固体物理复习题答案完整版
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一·简答题
1.晶格常数为a的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8）
（1）体心立方基矢：123()2()2()2aijkaijkaijk，体积：312a，最近邻格点数：8
（2）面心立方基矢：123()2()2()2aijajkaki，体积：314a，最近邻格点数：12
2.习题1.5、证明倒格子矢量112233Ghbhbhb垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。
证明：
因为33121323,aaaaCACBhhhh，112233Ghbhbhb
利用2ijijab，容易证明12312300hhhhhhGCAGCB
所以，倒格子矢量112233Ghbhbhb垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。
3.习题1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)hkl的晶面系，面间距d满足：22222()dahkl，其中a为立方边长；
解：简单立方晶格：123aaa，123,,aaiaajaak 由倒格子基矢的定义：2311232aabaaa，3121232aabaaa，1231232aabaaa
倒格子基矢：123222,,bibjbkaaa
倒格子矢量：123Ghbkblb，222Ghikjlkaaa
晶面族()hkl的面间距：2dG2221()()()hklaaa
4.习题1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。
解：(111)
（1）、(111)面与(100)面的交线的AB，AB平移，A与O点重合，B点位矢：BRajak，
(111)面与(100)面的交线的晶向ABajak，晶向指数[011]。
（2）、(111)面与(110)面的交线的AB，将AB平移，A与原点O重合，B点位矢：BRaiaj，(111)面与(110)面的交线的晶向ABaiaj，晶向指数[110]。
5.固体中基本结合类型有哪些？原子之间的排斥作用取决于什么原因？
（1）基本类型：离子性结合，共价结合，金属性结合和范德瓦尔结合四种基本形式
（2）相邻的原子靠得很近,
以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠. （答案参考教材P49）
6.什么是声子？
声子就是指格波的量子，它的能量等于q。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动。晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以激发，也可以湮灭。（答案参考教材P92）
7.对于一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W－K示意图，并说明光学模式和声学模式所反映的物理意义。（答案参考教材P95－97）
解：（1）一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W－K示意图如下
上面线条表示光学波，下面线条表示声学波。 （2）当波矢q很小时，w与q的关系类似于声波，此格波也可用超声波来激发，因此称为声学波，而离子晶体中的频率为w的格波可以用光波来激发，而且晶体有的光学性质与这一支波有关，故称为光学波。
8.试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。
导体：除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带;
绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各能带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电；
半导体：由于存在一定的杂质，使能带填充情况有所改变，使导带中有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性，即使半导体中不存在任何杂质，也会由于热激发使少数电子由满带热激发到导带底产生本征导电.(答案参考教材P250－254)
9.请问德拜模型的基本假设是什么？
基本假设：以连续介质的弹性波来代表格波，晶体就是弹性介质，徳拜也就是把晶格当做弹性介质来处理的。（答案参考教材P126－129）
10.晶体由N个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式
态密度：2_233()2VgC，频率表达式：_21/3[6()]mNCV
答案参考教材P127－129
11.简述Bloch定理, 该定理必须采取什么边界条件？（答案参考教材P154－157）
（1）当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
()()nikRrRer，其中k为一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：当平移晶格矢量nR时，波函数只增加了位相因子nikRe。
（2）边界条件： 11()()rrN
其中1N，2N，3N为沿1，2，3方向的原胞数，总的原胞N=1N2N3N。
二、证明or 计算题
1.已知某晶体中相距为r的相邻原子的相互作用势能可表示为：()mnUrrr，其中、、m>n都是>0的常数，求：
a) 平衡时两原子间的距离；
b) 平衡时结合能；
思路参考教材P53－54
解：（1）求平衡间距r0 由0)(0rrdrrdu，有：
结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）
（2）求结合能w（单个原子的）
题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。
显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即minU
即：00011()()22mnWUrrr （可代入r0值，也可不代入）
2.已知N个质量为m，间距为a的相同原子组成的一维原子链，
(1)推导其色散关系
(2)试绘出整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。
(3)试求出它的格波态密度函数g(ω)，并作图表示。
解：（1）1111()()(2)nnnnnnnnm
设方程的解[]itnaqnAe,代回方程中得到：
22241[1cos]sin()2aqaqmm，2sin2aqm
（2），截止频率范围以外的q值并不能提供其他不同的波，q的取值范围称为布里渊区。
（3）2_233()2VgC，代入即可得出。
答案参考教材P82－87
习题4-3. 电子在周期场中的势能函数
bnaxbanbnaxbnanaxbmxV1,0,21222当当 其中ba4，为常数，
(1)画出此势能曲线，并求其平均值；
(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带。
解 ：(I)题设势能曲线如下图所示．
(2)势能的平均值：由图可见，()Vx是个以a为周期的周期函数，所以
题设4ab，故积分上限应为3abb，但由于在,3bb区间内()0Vx，故只需在,bb区间内积分．这时，0n，于是
2222232111()()2236bbbbbbbbmmVVxdxbxdxbxxmbaaa。
（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
利用积分公式2232cossin2cossinuumudumumumumumm得
22316mb1gE第二个禁带宽度222,2gEVm以代入上式,代入上式
22220()cosbgmxEbxdxbb再次利用积分公式有2222mb2gE
4-3用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s态原子能级对应的能带的k函数。
解：（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：
在面心立方中，有12个最近邻，若取0mR，则这12个最近邻的坐标是：
①(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)2222aaaa
②(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1)2222aaaa
③(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)2222aaaa
由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此()SJR有相同的值，简单表示为J1=()SJR。又由于s态波函数为偶宇称，即()()ssrr
∴在近邻重叠积分*()()()()()sissiJRRUVRd中，波函数的贡献为正
∴J1＞0。
于是，把近邻格矢SR代入()sSER表达式得到：
=()()()()222201xyxyxyxyaaaaikkikkikkikkSJJeeee
()()()()2222yzyzyzyzaaaaikkikkikkikkeeee+()()()()2222xzxzxzxzaaaaikkikkikkikkeeee
=012cos()cos()cos()cos()2222SxyxyyzyzaaaaJJkkkkkkkk
=014coscoscoscoscoscos222222sxyyzzxaaaaaaJJkkkkkk
（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：
习题5-1. 晶格常数为α的一维晶体电子能量
试求：
(1)能带宽度；
(2)波矢为k的电子速度；
(3)能带底部和顶部的电子有效质量
解：（1）2271()(coscos2)88Ekkakama
=22ma78－coska+18(2cos2ka－1)]
＝224ma(coska－2)2－1
当ka＝(2n+1)时,n=0,1,2… 2max22()Ekma
当ka=2n时, min()0Ek 能带宽度＝2maxmin22EEma
