P
A
C B
O
C
B
A
例1:如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别为DC ,BC 边上的动点,且∠EAF=45°, 求证:EF=DE+BF
1、在等边△ABC 中,O 为△ABC 内一点,连接AO 、BO 、CO 且AO=1,BO=2,CO=
3 ,求∠AOB ,∠BOC 的度数分别是多少?
2、如图,P 是等腰三角形ABC 内一点,且∠C=90°,PB=3,PA=7,PC=1。求∠APB 的度数?
E
例2、基本问题两个有公共顶点的等腰△AOB和△COD,如图1所示,如果∠AOB=∠COD=90°,OA=OB,OC=OD.那么AC与BD 是否相等?为什么?
拓展1图1中线段AC与BD除相等外,它们所在的直线还有什么特殊的位置关系?你能说明理由吗?
拓展2若将图1中的△COD绕点O按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度,如图2、图3,上面的结论还成立吗?
拓展3将上题中“∠AOB=∠COD=90°”改为“∠AOB=∠COD =60°”,如图4,其他条件不变,那么上述结论是否仍然成立?如不成立,会有什么变化?
拓展4将上题中“∠AOB=∠COD=60°”改为“∠AOB=∠COD =α”,如图5,其他条件不变,那么上述结论又会有怎样的变化呢?
练习1、如图9,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、DE的长度关系及所在直线的位置关系:
(1)①猜想如图9中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;
②将图9中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到图10、图11的情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图10证明你的判断.
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2018年数学中考真题演练(图形的旋转) 一.选择题 1.(2018?鞍山)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A.B. C.D. 2.(2018?营口)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,在同一平面内,将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,连接BB1,若BB1∥AC1,则∠CAC1的度数是() A.10°B.20°C.30°D.40° 3.(2018?本溪)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B. C.D. 4.(2018?济南)“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件,是中国特有的文化艺术遗产,下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A.B.
C.D. 5.(2018?济南)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在方格线的格点上,将△ABC 绕点P顺时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,则点P的坐标为() A.(0,4)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,1) 6.(2018 ?德阳)如图,将边长为的正方形绕点 B 逆时针旋转30°,那么图中阴影部分的面积为() A.3 B.C.3﹣D.3﹣ 7.(2018 ?牡丹江)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有()个. A.0 B.1 C.2 D.3 8.(2018 ?牡丹江)如图,△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,﹣1),B(2,﹣2),C(4,﹣1),将△ABC绕着原点O旋转75°,得到△A1B1C1,则点B1的坐标为()
A.(,)或(﹣,﹣)B.(,)或(﹣,﹣) C.(﹣,﹣)或(,)D.(﹣,﹣)或(,)9.(2018?黑龙江)如图图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A.B. C.D. 10.(2018?阜新)如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2018的坐标为() A.(1,1)B.(0,)C.()D.(﹣1,1)11.(2018?贺州)下列图形中,属于中心对称图形的是() A.B.C.D. 12.(2018?大连)如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α,得到△EBD,若点A恰好在ED的延
图形的旋转经典题 一.选择题(共10小题) 1.把一副三角板按如图放置,其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AC=BD=10,若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B,则点A在△D′E′B的() A.内部 B.外部 C.边上 D.以上都有可能 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B、D两点间的距离为() A. B.2 C.3 D.2 3.如图,△ABC中,AB=6,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF,使得AF∥BC,延长BC交AE于点D,则线段CD的长为() A.4 B.5 C.6 D.7 4.规定:在平面内,将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合,则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形,且有一个旋转角为60°的是()A.正三角形 B.正方形C.正六边形 D.正十边形 5.下面生活中的实例,不是旋转的是() A.传送带传送货物B.螺旋桨的运动 C.风车风轮的运动D.自行车车轮的运动 6.如图,在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD,将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动,当点A第三次回到x轴上时,点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为() 6题 7题 9题 A.π+πB.2π+2 C.3π+3π D.6π+6 7.(2016?松北区模拟)如图,将△OAB绕点O逆时针旋转80°,得到△OCD,若∠A=2∠D=100°,则∠α的度数是() A.50°B.60°C.40°D.30° 8.一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是() A.360° B.270° C.180° D.90°
图形推理真题解析十年真题一网打尽(经 典收藏) 第1道C 本题所有图形均为左右对称的 将左边的一半去掉,剩下的右半边依次为数字1234 据此,可知后面为5。 第2题A 解析:去异存同 前图为:第一个图形与第二个图形重合,相同部分余下. 第二套图也如此.
