中考数学高频考点突破：实际问题与二次函数——拱桥问题

中考数学高频考点突破：实际问题与二次函数——拱桥问题

一、选择题

1. 有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为 20 米，拱顶距离水平面 4 米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深 6 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18 米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行 (  )

A． 2.76 米 B． 7 米 C． 6 米 D． 6.76 米

2. 如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 𝑂，𝐵，以点 𝑂 为原点，水平直线 𝑂𝐵

为 𝑥 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 𝑦=−0.01(𝑥−20)2+4，桥拱与桥墩 𝐴𝐶 的交点 𝐶 恰好位于水面，且 𝐴𝐶⊥𝑥 轴，若 𝑂𝐴=5 米，则桥面离水面的高度 𝐴𝐶 为 (  )

A． 5 米 B． 4 米 C． 2.25 米 D． 1.25 米

3. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为 10 米，孔顶离水面 1.5 米；当水位下降，大孔水面宽度为

14 米时，单个小孔的水面宽度为 4 米，若大孔水面宽度为 20 米，则单个小孔的水面宽度为 (  )

A． 4√3 米 B． 5√2 米 C． 2√13 米 D． 7 米

二、填空题

4. 如图所示是一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥．小强骑自行车从拱梁一端 𝑂 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 𝑂𝐶，当小强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁的髙度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 𝑂𝐶 共需 秒．

5. 一个拱形桥架可以近似看做是由等腰梯形 𝐴𝐵𝐷8𝐷1 和其上方的抛物线 𝐷1𝑂𝐷8 组成的．若建立如图所示的直角坐标系，跨度 𝐴𝐵=44 米，∠𝐴=45∘，𝐴𝐶1=4 米，点 𝐷2

的坐标为 (−13,−1.69)，则桥架的拱高 𝑂𝐻= 米．

6. 闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图 1），如果曲线 𝐴𝑃𝐵 表示落点 𝐵 离点 𝑂 最远的一条水流（如图 2），其上的水珠的高度 𝑦（米）关于水平距离 𝑥（米）的函数解析式为 𝑦=−𝑥2+4𝑥+94，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不落在水池外．

三、解答题

7. 如图，隧道的截面由抛物线 𝐴𝐸𝐷 和矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 构成，矩形的长 𝐵𝐶 为 8 m，宽 𝐴𝐵

为 2 m，以 𝐵𝐶 所在的直线为 𝑥 轴，线段 𝐵𝐶 的中垂线为 𝑦 轴，建立平面直角坐标系，𝑦 轴是抛物线的对称轴，顶点 𝐸 到坐标原点 𝑂 的距离为 6 m．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 一辆货运卡车高 4.5 m，宽 2.4 m，它能通过该隧道吗？

8. 如图是一个抛物线形拱桥示意图，已知河床宽度 𝐴𝐵=40 米，拱桥高度为 10 米．

(1) 建立适当的坐标系，并求出抛物线的解析式；

(2) 若测量得拱桥内水面宽度为 28 米，求拱桥内的水深． 9. 已知一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为 2.5 m．

(1) 写出隧道截面的面积 𝑦(m2) 与截面上部半圆的半径 𝑥(m) 之间的函数表达式；

(2) 当隧道截面上部半圆的半径为 2 m 时，隧道截面的面积约是多少（精确到 0.1 m2）？

10. 桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过 𝐴，𝐶，𝐵 三点的抛物线，以桥面的水平线为 𝑥 轴，经过抛物线的顶点 𝐶 与 𝑥 轴垂直的直线为 𝑦 轴，建立平面直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间的距离为 2 米（图中用线段 𝐴𝐷，𝐹𝐺，𝐶𝑂，𝐵𝐸 等表示桥柱），𝐶𝑂=1

米，𝐹𝐺=2 米．

(1) 求经过 𝐴，𝐵，𝐶 三点的抛物线的函数解析式；

(2) 求桥柱 𝐴𝐷 的高度．

11. 有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥 来表示，已知 𝑂𝐴=8 米，距离 𝑂 点 2 米处的棚高 𝐵𝐶 为 94 米．

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 若借助横梁 𝐷𝐸(𝐷𝐸∥𝑂𝐴) 建一个门，要求门的高度为 1.5 米，则横梁 𝐷𝐸 的长度是多少米？

12. 如图，在喷水池的中心 𝐴 处竖直安装一个水管 𝐴𝐵．水管的顶端安有一个喷水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心 𝐴 的水平距离为 1 m 处达到最高点 𝐶，高度为 3 m．水柱落地点 𝐷 离池中心 𝐴 处 3 m，建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．

