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一般化和特殊化思想在新课程教学中的应用
作者：徐双琴
来源：《课程教育研究·下》2013年第01期
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）01-0034-02
一、问题的提出
辩证法告诉我们，特殊与一般是对立统一的，从“特殊到一般”和“从一般到特殊”，是认识事物的普遍规律。一般化和特殊化方法是中学数学重要的思想方法，将待解待证问题，通过对它的一般形式问题的解决而得到原问题解的化归策略就是一般化思想；与此相反，对于待解待遇证问题，先解决它的特殊情况，然后把解决特殊情况的方法或结果应用到一般情况，使原问题解决的策略就是特殊化思想。它如何在中学教学发挥作用呢？本文将分别从一般化和特殊化思想的内涵、在新课程教科书中的应用来研究一般化和特殊化思想在新课程教学中的应用。
二、一般化数学思想
一般化是由个别到普遍的认识方法，一般化也称普遍化。它的基本特点是从同类的个别对象中发现它们的共同性。一般化思想能让我们加强对数学中的一般性原理、性质、法则、规律等的认识，它是数学中一种很重要的思想，在教材中很多地方都能体现出来.比如在（人教A版必修四）三角恒等变换这一章中，教材中首先推出了两角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ （1）
从这个公式出发，进一步推导其它的公式。推导如下：
把（1）式中的+β换成-β，则可以得到两角和的余弦公式
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ （2）
把（2）式中的α换成β，则可以得到二倍角的余弦公式
cos2β= cos2β- sin2β （3）
由以上推导过程可以看出（2）是（1）的特殊情形，（3）又是（2）的特殊情形，所以要证明后两个公式，就需要先得到一般的情形，那就是公式（1）。学过这一章的同学都知道，本章的公式较多，要很好地把握此章，首先就要搞清楚各公式之间的关系，而一般化思想可以帮助理解公式之间的关系，更好地构建知识框图，从而能够灵活地运用公式解决问题。这也是新课程教材中这样处理这一章知识点的原因所在。
１６ 中等数学 巧思妙解的两个途径 ——一般化与特殊化 罗增儒 （陕西师范大学数学系，７１００６２） 在数学解题中，怎样才能获得巧思妙解 呢？笔者认为，根据认知的一个基本规律（由 特殊到一般、再由一般到特殊），可以得出巧 思妙解的两个基本途径：一般化与特殊化． 事实上，所谓的巧思妙解无非是对问题 的认识更深人一点、更本质一点，思维的深刻 性（而不是肤浅性）、灵活性（而不是呆板性）、 批判性（而不是盲从性）更多一点，因而，启发 巧思、通往妙解的基本途径也就是认识走向 深化的两个途径： （１）更深刻地展示问题的一般性； （２）更清晰地呈现问题的特殊性． 这通常要经历从认识到再认识的过程． 下面看一个案例． １案例呈现 笔者在文［１］中编拟了一道不等式证明 题（第一试第五题）： 例１将８ １２８的小于自身的全体正约 数从小到大排成ａ ，ａ ，…，ａ ．求证： ａｋ ，８ １２７ ｋ（口 ＋口；＋…＋口 ）、８ １２８‘ 这里使用了８ １２８为完全数，并将约数 递增排列．８ １２８有１３个真约数：１，２，２２，２３， ２４，２５，２６，２．７—１，２８—２，２９—２ｚ，２加一２３，２”一 ２４，２ 一２５，且 ａｌ＋ａ２＋…＋ａ１３＝８ １２８． １３ 一 则 收稿日期：２Ｏ０６—１０—１１ １ ＋１ ＋…＋１ｚ）（ａ ＋ａｉ＋…＋口 ） ａ ａ２ ａｋ ① １＋ ＋…＋ 厂 ② ０ｌ＋０２＋…＋ 一１）（０ｌ＋０２＋…＋‰） ａｌ ａ击２ ａｋ一 ａｌ ａ２ ａｋ）＋ ＋…＋ 一１ ＋ ＋…＋ ， —＿— ＿＿－ ③ ａｌ＋ａ２＋…＋ａ１３ 一 一１一—１＿一 ！ —— ８ １２８——８ １２８‘ 这个解法，用到了柯西不等式（此处也可 以理解为用平方平均数不小于算术平均数这 一不等式）、放缩法和交叉消去法，这些实质 性步骤都与ａ 的具体取值无关，完全数的性 质直到最后一步才体现出来．这一想，解题思 路就呈现出两个机会： （１）抓住关键步骤一般化； （２）突出特殊条件精致化． ２一般化——特殊化 将式①中的柯西不等式一般化，式②中 的放缩和式③中的交叉消去仍然是可以进行 的，这样，例１就变成了 例２对正实数ａ１，ａ２，…，ａ ，ｂ１，ｂ２， …，ｂ ，有 ． ａｋｂｋＯｋ （ｏ ＋０ ＋．．・＋０ ）（６ ＋６ｉ＋．．・＋６ ） １ １ ＜ 一 ’ 一（ 一（ 一（，●●、 一 ∑ ∑ ∑ ∑ ＝ ≤ ＜ ＝
专题 物理解题中的数学方法
物理中常用的数学一般方法
方法1 估算法
有些物理问题本身的结果,并不一定需要有一个很准确的答案,但需要我们对事物有一个估计值;有些物理问题,存在本身条件的限制,或者实验中尚未观察到必要的结果,这使得我们解决问题缺乏必要的已知条件,无法用常规的方法来求出物理问题的准确答案,采用“估算”的方法就能忽略次要因素,抓住问题的本质,充分应用物理知识进行快速数量级的计算。