第3题C 横着看三个图为一列 把外切小黑圆看成+,把内切小黑圆看成- 每一列都是图1和图2通过上面的算法和规律推出第3个图 第4题C 第一套图是逆时间转,每转90度加下面+一横 第二套图是从有小圆的90度扇形,开始逆时间旋转,每旋转一次,原有小圆的90度扇形+一个小圆,其他的90度扇形也加一个圆。 同理第3个图是:再图2的基础上再转90度,也是每转一次原有小圆扇形再+一个小圆,其他地方也同样加一个小圆。 根据以上的规律,能符合此规律的只有C项
第6题B 解析:(方法一) 把内分割线,分割出来的两个图形分别算出其比划再组成这个图行总的笔划(重合的线段算为2划)。 根据这个规律:第一套图的笔划是:6,7,8 第二套图的笔划是:9,10,11 (方法二) 看内角的个数呈规律递增;第一套图:6,7,8 第二套图:9,10,11 第7道C 第一套图的3个图的阴影部分可以组成一个全阴影图形 同理,第二套图的3个阴影部分也可以组成一个全阴影图形
第8道B 第一套是图内的3个原色不同,第二套是图内的3个原色相同,而且一一对应相似,两套图的3个图项的外框都是只有一个。 第9道B 根据第一套图和第二套图的各项图形方面不同,一一对应相似性, 第一套图:图1是左右对称,方位是左右。 图2是轴对称,方位是上下,左右;其对应相似性的图形是第二套图的图2。 图3是上下对称,其对称相似性的图形是第二套图的图1 那么现在就只有第一套图的图1没有对应关系,根据其左右对称的相似性只有B项符合,故答案为B 第10道B 若考虑把图2,图3,图4通过翻转、旋转、镜像,而组成图1,那么这样每个选项都可以。所以这里不考虑旋转、镜像、翻转,只考虑垂直移动,只须将第3个图垂直移动到下面,这
一道图形旋转的典型例题及其变式 典例 已知:如图1,E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,且∠EAF =45°. 求证: BE +FD =EF 分析:可把△ADF 绕点A 旋转至图2所示位置则F ′B =FD ,再证△AF ′E ≌△AFD ,则EF ′=EF ,又E F ′=BE +F ′B =BE +FD 所以,BE +FD =EF . 证明:如图2,把△ADF 绕点A 顺时针旋转90?,到△ADF ′的位置. ∵AD =AB ,∠DAB =90° ∴点B 与D ′重合 ∵∠ABE +∠ABF ′=180°,∴F ′、B 、E 在一条直线上,即F ′E =BE +DF ∵∠EAF =45°,∴∠BAE +∠DAF =45° ∴∠F ′AB +∠BAE =45°, ∴∠F ′AB =∠FAE =45° 又∵AF =AF ′,AE =AE ,∴△F ′AE ≌△FAE ∴EF =EF ′,∴BE +FD =EF 点拨:本题解题方法体现了转化的数学思想,利用图形的旋转将分散了的条件转化为整体的. 本题为一经典旋转题,它其实是人教课标数学九上课本P64页例题的变式。以本典例为原型的中考题近几年出现很多,下面例举两道,供同学们学习参考。 变式1 (牡丹江市)已知:正方形ABCD 中,45MAN ∠=,MAN ∠绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB DC ,(或它们的延长线)于点M N ,. 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时(如图3),易证BM DN MN +=. (1)当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时(如图4),线段BM DN ,和MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明. (2)当MAN ∠绕点A 旋转到如图5的位置时,线段BM DN ,和MN 之间又有怎样的数 图2
