幂函数与对数函数

让更多的孩子得到更好的教育

1 指数函数、对数函数、幂函数综合 A

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点。

3．理解对数的概念及其运算性质。

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.

6．知道指数函数xya与对数函数logayx互为反函数(a＞0，a≠1).

学习策略：

 深刻理解指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化．在这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．

知识框图

通过知识框图，先对指对幂函数有一个总体认识。

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要点一：指数及指数幂的运算

1.根式的概念

a的n次方根的定义：一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根，其中...........................,nn

当n为奇数时，正数的n次方根为 数，负数的n次方根是 数，表示为na；当n为偶数时，正数的n次方根有 个，这两个数互为 可以表示为 ．

对数函数和幂函数在数学中都是非常重要的函数形式，它们在很多领域的应用中都起着至关重要的作用。在本文中，我们将分别讨论对数函数和幂函数在自变量趋近于0的情况下，它们的趋近速度以及相关的数学性质。

一、对数函数在自变量趋近于0的情况下的趋近速度

对数函数的一般形式为y = logₐx，其中a为底数，x为自变量。当x趋近于0时，对数函数的趋近速度如何呢？

1. 对数函数的导数性质

我们知道对数函数的导数公式为(y = logₐx)'

其中a为底数，在自然对数的情况下（即底数为e），对数函数的导数公式为：

y' = 1/x

当x趋近于0时，对数函数的导数趋近于无穷大。这说明在自变量趋近于0的情况下，对数函数的增长速度是非常快的，远远快于线性增长的函数。

2. 对数函数与指数函数的关系

另外，对数函数和指数函数是互为反函数的函数形式。指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为底数，x为自变量。当x趋近于负无穷大时，指数函数的值趋近于0。这说明对数函数的增长速度比指数函数慢得多。

对数函数在自变量趋近于0时，增长速度是非常快的，远远快于线性增长的函数，但比指数函数的增长速度要慢。

二、幂函数在自变量趋近于0的情况下的趋近速度

幂函数的一般形式为y = x^n，在自变量趋近于0的情况下，幂函数的趋近速度如何呢？

1. 幂函数的导数性质

幂函数的导数公式为(y = x^n)'

y' = nx^(n-1)

当n大于1时，幂函数的导数在0附近为0。这说明在自变量趋近于0的情况下，幂函数的增长速度是非常慢的，远远慢于指数增长的函数。

2. 幂函数与多项式函数的关系

另外，幂函数是多项式函数的一种特殊形式。多项式函数的一般形式为y = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ₋₁ + ... + a₁x + a₀，在自变量趋近于0的情况下，多项式函数的值也趋近于0。

幂函数在自变量趋近于0时，增长速度是非常慢的，远远慢于指数增长的函数。

龙源期刊网

指数函数、对数函数、幂函数

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期

指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位. 从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题. 题目多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质. 若它们与其他知识点交汇命题，则难度会加大.

■

指数函数与对数函数互为反函数，运算可相互转化，性质可相互理解，方法可相互借鉴.

（1）学会指数式与对数式的相互转化；（2）结合指数、对数的“互反”性质记忆有关的概念、图象和性质. （3）若底是参数时，则一定要区分底是大于1还是小于1的情况，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域.

■

■ 若已知函数f（x）=ax，x

A. 0，■ B. （0，1）

C. ■，1 D. （0，3）

破解思路 本题的考查意图：一是解决指数函数的相关问题时，要对底数a进行讨论；二是考虑分段函数的单调性问题，这是学习的一个难点，应紧扣定义理解.

经典答案 由条件知， f（x）在R上为减函数，则0

■ 若已知函数f（x）=log■1-■，其中0

（1）证明：f（x）是（a，+∞）上的减函数；

（2）解不等式f（x）>1.

破解思路 证明函数单调性的常用方法有定义法：一般是作差、分解、判断；导数法：若f（x）在某个区间A内有导数，则f ′（x）≥0（x∈A）？圳f（x）在A内为增函数； f ′（x）≤0（x∈A）？圳f（x）在A内为减函数. 龙源期刊网

经典答案 （1）任取x1，x2∈（a，+∞），且x10，因此有f（x1）>f（x2），所以f（x）是（a，+∞）上的减函数.

第 1 页 共 5 页 对数函数

一、对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果(01)xaNaa且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作logNax，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数

对数形式 特点 记法

一般对数

底数为a0,1aa且 logNa

常用对数 底数为10 lgN

自然对数 底数为e lnN

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（0,1aa且）：

①1log0a，②log1aa，③logNaaN，④logNaaN。

（2）对数的重要公式：

①换底公式：

loglog(,1,0)logNNabbaabN均为大于零且不等于；

②1loglogbaab

（3）对数的运算法则：

①NMMNaaaloglog)(log；

②NMNMaaalogloglog；

③nMnMana(loglogR）；

④bmnbanamloglog。

3、对数函数的图象与性质

第 2 页 共 5 页 图象 1a 01a

性质 （1）定义域：（0,+）

（2）值域：R

（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）

（4）当01x时，(,0)y；

当1x时，(0,)y （4）当1x时，(,0)y；

当01x时，(0,)y

（5）在（0,+）上为增函数 （5）在（0,+）上为减函数

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

二、题型剖析

1．对数式的化简和运算

题组①指数式与对数式的互化

⑴将下列指数式改写成对数式；

27133； 205a； 45.021b

⑵将下列对数式改写成指数式；

3125log5；

23log31； 699.1lga

题组②计算：

（1）1log2log2aa； （2）33log18log2； （3）1lglg254；