) y=x 2-1 (4) y=x5，其中定义域与值域相同的函数有 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个2． 下列图象能作为函数图象的是 （ ）A B C D 3． （1）数集｛x|4≤x<16｝用区间表示为_________；（2）数集｛x||x|≤3｝用区间表示为_______；（3）数集｛x|x ∈R ，且x ≠0｝用区间表示为_______；4． 已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧--3210x )0()0()0(<=>x x x ，求f{f[f(5)]}的值。

5． 已知f(x)的定义域为（0,1）求f(x 2)的定义域 6．若2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x)的解析式。

高中数学必修一函数试题一、选择题： 1、若()f x =(3)f = （ ）A 、2B 、4 C、 D 、10 2、对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。

A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是（ ）①()f x =与()g x =；②()f x x =与2()g x =；③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。

A 、①②B 、①③C 、③④D 、①④4、二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为 （ ） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5、函数y =的值域为 （ ）A 、[]0,2B 、[]0,4C 、(],4-∞D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ）A 、（1）B 、（1）、（3）、（4）C 、（1）、（2）、（3）D 、（3）、（4） 7、若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ）（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（3）B中（1）（2）（3）（4）的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B 。

A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x -≤ D 、()1()f x f x =-- 9、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 10、设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有 （ ）A 、12a >B 、12a <C 、12a ≥D 、12a ≤ 11、定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,ab ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（ ）A 、函数()f x 是先增加后减少B 、函数()f x 是先减少后增加C 、()f x 在R 上是增函数D 、()f x 在R 上是减函数 12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

完整版)高一数学函数经典习题及答案函数练题一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y = (x-1)/(2x^2-2x-15)⑵y = 1-[(2x-1)+4-x^2]/[1/(x+1)+1/(x+3)-3]2、设函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x-2)的定义域为[-2,-1]；函数f(2x-1)的定义域为[(1/2,1)]。

3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域为[-3/2,2]；函数f(2)的定义域为[1,4]。

4、已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，且函数F(x) = f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围。

二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴y = x+2/x-3 (x∈R)⑵y = x+2/x-3 (x∈[1,2])⑶y = 2/(3x-1)-3/(x-1) (x∈R)⑷y = (x+1)/(x+1) if x≥5y = 5x^2+9x+4/2x-6 (x<5)⑸y = (x-3)/(x+2)⑹y = x-3+x+1⑺y = (x^2-x)/(2x-1)(x+2)⑼y = -x^2+4x+5⑽y = 4-1/(x^2+4x+5)⑾y = x-1-2x/(2x^2+ax+b)6、已知函数f(x) = 2x+1/(x∈R)的值域为[1,3]，求a,b的值。

三、求函数的解析式1、已知函数f(x-1) = x-4x，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式。

2、已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1) = 2x-4x，求f(x)的解析式。

3、已知函数2f(x)+f(-x) = 3x+4，则f(x) = (3x+4)/5.4、设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0,+∞)时，f(x) =x/(1+x)，则f(x)在R上的解析式为f(x) = x/(1+x)-2/(1-x^2)。

5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1}，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x) = 3x，则f(x) = x，g(x) = 3x-x^3.四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴y = x+2/x+3⑵y = -x^2+2x+3⑶y = x-6/x-127、函数f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数，则f(1-x)的单调递增区间是(0,1]。

高一数学函数经典练习题(含答案详细)一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x^2+2x-15}{x}$。

然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq0$。

同时，分子中有$x-5$ 和 $x+3$ 两个因式，因此 $x\leq-3$ 或 $x\geq5$。

综合起来得到定义域为 $\{x|x\leq-3 \text{ 或 } x\geq5 \text{ 或 }x\neq0\}$。

⑵ $y=1-\frac{x-1}{2x+2}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x+1}{2x+2}$。

然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq-1$。

同时，分子中有 $x-1$ 和 $x+1$ 两个因式，因此 $x\geq0$。

综合起来得到定义域为 $\{x|x\geq0 \text{ 且 } x\neq-1\}$。

2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，则函数 $f(x^2)$ 的定义域为 _。

_。

_；函数 $x-2f(x-2)$ 的定义域为答案：对于 $f(x^2)$，$x^2\in[0,1]$，因此 $x\in[-1,1]$。

综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq1\}$。

对于 $x-2f(x-2)$，$x-2(x-2)\in[0,1]$，即 $2\leq x\leq3$。

因此定义域为 $\{x|2\leq x\leq3\}$。

3、若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则函数 $f(2x-1)$ 的定义域是；函数 $f(\frac{x+2}{x})$ 的定义域为。

答案：对于 $f(2x-1)$，$2x-1\in[-2,3]$，因此 $-1\leqx\leq2$。

综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq2\}$。

对于 $f(\frac{x+2}{x})$，$x\neq0$ 且 $\frac{x+2}{x}\in[-2,3]$，即 $-2x\leq x+2\leq3x$，解得 $-3\leq x\leq-1$ 或$x\geq2$。