图形的平移与旋转 【考纲传真】 图形的平移与旋转是近几年中考命题的重点和热点.考察考点主要通过具体实例认识平移、旋转,并探索平移、旋转的基本性质. 【复习考纲】 1.探索图形平移、旋转的性质,发展空间观念;结合具体实例,理解平移、旋转的基本内涵. 2.掌握平移、旋转的画图步骤和方法,掌握图形在坐标轴上的平移和旋转. 【考点梳理】 一、平移定义和规律 1.平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移. 注意: (1)平移不改变图形的形状和大小(也不会改变图形的方向,但改变图形的位置); (2)图形平移三要素:原位置、平移方向、平移距离. 2.平移的规律(性质):经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等、对应角相等. 注意:平移后,原图形与平移后的图形全等. 3.简单的平移作图 平移作图,就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动. 平移作图要注意:①方向;②距离. 二、旋转的定义和规律 1.旋转的定义:在平面内,将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.关键:(1)旋转不改变图形的形状和大小(但会改变图形的方向,也改变图
形的位置); (2)图形旋转四要素:原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角. 2.旋转的规律(性质): 经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等.) 注意:旋转后,原图形与旋转后的图形全等. 3.简单的旋转作图: 旋转作图,就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动. 旋转作图要注意:①旋转方向;②旋转角度. 【典题探究】 【例1】、在下列实例中,不属于平移过程的有( ) ①时针运行的过程;②火箭升空的过程;③地球自转的过程;④飞机从起跑到离开地面的过程。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 【例2】、如图所示的每个图形中的两个三角形是经过平移得到的是( ) 【例3】、下列图形经过平移后恰好可以与原图形组合成一个长方形的是( ) A 、三角形 B 、正方形 C 、梯形 D 、都有可能 【例4】、在图形平移的过程中,下列说法中错误的是( ) A 、图形上任意点移动的方向相同 B 、图形上任意点移动的距离相同 C 、图形上可能存在不动的点 D 、图形上任意两点连线的长度不变 【例5】、有关图形旋转的说法中错误的是( ) A 、图形上每一点到旋转中心的距离相等 B 、图形上每一点移动的角度相同 A B C D
P A C B O C B A 例1:如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别为DC ,BC 边上的动点,且∠EAF=45°, 求证:EF=DE+BF 1、在等边△ABC 中,O 为△ABC 内一点,连接AO 、BO 、CO 且AO=1,BO=2,CO= 3 ,求∠AOB ,∠BOC 的度数分别是多少? 2、如图,P 是等腰三角形ABC 内一点,且∠C=90°,PB=3,PA=7,PC=1。求∠APB 的度数? E
例2、基本问题两个有公共顶点的等腰△AOB和△COD,如图1所示,如果∠AOB=∠COD=90°,OA=OB,OC=OD.那么AC与BD 是否相等?为什么? 拓展1图1中线段AC与BD除相等外,它们所在的直线还有什么特殊的位置关系?你能说明理由吗? 拓展2若将图1中的△COD绕点O按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度,如图2、图3,上面的结论还成立吗?
拓展3将上题中“∠AOB=∠COD=90°”改为“∠AOB=∠COD =60°”,如图4,其他条件不变,那么上述结论是否仍然成立?如不成立,会有什么变化? 拓展4将上题中“∠AOB=∠COD=60°”改为“∠AOB=∠COD =α”,如图5,其他条件不变,那么上述结论又会有怎样的变化呢?
练习1、如图9,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、DE的长度关系及所在直线的位置关系: (1)①猜想如图9中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系; ②将图9中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到图10、图11的情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图10证明你的判断. . .
