2009年全国高考文科数学试题及答案-湖南卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案

数学（文史类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2log2的值为 【 D 】

A．-2 B. 2 C. 12 D. 12

2. 抛物线2y=-8x的焦点坐标是 【 B 】

A．（2，0） B. （- 2，0） C. （4，0） D. （- 4，0）

3．设ns是等差数列｛na｝的前n项和，已知1a=3，5a=11，则7s等于 【 C 】

A．13 B. 35 C. 49 D. 63

4．如图1 D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则 【 A 】

A．AD+

BE+

CF=0

B．BDCEDF=0

C．ADCECF=0

D．BDBEFC=0 图1

5．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】

A．14 B. 16 C. 20 D. 48

6．平面六面体ABCD- 1A 1B 1C1D中，既与AB共面也与1CC共面的棱的条数为【 C 】

A．3 B. 4 C.5 D. 6

7．若函数y=f(x)导函数在区间［a,b］是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是（A）

8. 设函数()yfx在(,)内有定义，对于给定的正数K，定义函数

(),(),()()fxfxkkkfxkfx

取函数()2xfx。当K=12时，函数()kfx的单调递增区间为 【C】

A (,0) B (0,) C (,1) D (1,)

二 填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

9 . 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .

10. 若0x，则2xx的最小值为22.

11. 在4(1)x的展开式中，x的系数为 6 (用数字作答)。

12 . 一个总体分为A.B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为 120

13. 过双曲线C：22221xyab(0,0)ab的一个焦点作圆222xya的两条切线，

切点分别为A.B，若120AOB（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为

2 。

14. 在锐角ABC中，6bxlyB则cosACA的值等于 2 ，AC的取值范围

为

(2,3)。

15. 如图2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若ADxAByAC，则

312x,32y

图2

三 解答题：每小题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。

16 （每小题满分12分）

以知向量(sin,cos2sin),(1,2)ab。 （Ⅰ）若a//b，求tan的值；

（Ⅱ）若,0,ab求的值。

解（Ⅰ） 因为//ab，所以2sincos2sin，于是 sincosa，故

tan=14

（Ⅱ）由 a=b知，2sin+（cos -2sin2)=5，所以

1-2sin2+42sin=5.

从而-2sin2+2（1-cos2=4，即sin2+cos2 = -1，于是

Sin（2+4）= - 22

又由0<<知， 4<2+4<94，所以2 +4=54，或2-4=74

因此 =2，或=34

17.（本小题满分12分）

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、16，现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设要求：

（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率。

解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

1A,1B,1C，i=1，2，3.由题意知1A23AA相互独立，1B23BB相互独立，1C23CC相互独立，1A,1B,1C（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，

且P（1A）=，p（1B）=13，p（1C）=16

（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=3！p（1A2B3C）=6p（1A）p（2B）p（3C）

=6x 12x13x16 =16

（1I）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率 P=1-p（1B2B3B）

=1-p（1B）p（2B）p（3B）

=1-（1-132)=1927

18.（本小题满分12分）

如图3，在正三棱柱ABC-1A1B1C中，AB=4, A1A=7,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE1AE

（Ⅰ）证明：平面1ADE平面11ACCA;

（Ⅱ）求直线AD和平面1ADE所成角的正弦值。

解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC-1A1B1C的性质知1AA平面ABC

又DE平面ABC，所以DEA1A.

而DEA1A，111AAAEA,所以DE⊥平面11ACCA

又DE 平面1ADE，故平面1ADE⊥平面11ACCA

（Ⅱ）解法 1过点A作AF垂直1AE于点F

连接DF.由（Ⅰ）知，平面1ADE⊥平面11ACCA，

所以AF平面1ADE,故ADF直线AD和

平面1ADE所成的角。 因为DE11ACCA所以DEAC而

ABC是边长为4的正三角形，于是AD=2 3 AE=4-CE=4- 12CD=3

又因为A1A= 7 所以1AE= 221AAAE=2(7)3= 4

11374AEAAAFAE , 21sin8AFADFAD

即直线AD和平面1ADE所成的角的正弦值为218

解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), 1A.(2,0, 7), D(-1, 3), E(-1,0.0)

易知1AB=（-3，3，-7），DE=（0，-3，0），AD=（-3，3，0）

设n=（x，y，z）是平面1ADE的一个法向量，则

1303370{nDEynADxyzuuuvuuuuv

解得7,03xzy

故可取n=（7,0,-3，）于是

=37218423 cos,nADnADnADuuuruuuruuur由此即知，直线AD和平面1ADE所成的角是正弦为218

19．（本小题满分13分）

已知函数()fx=3x+2bx+cx的导函数中图象关于直线x=2对称。

（1） 求b的值；

（2） 若()fx在x=1处取得最小值，记此极小值为g(1)，求g(1)的定义域和值域。

解（1）()fx=32x+2bx+c；因为函数1f（x）的图象关于直线x=2对称，所以26b=2，于是6b

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()fx=3x-62x+cx；1f（x）=32x-12x+c=32(2)x+c-12.

（ⅰ）当c  12时，'f（x）0，此时()fx无极值。

（ii）当c12时，'f（x）=0有两个互异实根1x·2x，不妨设1x＜2x，则1x＜2＜2x

当x＜1x时，'f（x）>0， ()fx在区间（，1x）内为增函数；

当1x＜x＜2x时，'f（x）＜0，()fx在区间（1x，2x）内为减肥函数

当1x＜2x时，'f（x）>0，()fx在区间（+，2x）内为增函数

所以()fx在x =1x处取极大值，在x=1x处取极小值

因此，当且仅当12c时，函数()fx在2xx处存在唯一极小值，所以22tx

于是()gt的定义域为(2,)

由 /2()3120ftttc得2312ctt 于是3232()()626,(2,)gtftttctttt

当2t时，/2()6126(2)0,gttttt所以函数()gt在区间(2,)内是减函数，故()gt的值域为(,8).

20 （本小题满分13分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形（记为Q） （1） 求椭圆C的方程：

（2） 设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线L与椭圆C相交于M.N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线L的斜率的取值范围。

解 （1） 依题意，设椭圆C的方程为22221(0),xyabab焦距为2c，由题设条件知，28,,abc 所以 2214.2ba

故椭圆C的方程式为22184xy

（3） 椭圆C的左准线方程为4,x所以点P的坐标(4,0)，显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为(4)ykx。

如图，设点M，N的左边分别为1122(,),(,),xyxy线段MN的中点G00(,)xy，

由22(4)184ykxxy得

2222(12)163280kxkxk ……①

由2222(16)4(12)(328)0kkk解得2222k ……②

因为12,xx是方程①的两根，所以21221612kxxk，于是

0x122xx=22812kk，0024(4)12kykxk