高中数学必修一函数试题一、选择题： 1、若()f x =(3)f = （ ）A 、2B 、4 C、 D 、10 2、对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。

A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是（ ）①()f x =与()g x =；②()f x x =与2()g x =；③0()f x x =与01()g x x =；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。

A 、①②B 、①③C 、③④D 、①④4、二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为 （ ） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5、函数y =（ ）A 、[]0,2B 、[]0,4C 、(],4-∞D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ）A 、（1）B 、（1）、（3）、（4）C 、（1）、（2）、（3）D 、（3）、（4） 7、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x -≤ D 、()1()f x f x =-- 8、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 9、设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有 （ ）（1）（2）（3）（4）A 、12a >B 、12a <C 、12a ≥D 、12a ≤ 10、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

高一必修1函数测试一、选择题：１、设全集,Z U =集合{}{},2,1,0,1,2,1,1-=-=B A 从A 到B 的一个映射为||)(x x x f y x ==→，其中{},)(|,,x f y y P B y A x ==∈∈则=⋂)(P C B U _________________。

2、已知1x 是方程3lg =+x x 的根，2x 是方程310=+xx 的根，则21x x +值为______________。

3、已知函数)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时,1)(xx f =则当2-<x 时=)(x f ________________。

4、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如图所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =5、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、从甲城市到乙城市m 分钟的电话费由函数)47][43(06.1)(+⨯=m m f 给出，其中0>m ，][m 表示不大于m 的最大整数（如3]1,3[,3]9.3[,3]3[===），则从甲城市到乙城市8.5分钟的电话费为______________。

7、函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则a 的取值范围是______________。

8、函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈-=--),2(,22]2,(,2211x x y x x 的值域为______________。

A 、),23(+∞-B 、]0,(-∞C 、)23,(--∞ D 、]0,2(- 9、若2)5(12-=-x f x ，则=)125(f __________10、已知映射B A f →:，其中A ＝B ＝R ，对应法则为32:2++=→x x y x f 若对实数B k ∈，在集合中A 不存在原象，则k 的取值范围是______________11、偶函数)(x f 在0-，（∞）上是减函数，若)(lg -1)(x f f <，则实数x 的取值范围是______________． 12、关于x 的方程0|34|2=-+-a x x 有三个不相等的实数根，则实数a 的值是_________________。

