北师大版九年级数学下册教案：2.4 二次函数的应用

第2课时利用二次函数解决利润问题

1.

经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,

并感受数学的应用价值.

2.

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题

的最大(小)值,发展解决问题的能力.

1.

经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史

发展的作用.

2.

发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.

1.

体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.

2.

认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的

作用.

【重点】

1.

探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.

2.

引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)

值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.

【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决

某些实际生活中的最大(小)值问题.

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.

导入一:

【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根

本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.

本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有

针对性.

导入二:

请同学们思考下面的问题:

某工厂生产一种产品的总利润L

(元)是产量x

(件)的二次函数L

=-x2

+2000x

-10000,则产量是多少

时总利润最大?最大利润是多少?

学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L

=-x2

+2000x

-10000的最大值是多少.

即L

=-x2

+2000x

-10000=-(x2

-2000x

+10002

-10002)-10000=-(x

知己知彼，百战不殆。《孙子兵法·谋攻》

樱落学校 曾泽平

1 二次函数

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数．

2．会根据二次函数的关系式计算一些函数值．

3．能够表示简单变量之间的二次函数关系．

二、重难点目标

【教学重点】

二次函数的概念．

【教学难点】

能根据已知条件写出二次函数的表达式．

教学过程

环节1 自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P29～P30的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．正比例函数的表达式为y＝kx(k为常数，且k≠0)；一次函数的表达式为y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)．

2．一般地，若两个变量x、y之间的对应关系可以表示为y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)的形式，那么称y是x的二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a、b、c.

3．下列函数中，是二次函数的有①②③.(填序号)

①y＝(x－3)2－1；②y＝1－2x2；③y＝13(x＋2)(x－2)；④y＝(x－1)2－x2.

4．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．

环节2 合作探究，解决问题

活动1 小组讨论(师生互学)

【例1】已知关于x的函数y＝(m＋1)xm2－m是二次函数， 求m的值．

【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的表达式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？

【解答】由题意，得 m2－m＝2，m＋1≠0，解得m＝2.

即m的值为2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提条件是a≠0，且自变量x的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．

【例2】一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1) cm的小长方形，剩余部分的面积为y cm2.

北师大版九年级数学下册2.1二次函数教案

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课题 1 二次函数 授课人

教

学

目

标 知识技能 经历探索、分析和建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．

数学思考 探索并归纳二次函数的定义，能够表示简单变量之间的二次函数关系．

问题解决 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．

情感态度 体会数学与人类生活的密切联系；通过观察、操作、交流、归纳等数学活动，加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维．

教学

重点 对二次函数概念的理解．

教学

难点 由实际问题确定函数表达式和确定自变量的取值范围．

授课

类型 新授课 课时

教具 多媒体课件

教学活动

教学

步骤 师生活动 设计意图

活动

一：

创设

情境

导入

新课 【课堂引入】

请同学们先欣赏几幅图片，如图2－1－2.(教师播放课件)

图2－1－2

在客观世界中存在很多这样的图形形状，我们把它们叫做抛物线．我们如何用数学方法描述它、研究它呢？从本节课开始，我们就一起来研究这一问题．

师生活动：教师提出以下问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结．

1．我们学习过哪些函数呢？试着举例说明一下．

2．下列函数哪些是正比例函数？哪些是一次函数？

(1)y＝2x＋1；(2)y＝－4x；(3)y＝5x2；(4)y＝2x；(5)y＝ax＋1.

3．学习函数应从哪几方面进行探究呢？

[答案] 1.学习过的函数是一次函数，如y＝x＋1；正比例函数， 回顾以前学习过的具体实例能更好地帮助学生了解函数的本质所在，而回顾同学们比较熟悉的一次函数、反比例函数更能让他们回忆起学习函数的过程．学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习做好铺垫. 北师大版九年级数学下册2.1二次函数教案

课题：2.4二次函数的应用

教学目标：

1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.

2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值问题．

3．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．进一步体会数学与人类社会的密切联系.

教学重点与难点：

重点：

经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.

难点：

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．

课前准备：导学案,多媒体课件．

教学过程:

一、创设情境，导入新课

活动内容：（利用导学案）

探究活动：以小组为单位，用长1米的绳子围成不同的图形，看哪个小组围成的图形最多，并估算出所围成的这些图形中，哪个图形的面积最大？

图 形 面 积

处理方式：学生先把答案写在导学案上，然后小组内交流，班级内比较的到当场合款相等时面积最大.

设计意图:增加学生的动手能力和小组合作探究能力，同时也为了复习图形的面积公式，会用估算的方法比较这些图形的面积大小，探究其中的规律，为本节课学习最大面积问题做好铺垫．

二、探究学习，感悟新知

活动内容：（多媒体展示） 问题一：探究两边在直角三角形直角边上内接矩形的最大面积

如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．

（1）设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？

（2）设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

解：（1）∵BC∥AD，

∴△EBC∽△EAF．∴EBBCEAAF．

又AB＝x，BE＝40－x，

∴404030xBC．∴BC＝34(40－x)．