2013年高考文科数学广东卷-答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学(文科)答案解析

一、选择题

1.【答案】A

【解析】由题意知{0,2}S，{0,2}T，故{0}STI，故选A．

【提示】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素．

【考点】集合的交集运算．

2.【答案】C

【解析】由题意知1010xx，解得1x且1x，所以定义域为(1,1)(1,)U

【提示】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域．

【考点】函数的定义域和集合的交集运算．

3.【答案】D

【解析】因为i(i)34ixy，所以i34ixy，根据两个复数相等的条件得：3y即3y，4x，所以xyi43i，ixy的模224(3)5；

【提示】通过等式两边增添、通分等手段化简求出复数的代数形式，进而求出复数的模．

【考点】复数的四则运算及复数的模．

4.【答案】C

【解析】5ππππ1sinsincosπcos()cos22225

【提示】通过三角函数的化简变形，正弦和与余弦互化．

【考点】诱导公式．

5.【答案】

【解析】i1时，1(11)1s；i2时，1(21)2s；i3时，2(31)4s；i4时，4(41)7s；

【提示】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案．

【考点】程序框图和流程图．

6.【答案】B

【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2， 2 / 7

所以该三棱锥的体积111112323Vgggg；

【提示】由三视图还原出直观图，根据“长对正、高对齐、宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算．

【考点】平面图形的三视图的和棱锥的体积．

7.【答案】A

【解析】设所求直线为l，因为l垂直直线1yx，故l的斜率为1，设直线l的方程为yxb，化为一般式为0xyb；因为l与圆相切221xy相切，所以圆心(0,0)到直线l的距离||12b，所以2b，又因为相切与第一象限，所以0b，故2b，所以l的方程为20xy；

【提示】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数形结合法对所求参数值进行取舍．

【考点】直线与圆的位置关系，直线的方程．

8.【答案】B

【解析】若与相交，且l平行于交线，则也符合A，显然A错；若ll，∥，则，故C错；l，∥，若l平行交线，则l∥，故D错；

【提示】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系．

【考点】空间中直线、平面之间的位置关系．

9.【答案】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系．

【解析】由焦点可知(1,0F）可知椭圆焦点在x轴上，由题意知1c，12ca，所以222213ab，，故椭圆标准方程为22143xy；

【提示】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程．

【考点】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质．

10.【答案】C

【解析】对于①，若向量a，b确定，因为ab是确定的，故总存在向量c，满足cab，即abc，故正确．

对于②，因为c和b不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数，，满足abc，故正确；

对于③，如果abc，则以||a，||b，||c为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b和正数确定，则一定存在单位向量c和实数，使abc，故正确；

对于④，如果给定的正数和不能满足“以||a，||b，||c为三边长可以构成一个三角形”，这时单 3 / 7

位向量b和c就不存在，故错误．因此选C

【提示】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断．

【考点】平面向量基本定理．

二、填空题

11.【答案】15

【解析】由题意知11a，22a，34a，48a，所以；1234aaaa124815；

【提示】给定等比数列的首项和公比，求出通项公式，再构造新数列，求解新数列的部分和．

【考点】等比数列的通项与性质．

12.【答案】12

【解析】因为2lnyaxx，所以12yaxx，因为曲线2lnyaxx在点(1,)a处的切线平行于x轴，所以1210xya，所以12a；

【提示】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数．

【考点】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义．

13.【答案】5

【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1)，(1,2)，(1,1)，(1,4)代入可知z的最大值为145z；

【提示】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值．

【考点】线性规划问题的最值求解．

14.【答案】cos1sinxy，（为参数）

【解析】因为曲线C的极坐标方程为2cos；所以2cos2cos1cos2x①，sin2sincossin2y②；

①可变形得：cos21x③，

②可变形得：sin2y；由22sin2cos21得：22(1)1xy；

【提示】已知极坐标方程，通过建立直角坐标系将其化为普通方程，从而得出参数方程．

【考点】极坐标方程、普通方程和参数方程的互化．

15.【答案】212 4 / 7

【解析】因为在矩形ABCD中，3AB，3BC，BEAC，所以30BCA，所以3cos3032CECBg；在CDE△中，因为60ECD，由余弦定理得：

22220233331212cos60(3)232224DECECDCECDggg，所以212CD；

【提示】由平面图形中给定线段，利用勾股定理和三角函数求解平面图形中线段的长度．

【考点】正弦定理和余弦定理在几何中的应用．

三、解答题

16.【答案】（1）ππππ22cos2cos21331242f；

（2）因为3cos5，3π,2π2，所以234sin155；

ππππππ2cos2cos2coscossinsin6612333f

314332462525210；

【提示】给定余弦函数表达式，利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式等方法求出函数值．

【考点】正弦函数和余弦函数的图象与性质．

17.【答案】（1）重量在[90,95)的频率200.450；

（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80,85)的个数541515；

（3）设在[80,85)中抽取的一个苹果为x，在[95,100)中抽取的三个苹果分别为abc，，，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,)xa，(,)xb，(,)xc，(,)ab，(,)ac，(,)bc66种情况，其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(,)xa，(,)xb，(,)xc种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A，则事件A的概率31()62PA；

【提示】由频数分布表找出相应范围内的频数，由分层抽样确定在某范围内的个体数目，用列举法求解古典概型．

【考点】频数分布表、频率、分层抽样，古典概型等概念的理解和相关运算．

18.【答案】（1）证明：在图4中，因为ABC是等边三角形，且ADAE，所以ADAEABAC，DEBC∥；在 5 / 7 图5中，因为DGBF∥，//GEFC，所以平面DGE∥平面BCF，所以DEBCF∥平面；

（2）证明：在图4中，因为因为ABC是等边三角形，且F是BC的中点，所以AFBC；

在图5中，因为在BFC△中，1222BFFCBC，，所以222BFFCBC，BFCF，又因为AFCF，所以CFABF平面

（3）因为AFCFAFBF，，所以AF平面BCF，又因为平面DGE∥平面BCF，所以AF平面DGE；所以11111113333232336324FDEGDGEVSFGDGGEFGgggggggggg△；

【提示】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三棱锥的体积．

【考点】线面平行、线面垂直和面面平行的判定与性质，平面图形的折叠问题和三棱锥的体积的求法．

19.【答案】（1）证明：因为21441nnSannN，，令1n，则212441Sa，即22145aa，所以2145aa；

（2）当2n时，2211444(41)4(1)1nnnnnaSSanan2214nnaa，

所以221(2)nnaa，因为na各项均为正数，所以12nnaa；

因为2a，5a，14a构成等比数列，所以22145aaag，即2222(24)(6)aaa，解得23a，因为2145aa，所以11a，212aa，符合12nnaa，所以12nnaa对1n也符合，所以数列na是一个以11a为首项，2d为公差的等差数列，1(1)221nanng；

（3）因为111111(21)(21)22121nnaannnn，

所以1223111111111111121323522121nnaaaaaannL

111111111112133521212121212nnnnn；

所以对一切正整数n，有1223111112nnaaaaaaL．

【提示】把等式、不等式、等差数列和等比数列等知识结合在一起来考查，考查了递推公式、等比中项、等差数列的概念和通项公式，会用列项相消法求数列的前n项和，放缩法证明不等式的知识．

【考点】等差数列、等比数列的定义及应用，函数与方程的思想以及不等式的证明．