(完整版)高一函数大题训练含答案解析一、解答题1．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=，当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求()0,2x ∈时函数()f x 的解析式；（2）是否存在实数b 使得不等式()x bx f x x->+对于()()0,11,2x ∈时恒成立，若存在，求出实数b 的取值集合，若不存在，说明理由. 2．已知偶函数满足：当时，，当时，.(1)求当时，的表达式； (2)试讨论：当实数满足什么条件时，函数有4个零点，且这4个零点从小到大依次构成等差数列.3．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2）记两个零点分别为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式121ln ln x x λλ+<+恒成立，求λ的取值范围.4．若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数x 、y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立.我们称()f x 为“类余弦型”函数.（1）已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514f =，求()0f 和()2f 的值.（2）在（1）的条件下，定义数列()()()211,2,3,...n a f n f n n =+-=求20182019122222log log ...log log 3333a a a a+++的值. （3）若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数；设有理数1x ，2x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并证明你的结论.5．若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有()()()112f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由．①()1xy a a =>；②3y x =． （2）若函数()f x 具有性质P ，且()()()*002,N f f n n n >∈==，求证：对任意{}1,2,3,,1i n ∈-有()0f i ≤；（3）在（2）的条件下，是否对任意[]0,x n ∈均有()0f i ≤．若成立给出证明，若不成立给出反例．6．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2()02a bf a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值. 7．对于函数()f x ，若存在实数m ，使得()()f x m f m +-为R 上的奇函数，则称()f x 是位差值为m 的“位差奇函数”.（1）判断函数()21f x x =+和2()g x x =是否是位差奇函数，并说明理由； （2）若()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数，求ϕ的值； （3）若对于任意[1,)m ∈+∞，()22x x f x t -=-⋅都不是位差值为m 的位差奇函数，求实数t 的取值范围.8．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足： ①()f x 在[],m n 内是单调函数：②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）若函数()2112f x a a x=+-（,0a R a ∈≠）是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.9．定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数12,x x ，均有：1212()()f x f x k x x -≤-成立，则称()f x 在D 上满足利普希茨(Lipschitz)条件．（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数k 的值，并加以验证； （2）若函数()1f x x =+在[0,)+∞上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数k 的最小值； （3)现有函数()sin f x x =，请找出所有的一次函数()g x ，使得下列条件同时成立： ①函数()g x 满足利普希茨(Lipschitz)条件；②方程()0g x =的根也是方程()0f x =的根，且()()()()g f t f g t =； ③方程(())(())f g x g f x =在区间[0,2)π上有且仅有一解． 10．已知函数11()(,0)f x b a b R a x a x a=++∈≠-+且. （1）判断()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；（2）设()(1)g x b x =+，试讨论()()y f x g x =-的零点个数情况. 11．已知函数()y f x =的定义域D ，值域为A .（1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）①()1tan[()],(0,1)2f x x x π=-∈，②()1lg(1),(0,1)g x x x =-∈.（2）已知12()log (21),()sin 2,f x x g x x =+=函数[()]f g x 的值域[1,0]A =-，试求出满足条件的函数[()]f g x 一个定义域D ；（3）若D A ==R ，且对任意的,x y R ∈，有()()()f x y f x f y -=-，证明：()()()f x y f x f y +=+.12．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x ，且()()xf xg x e +=.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）设函数()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭，记()1231n H n F F F F n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()*,2n N n ∈≥.探究是否存在正整数()2n n ≥，使得对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()2g x H n g x >⋅恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由.13．已知函数()f x ，对任意a ，b R ∈恒有()()()f a b f a f b 1+=+-，且当x 0>时，有()f x 1>．(Ⅰ)求()f 0；(Ⅱ)求证：()f x 在R 上为增函数；(Ⅲ)若关于x 的不等式(()222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦对于任意11x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围．14．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.（1）已知函数()sin()3f x x π=+，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”，求是实数m 的最小值；（3）若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围.15．已知函数()21log 21mx f x x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()m 为常数是奇函数. (1)判断函数()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上的单调性,并用定义法证明你的结论;(2)若对于区间[]2,5上的任意值,使得不等式()2xf x n ≤+恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】一、解答题1．（1）f （x ）＝lnx －x ；（2）{1} 【解析】 【详解】试题分析：（1）由已知得：f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4），设x ∈（－4，－2）时，则x ＋4∈（0，2），代入x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜−12），求出f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4），再根据当x ∈（－4，－2）时，f （x ）的最大值为－4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a 的值，进而求得结论； （2）假设存在实数b使得不等式()x bf x x->+对于x ∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bf x x->+恒成立，利用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，即可求得b 的值． 