1.(2019年安徽六安一中模拟)国际空间站(International Space Station)是一艘围绕地球运转的载人宇宙飞船,其轨道近地点距离地球表面379.7 km,远地点距离地球表面403.8 km,运行轨道近似圆周。已知地球表面的重力加速度g=10
m/s2,地球半径约为R=6.4×103km。假设空间站在赤道上空,则在国际空间站绕地球运行一周的过程中,宇航员看不到太阳的时间约为( )。
A.24 h B.12 h C.6 h D.45 min
2.(2019年江苏省启东中学高三上学期第一次月考)竹蜻蜓是我国古代发明的一种儿童玩具,人们根据竹蜻蜓的原理设计了直升机的螺旋桨。如图所示,一小孩搓动质量为20 g的竹蜻蜓,松开后竹蜻蜓能上升到二层楼房顶处。搓动过程中手对竹蜻蜓做的功可能是( )。
A.0.2 J B.0.6 J C.1.0 J D.2.5 J
3.(2018年全国卷Ⅱ,T15)高空坠物极易对行人造成伤害。若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下,与地面的碰撞时间约为2 ms,则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为( )。
A.10 N B.102 N C.103 N D.104 N
方法2 平面几何知识及其应用
能运用几何图形、函数图象进行表达和分析是考纲中对“应用数学处理物理问题的能力”的解读之一,在高考中屡见不鲜。利用几何方法求解物理问题时,常用到的有“对称点的性质”“两点间直线距离最短”“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识,如:带电粒子在有界磁场中的运动类问题,物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等。 4.如图甲所示,直线y=x与y轴之间有垂直于xOy平面向外的匀强磁场I,磁感应强度为B1,直线x=d与y=x间有沿y轴负方向的匀强电场,电场强度E=1.0×104 V/m,另有一半径R=1.0 m的圆形匀强磁场区域,磁感应强度B2=0.20 T,方向垂直坐标平面向外,该圆与直线x=d和x轴均相切,且与x轴相切于S点。一带负电的粒子从S点沿y轴的正方向以速度v0进入圆形磁场区域,经过一段时间进入磁场区域I,且第一次进入磁场I时的速度方向与直线y=x垂直。粒子的速度大小v0=1.0×105 m/s,粒子的比荷𝑞𝑚=5.0×105 C/kg,粒子重力不计。
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1 特殊化与一般化
知识定位
在人类认识活动中，常常通过特殊去探索一般，从一般去研究特殊。“特殊化”与“一般化”在初中数学中是经常使用的两种重要方法，是学习和研究初中数学必须掌握的数学解题理论。在人类认识活动中，常常通过特殊去探索一般，从一般去研究特殊。“特殊化”与“一般化”在初中数学中是经常使用的两种重要方法，是学习和研究初中数学必须掌握的数学解题理论。在人类认识活动中，常常通过特殊去探索一般，从一般去研究特殊。“特殊化”与“一般化”在初中数学中是经常使用的两种重要方法，是学习和研究初中数学必须掌握的数学解题理论。由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当处理问题时，若能置待解决的问题于更为普遍的情形之中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形，这样的思考方法不仅可行而且必要，将具体的个性问题化为一般的共性问题来研究，往往能使我们视野更宽阔，更能揭示问题的本质和规律。
知识梳理
知识梳理1：“特殊化”的基本策略
特殊化策略是一种“退”的策略，所谓“退”，可以从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体，从空间退到平面。正如华罗庚先生所说，“退到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题搞清楚了，并从这些简单的问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径，从而再‘进’到一般性问题上来。
知识梳理2：“一般化”的基本策略
先将原问题一般化，然后借助于一般性问题来解决特殊性问题往往会出奇制胜。著名数学家波利亚曾经说过：“雄心大的计划，成功的希望也较大。这看起来矛盾，但当从一个问题过渡到另一个，我们常常看到，新的雄心大的问题比原问题更容易掌握。较多的问题可能比只有一个问题更容易回答，较复杂的定理可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。
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2 例题精讲
【试题来源】