《图形的旋转》基础典型练习题 一、选择题(每题3分,共18分) 1.下列物体的运动不是旋转的是() A.坐在摩天轮里的小朋友B.正在走动的时针 C.骑自行车的人D.正在转动的风车叶片 2.在10分钟的时间内,分针转过的角度是() A.15°B.30°C.15°D.30° 3.在10分钟的时间内,时钟的时针旋转过的角度是() A.5°B.10°C.15°D.30° 4.等边三角形绕着它的中心旋转一周,可与原图形重合的次数是() A.1 B.2 C.3 D.4 5.在图形的旋转中,下列说法错误的是() A.图形上的每一点到旋转中心的距离都相等 B.图形上的每一点转动的角度都相同 C.图形上可能存在不动的点 D.旋转前和旋转后的图形全等 6.有一种平面图形,它绕着中心旋转,不论旋转多少度,?所得到的图形都与原图形完全重合,你觉得它可能是() A.三角形B.等边三角形C.正方形D.圆 二、填空题(7题4分,11题5分,其余每题3分,共18分) 7.经过旋转后的图形与原图形的关系是________,它们的对应线段_______,?对应角________,对应点到旋转中心的距离________. 8.一架风车有分布均匀的四个叶片,旋转一周可与原来的位置重合______次. 9.如图所示,图①沿逆时针方向旋转90°可得到图_________. 10.如上图所示,图①按顺时针方向至少旋转_______度可得图③.
11.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,?把这个三角形在平面内绕点C逆时针旋转60°至△A′B′C′,那么AA′的长度是______cm.(?不取近似值)三、作图题(每题6分,共18分) 12.如图所示,△ABC绕点A旋转后,点B与点D?重合,?作出旋转后的三角形ADE. 13.把边长为2cm的正方形ABCD,绕着点D逆时针旋转45°后,变为正方形A′B?′C′D′,作出上述图形. 14.如图所示是计算机操作人员用Flash设计出的美丽图案,?试把它按逆时针方向旋转180°,作出旋转后的图案. 四、解答题(6分) 15.如图所示,①图怎样变化可成②图呢?请你分析变化过程.
2019年中考数学总复习:图形的旋转综合(含答案) 一.选择题 1.如图,△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD,若∠A=110°,∠D=40°,则∠α的度数为() A.55°B.75°C.85°D.90° 2.下列图形:①平行四边形;②矩形;③菱形;④等边三角形中,是中心对称图形的有()A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④ 3.如图,在△ABC中,∠C=20°,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE,AE与BC 交于点F,则∠AFB的度数是() A.60°B.70°C.80°D.90° 4.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D,E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ABE绕点A顺时针旋转90°后,得到△ACF,连接DF,则下列结论中有()个是正确的. ①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2 A.4 B.3 C.2 D.1 5.如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,D为△ABC内一点,将线段CD绕点C逆时针
旋转90°后得到CE,连接BE,若∠DAB=10°,则∠ABE是() A.75°B.78°C.80°D.92° 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ABC,M是BC 的中点,P是A’B’的中点,连接PM.若BC=4,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是() A.8 B.6 C.4 D.5 7.在平面直角坐标系xOy中,点O(0,0),A(2,0),B(0,),C(﹣2,0).将△OAB绕点O顺时针旋转α(0°<α<360°)得到△OA′B′((其中点A旋转到点A′的位置),设直线AA′与直线BB′相交于点P,则线段CP长的最小值是() A.B.C.2 D. 8.如图,四边形ABCD为正方形,AB=1,把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF,连接DF,则DF的长为() A.B.C.D. 9.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=116°,则∠α的大小是()
平移 一、知识点复习 知识点1:平移的定义: 在平面内,一个图形沿某个方向移动一定的距离,这种图形的变换叫做平移。 知识点2:平移的要素 1.平移的方向:原图上的点指向它的对应点的射线方向; 2.平移的距离:连接原图与平移后图形上的一对对应点的线段的长度。 知识点3:平移的性质 1.性质 (1)平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小。 (2)平移后的图形与原图形上对应点连成的线段, ①数量关系是相等 . ②位置关系是平行或在同一条直线上。 2.判断一组图形能不能通过平移得到的方法 (1)看对应点连线是否平行或在同一条直线上;