试题解析：（1）由已知，f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4） 当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜－12） 当x ∈（－4，－2）时，x ＋4∈（0，2）， ∴f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4）∴当x ∈（－4，－2）时，f （x ）＝4f （x ＋4）＝4ln （x ＋4）＋4a （x ＋4）∴f '（x ）＝44x +＋4a ＝4a•144x a x +++， ∵a ＜−12，∴−4＜−1a−4＜−2，∴当x ∈（−4， −1a−4）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数， 当x ∈（−1a−4，−2）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数， ∴f （x ）max ＝f （−1a−4）＝4ln （−1a）＋4a （−1a）＝−4，∴a ＝－1 ∴当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx －x（2）由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bf x x->+即为ln x bx-> ①当x ∈（0，1）时，ln x bx- ⇒b ＞，令g （x ）＝，x ∈（0，1） 则g′（x ）＝令h （x ）＝，则当x ∈（0，1）时，h′（x ）＝11x x -＝1x x-＜0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴g ′（x ）＝()2h x x＞0， ∴g （x ）＜g （1）＝1，故此时只需b≥1即可； ②当x ∈（1，2）时，ln x bx x-> ⇒b ＜x−x lnx ，令φ（x ）＝x−x lnx ，x ∈（1，2）则φ′（x ）＝1−ln 12x x x -＝2ln 12x x x -- 令h （x ）＝2x −lnx−2， 则当x ∈（1，2）时，h′（x ）＝11x x -＝1x x-＞0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴φ′（x ）＝()2h x x＞0， ∴φ（x ）＞φ（1）＝1，故此时只需b≤1即可， 综上所述：b ＝1，因此满足题中b 的取值集合为：{1}考点：利用导数研究函数的单调性，最值，函数的周期性，不等式恒成立问题，分类讨论．2．（1）()()(2)f x x a x =+--；（2）①23a <+时，34m =；②4a =时，1m =；③10473a +>时，23201216a a m -+=. 【解析】 【详解】(1)因为f(x)为偶函数，只需用-x 代替中的x 即可得到当时，的表达式; (2)零点，与交点有4个且均匀分布.所以,然后再分或24a <<或或四种情况讨论求出m 的值．解：（1）设则，又偶函数所以， ………………………3分 （2）零点，与交点有4个且均匀分布（Ⅰ）时， 得，所以时， …………………………5分 （Ⅱ）24a <<且时 ， ，所以 时，……………………………7分（Ⅲ）时m=1时 符合题意………………… ……8分（IV ）时，，,m此时所以 （舍） 且时，时存在 ………10分综上： ①时，②时，③时，符合题意 ………12分3．（1）10a e<<（2）1λ≥ 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）方程ln 0x ax -=在()0,+∞有两个不同跟等价于函数()ln xg x x=与函数y a =的图像在()0,+∞上有两个不同交点,对()g x 进行求导，通过单调性画出()g x 的草图，由()g x 与y a =有两个交点进而得出a 的取值范围; （Ⅱ）分离参数得：121a x x λλ+>+,从而可得()1122lnx a x x x =-恒成立；再令()12,0,1x t t x =∈,从而可得不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立，再令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．试题解析：（I ）依题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞， 所以方程ln 0x ax -=在()0,+∞有两个不同跟等价于函数()ln xg x x=与函数y a =的图像在()0,+∞上有两个不同交点.又()21ln xg x x-'=，即当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<,所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减. 从而()()max 1g x g e e==. 又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →∞，在x →+∞时，()0g x →， 所以()g x 的草图如下：可见，要想函数()ln x g x x =与函数y a =在图像()0,+∞上有两个不同交点，只需10a e<<. （Ⅱ）由（I ）可知12,x x 分别为方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =， 所以原式等价于()12121ax ax a x x λλλ+<+=+. 因为0λ>，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+. 又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，()1122ln x a x x x =-，即1212ln xx a x x =-. 所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+. 因为120x x <<，原式恒成立，即()()1212121ln x x x x x x λλ+-<+恒成立. 令()12,0,1x t t x =∈，则不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立. 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，则()()()()()()222111t t h t t t t t λλλλ--+=-=++'， 当21λ≥时，可见()0,1t ∈时，()0h t '>，所以()h t 在()0,1t ∈上单调递增，又()()10,0h h t =<在()0,1t ∈恒成立，符合题意；当21λ<时，可见当()20,t λ∈时，()0h t '>；当()2,1t λ∈时，()0h t '<， 所以()h t 在()20,t λ∈时单调递增，在()2,1t λ∈时单调递减.又()10h =，所以()h t 在()0,1t ∈上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式121ln ln x x λλ+<+恒成立，只须21λ≥，又0λ>，所以1λ≥. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，单调性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，能力要求较高，属于难题，其中（2）问中对两根12,x x 的处理方法非常经典，将两个参数合并成一个参数t ，然后再构造函数，利用导函数进行分类讨论求解.4．（1）()01f =；()1728f =；（2）2037171；（3）证明见解析，()()12f x f x <. 【解析】 【分析】（1）先令1x =，0y =，解出()0f ，然后再令1x y ==解出()2f ；（2）由题意可以推出{}n a 是以3为首项，公比为2的等比数列，然后得出数列{}n a 的通项公式，再利用对数的运算法则求20182019122222log log ...log log 3333a a a a+++的值； （3）先令1x =，0y =得出()01f =，然后令0x =，得()()f y f y =-可证明()f x 为偶函数；由0t ≠时，()1f t >，则()()()()()22f x y f x y f x f y f y ++-=>，即()()()()f x y f y f y f x y +-=--，令y kx =(k 为正整数)，有()()()()11f k x f kx f kx f k x +->--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，由此可递推得到对于任意k 为正整数，总有()()1f k x f kx +>⎡⎤⎣⎦成立，即有n m <时，()()f nx f mx <成立，可设12112q p x p p =，12212p q x p p =，其中12,q q 是非负整数，12,p p 都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论即可得到大小. 