(1) 求水柱所在抛物线的函数解析式；

(2) 求水管 𝐴𝐵 的长．

13. 如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为 12 m 时，桥洞顶部离水面 4 m．

(1) 建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．

(2) 若水面上升 1 m，水面宽度将减少多少？

14. 如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽 𝐴𝐵 为 8 m，拱高为 4 m，该隧道为双向车道，且两车道之间有 0.4 m 的隔离带，一辆宽为 2 m 的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于 0.5 m 的空隙，以 𝐴𝐵 的中点 𝑂 为原点，按如图②所示建立平面直角坐标系．

(1) 求该抛物线对应的函数关系式；

(2) 通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．

15. 秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥非常令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形，水面宽度 𝐴𝐵=10 m，桥拱最高点 𝐶 到水面的距离为 6 m．

(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；

(2) 现有一艘游船高度是 4.5 m，宽度是 4 m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少

0.5 m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．

16. 如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为 10 m 时，桥洞与水面的最大距离是 5 m．

(1) 经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是

（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则 𝐵 点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式．

(2) 因为上游水库泄洪，水面宽度变为 6 m，求水面上涨的高度．

17. 如图，隧道的截面由抛物线 𝐴𝐷𝐶 和矩形 𝐴𝑂𝐵𝐶 构成，矩形的长 𝑂𝐵 是 12 m，宽 𝑂𝐴

是 4 m．拱顶 𝐷 到地面 𝑂𝐵 的距离是 10 m．若以 𝑂 原点，𝑂𝐵 所在的直线为 𝑥 轴，𝑂𝐴 所在的直线为 𝑦 轴，建立直角坐标系．

(1) 画出直角坐标系 𝑥𝑂𝑦，并求出抛物线 𝐴𝐷𝐶 的函数表达式；

(2) 在抛物线型拱壁 𝐸，𝐹 处安装两盏灯，它们离地面 𝑂𝐵 的高度都是 8 m，则这两盏灯的水平距离 𝐸𝐹 是多少米？

18. 如图，足球场上守门员在 𝑂 处开出一高球，球从离地面 1 米的 𝐴 处飞出（𝐴 在 𝑦 轴上），运动员乙在距 𝑂 点 6 米的 𝐵 处发现球在自己头的正上方达到最高点 𝑀，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的

抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

(1) 求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式．

(2) 足球第一次落地点 𝐶 距守门员多少米？（取 4√3≈7）

(3) 运动员乙要在第二个落地点 𝐷 抢到足球，他应再向前跑多少米？（取 2√6≈5）

答案

一、选择题

1. 【答案】D

【解析】设该抛物线的表达式为 𝑦=𝑎𝑥2，把 𝑥=10，代入表达式得 −4=𝑎×102，解得 𝑎=−125，

故此抛物线的表达式为 𝑦=−125𝑥2，

∵ 桥下水面宽度不得小于 18m，

∴ 令 𝑥=9 时，可得 𝑦=−125×81=−3.24(m)，

此时水深 6+4−3.24=6.76(m)，

即桥下水深 6.76m 时正好通过，

∴ 超过 6.76m 时则不能通过．

2. 【答案】C

3. 【答案】B

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，

则 𝑀𝑁=4 米，𝐸𝐹=14 米，𝐵𝐶=10 米，𝐷𝑂=32 米，

设大孔所在抛物线的解析式为 𝑦=𝑎𝑥2+32(𝑎≠0)，

∵𝐵𝐶=10 米，

∴ 点 𝐵(−5,0)，

∴0=𝑎×(−5)2+32，

∴𝑎=−350，

∴ 大孔所在抛物线的解析式为 𝑦=−350𝑥2+32，

设点 𝐴(𝑏,0)，则设顶点为 𝐴 的小孔所在抛物线的解析式为 𝑦=𝑚(𝑥−𝑏)2，

∵𝐸𝐹=14 米，

∴ 点 𝐸 的横坐标为 −7，

∴ 点 𝐸 的坐标为 (−7,−3625)，

当 𝑚(𝑥−𝑏)2=−3625 时，解得 𝑥1=65√−1𝑚+𝑏，𝑥2=−65√−1𝑚+𝑏，

∵𝑀𝑁=4 米，

∴∣∣∣∣65√−1𝑚+𝑏−(−65√−1𝑚+𝑏)∣∣∣∣=4，

∴𝑚=−925，

∴ 顶点为 𝐴 的小孔所在抛物线的解析式为 𝑦=−925(𝑥−𝑏)2，

∵ 大孔水面宽度为 20 米，

∴ 当 𝑥=−10 时，𝑦=−92，

∴−92=−925(𝑥−𝑏)2，

∴𝑥1=5√22+𝑏，𝑥2=−5√22+𝑏，

∴ 当大孔水面宽度为 20 米时，单个小孔的水面宽度 =∣∣∣(5√22+𝑏)−(−5√22+𝑏)∣∣∣=5√2（米）．

故选B．