(2)看它的形状、大小是否发生变化,位置的变化是否由平移产生。 ★★★特别注意: 平移是由平移的方向和距离决定的,平移必须指明平移的方向和距离; 平移是在平面内,整个图形沿着某一直线平行移动的过程,原图上的每个点都沿同一方向移动相同的距离;平移的距离不能为0; 平移的方向是任意的,但就一次平移而言,只能有一个方向,一次平移完成后可以改变方向进行下一次平移。 二、典型例题 题型1:生活中平移现象 【例题1】(2017春?乌海期末)下列运动属于平移的是() A.荡秋千 B.推开教室的门 C.风筝在空中随风飘动 D.急刹车时,汽车在地面上的滑动【例题2】:(2016春?淮安期中)下列现象:①电梯的升降运动,②飞机在地面上沿直线滑行,③风车的转动,④冷水加热过程中气泡的上升.其中属于平移的是() A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 题型2:平移的性质 【例题4】:(2016春?沧州期末)在下列说法中:①△ABC在平移过程中,对应线段一定相等;②△ABC 在平移过程中,对应线段一定平行;③△ABC在平移过程中,周长保持不变;④△ABC在平移过程中,对应边中点所连线段的长等于平移的距离;⑤△ABC在平移过程中,面积不变,其中正确的有() A.①②③④ B.①②③④⑤ C.①②③⑤ D.①③④⑤ 题型3:与平移有关的计算
课题29 图形的旋转 A组基础题组 一、选择题 1.(2018莱芜模拟)下列图形中,既是中心对称,又是轴对称的是( ) 2.(2018张家口模拟)如图,在正方形网格中有△ABC,△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案应该是( ) 3.如图,∠AOB=90°,∠B=30°,△A'OB'可以看做是由△AOB绕点O顺时针方向旋转α度得到的.若点A'在AB上,则旋转角α的大小可以是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.(2018廊坊安次模拟)如图,将正五边形ABCDE绕其顶点A沿逆时针方向旋转,若使点B落在AE边所在的直线上,则旋转的角度可以是( ) A.72° B.54° C.45° D.36° 5.(2018沧州模拟)如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针方向旋转50°
后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为130°,则∠C的度数是( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 6.(2018石家庄模拟)如图,点A、B、C、D、O都在小方格的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得到的,则旋转的角度为( ) A.30° B.45° C.90° D.135° 二、填空题 7.(2018衡水模拟)若点P(m,-2)与点Q(3,n)关于原点对称,则(m+n)2 018= . 8.(2018江西中考)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针方向旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=FF,则AB的长为. 9.(2018秦皇岛海港模拟)如图,A(0,4),B(1,0),将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°,点B的对应点C的坐标为.
鼎晟教育旋转中的几何证明任老师 类型一 ?利用旋转添加辅助线: ?满足条件: ?(1)有两条相等线段 ?(2)有公关端点 例1:如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的动点,满足∠EAF=45°, 求证:EF=DE+BF 例2:在等边△ABC中,O为△ABC内一点,连接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO=√3 ,求∠AOB,∠BOC的度数分别是多少 中考连接 1(09西城).已知: PA=√2,PB=4 ,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长; (2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB的大小. 类型二.旋转型相似 例3.点B、C、E在同一直线上,点A、D在直线CE的同侧,AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED,直线AE、BD交于点F。 (1)如图①,若∠BAC=60°,则∠AFB=_________;如图②,若∠BAC=90°,则∠AFB=_________; (2)如图③,若∠BAC=α,则∠AFB=_________(用含α的式子表示); (3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合),得图④或图⑤。在图④中,∠AFB与∠α的数量关系是________________;在图⑤中,∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。