【详解】解：（1）令1x =，0y =，得()()()21210f f f =⋅，∴()01f =； 再令1x y ==，得()()()()21120f f f f =+，∴()25218f =+，∴()1728f =. （2）由题意可知，()()1175221344a f f =-=-= 令1x n =+，1y =，得()()()()2112f n f f n f n +=++， ∴()()()5212f n f n f n +=+- ∴()()()()()()()152212114122n a f n f n f n f n f n f n f n +⎡⎤=+-+=+--+=+-⎢⎥⎣⎦()()()22121n f n f n a n =+-=≥⎡⎤⎣⎦.∴{}n a 是以3为首项，以2为公比的等比数列.因此132n n a -=⋅，故有2log 13na n =- 所以20182019122222log log ...log log 3333a a a a++++ 12...20172018100920192037171=++++=⋅=（3）令1x =，0y =，()()()()20111f f f f =+，又∵()11>f ，∴()01f = 令0x =，()()()()20f f y f y f y =+-，∴()()()()0f f y f y f y =+-， 即()()()2f y f y f y =+-.∴()()f y f y =-对任意的实数y 总成立， ∴()f x 为偶函数. 结论：()()12f x f x <.证明：设0y ≠，∵0y ≠时，()1f y >，∴()()()()()22f x y f x y f x f y f x ++-=>，即()()()()f x y f x f x f x y +->--.∴令()*x ky k N =∈，故*k N ∀∈，总有()()()()11f k y f ky f ky f k y +->--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦成立.()()()()()()()()1112...00f k y f ky f ky f k y f k y f k y f y f +->-->--->>->⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴对于*k N ∈，总有()()1f k y f ky +>⎡⎤⎣⎦成立.∴对于*,m n ∈N ，若n m <，则有()()...f ny f my <<成立. ∵12,x x Q ∈，所以可设111q x p =，222q x p =，其中1q ，2q 是非负整数，1p ，2p 都是正整数， 则12112q p x p p =，12212p q x p p =，令121y p p =，12t q p =，12s p q =，则*,t s N ∈. ∵12x x <，∴t s <，∴()()f ty f sy <，即()()12f x f x <.∵函数()f x 为偶函数，∴()()11f x f x =，()()22f x f x =.∴()()12f x f x <. 【点睛】本题考查新定义函数问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，考查函数的基本性质在解题中的应用，属于难题.5．（1）①()1xy a a =>具有性质P ；②3y x =不具有性质P ，见解析；（2）见解析（3）不成立，见解析 【解析】 【分析】（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出()()()112f x f x f x -++-的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由3y x =，举出当1x =-时，不满足()()()112f x f x f x -++≥，即可得到结论； （2）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（3）由（2）中的结论，我们可以举出反例，如()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数，证明对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤不成立．【详解】证明：（1）①函数()()1xf x a a =>具有性质P ，()()()11111222x x x x f x f x f x a a a a a a -+⎛⎫-++-=+-=+- ⎪⎝⎭，因为1a >，120x a a a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()()()112f x f x f x -++≥， 此函数为具有性质P ；②函数()3f x x =不具有性质P ，例如，当1x =-时，()()()()11208f x f x f f -++=-+=-，()22f x =-，所以，()()()201f f f -+<-， 此函数不具有性质P ． （2）假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -中第一个大于0的值，则()()10f i f i -->， 因为函数()f x 具有性质P ， 所以，对于任意*n ∈N ，均有()()()()11f n f n f n f n +-≥--， 所以()()()()()()11210f n f n f n f n f i f i --≥---≥≥-->，所以()()()()()()110f n f n f n f i f i f i =--+++-+>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，与()0f n =矛盾， 所以，对任意的{}1,2,3,,1i n ∈-有()0f i ≤．（3）不成立．例如，()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数证明：当x 为有理数时，1x -，1x +均为有理数，()()()112f x f x f x -++-()()()2221121122x x x n x x x =-++---++-=，当x 为无理数时，1x -，1x +均为无理数，()()()()()2221121122f x f x f x x x x -++-=-++-=所以，函数()f x 对任意的x ∈R ， 均有()()()112f x f x f x -++≥， 即函数()f x 具有性质P ．而当[]()0,2x n n ∈>且当x 为无理数时，()0f x >． 所以，在（2）的条件下，“对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤”不成立． 如()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数，()()()2x f x xx ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数等．【点睛】本题考查了函数的新定义及其应用，涉及指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法． 6．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案.【详解】 （1）不是.假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin2a ba +=， 当2b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2a k ππ=+，k Z ∈，所以sin 2a =±，不成立， 所以()f x 不为M 类函数.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，又因为()f x 是M 类函数，所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2a ba b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，所以()22142(4)0222a a b a a a-+-=+-=>， 则2log 102a b +->，所以得22log 12log 12a b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而有222log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224a b b +=，即248b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()3226480b b b b ----=，由2b >，则326480b b b ---=，令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()26480g x x x x =---<，且()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力. 7．(1) 对于任意m 有()21f x x =+为位差奇函数, 不存在m 有2()g x x =为位差奇函数.(2),3k k Z πϕπ=-∈;(3) (),4t ∈-∞【解析】 【分析】(1)根据题意计算()()f x m f m +-与()()g x m g m +-,判断为奇函数的条件即可. (2)根据()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数可得()()33f x f ππ+-为R 上的奇函数计算ϕ的值即可.(3)计算()()f x m f m +-为奇函数时满足的关系,再根据对于任意[1,)m ∈+∞()22x x f x t -=-⋅都不是位差值为m 的位差奇函数求解恒不成立问题即可. 【详解】(1)由()21f x x =+,所以()()2()1(21)2f x m f m x m m x +-=++-+=为奇函数. 故对于任意m 有()21f x x =+为位差奇函数.又2()g x x =,设222()()()()2G x g x m g m x m m x mx =+-=+-=+.此时()22()22G x x mx x mx -=--=-,若()G x 为奇函数则22220x mx x mx -++=恒成立.与假设矛盾,故不存在m 有2()g x x =为位差奇函数. (2) 由()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数可得,()()33f x f ππ+-为R 上的奇函数.即()()sin()sin()3333f x f x ππππϕϕ+-=++-+为奇函数.即3k πϕπ+=,,3k k Z πϕπ=-∈.(3)设()()22()()()(222)12122x m mm m m x x x m h t x f t m t f x m ----+-=+-=--⋅-⋅⋅=--- .由题意()()0h x h x +-=对任意的[1,)m ∈+∞均不恒成立.此时()()()()22222222()()11110m x m x xm x m h x t h x t ----+-=--⋅-⋅-+--= 即()()222221112122m x x xx m m m t t -----+-=-+=⋅-⇒⋅对任意的[1,)m ∈+∞不恒成立.故22m t =在[1,)m ∈+∞无解.又22224m ≥=,故4t <. 故(),4t ∈-∞ 【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,需要根据题意求所给的位差函数的表达式分析即可.属于中等题型.8．（1）证明见详解；（2）32a <-或12a >；（3）112a <≤【解析】 【分析】（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知()f m m =，()f n n =，转化为,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题. 【详解】（1）函数()22g x x x =-在[]0,1x ∈时的值域为[]1,0-，不满足“保值函数”的定义， 因此函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”.（2）因为函数()2112f x a a x=+-在[],m n 内是单调增函数， 因此()f m m =，()f n n =， 因此,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根， 等价于方程()222210a x a a x -++=有两个不相等的实根.由()222240a a a ∆=+->解得32a <-或12a >.（3）()2212a f x a a x=+-，()22a f x x ≤()22a f x x⇔≤⇔21222a a x x+--≤≤， 即为22122,122,a a x x a a x x ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩对1≥x 恒成立.令()12h x x x=+，易证()h x 在[)1,+∞单调递增， 同理()12g x x x=-在[)1,+∞单调递减. 因此，()()min 13h x h ==，()()min 11g x g ==-.所以2223,21,a a a a ⎧+≤⎨+≥-⎩解得312a -≤≤.又32a <-或12a >，所以a 的取值范围是112a <≤. 【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.9．（1）()f x x =,2k =，见解析；（2）min 12k =（3）11(),[,0)(0,]22g x kx k =∈-⋃ 【解析】 【分析】（1）令()f x x =,可以满足题意，一次函数和常值函数都可以满足； （2）根据定义化简1212()()f x f x x x --12<，得出k 的最小值；（3）由于所有一次函数均满足（1）故设()()0g x kx b k t =+≠是()0g x =的根，推得0b =，若k 符合题意，则k -也符合题意，可以只考虑0k >的情形，分①若1k，②若112k <<，分别验证是否满足题意，可得k 的范围. 【详解】（1）例如令()f x x =,由12122x x x x -≤-知可取2k =满足题意（任何一次函数或常值函数等均可）． （2）()f x =[0,)+∞为增函数∴对任意12,x x R ∈有1212()()f x f x x x --12==<（当120,0x x =→时取到）所以min 12k =（3）由于所有一次函数均满足（1）故设()()0g x kx b k t =+≠是()0g x =的根()0bg t t k∴=⇒=-， 又(())(())(0)(0)0()f g t g f t f g b g x kx =∴=∴=∴=若k 符合题意，则k -也符合题意，故以下仅考虑0k >的情形． 设()(())(())sin sin h x f g x g f x kx k x =-=- ①若1k，则由sin sin 0h k kk πππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭且3333sin sin sin 02222k k h k k ππππ⎛⎫=-=+≥⎪⎝⎭所以，在3,2k ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中另有一根，矛盾．②若112k <<，则由[]sin sin 0,2h k h k k ππππ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭sin 2sin 20k k ππ=-< 所以，在,2kππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中另有一根，矛盾．102k ∴<≤以下证明，对任意1(0,],()2k g x kx ∈=符合题意．当(0,]2x π∈时，由sin y x =图象在连接两点()(0,0),,sin x x 的线段的上方知sin sin kx k x >()0h x ∴>当(,]22x kππ∈时，sin sinsin sin ()022k kx k k x h x ππ>≥≥∴> 当,22x k ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0,sin 0,()0kx x h x >∴ 综上：()0h x =有且仅有一个解0x =，()g x kx ∴=在1(0,]2k ∈满足题意． 综上所述：11(),[,0)(0,]22g x kx k =∈-⋃, 故得解. 【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题.10．（1）()y f x =的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b ；（2）当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a -≤≤时，有1个零点 【解析】 【分析】（1）设()()h x f x b =-，通过奇偶性的定义可求得()h x 为奇函数，关于原点对称，从而可得()f x 的对称中心，得到结论；（2）()()0y f x g x =-=，可知0x =为一个解，从而将问题转化为222b x a =-解的个数的讨论，即22222a b x a b b+=+=的解的个数；根据b 的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果. 【详解】（1） 设()()11h x f x b x a x a=-=+-+ ()h x ∴定义域为：{}x x a ≠± ()()1111h x h x x a a x x a x a ⎛⎫-=+=-+=- ⎪---+-⎝⎭()h x ∴为奇函数，图象关于()0,0对称()y f x ∴=的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b（2）令()()110y f x g x bx x a x a=-=+-=-+ ()()20x b x a x a ⎡⎤∴-=⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，可知0x =为其中一个解，即0x =为一个零点 只需讨论222b x a =-的解的个数即可 ①当0b =时，222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点②当0b >时 ，2220x a b =+> x ∴=222b x a =-的解()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 ③当0b <时，22222a bx a b b+=+=（i ）若220a b +<，即22b a <-时，220a bb+>x ∴=222b x a =-的解()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 （ii ）若220a b +=，即22b a =-时，222b x a =-的解为：0x = ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点（iii ）若220a b +>，即220b a -<<时，220a bb+<，方程222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点 综上所述：当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a -≤≤时，有1个零点 【点睛】本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程222b x a=-根的个数的讨论，从而根据b 的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题. 11．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由正切函数与对数函数的性质可直接判断；（2）由()()[]12log 2sin211,0f g x x ⎡⎤=+∈-⎣⎦，得[]2sin211,2x +∈，进而利用正弦函数的性质列式求解即可；（3）利用反证法，假设存在,a b 使得()()()f a b f a f b +≠+，结合条件推出矛盾即可证得. 【详解】（1）()()1tan ,0,12f x x x π⎡⎤⎛⎫=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦满足.()()1lg 1,0,1g x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭不满足.（2）因为()()[]12log 2sin211,0f g x x ⎡⎤=+∈-⎣⎦，所以[]2sin211,2,x +∈ 即1sin20,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以][522,22,2,.66x k k k k k Z πππππππ⎡⎤∈+⋃++∈⎢⎥⎣⎦所以][5,,,,12122x k k k k k Z πππππππ⎡⎤∈+⋃++∈⎢⎥⎣⎦ 满足条件的0,12D π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）.（3）假设存在,a b 使得()()()f a b f a f b +≠+ 又有()()()()()(),f a f a b f b f b f a b f a =+-=+-， 所以()()()()()(),f a f a b f b f b f a b f a -=+--=+-，结合两式：()()(),0f a f b f a b =+=，所以()()()0f b f a f a b --=+=， 故()()()f a f b f a -==.由于()()()f a b f a f b +≠+知：()0f a ≠.又()()12222a a a f f a f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 类似地，由于()0f a -≠，()22a a f f a f ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()()11222a f f a f a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.所以()022a a f a f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与()0f a ≠矛盾，所以原命题成立. 【点睛】本题主要考查了复合函数的性质及反证法的证明，属于难题. 12．（1）见解析；（2）2,3n = 【解析】 【分析】(1)已知()()x f x g x e +=，结合函数的奇偶性可得()()xf xg x e --=，解方程组即可得函数解析式；（2）由函数奇偶性的性质可知()()g x f x 为奇函数，图象关于()0,0对称，则()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，利用对称性可得()H n ，然后利用恒成立问题解()()()2g x H n g x >⋅即可. 【详解】 （1）()()x f x g x e +=，()()x f x g x e --+-=函数()f x 为偶函数，()g x 为奇函数， ∴ ()()x f x g x e --=，()2x x e e f x -+∴=，()2x xe e g x --=. （2）易知()()g x f x 为奇函数，其函数图象关于()0,0中心对称，∴函数()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， 即对任意的x R ∈，()()12F x F x -+=成立. ()12H n F F n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31n F F n n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12n n H n F F n n --⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31n F F n n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.两式相加，得()112n H n F F n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2233n n F F F F n n n n ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 11n F F n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 即()()221H n n =-.()1H n n ∴=-.()()()2g x H n g x ∴>⋅，即()()221x x x x e e n e e --->--.()()()10x x x xe e e e n --⎡⎤∴-+-->⎣⎦.(]0,1x ∈，0x x e e -∴-> 1x x e e n -∴++>恒成立.令x t e =，(]1,t e ∈.则11y t t=++在(]1,e 上单调递增.1x x y e e -∴=++在(]0,1上单调递增.3n ∴≤.又已知2n ≥，2,3n ∴=. 【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数的对称性求值问题，考查恒成立问题的解法，属于中档题.13．（Ⅰ）()f 01=； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）t 5<-. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意，由特殊值法分析：令a b 0==，则()()f 02f 01=-，变形可得()f 0的值， (Ⅱ)任取1x ，2x R ∈，且设12x x <，则21x x 0->，结合()()()f a b f a f b 1+=+-，分析可得()()21f x f x >，结合函数的单调性分析可得答案；(Ⅲ)根据题意，原不等式可以变形为(()222f[2log x)2log x 4t 4f 0⎤-+-<⎦，结合函数的单调性可得2222(log x)2log x 4t 40-+-<，令2m log x =，则原问题转化为22m 2m 4t 40-+-<在[]m 3,1∈--上恒成立，即24t 2m 2m 4<-++对任意[]m 3,1∈--恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】(Ⅰ)根据题意，在()()()f a b f a f b 1+=+-中，令a b 0==，则()()f 02f 01=-，则有()f 01=；(Ⅱ)证明：任取1x ，2x R ∈，且设12x x <，则21x x 0->，()21f x x 1->，又由()()()f a b f a f b 1+=+-，则()()()()()()221121111f x f x x x f x x f x 11f x 1f x ⎡⎤=-+=-+->+-=⎣⎦， 则有()()21f x f x >， 故()f x 在R 上为增函数．(Ⅲ)根据题意，][(222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦，即][(222f[2log x)4f 4t 2log x 11⎤-+--<⎦，则(222f[2log x)2log x 4t 41⎤-+-<⎦， 又由()f 01=，则(()222f[2log x)2log x 4t 4f 0⎤-+-<⎦，又由()f x 在R 上为增函数，则2222(log x)2log x 4t 40-+-<，令2m log x =，11x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3m 1-≤≤-，则原问题转化为22m 2m 4t 40-+-<在[]m 3,1∈--上恒成立， 即24t 2m 2m 4<-++对任意[]m 3,1∈--恒成立， 令2y 2m 2m 4=-++，只需4t y <最小值，而2219y 2m 2m 42(m )22=-++=--+，[]m 3,1∈--，当m 3=-时，y 20=-最小值，则4t 20<-． 故t 的取值范围是t 5<-． 【点睛】本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，其中解答中合理利用函数的单调性和合理完成恒成立问题的转化是解答的关键，同时注意特殊值法的应用，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．（1）函数()sin()3f x x π=+是“M 类函数”；（2）54-；（3）[1,1)-.【解析】 【详解】试题分析：(1) 由()()f x f x -=-，得sin()sin()33x x ππ-+=-+整理可得02x R π=∈满足00()()f x f x -=-(2) 由题存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解.令12[,2]2xt =∈分离参数可得11()2m t t =-+，设11()()2g t t t =-+求值域，可得m 取最小值54-(3) 由题即存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，分02x ≥，022x -<<，02x ≤-三种情况讨论可得实数m 的取值范围.试题解析：（1）由()()f x f x -=-，得：sin()sin()33x x ππ-+=-+0x = 所以存在02x R π=∈满足00()()f x f x -=-所以函数()sin()3f x x π=+是“M 类函数”，（2）因为()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”， 所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-， 即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解. 令12[,2]2xt =∈则11()2m t t =-+，因为11()()2g t t t =-+在1[,1]2上递增，在[1,2]上递减所以当12t =或2t =时，m 取最小值54-（3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <因为若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-①当02x ≥时，02x -≤-，所以22003log (2)x mx -=--，所以00142m x x =- 因为函数142y x x=-（2x ≥）是增函数，所以1m ≥- ②当022x -<<时，022x -<-<，所以33-=，矛盾③当02x ≤-时，02x -≥，所以2200log (2)3x mx +=，所以00142m x x =-+ 因为函数142y x x=-+(2)x ≤-是减函数，所以1m ≥- 综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)-点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.15．(1)()1,2f x x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭在上为单调减函数;证明见解析 (2)25 log 63n ≥- 【解析】【详解】试题分析：(1)利用奇偶性，确定函数的解析式，然后利用函数单调性的定义，判断函数的单调性；(2)利用函数的单调性，结合不等式恒成立问题，求解参数的取值范围.试题解析：(1)由条件可得()()0f x f x -+=,即 2211log log 02121mx mx x x -+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭化简得222114m x x -=-,从而得2m =±;由题意2m =-舍去,所以2m =即()212log 21x f x x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭, ()1,2f x x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭在上为单调减函数, 证明如下:设1212x x <<<+∞, 则()()12f x f x -=122122121212log log 2121x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为1212x x <<<+∞,所以210x x ->,12210,210x x ->->; 所以可得1212122112112x x x x +-⋅>-+,所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >; 所以函数()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上为单调减函数,(2)设()()2x g x f x =- ,由(1)得()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上为单调减函数, 所以()()2x g x f x =-在[]2,5上单调递减;所以()()2x g x f x =-在[]2,5上的最大值为()252log 63g n =≥-. 由题意知()n g x ≥在[]2,5上的最大值,所以25log 63n ≥-.。

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（数学1必修）函数及其表示一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ )⑴，；3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ⑵，；111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ⑶，；x x f =)(2)(x x g =⑷()f x =()F x =⑸，。

21)(x f 52)(2-=x x f A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸2．函数的图象与直线的公共点数目是( ）()y f x =1x =A ． B ． C ．或 D ．或1001123．已知集合,且{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+*,,a N x A y B∈∈∈使中元素和中的元素对应，则的值分别为（ )B 31y x =+A x ,a k A ． B ． C ． D ．2,33,43,52,54．已知，若，则的值是（ ）22(1)()(12)2(2)x x f xx x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()3f x =x A ． B ．或 C ．，或11321325．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移,(2)y f x =-(12)y f x =-这个平移是（ ）A ．沿轴向右平移个单位B ．沿轴向右平移个单位x 1x 12C ．沿轴向左平移个单位 D ．沿轴向左平移个单位x 1x 126．设则的值为（ ）⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f )5(f A ． B ． C ． D ．10111213二、填空题1．设函数则实数的取值范围是 ..)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若a 2．函数的定义域 。